中职数学：不等式题型选讲典型例题(含答案)

不等式题型选讲
1、 有关不等式的解法：解不等式是通过变形转化为简单不等式从而得到解
集，如分式不等式转化为整式不等式但要注意是同解变形，每一步变形既充分又必要，例如解分式不等式不要随便去分母，而是先移项，等价转化为f (x )>0或f (x )<0的形式，再分析讨论。

一些含绝对值符号的不等式，含有参数的不等式必须进行讨论。

例1、（1）设集合A ={x ∣x 2-1>0}，B ={x ∣log 2x >0}，则A ∩B 等于（ ）
A 、{x ∣x >1}
B 、{x ∣x >0}
C 、{x ∣x <-1}
D 、{x ∣x <-1或x>1}
(2)不等式（1+x ）(1-∣x ∣)>0的解集为( )
A 、{x ∣0≤x <1}
B 、{x ∣x <0且x ≠-1}
C 、{x ∣-1<x <1}
D 、{x ∣x <1或x ≠-1}
（3）设f (x )是奇函数且在（-∞，0）内是减函数，f (-2)=0，则x f (x )<0的解集为（ ）
A 、（-1，0）∪（2，+∞）
B 、（-∞，-2）∪（0，2）
C 、（-∞，-2）∪（2，+∞）
D 、（-2，0）∪（0，2）
（4）（2003新教材高考试题）设函数⎪⎩⎪⎨⎧>≤-=-0
,0,12
)(21x x x x f x ，若f (x )>1，则
x 0的取值范围是（ ）
A 、（-1，1）
B 、（-1，+∞）
C 、（-∞，-2）∪（0，+∞）
D 、（-∞，-1）∪（1，+∞）
选择题具有自身独特的特点，从而决定了它的解法具有灵活机动的优势。

解题者选择不同的解法，从一个侧面反映出他们数学水平的不同“层次”。

例2、（1）不等式1)
20(lg cos 2>x （x ∈(0,π)的解集为
（2）不等式x x x <-24的解集是-----------------。

（3）f (x )是[)(]1,00,1 -，则不等式f (x )-f (-x )>-1的解集是-----------------。

例3、已知x +2y=4且x ≥0，y ≥21，求满足4
1322>+y x 的x 的取值范围。

本题看似二元不等式的问题，但y 可经过代换成x ，二元变一元，且由y 的取值范围进一步限制x 的范围。

同理可把不等式4
1322>+y x 转化成关于x 的一元二次不等式，求得的解集与原来x 的范围联立，求出x 的范围。

在解
题过程中运用了转化的思想。

例4、解关于x 的不等式：)1(11
)2()1(2
>>+--a x a x 含有参数的不等式，必须进行讨论，在讨论时常用逻辑划分的思想进行分类，然后对划分的每一类分别进行求解，再综合得出答案。

划分标准应是互斥、无漏和最简的。

本题采用数轴标根法,解该不等式的关键一步是比较三个因式的根的大小，这是引起分类讨论的根源。

例5、定义在（0，+∞）上的函数f (x )，对任意的x ，y ∈(0，+∞)都有f (xy )=f (x )+f (y )，当且仅当x >1时f (x )>0成立。

（！）设x ，y ∈(0，+∞)，求证：)()()(x f y f x y f -=；
（2）设x 1，x 2∈(0，+∞)，f (x 1)>f (x 2)，试比较x 1，x 2的大小；
（3）解不等式)10)(3()1(<<->-a a f a f x x
本题将函数与不等式两大不同的知识块在网络交汇点处融为一体，具有很强的综合性和时代性。

高考试题中，对于届不等式要求较高，往往与二次函数、指数函数、对数函数等有关概念和性质密切相关。

例6、已知函数f (x )满足以下条件：对任意实数x ，f (x )≠0；对于实数a ，b 均有)()()(b f a f b a f =-；当x <0时，f (x )>1；16
1)4(=f 。

（1） 求f (2)的值；
（2） 证明：f (x)在（-∞，+∞）上是减函数；
（3） 解不等式f (x-3)•f (5-x 2)≤
4
1. 2、 有关求参数的取值范围问题
在方程或不等式中求参数的取值范围这一类问题是近年高考中的一道多姿多彩的风景。

由于这类题型涉及面广、综合性强、方法灵活，所以揭示这类题目的内在规律探讨其特有的解题方法很有现实意义。

求解这类问题的常用策略有：转化为与之对应的函数，利用相应的函数性质求解；利用“主元
思想”，转化为关于参数的一次函数问题来求解；数形结合，用运动变化的思想来求解。

例7、设)4,
0(πθ∈，则二次曲线1tan cot 22=-θθy x 的离心率的取值范围
为（ ） A .)21
,0( B .)22,21( C.)2,2
2( D .),2(+∞ 例8、（1）设a >0，f (x )=ax 2+bx +c ，曲线y = f (x )在点P (x 0, f (x 0))处的切线倾斜角的取值范围为⎥⎦
⎤⎢⎣⎡4,
0π，则P 点到曲线y = f (x )的对称轴距离的取值范围为（ ） A .⎥⎦⎤⎢⎣⎡a 1,0 B . ⎥⎦⎤⎢⎣⎡a 21,0 C .⎥⎦⎤⎢⎣⎡a b 2,0 D .⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-a b 21,0 (2)若定义在区间（-1，0）内的函数f (x )=log a (x +1)满足f (x )>0，则a 的取值范围为（ ） A .)21,0( B .)21,0( C.),21(+∞ D .),0(+∞ 例9、已知正数a 、b 满足ab =a +b +3，则ab 的取值范围是-----------------。

例10、设⎥⎦⎤
⎢⎣⎡∈2,0πθ，不等式 )
4cos(2
232)4sin()222(2sin π
θπ
θθ-<++++-a a 恒成立， 求实数a 的取值范围
例11、设.)(131211112++-=++++=n n n S S n f n
S ， （1） 比较f (n +1)与f (n )的大小；
（2） 试确定实数m 的取值范围，使得对于大于1的一切正整数n ，不等式：
[][]
2)1(2log 2011)1(log )(m m n f m m --->恒成立 3、 有关不等式的证明
不等式的证明非常活跃，它可以和很多知识如函数、数列、三角等相联系，证明时不仅要用到不等式的性质、不等式证明的技能、技巧，还要用到相关内容的技能、技巧，应加强逻辑推理能力的训练。

例12、已知2
1≥a ，函数f (x )=-a 2x 2+ax +c . (1) 证明：对任意[]1,0∈x ，f (x )≤1的充要条件是43≤
c ； (2) 已知关于x 的实系数二次方程f (x )=0有两个实数根βα、，证明：
11≤≤βα、的充要条件是c ≤a 2-a
例13、已知a >0，函数).,0(1)(+∞∈-=x x ax x f ，设a
x 201<<，记曲线f (x )在点M (x 1,f (x 1))处的切线为l . (1) 求l 的方程；（2）设l 与x 轴的交点为（x 2,0），证明：①a x 102≤
<；②a
x x a x 1,1211<<<则若 4、 不等式的综合应用
方程、不等式、函数有着密切不可分割的联系，只有从函数的观点来看待这三者，才能理解它们之间的深刻联系，正是由于这种联系才能使不等式在解决有关函数的定义域、值域、单调性、最值、方程的实根分布、参数的取值范围、曲线的位置关系等数学的各个分支的综合问题中具有广泛的应用。

例14、已知f (x )=x 3
+ax +b 定义在区间[-1，1]，且f (0)=f (1)，又P （x 1，y 1）,Q (x 2，y 2)是其图像上任意两点（x 1≠x 2）.
(1) 设直线PQ 的斜率为k ，求证：2<k ；
(2) 若0≤x 1<x 2≤1，求证：121<-y y . 例15、（2003年高考题）设a >0，求函数),0()(ln()(+∞∈+-=x a x x x f 的
单调区间。

例16、若函数g A (x )的定义域为[)b a ,，且22)1()1()(-+-=x b a x x g A ，其中a 、b 为任意正实数，且a <b .
(1) 求g A (x )的最小值；
(2) 确定g A (x )的单调区间，并对单调增区间加以证明；
(3) 若[)[)
,)2(,)1(,)1(,2212221++∈∈+=∈+k k I x k k I x k k 其中k ∈N +.求证：.)
1(4)()(211+>++k k x g x g k k I I。