第1章矢量分析
第1章 矢量分析(2)
r en
r r r r ψ = ∫ dψ =∫ F ⋅ dS = ∫ F ⋅ endS
r r 其中： 面积元矢量； 其中： S = endS ——面积元矢量； 面积元矢量 d
S S
r dS
面积元矢量
r ——面积元的法向单位矢量； 面积元的法向单位矢量； 面积元的法向单位矢量 en
r r r dψ = F ⋅ endS ——穿过面积元 dS 的通量。 穿过面积元 的通量。
∆x ∆x ∂Fx Fx (x0 − , y0 , z0 ) ≈ Fx ( x0 , y0 , z0 ) − 2 2 ∂x
通量值为
P
∆y
∆x y
x0 , y0 , z0
o
由此可知，穿出前、 由此可知，穿出前、后两侧面的净
x
在直角坐标系中计算
r ∇⋅ F
∂Fx ∆x ∆x [Fx (x0 + , y0 , z0 ) − Fx (x0 − , y0 , z0 )]∆y∆z = ∆x∆y∆z 2 2 ∂x
r ∇⋅ F(x, y, z) = lim
称为矢量场的散度。 称为矢量场的散度。 散度
∫
S
r r F(x, y, z) ⋅ dS ∆V
∆V →0
散度是矢量通过包含该点的任意闭合小曲面的通量与曲面元 体积之比的极限。 体积之比的极限。
散度的表达式： 散度的表达式：
r ∂Fx ∂Fy ∂F 直角坐标系 ∇⋅ F = + + z ∂x ∂y ∂z r φ 圆柱坐标系 ∇⋅ F = ∂(ρFρ ) + ∂F + ∂Fz ρ∂ρ ρ∂φ ∂z
∇C = 0 ∇(Cu) = C∇u 梯度运算的基本公式： 梯度运算的基本公式： ∇(u ± v) = ∇u ± ∇v ∇(uv) = u∇v + v∇u ∇f (u) = f ′(u)∇u
第一章矢量分析
P0 z0
r eˆ zeˆz
O ψ0
矢量表示：
x
A r
(
rv)eˆ
A (rv)eˆ
A (rv)eˆ
z
z
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第一章 矢量分析
P(p0,ψ0,z0)
evz
y
ev
e
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3、球面坐标系 ( r, , )
方向单位矢量：
eˆr , eˆ , eˆ
位置矢量：
r reˆr
x
矢量表示：
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第一章 矢量分析
4.电磁场与电磁波的应用
当今世界，电子信息系统，不论是通 信、雷达、广播、电视，还是导航、遥控 遥测，都是通过电磁波传递信息来进行工 作的。因此以宏观电磁理论为基础，电磁 信息的传输和转换为核心的电磁场与电磁 波工程技术将充分发挥其重要作用。下面 我们来看一下一些常见的天线和馈线。
本课程将在“大学物理（电磁学）”的基础 上，进一步研究宏观电磁现象和电磁过程的基 本规律及其分析计算方法。通过课程的学习， 掌握基本的宏观电磁理论，具备分析和解决基 本的电磁场工程问题的能力.
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第一章 矢量分析
2.电磁场与电磁波的概念
• 电场 • 磁场 • 电磁场 • 电磁波
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物理意义：表示穿入和穿出闭合 面S的矢量通量的代数和。
讨论：1）面元 d定Sv义；
矢量场的通量
2） A(r) cos (r)ds s
3) 通过闭合面S的通量的物理意义：
a) 若 ，0闭合面内有产生矢量线的正源；
b) 若 ，0闭合面内有吸收矢量线的负源；
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第一章矢量分析与场论基础题解
第一章 矢量分析与场论基础1-1 求下列温度场的等温线1）T xy =，2）T x y=+122解 求等温线即设定相关的方程为常数，因此可得⑴ C xy =，xCy =；⑵ C y x =+221-2 求下列标量场的等值面1）u ax by cz=++1，2） =- u z x y 22+， 3）u x y z =ln(++)222解 据题意可得 ⑴ k cz by ax =++⑵ c y x z =+-22，()222c z y x -=+⑶ ()c z y x =++222ln ，c e z y x =++222，2222k z y x =++1-3 求矢量场A e e e =++x y z x y z 2 经过点M (.,.,.)102030的矢量线方程。
解 根据矢量线的定义，可得zzy y x x 2d d d == 解微分方程，可得 x c y 1=，22x c z =将点M (.,.,.)102030的坐标代入，可得 21=c ，32=c 即 x y 2=，23x z = 为所求矢量线方程。
1-4 求矢量场A e e e =++y x x y y z x y z 222的矢量线方程。
解 根据矢量线的定义，可得zy zy x y x y x 222d d d == 解微分方程，可得 122c y x =-，x c z 2= 为所求矢量线方程。
1-5 设u x z yz xz ()M =+-+32222，求：1）u ()M 在点M 0102030(.,.,.)处沿矢量l e e e =++yx zx xy x y z 方向的方向导数，2）u ()M 在点M 0(.,.,.)102030处沿矢量l e e e =+-+-+()()622222x z z z y x x y z 方向的方向导数。
解 l 的方向余弦为 1722322cos 222=++=α，1732323cos 222=++=β，1722322cos 222=++=γ；又有12260=+=∂∂M M xz x xu ，620-=-=∂∂M M z yu ，42220=+-=∂∂M M x y z zu据方向导数的定义，可得 1714172436212cos cos cos 0000=⨯+⨯-⨯=∂∂+∂∂+∂∂=∂∂γβαM M M M z uy u x u l u1-6 求标量场u xy yz zx =++在点M 0(.,.,.)102030 处沿其矢径方向的方向导数。
工学第1章矢量分析课件
Ay
y
方向角与方向余弦： , ,
co sA x, co sA y, co sA z
|A |
|A |
|A |
在直角坐标系中三个矢量加法运算：
• 12.奥斯特的电生磁和法拉第的磁生电奠定了电磁学的基 础。
电磁学理论的完成者——英国的物理学家麦克斯韦（18311879）。麦克斯韦方程组——用最完美的数学形式表达了宏 观电磁学的全部内容 ，从理论上预言了电磁波的存在。
工学第1章矢量分析
三、电磁学应用突飞猛进（19世纪中至今）
• 1866年，德国的西门子发明了使用电磁铁的发电机，为 电力工业开辟了道路。
Ay
y
所以： AAxa ˆxAya ˆyAza ˆz
工学第1章矢量分析
矢量： AAxa ˆxAya ˆyAza ˆz
z
模的计算： |A| Ax2Ay2Az2
Az
A
单位矢量：
a ˆ|A A||A A x|a ˆx|A A y|a ˆy|A A z|a ˆz
o
Ax
cosa ˆxcosa ˆycosa ˆz x
工学第1章矢量分析
• 5. 1785年，法国科学家库仑在实验规律的基础上，提出了 第一个电学定律：库仑定律。使电学研究走上了理论研究的 道路。
• 6. 1820年，由丹麦的科学家奥斯特在课堂上的一次试验中， 发现了电的磁效应，从此将电和磁联系在一起 。
• 7. 1822年，法国科学家安培提出了安培环路定律，将奥斯 特的发现上升为理论。
所以：一个矢量就表示成矢量的模与单位矢量的乘积。
工学第1章矢量分析
例1：在直角坐标系中，x 方向的大小为 6 的矢量如何表
示？
6 aˆ x
第1章矢量分析
第一章 矢量分析
例1-4 设标量函数r是动点M(x, y, z)的矢量r=xex+yey+zez的 模，即
r=
r x 2 + y 2 + z 2， 证明： gradr = r = r ° r
证： 因为
∂r ∂r ∂r gradr = ∇r = ex + e y + ez ∂x ∂y ∂z ∂r ∂ 2 2 2 = x +y +z = ∂x ∂x x = 2 2 2 r x +y +z x
∂ϕ ∂l
=G
max
矢量G其方向是标量场在 点处变化率最大的方向 矢量 其方向是标量场在M点处变化率最大的方向 其模 其方向是标量场在 点处变化率最大的方向,其模 即为最大的变化率.矢量 称为标量场φ(M)在M点处的梯度， 矢量G称为标量场 点处的梯度， 即为最大的变化率 矢量 称为标量场 在 点处的梯度 表示。 用gradφ(M)表示。 表示
第一章 矢量分析
∂r ∂ 2 2 2 x +y +z = = ∂y ∂y ∂r ∂ 2 2 2 = x +y +z = ∂z ∂x
所以
y = 2 2 2 r x +y +z z = 2 2 2 r x +y +z z
y
r x y z 1 r gradr = ∇r = e x + e y + ez = ( xex + ye y + zez ) = = r ° r r r r r
第一章 矢量分析
图 1-3 法线方向的取法
第一章 矢量分析
将曲面S各面元上的A·dS相加，它表示矢量场A穿过整个曲面 S的通量，也称为矢量A在曲面S上的面积分：
第1章 矢量分析
O 方向： “右手螺旋法则”
O 物理含义：
1. “平行四边形面积” 2. “右手法则”——
a AB
B
AB
A
A ( B sin AB A B sin AB ) Ax Bx
东北大学秦皇岛分校
ex
ey Ay By
“ Microwave Engineering ” Pozar,D.M.
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关于原著
“A Treatise on Electricity and Magnetism” 《电磁通论》上下卷 詹姆斯· 克拉克· 麦克斯韦（James Clerk Maxwell） 著 中译本：武汉出版社, 1994 1873年Maxwell出版《电磁通论》两卷，历经两世 纪库仑、安培、法拉第等人的努力，最后在这位 物理大师的临门一脚之下，古典电磁学终于统一。 这本经典著作系统化地完完整整地阐述了电磁学 理论，指出光是一种电磁波。 以坐标系为线索展开论述
东北大学秦皇岛分校 9
谈谈麦克斯韦Maxwell（3）
31岁那年他发表了《论物理的力线》 提出了“位移电流”和“电磁场”等新概念， 给出了电磁场理论更完整的数学表述，并预 见了电磁波的存在。 他认为变化的电场必激发磁场，变化的磁场 又激发电场，这种变化着的电场和磁场共同 构成统一的电磁场。电磁场以横波的形式在 空间传播，形成所谓电磁波。 34岁那年他发表了《电磁场动力学》 推算出电磁波的传播速度，并断定光也是一 种电磁波。
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English Materials for Further Reading
“Electromagnetic theory” Julius Adams Stratton. (MIT) “Fields and waves in communication electronics” Simon Ramo, John R. Whinnery , et al.
第1章矢量分析与场论01
dS r = rdϕ dzar
dSϕ = drdzaϕ
dS z = rdϕ draz
体元： dV = rdrdϕ dz
3. 球坐标系 在球坐标系中，坐标变量为 ( R,θ , ϕ ) ，如图，做一微分体 元。 线元：
dl = dRaR + Rdθ aθ + R sinθ dϕaϕ
面元：
dS R = R 2 sin θ dθ dϕ aR
A
一矢量在另一矢量方向上的投影与另一矢量模的乘 积，其结果是一标（数）量。
推论1：满足交换律 推论2：满足分配律
A⋅ B = B ⋅ A
A ⋅ (B + C) = A ⋅ B + A ⋅ C
推论3：当两个非零矢量点积为零,则这两个矢量必正交。 •在直角坐标系中，已知三个坐标轴是相互正交的，即
ˆ ˆ a x ⋅ a y = 0, ˆ ˆ a x ⋅ a x = 1, ˆ ˆ a x ⋅ a z = 0, ˆ ˆ a y ⋅ a y = 1, ˆ ˆ ay ⋅ az = 0 ˆ ˆ az ⋅ az = 1
在直角坐标系下的矢量表示:
ˆ ˆ ˆ 三个方向的单位矢量用 a x , a y , a z
表示。 根据矢量加法运算：
o
Ax
z
Az
A
Ay
A = Ax + Ay + Az
其中：
y
x
ˆ ˆ ˆ Ax = Ax ax , Ay = Ay a y , Az = Az az
ˆ ˆ ˆ 所以： A = Ax ax + Ay a y + Az az
dSθ = R sin θ dRdϕ aθ
dSϕ = RdRdθ aϕ
第一章 矢量分析3
2
0 0
2sin sin 3cos 4sin d d
2
12
而环路C的方向为φ方向， ˆ rsin d dl e 故考虑矢量场的φ方向即可
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
ˆr e
ˆ 2 z 5 sin e ˆ 3x 2 cos ( F ) e
F
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
ˆv1 h1e ˆv2 h2 e v2 h2 Fv2 ˆv3 h3e v3 h3 Fv3 1 h1h2 h3 v1 h1 Fv1
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旋度的计算公式: F
ex
直角坐标系
ey y Fy
ez z Fz
球坐标系
r sin e r sin F
2 0
c
F dl
S
2 5sin 6cos 2cos 2d 12 F dS
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
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1.6 无旋场与无散场
1. 矢量场的源 散度源：是标量，产生的矢量场在包围源的封闭面上的通量 等于（或正比于）该封闭面内所包围的源的总和， 源在一给定点的（体）密度等于（或正比于）矢量 场在该点的散度； 旋度源：是矢量，产生的矢量场具有涡旋性质，穿过一曲面 的旋度源等于（或正比于）沿此曲面边界的闭合回 路的环量，在给定点上，这种源的（面）密度等于 （或正比于）矢量场在该点的旋度。
C2 S 2
F C
M
S1
C1
由于环路积分相同，相比 而言面积小的环流面密度较大， 因此环路 C1(S1) 的环流面密度 大于C2(S2)的。 可以看到 M 点处 S1 的面积 总是最小，所以环流其面密度 必然最大。
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. 1 / 12 第1章 矢量分析 §1.1 标量场与矢量场 一、场的概念 如果某物理量在空间每一时刻和每一位置都有一个确定的值，则称在此空间中确定了该物理量的场。 二、标量场与矢量场 标量场：若所研究的物理量是一个标量，则称该物理量的场为标量场，例如：温度场、密度场、电位场。
),(truu 矢量场：若所研究的物理量是一个矢量，则称该物理量的场为矢量场，例如：力场、速度场、电场。
),(trAA 三、静态场和时变场 静态场：若物理量不随时间变化，则称该物理量所确定的场为静态场。
)(ruu)(rAA 时变场：若物理量随时间变化，则称该物理量所确定的场称为动态场或时变场。 ),(truu),(trAA 标量场在空间的变化规律由其梯度来描述，矢量场在空间的变化规律由矢量场的散度和旋度来描述。
§1.2 矢量场的通量 散度 一、矢量线 矢量场的通量 1、矢量线 (1)矢量场的表示 在矢量场中，各点的场量是随空间位置变化的矢量。
矢量场可以用一个矢量函数)(rA来表示。在直角坐标系中表示为：
),,()(zyxArA (2)矢量线 在矢量场中，为了形象直观地描述矢量在空间的分布状况，引入了矢量线的概念。 矢量线：是一条空间曲线，在它上面每一点的场矢量都与其相切，并且用箭头来表示矢量线的正方向。 例如，静电场中的电力线、磁场中的磁力线等。 (3)矢量线方程
0)(rArd
在直角坐标系下为： . 2 / 12 )()()(rAdzrAdyrAdxzyx
2、矢量场的通量 通过面积元的通量：SdrAd)(
通过有限面积的通量：SSdrA)(
通过闭合曲面的通量：SSdrA)(
二、矢量场的散度 1、散度的定义
在矢量场)(rA中的任意一点M处作一个包围该点的任意闭合曲面S，所限定的体积为
。矢量场)(rA
在点M处的散度记作Adiv，其定义为：
SSdrAAdiv)(lim0
2、散度在坐标系下的表示
AAdiv 定义哈密顿算符：
zeyexezyx
(1)在直角坐标系中的表示 zuyuxuA
(2)在圆柱坐标系中的表示 zAAAAz11
(3)在球坐标系中的表示
ArArArrrArsin1sinsin
112
2
3、散度的性质 (1)散度是通量源的密度；
0A表示该点有发出通量线的正通量源；
0A表示该点有接收通量线的负通量源； . 3 / 12 0A表示该点无通量源。
(2)矢量场的散度是一个标量场。 4、散度运算的基本公式
(1) )(0为常矢量CC
(2) AcAc)(
(3) BABA)(
(4) AuAuAu)(
(5) 3r 三、散度定理 SSdAdA
散度定理是矢量场的体积分与面积分之间的一个变换关系。 【例题1】求矢量场zyx
ezyeyxexyA222的矢量线方程。
【解】矢量线应满足的微分方程为
zydzyxdyxydx222
从而有 zydzxydxyxdyxydx2222
所以 2221cyxxcz
1c和2c是积分常数。
【例题2】原点处点电荷q产生的电位移矢量rrqrrqD324ˆ4
，试求电位移矢量D
的散度。 【解】
3334,4,4rqzDrqyDr
qxDzyx
52252252234,34,34rxrqrxrqyDrxrqxDyx
zyxerzeryerxqD
3334 . 4 / 12 0)(33452222rzyxrqzDyDxDDdivDxxx
【例题3】球面S上任意点的位置矢量为zyx
ezeyexr，求SSdr
【解】根据散度定理知 VSdVrSdr
而r的散度为 3zzyyxxr
所以 3343433RRdVdVrSdrVVS
§1.3 矢量场的环量 旋度 一、矢量场的环量与环量面密度 1、矢量场的环量
矢量场)(rA沿场中的一条闭合路径l的曲线积分称为矢量场)(rA沿闭合路径l的环量。 lldA
物理意义：若某一矢量场的环量不等于零，则场中有产生该矢量场的旋涡源。 2、环量面密度
SldAArotlSn0lim
在矢量场中，一个给定点M处沿不同方向n，其环量面密度的值是不同的。 二、矢量场旋度 1、旋度的定义 方向：环量面密度取最大值的面元正法线方向。 大小：等于该环量面密度最大值。即
max0limSldAnArotlS
2、旋度在坐标系下的表示 AArot . 5 / 12 (1)在直角坐标系中的表示
zyxzyx
AAAzyxeeeA
(2)在圆柱坐标系中的表示
zz
AAAzeeeA1
(3)在球坐标系中的表示
ArrAArerererArrsin
sinsin12
3、旋度的性质 (1)矢量场的旋度是一个矢量。 (2)矢量场在某点处的旋度表示该点的旋涡源密度。 (3)矢量场在某点处沿n方向的环量面密度，等于旋度在该方向上的投影。 4、旋度运算的基本公式
(1) )(0为常矢量CC
(2) AcAc)(
(3) BABA)(
(4) AuAuAu)(
(5) BAABBA)(
三、斯托克斯定理 lSldASdA
斯托克斯定理是矢量场的曲面积分与曲线积分之间的一个转换关系。 四、旋度与散度的区别 (1)矢量场的旋度是矢量函数，矢量场的散度是标量函数。 (2)旋度描述场量与旋涡源的关系，散度描述场量与通量源的关系。 (3)如果矢量场的旋度为零，则称为无旋场(或保守场)；如果矢量场散度为零，则称为无源场。 (4)旋度描述场分量在与其垂直的方向上的变化规律；散度描述场分量沿着各自方向上的变化规律。 . 6 / 12 【例题1】求矢量场zyx
exyzezxyeyzxA)()()(在点M(1，0，1)处的旋度
以zyx
eeen362方向的环量面密度。
【解】矢量场A的旋度
)()()(xyzzxyyzxzyxeeeAArotzyx
zyxexyezxeyz)()()( 在点M(1，0，1)处的旋度 zyxMeeeA2 n方向的单位矢量
zyxzyxeeeeeen737672)362(3621222
在点M(1，0，1)处沿n方向的环量面密度 7177327672nAM
【例题2】在坐标原点处放置一点电荷q，在自由空间产生的电场强度为 )(4433zyxezeyexrqrrqE
求自由空间任意点(r≠0)电场强度的旋度。 【解】
0443333330333
rxyryxerzxrxzeryzrzyq
rzryrxzyxeeeqE
yx
zyx
§1.4 标量场的梯度 标量场)(ru：用一个标量函数来表示，在直角坐标系中表示为：