2019版高考数学一轮总复习第五章平面向量与复数题组训练30平面向量基本定理及坐标运算理
高考数学一轮复习平面向量的基本定理
2019高考数学一轮复习平面向量的基本定理平面向量是在二维平面内既有方向又有大小的量，下面是平面向量的基本定理，希望对考生有帮助。
三种形式平面向量有三种形式，字母形式、几何形式、坐标形式。
字母形式要注意带箭头，多考虑几何形式画图解题，特别是能得到特殊的三角形和四边形的情况，向量的坐标和点的坐标不要混淆，向量的坐标是其终点坐标减始点坐标，特殊情况下，若始点在原点，则向量的坐标就是终点坐标。
选择合适的向量形式解决问题是解题的一个关键，优先考虑用几何形式画图做，然后是坐标形式，最后考虑字母形式的变形运算。
四种运算加、减、数乘、数量积。
前三种运算是线性运算，结果是向量(0乘以任何向量结果都是零向量，零向量乘以任何实数都是零向量);数量积不是线性运算，结果是实数(零向量乘以任何向量都是0)。
线性运算符合所有的实数运算律，数量积不符合消去律和结合律。
向量运算也有三种形式：字母形式、几何形式和坐标形式。
加减法的字母形式注意首尾相接和始点重合。
数量积的字母形式公式很重要，要能熟练灵活的使用。
加减法的几何意义是平行四边形和三角形法则，数乘的几何意义是长度的伸缩和方向的共线，数量积的几何意义是一个向量的模乘以另一个向量在第一个向量方向上的射影的数量。
向量的夹角用尖括号表示，是两向量始点重合或者终点重合时形成的角，首尾相接形成的角为向量夹角的补角。
射影数量有两种求法：1、向量的模乘以夹角余弦;2、两向量数量积除以另一向量的模。
加减法的坐标形式是横纵坐标分别加减，数乘的坐标形式是实数乘以横、纵坐标，数量积的坐标形式是横坐标的乘积加纵坐标的乘积。
两个定理(1) 共线向量定理：两向量共线(平行)等价于两个向量满足数乘关系(与实数相乘的向量不是零向量)，且数乘系数唯一。
用坐标形式表示就是两向量共线则两向量坐标的“内积等于外积”。
此定理可以用来证向量平行或者使用向两平行的条件。
此定理的延伸是三点共线!三点共线可以向两个向量的等式转化：1、三个点中任意找两组点构成的两个向量共线，满足数乘关系;2、以同一个点为始点、三个点为终点构造三个向量，其中一个可由另外两个线性表示，且系数和为1。
浙江专用2019版高考数学大一轮复习第五章5.2平面向量基本定理及向量的坐标表示课件
1-������ ������ 1 ������ 1-������ ������
关闭
·������������(λ>1,μ>1),所以 m=- ,n=������
������
1-������ ������
,则 m+n=- −
������
关闭
������
关闭
设 D(x, y), 则由������������ = ������������, 得(4,1)=(5-x,6-y), 4 = 5-������, ������ = 1, 即 解得 ������ = 5. 1 = 6-������, (1,5)
解析
关闭
答案
-7知识梳理 双击自测
3.下列向量组能够作为基底表示向量a=(-2,3)的序号 是 . ①(2,1),(-4,-2);②(0,1),(1,2);③(1,4),(2,5)
解析 答案
-9知识梳理 双击自测
5.已知向量a=(x,y),b=(-1,2),且a+b=(1,3),则|a-2b|等于
.
关闭
因为 a+b=(1,3), b=(-1,2), 故 a=(2,1). 所以 a-2b=(4, -3), 故|a-2b|= 42 + 32=5. 5
解析
关闭
答案
-10知识梳理 双击自测
对点训练(1)(2017四川七中三诊)设D为△ABC中BC边上的中点, 且O为AD边上靠近点A的三等分点,则( )
A.������������=-6 ������������ + 6 ������������ C.������������ = ������������ − ������������
2019-2020年高考数学一轮总复习第五章平面向量与复数题组训练31平面向量的数量积理
且|O→A| ＝ |A→B| ，则向量 C→A在向量 C→B方向上的投影为 (
)
1
3
A. 2
B．－ 2
1
3
C．－ 2
D. 2
答案 D
解析 因为 2A→O＝A→B＋ A→C，所以 A→B－→AO＋ (A→C－ A→O) ＝ 0，即 O→B＝－ O→C，即外接圆的圆心 O 为
BC的中点，所以△ ABC是以 BC为斜边的直角三角形．
＝[ λ A→B＋ (1 － λ )A→C] ·（A→B＋ A→C) ＝ 4＋ A→B· A→C＝ 6. 故选 B.
11．(xx ·河南鹤壁高级中学段考 ) 如图， BC， DE是半径为 1 的圆 O的两条直径， B→F＝ 2→FO，
则F→D· F→E等于 (
)
3 A．－ 4
8 B．－ 9
1 C．－ 4
C； P→1P2与 P→1P6的夹角为
2 π，故其数量积小
3
于 0，可排除 D；设正六边形的边长是
a
，则
→ P1P2
·P→1P3＝
→ |P 1P2||P
→ 1P3|cos30
°＝
3 2a
2，P→1P2·
→ P1P4
＝|P→1P2||P →1P4|cos60 °＝ a2. 故选 A.
8．(xx ·河南高中毕业年级考前预测 ) △ABC 的外接圆的圆心为 O，半径为 1，2→AO＝ A→B＋ A→C，
C 由 a＝(1 ， 2) ，可得 a2＝ | a| 2＝ 12＋ 22＝ 5.
∵| a－ b| ＝ 2 5，∴ a2－2a· b＋ b2＝20. ∴5－2×5＋ b2＝20. ∴ b2＝25. ∴｜b| ＝ 5，故选 C.
核按钮(新课标)高考数学一轮复习 第五章 平面向量与复数训练 文
第五章平面向量与复数考纲链接1.平面向量(1)平面向量的实际背景及基本概念①了解向量的实际背景．②理解平面向量的概念和两个向量相等的含义．③理解向量的几何表示．(2)向量的线性运算①掌握向量加法、减法的运算，理解其几何意义．②掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义．③了解向量线性运算的性质及其几何意义．(3)平面向量的基本定理及坐标表示①了解平面向量的基本定理及其意义．②掌握平面向量的正交分解及其坐标表示．③会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算．④理解用坐标表示的平面向量共线的条件．(4)平面向量的数量积①理解平面向量数量积的含义及其物理意义．②了解平面向量的数量积与向量投影的关系．③掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算．④能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系．(5)向量的应用①会用向量方法解决某些简单的平面几何问题．②会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题．2．数系的扩充和复数的引入(1)理解复数的基本概念，理解复数相等的充要条件．(2)了解复数的代数表示法及其几何意义．(3)能进行复数代数形式的四则运算，了解两个具体复数相加、相减的几何意义．§5.1 平面向量的概念及线性运算1．向量的有关概念(1)向量：既有____________又有____________的量叫做向量，向量的大小，也就是向量的____________(或称模).AB→的模记作____________．(2)零向量：____________的向量叫做零向量，其方向是________的．(3)单位向量：长度等于__________________的向量叫做单位向量.a||a是一个与a同向的____________．－a|a|是一个与a________的单位向量．(4)平行向量：方向________或________的________向量叫做平行向量．平行向量又叫____________，任一组平行向量都可以移到同一直线上．规定：0与任一向量____________．(5)相等向量：长度____________且方向____________的向量叫做相等向量．(6)相反向量：长度____________且方向____________的向量叫做相反向量．(7)向量的表示方法：用________表示；用____________表示；用________表示．2．向量的加法和减法(1)向量的加法①三角形法则：以第一个向量a的终点A为起点作第二个向量b，则以第一个向量a的起点O为________以第二个向量b的终点B为________的向量OB→就是a与b的________(如图1)．推广：A1A2→＋A2A3→＋…＋A n－1A n＝____________.图1 图2②平行四边形法则：以同一点A为起点的两个已知向量a，b为邻边作▱ABCD，则以A为起点的__________就是a与b的和(如图2)．在图2中，BC→＝AD→＝b，因此平行四边形法则是三角形法则的另一种形式．③加法的运算性质：a ＋b ＝____________(交换律)；(a ＋b )＋c ＝____________(结合律)； a ＋0＝____________＝a . (2)向量的减法已知向量a ，b ，在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则BA →＝____________，即a －b 表示从向量b 的终点指向向量a (被减向量)的终点的向量(如图)．3．向量的数乘及其几何意义(1)定义：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作____________，它的长度与方向规定如下：①||λa ＝____________；②当λ>0时，λa 与a 的方向____________； 当λ<0时，λa 与a 的方向____________； 当λ＝0时，λa ＝____________. (2)运算律：设λ，μ∈R ，则： ①λ(μa )＝____________； ②(λ＋μ)a ＝____________； ③λ(a ＋b )＝____________. 4．两个向量共线定理向量a (a ≠0)与b 共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得____________．自查自纠： 1．(1)大小 方向 长度 ||AB → (2)长度为0 任意(3)1个单位长度 单位向量 方向相反 (4)相同 相反 非零 共线向量 平行 (5)相等 相同 (6)相等 相反 (7)字母 有向线段 坐标2．(1)①起点 终点 和 A 1A n → ②对角线AC →③b ＋a a ＋(b ＋c ) 0＋a (2)a －b3．(1)λa ①|λ||a | ②相同 相反 0 (2)①μ(λa ) ②λa ＋μa ③λa ＋λb 4．b ＝λa设a 0为单位向量，①若a 为平面内的某个向量，则a ＝|a |a 0；②若a 与a 0平行，则a ＝|a |a 0；③若a 与a 0平行且|a |＝1，则a ＝a 0.上述命题中，假命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解：向量是既有大小又有方向的量，a 与|a |a 0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a 与a 0平行，则当a 为零向量时，a 的方向任意；当a 不为零向量时，a 与a 0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a ＝－|a |a 0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3.故选D.设D 为△ABC 所在平面内一点，BC →＝3CD →，则( )A.AD →＝－13AB →＋43AC →B.AD →＝13AB →－43AC →C.AD →＝43AB →＋13AC →D.AD →＝43AB →－13AC →解：AD →＝AC →＋CD →＝AC →＋13BC →＝AC →＋13(AC →－AB →)＝－13AB →＋43AC →.故选A. (2015·湖北联考)已知O ，A ，B 是平面上的三个点，直线AB 上有一点C ，满足2AC →＋CB →＝0，则OC →等于( )A ．2OA →－OB → B ．－OA →＋2OB → C.23OA →－13OB → D ．－13OA →＋23OB → 解：由2AC →＋CB →＝0得2OC →－2OA →＋OB →－OC →＝0，故OC →＝2OA →－OB →.故选A.(2015·北京)在△ABC 中，点M ，N 满足AM →＝2MC →，BN →＝NC →.若MN →＝xAB →＋yAC →，则x ＝________，y ＝________．解：在△ABC 中，MN →＝AN →－AM →＝12(AB →＋AC →)－23AC →＝12AB →－16AC →，所以x ＝12，y ＝－16.故填12；－16. (2015·全国)设向量a ，b 不平行，向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则实数λ＝________．解：由于λa ＋b 与a ＋2b 平行，且a ＋2b ≠0，∴存在唯一的实数μ∈R ，使得λa ＋b ＝μ(a ＋2b )，即(λ－μ)a ＋(1－2μ)b ＝0.∵a ，b 不平行， ∴⎩⎪⎨⎪⎧λ－μ＝0，1－2μ＝0，解得λ＝μ＝12.故填12.类型一 向量的基本概念给出下列命题： ①若|a |＝|b |，则a ＝b ；②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则“AB →＝DC →”是“四边形ABCD 为平行四边形”的充要条件；③若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ；④a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b .其中正确命题的序号是________．解：①不正确．两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同．②正确．∵AB →＝DC →，∴|AB →|＝|DC →|且AB →∥DC →，又∵A ，B ，C ，D 是不共线的四点，∴四边形ABCD 为平行四边形；反之，若四边形ABCD 为平行四边形，则AB →∥DC →且|AB →|＝|DC →|，可得AB →＝DC →.故“AB →＝DC →”是“四边形ABCD 为平行四边形”的充要条件．③正确．∵a ＝b ，∴a ，b 的长度相等且方向相同；又b ＝c ，∴b ，c 的长度相等且方向相同，∴a ，c 的长度相等且方向相同，故a ＝c .④不正确．由a ＝b 可得|a |＝|b |且a ∥b ；由|a |＝|b |且a ∥b 可得a ＝b 或a ＝－b ，故“|a |＝|b |且a ∥b ”不是“a ＝b ”的充要条件，而是必要不充分条件．综上所述，正确命题的序号是②③.故填②③.点拨：(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性．(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关．(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．解题时，不要把它与函数图象的移动混为一谈．(4)非零向量a 与a |a |的关系：a|a |是a方向上的单位向量．下列命题中，正确的是________．(填序号)①有向线段就是向量，向量就是有向线段； ②向量a 与向量b 平行，则a 与b 的方向相同或相反；③向量AB →与向量CD →共线，则A ，B ，C ，D 四点共线；④如果a ∥b ，b ∥c ，那么a ∥c ；⑤两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小．解：①不正确，向量可以用有向线段表示，但向量不是有向线段，有向线段也不是向量；②不正确，若a 与b 中有一个为零向量，零向量的方向是任意的，故两向量方向不一定相同或相反；③不正确，共线向量所在的直线可以重合，也可以平行；④不正确，如果b 为零向量，则a 与c 不一定平行；⑤正确，向量既有大小，又有方向，不能比较大小；向量的模均为实数，可以比较大小．故填⑤.类型二 向量的线性运算(1) 在△ABC 中，AB 边上的高为CD ，若CB →＝a ，CA →＝b ，a ·b ＝0，|a |＝1，|b |＝2，则AD →＝( )A.13a －13bB.23a －23bC.35a －35bD.45a －45b 解：∵a ·b ＝0，∴∠ACB ＝90°，∴AB ＝5，CD ＝255，∴BD ＝55，AD ＝455.∴AD →＝45AB →＝ 45(CB→－CA →)＝45a －45b .故选D.(2)在△ABC 中，AB →＝c ，AC →＝b ，若点D 满足BD →＝2DC →，则AD →等于( )A.23b ＋13cB.53c －23bC.23b －13cD.13b ＋23c 解：∵BD →＝2DC →，∴AD →－AB →＝2(AC →－AD →)，∴3AD →＝2AC →＋AB →，∴AD →＝23AC →＋13AB →＝23b ＋13c .故选A.点拨：(1)解题的关键在于搞清构成三角形的三个向量间的相互关系，能熟练地找出图形中的相等向量，并能熟练运用相反向量将加减法相互转化．(2)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧是：①观察各向量的位置；②寻找相应的三角形或多边形；③运用法则找关系；④化简结果．(1)(2015·福建模拟)在△ABC 中，AD→＝2DC →，BA →＝a ，BD →＝b ，BC →＝c ，则下列等式成立的是( )A ．c ＝2b －aB ．c ＝2a －bC ．c ＝3a 2－b 2D ．c ＝3b 2－a 2解：因为在△ABC 中，BC →＝BD →＋DC →＝BD →＋ 12AD→＝BD →＋12(BD →－BA →)＝32BD →－12BA →，所以c ＝32b －12a .故选D.(2)(2014·全国Ⅰ)设D ，E ，F 分别为△ABC的三边BC ，CA ，AB 的中点，则EB →＋FC →＝( )A.AD →B.12AD →C.BC →D.12BC →解：EB →＋FC →＝12(AB →＋CB →)＋12(AC →＋BC →)＝12(AB →＋AC →)＝AD →.故选A. 类型三 向量共线的充要条件及其应用已知A ，B ，C 是平面内三个不相同的点，O 是平面内任意一点，求证：向量OA →，OB →，OC →的终点A ，B ，C 共线的充要条件是存在实数λ，μ，使得OC →＝λOA →＋μOB →，且λ＋μ＝1.证明：(1)先证必要性．若OA →，OB →，OC →的终点A ，B ，C 共线，则AB →∥BC →，∴存在实数m 使得BC →＝mAB →，即OC →－OB →＝m (OB →－OA →)， ∴OC →＝－mOA →＋(1＋m )OB →. 令λ＝－m ，μ＝1＋m ，则λ＋μ＝－m ＋1＋m ＝1， 即存在实数λ，μ，使得OC →＝λOA →＋μOB →，且λ＋μ＝1.(2)再证充分性．若OC →＝λOA →＋μOB →，且λ＋μ＝1， 则OC →＝λOA →＋(1－λ)OB →， ∴OC →－OB →＝λ(OA →－OB →)，即BC →＝λBA →，∴BC →∥BA →，又BC 与BA 有公共点B ，∴A ，B ，C 三点共线．综合(1)(2)可知，原命题成立． 点拨： 证明三点A ，B ，C 共线，借助向量，只需证明由这三点A ，B ，C 所组成的向量中有两个向量共线，即证明存在一个实数λ，使AB →＝λBC →.但证明两条直线AB ∥CD ，除了证明存在一个实数λ，使AB →＝λCD →外，还要说明两直线不重合．注意：本例的结论可作定理使用． (1)已知向量a ，b ，且AB →＝a ＋2b ，BC→＝－5a ＋6b ，CD →＝7a －2b ，则一定共线的三点是( )A ．A ，B ，D B ．A ，B ，C C ．B ，C ，D D ．A ，C ，D解：BD →＝BC →＋CD →＝(－5a ＋6b )＋(7a －2b )＝ 2a ＋4b ＝2(a ＋2b )＝2AB →，∴A ，B ，D 三点共线．故选A.(2)设两个非零向量a 与b 不共线，若k a ＋b 和a ＋k b 共线，则实数k ＝________.解：∵k a ＋b 和a ＋k b 共线，∴存在实数λ，使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )，即k a ＋b ＝λa ＋λk b .∴(k －λ)a ＝(λk －1)b .∵a ，b 是两个不共线的非零向量，∴k － λ＝λk －1＝0，∴k 2－1＝0.∴k ＝±1.故填±1.(3)(2015·南京模拟)如图，经过△OAB 的重心G 的直线与OA ，OB 分别交于点P ，Q ，设OP →＝mOA →，OQ→＝nOB →，m ，n ∈R ，则1n ＋1m 的值为________．解法一：∵G 是△OAB 的重心，∴OG →＝13(OA →＋OB →)＝13m OP →＋13n OQ →.由P ，G ，Q 三点共线可得， 13m ＋13n＝1，故1m ＋1n ＝3. 解法二：设OA →＝a ，OB →＝b ，由题意知OG →＝23×12(OA →＋OB →)＝13(a ＋b )，PQ →＝OQ →－OP →＝n b －m a ， PG →＝OG →－OP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－m a ＋13b .由P ，G ，Q 三点共线得，存在实数λ，使得PQ →＝λPG →，且λ≠0，即 n b －m a ＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫13－m a ＋13λb ，从而⎩⎪⎨⎪⎧－m ＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫13－m ，n ＝13λ，消去λ得1n ＋1m＝3.故填3.1．准确理解向量的概念，请特别注意以下几点： (1)a ∥b ，有a 与b 方向相同或相反两种情形；(2)向量的模与数的绝对值有所不同，如|a |＝|b |⇒/a ＝±b ； (3)零向量的方向是任意的，并不是没有，零向量与任意向量平行；(4)对于任意非零向量a ，a||a 是与a 同向的单位向量，这也是求单位向量的方法； (5)向量平行，其所在直线不一定平行，两向量还可能在一条直线上；(6)只要不改变向量a 的大小和方向，可以自由平移a ，平移后的向量与a 相等，所以线段共线与向量共线是有区别的，当两向量共线且有公共点时，才能得出线段共线，向量的共线与向量的平行是一致的．2．向量具有大小和方向两个要素，既能像实数一样进行某些运算，又有直观的几何意义，是数与形的完美结合．向量是一个几何量，因此，在研究向量的有关问题时，一定要结合图形进行分析、判断，这是研究平面向量最重要的方法与技巧．3．向量加法的三角形法则可简记为“首尾相接，指向终点”；减法法则可简记为“起点重合，指向被减向量”；加法的平行四边形法则可简记 “起点重合，指向对角顶点”．4．平面向量的三种线性运算的结果仍为向量，在三种线性运算中，加法是最基本、最重要的运算，减法运算与数乘运算都以加法运算为基础，都可以归结为加法运算．5．对于两个向量共线定理(a (a ≠0)与b 共线⇔存在唯一实数λ使得b ＝λa )中条件“a ≠0”的理解：(1)当a ＝0时，a 与任一向量b 都是共线的； (2)当a ＝0且b ≠0时，b ＝λa 是不成立的，但a 与b 共线．因此，为了更具一般性，且使充分性和必要性都成立，我们要求a ≠0.换句话说，如果不加条件“a ≠0”，“a 与b 共线”是“存在唯一实数λ使得b ＝λa ”的必要不充分条件．1．设a 、b 都是非零向量，下列四个条件中，使a |a |＝b|b |成立的充分条件是( ) A ．a ＝－b B ．a ∥bC ．a ＝2bD ．a ∥b 且|a |＝|b |解：由题意a |a |＝b|b |表示与向量a 和向量b 同向的单位向量相等，故a 与b 同向共线．故选C.2．已知两个非零向量a ，b 不共线，AB →＝2a ＋p b ，BC →＝a ＋b ，CD →＝a －2b ，若A ，B ，D 三点共线，则实数p 的值是( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2解：∵BC →＝a ＋b ，CD →＝a －2b ，∴BD →＝BC →＋CD →＝2a －b .又∵A ，B ，D 三点共线，∴AB →，BD →共线．设AB→＝λBD →，∴2a ＋p b ＝λ(2a －b )，∴2＝2λ且p ＝－λ，∴λ＝1，p ＝－1.故选B.3．已知O ，A ，M ，B 为平面上四点，且OM →＝λOB→＋(1－λ)OA →，实数λ∈(1，2)，则( )A ．点M 在线段AB 上 B ．点B 在线段AM 上C ．点A 在线段BM 上D ．O ，A ，M ，B 四点一定共线解：由题意得OM →－OA →＝λ(OB →－OA →)，即AM →＝λAB →.又λ∈(1，2)，∴点B 在线段AM 上．故选B.4．如图，已知AB 是圆O 的直径，点C ，D 是半圆弧的两个三等分点，AB →＝a, AC →＝b ，则AD →＝( )A ．a －12bB.12a －b C ．a ＋12b D.12a ＋b解：连接OD ，CD ，显然∠BOD ＝∠CAO ＝60°，则AC ∥OD ，且AC ＝OD ，即四边形CAOD 为菱形，故AD →＝AO →＋AC →＝12a ＋b ，故选D.5．已知平面内一点P 及△ABC ，若PA →＋PB →＋PC →＝AB →，则点P 与△ABC 的位置关系是( )A ．点P 在线段AB 上 B ．点P 在线段BC 上 C ．点P 在线段AC 上D ．点P 在△ABC 外部解：由PA →＋PB →＋PC →＝AB →得PA →＋PC →＝AB →－PB →＝AP →，即PC →＝AP →－PA →＝2AP →，所以点P 在线段AC 上．故选C.6．在平行四边形ABCD 中，点E 是AD 的中点，BE 与AC 相交于点F ，若EF →＝mAB →＋nAD →(m ，n ∈R )，则m n的值为( )A ．－2B ．－12C ．2 D.12解：设AB →＝a ，AD →＝b ，则EF →＝m a ＋n b ，BE →＝AE →－AB →＝12b －a ，由向量EF →与BE →共线可知存在非零实数λ，使得EF →＝λBE →，即m a ＋n b ＝12λb －λa ，又a 与b 不共线，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－λ，n ＝12λ， 消去λ得mn ＝－2.故选A.7．如图，在△ABC 中，H 为BC 上异于B ，C 的任一点，M 为AH 的中点，若AM →＝λAB →＋μAC →，则λ＋μ＝______．解：由B ，H ，C 三点共线，可令AH →＝xAB →＋ (1－x )AC →.又M 是AH 的中点，所以AM →＝12AH →＝ 12xAB →＋12(1－x )AC →.又AM →＝λAB →＋μAC →，所以λ＋μ＝12x ＋12(1－x )＝12.故填12. 8．若点O 是△ABC 所在平面内的一点，且满足|OB →－OC →|＝|OB →＋OC →－2OA →|，则△ABC 的形状为________．解：OB →＋OC →－2OA →＝OB →－OA →＋OC →－OA →＝ AB →＋AC →，OB →－OC →＝CB →＝AB →－AC →，∴|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，即平行四边形的对角线相等，故A ，B ，C 为矩形的三个顶点，△ABC 为直角三角形．故填直角三角形．9．如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，且 AB＝2CD ，M ，N 分别是DC 和AB 的中点，若AB →＝a ，AD→＝b ，试用a ，b 表示BC →和MN →.解：BC →＝BA →＋AD →＋DC →＝－a ＋b ＋12a ＝b －12a .MN →＝MD →＋DA →＋AN →＝－14a ＋(－b )＋12a ＝14a －b .10．设两个非零向量e 1和e 2不共线．(1)如果AB →＝e 1－e 2，BC →＝3e 1＋2e 2，CD →＝ －8e 1－2e 2，求证：A ，C ，D 三点共线；(2)如果AB →＝e 1＋e 2，BC →＝2e 1－3e 2，CD →＝ 2e 1－k e 2，且A ，C ，D 三点共线，求k 的值．解：(1)证明：∵AB →＝e 1－e 2，BC →＝3e 1＋2e 2， CD →＝－8e 1－2e 2，∴AC →＝AB →＋BC →＝4e 1＋e 2＝－12(－8e 1－2e 2)＝－12CD →，∴AC →与CD →共线． 又∵AC →与CD →有公共点C ，∴A ，C ，D 三点共线． (2)AC →＝AB →＋BC →＝(e 1＋e 2)＋(2e 1－3e 2)＝3e 1－2e 2，∵A ，C ，D 三点共线，∴AC →与CD →共线，从而存在实数λ使得AC →＝λCD →，即3e 1－2e 2＝λ(2e 1－k e 2)， 得⎩⎪⎨⎪⎧3＝2λ，－2＝－λk ，解得λ＝32，k ＝43.故k 的值为43. 11．如图所示，在△ABO 中，OC →＝14OA →，OD →＝12OB →，AD 与BC 相交于点M ，设OA →＝a ，OB →＝b .试用a 和b表示向量OM →.解：∵A ，M ，D 三点共线， ∴OM →＝λ1OD →＋(1－λ1)OA →＝12λ1b ＋(1－λ1)a ，①∵C ，M ，B 三点共线，∴OM →＝λ2OB →＋(1－λ2)OC →＝λ2b ＋1－λ24a ，②由①②可得⎩⎪⎨⎪⎧12λ1＝λ2，1－λ1＝1－λ24，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ1＝67，λ2＝37.故OM →＝17a ＋37b .设A 1，A 2，A 3，A 4是平面直角坐标系中两两不同的四点，若A 1A 3→＝λA 1A 2→(λ∈R )，A 1A 4→＝μA 1A 2→(μ∈R )，且1λ＋1μ＝2，则称A 3，A 4调和分割A 1，A 2.已知平面上的点C ，D 调和分割点A ，B ，则下面说法正确的是( )A ．C 可能是线段AB 的中点 B ．D 可能是线段AB 的中点C ．C ，D 可能同时在线段AB 上D ．C ，D 不可能同时在线段AB 的延长线上解：若C ，D 调和分割点A ，B ，则AC →＝λAB→(λ∈R )，AD →＝μAB →(μ∈R )，且1λ＋1μ＝2.对于选项A ，若C 是线段AB 的中点，则AC →＝12AB →⇒λ＝12⇒1μ＝0，故A 选项错误；同理B 选项错误；对于选项C，若C，D同时在线段AB上，则0＜λ＜1，0＜μ＜1⇒1λ＋1μ＞2，C选项错误；对于选项D，若C，D同时在线段AB的延长线上，则λ＞1，μ＞1⇒1λ＋1μ＜2，故C，D不可能同时在线段AB的延长线上，D选项正确．故选D.§5.2 平面向量的基本定理及坐标表示1．平面向量基本定理如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使________________．我们把不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组__________．2．向量的夹角(1)已知两个________向量a 和b ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB ＝θ叫做向量a 与b 的夹角(如图)．(2)向量夹角θ的范围是_______________．a 与b 同向时，夹角θ＝________；a 与b 反向时，夹角θ＝____________.(3)如果向量a 与b 的夹角是____________，我们就说a 与b 垂直，记作____________．3．平面向量的正交分解及坐标表示 (1)平面向量的正交分解把一个向量分解为两个____________的向量，叫做向量的正交分解．(2)在平面直角坐标系内，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i ，j 作为基底．任作一个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x ，y ，使得a ＝x i ＋y j .则实数对__________叫做向量a 的(直角)坐标，记作a ＝__________，其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标，该式叫做向量的坐标表示．与a 相等的向量的坐标也为________．显然，i ＝________， j ＝________，0＝________.4．平面向量的坐标运算(1)已知a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ±b ＝__________________________.(2)如果A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝___________________________.(3)若a ＝(x ，y )，则λa ＝____________. (4)如果a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)(b ≠0)，则a ∥b 的充要条件是____________________．※5.线段的分点坐标设点P 是线段P 1P 2上的一点，且P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，P (x ，y )．当P 1P →＝λPP 2→时，点P 的坐标(x ，y )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋λx 21＋λ，y 1＋λy 21＋λ. 特别地：①当λ＝1时，点P 为线段P 1P 2的中点，其坐标为P ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22.②G (x ，y )为△ABC 的重心，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，则AB 中点D 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22.再由CG →＝2GD →，我们便得到了三角形的重心坐标G (x 1＋x 2＋x 33，y 1＋y 2＋y 33)．自查自纠：1．a ＝λ1e 1＋λ2e 2 基底 2．(1)非零 (2)0°≤θ≤180° 0° 180° (3)90° a ⊥b3．(1)互相垂直 (2)(x ，y ) (x ，y ) (x ，y ) (1，0) (0，1) (0，0)4．(1)(x 1±x 2，y 1±y 2) (2)(x 2－x 1，y 2－y 1) (3)(λx ，λy ) (4)x 1y 2－x 2y 1＝0(2015·全国Ⅰ)已知点A (0，1)，B (3，2)，向量AC →＝(－4，－3)，则向量BC →＝( )A ．(－7，－4)B ．(7，4)C ．(－1，4)D ．(1，4)解：AB →＝(3，1)，BC →＝AC →－AB →＝(－4，－3)－(3，1)＝(－7，－4)．故选A.如果e 1，e 2是平面α内所有向量的一组基底，那么以下表述正确的是( )A ．若实数λ1，λ2使λ1e 1＋λ2e 2＝0，则λ1＝ λ2＝0B ．空间任一向量a 可以表示为a ＝λ1e 1＋λ2e 2，这里λ1，λ2是实数C ．对实数λ1，λ2，λ1e 1＋λ2e 2不一定在平面α内D ．对平面α内的任一向量a ，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2的实数λ1，λ2有无数对解：依平面向量基本定理，选项B ，C ，D 都错，只有A 的表述是正确的，故选A.(2013·陕西)已知向量a ＝(1，m )，b ＝(m ，2)，若a ∥b ，则实数m 等于( )A ．－ 2 B. 2 C ．－2或 2 D ．0解：由a ∥b 知1×2－m 2＝0，∴m ＝±2.故选C.(2015·江苏)已知向量a ＝(2，1)，b ＝(1，－2)，若m a ＋n b ＝(9，－8)(m ，n ∈R )，则m －n 的值为________．解：因为m a ＋n b ＝(2m ＋n ，m －2n )＝(9，－8)，所以⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋n ＝9，m －2n ＝－8， 解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝5， 故m －n ＝－3.故填－3.在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，互异的三点A ，B ，C 满足OC →＝23OA →＋13OB →，则|AC →||AB →|＝________.解：∵OC →＝23OA →＋13OB →，∴OC →－OA →＝－13OA →＋13OB →＝13(OB →－OA →)，∴AC →＝13AB →，∴|AC →||AB →|＝13.故填13.类型一 向量共线充要条件的坐标表示平面内给定三个向量a ＝(3，2)，b ＝(－1，2)，c ＝(4，1)．(1)若(a ＋k c )∥(2b －a )，求实数k ；(2)若d 满足(d －c )∥(a ＋b )，且|d －c |＝5，求d 的坐标．解：(1)a ＋k c ＝(3＋4k ，2＋k )，2b －a ＝(－5，2)， 由题意得2×(3＋4k )－(－5)×(2＋k )＝0，解得k ＝－1613. (2)设d ＝(x ，y )，则d －c ＝(x －4，y －1)， 又a ＋b ＝(2，4)，|d －c |＝5，∴⎩⎪⎨⎪⎧4（x －4）－2（y －1）＝0，（x －4）2＋（y －1）2＝5， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝3. ∴d 的坐标为(3，－1)或(5，3)．点拨：解决此类题目，我们只需要牢记：(1)两平面向量共线的充要条件有两种形式：①若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b (b ≠0)的充要条件是x 1y 2－ x 2y 1＝0；②a ∥b (a ≠0)，当且仅当唯一一个实数λ，使b ＝λa .(2)向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数．当两向量的坐标均非零时，也可以利用坐标对应成比例来求解． (1)已知向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8，12x ，b ＝(x ，1)，其中x >0，若(a －2b )∥(2a ＋b )，则x 的值为________．解：a －2b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8－2x ，12x －2，2a ＋b ＝(16＋x ，x ＋1)，因为(a －2b )∥(2a ＋b )，显然2a ＋b ≠0，所以存在唯一的实数λ使得⎝ ⎛⎭⎪⎫8－2x ，12x －2＝λ(16＋x ，x ＋1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧8－2x ＝λ（16＋x ），12x －2＝λ（x ＋1）， 解得x ＝4(x >0)．故填4.(2)已知向量OA →＝(1，－3)，OB →＝(2，－1)， OC →＝(k ＋1，k －2)，若A ，B ，C 三点不能构成三角形，则实数k ＝________.解：若点A ，B ，C 不能构成三角形，则向量AB →，AC →共线.AB →＝OB →－OA →＝(2，－1)－(1，－3)＝(1，2)，AC →＝OC →－OA →＝(k ＋1，k －2)－(1，－3)＝(k ， k＋1)．∵AB →∥AC →，AC →≠0，∴1×(k ＋1)－2k ＝0，解得k ＝1.故填1.类型二 平面向量基本定理及其应用(1)设e 1，e 2是相互垂直的单位向量，e 1绕起点沿逆时针方向旋转90°到e 2.设向量v 的模|v |＝r ，e 1绕原点旋转到v 的方向所成的角为α.则v 在基底e 1，e 2下的坐标为________． 解：如图示，在平面上建立直角坐标系，O 是原点，e 1，e 2的方向分别为x 轴，y 轴正方向，e 1，e 2的模为单位长．设v ＝OP →，则v 的坐标就是点P 的坐标(x ，y )．|OP |＝r ，α＝∠xOP.当r ＞0时，由三角函数定义知cos α＝x r ，sin α＝yr，从而x ＝r cos α，y ＝r sin α. v ＝OP →＝(r cos α，r sin α)，当r ＝0时显然也成立．故填(r cos α，r sin α)．(2)在平行四边形ABCD 中，E ，F 分别是BC ，CD 的中点，DE 交AF 于H ，记AB →，BC →分别为a ，b ，则AH→＝( )A.25a －45bB.25a ＋45b C ．－25a ＋45b D ．－25a －45b解：设AH →＝λAF →，DH →＝μDE →.而DH →＝DA →＋AH →＝－b ＋λAF →＝－b ＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋12a ，DH →＝μDE →＝μ⎝ ⎛⎭⎪⎫a －12b .因此，μ⎝ ⎛⎭⎪⎫a －12b ＝－b ＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋12a . 由于a ，b 不共线，因此由平面向量的基本定理有⎩⎪⎨⎪⎧μ＝12λ，－12μ＝－1＋λ. 解之得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝45，μ＝25.故AH →＝λAF →＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋12a ＝25a ＋45b .故选B.点拨：①平面上任意一个向量v 可分解为不共线向量e 1，e 2的线性组合：v ＝x e 1＋y e 2，若向量u ＝a e 1＋b e 2与v ＝x e 1＋y e 2相等，则对应系数相等，即a ＝x 且b ＝y ，一个平面向量方程相当于两个普通方程．②若e 1，e 2是平面内的一组基底，则对该平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2使a ＝ λ1e 1＋λ2e 2，简单地说，就是平面内任一向量均可由该平面内的两个不共线向量线性表示，且表示方式惟一．特别地，当a ＝0即λ1e 1＋λ2e 2＝0时，必有λ1＝λ2＝0.③此题利用的是“基底方式”，即用a ，b 作为基底，选择两个参数λ，μ，然后将同一向量DH →作两种表示，由平面向量基本定理知系数对应相等，即可得关于λ，μ的方程组．应注意这种题型及相应的解法，它在近几年各地模拟题中频繁出现．(1)在△ABC 中，点D 在边AB 上，CD 平分∠AC B.若CB →＝a ，CA →＝b ，|a |＝1，|b |＝2，则 CD →＝( )A.13a ＋23bB.23a ＋13bC.35a ＋45bD.45a ＋35b 解法一：因为CD 平分∠ACB ，由角平分线定理，得AD DB ＝AC BC ＝|b ||a |＝2，所以AD →＝2DB →＝23AB →. 所以CD →＝CA →＋AD →＝CA →＋23AB →＝CA →＋23(CB →－CA →)＝23CB →＋13CA →＝23a ＋13b . 解法二：(特殊值法)构造直角三角形，令CB ＝1，CA ＝2，AB ＝3，则∠DCB ＝30°，所以BD ＝33.故BD →＝13BA →，CD →＝CB →＋BD →＝a ＋13(b －a )＝23a ＋13b .故选B.(2)(2013·北京)向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示．若c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R )，则λμ＝________.解：设i ，j 分别为水平向右和竖直向上的单位向量，则a ＝－i ＋j ，b ＝6i ＋2j ，c ＝－i －3j ，所以－i －3j ＝λ(－i ＋j )＋μ(6i ＋2j )，即－i －3j ＝(－λ＋6μ)i ＋(λ＋2μ)j ，根据平面向量基本定理得⎩⎪⎨⎪⎧－1＝－λ＋6μ，－3＝λ＋2μ， 解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－2，μ＝－12. 所以λμ＝4.故填4.类型三 求向量的坐标已知A (－2，4)，B (3，－1)，C (－3，－4)．设AB →＝a ，BC →＝b ，CA →＝c ，且CM →＝3c ，CN →＝－2b .(1)求3a ＋b －3c ；(2)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n ；(3)求M 、N 的坐标及向量MN →的坐标．解：由已知得a ＝(5，－5)，b ＝(－6，－3)， c ＝(1，8)．(1)3a ＋b －3c ＝3(5，－5)＋(－6，－3)－ 3(1，8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．(2)∵m b ＋n c ＝(－6m ＋n ，－3m ＋8n )， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－6m ＋n ＝5，－3m ＋8n ＝－5， 解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝－1. (3)设O 为坐标原点，∵CM →＝OM →－OC →＝3c ， ∴OM →＝3c ＋OC →＝(3，24)＋(－3，－4)＝ (0，20)．∴M (0，20)．又∵CN →＝ON →－OC →＝－2b ，∴ON →＝－2b ＋OC →＝(12，6)＋(－3，－4)＝ (9，2)，∴N (9，2)． ∴MN →＝(9，－18)．点拨：向量的坐标运算主要利用加、减、数乘运算法则进行．若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则． 已知O 为坐标原点，点C 是线段AB 上一点，且A (1，1)，C (2，3)，|BC →|＝2|AC →|，则向量OB →的坐标是______________． 解：由点C 是线段AB 上一点，|BC →|＝2|AC →|，得BC →＝－2AC →.设点B 为(x ，y )，则(2－x ，3－y )＝－2(1，2)，即⎩⎪⎨⎪⎧2－x ＝－2，3－y ＝－4， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝7， 所以向量OB →的坐标是(4，7)．故填(4，7)．1．对平面向量基本定理的理解 (1)平面向量基本定理实际上是向量的分解定理，并且是平面向量正交分解的理论依据，也是向量坐标表示的基础．(2)平面向量的一组基底是两个不共线向量，平面向量基底可以有无穷多组．(3)用平面向量基本定理可将平面中任一向量分解成形如a ＝λ1e 1＋λ2e 2(λ1，λ2∈R ，e 1，e 2为同一平面内不共线的两个向量)的形式，它是向量线性运算知识的延伸．(4)如果e 1，e 2是同一平面内的一组基底，且λ1e 1＋λ2e 2＝0(λ1，λ2∈R )，那么λ1＝λ2＝0.2．对两向量夹角的理解两向量的夹角是指当两向量的起点相同时，表示两向量的有向线段所形成的角．若起点不同，则应通过平移，使其起点相同．3．向量的坐标表示向量用坐标表示后，向量的计算和证明都归结为数的运算，这使问题大大简化．一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标，当且仅当向量的起点为原点时，向量的坐标才等于其终点的坐标．两个向量相等，当且仅当其坐标相同．1．下列向量组中，能作为表示它们所在平面内所有向量的一组基底的是( )A ．a ＝(1，2)，b ＝(0，0)B ．a ＝(1，－2)，b ＝(3，5)C ．a ＝(3，2)，b ＝(9，6)D ．a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，12， b ＝(3，－2) 解：在平面内，根据向量基底的定义知，两个向量不共线即可作为基底．故选B. 2．(2013·辽宁)已知点A (1，3)，B (4，－1)，则与向量AB →同方向的单位向量为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－45B.⎝ ⎛⎭⎪⎫45，－35C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，45D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，35 解：AB →＝(3，－4)，|AB →|＝5，AB →|AB →|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－45.故选A.3．(2015·沈阳检测)已知在▱ABCD 中，AD →＝(2，8)，AB →＝(－3，4)，对角线AC 与BD 相交于点M ，则AM →＝( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－6 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，6 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－6 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，6 解：因为在▱ABCD 中，AC →＝AB →＋AD →，AM →＝ 12AC →，所以AM →＝12(AB →＋AD →)＝12×(－1，12)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，6.故选B. 4．(2015·江西检测)已知向量a ＝(－1，2)， b ＝(3，m )，m ∈R ，则“m ＝－6”是“a ∥(a ＋b )”的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件 解：由题意得a ＋b ＝(2，2＋m )．由m ＝－6得a ＋b ＝(2，－4)＝－12a ，所以a ∥(a ＋b )；由a ∥(a ＋b )得－1×(2＋m )＝2×2，所以m ＝－6.故 “m ＝－6”是“a ∥(a ＋b )”的充要条件．故选A. 5．在平面直角坐标系xOy 中，已知A (1，0)，B (0，1)，C 为坐标平面内第一象限内一点， ∠AOC ＝π4，且|OC |＝2，若OC →＝λOA →＋μOB →，则λ＋μ＝( )A ．2 2 B. 2 C ．2 D ．4 2解：因为|OC |＝2，∠AOC ＝π4，所以C (2，2)，又OC →＝λOA →＋μOB →，所以(2，2)＝λ(1，0)＋μ(0，1)＝(λ，μ)，所以λ＝μ＝2，λ＋μ＝22.故选A.6．(2015·山西联考)在△ABC 中，点D 在线段BC 的延长线上，且BC →＝3CD →，点O 在线段CD 上(与点C ，D 不重合)，若AO →＝xAB →＋(1－x )AC →，则x 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0解：依题意，设BO →＝λBC →，其中1<λ<43，则有AO →＝AB →＋BO →＝AB →＋λBC →＝AB →＋λ(AC →－AB →)＝(1－λ)AB →＋λAC →.又AO →＝xAB →＋(1－x )AC →，且AB →，AC →不共线，于是有x ＝1－λ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0，即x 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0.故选D. 7．已知向量a ＝(1，2)，b ＝(x ，1)，u ＝a ＋2b ，v ＝2a －b ，且u ∥v ，则实数x 的值为________．解：u ＝(1，2)＋2(x ，1)＝(2x ＋1，4)，v ＝ 2(1，2)－(x ，1)＝(2－x ，3)．因为u ∥v ，v ≠0，所以3(2x ＋1)－4(2－x )＝0，即10x ＝5，解得x ＝12.故填12. 8．设向量a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，定义一种向量积a b ＝(a 1b 1，a 2b 2)，已知向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0，点P (x ，y )在y ＝sin x 的图象上运动．Q 是函数y ＝f (x )图象上的点，且满足OQ →＝m OP →＋n (其中O 为坐标原点)，则函数y ＝f (x )的值域是________． 解：设Q (c ，d )，由新的运算可得OQ →＝m OP →＋n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ，12sin x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，12sin x ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2x ＋π3，d ＝12sin x ， 消去x 得d ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12c －π6.∴y ＝f (x )＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π6，易知y ＝f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12.故填⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12. 9．已知向量a ＝(1，0)，b ＝(2，1)．(1)当实数k 为何值时，k a －b 与a ＋2b 共线？(2)若AB →＝2a ＋3b ，BC →＝a ＋m b 且A ，B ，C 三点共线，求实数m 的值． 解：(1)k a －b ＝k (1，0)－(2，1)＝(k －2，－1)， a ＋2b ＝(1，0)＋2(2，1)＝(5，2)．∵k a －b 与a ＋2b 共线，∴2(k －2)－(－1)×5＝0，即2k －4＋5＝0，得k ＝－12.(2)解法一：∵A ，B ，C 三点共线， ∴存在实数λ使得AB →＝λBC →，即2a ＋3b ＝ λ(a ＋m b )， ∴⎩⎪⎨⎪⎧2＝λ，3＝m λ， 解得m ＝32. 解法二：AB →＝2a ＋3b ＝2(1，0)＋3(2，1)＝ (8，3)， BC →＝a ＋m b ＝(1，0)＋m (2，1)＝(2m ＋1，m )．∵A ，B ，C 三点共线， ∴AB →∥BC →，又BC →≠0，∴8m －3(2m ＋1)＝0， 即2m －3＝0，得m ＝32.10．已知点O 为坐标原点，A (0，2)，B (4，6)，OM →＝t 1OA →＋t 2AB →.(1)求点M 在第二或第三象限的充要条件； (2)求证：当t 1＝1时，不论t 2为何实数，A ，B ，M 三点共线． 解：(1)OM →＝t 1OA →＋t 2AB →＝t 1(0，2)＋t 2(4，4)＝(4t 2，2t 1＋4t 2)．点M 在第二或第三象限⇔⎩⎪⎨⎪⎧4t 2＜0，2t 1＋4t 2≠0， 解得t 2＜0且t 1＋2t 2≠0.故所求的充要条件为t 2<0且t 1＋2t 2≠0. (2)证明：当t 1＝1时，由(1)知OM →＝(4t 2，4t 2＋2)． ∵AB →＝OB →－OA →＝(4，4)，AM →＝OM →－OA →＝(4t 2，4t 2)＝t 2(4，4)＝t 2AB →，∴A ，B ，M 三点共线． 11．如图所示，已知点A (4，0)，B (4，4)，C (2，6)，试利用向量方法求AC 和OB 交点P 的坐标． 解：设OP →＝tOB →＝t (4，4)＝(4t ，4t )， ∴AP →＝OP →－OA →＝(4t －4，4t )，AC →＝(2，6)－(4，0)＝(－2，6)．∵AP →与AC →共线，∴(4t －4)×6－4t ×(－2)＝0，得t ＝34.∴OP →＝(4t ，4t )＝(3，3)，即P 点坐标为(3，3)．如图所示，A ，B ，C 是圆O 上的三点，线段CO 的延长线与BA 的延长线交于圆O 外的一点D ，若OC →＝mOA →＋nOB →，则m ＋n 的取值范围是________．解：由题意得，OC →＝kOD →(k <0)，又|k |＝|OC →||OD →|<1，∴－1<k <0.又∵B ，A ，D 三点共线，∴OD →＝λOA →＋(1－λ)OB →，mOA →＋nOB →＝k λOA →＋k (1－λ)OB →，由平面向量的基本定理知m ＝k λ，n ＝k (1－λ)，∴m ＋n ＝k ，从而m ＋n ∈(－1，0)．故填(－1，0)．§5.3 平面向量的数量积1．数量积的概念已知两个非零向量a与b，我们把数量________________叫做a与b的数量积(或内积)，记作____________，即a·b＝________，其中θ是a与b的夹角，|a|cosθ(|b|cosθ)叫向量a在b方向上(b在a方向上)的____________．a·b的几何意义：数量积a·b等于__________________________________．2．数量积的运算律及常用结论(1)数量积的运算律①交换律：___________________；②数乘结合律：____________________；③分配律：_____________________．(2)常用结论①(a±b)2＝________________________；②(a＋b)·(a－b)＝_________________；③a2＋b2＝0⇔______________________；④|||a－||b|________||a＋||b.3．数量积的性质设a，b都是非零向量，e是与b方向相同的单位向量，θ是a与e的夹角，则①e·a＝____________.②a⊥b⇔____________.③当a与b同向时，a·b＝____________；当a与b反向时，a·b＝____________.特别地，a·a＝____________或||a＝____________.④ cosθ＝____________.⑤||a·b≤____________.4．数量积的坐标表示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则①a·b＝________________；a2＝________________；||a＝________________.②a⊥b⇔____________________.③||x1x2＋y1y2≤________________________.自查自纠：1.||a||b cosθa·b|a||b|cosθ投影a的长度||a与b在a的方向上的投影||b cosθ的乘积2．(1)①a·b＝b·a②(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)③(a＋b)·c＝a·c＋b·c(2)①a2±2a·b＋b2②a2－b2③a＝0且b＝0④≤3．①|a|cosθ②a·b＝0 ③|a||b| －|a||b| |a|2a·a④a·b|a||b|⑤|a||b|4．①x1x2＋y1y2x21＋y21x21＋y21②x1x2＋y1y2＝0 ③x21＋y21x22＋y22(2015·全国卷Ⅱ)向量a＝(1，－1)，b＝(－1，2)，则(2a＋b)·a＝( )A．－1 B．0 C．1 D．2解：因为2a＋b＝2(1，－1)＋(－1，2)＝(1，0)，所以(2a＋b)·a＝(1，0)·(1，－1)＝1.故选C.(2015·广东)在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD是平行四边形，AB→＝(1，－2)，AD→＝(2，1)，则AD→·AC→＝( )A．2 B．3 C．4 D．5解：因为四边形ABCD是平行四边形，所以AC→＝AB→＋AD→＝(1，－2)＋(2，1)＝(3，－1)，所以AD→·AC→＝2×3＋1×(－1)＝5.故选D.(2015·北京)设a，b是非零向量，“a·b ＝|a||b|”是“a∥b”的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解：a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．若a·b＝|a||b|，则 cos〈a，b〉＝1，即〈a，b〉＝0，可得a∥b；若a∥b，则〈a，b〉＝0或π，此时a·b＝|a||b|或a·b＝－|a||b|.故“a·b＝|a||b|”是“a∥b”的充分而不必要条件．故选A.在正三角形ABC中，D是BC上的点，若AB ＝3，BD＝1，则AB→·AD→＝________.解：如图所示，AB→·AD→＝AB→·(AB→＋BD→)＝9＋3×cos120°＝152，故填152.(2015·天津)在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60°.点E和F分别在线段BC 和DC 上，且BE →＝23BC →，DF →＝16DC →，则AE →·AF→的值为________．解：根据题意，AE →·AF →＝(AB →＋BE →)·(AD →＋DF →)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →＋23BC →·⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →＋16DC →＝AB →·AD →＋16AB →·DC →＋ 23BC →·AD →＋19BC →·DC →＝2×1×12＋16×2×1＋23× 1×1×12＋19×1×1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝2918.故填2918.类型一 数量积的定义及几何意义(1)若a ，b ，c 均为非零向量，则下列说法正确的是____________．(填写序号即可)①a ·b ＝±||a ·||b ⇔a ∥b ； ②a ⊥b ⇔a ·b ＝0； ③a ·c ＝b ·c ⇔a ＝b ；④(a ·b )·c ＝a ·(b ·c )．解：a ·b ＝||a ||b cos θ，θ为a ，b 的夹角，则cos θ＝±1，①正确；②显然正确；③错误，如a ＝－b ，a ⊥c ，则a ·c ＝b ·c ＝0，但a ≠b ；④错误，因为数量积的运算结果是一个数，即等式左边为c 的倍数，等式右边为a 的倍数．故填①②.(2)△ABC 的外接圆的圆心为O ，半径为1，若AB →＋AC →＝2AO →，且||OA →＝||AC→，则向量BA →在向量BC →方向上的投影为( )A.32B.32 C ．3 D ．－32解：由已知可以知道，△ABC 的外接圆的圆心在线段BC 的中点O 处，因此△ABC 是直角三角形．且A ＝π2，又因为|OA →|＝|CA →|＝|OC →|，∴C ＝π3，B ＝π6，∴AB ＝3，AC ＝1，故BA →在BC →方向上的投影为|BA→|cos π6＝32.故选A.点拨：数量积a ·b ＝|a ||b |cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2(其中两向量夹角为θ，a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2))．其几何意义是：a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积．在理解数量积与投影概念的基础上，利用二者的关系解题．(1)已知平面向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，若|a |＝2，|b |＝3，a ·b ＝－6.则x 1＋y 1x 2＋y 2的值为( )A.23 B ．－23 C.56 D ．－56 解：因为a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉＝2×3×cos 〈a ，b 〉＝－6，所以cos 〈a ，b 〉＝－1，即向量a 与b 反向，则3a ＋2b ＝0.由此可得3(x 1，y 1)＋2(x 2，y 2)＝(0，0)，得x 1＝－23x 2，y 1＝－23y 2，故x 1＋y 1x 2＋y 2＝－23.故选B.(2)(2013·湖北)已知点A (－1，1)，B (1，2)，C (－2，－1)，D (3，4)，则向量AB →在CD →方向上的投影为 ( )A.322B.3152 C ．－322 D ．－3152解：∵AB →＝(2，1)，CD →＝(5，5)，∴由向量数量积的几何意义知向量AB →在CD →方向上的投影为|AB→|cos 〈AB →，CD →〉＝AB →·CD →|CD →|＝1552＋52＝322.故选A. 类型二 数量积的基本运算已知e 1，e 2是夹角为2π3的两个单位向量，a ＝e 1－2e 2，b ＝k e 1＋e 2，若a ·b ＝0，则实数k 的值为________．解：因为a ·b ＝(e 1－2e 2)·(k e 1＋e 2)＝k e 21＋(1－2k )(e 1·e 2)－2e 22，且|e 1|＝|e 2|＝1，e 1·e 2＝－12，所以k ＋(1－2k )·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－2＝0，解得k ＝54.故填54.点拨：实数与数量积的运算虽有诸多相似之处，但应明确二者的区别，如a ·b ＝0a 或b 为0，a ·b ＝a ·c b ＝c ，(a ·b )·c ≠a ·(b ·c )等．。
高考数学一轮复习第五章平面向量复数第二节平面向量基本定理及坐标表示讲义含解析0513143.doc
第二节 平面向量基本定理及坐标表示突破点一 平面向量基本定理[基本知识]如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.其中，不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．[基本能力]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底．( )(2)在△ABC 中，设AB ―→＝a ，BC ―→＝b ，则向量a 与b 的夹角为∠ABC .( ) (3)若a ，b 不共线，且λ1a ＋μ1b ＝λ2a ＋μ2b ，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.( ) 答案：(1)× (2)× (3)√ 二、填空题1.如图，在平行四边形ABCD 中，E 为DC 边的中点，且AB ―→＝a ，AD ―→＝b ，则BE ―→等于________．答案：b －12a2．设e 1，e 2是平面内一组基底，若λ1e 1＋λ2e 2＝0，则λ1＋λ2＝________. 答案：03．设e 1，e 2是平面内一组基底，且a ＝e 1＋2 e 2，b ＝－e 1＋e 2，则2a －b ＝________. 答案：3 e 1＋3 e 2[典例感悟]1.(2019·郑州模拟)如图，在直角梯形ABCD 中，AB ＝2AD ＝2DC ，E 为BC 边上一点，BC ―→＝3EC ―→，F 为AE 的中点，则BF ―→＝( )A.23AB ―→－13AD ―→B.13AB ―→－23AD ―→C ．－23AB ―→＋13AD ―→D ．－13AB ―→＋23AD ―→解析：选C 如图，取AB 的中点G ，连接DG ，CG ，易知四边形DCBG 为平行四边形，所以BC ―→＝GD ―→＝AD ―→－AG ―→＝AD ―→－12AB ―→，∴AE―→＝AB ―→＋BE ―→＝AB ―→＋23BC ―→＝AB ―→＋23⎝ ⎛⎭⎪⎫AD ―→－12AB ―→＝23AB ―→＋23AD ―→，于是BF ―→＝AF ―→－AB ―→＝12AE ―→－AB ―→＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫23AB ―→＋23 AD ―→－AB ―→＝－23AB ―→＋13AD ―→，故选C.2．在△ABC 中，点P 是AB 上一点，且CP ―→＝23CA ―→＋13CB ―→，Q 是BC 的中点，AQ 与CP的交点为M ，又CM ―→＝t CP ―→，则实数t 的值为________．解析：因为CP ―→＝23CA ―→＋13CB ―→，所以3CP ―→＝2CA ―→＋CB ―→，即2CP―→－2CA ―→＝CB ―→－CP ―→，所以2AP ―→＝PB ―→.即P 为AB 的一个三等分点(靠近A 点)， 又因为A ，M ，Q 三点共线，设AM ―→＝λAQ ―→.所以CM ―→＝AM ―→－AC ―→＝λAQ ―→－AC ―→＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫12AB ―→＋12 AC ―→－AC ―→＝λ2AB ―→＋λ－22AC ―→，又CM ―→＝t CP ―→＝t (AP ―→－AC ―→)＝t ⎝ ⎛⎭⎪⎫13AB ―→－AC ―→＝t 3AB ―→－t AC ―→.故⎩⎪⎨⎪⎧λ2＝t3，λ－22＝－t ，解得⎩⎪⎨⎪⎧t ＝34，λ＝12.故t 的值是34.答案：34[方法技巧]平面向量基本定理的实质及解题思路(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．[针对训练]1．在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝2CD ，M ，N 分别为CD ，BC 的中点．若AB ―→＝λAM ―→＋μAN ―→，则λ＋μ等于( )A.15B.25C.35D.45解析：选 D 因为AB ―→＝AN ―→＋NB ―→＝AN ―→＋CN ―→＝AN ―→＋(CA ―→＋AN ―→)＝2AN ―→＋CM ―→＋MA ―→＝2AN ―→－14AB ―→－AM ―→，所以AB ―→＝85AN ―→－45AM ―→，所以λ＝－45，μ＝85，所以λ＋μ＝45. 2．如图，已知平行四边形ABCD 的边BC ，CD 的中点分别是K ，L ，且AK ―→＝e 1，AL ―→＝e 2，试用e 1，e 2表示BC ―→，CD ―→.解：设BC ―→＝x ，CD ―→＝y ，则BK ―→＝12x ，DL ―→＝－12y .由AB ―→＋BK ―→＝AK ―→，AD ―→＋DL ―→＝AL ―→，得⎩⎪⎨⎪⎧－y ＋12x ＝e 1， ①x －12y ＝e 2， ②①＋②×(－2)，得12x －2x ＝e 1－2e 2，即x ＝－23(e 1－2e 2)＝－23e 1＋43e 2，所以BC ―→＝－23e 1＋43e 2.同理可得y ＝－43e 1＋23e 2，即CD ―→＝－43e 1＋23e 2.突破点二 平面向量的坐标表示[基本知识]1．平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘的坐标运算及向量的模 设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则：a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，λa ＝(λx 1，λy 1)，|a|＝x 21＋y 21. (2)向量坐标的求法若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．一般地，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB ―→＝(x 2－x 1，y 2－y 1)．2．平面向量共线的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0，则a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0.[基本能力]1．已知向量a ＝(m ,4)，b ＝(3，－2)，且a ∥b ，则m ＝________. 解析：∵a ＝(m ,4)，b ＝(3，－2)，a ∥b ，∴－2m －4×3＝0.∴m ＝－6. 答案：－62．已知点A (0,1)，B (3,2)，向量AC ―→＝(－4，－3)，则向量BC ―→＝________. 解析：设C (x ，y )，则AC―→＝(x ，y －1)＝(－4，－3)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4，y －1＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4，y ＝－2，从而BC ―→＝(－4，－2)－(3,2)＝(－7，－4)．答案：(－7，－4)3．已知A (1,4)，B (－3,2)，向量BC ―→＝(2,4)，D 为AC 的中点，则BD ―→＝________. 解析：设C (x ，y )，则BC ―→＝(x ＋3，y －2)＝(2,4)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3＝2，y －2＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝6，即C (－1,6)．由D 为AC 的中点可得点D 的坐标为(0,5)， 所以BD ―→＝(0＋3,5－2)＝(3,3)． 答案：(3,3)[全析考法]考法一 平面向量的坐标运算[例1] (1)若α，β是一组基底，向量γ＝x α＋y β(x ，y ∈R)，则称(x ，y )为向量γ在基底α，β下的坐标，现已知向量a 在基底p ＝(1，－1)，q ＝(2,1)下的坐标为(－2,2)，则a 在另一组基底m ＝(－1,1)，n ＝(1,2)下的坐标为( )A ．(2,0)B ．(0，－2)C ．(－2,0)D ．(0,2)(2)(2019·内蒙古包钢一中月考)已知在平行四边形ABCD 中，AD ―→＝(3,7)，AB ―→＝(－2,3)，对角线AC 与BD 交于点O ，则CO ―→的坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，5B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，5C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－5 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－5 [解析] (1)因为a 在基底p ，q 下的坐标为(－2,2)，即a ＝－2p ＋2q ＝(2,4)，令a ＝x m ＋y n ＝(－x ＋y ，x ＋2y )，所以⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋y ＝2，x ＋2y ＝4，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2.所以a 在基底m ，n 下的坐标为(0,2)．(2)因为在平行四边形ABCD 中，AD ―→＝(3,7)，AB ―→＝(－2,3)，对角线AC 与BD 交于点O ，所以CO ―→＝－AO ―→＝－12(AD ―→＋AB ―→)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－5.故选C.[答案] (1)D (2)C [方法技巧]平面向量坐标运算的技巧(1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．(2)解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解．考法二 平面向量共线的坐标表示[例2] (2019·文登二中模拟)平面内给定三个向量a ＝(3,2)，b ＝(－1,2)，c ＝(4,1)． (1)若(a ＋k c )∥(2b －a)，求实数k ；(2)若d 满足(d －c)∥(a ＋b)，且|d －c |＝5，求d 的坐标． [解] (1)a ＋k c ＝(3＋4k ,2＋k)，2b －a ＝(－5,2)， 由题意得2×(3＋4k)－(－5)×(2＋k)＝0， 解得k ＝－1613.(2)设d ＝(x ，y )，则d －c ＝(x －4，y －1)， 又a ＋b ＝(2,4)，| d －c |＝5，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －－y －＝0，x －2＋y －2＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝3.∴d 的坐标为(3，－1)或(5,3)．[方法技巧]向量共线的坐标表示中的乘积式和比例式(1)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0，这是代数运算，用它解决平面向量共线问题的优点在于不需要引入参数“λ”，从而减少了未知数的个数，而且它使问题的解决具有代数化的特点和程序化的特征．(2)当x 2y 2≠0时，a ∥b ⇔x 1x 2＝y 1y 2，即两个向量的相应坐标成比例，这种形式不易出现搭配错误．(3)公式x 1y 2－x 2y 1＝0无条件x 2y 2≠0的限制，便于记忆；公式x 1x 2＝y 1y 2有条件x 2y 2≠0的限制，但不易出错．所以我们可以记比例式，但在解题时改写成乘积的形式．[集训冲关]1.[考法一]如果向量a ＝(1,2)，b ＝(4,3)，那么a －2b ＝( ) A ．(9,8) B ．(－7，－4) C ．(7,4)D ．(－9，－8)解析：选B a －2b ＝(1,2)－(8,6)＝(－7，－4)，故选B.2.[考法二]已知向量a ＝(1，－1)，则下列向量中与向量a 平行且同向的是( ) A ．b ＝(2，－2) B ．b ＝(－2,2) C ．b ＝(－1,2)D ．b ＝(2，－1)解析：选A (2，－2)＝2(1，－1)，b ＝2a ，故选A.3.[考法一]已知向量a ＝(1，m)，b ＝(4，m)，若有(2|a|－|b|)(a ＋b)＝0，则实数m ＝________.解析：因为a ＋b ＝(5,2m )≠0，所以由(2|a|－|b|)(a ＋b)＝0得2|a|－|b|＝0，所以|b|＝2|a|，所以42＋m 2＝212＋m 2，解得m ＝±2.答案：±24.[考法二 ]已知向量a ＝(1,2)，b ＝(－2,3)，若ma －nb 与2a ＋b 共线(其中n ∈R ，且n ≠0)，则m n＝________.解析：由a ＝(1,2)，b ＝(－2,3)，得ma －nb ＝(m ＋2n ,2m －3n)，2a ＋b ＝(0,7)，由ma －nb 与2a ＋b 共线，可得7(m ＋2n)＝0，则m n＝－2.答案：－2精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。
第5章 平面向量与复数 第2节 平面向量基本定理及坐标表示
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2.若P1(1，3)，P2(4，0)，且P是线段P1P2的一个三等分点(靠近点P1)，则点P的
坐标为( A )
A.(2，2)
B.(3，－1)
C.(2，2)或(3，－1)
D.(2，2)或(3，1)
解析 由题意得P→1P＝13P→1P2且P→1P2＝(3，－3)， 设 P(x，y)，则(x－1，y－3)＝13(3，－3)，
知识梳理 1.平面向量基本定理
如果e1，e2是同一平面内的两个__不__共__线__向量，那么对于这一平面内的任意向 量a，___有__且__只__有_一对实数λ1，λ2，使a＝_____λ_1e_1_＋__λ_2_e2. 其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.
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2.平面向量的正交分解 把一个向量分解为两个__互__相__垂__直__的向量，叫做把向量正交分解.
解析 法一(定义法) 因为 a∥b，所以存在实数 k，使 a＝kb，即(2，5)＝k(λ， 4)，得k4kλ＝＝25，，解得λk＝＝8554，. 法二(结论法) 因为 a∥b，所以 2×4－5λ＝0，解得 λ＝58.
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考点突破 题型剖析
KAODIANTUPOTIXINGPOUXI
考点一 平面向量的坐标运算
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4.平面向量共线的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔___x_1y_2_－__x_2_y1_＝__0__.
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常用结论
1.平面内不共线向量都可以作为基底，反之亦然. 2.若a与b不共线，λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0. 3.向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关系.两个相等
(通用版)2019版高考数学一轮复习第5章平面向量2第2讲平面向量基本定理及坐标表示教案理
第2讲 平面向量基本定理及坐标表示1．平面向量基本定理(1)定理：如果e 1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2．(2)基底：不共线的向量e 1、e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 2．平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模 设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，λa ＝(λx 1，λy 1)，|a | (2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标． ②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，|AB →| 3．平面向量共线的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0． [提醒] 当且仅当x 2y 2≠0时，a ∥b 与x 1x 2＝y 1y 2等价． 即两个不平行于坐标轴的共线向量的对应坐标成比例．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底．( ) (2)在△ABC 中，向量AB →，BC →的夹角为∠ABC .( ) (3)同一向量在不同基底下的表示是相同的．( )(4)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件可表示成x 1x 2＝y 1y 2.( ) (5)若a ，b 不共线，且λ1a ＋μ1b ＝λ2a ＋μ2b ，则λ1＝λ2 ，μ1＝μ2.( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)× (5)√(教材习题改编)已知向量a ，b 满足a ＋b ＝(－1，5)，a －b ＝(5，－3)，则b ＝( ) A ．(－3，4) B ．(3，4) C ．(3，－4)D ．(－3，－4)解析：选A.由a ＋b ＝(－1，5)，a －b ＝(5，－3)，得2b ＝(－1，5)－(5，－3)＝(－6，8)，所以b ＝12(－6，8)＝(－3，4)，故选A.已知点A (0，1)，B (3，2)，向量AC →＝(－4，－3)，则向量BC →＝( )A ．(－7，－4)B ．(7，4)C ．(－1，4)D ．(1，4)解析：选A.法一：设C (x ，y )，则AC →＝(x ，y －1)＝(－4，－3)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4，y ＝－2，从而BC →＝(－4，－2)－(3，2)＝(－7，－4)．故选A.法二：AB →＝(3，2)－(0，1)＝(3，1)，BC →＝AC →－AB →＝(－4，－3)－(3，1)＝(－7，－4)． 故选A.(2017·高考山东卷)已知向量a ＝(2，6)，b ＝(－1，λ)．若a ∥b ，则λ＝________．解析：因为a ∥b ，所以－1×6＝2λ，所以λ＝－3. 答案：－3在▱ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，AN →＝3NC →，M 为BC 的中点，则MN →＝________(用a ，b 表示)．解析：因为AN →＝3NC →，所以AN →＝34AC →＝34(a ＋b )，又因为AM →＝a ＋12b ，所以MN →＝34(a ＋b )－⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋12b ＝－14a ＋14b .答案：－14a ＋14b平面向量基本定理及其应用[典例引领](1)已知平行四边形ABCD 中，点E ，F 满足AE →＝2EC →，BF →＝3FD →，则EF →＝________(用AB →，AD →表示)．(2)在△ABC 中，点P 是AB 上一点，且CP →＝23CA →＋13CB →，Q 是BC 的中点，AQ 与CP 的交点为M ，又CM →＝tCP →，则实数t 的值为________．【解析】 (1)如图所示，AE →＝23AC →＝23(AB →＋AD →)，BF →＝34BD →＝34(AD →－AB →)，所以EF →＝EA →＋AB →＋BF →＝－23(AB →＋AD →)＋AB →＋34(AD →－AB →)＝－512AB →＋112AD →.(2)因为CP →＝23CA →＋13CB →，所以3CP →＝2CA →＋CB →， 即2CP →－2CA →＝CB →－CP →， 所以2AP →＝PB →.即P 为AB 的一个三等分点(靠近A 点)， 又因为A ，M ，Q 三点共线，设AM →＝λAQ →. 所以CM →＝AM →－AC →＝λAQ →－AC →＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫12AB →＋12AC →－AC →＝λ2AB →＋λ－22AC→，又CM →＝tCP →＝t (AP →－AC →)＝t ⎝ ⎛⎭⎪⎫13AB →－AC →＝t 3AB →－tAC →. 故⎩⎪⎨⎪⎧λ2＝t 3，λ－22＝－t ，解得⎩⎪⎨⎪⎧t ＝34，λ＝12.故t 的值是34.【答案】 (1)－512AB →＋112AD → (2)341．在本例(2)中，试用向量AB →，AC →表示CP →. 解：因为CP →＝23CA →＋13CB →，所以3CP →＝2CA →＋CB →，即2CP →－2CA →＝CB →－CP →， 2AP →＝PB →，所以AP →＝13AB →，CP →＝AP →－AC →＝13AB →－AC →.2．在本例(2)中，试问点M 在AQ 的什么位置？解：由本例(2)的解析CM →＝λ2AB →＋λ－22AC →及λ＝12，CB →＝2CQ →知，CM →＝12λ(CB →－CA →)＋2－λ2CA →＝λ2CB →＋(1－λ)CA →＝λCQ →＋(1－λ)CA →＝CQ →＋CA→2.因此点M 是AQ 的中点．平面向量基本定理应用的实质和一般思路(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．[通关练习]1．在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝2CD ，M ，N 分别为CD ，BC 的中点，若AB →＝λAM →＋μAN →，则λ＋μ等于( ) A.15 B.25 C.35D.45解析：选D.因为AB →＝AN →＋NB →＝AN →＋CN →＝AN →＋(CA →＋AN →)＝2AN →＋CM →＋MA →＝2AN →－14AB →－AM →，所以AB →＝85AN →－45AM →，所以λ＝－45，μ＝85，所以λ＋μ＝45.2．如图，在△ABC 中，设AB →＝a ，AC →＝b ，AP 的中点为Q ，BQ 的中点为R ，CR 的中点恰为P ，则AP →＝( )A.12a ＋12bB.13a ＋23bC.27a ＋47b D.47a ＋27b解析：选C.如图，连接BP ，则AP →＝AC →＋CP →＝b ＋PR →，①AP →＝AB →＋BP →＝a ＋RP →－RB →，② ①＋②，得2AP →＝a ＋b －RB →，③ 又RB →＝12QB →＝12(AB →－AQ →)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a －12AP →，④ 将④代入③，得2AP →＝a ＋b －12⎝ ⎛⎭⎪⎫a －12AP →，解得AP →＝27a ＋47b .平面向量的坐标运算[典例引领]已知A (－2，4)，B (3，－1)，C (－3，－4)．设AB →＝a ，BC →＝b ，CA →＝c ，且CM →＝3c ，CN →＝－2b .(1)求3a ＋b －3c ；(2)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n ； (3)求M 、N 的坐标及向量MN →的坐标．【解】 由已知得a ＝(5，－5)，b ＝(－6，－3)，c ＝(1，8)． (1)3a ＋b －3c ＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1，8) ＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)． (2)因为m b ＋n c ＝(－6m ＋n ，－3m ＋8n )，所以⎩⎪⎨⎪⎧－6m ＋n ＝5，－3m ＋8n ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝－1.(3)设O 为坐标原点，因为CM →＝OM →－OC →＝3c ， 所以OM →＝3c ＋OC →＝(3，24)＋(－3，－4)＝(0，20)． 所以M (0，20)．又因为CN →＝ON →－OC →＝－2b ，所以ON →＝－2b ＋OC →＝(12，6)＋(－3，－4)＝(9，2)， 所以N (9，2)．所以MN →＝(9，－18)．向量坐标运算问题的一般思路(1)向量问题坐标化：向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可用坐标来进行，实现了向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来，通过建立平面直角坐标系，使几何问题转化为数量运算．(2)巧借方程思想求坐标：向量的坐标运算主要是利用加法、减法、数乘运算法则进行，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，求解过程中要注意方程思想的运用．(3)妙用待定系数法求系数：利用坐标运算求向量的基底表示，一般先求出基底向量和被表示向量的坐标，再用待定系数法求出系数．若向量a ＝(2，1)，b ＝(－1，2)，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，52，则c 可用向量a ，b 表示为( ) A ．c ＝12a ＋bB ．c ＝－12a －bC ．c ＝32a ＋12bD ．c ＝32a －12b解析：选A.设c ＝x a ＋y b ，则⎝ ⎛⎭⎪⎫0，52＝(2x －y ，x ＋2y )，所以⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝0，x ＋2y ＝52，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝1，则c ＝12a ＋b .平面向量共线的坐标表示(高频考点)平面向量共线的坐标表示是高考的常考内容，多以选择题或填空题的形式出现，难度较小，属容易题．高考对平面向量共线的坐标表示的考查主要有以下三个命题角度： (1)利用两向量共线求参数； (2)利用两向量共线求向量坐标； (3)三点共线问题．[典例引领]角度一 利用两向量共线求参数(2018·合肥市第一次教学质量检测)已知向量a ＝(1，3)，b ＝(－2，k )，且(a ＋2b )∥(3a －b )，则实数k ＝________．【解析】 a ＋2b ＝(－3，3＋2k )，3a －b ＝(5，9－k )，由题意可得－3(9－k )＝5(3＋2k )，解得k ＝－6. 【答案】 －6角度二 利用两向量共线求向量坐标已知梯形ABCD ，其中AB ∥CD ，且DC ＝2AB ，三个顶点A (1，2)，B (2，1)，C (4，2)，则点D 的坐标为________．【解析】 因为在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，DC ＝2AB ，所以DC →＝2AB →.设点D 的坐标为(x ，y )，则DC →＝(4，2)－(x ，y )＝(4－x ，2－y )，AB →＝(2，1)－(1，2)＝(1，－1)，所以(4－x ，2－y )＝2(1，－1)，即(4－x ，2－y )＝(2，－2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧4－x ＝2，2－y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4，故点D 的坐标为(2，4)． 【答案】 (2，4)角度三 三点共线问题已知向量OA →＝(k ，12)，OB →＝(4，5)，OC →＝(－k ，10)，且A ，B ，C 三点共线，则k 的值是( ) A ．－23B.43C.12D.13【解析】 AB →＝OB →－OA →＝(4－k ，－7)， AC →＝OC →－OA →＝(－2k ，－2)．因为A ，B ，C 三点共线，所以AB →，AC →共线， 所以－2×(4－k )＝－7×(－2k )，解得k ＝－23.【答案】 A(1)向量共线的两种表示形式设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，①a ∥b ⇒a ＝λb (b ≠0)；②a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0，至于使用哪种形式，应视题目的具体条件而定，一般情况涉及坐标的应用②. (2)两向量共线的充要条件的作用判断两向量是否共线(平行)，可解决三点共线的问题；另外，利用两向量共线的充要条件可以列出方程(组)，求出未知数的值．[通关练习]1．已知向量a ＝(－1，2)，b ＝(3，m )，m ∈R ，则“m ＝－6”是“a ∥(a ＋b )”的( ) A ．充分必要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件解析：选A.由题意得a ＋b ＝(2，2＋m )，由a ∥(a ＋b )，得－1×(2＋m )＝2×2，所以m ＝－6.当m ＝－6时，a ∥(a ＋b )，则“m ＝－6”是“a ∥(a ＋b )”的充分必要条件． 2．已知a ＝(1，0)，b ＝(2，1)． (1)当k 为何值时，k a －b 与a ＋2b 共线？(2)若AB →＝2a ＋3b ，BC →＝a ＋m b 且A 、B 、C 三点共线，求m 的值． 解：(1)k a －b ＝k (1，0)－(2，1)＝(k －2，－1)，a ＋2b ＝(1，0)＋2(2，1)＝(5，2)．因为k a －b 与a ＋2b 共线，所以2(k －2)－(－1)×5＝0， 即2k －4＋5＝0，得k ＝－12.(2)法一：因为A 、B 、C 三点共线， 所以AB →＝λBC →，即2a ＋3b ＝λ(a ＋m b )，所以⎩⎪⎨⎪⎧2＝λ3＝m λ，解得m ＝32.法二：AB →＝2a ＋3b ＝2(1，0)＋3(2，1)＝(8，3)， BC →＝a ＋m b ＝(1，0)＋m (2，1)＝(2m ＋1，m )．因为A 、B 、C 三点共线，所以AB →∥BC →.所以8m －3(2m ＋1)＝0， 即2m －3＝0，所以m ＝32.对平面向量基本定理的理解(1)平面向量基本定理实际上是向量的分解定理，并且是平面向量正交分解的理论依据，也是向量的坐标表示的基础．(2)平面向量一组基底是两个不共线向量，平面向量基底可以有无穷多组． (3)用平面向量基本定理可将平面中任一向量分解成形如a ＝λ1e 1＋λ2e 2的形式．易错防范(1)注意能作为基底的两个向量必须是不共线的．(2)要区分点的坐标与向量坐标的不同，尽管在形式上它们完全一样，但意义完全不同，向量坐标中既有方向也有大小的信息．(3)两个相等的向量，无论起点在什么位置，它们的坐标都是相同的．1．设向量a ＝(x ，1)，b ＝(4，x )，且a ，b 方向相反，则x 的值是( ) A ．2 B ．－2 C ．±2D ．0解析：选B.因为a 与b 方向相反，所以b ＝m a ，m <0，则有(4，x )＝m (x ，1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧4＝mx ，x ＝m ，解得m ＝±2.又m <0，所以m ＝－2，x ＝m ＝－2.2．已知A (1，4)，B (－3，2)，向量BC →＝(2，4)，D 为AC 的中点，则BD →＝( ) A ．(1，3) B ．(3，3) C ．(－3，－3)D ．(－1，－3)解析：选B.设C (x ，y )，则BC →＝(x ＋3，y －2)＝(2，4)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3＝2，y －2＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝6即C (－1，6)．由D 为AC 的中点可得点D 的坐标为(0，5)，所以BD →＝(0＋3，5－2)＝(3，3)．3．在平面直角坐标系xOy 中，已知A (1，0)，B (0，1)，C 为坐标平面内第一象限内一点且∠AOC ＝π4，且|OC |＝2，若OC →＝λOA →＋μOB →，则λ＋μ＝( )A ．2 2 B. 2 C ．2D ．4 2解析：选 A.因为|OC |＝2，∠AOC ＝π4，所以C (2，2)，又因为OC →＝λOA →＋μOB →，所以(2，2)＝λ(1，0)＋μ(0，1)＝(λ，μ)，所以λ＝μ＝2，λ＋μ＝2 2. 4．已知非零不共线向量OA →、OB →，若2OP →＝xOA →＋yOB →，且PA →＝λAB →(λ∈R )，则点Q (x ，y )的轨迹方程是( ) A ．x ＋y －2＝0 B ．2x ＋y －1＝0 C ．x ＋2y －2＝0D ．2x ＋y －2＝0解析：选A.由PA →＝λAB →，得OA →－OP →＝λ(OB →－OA →)， 即OP →＝(1＋λ)OA →－λOB →. 又2OP →＝xOA →＋yOB →，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2λ，y ＝－2λ，消去λ得x ＋y －2＝0，故选A.5．(2018·江西吉安模拟)设D ，E ，F 分别是△ABC 的三边BC ，CA ，AB 上的点，且DC →＝2BD →，CE →＝2EA →，AF →＝2FB →，则AD →＋BE →＋CF →与BC →( ) A ．反向平行 B ．同向平行 C ．互相垂直D ．既不平行也不垂直解析：选A.由题意得AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋13BC →，BE →＝BA →＋AE →＝BA →＋13AC →，CF →＝CB →＋BF →＝CB →＋13BA →，因此AD →＋BE →＋CF →＝CB →＋13(BC →＋AC →＋BA →)＝CB →＋23BC →＝－13BC →，故AD →＋BE →＋CF →与BC →反向平行．6．已知向量a ＝(1－sin θ，1)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1＋sin θ，若a ∥b ，则锐角θ＝________．解析：因为a ∥b ，所以(1－sin θ)×(1＋sin θ)－1×12＝0，得cos 2θ＝12，所以cos θ＝±22，又因为θ为锐角，所以θ＝π4. 答案：π47．(2018·绵阳诊断)在△ABC 中，AN →＝12AC →，P 是BN 上一点，若AP →＝mAB →＋38AC →，则实数m的值为________．解析：因为B ，P ，N 三点共线，所以AP →＝tAB →＋(1－t )AN →＝tAB →＋12(1－t )AC →，又因为AP →＝mAB →＋38AC →，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＝t ，12（1－t ）＝38，解得m ＝t ＝14.答案：148．(2018·福建四地六校联考)已知A (1，0)，B (4，0)，C (3，4)，O 为坐标原点，且OD →＝12(OA →＋OB →－CB →)，则|BD →|＝________．解析：由OD →＝12(OA →＋OB →－CB →)＝12(OA →＋OC →)，知点D 是线段AC 的中点，故D (2，2)，所以BD→＝(－2，2)，故|BD →|＝（－2）2＋22＝2 2. 答案：2 29．已知A (1，1)，B (3，－1)，C (a ，b )． (1)若A ，B ，C 三点共线，求a ，b 的关系式； (2)若AC →＝2AB →，求点C 的坐标．解：(1)由已知得AB →＝(2，－2)，AC →＝(a －1，b －1)， 因为A ，B ，C 三点共线，所以AB →∥AC →. 所以2(b －1)＋2(a －1)＝0，即a ＋b ＝2. (2)因为AC →＝2AB →，所以(a －1，b －1)＝2(2，－2)．所以⎩⎪⎨⎪⎧a －1＝4，b －1＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝－3. 所以点C 的坐标为(5，－3)．10.如图，以向量OA →＝a ，OB →＝b 为邻边作▱OADB ，BM →＝13BC →，CN →＝13CD →，用a ，b 表示OM →，ON →，MN →.解：因为BA →＝OA →－OB →＝a －b ，BM →＝16BA →＝16a －16b ，所以OM →＝OB →＋BM →＝16a ＋56b .因为OD →＝a ＋b ，所以ON →＝OC →＋13CD →＝12OD →＋16OD →＝23OD →＝23a ＋23b ，所以MN →＝ON →－OM →＝23a ＋23b －16a －56b ＝12a －16b .综上，OM →＝16a ＋56b ，ON →＝23a ＋23b ，MN →＝12a －16b .)1.如图，在△ABC 中，AD →＝23AC →，BP →＝13BD →，若AP →＝λAB →＋μAC →，则λ＋μ的值为( ) A.89 B.49 C.83D.43解析：选A.因为AP →＝AB →＋BP →，BP →＝13BD →，所以AP →＝AB →＋13BD →，因为BD →＝AD →－AB →，AD →＝23AC →，所以BD →＝23AC →－AB →，所以AP →＝AB →＋13BD →＝AB →＋13⎝ ⎛⎭⎪⎫23AC →－AB →＝23AB →＋29AC →， 因为AP →＝λAB →＋μAC →， 所以λ＝23，μ＝29，则λ＋μ＝23＋29＝89.2．已知O 是平面上一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足OP →＝OA →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|，λ∈[0，＋∞)，则点P 的轨迹一定通过△ABC 的( ) A ．外心 B ．内心 C ．重心D ．垂心解析：选 B.由OP →＝OA →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|，知OP →－OA →＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|，即AP →＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|，所以点P 在∠BAC 的平分线上，故点P 的轨迹一定通过△ABC 的内心． 3．如图，在正方形ABCD 中，M ，N 分别是BC ，CD 的中点，若AC →＝λAM →＋μBN →，则λ＋μ＝________．解析：法一：以AB ，AD 所在直线分别为x 轴，y 轴，建立平面直角坐标系，如图所示，设正方形的边长为1，则AM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，BN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1，AC →＝(1，1)．因为AC →＝λAM →＋μBN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫λ－12μ，λ2＋μ，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ－12μ＝1，λ2＋μ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝65，μ＝25，所以λ＋μ＝85. 法二：由AM →＝AB →＋12AD →，BN →＝－12AB →＋AD →，得AC →＝λAM →＋μBN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫λ－μ2AB →＋⎝ ⎛⎭⎪⎫λ2＋μAD →，又AC →＝AB →＋AD →，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ－μ2＝1，λ2＋μ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝65，μ＝25.所以λ＋μ＝85.答案：854．(2018·长沙市统一模拟考试)平行四边形ABCD 中，AB ＝3，AD ＝2，∠BAD ＝120°，P 是平行四边形ABCD 内一点，且AP ＝1，若AP →＝xAB →＋yAD →，则3x ＋2y 的最大值为________． 解析：|AP →|2＝(xAB →＋yAD →)2＝9x 2＋4y 2＋2xy ×3×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝(3x ＋2y )2－3(3x )(2y )≥(3x ＋2y )2－34(3x ＋2y )2＝14(3x ＋2y )2.又|AP →|2＝1，因此14(3x ＋2y )2≤1，故3x ＋2y ≤2，当且仅当3x ＝2y ，即x ＝13，y ＝12时，3x ＋2y 取得最大值2.答案：25．若点M 是△ABC 所在平面内一点，且满足AM →＝34AB →＋14AC →.(1)求△ABM 与△ABC 的面积之比；(2)若N 为AB 中点，AM 与CN 交于点O ，设BO →＝xBM →＋yBN →，求x ，y 的值． 解：(1)由AM →＝34AB →＋14AC →，可知M ，B ，C 三点共线．如图令BM →＝λBC →得AM →＝AB →＋BM →＝AB →＋λBC →＝AB →＋λ(AC →－AB →)＝(1－λ)AB →＋λAC →，所以λ＝14，所以S △ABM S △ABC ＝14，即面积之比为1∶4. (2)由BO →＝xBM →＋yBN →得BO →＝xBM →＋y 2BA →，BO →＝x 4BC →＋yBN →，由O ，M ，A 三点共线及O ，N ，C 三点共线⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y 2＝1，x4＋y ＝1⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝47，y ＝67.6．如图，设Ox ，Oy 为平面内相交成60°角的两条数轴，e 1、e 2分别是x 轴、y 轴正方向同向的单位向量，若向量OP →＝x e 1＋y e 2，则把有序实数对(x ，y )叫做向量OP →在坐标系xOy 中的坐标．若OP →的坐标为(1，1)．(1)求|OP →|；(2)过点P 作直线l 分别与x 轴、y 轴正方向交于点A 、B ，试确定A ，B 的位置，使△AOB 的面积最小，并求出最小值．解：(1)过点P 作x 轴、y 轴的平行线，交y 轴、x 轴于点M 、N .|ON →|＝1，|OM →|＝|NP →|＝1，∠ONP ＝120°， 所以|OP →|＝|ON →|2＋|PN →|2－2|ON →||PN →|cos 120°＝ 3.(2)设|OA →|＝x ，|OB →|＝y . OP →＝mOA →＋nOB →(m ＋n ＝1)，则OP →＝mOA →＋nOB →＝mx e 1＋ny e 2.得⎩⎪⎨⎪⎧mx ＝1，ny ＝1⇒1x ＋1y ＝1.S △AOB ＝12|OA →||OB →|sin 60°＝12xy sin 60°＝34xy . 因为1x ＋1y＝1≥2xy，所以xy ≥2，S △AOB ＝34xy ≥3， 当且仅当x ＝y ＝2，即当A (2，0)，B (0，2)时，△AOB 面积最小，最小值为 3.。
2019届高考数学一轮复习 第五章 平面向量、复数 课时跟踪训练26 平面向量基本定理及坐标表示 文
课时跟踪训练(二十六) 平面向量基本定理及坐标表示[基础巩固]一、选择题1．在下列向量组中，可以把向量a ＝(2,3)表示成λe 1＋μe 2(λ，μ∈R )的是( ) A ．e 1＝(0,0)，e 2＝(2,1) B ．e 1＝(3,4)，e 2＝(6,8) C ．e 1＝(－1,2)，e 2＝(3，－2) D ．e 1＝(1，－3)，e 2＝(－1,3)[解析] 根据平面向量基本定理可知，e 1，e 2不共线，验证各选项，只有选项C 中的两个向量不共线，故选C.[答案] C2．若向量a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，c ＝(－1,2)，则c ＝( ) A ．－12a ＋32bB.12a －32bC.32a －12b D ．－32a ＋12b[解析] 设c ＝λ1a ＋λ2b ，则(－1,2)＝λ1(1,1)＋λ2(1，－1)＝(λ1＋λ2，λ1－λ2)，∴λ1＋λ2＝－1，λ1－λ2＝2，解得λ1＝12，λ2＝－32，所以c ＝12a －32b .[答案] B3．已知向量a ＝(1,1)，b ＝(2，x )，若a ＋b 与4b －2a 平行，则实数x 的值是( ) A ．－2 B ．0 C ．1D ．2[解析] 解法一：因为a ＝(1,1)，b ＝(2，x )，所以a ＋b ＝(3，x ＋1)，4b －2a ＝(6,4x －2)，由a ＋b 与4b －2a 平行，得6(x ＋1)－3(4x －2)＝0，解得x ＝2.解法二：因为a ＋b 与4b －2a 平行，所以存在常数λ，使a ＋b ＝λ(4b －2a )，即(2λ＋1)a ＝(4λ－1)b ，根据向量共线的条件知，向量a 与b 共线，故x ＝2.[答案] D4．(2018·四川成都双流中学月考)设向量a ＝(2，x －1)，b ＝(x ＋1,4)，则“x ＝3”是“a ∥b ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] 当a ∥b 时，有2×4－(x －1)(x ＋1)＝0.解得x ＝±3.故“x ＝3”是“a ∥b ”的充分不必要条件，故选A. [答案] A5．(2018·广西柳州模拟)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(－3，2)，若(k a ＋b )∥(a －3b )，则实数k 的取值为( )A ．－13B.13 C ．－3D ．3[解析] k a ＋b ＝k (1,2)＋(－3,2)＝(k －3,2k ＋2)．a －3b ＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)，则由(k a ＋b )∥(a －3b )得(k －3)×(－4)－10×(2k ＋2)＝0，所以k ＝－13.[答案] A6．在平面直角坐标系xOy 中，已知A (1,0)，B (0,1)，C 为坐标平面内第一象限内一点且∠AOC ＝π4，且|OC |＝2，若OC →＝λOA →＋μOB →，则λ＋μ＝( )A ．2 2 B. 2 C ．2D ．4 2[解析] 因为|OC |＝2，∠AOC ＝π4，所以C (2，2)，又OC →＝λOA →＋μOB →，所以(2，2)＝λ(1,0)＋μ(0,1)＝(λ，μ)，所以λ＝μ＝2，λ＋μ＝2 2. [答案] A 二、填空题7．已知平行四边形ABCD 的顶点坐标分别为A (4,2)，B (5,7)，C (－3,4)，则顶点D 的坐标是________．[解析] 设D (x ，y )，∵A (4,2)，B (5,7)，C (－3,4)， ∴AB →＝(1,5)，DC →＝(－3－x,4－y )． ∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AB →＝DC →，得⎩⎪⎨⎪⎧－3－x ＝1，4－y ＝5.解得x ＝－4，y ＝－1. ∴点D 的坐标为(－4，－1)． [答案] (－4，－1)8．设向量a ，b 满足|a |＝25，b ＝(2,1)，且a 与b 的方向相反，则a 的坐标为________． [解析] ∵b ＝(2,1)，且a 与b 的方向相反，∴设a ＝(2λ，λ)(λ<0)． ∵|a |＝25，∴4λ2＋λ2＝20，λ2＝4，λ＝－2. ∴a ＝(－4，－2)． [答案] (－4，－2)9．已知A (－1,2)，B (a －1,3)，C (－2，a ＋1)，D (2,2a ＋1)，若向量AB →与CD →平行且同向，则实数a 的值为________．[解析] 解法一：由已知得AB →＝(a,1)，CD →＝(4，a )，因为AB →与CD →平行且同向，故可设AB→＝λCD →(λ>0)，则(a,1)＝λ(4，a )，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4λ，1＝a λ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，λ＝12.故所求实数a ＝2.解法二：由已知得AB →＝(a,1)，CD →＝(4，a )，由AB →∥CD →，得a 2－4＝0，解得a ＝±2.又向量AB →与CD →同向，易知a ＝－2不符合题意．故所求实数a ＝2.[答案] 2 三、解答题10．已知a ＝(1,0)，b ＝(2,1)， (1)当k 为何值时，k a －b 与a ＋2b 共线；(2)若AB →＝2a ＋3b ，BC →＝a ＋m b 且A 、B 、C 三点共线，求m 的值． [解] (1)k a －b ＝k (1,0)－(2,1)＝(k －2，－1)，a ＋2b ＝(1,0)＋2(2,1)＝(5,2)．∵k a －b 与a ＋2b 共线，∴2(k －2)－(－1)×5＝0， 即2k －4＋5＝0，得k ＝－12.(2)解法一：∵A 、B 、C 三点共线，∴AB →＝λBC →，即2a ＋3b ＝λ(a ＋m b )，∴⎩⎪⎨⎪⎧2＝λ，3＝m λ，解得m ＝32.解法二：AB →＝2a ＋3b ＝2(1,0)＋3(2,1)＝(8,3)， BC →＝a ＋m b ＝(1,0)＋m (2,1)＝(2m ＋1，m )，∵A 、B 、C 三点共线，∴AB →∥BC →，∴8m －3(2m ＋1)＝0，即2m －3＝0，∴m ＝32.[能力提升]11．(2018·河北石家庄期末)如图所示，在矩形OACB 中，E 和F 分别是边AC 和BC 上的点，满足AC ＝3AE ，BC ＝3BF ，若OC →＝λOE →＋μOF →，其中λ，μ∈R ，则λ＋μ＝( )A.83B.32C.53D ．1 [解析] ∵AC →＝3AE →，∴OC →－OA →＝3OE →－3OA →，OE →＝23OA →＋13OC →.同理可得：OF →＝23OB →＋13OC →.代入OC →＝λOE →＋μOF →，得OC →＝λ·2OA →＋OC →3＋μ·2OB →＋OC→3，∴OC →＝2λ3－λ－μOA →＋2μ3－λ－μOB →.又∵OC →＝OA →＋OB →，∴⎩⎪⎨⎪⎧2λ3－λ－μ＝1，①2μ3－λ－μ＝1，②①＋②得λ＋μ＝32.[答案] B12．(2018·安徽蚌埠上学期期中)已知向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin A ，12与向量n ＝(3，sin A ＋3cos A )共线，其中A 是△ABC 的内角，则角A 的大小为( )A.π6 B.π4 C.π3D.π2[解析] ∵m ∥n ，∴sin A (sin A ＋3cos A )－32＝0，∴2sin 2A ＋23sin A cos A ＝3.可化为1－cos2A ＋3sin2A ＝3， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A －π6＝1， ∵A ∈(0，π)，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫2A －π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，11π6. 因此2A －π6＝π2，解得A ＝π3，故选C.[答案] C13．(2017·九江模拟)P ＝{a |a ＝(－1,1)＋m (1,2)，m ∈R }，Q ＝{b |b ＝(1，－2)＋n (2,3)，n ∈R }是两个向量集合，则P ∩Q 等于________．[解析] P 中，a ＝(－1＋m,1＋2m )，Q 中，b ＝(1＋2n ，－2＋3n )．则⎩⎪⎨⎪⎧－1＋m ＝1＋2n ，1＋2m ＝－2＋3n .得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－12，n ＝－7.此时a ＝b ＝(－13，－23)． [答案] {(－13，－23)}14．线段AB 的端点为A (x,5)，B (－2，y )，直线AB 上的点C (1,1)，使|AC →|＝2|BC →|，则x ＋y ＝________.[解析] 由已知得AC →＝(1－x ，－4)，2BC →＝2(3,1－y )．由|AC →|＝2|BC →|，可得AC →＝±2BC →，则当AC →＝2BC →时，⎩⎪⎨⎪⎧ 1－x ＝6，－4＝2－2y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－5，y ＝3，x ＋y ＝－2；当AC →＝－2BC →时，有⎩⎪⎨⎪⎧1－x ＝－6，－4＝－2＋2y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7，y ＝－1，x ＋y ＝6.综上可知x ＋y ＝－2或6. [答案] －2或615．已知点O (0,0)，A (1,2)，B (4,5)且OP →＝OA →＋tAB →. (1)求点P 在第二象限时，实数t 的取值范围；(2)四边形OABP 能否为平行四边形？若能，求出相应的实数t ；若不能，请说明理由． [解] ∵O (0,0)，A (1,2)，B (4,5)， ∴OA →＝(1,2)，AB →＝(4－1,5－2)＝(3,3)．(1)设P (x ，y )，则OP →＝(x ，y )，若点P 在第二象限，则⎩⎪⎨⎪⎧x <0，y >0，且(x ，y )＝(1,2)＋t (3,3)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋3t ，y ＝2＋3t ，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋3t <0，2＋3t >0，∴－23<t <－13.(2)因为OA →＝(1,2)，PB →＝OB →－OP →＝(3－3t,3－3t )， 若四边形OABP 为平行四边形，则OA →＝PB →.由⎩⎪⎨⎪⎧3－3t ＝1，3－3t ＝2，得此方程组无解，∴四边形OABP 不可能为平行四边形．。
2019届人教版高考数学(文)一轮复习：5-2 平面向量基本定理及坐标表示
名 师 引 领 拓 视 野
所以 a＝2e1＋e2，故选 B.
[答案] B
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第五章
第二节
与名师对话· 系列丛书
高考总复习·课标版·数学（文）
吃 透 教 材 夯 双 基 考 点 突 破 提 能 力
→ 3．(2017· 长沙模拟)已知点 A(1,3)，B(4，－1)，则与向量AB同 方向的单位向量为(
高考总复习·课标版·数学（文）
吃 透 教 材 夯 双 基 考 点 突 破 提 能 力
高考概览 1.了解平面向量的基本定理及其意义； 2.掌握平面向量的正交 分解及其坐标表示；3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数 乘运算；4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.
名 师 引 领 拓 视 野
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第五章
吃 透 教 材 夯 双 基 考 点 突 破 提 能 力
[解析]
→ → AB＝(4－1， －1－3)＝(3， －4)， 则|AB|＝ 32＋－42
名 师 引 领 拓 视 野
→ 3 4 AB 1 → ＝5.与AB同方向的单位向量为 ＝ (3，－4)＝5，－5 . 5 → |AB|
→ ∴BC＝(－7，－4)，选 A.
[答案] A
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第五章
第二节
与名师对话· 系列丛书
高考总复习·课标版·数学（文）
吃 透 教 材 夯 双 基 考 点 突 破 提 能 力
2． 在下列向量组中， 可以把向量 a＝(3,2)表示出来的是( A．e1＝(0,0)，e2＝(1,2) B．e1＝(－1,2)，e2＝(5，－2) C．e1＝(3,5)，e2＝(6,10) D．e1＝(2，－3)，e2＝(－2,3)
2019高考数学一轮复习5.2平面向量基本定理及向量的坐标表示课件理新人教B
(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底.( )
(2)平面向量不论经过怎样的平移变换之后其坐标不变.( )
(3)在△ABC 中,向量������������, ������������的夹角为∠ABC. ( )
已知两个 非零 向量a和b,作������������=a,������������=b, 则
∠AOB=θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a与b的夹角.如果向量a与b的夹角
是90°,我们说a与b垂直,记作
a⊥. b
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知识梳理 考点自测
1.若a与b不共线,λa+μb=0,则λ=μ=0. 2.已知 ������������=λ������������+μ������������(λ,μ为常数),则A,B,C三点共线的充要条件是 λ+μ=1.
则实数t=
.
由题意,得a=(1,-1),b=(t,1), 则a+b=(1+t,0),a-b=(1-t,-2).因为(a+b)∥(a-b),
所以(1+t)×(-2)=(1-t)×0=0,解得t=-1.
-1
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解析 答案
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知识梳理 考点自测
12345
5.设向量a=(m,1),b=(1,2),且|a+b|2=|a|2+|b|2,则实数
3
3
=13
-
1 2
������������ -
a-b= (x1-x2,y1-y2)
,λa= (λx1,λy1)
,
|a|= ������12 + ������12,|a+b|= (������1 + ������2)2 + (������1 + ������2 )2.
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1 题组训练30 平面向量基本定理及坐标运算 1．已知点A(－1，1)，B(2，y)，向量a＝(1，2)，若AB→∥a，则实数y的值为( ) A．5 B．6 C．7 D．8 答案 C
解析 AB→＝(3，y－1)，a＝(1，2)，AB→∥a，则2×3＝1×(y－1)，解得y＝7，故选C. 2．已知M(3，－2)，N(－5，－1)，且MP→＝12MN→，则P点的坐标为( )
A．(－8，1) B．(－1，－32) C．(1，32) D．(8，－1) 答案 B 解析 设P(x，y)，则MP→＝(x－3，y＋2)．
而12MN→＝12(－8，1)＝(－4，12)，∴x－3＝－4，y＋2＝12.解得x＝－1，y＝－32. ∴P(－1，－32)．故选B. 3．如果e1，e2是平面α内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是( ) A．e1与e1＋e2 B．e1－2e2与e1＋2e2 C．e1＋e2与e1－e2 D．e1＋3e2与6e2＋2e1 答案 D
解析 选项A中，设e1＋e2＝λe1，则1＝λ，1＝0，无解；选项B中，设e1－2e2＝λ(e1＋2e2)，
则λ＝1，－2＝2λ，无解；选项C中，设e1＋e2＝λ(e1－e2)，则λ＝1，1＝－λ，无解；选项D中，e1
＋3e2＝12(6e2＋2e1)，所以两向量是共线向量． 4．设向量a＝(1，－3)，b＝(－2，4)，若表示向量4a，3b－2a，c的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量c为( ) A．(1，－1) B．(－1，1) C．(－4，6) D．(4，－6) 2
答案 D 解析 由题知4a＝(4，－12)，3b－2a＝(－6，12)－(2，－6)＝(－8，18)，由4a＋(3b－2a)＋c＝0，知c＝(4，－6)，选D.
5．(2018·河北唐山一模)在△ABC中，∠B＝90°，AB→＝(1，－2)，AC→＝(3，λ)，则λ＝( ) A．－1 B．1
C.32 D．4 答案 A 解析 在△ABC中，∵AB→＝(1，－2)，AC→＝(3，λ)，∴BC→＝AC→－AB→＝(2，λ＋2)．又∵∠B＝90°，∴AB→⊥BC→，∴AB→·BC→＝0，即2－2(λ＋2)＝0，解得λ＝－1.故选A. 6．(2018·湖北襄阳模拟)设向量a＝(m，2)，b＝(1，m＋1)，且a与b的方向相反，则实数m的值为( ) A．－2 B．1 C．－2或1 D．m的值不存在 答案 A 解析 向量a＝(m，2)，b＝(1，m＋1)，因为a∥b，所以m(m＋1)＝2×1，解得m＝－2或1.当m＝1时，a＝(1，2)，b＝(1，2)，a与b的方向相同，舍去；当m＝－2时，a＝(－2，2)，b＝(1，－1)，a与b的方向相反，符合题意．故选A.
7．在▱ABCD中，若AD→＝(3，7)，AB→＝(－2，3)，对角线交点为O，则CO→等于( ) A．(－12，5) B．(－12，－5)
C．(12，－5) D．(12，5) 答案 B 解析 CO→＝－12AC→＝－12(AD→＋AB→)＝－12(1，10)＝(－12，－5)． 8．(2018·湖北襄樊一模)已知OA→＝(1，－3)，OB→＝(2，－1)，OC→＝(k＋1，k－2)，若A，B，C三点不能构成三角形，则实数k应满足的条件是( )
A．k＝－2 B．k＝12 C．k＝1 D．k＝－1 答案 C
解析 若点A，B，C不能构成三角形，则向量AB→与AC→共线. 因为AB→＝OB→－OA→＝(2，－1)－(1， 3
－3)＝(1，2)，AC→＝OC→－OA→＝(k＋1，k－2)－(1，－3)＝(k，k＋1)．所以1×(k＋1)－2k＝0，解得k＝1，故选C.
9．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，设向量OA→＝a，OB→＝b，其中a＝(3，1)，b＝(1，3)．若OC→＝λa＋μb，且0≤λ≤μ≤1，则C点所有可能的位置区域用阴影表示正确的是( )
答案 A 解析 由题意知OC→＝(3λ＋μ，λ＋3μ)，取特殊值，λ＝0，μ＝0，知所求区域包含原点，取λ＝0，μ＝1，知所求区域包含(1，3)，从而选A. 10．(2017·安徽合肥一模)已知a＝(1，3)，b＝(－2，k)，且(a＋2b)∥(3a－b)，则实数k＝________． 答案 －6 解析 ∵a＝(1，3)，b＝(－2，k)，∴a＋2b＝(－3，3＋2k)，3a－b＝(5，9－k)．∵(a＋2b)∥(3a－b)，∴－3(9－k)－5(3＋2k)＝0，解得k＝－6. 11．已知梯形ABCD，其中AB∥CD，且DC＝2AB，三个顶点A(1，2)，B(2，1)，C(4，2)，则点D的坐标为________． 答案 (2，4)
解析 ∵在梯形ABCD中，DC＝2AB，∴DC→＝2AB→. 设点D的坐标为(x，y)，则DC→＝(4，2)－(x，y)＝(4－x，2－y)，AB→＝(2，1)－(1，2)＝(1，－1)， ∴(4－x，2－y)＝2(1，－1)，即(4－x，2－y)＝(2，－2)，
∴4－x＝2，2－y＝－2，解得x＝2，y＝4， 故点D的坐标为(2，4)． 4
12．已知A(－3，0)，B(0，3)，O为坐标原点，C在第二象限，且∠AOC＝30°，OC→＝λOA→＋OB→，则实数λ的值为________． 答案 1
解析 由题意知OA→＝(－3，0)，OB→＝(0，3)，则OC→＝(－3λ，3)． 由∠AOC＝30°知以x轴的非负半轴为始边，OC为终边的一个角为150°，
∴tan150°＝3－3λ，即－33＝－33λ，∴λ＝1. 13．(2018·河北联盟二模)已知点A(1，0)，B(1，3)，点C在第二象限，且∠AOC＝150°，OC→＝－4OA→＋λOB→，则λ＝________． 答案 1
解析 ∵点A(1，0)，B(1，3)，点C在第二象限，OC→＝－4OA→＋λOB→，∴C(λ－4，3λ)．∵∠AOC＝150°，∴∠COx＝150°，∴tan150°＝3λλ－4＝－33，解得λ＝1. 14．已知|OA→|＝1，|OB→|＝3，OA→·OB→＝0，点C在∠AOB内，且∠AOC＝30°.设OC→＝mOA→＋nOB→(m，n∈R)，则mn＝________． 答案 3 解析 方法一：如图所示，
∵OA→·OB→＝0，∴OB→⊥OA→. 不妨设|OC→|＝2，过C作CD→⊥OA→于D，CE→⊥OB→于E，则四边形ODCE是矩形． OC→＝OD→＋DC→＝OD→＋OE→. ∵|OC→|＝2，∠COD＝30°，∴|DC→|＝1，|OD→|＝3. 又∵|OB→|＝3，|OA→|＝1， 故OD→＝3 OA→，OE→＝33OB→.
∴OC→＝3 OA→＋33OB→，此时m＝3，n＝33. 5
∴mn＝333＝3. 方法二：由OA→·OB→＝0知△AOB为直角三角形，以OA，OB所在直线分别为x，y轴建立平面直角坐标系，则可知OA→＝(1，0)，OB→＝(0，3)．又由OC→＝mOA→＋nOB→，可知OC→＝(m，3n)，故由tan30°＝3nm＝33，可知mn＝3. 15．(2018·湖南长沙一模)在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝2，P是矩形内部一点(不含边界)，且AP＝1.若AP→＝xAB→＋yAD→，则3x＋2y的取值范围是________． 答案 (1，2]
解析 ∵在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝2，如图，以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，则A(0，
0)，B(3，0)，D(0，2)，∴AP→＝xAB→＋yAD→＝x(3，0)＋y(0，2)＝(3x，2y)．
∵|AP→|＝1，∴(3x)2＋(2y)2＝1.令3x＝cosθ，2y＝sinθ，θ∈(0，π2)，则3x＋2y＝cos
θ＋sinθ＝2sin(θ＋π4)，∵π41<3x＋2y≤2，即3x＋2y的取值范围是(1，2]． 16．已知A，B，C三点的坐标分别为(－1，0)，(3，－1)，(1，2)，并且AE→＝13AC→，BF→＝13BC→. (1)求E，F的坐标； (2)求证：EF→∥AB→. 答案 (1)E(－13，23)，F(73，0) (2)略 解析 (1)设E，F两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则依题意，得AC→＝(2，2)，BC→＝(－2，3)，AB→＝(4，－1)． ∴AE→＝13AC→＝(23，23)，BF→＝13BC→＝(－23，1)．
∴AE→＝(x1，y1)－(－1，0)＝(23，23)， BF→＝(x2，y2)－(3，－1)＝(－23，1)． 6
∴(x1，y1)＝(23，23)＋(－1，0)＝(－13，23)， (x2，y2)＝(－23，1)＋(3，－1)＝(73，0)． ∴E的坐标为(－13，23)，F的坐标为(73，0)． (2)由(1)知(x1，y1)＝(－13，23)，(x2，y2)＝(73，0)． ∴EF→＝(x2，y2)－(x1，y1)＝(83，－23)． 又AB→＝(4，－1)， ∵4×(－23)－(－1)×83＝0， ∴EF→∥AB→. 17．已知向量a＝(sinθ，cosθ－2sinθ)，b＝(1，2)． (1)若a∥b，求tanθ的值； (2)若|a|＝|b|，0
答案 (1)14 (2)π2或3π4
解析 (1)因为a∥b，所以2sinθ＝cosθ－2sinθ，于是4sinθ＝cosθ，故tanθ＝14. (2)由|a|＝|b|知，sin2θ＋(cosθ－2sinθ)2＝5，所以 1－2sin2θ＋4sin2θ＝5.
从而－2sin2θ＋2(1－cos2θ)＝4，即sin2θ＋cos2θ＝－1，于是sin(2θ＋π4)＝－22. 又由0因此θ＝π2或θ＝3π4. 18．(2018·潍坊二模)已知向量AB→＝(6，1)，BC→＝(x，y)，CD→＝(－2，－3)． (1)若BC→∥DA→，求x与y之间的关系式； (2)在(1)的条件下，若AC→⊥BD→，求x，y的值及四边形ABCD的面积． 答案 (1)x＋2y＝0 (2)x＝－6，y＝3，S四边形ABCD＝16
解析 (1)∵AD→＝AB→＋BC→＋CD→＝(x＋4，y－2)，