洛必达法则与泰勒公式精讲
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洛必达法则与泰勒公式精讲
一、洛必达法则
定义：若函数 和
满足下列条件：
⑴
，
；
⑵ 在点的某去心邻域内两者都可导，且 ；
⑶
（ 可为实数，也可为 ±∞ 或 ），则
适用对象：，型未定式。（其它类型未定式：，，，
，
等
，可通过简单变换而转化为，型未定式。
注意：不能在数列形式下直接用洛必达法则，因为对于离散变量
是无法求导数的。但此时有形式类近的斯托尔兹－切萨罗
定理（Stolz －Cesàro theorem）作为替代。 1、
求极限1
ln lim 1+--→x x x
x x x .
2
11)1(ln lim
11
1)1(ln lim 2
21
1-=-
++=--+=→→x x
x x x x
x x x
x x x x 解：
2、 求极限.1lim 2
1100
x x e
x
-
→
0!50lim 50lim lim lim ,1
t t 49t 50t 50t 2=====+∞→=+∞→+∞→+∞→-+∞→t t t t
e e
t e t e t x
则原式可化为
解：令 3、 求极限.)4cos 2(sin lim x
x x
x +→∞ 2
001
)
14cos 2(sin 010
)1(2
)4sin 42cos 2(lim 1
4cos 2sin lim lim )4cos 2(sin lim 13(,01
e t t
t t e
t t e u x t t t t
t t t t
t v u v ==-=-+=+==→=→→-+→→-故原式又因为原式种方法）得
见求极限的则由公式解：令
4、
求极限.cos sin 1lim 2
x
x x x -+→
3
4
cos 24lim sin 24lim cos 12lim cos sin 1cos sin 1lim
0022020=+=+=-+=-+++=→→→→x x x x
x x x x x x x x x x x x x x ）
（解：原式
二、泰勒公式
泰勒公式是求数学极限的重要技术性工具，我们要将以下几个重要函数的泰勒公式熟稔于心)0(→x
)
(!
2)1(1)1()
(!
31!211)
(3121)1ln()
(3
1arct an )
(61arcsin )
(3
1t an )
(!41!211cos )
(61sin 223323
3233
33
33
44
233
x o x x x x o x x x e x o x x x x x o x x x x o x x x x o x x x x o x x x x o x x x x
+-++=+++++=++-=++-=++=++=++-=+-=αααα
注：
对以上公式进行处理，可得到一组“差函数”的等价无穷小替换式：如
等
（，（同理有（，则如),061~arcsin )031~tan )06
1~sin )(61sin 3
3333→-→-→-+=
-x x x x x x x x x x x x x o x x x
1、 求极限.)1tan (lim 2
n n n
n →∞ 解：原式01
,lim 1
tan
ln 2→==∞
→n
t e n
n n n 令
原式
3
tan 2
1tan 2
lim lim lim tan ln
t t t t t t
e
e
e
n n t t t n --∞
→∞
→∞
→===
又
)(3
1tan 3
3t o t t t ++= 3
1)(31lim tan lim 33
3=-++=-∞→∞→t t
t o t t t t t n n 即原式31=
2、 求极限)]1ln()1([lim 22
0ax a x
x a x +--→. 解：
)()(2
1)1ln(2
x o ax ax ax +-=+ 2
1)21
21(lim ))]()(2
1)(1([lim )]
1ln()1
([lim 243022
20220=-+=+---=+--=→→→x a a x a x o ax ax a x x a ax a x x a x x x 原式
3、 求极限)(lim 656656x x x x x --++∞
→
解 令故时，于是，当,0t x ,1+→+∞→=t
x
])1()1[(t
1)(61
61
6
56656t t x x x x --+=--+ 利用展开式)(1)1(t o t t ++=+αα可得
)(6
11)1(),(611)1(6
1
6
1t o t t t o t t +-=-++=+ 故 原式=3
1)
(31
lim ])1()1[(t 1lim 06
16
1
0=+=--+==→→t t o t t t t t 4、 求极限.)1ln(sin 1tan 1lim 20x
x x x
x x -++-+→ 解：方法一；洛必达法则
2
121lim )111
(2lim )
)1(ln(221lim ))1(ln(2)cos tanx(1lim sin 1tan 11
)1ln(sin tanx lim 0020020-
=-+=-+=-+=-+-=+++⋅-+-=→→→→→x
x x x x x
x x x x x
x x x x x x x x x x 原式 方法二；泰勒公式