2019-2020学年高中数学 4.2导数在实际问题中的应用-导数与函数的极值导学案北师大版选修1-1.doc
2019-2020学年高中数学第三章导数应用2导数在实际问题中的应用2.2最大值、最小值问题课件北师大版选修2-2
1．设函数 f(x)＝ln(2x＋3)＋x2. (1)讨论 f(x)的单调性； (2)求 f(x)在区间[－34，14]上的最大值和最小值． 所以 f(x)在区间(－32，－1)，(－12，＋∞)上是增加的，在区间(－1，－12)上是减少的． 解析：f(x)的定义域为(－32，＋∞)． (1)f′(x)＝2x＋ 2 3＋2x＝4x22＋x＋6x3＋2＝22x＋2x1＋3x＋1. 当－32<x<－1 时，f′(x)>0；当－1<x<－12时，f′(x)<0；当 x>－12时，f′(x)>0.
利用导数解决优化问题的一般步骤 (1)抽象出实际问题的数学模型，列出函数关系式 y＝f(x)； (2)求函数 f(x)的导数 f′(x)，并解方程 f′(x)＝0，即求函数可能的极值点； (3)比较函数 f(x)在区间端点的函数值和可能极值点的函数值的大小，得出函数 f(x)的最大值或最小值； (4)根据实际问题的意义给出答案．
3．某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量 y(单位：千克)与销售 价格 x(单位：元/千克)满足关系式 y＝x－a 3＋10(x－6)2，其中 3＜x＜6，a 为常数．已 知销售价格为 5 元/千克时，每日可售出该商品 11 千克． (1)求 a 的值； (2)若该商品的成本为 3 元/千克，试确定销售价格 x 的值，使商场每日销售该商 品所获得的利润最大．
令 y′＝0，即 3x2－3(8－x)2＝0，得 x＝4.
当 0≤x≤4 时，y′＜0；当 4＜x≤8 时，y′＞0.
所以当 x＝4 时，y 最小．
答案：B
3．用边长为 48 cm 的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时，在铁皮的四角各截去一
个面积相等的小正方形，然后把四边折起，就能焊成铁盒，当所做的铁盒容积最
高中数学课件-4.2.1导数在实际问题中的应用
若函数f(x)在区间（a,b)上的图像是一条连续不间断 的曲线，且该函数在区间(a,b)上只有一个极值，问 该极值是最值吗？
.实际问题的应用类型
1.几何方面的应用 (面积和体积等的最值)
2.物理方面的应用. (功和功率等最值) 3.经济学方面的应用 (利润方面最值)
1、实际应用问题的表现形式，常常不是 以纯数学模式反映出来。
• (2)由(1)知f(x)＝x3－3x2－9x＋c，f′(x)＝3x2－6x －9，当x变化时，有下表：
x (－∞，－1) －1
(－1,3)
3
(3，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
极大值c＋5
极小值c－27
• 而f(－2)＝c－2，f(6)＝c＋54， • ∴x∈[－2,6]时，f(x)的最大值为c＋54. • 要使f(x)＜2c恒成立，只要c＋54＜2c即可． • ∴c＞54. • ∴c的取值范围为(54，＋∞)．
(2)在(1)的条件下，当x∈[－2,6]时，f(x)＜2c恒成立，求c的取 值范围．
[解题过程] (1)f′(x)＝3x2－2ax＋b， ∵函数 f(x)在 x＝－1 和 x＝3 处取得极值， ∴－1,3 是方程 3x2－2ax＋b＝0 的两根，
∴－ －11＋×33＝ ＝23b3a，，
∴ab＝ ＝－ 3，9.
首先，通过审题，认识问题的背景，抽象出问题的实质。
其次，建立相应的数学模型, 将应用问题转化为数学问题,再解。
2、求最大（最小）值应用题的一般方法
(1)分析实际问题中各量之间的关系，把实际问题化为 数学问题，建立函数关系式，这是关键一步。
(2)确定函数定义域，并求出极值点。 (3)比较各极值与定义域端点函数的大小， 结合实 际，确定最值或最值点。
2019_2020学年高中数学第三章导数应用2导数在实际问题中的应用2.2最大值、最小值问题课件北师大版选修2_2
一、预习教材·问题导入 1．问题：如何确定你班哪位同学最高？ 提示：方法很多，可首先确定每个学习小组中最高的同学， 再比较每组的最高的同学，便可确定班中最高的同学．
2．如图为 y＝f(x)，x∈[a，b]的图像．
问题 1：试说明 y＝f(x)的极值． 提示：f(x1)，f(x3)为函数的极大值，f(x2)，f(x4)为函数的极 小值． 问题 2：你能说出 y＝f(x)，x∈[a，b]的最值吗？ 提示：函数的最小值是 f(a)，f(x2)，f(x4)中最小的，函数的 最大值是 f(b)，f(x1)，f(x3)中最大的． 问题 3：根据问题 2 回答函数 y＝f(x)，x∈[a，b]的最值可能 在哪些点取得． 提示：在极值点或端点中．
f′(x)
－
0
f(x) 1－ln 2
0
(1,2)
2
＋ －12＋ln 2
∴在12，2上，当 x＝1 时，f(x)取得极小值，也是最小值，且 f(1)＝0. 又 f12＝1－ln 2，f(2)＝－12＋ln 2，∴f12－f(2)＝32－2ln 2＝12 ×(3－4ln 2)＝12ln 1e63 >0，∴f12>f(2)，∴f(x)在12，2上的最大 值为 f12＝1－ln 2，最小值为 f(1)＝0.
二、归纳总结·核心必记 1．最值点 (1)最大值点：函数 y＝f(x)在区间[a，b]上的最大值点 x0 指 的是：函数在这个区间上所有点的函数值都 不超过 f(x0)． (2)最小值点：函数 y＝f(x)在区间[a，b]上的最小值点 x0 指 的是：函数在这个区间上所有点的函数值都 不小于 f(x0)． 2．最值 函数的 最大值 与 最小值 统称为最值．
[提醒] 函数极值与最值的关系 (1)函数的极值是函数在某一点附近的局部概念，函数的最大 值和最小值是一个整体性概念． (2)函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出 的，函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的，函数的极值 可以有多个，但最值只能有一个． (3)极值只能在区间内取得，最值则可以在端点处取得．有极 值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值， 最值不在端点处取得时必定是极值．
高中数学第四章导数应用4.2.2最大值、最小值问题(二)课件北师大版选修11
(2)f′(x)＝6－（32x4＋050）2＝54x（＋323x5＋（5）x－2 5），令 f′(x)＝0
得 x＝5，x＝－235(舍去)，当 x∈[0，5)时，f′(x)<0；当 x ∈(5，10]时，f′(x)>0，故 x＝5 时，f(x)取得最小值，且最 小值 f(5)＝6×5＋1850＋05＝70.因此当隔热层修建 5 cm 厚时， 总费用达到最小，且最小值为 70 万元．
当 r∈(5，5 3)时，V′(r)<0，故 V(r)在(5，5 3)上为减函数．
由此可知，V(r)在 r＝5 处取得最大值，此时 h＝8.
即当 r＝5，h＝8 时，该蓄水池的体积最大．
1.将一段长为100 cm的铁丝截成两段，一段弯成正方形，一
段弯成圆，怎样截可使正方形与圆的面积之和最小？
解：设弯成圆的一段长为 x cm，则另一段长为(100－x)cm，
想的应用.
1.利用导数解决优化问题的基本思路
2.导数在不等式问题中的应用 利用导数证明不等式及解决不等式恒成立问题的基 本 思 路 是转化为函数的____最__值_____问题加以解决．
3．求函数最值的方法 一般地，求函数y＝f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的 步 骤 如下： ①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值； ②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较, 其 中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． (1)若函数在闭区间[a，b]上连续单调，则最大、最 小值在 端 点处取得． (2)当连续函数f(x)在开区间(a，b)内只有一个导数为零的点时, 若在这一点处f(x)有极大值(或极小值),则可以判定f(x) 在该 点 处取得最大值(或最小值),这里(a，b)也可以是无穷区间.
高中数学 第四章 函数应用 4.2 实际问题的函数建模 4.2.1 实际问题的函数刻画教案1 北师大
4.2.1 实际问题的函数刻画【教学目标】１．知识技能：（１）培养学生由实际问题转化为教学问题的建模能力。
（２）使学生会利用函数图象的和性质，对函数进行处理，得出数学结论，并根据数学结论解决实际问题。
（３）通过学习函数基本模型的应用，初步向学生渗透理论与实践的辨证关系。
2．过程与方法：（１）通过实际问题情境，使学生了解实际问题中量与量之间的变化规律，可以用函数来刻画，研究函数的性质就等价于研究实际问题中量与量之间的函数关系。
（２）通过学生的讨论、探究，使学生会将实际问题抽象、概括，化归为函数问题，进而逐步培养学生解决实际问题的能力。
３．情感、态度与价值观：（１）体会事物发展变化的“对立统一”规律，培养学生辨证唯物主义思想。
（２）教育学生爱护环境，维护生态平衡。
（３）体会研究函数问题的一般方法，体验由具体到抽象的思维过程，感受常用的简单重要函数模型在实际问题中的作用，领悟方程与数形结合的数学思想，培养学生的合作意识，概括归纳能力和科学的思维方式。
【教学重点】常用简单函数模型的应用。
【教学难点】实际问题的函数刻画化归。
【教学方法】利用多媒体教学手段，教师引导启发，学生交流合作、讨论、观察、分析、概括、归纳、总结，达到教学目标的要求。
【课前准备】①多媒体课件；②坐标纸【教学设计】【课前预习】阅读教科书P137~P139，尝试完成以下两题：1．商店的一种商品每个进价80元，零售价100元．为了促进销售，开展购一件商品赠送一个小礼品的活动，在一定的范围内，礼品价格每增加l元，销售量增加10％．求利润与礼品价格”之间的函数关系．2．在测量某物理量的过程中，因仪器和观察的误差，使得n次测量分别得到al，a2，…，an，共n个数据，我们规定所测量物理量的“最佳近似值”“是这样一个量：与其他近似值比较，a与各数据差的平方和最小．依此规定，请用a1，a2，…，an表示出a．[课堂引入]有一大群兔子在喝水嬉戏，但这群兔子曾使澳大利亚人伤透了脑筋？为什么？还是从头说起：1859年，有人从欧洲带进澳洲几只兔子，由于澳洲有茂盛的牧草，而且兔子没有天敌，兔子数量不断增加，不到100年，兔子们占领了澳大利亚，数量达75亿只，兔子太多，为了生存，变得可恶起来，75亿只兔子，吃掉了相当于75亿只羊所吃的牧草，草原的载畜率大大降低，而牛羊是澳大利亚的主要牲畜，这些使澳大利亚人头痛不已，他们采用了各种方法，消灭兔子，直至20世纪50年代，科学家采用载液病毒杀死了90%的兔子，澳大利亚人才算松了一口气。
高中数学 第四章 函数应用 4.2 实际问题的函数建模 4.2.1 实际问题的函数刻画教案2 北师大
高中数学第四章函数应用4.2 实际问题的函数建模4.2.1 实际问题的函数刻画教案2 北师大版必修1编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第四章函数应用4.2 实际问题的函数建模4.2.1 实际问题的函数刻画教案2 北师大版必修1）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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4.2.1函数模型的应用实例一、教学目标：1。
知识与技能：能够找出简单实际问题中的函数关系式，初步体会应用一次函数、二次函数模型解决实际问题.2．过程与方法:感受运用函数概念建立模型的过程和方法，体会一次函数、二次函数模型在数学和其他学科中的重要性.3．情感、态度、价值观：体会运用函数思想处理现实生活中和社会中的一些简单问题的实用价值.二、教学重点与难点：1．教学重点：运用一次函数、二次函数模型解决一些实际问题.2。
教学难点：将实际问题转变为数学模型。
三、学法与教法1.学法:学生自主阅读教材，采用尝试、讨论方式进行探究.2。
教法：自主阅读、尝试、讨论法。
四、教学过程(一）创设情景,揭示课题引例：大约在一千五百年前,大数学家孙子在《孙子算经》中记载了这样的一道题:“今有雏兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雏兔各几何？"这四句的意思就是：有若干只有几只鸡和兔？你知道孙子是如何解答这个“鸡兔同笼”问题的吗?你有什么更好的方法?老师介绍孙子的大胆解法：他假设砍去每只鸡和兔一半的脚,则每只鸡和兔就变成了“独脚鸡”和“双脚兔".这样，“独脚鸡"和“双脚兔”脚的数量与它们头的数量之差,就是兔子数，即：47－35＝12；鸡数就是:35－12＝23。
2019_2020学年高中数学第3章导数应用22.1实际问题中导数的意义2.2最大值、最小值问题学案北师大版
2.1 实际问题中导数的意义 2.2 最大值、最小值问题1．导数的实际意义在日常生活和科学领域中，有许多需要用导数概念来理解的量．以中学物理为例，速度是路程关于时间的导数，线密度是质量关于长度的导数，功率是功关于时间的导数等．2．函数的最值与导数 (1)最大值点与最小值点．函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的最大值点x 0指的是：函数在这个区间上所有点的函数值都不超过f (x 0)．函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的最小值点x 0指的是：函数在这个区间上所有点的函数值都不低于f (x 0)．(2)最大值与最小值最大(小)值或者在极大(小)值点取得，或者在区间的端点取得．因此，要想求函数的最大(小)值，应首先求出函数的极大(小)值点，然后将所有极大(小)值点与区间端点的函数值进行比较，其中最大(小)的值即为函数的最大(小)值．函数的最大值和最小值统称为最值．[提醒] 函数的最大值与最小值可能在区间端点处取得，也可能在区间内部的极值点处取得．1．质点运动的速度v (单位：m/s)是时间t (单位：s)的函数，且v ＝v (t )，则v ′(1)表示( )A ．t ＝1 s 时的速度B ．t ＝1 s 时的加速度C ．t ＝1 s 时的位移D ．t ＝1 s 的平均速度B [v (t )的导数v ′(t )表示t 时刻的加速度，故选B.]2．函数f (x )＝2x －cos x 在(－∞，＋∞)上( ) A ．无最值 B ．有极值 C ．有最大值D ．有最小值A [f ′(x )＝2＋sin x >0恒成立，所以f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增，无极值，也无最值．]3．(2019·全国卷Ⅲ)已知曲线y ＝a e x＋x ln x 在点(1，a e)处的切线方程为y ＝2x ＋b ，则( )A ．a ＝e ，b ＝－1B ．a ＝e ，b ＝1C ．a ＝e －1，b ＝1 D ．a ＝e －1，b ＝－1[答案] D4．要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20 cm ，要使其体积最大，则高为 A.33 B.1033 C.1633D.2033D [设圆锥的高为x cm ，体积为V (x )，则底面半径为202－x 2cm ，V (x )＝13πx (202－x 2)(0<x <20)，∴V ′(x )＝13π(400－3x 2)，令V ′(x )＝0，解得x ＝2033.当0<x <2033时，V ′(x )>0；当2033<x <20时，V ′(x )<0， ∴当x ＝2033时，V (x )取得最大值．]位：J)是时间t (单位：s)的函数，设这个函数可以表示为W (t )＝t 3－6t 2＋16t .(1)求t 从1 s 变到3 s 时，功W 关于时间t 的平均变化率，并解释它的实际意义；(2)求W ′(1)，W ′(2)，并解释它们的实际意义． 思路探究：弄清题意，根据物理中导数的意义解答：(1)功的平均变化率表示平均每秒做的功；(2)功率是功关于时间的导数．[解] (1)当t 从1 s 变到3 s 时，功W 从W (1)＝11 J 变到W (3)＝21 J ，此时功W 关于时间t 的平均变化率为W (3)－W (1)3－1＝21－113－1＝5(J/s)．它表示从t ＝1 s 到t ＝3 s 这段时间，这个人平均每秒做功5 J. (2)根据导数公式和求导法则可得W ′(t )＝3t 2－12t ＋16，于是，W ′(1)＝7 J/s ，W ′(2)＝4 J/s.W ′(1)和W ′(2)分别表示t ＝1 s 和t ＝2 s 时，这个人每秒做的功分别为7 J 和4 J.函数在某处的导数的实际意义1．函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)反映了函数在这点处的瞬时变化率，它揭示了事物在某时刻的变化状况，导数可以描述任何事物的瞬时变化率．2．导数可以刻画实际问题中两个变量变化的快慢程度；在应用时我们首先要建立函数模型，利用定义或公式法则求出导数并能结合实际问题解释导数的实际意义．1．已知某商品生产成本c 与产量q (0<q <200)的函数关系为c ＝100＋4q ，价格p 与产量q 的函数关系为p ＝25－18q ，求利润L 关于产量q 的关系式，用L ＝f (q )表示，并计算f ′(80)的值，解释其实际意义．[解] ∵f (q )＝p ×q －c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫25－18q ×q －(100＋4q )， ∴f (q )＝－18q 2＋21q －100(0<q <200)，∴f ′(q )＝－14q ＋21，∴f ′(80)＝－14×80＋21＝1．说明产量q ＝80时，产量每增加1，利润也增加1．(1)求曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程；(2)求函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值和最小值．思路探究：(1)先求函数的导数，由导数的几何意义求曲线的切线方程；(2)利用导数判断函数的单调性，然后求出函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值和最小值．[解] (1)因为f (x )＝e xcos x －x ，所以f ′(x )＝e x(cos x －sin x )－1，f ′(0)＝0. 又f (0)＝1，所以曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝1．(2)设h (x )＝e x(cos x －sin x )－1，则h ′(x )＝e x(cos x －sin x －sin x －cos x )＝－2e xsin x .当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2时，h ′(x )<0，所以h (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调递减．所以对任意x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π2有h (x )<h (0)＝0，即f ′(x )<0.所以函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调递减．因此f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值为f (0)＝1，最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－π2.求函数最值的三点注意求闭区间上连续函数的最值除熟练掌握基本步骤外，还应注意以下几点：(1)对函数准确求导；(2)研究函数的单调性，正确确定极值和端点的函数值；(3)比较极值与端点的函数值大小时，有时用作差法来比较大小．2．求函数f (x )＝4x 3＋3x 2－36x ＋5在区间[－2,3]上的最大值与最小值． [解] ∵f ′(x )＝12x 2＋6x －36，令f ′(x )＝0，得2x 2＋x －6＝0，∴x ＝－2或32.当x 变化时，f ′(x )，f (x )变化情况如表所示：∴f (x )在x ＝32处取极小值，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＝－4.又∵f (－2)＝57，f (3)＝32，∴f (x )的最大值为f (－2)＝57，f (x )的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝－1154.价格x (单位：元/千克)满足关系式y ＝ax －3＋10(x －6)2，其中3＜x ＜6，a 为常数，已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．(1)求a 的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．思路探究：(1)根据x ＝5时，y ＝11求a 的值．(2)把每日的利润表示为销售价格x 的函数，用导数求最大值． [解] (1)因为x ＝5时，y ＝11，所以a2＋10＝11，a ＝2．(2)由(1)知，该商品每日的销售量y ＝2x －3＋10(x －6)2， 所以商场每日销售该商品所获得的利润f (x )＝(x －3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x －3＋10(x －6)2＝2＋10(x －3)(x －6)2,3＜x ＜6，从而，f ′(x )＝10[(x －6)2＋2(x －3)(x －6)]＝30(x －4)·(x －6)， 于是，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：所以，当x ＝4时，函数f (x )取得最大值，且最大值等于42．故当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．1．经济生活中优化问题的解法经济生活中要分析生产的成本与利润及利润增减的快慢，以产量或单价为自变量很容易建立函数关系，从而可以利用导数来分析、研究、指导生产活动．2．关于利润问题常用的两个等量关系 (1)利润＝收入－成本．(2)利润＝每件产品的利润×销售件数．3．某工厂生产某种产品，已知该产品的月生产量x (吨)与每吨产品的价格p (元/吨)之间的关系式为：p ＝24 200－15x 2，且生产x 吨的成本为R ＝50 000＋200x (元)．问该厂每月生产多少吨产品才能使利润达到最大？最大利润是多少？[解] 每月生产x 吨时的利润为f (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫24 200－15x 2x －(50 000＋200x )＝－15x 3＋24 000x －50 000(x ≥0)，由f ′(x )＝－35x 2＋24 000＝0，解得x ＝200或x ＝－200(舍去)．因为f (x )在[0，＋∞)内只有一个点x ＝200使f ′(x )＝0，故它就是最大值点，且最大值为f (200)＝－15×2003＋24 000×200－50 000＝3 150 000(元)，故每月生产200吨产品时利润达到最大，最大利润为315万元.1．已知函数f (x )＝a x2＋2ln x ，若当a >0时，f (x )≥2恒成立，如何求实数a 的取值范围？[提示] 由f (x )＝a x 2＋2ln x 得f ′(x )＝2(x 2－a )x 3，又函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且a >0，令f ′(x )＝0，得x ＝－a (舍去)或x ＝a .当0<x <a 时，f ′(x )<0；当x >a 时，f ′(x )>0.故x ＝a 是函数f (x )的极小值点，也是最小值点，且f (a )＝ln a ＋1．要使f (x )≥2恒成立，需ln a ＋1≥2恒成立，则a ≥e.故a 的取值范围为[e ，＋∞)．2．函数最值和“恒成立”问题有什么联系？[提示] 解决“恒成立”问题，可将问题转化为函数的最值问题． 如f (x )>0恒成立，只要f (x )的最小值大于0即可． 如f (x )<0恒成立，只要f (x )的最大值小于0即可．以上两种情况特别要小心临界值的取舍，对含参数不等式的恒成立问题，求参数范围时，可先分离参数．【例4】 设函数f (x )＝2x 3＋3ax 2＋3bx ＋8c 在x ＝1及x ＝2时取得极值． (1)求a ，b 的值；(2)若对于任意的x ∈[0,3]，都有f (x )<c 2成立，求c 的取值范围． 思路探究：(1)由f ′(1)＝0且f ′(2)＝0可以解得a ，b 的值；(2)先求出函数f (x )在[0,3]上的最值，把恒成立问题转化为最值问题解决． [解] (1)f ′(x )＝6x 2＋6ax ＋3b ， 因为函数f (x )在x ＝1及x ＝2时取得极值， 所以f ′(1)＝0，f ′(2)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧6＋6a ＋3b ＝0，24＋12a ＋3b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝4.(2)由(1)可知，f (x )＝2x 3－9x 2＋12x ＋8c ，f ′(x )＝6x 2－18x ＋12＝6(x －1)(x －2)．当x ∈(0,1)时，f ′(x )>0； 当x ∈(1,2)时，f ′(x )<0； 当x ∈(2,3)时，f ′(x )>0.所以，当x ＝1时，f (x )取极大值f (1)＝5＋8c ，又f (0)＝8c ，f (3)＝9＋8c . 所以当x ∈[0,3]时，f (x )的最大值为f (3)＝9＋8c .因为对于任意的x ∈[0,3]，有f (x )<c 2恒成立， 所以9＋8c <c 2， 解得c <－1或c >9.因此c 的取值范围为(－∞，－1)∪(9，＋∞)．1．若本例中“不等式恒成立问题常用的解题方法(1)求f(x)的最小值h(t)；(2)若h(t)<－2t＋m对t∈(0,2)恒成立，求实数m的取值范围．[解](1)∵f(x)＝t(x＋t)2－t3＋t－1(x∈R，t>0)，∴当x＝－t时，f(x)取最小值f(－t)＝－t3＋t－1，即h(t)＝－t3＋t－1．(2)令g(t)＝h(t)－(－2t＋m)＝－t3＋3t－1－m，由g′(t)＝－3t2＋3＝0，得t＝1或t＝－1(不合题意，舍去)．当t变化时，g′(t)，g(t)的变化情况如下表：∴g(t)在h(t)<－2t＋m在(0,2)内恒成立等价于g(t)<0在(0,2)内恒成立，即等价于1－m<0，∴m的取值范围为(1，＋∞)．(1)极值是对某一点附近(即局部)而言，最值是对函数的整个定义区间[a，b]而言．(2)在函数的定义区间[a，b]内，极大(小)值可能有多个(或者没有)，但最大(小)值只有一个．(3)函数f(x)的极值点不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点．(4)对于在闭区间上图像连续不断的函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点处取得．2．求函数最值的步骤第一步：求函数的定义域．第二步：求f′(x)，解方程f′(x)＝0.第三步：列出关于x ，f (x )，f ′(x )的变化表． 第四步：求极值、端点处的函数值，确定最值． 3．不等式恒成立问题的转化技巧(1)a ≥f (x )(或≤f (x ))恒成立⇔a ≥f (x )max (或≤f (x )min )； (2)a ≥f (x )(或≤f (x ))恒有解⇔a ≥f (x )min (或≤f (x )max )； (3)f (x )≥g (x )恒成立⇔F (x )min ≥0(其中F (x )＝f (x )－g (x ))； (4)f (x )≥g (x )恒有解⇔F (x )max ≥0(其中F (x )＝f (x )－g (x ))．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)如果f (x )在区间[a ，b ]上的图像是连续不断的曲线，那么f (x )在[a ，b ]上存在极值和最值．( )(2)函数的最值有可能在极值点处取得． ( )(3)若f (x )在区间(a ，b )上的图像是连续不断的曲线，那么f (x )在(a ，b )上存在最值． (4)如果函数f (x )在(a,6)上只有一个极值，那么这个极值就是相应的最值．( )[答案] (1)× (2)√ (3)× (4)√ 2．函数y ＝xe x 在[0,2]上的最大值为________．1e [∵y ′＝x ′·e x －x (e x)′(e x )2＝1－x e x ， 令y ′＝0，得x ＝1∈[0,2]． ∴f (1)＝1e ，f (0)＝0，f (2)＝2e 2，∴f (x )max ＝f (1)＝1e.]3．某产品的销售收入y 1(万元)是产量x (千台)的函数：y 1＝17x 2(x ＞0)，生产成本y 2(万元)是产量x (千台)的函数：y 2＝2x 3－x 2(x ＞0)，为使利润最大，应生产________千台．6 [设利润为y 万元，则y ＝y 1－y 2＝17x 2－(2x 3－x 2)＝－2x 3＋18x 2(x ＞0)， ∴y ′＝－6x 2＋36x ＝－6x (x －6)．令y ′＝0，解得x ＝0或x ＝6，经检验知x ＝6既是函数的极大值点又是函数的最大值点．] 4．已知a 为实数，f (x )＝(x 2－4)·(x －a )． (1)求导数f ′(x )；(2)若f ′(－1)＝0，求f (x )在[－2,2]上的最大值和最小值． [解] (1)由原式得f (x )＝x 3－ax 2－4x ＋4a ，∴f ′(x )＝3x 2－2ax －4. (2)由f ′(－1)＝0，得a ＝12，此时有f (x )＝(x 2－4)·⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，f ′(x )＝3x 2－x －4.由f ′(x )＝0，得x ＝43或x ＝－1．又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＝－5027，f (－1)＝92， f (－2)＝0，f (2)＝0，∴f (x )在[－2,2]上的最大值为92，最小值为－5027.。
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2019-2020学年高中数学 4.2导数在实际问题中的应用-导数与函数的极值导学
案北师大版选修1-1
一．学习目标:
1、正确理解函数的极大值、极小值、极值点的意义。
2、掌握利用导数与函数极值的关系解决有关参数问题。
二．学习重点:掌握利用导数与函数极值的关系解决有关参数问题。
三．学习难点:掌握利用导数与函数极值的关系解决有关参数问题。
四．旧知复习
1、什么是极值，极值点？
2、 求极值的步骤
五、例题精讲:
小值点？分别是极大值点还是极）判断（的值；、、）求常数（时取得极值，且在已知例121.1)1(1)0()(.23x
cba
fxacxbxaxxf
六．练习与展示:
1、已知函数f (x)＝x3＋ax2＋bx＋c，且知当x＝－1时取得极大值7，当x＝3时取得极小
值，试求函数f (x)的极小值，并求a、b、c的值
.)(2)(1.122)(223的单调区间）求（的解析式；）求（处取得极值，在已知、xf
xf
xxxbxaxxf
..1)2(33)(.323的取值范围求值既有极大值，又有极小若axaaxxxf
.)(21.)(12)(.42312的单调性）讨论（的值；和）求（的极值点为和已知函数xf
ba
xfxxbxaxexxfx
七、课时小结: