2011年 天津市大学数学竞赛试题参考解答
2011年高考数学天津文(word版含答案)
选择题1.i 是虚数单位，复数13i1i--=（ ）. (A)2i -(B)2+i (C)12i -- (D)1+2i -2.设变量,x y 满足约束条件1,40,340,x x y x y ≥⎧⎪+-≤⎨⎪-+≤⎩则目标函数3z x y =-的最大值为( ).(A)-4 (B)0 (C)43(D)43.阅读如下程序框图，运行相应的程序，若输入x 的值为-4，则输出y 的值为( ).(A)0.5 (B)1 (C)2 (D)44.设集合{}{}|20,|0A x x B x x =∈->=∈<R R ，{}|(2)0C x x x =∈->R ，则“x A B ∈⋃”是“x C ∈”的( ).(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件5.已知244log 3.6,log 3.2,log 3.6a b c ===，则( ).(A)a b c >> (B)a c b >> (C)b a c >> (D)c a b >>6.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左顶点与抛物线22(0)y px p =>的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（-2，-1），则双曲线的焦距为（ ）.(A)(B)(C)(D)7.已知函数()2sin(),f x x x ωϕ=+∈R ，其中0,ππ.()f x ωϕ>-<≤若的最小正周期为6π，且当π2x =时，()f x 取得最大值，则（ ）. (A)()f x 在区间[2π,0]-上是增函数 (B)()f x 在区间[3π,π]--上是增函数 (C)()f x 在区间[3π,5π]上是减函数(D)()f x 在区间[4π,6π]上是减函数8.对实数a b 和，定义运算“⊗”：,1, 1.a ab a b b a b -≤⎧⊗=⎨->⎩，设函数2()(2)(1),f x x x x =-⊗-∈R .若函数()y f x c =-的图像与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是（ ）. (A)(1,1](2,)-⋃+∞ (B)(2,1](1,2]--⋃(C)(,2)(1,2]-∞-⋃(D) [-2，-1]填空题9.已知集合{}||-1|2,A x x =∈<R Z 为整数集，则集合A ⋂Z 中所有元素的和等于________.10.一个几何体的三视图如下图所示（单位：m ），则该几何体的体积为__________3m .11.已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，n ∈*N ，若32016,20,a S ==则10S 的值为_______.12.已知22log log a b +≥1，则39ab+的最小值为__________.13.如下图，已知圆中两条弦AB 与CD 相交于点F ，E 是AB 延长线上一点，::4:2:1.D F C F A F F B BE ==若CE 与圆相切，则线段CE 的长为__________.14.已知直角梯形ABCD 中，AD //BC ,90ADC ∠=︒,2,1AD BC ==,P 是腰DC 上的动点，则3PA PB +的最小值为____________.解答题15.编号为1216,,,A A A ⋅⋅⋅的16名篮球运动员在某次训练比赛中的得分记录如下：（Ⅰ）将得分在对应区间内的人数填入相应的空格：（Ⅱ）从得分在区间[)20,30内的运动员中随机抽取2人，（i ）用运动员的编号列出所有可能的抽取结果； （ii ）求这2人得分之和大于50的概率.16.在△ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知,2.B C b ==（Ⅰ）求cos A 的值； （Ⅱ）cos(2)4A π+的值.17.如下图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，45ADC ∠=︒，1AD AC ==，O 为AC 中点，PO ⊥平面ABCD ，2PO =，M 为PD 中点. （Ⅰ）证明：PB //平面ACM ； （Ⅱ）证明：AD ⊥平面PAC ；（Ⅲ）求直线AM 与平面ABCD 所成角的正切值.18.设椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，点(),Pab 满足212PF F F =.（Ⅰ）求椭圆的离心率e ；（Ⅱ）设直线2PF 与椭圆相交于,A B 两点.若直线2PF 与圆()(22116x y ++=相交于,M N 两点，且58MN AB =,求椭圆的方程. 19.已知函数322()4361,f x x tx t x t x =+-+-∈R ，其中t ∈R .（Ⅰ）当1t =时，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （Ⅱ）当0t ≠时，求()f x 的单调区间；（Ⅲ）证明：对任意的(0,),()t f x ∈+∞在区间(0,1)内均存在零点．20.已知数列{}{}n n a b 与满足1*1113(1)(2)1,,, 2.2n nn n n n n b a b a b n a -+++-+=-+=∈=N 且 （Ⅰ）求23,a a 的值； （Ⅱ）设2121,nn n c a a n +-=-∈*N ，证明{}n c 是等比数列；（Ⅲ）设n S 为{}n a 的前n 项和，证明2121212212n n n nS S S S a a a a --++++≤1().3n n -∈*N参考答案 1.A提示：i 22i24)i 1)(i 1()i 1)(i 31(i 1i 31-=-=+-+-=--.2.D提示：如下图，画可行域（阴影部分），通过平移与03=-y x 平行的直线可知，y x z -=3在(2,2)A 点有最大值，故4max =z .也可将三角形区域的其它顶点坐标代入目标函数3z x y=-中去求值查对，看看自己求得的值是否三个值中最大的，如果不是最大的，那么求解必有错.3.C提示：根据条件执行3次，过程如下：第一次：7=x ；第二次：4=x ；第三次：1=x ；不满足条件输出2=y ，故选(C).4.C提示：经化简：}2|{>∈=x x A R ，则}02|{<>=⋃x x x B A 或，又{}0,2,C x x x =∈<>R或故C B A =⋃,故选（C ）.5.B提示：首先确定：1,1,1<<>c b a ，又显然6.3log 2.3log 44<，故选(B).6.B提示：双曲线的左顶点为A )0,(a -，抛物线的焦点为)0,2(p B ，则42=+pa ；双曲线的一条渐近线为x ab y =，把)1,2(--代入后得b a 2=，而抛物线的准线为22-=-=px ，由此解得1,2==b a ，则5=c ，故双曲线的焦距为52.7.A提示：由6πT =,得31=ω,当π2x =时，1ππ2π,322k k ϕ⨯+=+∈Z ,解得π2π,3k k ϕ=+∈Z ，又πϕ-<≤ππ=3ϕ，所以，即1π()2sin()33f x x =+，π1ππ2π2π,2332k x k k -≤+≤+∈Z ,)(x f 单调递增，解得5π6π2k -≤x ≤π6π,2k k +∈Z ，令0=k ，则)(x f 在区间5ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数，那么)(x f 在区间[2π,0]-上是增函数.此题也可验证选项的正确性，如对于选项（A ）,若2π0x -≤≤，则π1ππ3333x -≤+≤，)(x f 为增函数，故选(A). 8.B提示：解1)1()2(2≤---x x ，得21≤≤-x ，则⎩⎨⎧>-<-≤≤--=，或，，，211212)(2x x x x x x f 如下图，由图像可看出函数c y =与函数()f x 有两个交点时，c 的取值范围为]2,1(]1,2(⋃--.故应选（B ）.9.3提示：{}1<3A x x <=∈R |-，则{}0,1,2A ⋂=Z ，那么A ⋂Z 中所有元素的和等于3.10.4提示：根据所给的几何体的三视图，可以想到这个几何体是一个如下图所示的复合体.底座是一个长、宽、高分别为2,1,1的长方体，上面是一个长、宽、高分别1,1,2的长方体，可得422=+=V .11.110提示：⎪⎩⎪⎨⎧=⨯⨯+=+，，20219202016211d a d a 解得⎩⎨⎧-==.2201d a ，则110291010110=⨯⨯+=d a S .12.18提示：因为()222log log log a b ab +=≥1，所以ab ≥2.而ba 93+≥b a b a 232932+=⋅≥ab2232当且仅当⎩⎨⎧==,2,93b a b a 即b a 2=时，取等号.又ab2232≥1832222=⨯，故最小值为18.也可由ab ≥2，得到a ≥2b，那么b a 93+≥b b 2233+≥bb 22332⋅≥18，当且仅当1=b 时，取等号.13.27 提示：设,x BE =则,2,4x FB x AF ==由圆的相交弦定理得FC DF FB AF ⋅=⋅,解得.21=x 由切割线定理知，2,CE EB EA =⋅解得27=CE . 14.5提示：建立如下图所示的坐标系，则),0,2(A 设),0(),,0(a C y P ，则),1(a B ，那么),1(),,2(y a PB y PA -=-=，)43,5(3y a -=+，从而22)43(25|3|y a PB PA -+=+≥25，当且仅当a y 43=时，取等号.15.解：（Ⅰ）4，6，6.（Ⅱ）（i ）得分在区间[20,30)内的运动员编号为345101113,,,,,.A A A A A A 从中随机抽取2人，所有可能的抽取结果有：343531*********{,},{,},{,},{,},{,},{,},A A A A A A A A A A A A 410{,}A A ，411413510511513101110131113{,},{,},{,},{,},{,},{,},{,},{,}A A A A A A A A A A A A A A A A ，共15种.（ii ）“从得分在区间[20,30)内的运动员中随机抽取2人，这2人得分之和大于50”（记为事件B ）的所有可能结果有454104115101011{,},{,},{,},{,},{,}A A A A A A A A A A ，共5种.所以51().153P B ==16.解：（Ⅰ）由,2,B C b ==可得2c b a ==.所以222222331cos .23a a a b c a A bc +-+-===（Ⅱ）因为1cos ,(0,π)3A A =∈，所以sin 3A ==. 27cos 22cos 1.9A A =--=-故sin 22sin cos 9A A A ==所以πππ7c 44A A⎛⎫+= ⎪⎝⎭17.（Ⅰ）证明：连接,BD OM ,如下图，在平行四边形ABCD 中，因为O 为AC 的中点，所以O 为BD 的中点，又M 为PD 的中点，所以PB //MO .因为PB ⊄平面ACM ，MO ⊂平面ACM ，所以PB //平面ACM .（Ⅱ）证明：因为45ADC ∠=︒，且1A D A C ==，所以90DAC ∠=︒，即AD AC ⊥，又PO ⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，所以,PO AD AC PO O ⊥⋂=而，所以AD ⊥平面PAC .（Ⅲ）解：取DO 中点N ，连接MN ，AN ，因M 为PD 的中点，所以MN //PO ，且11,2MN PO PO ==⊥由平面ABCD ，得MN ⊥平面ABCD ，所以MAN ∠是直线AM 与平面A B C D 所成的角，在Rt DAO ∆中，11,2AD AO ==，所以DO =，从而12AN DO ==，在Rt ,tan MN APF MAN AN ∆∠===中，即直线AM 与平面ABCD所成角的正切值为18.解：（Ⅰ）设12(,0),(,0)(0)F c F c c ->，因为212||||PF F F =，2c =，整理得2210,1c cc a aa ⎛⎫+-==- ⎪⎝⎭得（舍）或11,.22c e a ==所以 （Ⅱ）由（Ⅰ）知2,a c b c==，可得椭圆方程为2223412x y c +=.又P (a b ，),2F (,0)c ,所以直线2PF的方程为).y x c =-,A B两点的坐标满足方程组2223412,).x y c y x c ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩ 消去y 并整理，得2580x cx -=. 解得1280,5x x c ==，得方程组的解21128,0,5,.x c x y y ⎧=⎪=⎧⎪⎪⎨⎨=⎪⎪⎩=⎪⎩不妨设85A c ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，(0,)B ，所以16||.5AB c == 于是5||||2.8MN AB c ==圆心(-到直线2PF的距离||2|.22c d+== 因为222||42MN d ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以223(2)16.4c c ++= 整理得2712520c c +-=，得267c =-（舍），或 2.c = 所以椭圆方程为221.1612x y +=19.（Ⅰ）解：当1t =时，322()436,(0)0,()1266f x x x x f f x x x '=+-==+-,(0) 6.f '=-所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为6.y x =-（Ⅱ）解：22()1266f x x tx t '=+-，令()0f x '=，解得.2t x t x =-=或 因为0t ≠，所以下分两种情况讨论： （1） 若0,,2t t t x <<-则当变化时，(),()f x f x '的变化情况如下表：所以，()f x 的单调递增区间是(),,,;()2t t f x ⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭的单调递减区间是,2t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭. （2）若0,2t t t >-<则，当x 变化时，(),()f x f x '的变化情况如下表：所以，()f x 的单调递增区间是(),,,;()2t t f x ⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭的单调递减区间是,.2t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）可知，当0t >时，()f x 在0,2t ⎛⎫ ⎪⎝⎭内的单调递减，在,2t ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭内单调递增，以下分两种情况讨论：(1)当2t ≥1t ，即≥2时，()f x 在（0，1）内单调递减.2(0)10,(1)643f t f t t =->=-++≤644230.-⨯+⨯+< 所以对任意[2,),()t f x ∈+∞在区间（0，1）内均存在零点.(2)当01,022t t <<<<即时，()f x 在0,2t ⎛⎫ ⎪⎝⎭内单调递减，在,12t ⎛⎫ ⎪⎝⎭内单调递增.若317(0,1],124t f t t ⎛⎫∈=-+- ⎪⎝⎭≤370.4t -< 2(1)643f t t =-++≥643230.t t t -++=-+>所以(),12t f x ⎛⎫ ⎪⎝⎭在内存在零点. 若()3377(1,2),110,244t t f t t t ⎛⎫∈=-+-<-+< ⎪⎝⎭(0)10f t =->. 所以()0,2t f x ⎛⎫ ⎪⎝⎭在内存在零点.所以，对任意(0,2),()t f x ∈在区间（0，1）内均存在零点. 综上，对任意(0,),()t f x ∈+∞在区间（0，1）内均存在零点.20.（Ⅰ）解：由13(1),2n n b n -+-=∈*N ，可得2,,1,n n b n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数.又()1121n n n n n b a b a +++=-+，当1n =时12,21,a a +=-由12,a =可得23;2a =- 当2n =时，2325a a +=，可得38a =. （Ⅱ）证明：对任意n ∈*N ,21212221n n n a a --+=-+, ① 2221221n n n a a ++=+. ②②-①，得21212132,n n n a a -+--=⨯即2132,n n c -=⨯于是14n n c c +=. 又16c =≠0，所以{}n c 是等比数列.（Ⅲ）证明：12a =，由（Ⅱ）知，当k k ∈*N 且≥2时， 2113153752123()()()()k k k a a a a a a a a a a ---=+-+-+-++- 13523212(14)23(2222)23214k k k ----=+++++=+⨯=-. 故对任意2121,2.k k k a --∈=*N由①得212122221,k k k a --+=-+所以21212,2k k a k -=-∈*N . 因此，21234212()()().2k k k k S a a a a a a -=++++++= 于是，212-12212.2k k k k k S S a --=-=+ 故21221221222121212121221.1222144(41)22k k k k k k k k k k k k k k k S S k k k a a ------+-++=+=-=----- 所以对任意,n ∈*N()()2121212212321212412342122221112111141244441441n n n nn n n n n n n S S S S a a a a S S S S S S a a a a a a n ----++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=--+--++-- ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()2221112141244441441111.4123n n n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-+-+--+ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫≤-+=- ⎪⎝⎭。
2011年第三届全国大学生数学竞赛预赛试题
第三届全国大学生数学竞赛预赛试题（非数学类，2011） 考试形式：闭卷 考试时间：150分钟 满分：100分一、（本大题共4小题，每小题6分，共24分）计算下列各题（要求写出重要步骤）220(1)(1ln(1))(1)lim xx x e x x→+−−+ 2cos cos cos ,lim 222n n n n a a θθθ→∞=⋅⋅⋅⋅⋅⋅(2)设求 {}sgn(1),(,)02,02Dxy dxdy D x y x y −=≤≤≤≤∫∫（3）求其中222111212122n n n n n n n x ∞∞−−==−−∑∑（4）求幂级数的和函数，并求级数的和{}012,lim ,lim .(2),lim(),lim n n n n n n n n p n n n a a a a a a a a na p a a n pλλλ∞=→∞→∞+→∞→∞+++==−==iii 二、（本题共16分）设为数列，为有限数，求证：（1）如果则如果存在正整数使得则00()(1)0,(1)1,'(0)0.,'''() 3.f x f f f x f x −====三、（本题共15分）设函数在闭区间[-1,1]上具有连续的三阶导数，且求证：在开区间（-1，1）内至少存在一点使得.a h h m ρ四、（本题共15分）在平面上，有一条从点(,0)向右的射线，其线密度为在点（0，）处（其中>0）有一质量为的质点.求射线对该质点的引力.22222332211(,)0.0()0.z z x y F z z x yz z z z z x y x xy x y y x y x x y y+−=∂∂∂∂∂+=+++=∂∂∂∂∂∂五、（本题共15分）设=(,)是由方程确定的隐函数，且具有连续的二阶偏导数求证：和222111.().2f x a b c x y z I f ax by cz dS I f duπ−ΣΣ++=++=∫∫∫六、（本题共15分）设函数()连续，,,为常数，是单位球面记第一型曲面积分=求证：。
2011年高考数学(理)真题(Word版)——天津卷(试题+答案解析)
2011年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理）试题本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。
第Ⅰ卷参考公式：如果事件A ，B 互斥，那么如果事件A ，B 相互独立，那么()()()P A B P A P B =+U()()().P AB P A P B =棱柱的体积公式.V Sh =圆锥的体积公式1.3V Sh =其中S 表示棱柱的底面面积 其中S 表示圆锥的底面面积 h 表示棱柱的高 h 表示圆锥的高一、选择题：在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的． 1．i 是虚数单位，复数131ii--= A ．2i + B ．2i -C ．12i -+D ．12i --2．设,,x y R ∈则“2x ≥且2y ≥”是“224x y +≥”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．即不充分也不必要条件 3．阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出i 的值为 A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 4．已知{}n a 为等差数列，其公差为-2，且7a 是3a 与9a 的等比中项，n S 为{}n a 的前n 项和，*n N ∈，则10S 的值为A ．-110B ．-90C ．90D ．1105．在62x x ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭的二项展开式中，2x 的系数为A ．154-B ．154C ．38-D ．386．如图，在△ABC 中，D 是边AC 上的点，且AB=AD ，2AB=BD ，BC=2BD ，则sin C 的值为A 3B 3C 6D 67．已知324log 0.3log 3.4log 3.615,5,,5a b c ⎛⎫=== ⎪⎝⎭则A ．a b c >>B ．b a c >>C ．a c b >>D ．c a b >>8．对实数a 和b ，定义运算“⊗”：,1,, 1.a a b a b b a b -≤⎧⊗=⎨->⎩设函数()()22()2,.f x x x x x R =-⊗-∈若函数()y f x c =-的图像与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是A ．(]3,21,2⎛⎫-∞-⋃- ⎪⎝⎭B ．(]3,21,4⎛⎫-∞-⋃--⎪⎝⎭C ．111,,44⎛⎫⎛⎫-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．311,,44⎛⎫⎡⎫--⋃+∞ ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭第II 卷二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．一支田径队有男运动员48人，女运动员36人，若用分层抽样的方法从该队的全体运动员中抽取一个容量为21的样本，则抽取男运动员的人数为___________ 10．一个几何体的三视图如右图所示（单位：m ），则该几何体的体积为__________3m11．已知抛物线C 的参数方程为28,8.x t y t ⎧=⎨=⎩（t 为参数）若斜率为1的直线经过抛物线C 的焦点，且与圆()2224(0)x y r r -+=>相切，则r =________.12．如图，已知圆中两条弦AB 与CD 相交于点F ，E 是AB 延长线上一点，且2,::4:2:1.DF CF AF FB BE ===若CE 与圆相切，则线段CE 的长为__________.13．已知集合{}1|349,|46,(0,)A x R x x B x R x t t t⎧⎫=∈++-≤=∈=+-∈+∞⎨⎬⎩⎭，则集合A B ⋂=________.14．已知直角梯形ABCD 中，AD //BC ,090ADC ∠=,2,1AD BC ==,P 是腰DC 上的动点，则3PA PB +u u u r u u u r的最小值为____________.三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）已知函数()tan(2),4f x x π=+（Ⅰ）求()f x 的定义域与最小正周期；（II ）设0,4πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，若()2cos 2,2f αα=求α的大小．16．（本小题满分13分）学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球、2个黑球，乙箱子里装有1个白球、2个黑球，这些球除颜色外完全相同，每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖．（每次游戏结束后将球放回原箱） （Ⅰ）求在1次游戏中，（i ）摸出3个白球的概率； （ii ）获奖的概率；（Ⅱ）求在2次游戏中获奖次数X 的分布列及数学期望()E X . 17．（本小题满分13分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，H 是正方形11AA B B 的中心，122AA =，1C H ⊥平面11AA B B ，且1 5.C H =（Ⅰ）求异面直线AC 与A 1B 1所成角的余弦值； （Ⅱ）求二面角111A AC B --的正弦值；（Ⅲ）设N 为棱11B C 的中点，点M 在平面11AA B B 内，且MN ⊥平面11A B C ，求线段BM 的长．18．（本小题满分13分）在平面直角坐标系xOy 中，点(,)P a b (0)a b >>为动点，12,F F 分别为椭圆22221x y a b+=的左右焦点．已知△12F PF 为等腰三角形．（Ⅰ）求椭圆的离心率e ；（Ⅱ）设直线2PF 与椭圆相交于,A B 两点，M 是直线2PF 上的点，满足2AM BM ⋅=-u u u u r u u u u r，求点M 的轨迹方程．19．（本小题满分14分）已知0a >，函数2()ln ,0.f x x ax x =->（()f x 的图像连续不断） （Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）当18a =时，证明：存在0(2,)x ∈+∞，使03()()2f x f =； （Ⅲ）若存在均属于区间[]1,3的,αβ，且1βα-≥，使()()f f αβ=，证明ln 3ln 2ln 253a -≤≤．20．（本小题满分14分）已知数列{}n a 与{}n b 满足：1123(1)0,2n n n n n n n b a a b a b ++++-++==， *n ∈N ，且122,4a a ==．（Ⅰ）求345,,a a a 的值；（Ⅱ）设*2121,n n n c a a n N -+=+∈，证明：{}n c 是等比数列；（III ）设*242,,k k S a a a k N =++⋅⋅⋅+∈证明：4*17()6nk k kS n N a =<∈∑．答案解析一、选择题( 本大题共8 题, 共计40 分)1、(5分) B.2、(5分) A∵x≥2，∴x2≥4.∵y≥2，∴y2≥4.∴x2＋y2≥8≥4.∴x≥2且y≥2?x2＋y2≥4，反之令x2＋y2＝5≥4，可取x＝2，y＝1，无法推出y≥2.故选A项．3、(5分) B第一次运算：i＝1，a＝2，a＜50；第二次运算：i＝2，a＝5，a＜50；第三次运算：i＝3，a ＝16，a＜50；第四次运算：i＝4，a＝65，a＞50.所以输出i＝4.4、(5分) D设等差数列{a n}的首项为a，公差d＝－2.则a7＝a1＋6d＝a1－12；a3＝a1＋2d＝a1－4；a9＝a1＋8d＝a1－16.∵a7是a3与a9的等比中项，∴＝a3·a9，∴(a1－12)2＝(a1－4)(a1－16)，∴a1＝20.∴S10＝10a1＋d＝110.5、(5分) C设含x2的项是二项展开式中第r＋1项，则.令3－r＝2，得r＝1.∴x2的系数为.6、(5分) D设BD＝a，则BC＝2a，AB＝AD＝A．在△ABD中，由余弦定理，得cos A＝＝＝.又∵A为△ABC的内角，∴sin A＝.在△ABC中，由正弦定理得，.∴sin C＝·sin A＝·＝.7、(5分) C，log23.4＞log22＝1，log43.6＜log44＝1，＞log3 3＝1，又log23.4＞＞，∴log23.4＞＞log43.6.又∵y＝5x是增函数，∴a＞c＞b．8、(5分) B由题意得，即在同一坐标系内画出函数y＝f(x)与y＝c的图象如图所示，结合图象可知，当c∈(－∞，－2]∪(－1，)时两个函数的图象有两个公共点，从而方程f(x)－c＝0有两个不同的根，即y＝f(x)－c与x轴有两个不同交点．二、填空题( 本大题共6 题, 共计30 分)9、(5分) 12解析：设抽取男运动员人数为n，则女运动员人数21－n.由分层抽样知：，∴n＝12.10、(5分) 6＋π解析：由几何体的三视图可知，原几何体是一个长方体和一个圆锥的组合体．下面的长方体的长、宽、高分别是3 m，2 m，1 m，∴体积为3×2×1＝6(m3)．上面的圆锥底面圆半径为1 m，高为3 m，∴圆锥的体积为π×12×3＝π(m3)．∴该几何体的体积为(6＋π) m3.11、(5分)解析：消去参数t，得抛物线标准方程y2＝8x，其焦点F(2，0)，∴过抛物线焦点斜率为1的直线方程：x－y－2＝0，∵直线与圆(x－4)2＋y2＝r2相切，∴r＝d＝.12、(5分)解析：设BE＝m，则BF＝2m，AF＝4m.∵AB与CD是圆的两条相交弦，交点为F，∴由相交弦定理，得AF·FB＝CF·FD＝＝2，∴4m·2m＝2，∴m2＝.又∵CE是圆的切线，根据切割弦定理，得CE2＝EB·EA＝m(m＋2m＋4m)＝7m2＝，∴CE＝.13、(5分) {x|－2≤x≤5}解析：解不等式|x＋3|＋|x－4|≤9.(1)当x＜－3时，|x＋3|＋|x－4|＝－x－3＋4－x≤9，∴x≥－4，即－4≤x＜－3；(2)当－3≤x≤4时，|x＋3|＋|x－4|＝x＋3＋4－x≤9恒成立，∴－3≤x≤4；(3)当x＞4时，|x＋3|＋|x－4|＝x＋3＋x－4≤9，∴x≤5，即4＜x≤5.综上所述，A＝{x∈R|－4≤x≤5}．∵t∈(0，＋∞)，∴x＝4t＋－6≥2－6＝－2，当且仅当t＝时等号成立．∴B＝{x∈R|x≥－2}．∴A∩B＝{x∈R|－4≤x≤5}∩{x∈R|x≥－2}＝{x∈R|－2≤x≤5}．14、(5分) 5解析：根据题意，以AD为x轴，DC为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示．∵AD＝2，∴A(－2，0)．∵BC＝1，∴可设B(－1，n)．∴点P在DC上运动，∴可设P(0，y)(0≤y≤n)．∴＝(－2，－y)，＝(－1，n－y)，∴＝(－5，3n－4y)．∴.∴当3n＝4y，即y＝n时，取得最小值5.三、解答题( 本大题共6 题, 共计80 分)15..解：（1）由，得，所以f(x)的定义域为．f(x)的最小正周期为（2）由得，，整理得．因为，所以.因此由，得．所以16.解：（1）①设“在1次游戏中摸出i个白球”为事件A i(i＝0，1，2，3)，则②设“在1次游戏中获奖”为事件B，则B＝A2∪A3.又且A2，A3互斥，所以.（2）由题意可知X的所有可能取值为0，1，2.所以X的分布列是X0 1 2PX的数学期望17. 解：(方法1)如图所示，建立空间直角坐标系，点B为坐标原点.依题意得（1）解：易得，于是所以异面直线AC与A1B1所成角的余弦值为（2）解：易知设平面AA1C1的法向量，则即不妨令可得，同样地，设平面A1B1C1的法向量，则即不妨令，可得于是从而所以二面角A—A1C1—B的正弦值为（3）解：由N为棱B1C1的中点，得设M（a，b，0），则由平面A1B1C1，得即解得故因此，所以线段BM的长为(方法2)（1）解：由于AC//A1C1，故是异面直线AC与A1B1所成的角. 因为平面AA1B1B，又H为正方形AA1B1B的中心，可得因此所以异面直线AC与A1B1所成角的余弦值为（2）解：连接AC1，易知AC1=B1C1，又由于AA1=B1A1，A1C1=A1=C1，所以≌，过点A作于点R，连接B1R，于是，故为二面角A—A1C1—B1的平面角. 在中，连接AB1，在中，，从而所以二面角A—A1C1—B1的正弦值为（3）解：因为平面A1B1C1，所以取HB1中点D，连接ND，由于N是棱B1C1中点，所以ND//C1H且.又平面AA1B1B，所以平面AA1B1B，故又所以平面MND，连接MD并延长交A1B1于点E，则由得，延长EM交AB于点F，可得连接NE.在中，所以可得连接BM，在中，18. 解：（1）设F1(－c，0)，F2(c，0)(c＞0)．由题意，可得|PF2|＝|F1F2|，即整理得(舍)，或，所以.（2）由(1)知，可得椭圆方程为3x2＋4y2＝12c2，直线PF2方程为．A，B两点的坐标满足方程组，消去y并整理，得5x2－8cx＝0.解得得方程组的解.不妨设．设点M的坐标为．由于是由，即，化简得将，所以x＞0.因此，点M的轨迹方程是18x2－16xy－15＝0(x＞0)．19. 解：（1）．令.xf′(x) ＋0 －f(x) ↗极大值↘所以，f(x)的单调递增区间是的单调递减区间是．（2）证明：当由(1)知f(x)在(0，2)内单调递增，在(2，＋∞)内单调递减．令由于f(x)在(0，2)内单调递增，故.取所以存在x0∈(2，x′)，使g(x0)＝0，即存在(说明：x′的取法不唯一，只要满足x′＞2，且g(x′)＜0即可．)（3）证明：由f(α)＝f(β)及(1)的结论知，从而f(x)在[α，β]上的最小值为f(α)．又由β－α≥1，α，β∈[1，3]，知1≤α≤2≤β≤3.故从而20. 解：（1）由可得又b n a n＋a n＋1＋b n＋1a n＋2＝0，当n＝1时，a1＋a2＋2a3＝0，由a1＝2，a2＝4，可得a3＝－3；当n＝2时，2a2＋a3＋a4＝0，可得a4＝－5；当n＝3时，a3＋a4＋2a5＝0，可得a5＝4.（2）证明：对任意n∈N*，a2n－1＋a2n＋2a2n＋1＝0，①2a2n＋a2n＋1＋a2n＋2＝0，②a2n＋1＋a2n＋2＋2a2n＋3＝0.③②－③，得a2n＝a2n＋3.④将④代入①，可得a2n＋1＋a2n＋3＝－(a2n－1＋a2n＋1)．即c n＋1＝－c n(n∈N*)．又c1＝a1＋a3＝－1，故c n≠0，因此是等比数列．（3）证明：由(2)可得a2k－1＋a2k＋1＝(－1)k，于是，对任意k∈N*且k≥2，有a1＋a3＝－1，－(a3＋a5)＝－1，a5＋a7＝－1，(－1)k(a2k－3＋a2k－1)＝－1.将以上各式相加，得a1＋(－1)k a2k－1＝－(k－1)，即a2k－1＝(－1)k＋1(k＋1)，此式当k＝1时也成立．由④式得a2k＝(－1)k＋1·(k＋3)．从而S2k＝(a2＋a4)＋(a6＋a8)＋…＋(a4k－2＋a4k)＝－k，S2k－1＝S2k－a4k＝k＋3所以，对任意n∈N*，n≥2，对于n＝1，不等式显然成立．。
2011年高考真题——文科数学(天津卷)
2011年天津市高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．（5分）（2011•天津）i是虚数单位，复数=（）A．2﹣i B．2+i C．﹣1﹣2i D．﹣1+2i2．（5分）（2011•天津）设变量x，y满足约束条件则目标函数z=3x﹣y的最大值为（）A．﹣4 B．0 C．D．43．（5分）（2011•天津）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，若输入x的值为﹣4，则输出y的值为（）A．0.5 B．1 C．2 D．44．（5分）（2011•天津）设集合A={x∈R|x﹣2＞0}，B={x∈R|x＜0}，C={x∈R|x（x﹣2）＞0}，则“x∈A∪B”是“x∈C”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．即不充分也不必要条件5．（5分）（2011•天津）已知a=log23.6，b=log43.2，c=log43.6则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．c＞a＞b6．（5分）（2011•天津）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左顶点与抛物线y2=2px的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（﹣2，﹣1），则双曲线的焦距为（）A．2 B．2C．4D．47．（5分）（2011•天津）已知函数f（x）=2sin（ωx+φ），x∈R，其中ω＞0，﹣π＜φ≤π．若函数f（x）的最小正周期为6π，且当x=时，f（x）取得最大值，则（）A．f（x）在区间[﹣2π，0]上是增函数B．f（x）在区间[﹣3π，﹣π]上是增函数C．f（x）在区间[3π，5π]上是减函数D．f（x）在区间[4π，6π]上是减函数8．（5分）（2011•天津）对实数a与b，定义新运算“⊗”：a⊗b=．设函数f（x）=（x2﹣2）⊗（x﹣1），x∈R．若函数y=f（x）﹣c的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是（）A．（﹣1，1]∪（2，+∞）B．（﹣2，﹣1]∪（1，2]C．（﹣∞，﹣2）∪（1，2]D．[﹣2，﹣1]二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9．（5分）（2011•天津）已知集合A={x∈R||x﹣1|＜2}，Z为整数集，则集合A∩Z中所有元素的和等于．10．（5分）（2011•天津）一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则这个几何体的体积为m3．11．（5分）（2011•天津）已知{a n}为等差数列，S n为{a n}的前n项和，n∈N*，若a3=16，S20=20，则S10值为．12．（5分）（2011•天津）已知log2a+log2b≥1，则3a+9b的最小值为．13．（5分）（2011•天津）如图，已知圆中两条弦AB与CD相交于点F，E是AB延长线上一点，且DF=CF=，AF：FB：BE=4：2：1．若CE与圆相切，则CE的长为．14．（5分）（2011•天津）已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，AD=2，BC=1，P是腰DC上的动点，则的最小值为．三、解答题（共6小题，满分80分）15．（13分）（2011•天津）编号为A1，A2，…，A16的16名篮球运动员在某次训练比赛中的得分记录如下：运动员编号A1A2A3A4A5A6A7A8得分15 35 21 28 25 36 18 34运动员编号A9A10A11A12A13A14A15A16得分17 26 25 33 22 12 31 38（Ⅰ）将得分在对应区间内的人数填入相应的空格；区间[10，20）[20，30）[30，40]人数（Ⅱ）从得分在区间[20，30）内的运动员中随机抽取2人，（i）用运动员的编号列出所有可能的抽取结果；（ii）求这2人得分之和大于50分的概率．16．（13分）（2011•天津）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．（Ⅰ）求cosA的值；（Ⅱ）的值．17．（13分）（2011•天津）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠ADC=45°，AD=AC=1，O为AC中点，PO⊥平面ABCD，PO=2，M为PD中点．（Ⅰ）证明：PB∥平面ACM；（Ⅱ）证明：AD⊥平面PAC；（Ⅲ）求直线AM与平面ABCD所成角的正切值．18．（13分）（2011•天津）设椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2．点P（a，b）满足|PF2|=|F1F2|．（Ⅰ）求椭圆的离心率e；（Ⅱ）设直线PF2与椭圆相交于A，B两点，若直线PF2与圆（x+1）2+=16相交于M，N两点，且|MN|=|AB|，求椭圆的方程．19．（14分）（2011•天津）已知函数f（x）=4x3+3tx2﹣6t2x+t﹣1，x∈R，其中t∈R．（Ⅰ）当t=1时，求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（Ⅱ）当t≠0时，求f（x）的单调区间；（Ⅲ）证明：对任意的t∈（0，+∞），f（x）在区间（0，1）内均存在零点．20．（14分）（2011•天津）已知数列{a n}与{b n}满足b n+1a n+b n a n+1=（﹣2）n+1，b n=，n∈N*，且a1=2．（Ⅰ）求a2，a3的值（Ⅱ）设c n=a2n+1﹣a2n﹣1，n∈N*，证明{c n}是等比数列（Ⅲ）设S n为{a n}的前n项和，证明++…++≤n﹣（n∈N*）。
2011年天津高考数学理科试卷(带详解)
2011天津理第Ⅰ卷本卷共8小题，每小题5分，共40分.一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．i 是虚数单位,复数13i1i-=-( )． A ．2i + B ．2i - C ．12i -+ D ．12i --【测量目标】复数代数形式的四则运算.【考查方式】通过简单的分式化简来考查复数. 【难易程度】容易. 【参考答案】B 【试题解析】()()()()13i 1i 13i 42i2i 1i 1i 1i 2-+--===---+．故选B ． 2．设,x y ∈R ，则“2x …且2y …”是“224x y +…”的( )． A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【测量目标】充分、必要条件.【考查方式】通过不等式的解来考查命题之间的关系. 【难易程度】容易 【参考答案】A【试题解析】因为2x …且2y …，则24x …且24y …，因而224x y +…，所以“2x …且2y …”是“224x y +…”的充分条件，取x y ==则满足224x y +…， 但不满足2x …且2y …，所以“2x …且2y …”不是“224x y +…”的必要条件．因此“2x …且2y …”是“224x y +…”的充分而不必要条件．故选Ａ． 3．阅读下面的程序框图，运行相应的程序，则输出t 的值为( )． A ．3 B ．4 C ．5 D ．6第3题图【测量目标】选择结构的程序框图.【考查方式】给出程序框图求出算法的结果. 【难易程度】容易 【参考答案】B【试题解析】运算过程依次为： 当1t =时，1112a =⨯+=，当2t =时，2215a =⨯+=，当3t =时，53116a =⨯+=，当4t =时，16416550a =⨯+=>． 所以输出的4t =．故选Ｂ．4．已知{}n a 为等差数列，其公差为2-，且7a 是3a 与9a 的等比中项，n S 为{}n a 的前n 项和，n +∈N ，则10S 的值为 ( )．A ．110-B ．90-C ．90D ．110【测量目标】等差数列的通项及其前n 项和.【考查方式】给出数列公差，以及三项之间的关系求前n 项和. 【难易程度】容易 【参考答案】D【试题解析】因为等差数列的公差为2-，则314a a =-，7112a a =-，9116a a =-，因为7a 是3a 与9a 的等比中项，所以2739a a a =，即()()()211112416a a a -=--，221111241442064a a a a -+=-+，所以1480a =，120a =．于是()1011091010204521102S a d ⨯=+=⨯+⨯-=．故选Ｄ．5．在6⎫⎝的二项展开式中，2x 的系数为( )．A ．154-B ．154C ．38-D ．38【测量目标】二项式定理.【考查方式】考查二项式展开式中某一项的系数. 【难易程度】容易 【参考答案】C【试题解析】()6326166C 1C 2rrr rr r r r T x ---+⎛==- ⎝⎝⎭， 令32r -=，则1r =．()112262226631C 2168T x x x -=-=-=-． 所以，2x 的系数38-，故选Ｃ． 6．如图，在ABC △中，D 是边AC 上的点，且AB AD =，2AB =，2BC BD =，则sin C 的值为( )．ABC．3 D．6第6题图【测量目标】正弦定理.【考查方式】通过三角形中边与边之间的关系求某角的正切值. 【难易程度】中等 【参考答案】D【试题解析】解法１．取BD 的中点E ，因为AB AD =，所以AE BD ⊥，因为2AB =，AB =．所以cos cos BE ABE ADB AB =∠==∠，(步骤1)于是sin sin ADB CDB ∠=∠=．（步骤2） 在BDC △中，由正弦定理得sin sin BC BDCDB C=∠，sin BD C =，所以sin 6C =．故选Ｄ（步骤3）．第6题图解法2．设1BD =，由题设2AB AD ==，2BC =． 在ABD △中，由余弦定理得222331144cos 32324AB AD BD BAD AB AD +-+-∠===⨯ ，所以sin BAD ∠=（步骤1） 在ABC △中，由正弦定理得sin sin BC ABBAD C =∠2sin C=，所以sin 6C =．故选Ｄ．（步骤2） 7．2log 3.45a =，4log 3.65b =，3log 0.315c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则( )．A ．a b c >>B ．b a c >>C ．a c b >>D ．c a b >> 【测量目标】指数函数、对数函数的大小比较.【考查方式】通过同底指数和不同底数、不同真数的对数来比较大小. 【难易程度】中等 【参考答案】C【试题解析】解法1．33310log 0.3log log 0.331555c -⎛⎫=== ⎪⎝⎭，下面比较2log 3.4a '=，4log 3.6b '=和310log 3c '=的大小． 因为1a '>，1c '>，1b '<，则b '最小．2310lg10lg 3.43log 3.4log 3lg 2lg 3a c ''-=-=-，（步骤1）因为10lg 3.4lg03>>，0lg 2lg3<<，所以11lg 2lg 3>，（步骤2） 因此10lglg 3.430lg 2lg 3a c ''-=->．所以a c ''>，因而a c b '''>>． 由于函数5x y =是R 上的增函数，所以a c b >>．故选C ．（步骤3）解法2．33310log 0.3log log 0.331555c -⎛⎫=== ⎪⎝⎭，下面比较2log 3.4a '=，4log 3.6b '=和310log 3c '=的大小． 因为1a '>，1c '>，1b '<，则b '最小．（步骤1） 因为3310log log 3.43c '=<， 所以233lg3.4lg3.410log 3.4log 3.4log lg 2lg33a c ''==>>>=，因而a cb '''>>．（步骤2）由于函数5x y =是R 上的增函数，所以a c b >>．故选Ｃ．（步骤3） 解法3．由解法2，3310log log 3.43c '=<, 画出函数2l o g y x =和3log y x =的图象,比较3.4x =的纵坐标，可得23log 3.4log 3.4>，于是23310log 3.4log 3.4log 3a c ''=>>=．因而a cb '''>>． 由于函数5x y =是R 上的增函数，所以ac b >>．故选Ｃ． 8．对实数a 和b ，定义运算“⊗”：,1,1a a b a b b a b -⎧⊗=⎨->⎩，…设函数()()()222f x x x x =-⊗-，x ∈R ．若函数()y f x c =-的图象与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是( )．A ．()3,21,2⎛⎫-∞-- ⎪⎝⎭B ．(]3,21,4⎛⎫-∞---⎪⎝⎭ C ．111,,44⎛⎫⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．311,,44⎛⎫⎡⎫--+∞ ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭【测量目标】函数零点的求解与判断.【考查方式】给出新定义构建新函数并根据新函数的零点限制来判断参数的范围. 【难易程度】较难 【参考答案】B【试题解析】由题设()2232,123,12x x f x x x x x ⎧--⎪⎪=⎨⎪-<->⎪⎩，或剟 画出函数的图象，函数图象的四个端点（如图）为()1,1A --，()1,2B --，33,24C ⎛⎫- ⎪⎝⎭，31,24D ⎛⎫ ⎪⎝⎭第8题图从图象中可以看出，直线y c =穿过点C ，点A 之间时，直线y c =与图象有且只有两个公共点，同时，直线y c =穿过点B 及其下方时，直线y c =与图象有且只有两个公共点，所以实数c 的取值范围是(]3,21,4⎛⎫-∞---⎪⎝⎭．故选Ｂ．第Ⅱ卷二、填空题：本答题共6小题，每小题5分,共30分．9．一支田径队有男运动员48人，女运动员36人．若用分层抽样的方法从该队的全体运动员中抽取一个容量为21的样本，则抽取男运动员的人数为 ．【测量目标】分层抽样.【考查方式】现实生活中分层抽样的模型. 【难易程度】容易 【参考答案】12【试题解析】抽取男运动员的人数为2121484812483684⨯=⨯=+（人）．10．一个几何体的三视图如下图所示（单位：m ），则该几何体的体积为 3m ．第10题图【测量目标】由三视图求几何体的表面积与体积.【考查方式】给出三视图和数据判断图形的形状并求出体积. 【难易程度】中等 【参考答案】6+π【试题解析】几何体是由一个长方体与一个圆锥组合的．体积为 21321π136π3V =⨯⨯+⨯⨯⨯=+．11．已知抛物线C 的参数方程为28,8x t y t ⎧=⎨=⎩(t 为参数）．若斜率为1的直线经过抛物线C的焦点，且与圆()()22240x y r r -+=>相切，则r = ．【测量目标】直线与圆的位置关系. 【考查方式】通过直线与抛物线的位置关系求直线方程，再利用直线与圆的位置关系求圆的半径.【难易程度】中等【试题解析】抛物线C 的普通方程为28y x =，其焦点为()2,0F ．直线方程为2y x =-．因为直线与圆()()22240x y r r -+=>相切，则圆心到直线的距离等于半径，即r ==．12．如图，已知圆中两条弦AB 与CD 相交于点F ，E 是AB 延长线上一点，且DF CF ==::4:2:1AF FB BE =，若CE 与圆相切，则线段CE 的长为 ．第12题图【测量目标】圆的性质.【考查方式】通过圆的两条切线与圆的切线之间的位置关系求构成图形的某一段线段长度.【难易程度】中等.【参考答案】2【试题解析】因为::4:2:1AF FB BE =，所以设BE a =，2FB a =，4AF a =．由相交弦定理，242DF CF AF FB a a === ， 所以12a =，12BE =，772AE a ==．因为CE 与圆相切，由切割线定理，2177224CE AE BE === ．所以CE = 13．已知集合{}349A x x x =∈++-R …，()146,0,B x x t t t⎧⎫=∈=+-∈+∞⎨⎬⎩⎭R ，则集合A B = ．【测量目标】不等式的求解和集合间的基本运算. 【考查方式】通过求解不等式来运算不等式的交集. 【难易程度】中等【参考答案】{25}x x-剟【试题解析】解集合A :当3x <-时，不等式化为349x x --+-…，解得4x -…．所以解为43x -<-…； 当34x -剟时，不等式化为349x x ++-…，即79…．所以解为34x -剟； 当4x >时，不等式化为349x x ++-…，解得5x …，所以解为45x <…． 综合以上，{}45A x x=-剟．解集合B :因为0t >，所以1466462x t t =+-=-=-…，所以{}2B x x =-…，因而{}25A B x x=- 剟．14．已知直角梯形ABCD 中，AD BC ，90ADC ∠=︒，2AD =，1BC =，P 是腰DC 上的动点，则3PA PB +的最小值为 ．【测量目标】平面向量的坐标运算.【考查方式】给出约束条件构建平面坐标系，利用构建的坐标系解决问题. 【参考答案】5 【难易程度】较难【试题解析】解法1 ：以D 为坐标原点，DA 所在直线为x 轴，DC 所在直线为y 轴，建立如图的直角坐标系．由题设，()2,0A ，设()0,C c ，()0,P y ，则()1,B c ．()2,PA y =- ，()1,PB c y =-． ()35,34PA PB c y +=-．35PA PB += ，当且仅当34c y =时，等号成立，于是，当34cy =时，3PA PB + 有最小值5．解法2 ： 以相互垂直的向量DP ，DA 为基底表示PB PA 3+，得()533332P A P B D A D P P C C B D A P C D P+=-++=+-． 又P 是腰DC 上的动点，即PC 与DP共线，于是可设PC DP λ= ，有53(31)2PA PB DA DP λ+=+- ．所以2222553(31)(31)42PA PB DA DP DA DP λλ⎡⎤+=+-+⨯-⎣⎦即 2222253(31)25(31)4PA PB DA DP DP λλ⎡⎤+=+-=+-⎣⎦ ． 由于P 是腰DC 上的动点，显然当31=λ，即13PC DP = 时，所以3PA PB +有最小值5．解法3 ．如图，3PB PF =，设E 为AF 的中点，Q 为AB 的中点，则12QE BF PB == ，32PA PB PA PF PE +=+=， ①因为PB PQ PE += ，PB PQ QB -= ．则22222222PB PQ PB PQ PB PQ PE QB ++-=+=+ ． ②设T 为DC 的中点，则TQ 为梯形的中位线，()1322TQ AD BC =+=． 设P 为CT 的中点，且设,CP a PT b ==，则221PB a =+ ，2294PQ b =+ ，()2214QB a b =++ ，代入式②得()()222222912221244PB PQ a b PE a b ⎛⎫+=+++=+++ ⎪⎝⎭ ，于是()22252544PE a b =+- …，于是25PE …，当且仅当a b =时，等号成立． 由式①，325PA PB PE +=…，所以3PA PB +有最小值5.第14题图三、解答题：本大题共6小题，共80分。
数学_2011年天津市某校高考数学模拟试卷(理科)(含答案)
2011年天津市某校高考数学模拟试卷（理科）一、选择题（每题5分，共40分） 1. i 是虚数单位，i 1+i=( )A 12+12i B −12+12i C 12−12i D −12−12i2. 设集合S ＝{x||x −2|>3}，T ＝{x|a <x <a +8}，S ∪T ＝R ，则a 的取值范围是（ ） A −3<a <−1 B −3≤a ≤−1 C a ≤−3或a ≥−1 D a <−3或a >−13. 记(x +2x )n 的展开式中第k 项的系数为a k ，若a 3=3a 2，则n =( ) A 4 B 5 C 6 D 74. 如图所示框图表示的程序所输出的结果是（ ）A 1320B 132C 11880D 1215. 已知函数f(x)＝sin(ωx +π4)(x ∈R, ω>0)的最小正周期为π，为了得到函数g(x)=cosωx 的图象，只要将y =f(x)的图象( )A 向左平移π8个单位长度 B 向右平移π8个单位长度 C 向左平移π4个单位长度 D 向右平移π4个单位长度6. 函数f(x)=a 2x 2+ax −2在[−1, 1]上有零点，则a 的取值范围是（ ）A (−∞, −1)∪(1, +∞)B (−∞, −1]∪[1, +∞)C RD (−∞, −2]∪[2, +∞) 7. 已知抛物线y 2=2px(p >0)上一点M(1, m)(m >0)到其焦点的距离为5，双曲线x 2a −y 2=1的左顶点为A ，若双曲线的一条渐近线与直线AM 平行，则实数a 的值是( ) A 125B 19C 15D 138. 已知函数f(x)=log 2x−1log 2x+1，若f(x 1)+f(2x 2)=1，（其中x 1，x 2均大于2），则f(x 1x 2)的最小值为（ ） A 5−√54B 45C 23D 35二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中横线上．9. 某赛季，甲乙两名篮球运动员都参加了11场比赛，他们每场比赛得分的情况用右图所示的茎叶图表示，若甲运动员的中位数为a ，乙运动员的众数为b ，则a −b =________．10. 如图，点B 在⊙O 上，M 为直径AC 上一点，BM 的延长线交⊙O 于N ，∠BNA =45∘，若⊙O 的半径为2√3，OA =√3OM ，则MN 的长为________．11. 如图是一个几何体的三视图，其中正视图，侧视图是两个全等的菱形，边长为√3，俯视图是一个正方形，边长为2，那么这个几何体的体积为________．12. 若圆C 与直线x −y =0和直线{x =4+ty =t ，(t 为参数)都相切，且直线x +y =0过圆心，则圆C 的标准方程为________．13. 已知函数y =e |lnx|−|x −1|，则满足f(1−x 02)>f(2x 0)的x 0的取值集合为________． 14. 给出下列六个命题： ①sin1<3sin 13<5sin 15②若f ′(x 0)=0，则函数y =f(x)在x =x 0取得极值； ③“∃x 0∈R ，使得e x 0<0”的否定是：“∀x ∈R ，均有e x ≥0”；④已知点G 是△ABC 的重心，过G 作直线与AB ，AC 两边分别交于M ，N 两点，且AM →=xAB →，AN →=yAC →，则1x +1y =3；⑤已知a =∫sin π0xdx ，点(√3，a)到直线√3x −y +1=0的距离为1；⑥若|x +3|+|x −1|≤a 2−3a ，对任意的实数x 恒成立，则实数a ≤−1，或a ≥4； 其中真命题是________（把你认为真命题序号都填在横线上）三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 设函数f(x)=cos(x +23π)+2cos 2x2，x ∈R ． (1)求f(x)的值域；(2)记△ABC 内角A ，B ，C 的对边长分别为a ，b ，c ，若f(B)=1，b =1，c =√3，求a 的值．16. 甲乙两个亚运会主办场馆之间有7条网线并联，这7条网线能通过的信息量分别为1，1，2，2，2，3，3，现从中任选三条网线，设可通过的信息量为X ，当可通过的信息量X ≥6，则可保证信息通畅．（1）求线路信息通畅的概率；（2）求线路可通过的信息量X 的分布列； （3）求线路可通过的信息量X 的数学期望．17. 如图的多面体是底面为平行四边形的直四棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1，经平面AEFG 所截后得到的图形．其中∠BAE =∠GAD =45∘，AB =2AD =2，∠BAD =60∘．（1）求证：BD ⊥平面ADG ．（2）求平面AEFG 与平面ABCD 所成锐二面角的余弦值．18. 如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，它的一个顶点为A(0, √2)，且离心率等于√32，过点M(0, 2)的直线l 与椭圆相交于P ，Q 不同两点，点N 在线段PQ 上．（1）求椭圆的标准方程； （2）设|PM →||PN →|=|MQ →||NQ →|=λ，试求λ的取值范围．19. 已知函数f(x)=2x +alnx −2(a >0)．(Ⅰ)若曲线y ＝f(x)在点P （1, f(1)）处的切线与直线y ＝x +2垂直，求函数y ＝f(x)的单调区间；(Ⅱ)若对于∀x ∈(0, +∞)都有f(x)>2(a −1)成立，试求a 的取值范围；(Ⅲ)记g(x)＝f(x)+x −b(b ∈R)．当a ＝1时，函数g(x)在区间[e −1, e]上有两个零点，求实数b 的取值范围．20. 已知y =f(x)定义在R 上的单调函数，当x <0时，f(x)>1，且对任意的实数x 、y ∈R ，有f(x +y)=f(x)⋅f(y)．设数列{a n }满足a 1=f(0)，且f(a n+1)=1f(−2−a n)(n ∈N ∗)．（1）求通项公式a n 的表达式；（2）令b n =(12)a n ，S n =b 1+b 2+...+b n ，T n =1a 1a 2+1a2a 3+⋯+1an a n+1，试比较S n 与43T n的大小，并加以证明．2011年天津市某校高考数学模拟试卷（理科）答案1. A2. A3. A4. A5. A6. B7. B8. C9. 8 10. 2 11.8√2312. (x −1)2+(y +1)2=2 13. {x 0|√2−1<x 0<1} 14. ①③④⑤15. 解：(1)f(x)=cos(x +23π)+2cos 2x2 =cosxcos 23π−sinxsin 23π+cosx +1=−12cosx −√32sinx +cosx +1=12cosx −√32sinx +1 =sin(x +5π6)+1因此函数f(x)的值域为[0, 2]. (2)由f(B)=1得sin(B +5π6)+1=1，即sin(B +5π6)=0，即B +5π6=0或π，B =π6或−5π6，又因为B 是三角形的内角，所以B =π6，由余弦定理得b 2=a 2+c 2−2accosB ，即1=a 2+3−3a ，整理得a 2−3a +2=0， 解得，a =1或a =2. 16. 解：（1）∵ 通过的信息量ξ≥6，则可保证信息通畅．∴ 线路信息通畅包括三种情况，即通过的信息量分别为8，7，6，这三种情况是互斥的，根据互斥事件的概率公式和等可能事件的概率公式得到 P(X =8)=C 22C 31C 73=335， P(=7)=C 32C 21+C 22C 21C 73=835， P(X =6)=C 21C 31C 21+C 33C 73=1335，∴ 线路信息通畅的概率为P =335+835+1335=2435．（2）线路可通过的信息量X ，X 的所有可能取值为4，5，6，7，8． P(X =5)=C 22C 21+C 32C 21C 73=835，P(X =4)=C 22C 31C 73=335，P(X =8)=C 22C 31C 73=335，P(X =7)=C 32C 21+C 22C 21C 73=835， P(X =6)=C 21C 31C 21+C 33C 73=1335，X 的分布列为（3）由（2）可得：EX =4×335+5×835+6×1335+7×835+8×335=6． 17. 解：（1）证明：在△BAD 中，AB =2AD =2，∠BAD =60∘，由余弦定理得，BD =√3∴ AB 2=AD 2+BD 2． ∴ AD ⊥BD又GD ⊥平面ABCD ∴ GD ⊥BD ， GD ∩AD =D ， ∴ BD ⊥平面ADG（2）以D 为坐标原点，OA 为x 轴，OB 为y 轴，OG 为z 轴建立空间直角坐标系D −xyz 则有A(1, 0, 0)，B(0, √3, 0)，G(0, 0, 1)，E(0, √3,2)AG →=(−1,0,1)，AE →=(−1,√3,2)设平面AEFG 法向量为m =(x, y, z) 则{m ⋅AG →=−x +z =0m ⋅AE →=−x +√3y +2z =0， 取m =(1,−√33.1) 平面ABCD 的一个法向量n =DG →=(0,0,1) 设面ABFG 与面ABCD 所成锐二面角为θ，则cosθ−|m⋅n||m|⋅|n|=√217∴ 平面AEFG 与平面ABCD 所成锐二面角的余弦值为√217． 18. 解：（1）设椭圆的标准方程为x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)因为它的一个顶点为A(0, √2)，所以b 2=2， 由离心率等于√32，得√a 2−b 2a 2=√32， 解得a 2=8，所以椭圆的标准方程为x 28+y 22=1（2）设P(x 1, y 1)，Q(x 2, y 2)，N(x 0, y 0)，若直线l 与y 轴重合， 则|PM →||PN →|=|MQ →||NQ →|=√2√2−y =√2√2+y ，得y 0=1，得λ=√2若直线l 与y 轴不重合，则设直线l 的方程为y =kx +2，与椭圆方程联立消去y 得(1+4k 2)x 2+16kx +8=0，得x 1+x 2=−16k 1+4k 2①，x 1x 2=81+4k 2②， 由|PM →||PN →|=|MQ →||NQ →|得0−x 1x1−x 0=0−x 2x0−x 2，整理得2x 1x 2=x 0(x 1+x 2)，将①②代入得x 0=−1k，又点N(x 0, y 0)在直线l 上， 所以y 0=k ×(−1k )+2=1，于是有1<y 1<√2，因此λ=2−y 1y 1−1=1−y 1+1y 1−1=1y1−1−1，由1<y 1<√2得1y1−1>√2+1，所以λ>√2，综上所述，有λ≥√219. （1）直线y ＝x +2的斜率为1，函数f(x)的定义域为(0, +∞)， 因为f ′(x)=−2x 2+ax ，所以，f ′(1)=−212+a1=−1，所以，a ＝1．所以，f(x)=2x+lnx −2，f ′(x)=x−2x 2． 由f ′(x)>0解得x >2；由f ′(x)<0，解得 0<x <2．所以f(x)的单调增区间是(2, +∞)，单调减区间是(0, 2)． (2) f ′(x)=−2x 2+ax =ax−2x 2，由f ′(x)>0解得 x >2a ； 由f ′(x)<0解得 0<x <2a ．所以，f(x)在区间(2a ,+∞)上单调递增，在区间(0,2a)上单调递减．所以，当x =2a 时，函数f(x)取得最小值，y min =f(2a )．因为对于∀x ∈(0, +∞)都有f(x)>2(a −1)成立，所以，f(2a )>2(a −1)即可． 则22a+aln 2a −2>2(a −1)． 由aln 2a >a 解得 0<a <2e ．所以，a 的取值范围是 (0,2e)．(Ⅲ) 依题得 g(x)=2x +lnx +x −2−b ，则 g ′(x)=x 2+x−2x 2．由g ′(x)>0解得 x >1； 由g ′(x)<0解得 0<x <1．所以函数g(x)在区间(0, 1)为减函数，在区间(1, +∞)为增函数． 又因为函数g(x)在区间[e −1, e]上有两个零点，所以{g(e −1)≥0g(e)≥0g(1)<0 ，解得 1<b ≤2e +e −1． 所以，b 的取值范围是(1,2e +e −1]． 20. 解：（1）由题意，令y =0，x <0，得f(x)[1−f(0)]=0， ∵ 当x <0时，f(x)>1，∴ a 1=f(0)=1…由递推关系知f(a n+1)⋅f(−2−a n )=1，即f(a n+1−2−a n )=f(0)， ∵ f(x)在R 上单调，∴ a n+1−a n =2，(n ∈N ∗)，… 又a 1=1，∴ a n =2n −1．… （2）b n =(12)a n =(12)2n−1，∴ S n =b 1+b 2+⋯+b n =12+(12)3+⋯+(12)2n−1=12[1−(12)2n ]1−(12)2=23(1−14n )，T n =1a1a 2+1a 2a 3+⋯+1an a n+1=11×3+13×5+⋯+1(2n−1)(2n+1)=12(1−13+13−15+⋯+12n−1−12n+1)=12(1−12n+1)，…S n −43T n =23(1−14n )−23(1−12n+1)=23(12n+1−14n )=23⋅4n −(2n+1)(2n+1)⋅4n，∴ 欲比较S n 与43T n 的大小，只需比较4n 与2n +1的大小．…∵ 4n =(1+3)n =C n 0+C n 1⋅3+...+C n n ⋅3n ≥1+3n >2n +1，…∴ S n >43T n ．…。
2011年高考天津市数学试卷-理科(含详细答案)
2011年高考天津市数学试卷-理科(含详细答案)2011年普通高等学校招生全国统一考试天津卷（理科）第Ⅰ卷本卷共8小题，每小题5分，共40分 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．i 是虚数单位,复数13i 1i-=-( )． A ．2i+ B ．2i- C ．12i-+D ．12i --【解】()()()()13i 1i 13i 42i2i 1i 1i 1i 2-+--===---+．故选Ｂ． 2．设,x y ∈R ，则“2x ≥且2y ≥”是“224x y +≥”的( )．A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【解】因为2x ≥且2y ≥，则24x≥且24y≥，因而224x y +≥，所以“2x ≥且2y ≥”是“224xy +≥”的充分条件，取3x y ==，则满足224xy +≥， 但不满足2x ≥且2y ≥，所以“2x ≥且2y ≥”不是“224xy +≥”的必要条件． 因此“2x ≥且2y ≥”是“224xy +≥”的充分而于是()1011091010204521102Sa d ⨯=+=⨯+⨯-=．故选Ｄ．5．在6x x ⎫⎝的二项展开式中，2x 的系数为( )．A ．154-B ．154C ．38-D ．38【解】()6326166C 1C 2rrr r r r r r x T x x ---+⎛==- ⎝⎝⎭，令32r -=，则1r =．()112262226631C 2168Tx x x -=-=-=-．所以，2x 的系数38-，故选Ｃ．6．如图，在ABC ∆中，D 是边AC 上的点，且AB AD =，23AB BD=，2BC BD=，则sin C 的值为( )．A 3B 3C．6D 6【解】解法１．取BD 的中点E ，因为AB AD =，所以AE BD ⊥，因为23AB BD=，3AB BE=．所以3cos cos BE ABE ADB AB=∠==∠，CBDAECBDA于是6sin sin 3ADB CDB ∠=∠=．在BDC ∆中，由正弦定理得sin sin BC BDCDB C=∠， sin 6BDC=，所以6sin C =．故选Ｄ．解法2．设1BD =，由题设32AB AD ==，2BC =．在ABD∆中，由余弦定理得222331144cos 32324AB AD BD BAD AB AD +-+-∠===⋅⨯，所以22sin BAD ∠=在ABC ∆中，由正弦定理得sin sin BC ABBAD C=∠，即32sin 22C =，所以6sin 6C =．故选Ｄ．7．2log 3.45a =，4log 3.65b =，3log 0.315c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则( )．A ．a b c >>B ．b a c >>C ．a c b >>D ．c a b >> 【解】解法1．33310log 0.3log log 0.331555c -⎛⎫=== ⎪⎝⎭，下面比较2log 3.4a '=，4log 3.6b '=和310log 3c '=的大小． 因为1a '>，1c '>，1b '<，则b '最小．2310lg10lg 3.43log 3.4log 3lg 2lg 3a c ''-=-=-，因为10lg 3.4lg 03>>，0lg 2lg3<<，所以11lg 2lg 3>， 因此10lglg 3.430lg 2lg 3a c ''-=->．所以a c ''>，因而a cb '''>>．由于函数5x y =是R 上的增函数，所以a c b >>．故选Ｃ． 解法2．33310log 0.3log log 0.331555c -⎛⎫=== ⎪⎝⎭，下面比较2log 3.4a '=，4log 3.6b '=和310log 3c '=的大小． 因为1a '>，1c '>，1b '<，则b '最小．因为3310log log 3.43c '=<， 所以233lg3.4lg3.410log 3.4log 3.4log lg 2lg33a c ''==>>>=，因而a cb '''>>．由于函数5x y =是R 上的增函数，所以a c b >>．故选Ｃ．解法3．由解法2，3310log log 3.43c '=<,画出函数2log y x =和3log y x =的图象,比较 3.4x =的纵坐标，可得23log 3.4log 3.4>，于是23310log 3.4log 3.4log 3a c ''=>>=．因而a cb '''>>． 由于函数5x y =是R 上的增函数，所以ac b >>．故选Ｃ．8．对实数a 和b ，定义运算“⊗”：,1,,1.a ab a b b a b -≤⎧⊗=⎨->⎩设函数()()()222f x x x x =-⊗-，x ∈R ．若函数()y f x c =-的图象与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是( )． A ．()3,21,2⎛⎫-∞-- ⎪⎝⎭ B ．(]3,21,4⎛⎫-∞--- ⎪⎝⎭ C ．111,,44⎛⎫⎛⎫-+∞ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ D ．311,,44⎛⎫⎡⎫--+∞ ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭【解】由题设()2232,1,23,12x x f x x x x x ⎧--≤≤⎪⎪=⎨⎪-<->⎪⎩或画出函数的图象，函数图象的四个端点（如图）为()1,1A --，31,24D ⎛⎫⎪⎝⎭，()1,2B --，33,24C ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 从图象中可以看出，直线y c =穿过点C ，点A 之间时，直线y c =与图象有且只有两个公共点，同时，直线y c =穿过点B 及其下方时，直线y c =与图象有且只有两个公共点，所以实数c 的取值范围是(]3,21,4⎛⎫-∞--- ⎪⎝⎭．故选Ｂ．第Ⅱ卷二、填空题：本答题共6小题，每小题5分,共30分．9．一支田径队有男运动员48人，女运动员36人．若用分层抽样的方法从该队的全体运动员中抽取一个容量为21的样本，则抽取男运动员的人数为 ． 【解】12．抽取男运动员的人数为2121484812483684⨯=⨯=+（人）．10．一个几何体的三视图如右图所示（单位：m），则该几何体的体积为3m ．【解】6π+．几何体是由一个长方体与一个圆锥组合的．体积为213211363V ππ=⨯⨯+⨯⨯⨯=+．俯视图侧视图正视图12233311．已知抛物线C 的参数方程为28,8x t y t ⎧=⎨=⎩(t 为参数）．若斜率为1的直线经过抛物线C 的焦点，且与圆()()22240x y r r -+=>相切，则r = ．2抛物线C 的普通方程为28y x=，其焦点为()2,0F ． 直线方程为2y x =-． 因为直线与圆()()22240x y r r -+=>相切，则圆心到直线的距离等于半径，即40222r --==12．如图，已知圆中两条弦AB 与CD 相交于点F ，E 是AB 延长线上一点，且2DF CF ==::4:2:1AF FB BE =，若CE 与圆相切，则线段CE 的长为 ． 【解】72．因为::4:2:1AF FB BE =，所以设BE a =，2FB a =，4AF a =． 由相交弦定理，242DF CF AF FB a a ⋅=⋅==⋅，所以12a =，12BE =，772AE a ==． 因为CE与圆相切，由切割线定理，2177224CE AE BE =⋅=⋅=．所以72CE =．FDCB A13．已知集合{}349A x x x =∈++-≤R ，()146,0,B x x t t t ⎧⎫=∈=+-∈+∞⎨⎬⎩⎭R ，则集合A B =．【解】{}25x x -≤≤． 解集合A ．当3x <-时，不等式化为349x x --+-≤，解得4x ≥-．所以解为43x -≤<-；当34x -≤≤时，不等式化为349x x ++-≤，即79≤．所以解为34x -≤≤；当4x >时，不等式化为349x x ++-≤，解得5x ≤，所以解为45x <≤．综合以上，{}45A x x =-≤≤． 解集合B ．因为0t >，所以1146246462x t t t t=+-≥⋅=-=-，所以{}2B x x =≥-，因而{}25AB x x =-≤≤．14．已知直角梯形ABCD 中，//AD BC ，90ADC ∠=︒，2AD =，1BC =，P 是腰DC 上的动点，则3PA PB +的最小值为 ． 【解】5．解法1 ．以D 为坐标原点，DA 所在直线为x 轴，DC 所在直线为y 轴，y xPD C BA建立如图的直角坐标系．由题设，()2,0A ，设()0,C c ，()0,P y ，则()1,B c ．()2,PA y =-，()1,PB c y =-．()35,34PA PB c y +=-．()2235345PA PB c y +=+-，当且仅当34c y =时，等号成立，于是，当34c y =时，3PA PB+有最小值5．解法2 ． 以相互垂直的向量DP ，DA 为基底表示PB PA 3+，得()533332PA PB DA DP PC CB DA PC DP +=-++=+-．又P 是腰DC 上的动点，即PC 与DP 共线，于是可设DP PC λ=，有DP DA PB PA )13(253-+=+λ． 所以2222553(31)(31)42PA PB DA DP DA DP λλ⎡⎤+=+-+⨯-⋅⎣⎦即[]2)13(25)13(4253DP DPDA PB PA -+=-+=+λλ．由于P 是腰DC 上的动点，显然当31=λ，即DP PC 31=时，所以3PA PB +有最小值5． 解法3 ．如图，3PB PF =，设E 为AF1a FB的中点，Q 为AB 的中点，则12QE BF PB ==， 32PA PB PA PF PE+=+=， ①因为PB PQ PE +=，PB PQ QB -=． 则22222222PB PQ PB PQ PB PQ PE QB++-=+=+． ②（实际上，就是定理：“平行四边形的对角线的平方和等于各边的平方和”）设T 为DC 的中点，则TQ 为梯形的中位线，()1322TQ AD BC =+=．设P 为CT 的中点，且设,CP a PT b ==， 则221PBa =+，2294PQ b =+，()2214QB a b =++，代入式②得()()222222912221244PB PQ a b PE a b ⎛⎫+=+++=+++⎪⎝⎭，于是()22252544PEa b =+-≥，于是25PE ≥，当且仅当a b=时，等号成立．由式①，325PA PB PE +=≥， 所以3PA PB +有最小值5．三、解答题：本大题共6小题，共80分。
2011高中数学天津预赛试题及答案(word版)
2011高中数学联赛天津赛区预赛试题姓名： 得分：一 选择题(每题6分，共计36分)1、如果⎪⎭⎫ ⎝⎛∈2,0πx 时总有kx x >sin 成立，则实数k 的取值范围是（ ） A ⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-2,π B ⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-2,π C ⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-π2, D ⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-π2, 2、已知函数)(x f y =有反函数)(1x f y -=，将)(x f y =的图像绕()1,1-逆时针旋转︒90，所得曲线的方程是（ ）A 2)(1--=-x fy B 2)(1---=-x f y C 1)1(1-+-=-x f y D 1)1(1+--=-x f y3、设n 为正整数，,11,111+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=n n n y n x 则（ ）A x y y x >B x y y x =C x y y x <D 以上都有可能4、若直线3-=x y 与曲线a x e y +=相切，则实数a 的值是（ ）A 4-B 2-C 2D 45、在半径为1的⊙O 上，取一个定点A 和一个动点B.设点P 满足AP//OB 且1=⋅，则P 点的轨迹是（ ）A 椭圆B 抛物线C 双曲线D 以上都有可能6、将()9d c b a +++展开之后再合并同类项，所得的多项式的项数是（ ） A 49C B 39C C 412C D 312C 二、填空题（每小题9分，共54分）1、九个正实数921,,,a a a 构成等比数列，且.15,43654321=+++=+a a a a a a 则 987a a a ++等于 .2、设ABCD O -是正四棱锥，其中.2,3==BC OA 以O 为球心，以1为半径作一个球，则这个球与正四棱锥相交部分的体积是3、若实数βα，,x 满足βαtan log tan log 33-==x ，且6πβα=-，则x 的值是4、设A ，B 是双曲线的两个焦点，C 在双曲线上.已知△ABC 的三边长成等差数列，且 ∠ACB=120°，则该双曲线的离心率为5、函数)(x f 的定义域为()+∞,0，且满足03)1(2)(2=+-x xxf x f ，则)(x f 的最小值是6、复数z 满足())6(223-=+iz i z z ，则z 等于三、解答题（每小题20分，共60分，每小题只设0分，5分，10分，15分，20分五档）1、在四面体ABCD 中，A D ⊥平面BCD ，∠ABD =∠BDC=︒<45θ.已知E 是BD 上一点，满足C E ⊥BD 且BE=AD=1.（1）证明：.θ=∠BAC（2）若点D 到平面ABC 的距离为134，求θcos 的值.2、设f e d c b a ,,,,,为实数，且f ex dx c bx ax ++≥++22对任意实数x 成立， 证明：.4422e df b ac -≥-。
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2011年 天津市大学数学竞赛试题参考解答(理工类)一. 填空题（本题15分，每小题3分）: 1. 设()f x 是连续函数, 且0()lim41cos x f x x →=-, 则01()lim 1x f x x →⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 2e .2. 设223()2x f x ax b x +=++- , 若 l i m ()0x f x →∞= 则 a =2,-b =4.-3.1e ln d x x x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭⎰e l n .xx C +4. 设(,)f x y 是连续函数, 且(,)(,)d d ,Df x y xy f x y x y =+⎰⎰其中D 由x 轴、y 轴以及直线1x y +=围成, 则(,)f x y =1.12xy +5. 椭球面22221x y z ++=平行于平面20x y z -+=的切平面方程为20x y z -++= 和20.x y z -+-=二. 选择题（本题15分，每小题3分）:1. 设()(2)ln(1),f x x x =+- 则()f x 在0x =处(A) (0)2f '=-, (B) (0)0f '=, (C) (0)2f '=, (D) 不可导. 答: (A)2. 设函数()y f x =具有二阶导数, 且满足方程sin e 0.x y y '''+-=已知0()0,f x '=则(A) ()f x 在0x 的某个邻域中单调增加, (B) ()f x 在0x 的某个邻域中单调增少,(C) ()f x 在0x 处取得极小值, (D) ()f x 在0x 处取得极大值. 答: ( C)3. 图中曲线段的方程为()y f x =, 函数()f x 在区间[0,]a 上有连续的导数, 则积分()d a x f x x '⎰表示(A) 直角三角形AOB 的面积, (B) 直角三角形(C) 曲边三角形AOB 的面积, (D) 曲边三角形 答: (D)4. 设在区间 [,]a b 上的函数()0,f x > 且 ()0,f x '< ()0.f x ''> 令1()d ,b aS f x x=⎰2()(),S f b b a =- 31[()()](),2S f a f b b a =+- 则 (A) 123,S S S << (B) 312,S S S << (C) 213,S S S << (D)231.S S S <<答: (C )5. 设 曲面22{(,,)|,01},x y z z x y z ∑==+≤≤取上侧为正, 1∑是 ∑在 0x ≥的部分, 则曲面积分 (A)d d 0,x y z ∑=⎰⎰(B)1d d 2d d .z x y z x y∑∑=⎰⎰⎰⎰(C)122d d 2d d ,y y z y y z ∑∑=⎰⎰⎰⎰ (D)122d d 2d d ,x y z x y z ∑∑=⎰⎰⎰⎰答: (B)三. (6分) 设函数 ()2002[(1)()d ]d 0sin 00xt t u u t,x ,f x x,x .ϕ⎧-⎪≠=⎨⎪=⎩⎰⎰ 其中函数ϕ处处连续. 讨论()f x 在0x =处的连续性及可导性.解 222[(1)()d ]d (1)()d lim ()limlim2x x x x t x t u u tx u uf x xxϕϕ→→→--==⎰⎰⎰22()d ()d limlim22x x x x x u uu uxxϕϕ→→=-⎰⎰202()0l i m0(0)2x x x f ϕ→⋅=-== 因此, ()f x 在0x =处连续.200300[(1)()d ]d ()(0)lim limxx x t t u u t f x f x x ϕ→→--=⎰⎰ 220(1)()d lim 3x x x u u x ϕ→-=⎰ 22002200()d ()d 11lim lim 33x x x x x u u u u x xϕϕ→→=-⎰⎰ 1(0)3ϕ=-因此, ()f x 在0x =处可导, 且 1(0)(0).3f ϕ'=-四. (6分) 设函数()x x t =由方程cos 0t x x +=确定, 又函数()y y x =由方程2e 1y xy --=确定, 求复合函数(())y y x t =的导数d d .t yt=解 方程cos 0t x x +=两边对t 求导d d cos sin 0.d d x xx t x t t -⋅+=当 t=0时, x=0, 故00d c o s1.d sin 1t t x x x t t x ====--=方程2e 1y xy --= 两边对x 求导 2d d e0.d d y y yy x x x-⋅--⋅= 当 0x =时,2,y = 故 022d 2.d ex y y x y y xx==-==-=因此,00d d d .d d d 2t x t y yxt xt ====⋅=-五. (6分) 设函数()f x 在(,)-∞+∞上二阶可导，且0()lim0x f x x→=，记10()()x f xt d t ϕ'=⎰，求)(x ϕ的导数，并讨论)(x ϕ'在0x =处的连续性. 解 由已知的极限知(0)0,(0)0,f f '== 从而有 10(0)(0)d 0.f t ϕ'==⎰当 0x ≠时, 1100011()()()()d()()d ,x f x x f x t dt f x t x t f u u x x x ϕ'''====⎰⎰⎰从而有(),0()0,0.f x x x xx ϕ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩因为()lim ()lim0(0),x x f x x xϕϕ→→===所以, ()x ϕ在0x =处连续. 当 0x ≠时, 2()()(),xf x f x x x ϕ'-'=在0x =处, 由(0)0,ϕ= 有 200()(0)()()1(0)limlimlim (0)22x x x x f x f x f xx x ϕϕϕ→→→'-'''==== 所以,2()(),0()1(0),0.2xf x f x x x x f x ϕ'-⎧≠⎪⎪'=⎨⎪''=⎪⎩而200000()()()()l i m()l i m l i m l i m l i m 2x x x x x f x f x f x f x x x xx xϕ→→→→→''''=-=-001()1()(0)1lim lim (0)(0),222x x f x f x f f x x ϕ→→'''-'''==== 故 ()x ϕ'在0x =处连续.六. (7分) 设函数()y y x =在(,)-∞+∞上可导, 且满足: 22,(0)0.y x y y '=+=(Ⅰ) 研究()y x 在区间(0,)+∞的单调性和曲线()y y x =的凹凸性.(Ⅱ) 求极限 30()lim.x y x x →解 (Ⅰ) 当0x >时, 有220,y x y '=+>故 ()y x 在区间(0,)+∞单调增加. 从而当0x >时, 22y x y '=+也单调增加. 可见, 曲线()y y x =在区间(0,)+∞向下凸. (或当0x >时, 可得222222()0.y x y y x y x y '''=+⋅=++> 可见, 曲线()y y x =在区间(0,)+∞向下凸. )(Ⅱ) 由题设知, (0)(0)0.y y '== 应用洛必达法则22322000()()lim lim lim 33x x x y x y x x y x x x→→→'+==[]22011111l i m (0).33333x y y x →⎛⎫'=+=+= ⎪⎝⎭ 七. (7分) 设()f x 在[0,1]上具有连续导数, 且0()1,(0)0.f x f '<≤= 试证211300()d ][()]d .f x x f x x ⎡⎤≥⎢⎥⎣⎦⎰⎰证 令 2300()()d [()]d ,x xF x f t t f t t ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰则 ()F x 在 [0,1]连续, 且对(0,1)x ∈,30()2()()d [()]xF x f x f t tf x '=-⎰2()2()d ().x f x f t tf x ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦⎰又由题设知, 当(0,1)x ∈时, ()0.f x > 令20()2()d (),x g x f t t f x =-⎰则()g x 在[0,1]上连续, 且()2()[1()]0,(g x f x f x x ''=-≥∈ 故有()(0)0(0,1).g x g x ≥=∈因此()0,(0,1F x x '≥∈ 于是()F x 在[0,1]上单调增加, ()(0)0,[0,1].F x F x ≥=∈ 取1x =, 即得211300(1)()d [()]d 0.F f t t f t t ⎡⎤=-≥⎢⎥⎣⎦⎰⎰所证结论成立.八. (7分) 设函数()y f x =具有二阶导数, 且()0.f x ''> 直线a L 是曲线()y f x =上任意一点(,())a f a 处的切线, 其中[0,1].a ∈ 记直线a L 与曲线()y f x =以及直线0,1x x ==所围成的图形绕y 轴旋转一周所得旋转体的体积为().V a 试问a 为何值时()V a 取得最小值.解 切线a L 的方程为 ()()()y f a f a x a '-=- 即()()()y f a x a f a f a''=-+ 于是10()2[()()()()]d V a x f x f a x a f a f a xπ''=-+-⎰10112()d ()()().322a xf x x f a f a f a π⎡⎤''=-+-⎢⎥⎣⎦⎰可见, ()V a 在[0,1]连续, 在(0,1)可导. 令1()2[()()]()(32)0323aV a f a f a f a a ππ'''''''=-+=-=,a由于 ()0,f a ''> ()V a 在(0,1)内有唯一的驻点2.3a = 并且, 当 2(0,)3a ∈时, ()0V a '<; 当2(,1)3a ∈时, ()0,V a '> 因此,()V a 在23a =处取得最小值.九. (7分) 计算(sin )d (cos 1)d ,Ly y x x y y -+-⎰其中L 为从点(0,0)O 沿圆周222xy x+=在第一象限部分到点(1,1)A 的路径.解 令 sin ,cos 1,P y y Q x y =-=- 则c o s (c o s 1)1.Q Py y x y∂∂-=--=∂∂ 取点(1,0).B 作有向直线段,OB 其方程为 0(y x =从0变到1).作有向直线段,BA 其方程为 1(x y =从0变到1). 由曲线L 、有向直线段AB 和BO 形成的闭曲线记为0L (沿顺时针方向), 0L 所围成的区域记为D , 则(s i n )d (c o s1Ly y x x y y-+-⎰()((s i n )d (c o s 1)d )A BB OL y yx x y y =---+-⎰⎰⎰d (s i n )d (c o s 1)dDB Ay yx x y y σ=-+-+-⎰⎰⎰ (s i n )d (c o s 1)dy y x x y y +-+-⎰101(c o s 1)d 04y y π=-+-+⎰1s i n 11.4π=-+- 十. (8分) 设（1）有向闭曲线Γ是由圆锥螺线 OA：θθθθθ===z y x ,sin ,cos ，（θ从0变到2π）和有向直线段 AO 构成， 其中()0,0,0O ， ()2,0,2A ππ； （2）闭曲线Γ将其所在的圆锥面z =∑是其中的有界部分.（Ⅰ）如果()x z F -=,1, 表示一力场，求F沿Γ所做的功W ；（Ⅱ）如果()x z F -=,1,表示流体的流速，求流体通过∑流向上侧的流量. (单位从略）解（Ⅰ）作有向直线段,AO 其方程为 ⎩⎨⎧==xz y 0(x 从 2π变到0). 所求F沿Γ所做的功为d d d W z x y x z Γ=+-⎰()(d d d )OA Oz x y x z =++-⎰⎰()20cos sin sin cos cos d πθθθθθθθθθθ=-++-⎡⎤⎣⎦⎰()02d x x x π+-⎰220(cos sin )d 0πθθθθθ=-+⎰24π=.（Ⅱ）Γ所在的圆锥面方程为z =∑上任一点处向上的一个法向量为(,,1)x y n z z =--=∑在xOy 面上的投影区域为D , 0,02.r θθπ≤≤≤≤故所求流体通过∑流向上侧的流量为d d d d d d ()()d d x y z y z z x x x y z z z x x y ∑∑⎡⎤Φ=+-=⋅-+--⎣⎦⎰⎰⎰⎰ d d x x x y ∑⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎰⎰ ()20d 2cos sin d r r r πθθθθ=-+⎰⎰22302cos sin d 32πθθθθθ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭⎰26π-=.注: (Ⅰ)的另一解法 应用Stokes 公式， 可得 W 2d d 2d d y z x z x y ∑∑==-⎰⎰⎰⎰2d x y∑=⎰⎰22200sin 2d d sin d r r r rπθπθθθθθ=-⋅=-⎰⎰⎰ 24π=.x十一. (8分) 设函数(,)u u x y =在心形线:1cos L r θ=+所围闭区域D 上具有二阶连续偏导数, n 是在曲线L 上的点处指向曲线外侧的法向量(简称外法向), un ∂∂是(,)u x y 沿L 的外法向的方向导数, L 取逆时针方向.(Ⅰ) 证明:d d d .L L u u us x y n y x∂∂∂=-+∂∂∂⎰⎰(Ⅱ) 若222221,u ux y y x y∂∂+=-+∂∂ 求d L u s n ∂∂⎰ 的值. (Ⅰ) 证 由方向导数的定义d (c o s s i n )d .L L u u us s n x yαα∂∂∂=+∂∂∂⎰⎰其中, α是n相对于 x 轴正向的转角.设1α是 L 的切向量τ 相对于x 轴正向的转角, 则1,2παα=+ 或 1.2παα=-故11d (sin cos )d .L L u u us s n x y αα∂∂∂=-∂∂∂⎰⎰d d .Lu ux y y x ∂∂=-+∂∂⎰(Ⅱ) 解 应用格林公式22222d ()d d (1)d d D D L u u us x y x y y x yn x y ∂∂∂=+=-+∂∂∂⎰⎰⎰⎰⎰由对称性1cos 00d 1d d 2d d D L us x y x r rn πθ+∂==∂⎰⎰⎰⎰⎰203(1c o s )d .2πθθπ=+=⎰十二.(8分) 设圆222x y y +=含于椭圆22221x y a b+=的内部, 且圆与椭圆相切于两点(即在这两点处圆与椭圆都有公共切线).(Ⅰ) 求 a 与b 满足的等式; (Ⅱ) 求a 与b 的值, 使椭圆的面积最小.解 (Ⅰ) 根据条件可知, 切点不在y 轴上. 否则圆与椭圆只可能相切于一点. 设圆与椭圆相切于点00(,)x y , 则00(,)x y 既满足椭圆方程又满足圆方程, 且在00(,)x y 处椭圆的切线斜率等于圆的切线斜率, 即2002001b x xa y y -=--. 注意到00,x ≠因此, 点00(,)x y 应满足2200222200022001(1)2(2)1(3)1x y a b x y y b a y y ⎧+=⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪=-⎪⎩由(1)和(2)式, 得222200220.b a y y a b--+= (4)由 (3) 式得 2022.b y b a =- 代入(4) 式2242222222220.()b a b b a b b a b a-⋅-+=-- 化简得 2222,b a b a=- 或 22420.a b a b --= (5) (Ⅱ) 按题意, 需求椭圆面积S ab π=在约束条件 (5) 下的最小值. 构造函数2242(,,)().L a b ab a b a b λλ=+-- 令2322242(24)0(6)(22)0(7)0(8)a b L b ab a L a a b b L a b a b λλλ⎧=+-=⎪=+-=⎨⎪=--=⎩(6) ·a − (7)·b , 并注意到 0λ≠, 可得 242b a =. 代入 (8) 式得 644220a a a --=,故 a = 从而 2b == 由此问题的实际可知, 符合条件的椭圆面积的最小值存在, 因此当a b ==时,此椭圆的面积最小.。