探求无穷级数求和的几种常用方法
无限求和公式∑ 计算方法
无限求和公式∑ 计算方法无限求和公式，也称级数求和，是数学里的一个重要概念。
它是指将一系列无限多个数按照特定规则进行相加的过程。
其中，我们使用的符号∑表示该求和过程。
在本文中，我们将讨论一些常见的无限求和公式，以及计算这些公式的方法和技巧。
1. 等差数列求和公式对于等差数列a，a+d，a+2d，a+3d，...，其中a是首项，d是公差。
等差数列求和公式如下：∑(a + nd) = n/2(2a + (n-1)d)其中n表示要相加的项数。
首先，我们需要确定a、d以及n的值，然后将其代入公式中进行计算即可。
2. 等比数列求和公式对于等比数列a，ar，ar^2，ar^3，...，其中a是首项，r是公比。
等比数列求和公式如下：∑(a * r^n) = a/(1-r)这里，我们需要知道a、r和n的值，并将其代入公式进行求和。
3. 倍级数的求和公式倍级数是一种具有无限项的级数，每一项的系数都是前一项系数的倍数。
例如，1，2，4，8，16，.....，每一项都是前一项的两倍。
对于这种倍级数，我们有以下求和公式：∑(ar^n) = a/(1-r)这里的a是首项，r是倍数。
同样地，我们需要知道a、r和n的值，并将其代入公式中计算结果。
4. 幂级数的求和公式幂级数是一种特殊的无限求和公式，其中每一项都是变量x的幂次方。
例如，1，x，x^2，x^3，...。
对于幂级数，我们使用泰勒级数来计算。
泰勒级数展开的求和公式如下：∑(c * x^n) = c/(1-x)在这里，c是常数，x是变量。
我们需要知道c、x和n的值，并将其代入公式进行计算。
我们注意到，以上四种无限求和公式中，都涉及到传统的等差、等比、倍级数和幂级数。
在计算时，我们需要明确给定的项数n，以及数列或级数中的首项和公差、公比、倍数或幂次方。
然后，我们可以将这些值代入相应的求和公式，并进行计算。
需要注意的是，在求和过程中，如果数列或级数具有收敛性，即总和有限，则我们可以得到一个精确的结果。
无穷级数与收敛性
无穷级数与收敛性无穷级数在数学中是一种重要的概念，它由一系列的数相加而成，数的个数是无穷多的。
无穷级数的收敛性是指这个级数是否趋向于一个有限的数值。
在本文中，我们将探讨无穷级数的定义、收敛与发散的条件以及一些常见的求和方法。
一、无穷级数的定义在数学中，无穷级数可以用下面的形式表示：S = a_1 + a_2 + a_3 + ... + a_n + ...其中，a_1, a_2, a_3, ...是一系列的数，称为级数的项。
我们将级数的前n项和表示为S_n。
二、收敛与发散的条件无穷级数的收敛与发散的条件是由级数的项所满足的。
以下是一些常见的条件：1. 不动点条件：如果S_n的极限存在并且有限，则称该级数收敛，极限的值为该级数的和，记作S。
如果S_n的极限不存在或为无穷大，则称该级数发散。
2. 正项级数收敛定理：如果级数的所有项都是非负的，且前n项和有上界，则该级数收敛。
3. 比较判别法：如果级数的绝对值的前n项和有上界，并且与某个已知的收敛级数的前n项和具有相同的增长趋势，则该级数收敛。
类似地，如果级数的绝对值的前n项和无下界，并且与某个已知的发散级数的前n项和具有相同的增长趋势，则该级数发散。
4. 比值判别法与根值判别法：比值判别法适用于正项级数，如果级数的前n项的比值有限，并趋于零，则该级数收敛。
根值判别法适用于正项级数，如果级数的前n项的根值有限，并趋于一，则该级数收敛。
三、常见的求和方法在实际应用中，计算无穷级数的和通常是很困难的，但是有一些特殊的级数可以通过一些方法求和。
以下是一些常见的求和方法：1. 等差级数：等差级数是一种特殊的级数，其项的差为常数。
对于等差级数，我们可以使用求和公式来求和，最常见的例子是算术级数。
2. 几何级数：几何级数是一种特殊的级数，其项与前一项的比值为常数。
对于几何级数，我们可以使用求和公式来求和，最常见的例子是等比级数。
3. 特殊级数的求和技巧：对于一些特殊的级数，有些技巧可以帮助我们求和，如Telescoping series（先后相消级数）、夹逼准则、幂级数等。
求级数的和的方法总结
求级数的和的方法总结前言在数学中，级数是由一列项按照一定的规律相加而得到的无穷和。
求解级数的和是数学中经典的问题之一，在实际的计算和应用中有着重要的意义。
本文将总结几种常用的方法和技巧，用于求解级数的和。
1. 等差数列求和公式等差数列是最简单的一种级数形式，其项之间的差值是一个常数。
对于等差数列来说，可以使用简便的求和公式来求解其和。
假设等差数列的首项为 a，公差为 d，需要求和的项数为 n。
则等差数列的和Sn 可以通过以下公式计算：Sn = n * (2a + (n - 1) * d) / 22. 等比数列求和公式等比数列是另一种常见的级数形式，其项之间的比值是一个常数。
对于等比数列来说，同样可以使用简便的求和公式来求解其和。
假设等比数列的首项为 a，公比为 r(0 < r < 1)，需要求和的项数为 n。
则等比数列的和 Sn 可以通过以下公式计算：Sn = a * (1 - r^n) / (1 - r)3. 几何级数求和公式几何级数是一种特殊的等比数列，它的首项为 1，公比为 r(0 < r < 1)。
几何级数是一种无穷级数，需要通过求和公式来获得其和。
几何级数的和 Sn 可以通过以下公式计算：Sn = 1 / (1 - r)需要注意的是，几何级数的公比必须在 0 和 1 之间才能使用该公式。
4. 泰勒级数求和泰勒级数是一种将函数表示为无限次可导的多项式的级数形式。
它是数学中重要的工具，在近似计算和函数拟合中有广泛的应用。
而求解泰勒级数的和可以通过不断迭代计算项的累加值来完成。
泰勒级数的和计算过程中需要指定求和的项数，通常情况下，项数越多，计算结果越接近原函数的值。
5. 变形与分解对于一些复杂的级数，求和的方法可能不是直接适用的，此时可以通过变形和分解的方式来简化求解的过程。
比如，对于某些级数可以将其拆分成多个子级数，然后分别求解每个子级数的和，最后再汇总得到原级数的和。
等比无穷级数求和公式
等比无穷级数求和公式无穷级数是数学中的重要概念，它可以描述一系列无限多个数的和。
而等比无穷级数则是其中一种特殊的无穷级数，它的每一项与前一项的比值保持不变。
在本文中，我们将介绍等比无穷级数的求和公式，并通过具体的例子来说明其应用。
等比无穷级数的求和公式可以用以下方式表示：S = a + ar + ar^2 + ar^3 + ...其中，a是首项，r是公比。
当公比r的绝对值小于1时，等比无穷级数收敛，其和可以通过以下公式计算：S = a / (1 - r)当公比r的绝对值大于等于1时，等比无穷级数发散，没有有限和。
下面我们通过几个具体的例子来说明等比无穷级数的求和公式的应用。
例1：计算1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ...的和。
这个无穷级数的首项a是1，公比r是1/2。
由于公比r的绝对值小于1，所以该级数收敛。
根据求和公式，我们可以计算出：S = 1 / (1 - 1/2) = 2所以，1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ...的和是2。
例2：计算2 + 4 + 8 + 16 + ...的和。
这个无穷级数的首项a是2，公比r是2。
由于公比r的绝对值大于等于1，所以该级数发散，没有有限和。
通过上述例子，我们可以看到等比无穷级数的求和公式在计算无穷级数的和时非常有用。
但需要注意的是，公比r的绝对值必须小于1才能保证级数的收敛性。
除了等比无穷级数的求和公式，我们还可以通过其他方法来计算无穷级数的和，比如递归求和法、部分和数列法等。
这些方法在不同的情况下都有其适用性。
总结起来，等比无穷级数的求和公式是一个重要的数学工具，可以帮助我们计算无穷级数的和。
通过本文的介绍，相信读者对等比无穷级数的求和公式有了更加清晰的认识，并能够灵活运用它来解决实际问题。
定积分的无穷级数求和
定积分的无穷级数求和定积分是微积分中的一个重要概念，它可以用来求曲线和坐标轴之间的面积以及各种物理量。
在实际应用中，我们常常遇到需要求解无穷级数的问题。
无穷级数是一个数列的和，它包含了无限个数。
在数学中，有很多方法可以求解无穷级数，其中一种基本的方法就是使用定积分来求和。
一.无穷级数的定义在数学中，如果一个数列有无限多项，那么称这个数列是无穷数列。
一般地，一个无穷数列可以记作：$a_{1}, a_{2}, a_{3},...,a_{n},...$其中每个$a_{n}$称为数列的第n项。
如果一个无穷数列的每个后继项都是前一项的某个常数倍，则称这个数列是等差数列，这个常数称为数列的公差。
如果一个无穷数列的每个后继项都是前一项的某个常数次幂，则称这个数列是等比数列，这个常数称为数列的公比。
而无穷级数则是数列的和。
若数列{an}是一个数列，那么无穷级数就可以写成$S_{n}=a_{1}+a_{2}+a_{3}+...+a_{n}...$其中$S_{n}$是前n项的和。
而有限的级数称为部分和数列。
在许多情况下，我们还需要讨论一个无穷级数是否收敛。
如果一个无穷级数的部分和数列有一个有限的极限，那么这个无穷级数是收敛的，反之则为发散的。
二.使用定积分求和定积分和无穷级数是两个不同的数学概念，但是它们之间存在着一定的联系。
考虑以下无穷级数：$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{n}+...$我们称之为调和级数。
在数学上经过证明可以得出调和级数是发散的。
但这个级数的和可以用定积分求解出来。
事实上，如果我们定义函数$f(x)=\frac{1}{x}$，则$f(x)$在$x>0$的区间上是连续的。
我们可以将定义域分成若干份，然后在每一个小区间上进行计算。
如图所示，我们可以将$f(x)=\frac{1}{x}$在区间$[1,n]$上的积分进行如下的变形：$\int_{1}^{n+1}\frac{1}{x}dx=\ln(n+1)$$\int_{n}^{n+1}\frac{1}{x}dx\leq\int_{n}^{n+1}dx$$\frac{1}{n+1}\leq\ln(n+1)-\ln(n)\leq\frac{1}{n}$对上述式子进行求和，我们可以得到：$\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{i}\leq\ln(n)+1$$\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{i}\geq\ln(n)+0.5$于是我们可以得到：$\lim_{n\to\infty}(\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{i}-\ln(n))=0$这就意味着，调和级数的和可以用$ln(n)$来近似表示。
高等数学中的无穷级数求和
高等数学中的无穷级数求和引言：无穷级数是高等数学中的一个重要概念，它在数学分析、物理学、工程学等领域中有着广泛的应用。
无穷级数求和的问题一直以来都是数学家们关注的焦点之一。
本教案将以高等数学中的无穷级数求和为主题，通过分析和讨论不同类型的无穷级数求和方法，帮助学生深入理解无穷级数的性质和求和技巧。
一、级数的定义与性质1.1 级数的定义无穷级数是由一列数的和组成的，形如：S = a1 + a2 + a3 + ...其中，a1、a2、a3...为级数的项。
1.2 级数的收敛与发散级数的和S存在时，称该级数收敛，否则称级数发散。
1.3 级数的部分和级数的部分和Sn表示级数前n项的和，即：Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an二、常见的无穷级数求和方法2.1 等差数列求和当级数的项满足等差数列的形式时，可以利用等差数列求和公式进行求和。
例如：S = 1 + 3 + 5 + ...可以将其转化为等差数列的求和问题。
2.2 几何级数求和几何级数是指级数的项之间的比值为常数的级数，形如：S = a + ar + ar^2 + ...其中，a为首项，r为公比。
2.3 幂级数求和幂级数是指级数的项是幂函数的系数，形如：S = a0 + a1x + a2x^2 + ...其中，a0、a1、a2...为系数。
三、常见的无穷级数求和技巧3.1 逐项求和法逐项求和法是指将级数的每一项分别求和，然后将这些部分和相加得到级数的和。
这种方法适用于某些特殊的级数，如幂级数。
3.2 积分法积分法是指将级数的每一项进行积分，然后求出积分结果的极限值。
这种方法适用于某些特殊的级数，如幂级数。
3.3 求导法求导法是指将级数的每一项进行求导，然后求出导数结果的极限值。
这种方法适用于某些特殊的级数，如幂级数。
四、经典的无穷级数求和问题4.1 调和级数求和调和级数是指级数的每一项为倒数的级数，形如：S = 1 + 1/2 + 1/3 + ...调和级数是一个经典的发散级数，但可以通过取部分和的方式得到一个无穷大的极限。
无穷级数求和的方法与技巧
n =1
（x ） Σ 2
x 0
∞
（ n- 1 ）
= 1 ， 2- x
∴S （x ） =
1 dt=ln2- ln （2- x ） 。 乙S'（t）dt= 乙 2t
0
责任编辑
李叶亚
（上接第 95 页 ） 9π ， 得解。 16
ΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣ
所以 P ≤ =F1(1) · F2(1)= 3 π · 3 π= 9 π2。 X≤1,Y≤1 ≤ 4 4 16 从上面例子的解法二可以看出， 针对这类问题， 也可以 利用联合分布函数的特点直接判断独立性，较为简便地解 决问题。 参考文献
[1] 复旦大学编.概率论.北京:人民教育出版社,1979:129:142. [2] 浙江大学编 . 概率论与数理统计 .4 版 . 北京 : 高等教育出版社 , 2009:60~67. [3] 王明慈,沈恒范主编.概率论与数理统计.北京:高等教育出版社, 2007:44~52. [4] 刘国旗.关于二元随机变量独立性的判定条件.安徽建筑工业学 院学报:自然科学版 2001,9(2):76~78.
n =1 ∞ n =1 n =1 ∞ ∞
（un±vn ） 收敛， 且Σ （un±vn ） =Σun±Σvn。 当把级数分成两
n =1 n =1 n =1 ∞
个或多个 （有限个） 收敛级数的和时， 注意一定要保证 Σun
n =1 ∞
推广：对于实数 a≠0,- 1， b 为任意实数，无穷级数Σ
n =1
与Σvn 均收敛。
∞
1.2 拆项法 主要适用于无穷级数的通项为分式，分式的分母是因 式之积的形式的级数。 1 和。 （n+1 ） n =1 n 解： 由于 un= 1 =1 - 1 ， n （n+1 ） n n+1 所以： sn=1- 1 + 1 - 1 +…+ 1 - 1 =1- 1 ， 2 2 3 n n+1 n+1 1 所以 s=lim sn=lim（1） =1. n→∞ n→∞ n+1 例 1： 求无穷级数的Σ
无穷级数求和的若干方法
陕西理工学院函授本科毕业论文题目无穷级数求和的若干方法学生姓名专业名称数学与应用数学无穷级数求和的若干方法摘 要：本文介绍了十种无穷级数求和的方法，并通过举例说明这些方法的应用.关键词：无穷级数；级数收敛；级数发散；求和无穷级数包括数项级数和函数项级数.它是表示函数性质的一个重要工具，也是对函数进行数值计算的一个重要手段.我们较常见到的无穷级数求和多为数项级数和幂级数的求和，无穷级数求和问题是无穷级数中的难点，因此这里给出的十种方法主要是针对上述两种级数，并通过例题讲述这些求和方法的应用.1 定义法[1]这是利用无穷级数和的定义来求级数和的一种方法，这种方法用于级数前n 项部分和数列比较好求的级数，在此我又把其分为以下三类.(1) 直接法：适用于1k k u ∞=∑为等差或等比级数或通过简单变换易化为这两种级数.例1 求级数()1121n n n q∞-=-∑的和，()1q <.解 ()2113521n n S q q n q -=++++- (1) n S 中各项的系数1、3、5、是公差为2的等差数列，(1)的两边同乘以q 得：()233521nn qS q q q n q =++++- (2)(1)－(2)得：()()211122221n n n q S q q q n q --=++++-- ()()211221n n q q q n q -=++++--()()1211211n n q q n q q--=+---()()()1221121111n nn q q q S n q qq --=+----- 因为1q <，所以()1121n n n q ∞-=-∑()()22121lim 111n n q qS q q q →∞+==+=---. (2) 拆项法：()()10011lim lim n n n n n n n n n a b b b b b b ∞∞-→∞→∞===-=-=-∑∑.例2 求级数1n ∞=的和.解n u==1n S n⎛=++++-⎝⎝1=即1n ∞=lim 1n n S →∞==.(3) 递推法：是利用问题本身所具有的递推关系来求解问题的一种方法. 例3 求级数211arctan2n n ∞=∑的和. 解 21111228arctan arctan arctanarctan 11283128S +=+==- 311121arctan arctan arctan arctan arctan 2818318S =++=+213318arctanarctan 2141318+==- 由数学归纳法可证： arctan 1n nS n =+πlim lim arctan arctan114n n n n S n →∞→∞===+, 故211arctan 2n n∞=∑π4=. 2 阿贝尔法[2]（即构造幂级数法）若级数0n n a ∞=∑收敛，则0n n a ∞=∑1lim nn x n a x -∞→==∑.由0n n a ∞=∑构造一个幂级数0n n n a x ∞=∑是很简单的，而幂级数的和函数可通过逐项微分或积分得到，故易得0n n a ∞=∑的和.例4 级数1212nn n ∞=-∑的和. 解 令()221212n n n n f x x ∞-=-=∑,x . 之所以这样构造幂级数,是为了消去系数中的因子()21n -.逐项积分()222101121122xxn n n n on n n f x dx x dx x ∞∞--==-==∑∑⎰⎰2112nn x x ∞=⎛⎫= ⎪⎝⎭∑ 22212212x xx x x ==--, 即()0xf x dx ⎰22xx =-. 上式两边对x 求导: ()()22222x f x x +=-,故1212n n n ∞=-∑=()()222112lim lim 32x x x f x x --→→+==-. 3 逐项微分法[2]由于幂函数在微分时可以产生一个常系数，这便为我们处理某些幂函数求和问题提供方法.当然从实质上讲，这是求和运算与求导（微分）运算交换次序问题，因而应当心幂级数的收敛区间（对后面的逐项积分法亦如此）.例5 级数()11nn x n n ∞=+∑ 的和函数()S x ，其中1x <.解 ()111111111n n n n n n n n x x x x n n n n n n ∞∞∞∞====⎛⎫=-=- ⎪+++⎝⎭∑∑∑∑ 令()11n n x S x n ∞==∑,()211nn x S x n ∞==+∑.由()111n n S x x ∞-='=∑11x =-,则()()101ln 11x S x dx x x ==---⎰;类似地()()()121111ln 1ln 111n n x S x x x x x n x x+∞===--+=---⎡⎤⎣⎦+∑, 故()()()()1211ln 11S x S x S x x x ⎛⎫=-=--+ ⎪⎝⎭.有时候，所求级数的通项为另一些函数的导数，而以这些函数为通项的级数易于求和，则可将这些函数逐项求导.例6 求级数()()21021n n n x ∞+=+∑的和函数，在区间()1,1-内.解()()21021n n n x∞+=+∑()()22121nn n n x n x x x∞∞+=='=+=∑∑210n n x x ∞+='⎛⎫= ⎪⎝⎭∑ ()()222220111n n x x x x x x x x x ∞=''+⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭-∑ . 4 逐项积分法同逐项微分法一样，逐项积分法也是级数求和的一种重要方法，这里当然也是运用函数积分时产生的常系数，而使逐项积分后的新级数便于求和.例7 求级数()()21021n n n x ∞+=+∑的和函数，这儿1x <.解 令()S x =()2021n n n x ∞=+∑,1x <.而()()22122211xxnn n n n n xS x dx n x dx xx x x∞∞∞+====+===-∑∑∑⎰⎰, 故()()2222111x x S x x x '+⎛⎫== ⎪-⎝⎭-, 则()()21021n n n x∞+=+∑=()()()22211x x xS x x +=-.5 逐项微分、积分有时在同一个级数求和式中既需要逐项微分,又需要逐项积分,这往往是将一个级数求和问题化为两个级数求和问题才会遇到.例8 求级数211nn n x n ∞=+∑的和函数，这儿1x <. 解 ()21111111111n n n n nn n n n n n n n x nx x n x x x n n n∞∞∞∞∞∞======+=+=+-+∑∑∑∑∑∑ ()0011111x x n n n n x n x dx x x n ∞∞==''⎡⎤⎡⎤=+-+⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦∑∑⎰⎰dx ()()2120112ln 11111x n n x x x x x dx x x x x x ∞+='-⎛⎫=-+=--- ⎪----⎝⎭∑⎰ ()()2ln 11xx x =--- ()1x <.6 通过函数展开法数项级数的求和也可通过函数幂级数或傅里叶级数展开后赋值而得到（当然它们常与幂级数逐项微分、积分技巧配合使用）.(1) 幂级数的赋值法：根据所给数项级数的特点构造一个容易求和的幂级数，在此幂级数的收敛域内有一点0x ，当0x x =时所得的常数项级数恰是要求和的级数.设所求级数的和为S ，幂级数的和为()S x ，则()0S S x =.例9 求级数113nn n ∞=∑的和. 解 作()1n n x S x n ∞==∑,由()1111n n S x x x ∞-='==-∑,则()()0ln 11xdxS x x x==---⎰()1x < 令13x =,则113nn n ∞=∑123ln 1ln ln 332⎛⎫=--=-= ⎪⎝⎭. (2) 傅里叶级数的赋值法：利用函数的傅里叶级数展开再赋值是求数项级数和的一个重要手段.例10 求级数()1211n n n +∞=-∑的和.解 把()22f x x =在[]π,π-上展成余弦级数π2200242ππ3a x dx ==⎰()π220282cos 1πn n a x nxdx n==-⎰ ()1,2,n = 00b =()1,2,n =()()22128π1cos 3n n f x nx n ∞==+-∑ ()ππx -≤≤令0x =,则 ()221280π13n n n ∞==+-∑,故()1211n n n +∞=-∑2π12=. 7 复数法[1]（三角级数求和法）这是求三角级数和常用的方法，为了求级数0cos n n a nx ∞=∑及0sin n n a nx ∞=∑的和，常把它们视为复数域内的幂级数0nn n a z ∞=∑（其中ixz e =）的实部和虚部.如果0nn n a z ∞=∑的和好求，则级数0cos n n a nx ∞=∑及级数0sin n n a nx ∞=∑的求和问题就已解决.例11 求级数1sin n nxn ∞=∑的和函数. 解 ()1111sin Im Im Im nix inxnn n n n e nx e z n n nn∞∞∞∞=======∑∑∑∑,其中ix z e =令()1nn z f z n∞==∑()1z < ()111111n n n n f z zz z z∞∞-=='===-∑∑, ()()()()ln 1ln 1ln 1cos isin ix f z z e x x =--=--=---sin ln 1cos isin i arctan 1cos x x x x -⎡⎤=---+⎢⎥-⎣⎦ ()1sin ln 22cos iarctan21cos xx x=--+-, 故1sin n nx n ∞=∑()sin πIm arctan arctan cot 1cos 22x x x f z x -⎛⎫==== ⎪-⎝⎭ ()02πx <<. 8 积分法(1) [2]积分概念实际上可视为无穷级数求和概念的拓广，但相对来说，定积分较无穷级数好处理，因而有些级数求和问题可化为定积分问题去考虑，但它与定积分的递推公式有关.例12 求级数()111n n n-∞=-∑的和.解 令101n n x I dx x =+⎰,考虑到111110011n n n n n x x I I dx x dx x n---++===+⎰⎰. 当01x ≤≤时，由于1n n x x -≤，故1n n I I -≤, 于是112n n n I I I n -≤+=，即12n I n ≤，又1121n n n I I I n +≥+=+， 即122n I n ≥+.综合上两式有11222n I n n≤≤+ ()1n ≥,故lim 0n n I →∞=.再者递推可有 ()()()11101111n n n n n I I n-∞--=-=---∑, (3)又()11000ln 1ln 21dxI x x==+=+⎰.将(3)式两边取极限()n →∞且0n I → 则()111n n n-∞=-∑()100lim 1ln 2n n n I I I -→∞⎡⎤=+-==⎣⎦.(2)[3]利用公式()()101111a bn x x dx n a n b b a x -∞=-=++--∑⎰，()a b ≠. 来求无穷级数的和，当a 、b 为非负整数时，利用此公式求级数的和特别简单，下面我们验证此公式的正确性.作函数()11n a n b n x x f x b a n a n b ++∞=⎛⎫=- ⎪-++⎝⎭∑ 1x <()()1111n a n b n f x x x b a ∞+-+-='=--∑111a b x x b a x x ⎛⎫=- ⎪---⎝⎭1x <由于()00f =，故()001111a b a bxx x x x x f x dx dx b a x b a x--==----⎰⎰. 而()()11n n a n b ∞=++∑()10lim x f x →-=,所以()()101111a b n x x dx n a n b b a x -∞=-=++--∑⎰. 例13 求级数()()1112n n n ∞=++∑的和.解 此级数与上面公式比较知1,2a b ==从而()()1112n n n ∞=++∑2101211x x dx x --=--⎰1012xdx ==⎰. 9 化为微分方程求解有些级数的和函数经过微分后，再与原来的级数作某种运算后，可以组成一个简单的微分方程，这样级数求和问题就化为微分方程的求解问题.例14 求()202!nn x n ∞=∑的和函数，()x -∞<<+∞.解 设()()202!n n x S x n ∞==∑,考虑到()()()21211021!21!n n n n x x S x n n -+∞∞=='==-+∑∑, 则()()()()2210002!21!!n n nx n n n x x x S x S x e n n n +∞∞∞==='+=+==+∑∑∑,于是()12dx dx x x xS x e e e dx C e Ce --⎛⎫⎰⎰=+=+ ⎪⎝⎭⎰.又()01S =，则12C =，这样可有 ()()12x xS x e e chx -=+=. 10 利用无穷级数的乘积[2]有些级数可视为两个无穷级数的乘积，这时便可将所求级数和问题化为先求两个级数积（当然它们应该好求），再计算它们的乘积，当然这基于下面的结论：若级数n a ∑与n b ∑均收敛，又n c ∑也收敛，其中0110n n n n c a b a b a b -=+++,则n n n c a b =⋅∑∑∑.若n a ∑,nb∑都收敛且至少其中之一绝对收敛，其中nc∑收敛于nna b ⋅∑∑.例15 求级数1111123n n x n ∞=⎛⎫++++ ⎪⎝⎭∑的和函数()S x ，其中1x <.11 解 考虑()00n n n n x a x ∞∞===∑∑为绝对收敛级数，且()100nn n n x b x n ∞∞==+=∑∑收敛，这里1x <.又()11111101123n n n n n n x x c x x x x x x n n n --⎛⎫=⋅+⋅++⋅+⋅=++++ ⎪-⎝⎭, 则()()()100n n nn n n c x a x b x ∞∞∞====⋅∑∑∑, 再由011nn x x ∞==-∑,()1ln 1n n x x n ∞==--∑, 故()()()()1ln 1ln 111n n x x S x c x x x ∞=--==-=--∑. 无穷级数求和的方法远不止这十种，还有待于继续探索和总结，有些求和问题用一种方法求解很麻烦，甚至不可能，它需要多种方法的灵活交错使用，有些题目则可以多种方法求解，比如例13用定义法求和也可以(拆项相消就可求出部分和),这就要求我们熟练掌握上述方法,根据具体的题型寻找简单可行的途径来求解.参考文献：[1] 陈文灯，黄先开，曹显兵，施明有．高等数学复习指导[M]．北京：清华大学出版社，2007：516-524．[2] 陈文灯，吴振奎，黄惠青．高等数学解题方法和技巧[M]．北京：中国财政经济出版社，2004：334-345．[3] 周翠莲，于兰芳．无穷级数求和的方法[J]．承德民族师专学报:自然科学版，1996，（2）：15-18．。
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探求无穷级数求和的几种常用方法
摘要 本文从几方面探求高等数学中无穷级数求和的几种常用方法。
关键词 高等数学；无穷级数；求和
无穷级数求和是高等数学的一个重要组成部分，它在函数的表达﹑研究函数
的性质﹑求函数值以及求解微分方程等都是非常有用的，而收敛级数的求和在级
数中占有很重要的位置。
设数列，称是无穷级数,作部分和数列..若极限存在，称级数收敛，和是s,;
若极限不存在，称级数发散.本文考虑在级数收敛时，如何求和?常用求和方法可
总结成以下几类：
1 利用级数收敛的定义求和
对于，先求出，再求极限。当极限存在且为s时，则。
例1 ：证明：级数
收敛，并求其和。
证明：级数的前项部分和
由于，所以级数收敛，其和是，即。
2 利用已知的级数的和，求其它级数的和
利用级数的四则运算和代数运算，将所求级数的和转化为已知的常用的级数
的和，可以求出一部分级数的和。例如：
其中C为尤拉常数，且。
例2：已知。求和。
解：因为所以。
3 利用错位相减法求和
对于级数，写出.用一个适当的数q乘以sn，再算出或，进而求出sn，再求
极限。
例3 ：证明级数收敛，并求其和。
证明：，两边乘以，再相加，得到，两边乘以，求出sn，再求极限.所以级数
收敛，和是。
4 利用幂级数的性质求和
幂级数或在收敛区间的和函数连续，可以逐项求积，逐项求导等，利用这些
性质可以求出一些级数的和。
例4： 求和。
解：级数的收敛域是.设和函数是s（x），即。
从0到x积分并逐项积分，得到
上式两边对x求导，得。
5 利用函数项级数的一致收敛性求和
当函数项级数在区间I上一致收敛且每一项都连续时，则和函数在I上连续，
在I上可以逐项求积﹑逐项求导等，利用这些性质可以求出一些级数的和或解决
与求和相关的问题。
例5：设级数收敛，求。
解：由阿贝尔判别法得知，级数在上一致收敛，由于级数的每一项在上连续，
所以。
6 利用傅立叶级数求和
对于以为周期或以为周期的函数f（x），当f（x）满足一定的条件时，f（x）
可以展开为付立叶级数，或
其中an,bn为f（x）的付立叶系数。
利用此结论，可以求出一些和。
参考文献
[1]华东师范大学.数学分析[M].北京：高等教育出版社，1989，6
[2]刘玉链，傅沛仁编.数学分析[M].北京：高等教育出版社，1992，7.