用三种方式表示二次函数(1)解析法,列表法,图象法
函数学生版
函数1、回顾初中有关函数的概念：在一个变化过程中，有两个变量x 和y ，如果给定了一个x 值，相应地就确定唯一的一个y 值，那么我们称y 是x 的 函数. （1）变量：因变量，自变量在用图象表示变量之间的关系时，通常用水平方向的数轴上的点自变量，用竖直方向的数轴上的点表示因变量。
（2）一次函数：①若两个变量y ,x 间的关系式可以表示成y kx b =+（b 为常数，k 不等于0）的形式，则称y 是x 的一次函数。
②当b =0时，称y 是x 的正比例函数。
（3）一次函数的图象及性质①把一个函数的自变量x 与对应的因变量y 的值分别作为点的横坐标与纵坐标，在直角坐标系内描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象。
②正比例函数y =k x 的图象是经过原点的一条直线。
③在一次函数中，当k <0， b <O ，则经2、3、4象限；当k <0，b >0时，则经1、2、4象限；当k >0， b <0时，则经1、3、4象限；当k >0， b >0时，则经1、2、3象限。
④当k >0时，y 的值随x 值的增大而增大，当k <0时，y 的值随x 值的增大而减少。
（4）二次函数：①一般式：2224()24b ac b y ax bx c a x a a -=++=++(0a ≠)，对称轴是,2b x a=- 顶点是24,)24b ac b a a-（－；②顶点式：2()y a x m k =++(0a ≠)，对称轴是,x m =-顶点是(),m k -；③交点式：12()()y a x x x x =--(0a ≠)，其中（1,0x ），（2,0x ）是抛物线与x 轴的交点（5）二次函数的性质①函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象关于直线2bx a=-对称。
②0a >时，在对称轴 （2b x a =-）左侧，y 值随x 值的增大而减少；在对称轴（2b x a=-）右侧；y 的值随x 值的增大而增大。
二次函数解析式求法和图像平移
✧ 二次函数解析式的表示方法一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）； 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）. 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.✧ 根据条件确定二次函数表达式的几种基本思路。
三点式。
1，已知抛物线y=ax 2+bx+c 经过A （3，0），B （32，0），C （0，-3）三点，求抛物线的解析式。
2，已知抛物线y=a(x-1)２+4 ， 经过点A （2，3），求抛物线的解析式。
顶点式。
1，已知抛物线y=x 2-2ax+a 2+b 顶点为A （2，1），求抛物线的解析式。
交点式。
1，已知抛物线与 x 轴两个交点分别为（3，0）,(5,0),求抛物线y=(x-a)(x-b)的解析式。
2，已知抛物线线与 x 轴两个交点（4，0），（1，0）求抛物线y=21a(x-2a)(x-b)的解析式。
例、用待定系数法求下列二次函数解析式⑴图象经过点A(—1,10)、B （1,4）和C （2,7）. ⑵顶点为（—1，—3），与y 轴交点为（0，—5）. ⑶与x 轴交于A （—1,0）、B （1,0），并经过点M(0,1). ⑷顶点坐标为（1,3）且在x 轴上截得的线段长为4.✧ 二次函数图象的平移平移步骤：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：向右(h >0)【或左(h <0)】平移 |k|个单位向上(k >0)【或下(k <0)】平移|k |个单位向右(h >0)【或左(h <0)】平移|k|个单位向右(h >0)【或左(h <0)】平移|k|个单位向上(k >0)【或下(k <0)】平移|k |个单位向上(k >0)【或向下(k <0)】平移|k |个单位y=a (x-h )2+ky=a (x-h )2y=ax 2+ky=ax 2平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．1、抛物线2)1(32-+-=x y 经过平移得到抛物线23x y -=，平移的方法是A ．向左平移1个单位，再向下平移2个单位B ．向右平移1个单位，再向下平移2个单位C ．向左平移1个单位，再向上平移2个单位D ．向右平移1个单位，再向上平移2个单位2.将抛物线2y x =-向左平移2个单位后，得到的抛物线的解析式是A ．2(2)y x =-+ B ．22y x =-+ C ．2(2)y x =-- D ．22y x =-- 3.将抛物线y =2x 2向上平移2个单位, 再向右平移3个单位，所得抛物线的解析式为 .4.右图为抛物线c bx x y ++-=2的一部分，它经过A (1,0)-，B (0,3)两点．（1）求抛物线的解析式；（2）将此抛物线向左平移3个单位，再向下平移1个单位， 求平移后的抛物线的解析式．5.已知二次函数y = ax 2 ＋bx ＋c 中，函数y 与自变量x 的部分对应值如下表：x … －1 0 1 2 3 4 … y…101－211025…（1）求这个二次函数的解析式； （2）写出这个二次函数的顶点坐标．6.对于抛物线 243y x x =-+.（1）它与x 轴交点的坐标为 ，与y 轴交点的坐标为 ，顶点坐标为 ； （2）在坐标系中利用描点法画出此抛物线；（3）利用以上信息解答下列问题：若关于x 的一元二次方程2430x x t -+-=（t 为实数）在1-＜x ＜72的范围内有 解，则t 的取值范围是 ．x … … y……7.已知二次函数y = x 2 －4x ＋3．（1）用配方法将y = x 2 －4x ＋3化成y = a(x －h) 2 ＋ k 的形式； （2）在所给的平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象； （3）根据图象回答：当自变量x 的取值范围满足什么条件时，y ＜0？8. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数)0(2>++=a c bx ax y 的图象的顶点为D 点，与y 轴交于C点，与x 轴交于A 、B 两点， A 点在原点的左侧，B 点的坐标为（3，0），OB ＝OC ，AO ＝31OC 求这个二次函数的表达式．答案：（1）方法一：由已知得：C （0，－3），A （－1，0）将A 、B 、C 三点的坐标代入得⎪⎩⎪⎨⎧-==++=+-30390c c b a c b a解得：⎪⎩⎪⎨⎧-=-==321c b a所以这个二次函数的表达式为：322--=x x y 方法二：由已知得：C （0，－3），A （－1，0） 设该表达式为：)3)(1(-+=x x a y将C 点的坐标代入得：1=a 所以这个二次函数的表达式为：322--=x x y （注：表达式的最终结果用三种形式中的任一种都不扣分)（练习4）。
求二次函数解析式的三种方法
求二次函数解析式的三种方法一、已知任意三点求解析式用一般式，即2(0)y ax bx c a =++≠。
方法是：把三点坐标分别代入一般式，得到关于a 、b 、c 的三元一次方程组，求出a 、b 、c 的值，即可得到二次函数的解析式。
例1、如图，抛物线经过A 、B 、C 三点，顶点为D ，且与x 轴的另一个交点为E ，求抛物线的解析式x分析：观察图像，点A 、B 、C 、E 的坐标已知，在其中任选三点，将它们的坐标代入一般式，即可求出抛物线的解析式解：设抛物线的解析式为2y ax bx c =++，由图像可知，抛物线经过点A （-1，0）、B （0，3）、C （2，3）三点，所以03423a b c c a b c -+=⎧⎪=⎨⎪++=⎩，解得123a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以抛物线的解析式为23y x x =-++二、已知顶点或最大（小）值求解析式用顶点式，即2()(0)y a x h k a =-+≠方法是：先将顶点坐标（h ，k ）或最大（小）值代入顶点式，再把另一点的坐标代入求出a ，即可得抛物线的解析式例2、已知二次函数2y ax bx c =++的顶点为（-2，1），且过点（2，7），求二次函数的解析式分析：本题提供的是一般式，若用一般式求解比较繁琐，若设顶点式，则只需求一个待定系数即可。
解：设二次函数为2(2)1y a x =++，把点（2，7）代入解析式，得27(22)1a =++，解得12a =，所以二次函数的解析式为21(2)12y x =++，即21212y x x =++ 三、已知与x 轴两交点坐标求解析式用交点式，即12()()(0)y a x x x x a =--≠ 方法是：将抛物线与x 轴两个交点的横坐标1x 、2x 代入交点式，然后将抛物线上另一点的坐标代入求出a，即可得抛物线的解析式例3、已知变量y是x的二次函数，且函数图像如图，在x轴上截得的线段AB长为4个单位，又知函数图像顶点坐标为P（3，-2），求这个函数的解析式分析：因为函数图像在x轴上截得的线段AB长为4个单位，且函数图像顶点坐标为P （3，-2），根据图像可知，图像与x轴的两个交点的坐标分别为A（1，0）、B（5，0），然后利用交点式即可求出二次函数的解析式解：因为函数图像顶点坐标为P（3，-2），在x轴上截得的线段AB长为4个单位，所以抛物线与x轴的交点分别为A（1，0）、B（5，0），设所求二次函数解析式为(1)(5)y a x x=--。
数学知识：函数表示方法的对比分析
函数表示方法的对比分析
(1)解析法：用解析式表示函数的方法.
(2)列表法：用表格表示函数的方法.
(3)图象法：用图象表示函数的方法.
函数的三种表示方法各有优缺点，用解析式表示函数的优点是简明扼要，规范准确，不足之处是有些变量与函数关系很难或不能用解析式表示，求x与y的对应值需要逐个计算，有时比较繁杂；列表法的优点是能鲜明地显现出自变量与函数之间的数量关系，不足之处是只能列出部分自变量与函数的对应值，难以反映函数变化的全貌；用图象表示函数的优点是形象直观，清晰呈现函数的增减变化，点的对称，最大(或最小)值等性质，不足之处是所画出的图象是近似的、局部的，观察或由图象确定的函数值往往不够准确.所以，通常表示函数关系是把这三种方法结合起来运用，先确定函数解析式，即用解析式表示函数；再根据函数解析式，计算自变量与函数的各组对应值，列表；最后画出函数的图象.
1 / 1。
二次函数的解析式的几种求法
5 · · · · ·
· · ·o B· · x -3 –2 –1 1 2 · ·
A
· -3 ·
-4
式或交点式求解。
（南通市）已知抛物线y=ax2+bx+c经过A，B，C 三点，当时，其图象如图所示。求抛物线的解析 式，写出顶点坐标。 y 2 A 4 -3 B 5 C x
如图，在直角坐标系中，以点A( 3,0) 为圆心，以 2 3 为半径的圆与x轴相交于点B、C，与y轴相交于点D、 E． 1 2 若抛物线 y x bx c 经过C、B两点，求抛 3
二次函数的几种解析 及求法
分水中学九（5）班
二次函数是初中代数的重要内 容之一，也是历年中考的重点。这 部分知识命题形式比较灵活，既有 填空题、选择题，又有解答题，而 且常与方程、几何、三角等综合在 一起，出现在压轴题之中。 因此， 熟练掌握二次函数的相关知识，会 灵活运用一般式、顶点式、交点式 求二次函数的解析式是解决综合应 用题的基础和关键。
c
h
1.首先要求出该抛物线的函数关系式 2.由函数关系式求出C点的坐标，即求 出点C 离地面的高度h， h-0.15米-刘炜的身高即,他跳离地面的 高度.
解：建立如图所示的直角坐标系,则抛物线的顶 点A(0,3.5),蓝筐中心点B(1.5,3.05)
所以，设所求的抛物线为y=ax² ＋3.5 又 抛物线经过点B（1.5，3.05），得 a=-0.2 即所求抛物线为y=-0.2x² ＋3.5 y 当x=-2.5时,代入得y=2.25 又2.25-1.9-0.15=0.2m 所以,他跳离地面的高度 为0.2m
二、求二次函数解析式的思想方法
1、 求二次函数解析式的常用方法： 待定系数法、配方法、数形结合等。 2、求二次函数解析式的 常用思想： 转化思想 : 解方程或方程组
函数的表示方法
函数的表示方法★知识梳理一、函数的三种表示法：图象法、列表法、解析法1．图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系； 2．列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系； 3．解析法：就是把两个变量的函数关系，用等式来表示。
二、分段函数在自变量的不同变化范围中，对应法则用不同式子来表示的函数称为分段函数。
★重、难点突破重点：掌握函数的三种表示法-----图象法、列表法、解析法，分段函数的概念 难点：分段函数的概念，求函数的解析式重难点：掌握求函数的解析式的一般常用方法： （1）若已知函数的类型（如一次函数、二次函数），则用待定系数法； （2）若已知复合函数)]([x g f 的解析式，则可用换元法或配凑法； 问题1．已知二次函数)(x f 满足564)12(2+-=+x x x f ，求)(x f 方法一：换元法令)(12R t t x ∈=+，则21-=t x ，从而)(955216)21(4)(22R t t t t t t f ∈+-=+-⋅--= 所以)(95)(2R x x x x f ∈+-= 方法二：配凑法因为9)12(5)12(410)12(564)12(222++-+=+-+==+-=+x x x x x x x f 所以)(95)(2R x x x x f ∈+-= 方法三：待定系数法因为)(x f 是二次函数，故可设c bx ax x f ++=2)(，从而由564)12(2+-=+x x x f 可求出951=-==c b a 、、，所以)(95)(2R x x x x f ∈+-=（3）若已知抽象函数的表达式，则常用解方程组消参的方法求出)(x f 问题2：已知函数)(x f 满足x xf x f 3)1(2)(=+，求)(x f 因为 x xf x f 3)1(2)(=+① 以x 1代x 得 xx f x f 13)(2)1(⋅=+②由①②联立消去)1(x f 得)0(2)(≠-=x x xx f ★热点考点题型探析考点1：用图像法表示函数[例1] （09年广东南海中学）一水池有2个进水口, 1个出水口,一个口的进、出水的速度如图甲、乙所示.某天0点到6点,该水池的蓄水量如图丙所示．给出以下3个论断：进水量 出水量 蓄水量（1）0点到3点只进水不出水；（2）3点到4点不进水只出水；（3）4点到6点不进水不出水．则一定不正确．．．的论断是 (把你认为是符合题意的论断序号都填上) . [解题思路]根据题意和所给出的图象，对三个论断进行确认即可。
解析法-列表法-图象法
1.自变量x的取值范围是什么?
∵x表示任意一个数
∴自变量x的取值范围是:
全体实数
或 yx121.
yx2 2x
2.图象的对称轴和顶点 或 yx121.
坐标分别是什么?
yx2 2x
由表达式的顶点式和
图象,可知图象的对称
轴是:直线x=1,顶点
坐标是:(1,-1).
3.如何描述y随x的变化而变化的情况?
由表格和图象可知,y随x的变化而变 化的情况是:当x<1时,y随x的增大而 减小;当x>1时,y随x的增大而增大.
• 你能分别用函数表达式,表格和图象表 示这种变化吗?
做一做
解析法—用表达式表
示函数
两个数相差2,设其中较大的一个数 为x,那么它们的积y是如何随x的变
化而变化的?
用函数表达式表示：
y x x 2 即 y x 2 2 x .
做一做
列表法—用表格表示函
数
两个数相差2,设其中较大的一个数为
x,那么它们的积y是如何随x的变化而
已知矩形周长20cm,
并设它的一边长为 x
y
xcm,面积为ycm2.
y随x的而变化的规律是什么？ 你能分别用函数表达式，表格 和图象表示出来吗？
列表法—用表格表示：
x
123456789
10-x 9 8 7 6 5 4 3 2 1
y
9 16 21 24 25 4 21 16 9
x
y
图象法—用图象表示:
即当x=5cm时,长方形 的面积最大,它的最大 面积=25cm2.
议一议
③请你描述一下y随x的变化而变化的情
况. yx21x0 (x5)225
（5，25）
函数的表示方法
2. 根据实际问题中的条件列出函数解析式,然后解决 实际问题.
课堂练习:
1.已知一次函数与X轴交点为（-2，0），与Y 轴交点为（0，1），求此函数。
2.已知如右图象，请写出解析式.
3.用长为30厘米的铁丝围成矩形，试将矩形面积表 示为矩形一边长x的函数。
x, x 0 4、已知函数 x 2 f , 试求f f 2的值。 x , x 0
解析法
优点：函数关系清楚，容易从自变量的值求 出其对应的函数值，便于用解析式来研究函 数的性质。 缺点：一些实际问题很难找到它的解析式。
图象法
优点：能直观形象地表示出函数的变化情况。
，.
缺点：只能近似地反映函数的变化情况。
典型例题
例1、购买某种饮料x听，所需钱数为y元。若每听5元，试分 别用解析法、列表法、图象法将y表示x （x ,2,3,4）的 1 函数,并指出该函数的值域。 解 （1）解析法：y = 5x ， x ∈｛1，2，3，4｝ （2）列表法：
函数的表示方法
函数的三个表示方法：
1、列表法 ：用列表来表示两个变量之间函数关系的方法。
2、解析法 :用等式来表示两个变量之间函数关系的方法.
3、图象法 ：用图象表示两个变量之间函数关系的方法。
列表法 优点：不必通过计算就知道当自变量取某 些值时函数的对应值。 缺点：只用于自变量为有限个的函数。
x/听 y/元
1 5
2 10
3 15
4 20
（3）图象法：
它的图象由4个孤立点组成，如图所示，这些点的坐标分别是 （1， 5），（2，10） ，（3，15），（4， 20）
y
20
15
10
5
二次函数及其图象·深度解析 (2)
关键提醒:１．在二次函数y＝ax２＋bx＋c(a,b,c 是 常 数,a≠０)中,b,c 是 任 意 实 数 ,当b＝c＝０ 时 ,得 到 二 次 函 数 y＝ax２ ,它 是 最 简 单 的 二 次 函 数 ．
２．在 画 二 次 函 数 的 图 象 时 ,选 择 的 点 越 多 画 出 的 函 数 图 象 就 越 精 确 ．
(２)对 称 轴 是 x＝ －２ba,顶 点 坐 标
( ) 是 －２ba,４ac４a－b２ ;
(３)在 对 称 轴 左 侧,即 当 x＜ －２ba 时,y 随x 的增大而减小; 在对称轴 右 侧,即 当 x＞ －２ba时,y 随x 的增大而增大;
(３)在对 称 轴 的 左 侧,即 当 x＜ －２ba 时,y 随x 的增大而增大; 在对称轴 右 侧,即 当 x＞ －２ba时,y 随x 的增大而减小;
归纳整理:这些抛物线的相同点为形 状 大 小、开 口 方 向 相 同,其 区 别 是 对 称 轴、
顶点坐标不同．
(２)平 移 规 律
抛物线y＝ax２ 平移得到抛物线y＝a(x－h)２＋k 的过程:①抛物线y＝ax２ 向
左 (或 向 右 )平 移|h|个 单 位 ;② 在 此 基 础 上 ,向 上 (或 向 下 )平 移|k|个 单 位 ．
势,y 随 x 的 增 大 而 增 大,在 抛 物 线 的 右 侧,抛
物 线 呈 下 降 趋 势,y 随x 的增大而减小．
当 a＞０ 时,抛 物线 有 最 低 点 (０,k);当 a＜０ 时,抛 物 线 有 最 高 点 (０,k)． 当 a＞０ 时,抛 物线 有 最 低 点 (h,０);当 a＜０ 时,抛 物 线 有 最 高 点 (h,０)． 当 a＞０ 时,抛 物线 有 最 低 点 (h,k);当 a＜０ 时,抛 物 线 有 最 高 点 (h,k)．
第2章 二次函数知识点
第二章 二次函数第1节 二次函数所描述的关系1、二次函数的定义:一般地，形如的二次函数。
的函数叫做是常数，x a c b a c bx ax y )0,,(2≠++= 2、列函数关系式（重点）:因变量&自变量第2节 结识抛物线1、 二次函数=y 2ax 的图象的画法（重点）：描点法：列表——描点——连线2、 二次函数=y 2ax 的图象的性质（难点）对称图形，对称轴是y 轴，顶点是原点（0，0）——顶点是指对称轴与抛物线的交点。
当a >0时，开口向上，在y 轴左边，下降趋势；在y 轴右边，上升趋势。
顶点处取得最小值0。
当a <0时，开口向下，在y 轴左边，上升趋势；在y 轴右边，下降趋势。
顶点处取得最大值0。
第3节 刹车距离与二次函数1、二次函数2ax y =中的a 的作用：（1）a 的符号决定抛物线的开口方向（2）a 的值决定抛物线的形状和开口大小2、比较)0()0(22≠+=≠=a c ax y a ax y 与的图象的异同（难点）二次函数)0(2≠+=a c ax y 的图象是一条抛物线，它的对称轴是y 轴，顶点坐标是（0，c ）。
对于)0(2≠=a ax y 和)0(2≠+=a c ax y 的图象，形状相同，只是位置不同。
)0(2≠+=a c ax y 可以看做是把)0(2≠=a ax y 的图象向上（c>0）或向下（c<0）平移|c|个单位长度得到的。
第4节 二次函数c bx ax y ++=2的图象1、二次函数c bx ax y ++=2的图象的平移（1）二次函数k ax y +=2的图象可由抛物线2ax y =向上（或向下）平移而得到。
（2）二次函数2)(h x a y -=的图象可由抛物线2ax y =向左（或向右）平移而得到。
（3）二次函数k h x a y +-=2)(的图象可由抛物线2ax y =向左（或向右）平移再向上（或向下）平移|k|个单位而得到。