2019年广东省高考文科数学一模试卷及答案解析

2019年广东省高考文科数学一模试卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．（5分）已知集合{|12}A x x =-<，{|1216}x B x =<<，则(A B =I ) A ．(,8)-∞

B ．(,3)-∞

C ．(0,8)

D ．(0,3)

2．（5分）复数5(1i z i i

=-为虚数单位）的虚部为( )

A ．12-

B ．12

C ．12

i -

D ．12

i

3．（5分）双曲线229161x y -=的焦点坐标为( ) A ．5

(12

±

，0) B ．5(0,)12

±

C ．(5,0)±

D ．(0,5)±

4．（5分）若33

sin()2πα+=

，则cos2(α= ) A ．12

-

B ．13-

C ．13

D ．

1

2

5．（5分）已知函数()f x 在(,)-∞+∞上单调递减，且当[2x ∈-，1]时，2()24f x x x =--，则关于x 的不等式()1f x <-的解集为( ) A ．(,1)-∞-

B ．(,3)-∞

C ．(1,3)-

D ．(1,)-+∞

6．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )

A ．3π

B ．4π

C ．6π

D ．8π

7．（5分）执行如图的程序框图，依次输入117x =，219x =，320x =，421x =，523x =，则输出的S 值及其统计意义分别是( )

A ．4S =，即5个数据的方差为4

B ．4S =，即5个数据的标准差为4

C ．20S =，即5个数据的方差为20

D ．20S =，即5个数据的标准差为20

8．（5分）ABC ?的内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知cos cos 1b b

C A c a

+=，

则cos B 的取值范围为( )

A ．1

(,)2

+∞

B ．1

[,)2

+∞

C ．1(2，1)

D ．1

[2，1)

9．（5分）已知A ，B ，C 三点不共线，且点O 满足161230OA OB OC --=u u u r u u u r u u u r r

，则( ) A ．123OA AB AC =+u u u r u u u r u u u r B ．123OA AB AC =-u u u r u u u r u u u r C ．123OA AB AC

=-+u u u r u u u r u u u r

D ．123OA AB AC =--u u u r u u u r u u u r

10．（5分）古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：将一线段AB 分为两线段AC ，CB ，使得其中较长的一段AC 是全长AB 与另一段CB 的比例中项，即满足

51

0.618AC BC AB AC -==≈．后人把这个数称为黄金分割数，把点C 称为线段AB 的黄金分割点在ABC ?中，若点P ，Q 为线段BC 的两个黄金分割点，在ABC ?内任取一点M ，则点M 落在APQ ?内的概率为( )

A 51

-B 52 C 51

-D 52

-

11．（5分）已知F 为抛物线2:4C x y =的焦点，直线1

12

y x =+与曲线C 相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则(OAB S ?= )

A

B

C

D

．12．（5分）函数()(2)f x kx lnx =-，()2g x lnx x =-，若()()f x g x <在(1,)+∞上的解集中恰有两个整数，则k 的取值范围为( ) A ．1[122ln -

，41

)33

ln - B ．1

(122

ln -

，41]33ln - C ．41[33ln -，1

2)22ln -

D ．41(33ln -，1

2]22

ln -

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上． 13．（5分）已知函数,1

(),1x lnx x f x e x >?=??

?，则(f f （2）)= ．

14．（5分）设x ，y 满足约束条件32110

2101

x y x y x +-??

--?????…，则2z x y =+的最大值为 ．

15．（5分）在三棱锥P ABC -中，AP ，AB ，AC

两两垂直，且AP AB AC ===三棱锥P ABC -的内切球的表面积为 ．

16．（5分）已知函数1()sin()(0)62

f x x πωω=++>，点P ，Q ，R 是直线(0)y m m =>与函

数()f x 的图象自左至右的某三个相邻交点，且32||||2

PQ QR π

==

，则m ω+= ． 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每道试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题：共60分．

17．（12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，1(*)n n S a n N =-∈． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设2log n n b a =，求数列1

1

{

}n n b b +的前n 项和n T ． 18．（12分）在五面体ABCDEF 中，四边形CDEF 为矩形，2224CD DE AD AB ====

，AC =30EAD ∠=?．

（1）证明：AB ⊥平面ADE ；

（2）求该五面体的体积．

19．（12分）某城市的公交公司为了方便市民出行，科学规划车辆投放，在一个人员密集流动地段增设一个起点站，为了研究车辆发车间隔时间x 与乘客等候人数y 之间的关系，经过调查得到如下数据： 间隔时间x （分钟） 10 11 12 13 14 15

等候人数y （人)

23 25 26 29 28 31

调查小组先从这6组数据中选取4组数据求线性回归方程，再用剩下的2组数据进行检验．检验方法如下：先用求得的线性回归方程计算间隔时间对应的等候人数?y

，再求?y 与实际等候人数y 的差，若差值的绝对值不超过1，则称所求方程是“恰当回归方程”．

（1）从这6组数据中随机选取4组数据后，求剩下的2组数据的间隔时间不相邻的概率； （2）若选取的是后面4组数据，求y 关于x 的线性回归方程???y

bx a =+，并判断此方程是否是“恰当回归方程”；

（3）为了使等候的乘客不超过35人，试用（2）中方程估计间隔时间最多可以设置为多少（精确到整数）分钟？

附：对于一组数据1(x ，1)y ，2(x ，2)y ，??，(n x ，)n y ，其回归直线???y

bx a =+的斜率和截距的最小二乘估计分别为：1

1

2

2

2

1

1

()()

?()n

n

i i

i

i i i n

n

i

i

i i x y

nxy

x

x y y b

x

nx x

x ====---==--∑∑∑∑，??a

y bx =-，4

1

1546i i

i x y

==∑．

20．（12分）已知点2)，2

(3)-都在椭圆2222:1(0)y x C a b a b

+=>>上．

（1）求椭圆C 的方程；

（2）过点(0,1)M 的直线l 与椭圆C 交于不同两点P ，Q （异于顶点），记椭圆与y 轴的两个交点分别为1A ，2A ，若直线1A P 与2A Q 交于点S ，证明：点S 恒在直线4y =上．

21．（12分）已知函数()2()x f x e ax a R =-∈

（1）若曲线()y f x =在0x =处的切线与直线220x y +-=垂直，求该切线方程； （2）当0a >时，证明2()44f x a a -+…

(二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程](10分)

22．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos 2sin x y θθ=??=?

，(θ为参数）已

知点(4,0)Q ，点P 是曲线l C 上任意一点，点M 为PQ 的中点，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．

（1）求点M 的轨迹2C 的极坐标方程；

（2）已知直线:l y kx =与曲线2C 交于A ，B 两点，若3OA AB =u u u r u u u r

，求k 的值．

[选修4-5：不等式选讲]

23．已知函数()||2|1|(0)f x x a x a =++->． （1）求()f x 的最小值；

（2）若不等式()50f x -<的解集为(,)m n ，且4

3

n m -=，求a 的值．

2019年广东省高考数学一模试卷（文科）

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．（5分）已知集合{|12}A x x =-<，{|1216}x B x =<<，则(A B =I ) A ．(,8)-∞

B ．(,3)-∞

C ．(0,8)

D ．(0,3)

【解答】解：Q 集合{|12}(,3)A x x =-<=-∞，{|1216}(0,4)x B x =<<= (0,3)A B ∴=I ．

故选：D ．

2．（5分）复数5(1i z i i

=-为虚数单位）的虚部为( )

A ．12-

B ．12

C ．12

i -

D ．12

i

【解答】解：541(1)11

111(1)(1)22i i i i i z i i i i i i ++=====-+----+Q ，

51i z i ∴=-的虚部为1

2

． 故选：B ．

3．（5分）双曲线229161x y -=的焦点坐标为( ) A ．5

(12

±

，0) B ．5(0,)12

±

C ．(5,0)±

D ．(0,5)±

【解答】解：双曲线2

2

9161x y -=的标准方程为：22

111916x y -

=， 可得13a =，1

4

b =

，512c =，

所以双曲线的焦点坐标为5

(0,)12

±．

故选：B ． 4．（5

分）若3sin()2πα+=

，则cos2(α= ) A ．12

-

B ．13-

C ．13

D ．

1

2

【解答】解：3sin()cos 2παα+=-，则21

cos22cos 13

αα=-=-， 故选：B ．

5．（5分）已知函数()f x 在(,)-∞+∞上单调递减，且当[2x ∈-，1]时，2()24f x x x =--，则关于x 的不等式()1f x <-的解集为( ) A ．(,1)-∞-

B ．(,3)-∞

C ．(1,3)-

D ．(1,)-+∞

【解答】解：[2x ∈-Q ，1]时，2()24f x x x =--； (1)1f ∴-=-；

()f x Q 在(,)-∞+∞上单调递减；

∴由()1f x <-得，()(1)f x f <-；

1x ∴>-；

∴不等式()1f x <-的解集为(1,)-+∞．

故选：D ．

6．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )

A ．3π

B ．4π

C ．6π

D ．8π

【解答】解：由三视图知，几何体是一个简单组合体，左侧是一个半圆柱，底面的半径是1，高为：4，

右侧是一个半圆柱，底面半径为1，高是2，

∴组合体的体积是：23

1232

ππ???=，

故选：A ．

7．（5分）执行如图的程序框图，依次输入117x =，219x =，320x =，421x =，523x =，则输出的S 值及其统计意义分别是( )

A ．4S =，即5个数据的方差为4

B ．4S =，即5个数据的标准差为4

C ．20S =，即5个数据的方差为20

D ．20S =，即5个数据的标准差为20

【解答】解：根据程序框图，输出的S 是117x =，219x =，320x =，421x =，523x =这5个数据的方差，

Q 1

(1719202123)205

x =++++=，

∴由方差的公式222221[(1720)(1920)(2020)(2120)(2320)]45

S =-+-+-+-+-=．

故选：A ．

8．（5分）ABC ?的内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知cos cos 1b b

C A c a

+=，

则cos B 的取值范围为( )

A ．1

(,)2+∞

B ．1

[,)2

+∞

C ．1

(2，1)

D ．1

[2

，1)

【解答】解：Q

cos cos 1b b

C A c a

+=， ∴由余弦定理可得：222222

122b a b c b b c a c ab a bc

+-+-+=g g ，化简可得：2b ac =，

由余弦定理可得；2222221

cos 2222

a c

b a

c ac ac ac B ac ac ac +-+--===…，

∴1cos 12B

cos [2

B ∈，1)． 故选：D ．

9．（5分）已知A ，B ，C 三点不共线，且点O 满足161230OA OB OC --=u u u r u u u r u u u r r ，则( ) A ．123OA AB AC =+u u u r u u u r u u u r B ．123OA AB AC =-u u u r u u u r u u u r C ．123OA AB AC

=-+u u u r u u u r u u u r

D ．123OA AB AC =--u u u r u u u r u u u r

【解答】解：由题意，可知：

对于:12312()3()12315A OA AB AC OB OA OC OA OB OC OA =+=-+-=+-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r

，

整理上式，可得： 161230OA OB OC --=u u u r u u u r u u u r r ，

这与题干中条件相符合， 故选：A ．

10．（5分）古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：将一线段AB 分为两线段AC ，CB ，使得其中较长的一段AC 是全长AB 与另一段CB 的比例中项，即满足

51

0.618AC BC AB AC -==≈．后人把这个数称为黄金分割数，把点C 称为线段AB 的黄金分割点在ABC ?中，若点P ，Q 为线段BC 的两个黄金分割点，在ABC ?内任取一点M ，则点M 落在APQ ?内的概率为( )

A 51

-B 52 C 51

-D 52

-【解答】解：设BC a =，

由点P，Q为线段BC的两个黄金分割点，

所以

51 BQ a

-

=，

51

CP a

-

=，

所以(52)

PQ BQ CP BC a

=+-=-，

::(52):52

APQ ABC

S S PQ BC a a

??

==-=-，

由几何概型中的面积型可得：

在ABC

?内任取一点M，则点M落在APQ

?内的概率为52

APQ

ABC

S

S

?

?

=-，

故选：B．

11．（5分）已知F为抛物线2

:4

C x y

=的焦点，直线

1

1

2

y x

=+与曲线C相交于A，B两点，

O为坐标原点，则(

OAB

S

?

=)

A

25

B

45

C5D．25

【解答】解：抛物线2

:4

C x y

=的焦点(0,1)，设

1

(A x，

1

)

y，

2

(B x，

2

)

y，

F

∴且倾斜角为60?的直线

1

1

2

y x

=+，

∴

2

1

1

2

4

y x

x y

?

=+

?

?

?=

?

，整理得：2240

x x

--=，

由韦达定理可知：

12

2

x x

+=，

12

3

y y

+=

由抛物线的性质可知：

12

||235

AB p y y

=++=+=，

点O到直线

1

1

2

y x

=+的距离d，

5

d．

∴则OAB

?的面积S，

1

||5

2

S AB d

=g g

故选：C．

12．（5分）函数()(2)

f x kx lnx

=-，()2

g x lnx x

=-，若()()

f x

g x

<在(1,)

+∞上的解集中恰有两个整数，则k的取值范围为()

A ．1[122ln -

，41)33

ln - B ．1

(122

ln -

，41]33ln - C ．41[33ln -，1

2)22ln -

D ．41(33ln -，1

2]22

ln -

【解答】解：当1x >时，0lnx >， 由()()f x g x <得(2)2kx lnx lnx x -<-， 即22x kx lnx -<-，即4x

kx lnx

<-， 设()4x h x lnx

=-

， 则22

1

1()()()lnx x lnx x h x lnx lnx --'=-

=-g

， 由()0h x '>得(1)0lnx -->得1lnx <，得1x e <<，此时()h x 为增函数， 由()0h x '<得(1)0lnx --<得1lnx >，得x e >，此时()h x 为减函数， 即当x e =时，()h x 取得极大值h （e ）44e

e lne

=-=-， 作出函数()h x 的图象，如图， 当1x →时，()h x →-∞， h （3）343ln =-

，h （4）424442ln ln =-=-，即3(3,4)3A ln -，2(4,4)2

B ln -， 当直线y kx =过A ，B 点时对应的斜率34413333A ln k ln -

=

=-，2

4121422

B

ln k ln -

==-，

要使()()f x g x <在(1,)+∞上的解集中恰有两个整数， 则对应的整数为2x =，和3x =， 即直线y kx =的斜率k 满足B B k k k

12233

k ln ln -

<-

?， 即实数k 的取值范围是1

(122

ln -，41]33ln -， 故选：B ．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上． 13．（5分）已知函数,1

(),1x lnx x f x e x >?=??

?，则(f f （2）)= 2 ．

【解答】解：f （2）2ln =，(f f ∴（2）2)(2)2ln f ln e ===． 故答案为：2．

14．（5分）设x ，y 满足约束条件32110

2101x y x y x +-??

--?????…，则2z x y =+的最大值为 7 ．

【解答】解：画出x ，y 满足约束条件321102101

x y x y x +-??

--?????…表示的平面区域，

如图所示，

由32110210x y x y +-=??--=?

，解得点(3,1)A ，

结合图形知，直线20x y z +-=过点A 时， 2z x y =+取得最大值为2317?+=．

故答案为：7．

15．（5分）在三棱锥P ABC -中，AP ，AB ，AC 两两垂直，且3AP AB AC ===，则三棱锥P ABC -的内切球的表面积为 (423)π- ． 【解答】解：如图，

由AP ，AB ，AC 两两垂直，且3AP AB AC ==6PB PC BC ===

∴13233

62PBC S ?=

=

， 设三棱锥P ABC -的内切球的半径为r ，

利用等体积可得：111133

333(3333232r ?=??，

解得31r -=

∴三棱锥P ABC -的内切球的表面积为2

314(

)(423)S ππ-=?=-． 故答案为：(43)π-．

16．（5分）已知函数1

()sin()(0)62

f x x πωω=++>，点P ，Q ，R 是直线(0)y m m =>与函

数()f x 的图象自左至右的某三个相邻交点，且32||||2PQ QR π==

，则m ω+= 179

． 【解答】解：函数1()sin()(0)62f x x πωω=++>，由32||||2PQ QR π==，解得3||4

PQ π

=，

9||||4

T PQ QR π

∴=+=

，228994

T ππωπ∴=

==， 设0(P x ，)m ，则0(2T

Q x -，)m ，0(R T x +，)m ，

0||22T PQ x ∴=

-，0||22

T

QR x =+， 002(2)222

T T

x x ∴-=+，

解得031216

T x π

=

=

， 83111

sin()1916222m π∴=?+=+=，

817199m ω∴+=

+=． 故答案为：

17

9

． 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每道试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题：共60分．

17．（12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，1(*)n n S a n N =-∈． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设2log n n b a =，求数列1

1

{

}n n b b +的前n 项和n T ． 【解答】解：（1）数列{}n a 的前n 项和为n S ，1(*)n n S a n N =-∈①． 当1n =时， 解得：11

2

a =

， 当2n …时，111n n S a --=-．② ①-②得：12n n a a -=， 所以：

11

2

n n a a -=（常数）

， 故：数列{}n a 是以

12为首项，1

2

为公比的等比数列． 则：1111()()222

n n

n a -==g （首项符合通项）

，

所以：1

()2n n a =．

（2

）由于：1

()2

n n a =，

则：2log n n b a n ==-． 所以：1(1)n b n +=-+， 则：

11111

(1)1

n n b b n n n n +==-

++， 故：11111122311

n n

T n n n =-

+-+?+-=

++． 18．（12分）在五面体ABCDEF 中，四边形CDEF 为矩形，2224CD DE AD AB ====，25AC =，30EAD ∠=?．

（1）证明：AB ⊥平面ADE ； （2）求该五面体的体积．

【解答】解：（1）证明：因为2AD =，4DC =，25AC = 所以222AD DC AC +=， 所以AD CD ⊥， 又四边形CDEF 为矩形， 所以CD DE ⊥， 所以CD ⊥面ADE ， 所以EF ⊥面ADE ，

由线面平行的性质定理得：//AB EF ， 所以AB ⊥面ADE

（2）几何体补形为三棱柱，2DE =，2AD =，2AB =，30EAD ∠=?．可得E 到底面ABCD 的距离为：2sin 603?=，

该五面体的体积为棱柱的体积减去三棱锥F BCH -的体积， 可得11123

10322sin120422343232?????+????=-=

．

19．（12分）某城市的公交公司为了方便市民出行，科学规划车辆投放，在一个人员密集流动地段增设一个起点站，为了研究车辆发车间隔时间x 与乘客等候人数y 之间的关系，经过调查得到如下数据： 间隔时间x （分钟） 10 11 12 13 14 15

等候人数y （人)

23 25 26 29 28 31

调查小组先从这6组数据中选取4组数据求线性回归方程，再用剩下的2组数据进行检验．检验方法如下：先用求得的线性回归方程计算间隔时间对应的等候人数?y

，再求?y 与实际等候人数y 的差，若差值的绝对值不超过1，则称所求方程是“恰当回归方程”．

（1）从这6组数据中随机选取4组数据后，求剩下的2组数据的间隔时间不相邻的概率； （2）若选取的是后面4组数据，求y 关于x 的线性回归方程???y

bx a =+，并判断此方程是否是“恰当回归方程”；

（3）为了使等候的乘客不超过35人，试用（2）中方程估计间隔时间最多可以设置为多少（精确到整数）分钟？

附：对于一组数据1(x ，1)y ，2(x ，2)y ，??，(n x ，)n y ，其回归直线???y

bx a =+的斜率和截距的最小二乘估计分别为：1

1

2

2

2

1

1

()()

?()n

n

i i

i

i i i n

n

i

i

i i x y

nxy

x

x y y b

x

nx x

x ====---==--∑∑∑∑，??a

y bx =-，

4

1

1546i i

i x y

==∑．

【解答】解：（1）设“从这6组数据中随机选取4组数据后，剩下的2组数据不相邻”为事件A ，

记这六组数据分别为1，2，3，4，5，6，

剩下的两组数据的基本事件有12，13，14，15，16，23，24，25，26，34，35，36，45，46，56，共15种，

其中相邻的有12，23，34，45，56，共5种， 所以52

()1153

P A =-

=． （2）后面4组数据是：

因为1213141526292831

13.5,28.544

x y ++++++=

===，

4

421

1

1546,734i i

i i i x y

x ====∑∑，

所以1

222

1

27571546422? 1.427

73442

n

i i

i n

i

i x y

nxy

b

x

nx

==--?

?

===--?

∑∑，??28.5 1.413.59.6a y bx =-=-?=， 所以? 1.49.6y

x =+． 当

10x =时，? 1.4109.623.6,23.6

230.61y

=

?+=-=<， 当11x =时，? 1.4119.625,252501y

=?+=-=<， 所以求出的线性回归方程是“恰当回归方程”． （3）由1.49.635x +?，得1187

x ?，

故间隔时间最多可设置为18分钟．

20．（12分）已知点，都在椭圆2222:1(0)y x C a b a b

+=>>上．

（1）求椭圆C 的方程；

（2）过点(0,1)M 的直线l 与椭圆C 交于不同两点P ，Q （异于顶点），记椭圆与y 轴的两个交点分别为1A ，2A ，若直线1A P 与2A Q 交于点S ，证明：点S 恒在直线4y =上．

【解答】解：（1）由题意可得22

22

2113112a b a b ?+=????+=??，解得24a =，22b =，

故椭圆C 的方程为22

142

y x +=．

证明：（2）易知直线l 的斜率存在且不为0，设过点(0,1)M 的直线l 方程为1y kx =+，(0)k ≠，1(P x ，1)y ，2(Q x ，2)y ，

由221

142y kx y x =+??

?+

=??，消y 可得22(2)230k x kx ++-=，

12222k x x k ∴+=-

+，122

3

2

x x k =-+， 1(0,2)A Q ，2(0,2)A -，

∴直线1A P 的方程为111112121

22()2y kx y x x k x x x x -+-=

+=+=-+g ， 则直线2A Q 的方程为222

23

2()2y y x k x x +=-=+-， 由1

2

1

()23()2

y k x x y k x x ?

=-+???

?=+-??

，消x 可得1212

32k x y y k x -

-=

++， 整

理

可

得

22

1212121212121212121212

324646246()4(3)46()224443333k

k kx x x x kx x x x x x kx x x x k k y x x x x x x x x -+?+--+++-+++===+=

+=++++g ，

直线1A P 与2A Q 交于点S ，则点S 恒在直线4y =上

21．（12分）已知函数()2()x f x e ax a R =-∈

（1）若曲线()y f x =在0x =处的切线与直线220x y +-=垂直，求该切线方程； （2）当0a >时，证明2()44f x a a -+… 【解答】（1）解：()2x f x e a '=-， (0)122f a '=-=，解得：12

a =-，

()x f x e x ∴=+，则(0)1f =．

∴切线方程为112

y x =-+；

（2）证明：()2x f x e a '=-，由()20x f x e a '=-=，解得2x ln a =．

∴当(,2)x ln a ∈-∞时，()0f x '<，当(2,)x ln a ∈+∞时，()0f x '>．

()f x ∴在(,2)ln a -∞上单调递减，在(2,)ln a +∞上单调递增．

2()(2)22222ln a min f x f ln a e aln a a aln a ∴==-=-．

令g （a ）22222442222(0)a aln a a a a a aln a a =-+-=-->．

要证g （a ）0…，即证120a ln a --…

， 令h （a ）12a ln a =--，则h '（a ）11

1a a a

-=-

=

， 当(0,1)a ∈时，h '（a ）0<，当(1,)a ∈+∞时，h '（a ）0>，

h ∴（a ）h …

（1）0=，即120a ln a --…． 2()44f x a a ∴-+…．

(二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一

题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程](10分)

22．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos 2sin x y θ

θ=??=?

，(θ为参数）已

知点(4,0)Q ，点P 是曲线l C 上任意一点，点M 为PQ 的中点，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．

（1）求点M 的轨迹2C 的极坐标方程；

（2）已知直线:l y kx =与曲线2C 交于A ，B 两点，若3OA AB =u u u r u u u r

，求k 的值．

【解答】解：（1）消去θ得曲线1C 的普通方程为：224x y +=，

设(,)M x y 则(24,2)P x y -在曲线1C 上，所以22(24)(2)4x y -+=，即22(2)1x y -+=，即

22430x y x +-+=，

2C 轨迹的极坐标方程为：24cos 30ρρθ-+=．

（2）如图：取AB 的中点M ，连CM ，CA ，

在直角三角形CMA 中，222211

()124

CM CA AB AB =

-=-，①

在直角三角形CMO 中，22222749

4()424

CM OC OM AB AB =-=-=-，②

由①②得12AB =

，7

4

OM ∴=，15CM =，

15

15

474

CM k OM ===

．