3第三章 流体运动学

第三章 流体运动学

3－1 已知流体质点的运动，由拉格朗日变数表示为 x =ae kt

，y =be -kt

，z =c ，式中k 是不为零的常数。试求流体质点的迹线、速度和加速度。

解：（1）由题给条件知，流体质点在z=c 的平面上运动，消去时间t 后，得

xy =ab

上式表示流体质点的迹线是一双曲线族：对于某一给定的（a ，b ）,则为一确定的双曲线。

（2）0kt kt x y z x y z u kae u kbe u t t t

-∂∂∂=

===-==∂∂∂，， （3）220y kt

kt x z x y z u u u a k ae a k be a t t t

-∂∂∂===

===∂∂∂，， 3－2 已知流体运动，由欧拉变数表示为u x =kx ，u y =－ky ，u z =0，式中k 是不为零的常

数。试求流场的加速度。

解：2d d x x x x x x x y z u u u u u

a u u u k x t t x y z ∂∂∂∂=

=+++=∂∂∂∂ 2d d y y u a k y t ==，d 0d z z u

a t

==

3－3 已知u x =yzt ，u y =zxt ，u z =0，试求t =1时流体质点在（1，2，1）处的加速度。 解：2()3m/s x x x x x x y z u u u u

a u u u yz zxt zt t x y z ∂∂∂∂=

+++=+=∂∂∂∂ 2()3m/s y y y y y x y z u u u u

a u u u zx yzt zt t x y z ∂∂∂∂=+++=+=∂∂∂∂

0z z z z z x y z u u u u

a u u u t x y z

∂∂∂∂=+++=∂∂∂∂

3－4 已知平面不可压缩液体的流速分量为u x =1－y ，u y =t 。试求（1）t =0时，过（0，

0）点的迹线方程；（2）t =1时，过（0，0）点的流线方程。 解：（1）迹线的微分方程式为

d d d d d d d d d d y x y x y

x y x y

t t t y u t t t u u u u ======，，，， 积分上式得：12

2C t y +=，当t=0时，y=0，C 1=0，所以

2

2t y =

(1)

2d d (1)d (1)d 2x t x u t y t t ==-=-，积分上式得：23

6

C t t x +-=

当t =0时，x =0，C 2=0，所以

6

3

t t x -

=

(2)

消去（1）、（2）两式中的t

，得x =有理化后得 023

49222

3=-+-x y y y

（2）流线的微分方程式为

d d d d d (1)d 1===--，即，x y x y x y t x y y u u y t

，积分上式得 C y y tx +-=)2(2

当t =1时，x =y =0，C =0，所以可得：)2

(12

y y t x -

=（为非恒定流） 3－5 已知u x ＝x ＋t ，u y ＝－y ＋t ，u z ＝0，试求t ＝2时，通过点A （－1，－1）的

流线，并与例3－3相比较。

解：由例3－3可得：()()x t y t C +-+=

当t =2，x =－1，y =－1，C =3。因此，通过点A （－1，－1）的流线为 3)2)(2(=+-+y x

上式不同于例3－3，即当t =0时通过A 点的流线为xy ＝1，说明不同时刻的流线不同。 3－6 试求例3－6流体运动的流线方程和流体质点通过点A （1，0）流线的形状。

解：例3－6流体运动如题3-6图所示 2

2y

x ky u x +-=

，22y x kx

u y += 流线方程：2222d ()d ()

x x y y x y ky kx -++=

2222d ()d ()0kx x x y ky y x y +++= 2222d

()()02k x y x y +?=

积分，得12

2)(2

C y x k =+，222)(C y x =+

圆心（0，0），半径2C R =。

当x =1，y =0，代入上式得C 2=1。（2

2

y x +）=1， 为一圆，因是恒定流，不同时间为同一圆。

3－7 已知2

2y x kyt u x +-

=，22y x kxt

u y

+=，z u =0，式中k 是不为零的常数。试求：（1）流线方程，（2）t =1时，通过点A （1，0）流线的形状，（3）将求得的流线方程与习题3－

6求得的流线方程相比较，它们有什么异同。

解：z u =0，为平面（二维）流动。

（1）流线方程 d d x y x y u u = 将x u 、y u 代入上式，得 2222

()d d x y x y x y kyt kxt

-++= 2222()d ()d x y x kxt

x y y kyt -+?+?

2222()d ()d 0x y kxt x x y kyt y +++=

22()(d d )0kt x y x x

y y +?=，22221

()d()02

kt x y x y ++=

积分得

2

21()2

kt x y C +=，流线方程一般形式：222()x y t C +=。题3-6图