高中数学 课后课化作业 算术平均数与几何平均数课件
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高二数学(理)《三个正数的算术-几何平均数》(课件)
(a b c)(a b c ab bc ca ) 1 2 2 2 (a b c) (a b) (b c) (c a) 0, 2
2 2 2
湖南长郡卫星远程学校
制作 06
2011年上学期
如果a, b, c R , 那么a b c 3abc
*
n
a1a2 an 叫做这n个正数的几何平均数。
a1 a 2 a n ≥ n
n
2.基本不等式：
a1a2 an n N * , ai R ,1 i n
语言表述：n个正数的算术平均数不小于 它们的几何平均数，当且仅当a1＝a2＝…=an时， 等号成立．
湖南长郡卫星远程学校
(1)abc为定值时
a b c 3 abc
3
当且仅当a b c时, 等号成立.
(2)a b c为定值时
abc 3 abc ( ) 3
湖南长郡卫星远程学校
制作 06
2011年上学期
abc 3 推论: abc(a , b, c R ) 3
(1)abc为定值时
*
湖南长郡卫星远程学校
制作 06
2011年上学期
推广
关于“平均数”的概念：
1.如果 a1 , a2 , , an R , n 1且n N 则： a1 a 2 a n 叫做这n个正数的算术平均数。 n
*
n
a1a2 an 叫做这n个正数的几何平均数。
湖南长郡卫星远程学校
制作 06
2011年上学期
abc 3 推论: abc(a , b, c R ) 3
(1)abc为定值时
高三数学最新课件-算术平均数与几何平均数低版 精品
(1)积xy为定值P, 有
x y 2 p x
x y xy 2
y2 p
上式当x=y时取“=”号,因此当x=y 时,和x+y有最小值 S S xy xy (2)和x+y为定值S时, 有 2 4 上式当x=y时取等号,因此当x=y时, 积xy有最大值
2
小结:
利用均值定理求最值应注意哪些条件？ (1)函数式中的各项都是正数;
(2)函数式中含变数的各项的和或积必 须有一个是定值; (3)等号必须成立.
简记为“一正二定三相等”
例2 1. 已知x
16 0,求函数y=x+ 的最小值 x
2. 已知2 x 0, 求函数y 3x(8 3x)
的最大值
练习：
x y 1. 已知x, y R , 求t y x
算术平均数与几何平均数
主讲： 迁安二中 赵宝云
用>、 <、=、 、 填空 1.2.Fra bibliotek3. 4.
a b a b a b a b a b a b
2 2
0
0
0
a b ____ 2ab
5. 已知a, b R , a b ___ 2 ab
a b 1.我们称 为a,b的算术平均 2
一边是和式一边是积式
显然从一边到另一边都具有放或缩的功能， 所以它们在后边的不等式证明中都是很重要 的工具.
例1.已知x,y都是正数,求证: (1)如果积xy是定值P,那么当 x=y时,和x+y有最小值2 P
(2)如果和x+y是定值S,那么当 1 2 x=y时,积xy有最大值 S
4
证明:因为x,y都是正数,所以
x y 2 p x
x y xy 2
y2 p
上式当x=y时取“=”号,因此当x=y 时,和x+y有最小值 S S xy xy (2)和x+y为定值S时, 有 2 4 上式当x=y时取等号,因此当x=y时, 积xy有最大值
2
小结:
利用均值定理求最值应注意哪些条件？ (1)函数式中的各项都是正数;
(2)函数式中含变数的各项的和或积必 须有一个是定值; (3)等号必须成立.
简记为“一正二定三相等”
例2 1. 已知x
16 0,求函数y=x+ 的最小值 x
2. 已知2 x 0, 求函数y 3x(8 3x)
的最大值
练习：
x y 1. 已知x, y R , 求t y x
算术平均数与几何平均数
主讲： 迁安二中 赵宝云
用>、 <、=、 、 填空 1.2.Fra bibliotek3. 4.
a b a b a b a b a b a b
2 2
0
0
0
a b ____ 2ab
5. 已知a, b R , a b ___ 2 ab
a b 1.我们称 为a,b的算术平均 2
一边是和式一边是积式
显然从一边到另一边都具有放或缩的功能， 所以它们在后边的不等式证明中都是很重要 的工具.
例1.已知x,y都是正数,求证: (1)如果积xy是定值P,那么当 x=y时,和x+y有最小值2 P
(2)如果和x+y是定值S,那么当 1 2 x=y时,积xy有最大值 S
4
证明:因为x,y都是正数,所以
精华课件算术平均数与几何平均数2
小结 3．在求某些函数的最值时，会恰当 的恒等变形——分析变量、配置系数． 4．应用平均值定理解决实际问题时， 应注意： (1) 先理解题意，设变量，把要求最 值的变量定为函数． (2)建立相应的函数关系式，把实际 问题抽象为函数的最值问题，确定函数 的定义域． (3) 在定义域内，求出函数的最值， 正确写出答案．
作业
的最小值． 2 2+ b 2. 思考题：设a > 0，b > 0，且a 2 2 = 1，求 a 1 b 的最大值．
( x 5)( x 2) 1. 设x > 1，求函数 y = x 1
引例
y = 2x +
50 x
(x > 0)．
问题转化成为求函数y的最小值及取 得最值时的x的值.
求这个函数的最小值可用哪些方法？ 利用函数的单调性或判别式法. 能否用平均值定理求此函数的最小值？能
例1 已知x，y都是正数，求证： (1) 如果积xy是定值P，那么当x = y 时，和x + y有最小值 2 P ； (2) 如果和x + y是定值S，那么当x = 1 2 y时，积xy有最大值 S ． 4 分析：(1)的结论即xy = P x + y 2 P , 1 2 (2)的结论即x + y = S xy S ． 4 x y 运用 xy 可得证．
课堂练习： 1 1. 求函数y = (1 3x)x (0 < x < )的 3 1 最大值．
x 2. 求函数y = 2 (x > 0)的最大值． 2 x 2 4
12
3. 求函数y = 2 x 25 x 2 (0 < x < 5)的 最大值． 25 4. 设x > 0，y > 0，且3x + 4y = 12， 求lgx + lgy的最大值． lg3
人教版高中数学必修第二册算术平均数与几何平均数2名师课件
[相关链接]某单位决定投资3200元建一 仓库（长方体状），高度恒定，它的后 利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米造 价40元，两侧墙砌砖，每米造价45元， 顶部每米造价2元，计算：仓库面积S的 最大值?S为最大值时，求铁栅的长度？
作业
1 4x 5
5 (x< 4 )
[例题2] y=4 x-2+ 1
5
(x< )
的值域？
4x 5
4
[变题1]
y=
x2
x
4x1（7 x>1）的最大值？
[变题2]
y=
x2
x
4x1（7 x3）的最大值？
[变题3]已知x>y >0且xy=1,求 x2 y 2
x y
的最小值及此时x、y的值
x
1
y
y
1 zxn Nhomakorabeaz
恒成立, 求n的最大值？
[相关链接3]已知a、b、cR+,a+b+c=1,
求: 4a 1 4b 1 4c 1 的最大值？
题型3 用解不等式的方法求最值。
[例题4] (1+a)(1+bc)=z4 ,a、bR+, 则
ab————; a+b————.
题型2其他与基本不等式有关的最值问题 [例题3](1)已知x、y >0，且 1 9 1， 求x+y的最小值？x y (2) 已知a、b为常数，求函数 y=(x-a)2+(x-b)2的最小值？
[相关链接1] a、bR+且a+b=2,
1
1
1 an + 1 bn
的最小值？
[相关链接2]设x>y>z,nN+且
作业
1 4x 5
5 (x< 4 )
[例题2] y=4 x-2+ 1
5
(x< )
的值域？
4x 5
4
[变题1]
y=
x2
x
4x1（7 x>1）的最大值？
[变题2]
y=
x2
x
4x1（7 x3）的最大值？
[变题3]已知x>y >0且xy=1,求 x2 y 2
x y
的最小值及此时x、y的值
x
1
y
y
1 zxn Nhomakorabeaz
恒成立, 求n的最大值？
[相关链接3]已知a、b、cR+,a+b+c=1,
求: 4a 1 4b 1 4c 1 的最大值？
题型3 用解不等式的方法求最值。
[例题4] (1+a)(1+bc)=z4 ,a、bR+, 则
ab————; a+b————.
题型2其他与基本不等式有关的最值问题 [例题3](1)已知x、y >0，且 1 9 1， 求x+y的最小值？x y (2) 已知a、b为常数，求函数 y=(x-a)2+(x-b)2的最小值？
[相关链接1] a、bR+且a+b=2,
1
1
1 an + 1 bn
的最小值？
[相关链接2]设x>y>z,nN+且
高三数学课件-算术平均数与几何平均数 推荐
（A） f (x) 1
x
（C）f (x) 2x
（B） f x | x |
（D） f (x) x2
例、 已知 A
且A B
x
xa
1
,
B
x
，求 a 的范围
x2
x
x 3
30
0 ,
A x x a 1 x 1 x a 1 x a 1 x a 1,
所以B x 5 x 3,或x 6
1、不（等20式06年1 上2海x春卷0）的解集是______1_,__12_____ x 1
2、（2006年北京卷）在下列四个函数中，满足性质：
“对于区间 (1, 2) 上的任意 x1, x2 (x1 x2 ) ，
| f (x1) f (x2 ) || x2 x1 | 恒成立”的只有 (A )
a,b R 则 a b 2 ab
一正、二定、三相等
a2 b2 (a b)2
2
2
例1、设a、b≥0,a＋b=1, 试比较大小：
2a 1 2b 1 ≤ 2 2
(填“≥”,“≤”或“=”)
例2、x、y>0, x＋y=1, 且 x
则a的最小值为（ D ）
A、 2 2
B、2 2 C、2
y ≤a 恒成立,
D、 2
例3、已知x、y R ，则使 x y t x y
t 2 t 恒成立的实数 的取值范围是________
例4、设x≥0, y≥0, x2+
的最大值为＿＿
y2=2 1,则
32 4
x 1 y2
例5、今有一台坏天平,两臂长不等,其余均精确, 有人说要用它称物体的重量,只需将物体放在 左右托盘各称一次,则两次称量结果的和的一 半就是物体的真实重量,这种说法对吗?并说明 你的结论。
原创课件算术平均数与几何平均数
b > 0)在( ， 增；在 [
b 和[ a
b ，0和(0， a
b ，+ 上单调递 a b 上单调递减． a
1 4 作业 1. 已知x，y R+，且 x y
= 1，求
x + y的最小值． 2. 思考题：如图，在△ABC中，∠C = 90， AC = 3，BC = 4，一条直线分△ABC的面 积为相等的两部 分，且夹在AB与BC之间的 线段EF最短，求此线段长．
4. 求y =
x 3
2
3 2 的最小值． 2 2 x 2
小结 1．应用定理时注意：必须同时满足 “正数”、“定值”、“相等”三个条 件，才能求得最值． 2．在求某些函数的最值时，会恰当 地恒等变形． 3．当均值定理的条件无法凑出时， 一般可利用函数单调性求最值． b 4．可以证明函数 y = ax + x (a > 0，
新课 1．公式的等价变形：
a 2 b2 ab 2 ab , ab ( ) . 2 2 b a 2． 2 (ab > 0)，当且仅当a = b时 a b
取“=”号．
ab a b (a , b R ). 3．1 1 ab 2 2 a b 2
2 2
当且仅当a = b时取“=”号 ．
注：本题主要考查综合应用所学数 学知识、思想和方法解决实际问题的能 力，考查建立函数关系、不等式性质、 最大值、最小值等数学基础知识． 分析：应用题的最值问题，主要是选 取适当的变量，再依据题设，建立数学 模型(即函数关系式)，由变量和常量之间 的关系，选取基本不等式求最值． 评述：均值不等式在实际问题中的应用 相当广泛, 解题过程为: (1)先构造定值； (2)出现关系式；(3)验证“=”号成立． 返回
b 和[ a
b ，0和(0， a
b ，+ 上单调递 a b 上单调递减． a
1 4 作业 1. 已知x，y R+，且 x y
= 1，求
x + y的最小值． 2. 思考题：如图，在△ABC中，∠C = 90， AC = 3，BC = 4，一条直线分△ABC的面 积为相等的两部 分，且夹在AB与BC之间的 线段EF最短，求此线段长．
4. 求y =
x 3
2
3 2 的最小值． 2 2 x 2
小结 1．应用定理时注意：必须同时满足 “正数”、“定值”、“相等”三个条 件，才能求得最值． 2．在求某些函数的最值时，会恰当 地恒等变形． 3．当均值定理的条件无法凑出时， 一般可利用函数单调性求最值． b 4．可以证明函数 y = ax + x (a > 0，
新课 1．公式的等价变形：
a 2 b2 ab 2 ab , ab ( ) . 2 2 b a 2． 2 (ab > 0)，当且仅当a = b时 a b
取“=”号．
ab a b (a , b R ). 3．1 1 ab 2 2 a b 2
2 2
当且仅当a = b时取“=”号 ．
注：本题主要考查综合应用所学数 学知识、思想和方法解决实际问题的能 力，考查建立函数关系、不等式性质、 最大值、最小值等数学基础知识． 分析：应用题的最值问题，主要是选 取适当的变量，再依据题设，建立数学 模型(即函数关系式)，由变量和常量之间 的关系，选取基本不等式求最值． 评述：均值不等式在实际问题中的应用 相当广泛, 解题过程为: (1)先构造定值； (2)出现关系式；(3)验证“=”号成立． 返回
高考数学 算术平均数与几何平均数 第一课时 PPT课件
算术平均数与几何平均数 （第一课时）
引例：
求证：在直径为常数 2r 的圆的内 接矩形中，面积最大的是正方形， 且这个正方形的面积等于 2r 2 ．
新课：
1．重要不等式：
2．定理：
如果a,b是正数，那么 a b ab 2
(当且仅当a b时取“”号)
D
ab
2 ab
A
B
aO
Cb
D
ab
2 ab
A
B
a
O
Cb
D
ab
2 ab
A
a O
B Cb
D
ab
2ab
A
a
B
O
C
b
D
ab
a2b
A
a
OC
b
B
D
aabb
2
A
B
a
OC
b
D
aab b
2
A
B
a
CO
b
D
aba b
2
A
B
a
CO
b
D
ab a b
2
A
B
a
CO
b
D
ab a b
正：两项必须都是正数；
定：求两项和的最小值，它们的积应为定值；
求两项积的最大值，它们的和应为定值。
等 : 等号成立的条件必须存在.
随堂练习：
一段长为L米的篱笆围成一个一边靠墙的 长方形菜园，问这个长方形的长宽各为几 时，菜园的面积最大？
x
y
L
2
A
B
aC
O
b
D
ab
ab
2
A
引例：
求证：在直径为常数 2r 的圆的内 接矩形中，面积最大的是正方形， 且这个正方形的面积等于 2r 2 ．
新课：
1．重要不等式：
2．定理：
如果a,b是正数，那么 a b ab 2
(当且仅当a b时取“”号)
D
ab
2 ab
A
B
aO
Cb
D
ab
2 ab
A
B
a
O
Cb
D
ab
2 ab
A
a O
B Cb
D
ab
2ab
A
a
B
O
C
b
D
ab
a2b
A
a
OC
b
B
D
aabb
2
A
B
a
OC
b
D
aab b
2
A
B
a
CO
b
D
aba b
2
A
B
a
CO
b
D
ab a b
2
A
B
a
CO
b
D
ab a b
正：两项必须都是正数；
定：求两项和的最小值，它们的积应为定值；
求两项积的最大值，它们的和应为定值。
等 : 等号成立的条件必须存在.
随堂练习：
一段长为L米的篱笆围成一个一边靠墙的 长方形菜园，问这个长方形的长宽各为几 时，菜园的面积最大？
x
y
L
2
A
B
aC
O
b
D
ab
ab
2
A
算术平均数与几何平均数ppt 人教课标版
2 2 2 2 2 2
a b 2ab 2( a b ) a 2ab b
2 2 2 2 2
2பைடு நூலகம்
(a b )2 2 a b ( a b ), 2
2 2
2 2 2 2 同理 b c ( b c ), a c (a c ) 2 2
2 2
16
注意
运用算术平均数与几何平均数的大 小关系证明不等式，关键是揭示已 知条件与目标不等式的运算结构特 征，找出差异，并将其与基本不等 式的运算结构进行类比，选择相应 的基本不等式化异为同转化证明 .
!!
17
例题
(2)
1 2 1. 设 a 、b ， b 1. 2 . 设、 a b 0 0 ， a 1 , a b 4 4 求 a b 的 最 小 值 . 求ab的最小值.
15
例题
略解:
1 6 已 知 函 数 f(x )x (x 2 ) , x 2 求 此 函 数 的 最 小 值 .
x 2, x 2 0,由基本不等式
16 16 得 x ( x 2) 2 x2 x2 16 2 ( x 2) 26 x2 16 当且仅当x 2 时取 " "号. x2
若 x 、 y 0 ,xy S ( 定值 ), 则 1 2 当 xy 时，积 xy 有最大值 S. 4
均值定理
19
均值不等式
知识 结构
均值不等 式及其变形
极值定理 及其应用
均值不等式等知 识的综合应用应用
20
均值不等式的互化功能
1.“和与积”互化放缩功能
注意：在运用均值不等式“和与积” 互化、寻求极值的过程中常需“配凑因 式”和“拆项、添项” ，务必细心；
a b 2ab 2( a b ) a 2ab b
2 2 2 2 2
2பைடு நூலகம்
(a b )2 2 a b ( a b ), 2
2 2
2 2 2 2 同理 b c ( b c ), a c (a c ) 2 2
2 2
16
注意
运用算术平均数与几何平均数的大 小关系证明不等式，关键是揭示已 知条件与目标不等式的运算结构特 征，找出差异，并将其与基本不等 式的运算结构进行类比，选择相应 的基本不等式化异为同转化证明 .
!!
17
例题
(2)
1 2 1. 设 a 、b ， b 1. 2 . 设、 a b 0 0 ， a 1 , a b 4 4 求 a b 的 最 小 值 . 求ab的最小值.
15
例题
略解:
1 6 已 知 函 数 f(x )x (x 2 ) , x 2 求 此 函 数 的 最 小 值 .
x 2, x 2 0,由基本不等式
16 16 得 x ( x 2) 2 x2 x2 16 2 ( x 2) 26 x2 16 当且仅当x 2 时取 " "号. x2
若 x 、 y 0 ,xy S ( 定值 ), 则 1 2 当 xy 时，积 xy 有最大值 S. 4
均值定理
19
均值不等式
知识 结构
均值不等 式及其变形
极值定理 及其应用
均值不等式等知 识的综合应用应用
20
均值不等式的互化功能
1.“和与积”互化放缩功能
注意：在运用均值不等式“和与积” 互化、寻求极值的过程中常需“配凑因 式”和“拆项、添项” ，务必细心；
高考数学复习 6.2 算术平均数与几何平均数精品课件
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高三复习算术平均数与几何平均数 人教课标版精品课件
即平方平均数≥算术平均数≥几何平均数≥调和平均数
已 知 x ,y 0 ,且x ,a1,a2 ,y 成 等 差 数 列x,,b1,b2 ,y 成
等 比 数 列求 , a1 a2 2 的 取 值 范 围
b1b2
解 : (a1 a2)2 ( x y)2 (2
xy )2 4
b1b2
类型四:应用题
1.某工厂年产量第二年增长率为a第, 三年增长率为b,
则 这 两 年 平 均 增 长 率 满足
A.x
a
2
b
B.
x
a
2
b
C
.
x
a
2
b
D
.
x
a
2
b
2.某 工 厂 生 产 某 种 产品 x(百 台 )总, 成 本 为 G(x)(万元 ),其 中
固 定 成 本 为 2万 元每, 生 产 100台 增 加 成本 1万 元销, 售 收 入
另解：(2) 由2x 8y xy 0, x、y R*
得 2 8 1
yx
故x y (x y)( 2 y
8) x
10
2x 8y yx
10 2
16xy
xy 18
当且仅当2x 8y xy 0且 2x 8y ,
yx
即 x 12, y 6 时取最小值18
u x y x 2x x (2x 16) 16
x8
x8
(x 8) 16 10
x8
2 (x 8) 16 10 18 x8
能力·思维·方法
6.(1)若正数x、y满足x+2y＝1.求 1 1的最小值； xy