函数的基本性质单调性的应用(分类总结超级全面)

函数的基本性质-单调性的应用

知识点一：函数单调性的应用技巧

1.比较函数值的大小

利用函数的单调性及自变量的大小可以比较两个函数值的大小.

2.利用单调性求参数的取值范围

这是函数单调性的逆向思维问题，将参数看成已知数，建立相关大小关系进行比较.

3.利用单调性解不等式

利用函数的单调性，可以将函数值之间的不等关系与自变量间的不等关系进行等价转化.

例 1.已知函数c bx x x f ++=2)(，对任意实数x 都有)2()2(x f x f -=+，试比较)1(f ，)2(f ，)4(f .

例2.若函数y ＝－2x 2＋mx －3在[－1，＋∞)上为减函数，则m 的取值范围是________．

例3.已知函数)(x f y =是实数R 上的增函数，且)65()32(+>-x f x f ，求实数x 的取值范围.

巩固练习：

1.已知函数f (x )＝2x 2－ax －1，在[－1,2]上单调，则实数a 的取值范围是( )

A ．[－4,8]

B ．(－∞，－4]

C ．[8，＋∞]

D ．(－∞，－4]∪

[8，＋∞)

2.函数=)(x f ⎩⎨⎧-∈+∈+]

1,1[,7],2,1(,62x x x x 则f (x )的最大值、最小值是( )

A ．10,6

B ．10,8

C ．8,6

D ．以上都不对

3.已知函数=)(x f ⎪⎩⎪⎨⎧<-≥+0

,4,0,422x x x x x x 若)2(2a f -)(a f >，求实数a 的取值范围.

知识点二：分段函数的单调性

例4.若函数f (x )＝⎩⎨

⎧≤-+->-+-0,)2(,0,1)12(2x x b x x b x b 在R 上为增函数，求实数b 的取值范围．

巩固练习： 1.已知⎩⎨⎧<+≥-=0

,1,0,)1()(2x x x x x f 则)(x f 的单调区间是 .

知识点三：复合函数的单调性

判断复合函数))((x g f y =单调性的步骤：

（1）确定函数定义域；

（2）将复合函数分解成)(u f y =，)(x g u =

（3）分别确定这两个函数的单调性；

（4）利用“同增异减”的规律确定复合函数))((x g f y =的单调性.

例5.求函数228)(x x x f --=的单调区间.

巩固练习：

1.求函数43)(2-+=

x x x f 的单调区间.

知识点四：抽象函数的单调性

1.解决此类问题通常有两种方法.一种是“凑”，凑定义或凑已知，从而使用定义或已知条件得出结论；另一种是赋值法，给变量赋值要根据条件与结论的关系，有时可能要进行多次尝试.

2.一般地，若)(x f 满足：

)()()(y f x f y x f +=+，则)()(2211x x x f x f +-==)()(221x f x x f +-；

若)()()(y f x f y x f +=⋅，则)()()(

)(22

12211x f x x f x x x f x f +=⋅=.

例6.已知函数)(x f 的定义域是),0(+∞，且)()()(y f x f y x f +=⋅，当1>x 时，)(x f 0>.

(1)求)1(f ；

(2)证明)(x f 在定义域上是增函数.

巩固练习：

1.已知函数)(x f ，对任意的b a ,R ∈，都有1)()()(-+=+b f a f b a f ，并且当0>x 时，)(x f 1>.（1）求证：)(x f 是R 上的增函数；（2）若5)4(=f ，解不等式3)23(2<--m m f .

课后练习

1.若函数y ＝ax ＋1在[1,2]上的最大值与最小值的差为2，则实数a 的值是( )

A ．2

B ．－2

C ．2或－2

D ．0

2.函数f (x )＝12-x ＋x 的值域是( )

A ．[12，＋∞)

B ．(－∞，12

] C ．(0，＋∞) D ．[1，＋∞)

3.若0

－t 的最小值是( ) A ．－2 B ．154 C ．2 D ．0 4.若函数⎩⎨⎧<+≥-+-=1

,1,1,22)(2x ax x a ax x x f 是(－∞，＋∞)上的减函数，则实数a 的取值范围是( )

A ．(－2,0)

B ．[－2,0)

C ．(－∞，1]

D ．(－∞，0)

5.定义在R 上的函数f (x )对任意两个不等的实数x 1，x 2，总有0)()(2

121>--x x x f x f

成立，且f(－3)＝a，f(－1)＝b，则f(x)在[－3，－1]上的最大值是________．6.若函数2

a

x

x

f的单调递减区间是(－∞，4]，则实数a的取值范=x

-

)1

(2

)

+

(2+

围是________．

7.已知)

(x

f-

<

-，求x的取值

f

x

(x

1(

f是定义在区间[－1,1]上的增函数，且)

)2

范围．

8.已知函数f(x)＝x2＋2ax＋2，x∈[－5,5]．

(1)当a＝－1时，求函数f(x)的最大值和最小值；

(2)函数y＝f(x)在区间[－5,5]上是单调函数，求实数a的取值范围．