高中数学-函数的基本性质——单调性
函数的基本性质-单调性教案
函数的基本性质——单调性教案教学目标：1. 理解单调性的概念，掌握单调增函数和单调减函数的定义。
2. 学会判断函数的单调性，并能运用单调性解决实际问题。
3. 理解单调性在数学分析中的重要性，培养学生的逻辑思维能力。
教学内容：第一章：单调性的概念1.1 单调增函数1.2 单调减函数1.3 单调性的判断方法第二章：单调性的性质2.1 单调增函数的性质2.2 单调减函数的性质2.3 单调性与其他函数性质的关系第三章：单调性与最值3.1 单调性与函数最值的关系3.2 利用单调性求函数最值3.3 单调性在优化问题中的应用第四章：单调性与方程的解4.1 单调性与方程解的关系4.2 利用单调性求方程解4.3 单调性在实际问题中的应用第五章：单调性的应用5.1 利用单调性证明不等式5.2 单调性在实际问题中的应用案例分析5.3 单调性在数学竞赛中的应用教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入单调性的概念，引导学生思考为什么需要研究单调性。
2. 举例说明单调性在实际问题中的应用，激发学生的学习兴趣。
二、新课讲解（20分钟）1. 讲解单调增函数和单调减函数的定义，引导学生理解单调性的本质。
2. 通过示例，讲解单调性的判断方法，让学生学会如何判断函数的单调性。
三、案例分析（15分钟）1. 分析单调性与函数最值的关系，引导学生学会利用单调性求函数最值。
2. 分析单调性与方程解的关系，让学生学会利用单调性求方程解。
四、课堂练习（10分钟）1. 针对本节课的内容，设计一些练习题，让学生巩固所学知识。
2. 引导学生思考单调性在实际问题中的应用，培养学生的应用能力。
2. 鼓励学生思考单调性在其他领域的应用，激发学生的创新意识。
教学评价：1. 通过课堂讲解、案例分析和课堂练习，评价学生对单调性的理解和掌握程度。
2. 关注学生在实际问题中运用单调性的能力，评价学生的应用水平。
3. 鼓励学生反思单调性在其他领域的应用，评价学生的创新意识。
函数的基本性质之单调性
函数的基本性质之单调性1.增函数：y随x的增大而增大的函数，即对任意的x1，x2属于定义域，若x1>x2，有f（x1）>f（x2）2.减函数：y随x的增大而减小的函数，即对任意的x1，x2属于定义域，若x1>x2，有f（x1）<f（x2）3.单调性：如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为单调区间考点一：用定义证明函数的单调性方法：取值变形例：证明：函数y=x+在（0，上是减函数练：在上例中，若定义域换为（3，），那么函数的单调性如何？且画出在（0，）上的大致图像。
考点二：求单调区间方法：化简函数解析式画出函数图像确定单调区间例：指出函数y=-++3的单调区间练：指出函数y=-+3x+3的单调区间考点三：利用单调性确定参数指导思想：若y=f(x)在区间（a，b）上递增（减）就等价于（a，b）是增区间（减区间）的一个子集例：已知函数f（x）=+2（a-1）x+2在区间（-，上是减函数，求实数a的取值范围练：已知函数f（x）=+2（a-1）x+2的单调递减区间是（-，，求实数a的取值范围4.函数的最大值：一般的，设函数y=f（x）的定义域为I，如果存在M满足，对于任意的x I，都有f（x）M，且存在x0I，使得，f（x0）=M，那么称M是函数y=f（x）的最大值5.函数的最小值：一般的，设函数y=f（x）的定义域为I，如果存在M满足，对于任意的x I，都有f（x）M，且存在x0I，使得，f（x0）=M，那么称M是函数y=f（x）的最小值考点四：利用图像求函数最值例：已知函数f（x）=3-12x+5，当自变量x在下列范围内取值时，求函数的最大值，最小值：（1）x R;(2)x；（3）x考点五：利用单调性求函数最值方法：定义法证明函数单调性求最值例：求函数f（x）=x+在x上的最大值及最小值。
练：求函数f（x）=x+在x上的最值。
新教材：3.2.1函数的单调性
3.2 函数的基本性质3.2.1 函数的单调性【知识梳理】1．函数单调性的定义：一般地，设函数f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内某个区间D上的两个自变量的值x1，x2，（1）当x1＜x2时，都有，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数；（2）当x1＜x2时，都有，那么就说函数f (x )在区间D上是减函数．2．单调区间的定义若函数f(x)在区间D上是或，则称函数f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D 叫做f(x)的单调区间．3．两种形式设任意x1，x2∈[a，b]且x1＜x2，那么（1） ⇔f (x )在[a ，b ]上是增函数； ⇔f (x )在[a ，b ]上是减函数． （2） ⇔f (x )在[a ，b ]上是增函数； ⇔f (x )在[a ，b ]上是减函数． 4．函数单调性的判断（1）定义法：取值、作差、变形、定号、下结论．（2）复合法：同增异减，即内外函数的单调性相同时，为增函数，不同时为减函数． （3）图象法：利用图象研究函数的单调性． 5．函数的最值（2）开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值．【考点分类精讲】考点1：函数单调性的判断与证明【考题1】求证：函数1)(3+-=x x f 在R 上是减函数。
【举一反三】求证：函数x x f -=)(在定义域上是减函数．【考题2】求证：函数1)(2++=x x x f 在区间),(+∞-∞上是单调递增函数．【举一反三】求证：函数x x x f -+=1)(2在其定义域上是减函数．【考题3】判断函数xax x f +=)((0>a )的单调性，并作出当1=a 时函数的图像．【考题4】判断函数1)(2-=x x f 在定义域上的单调性．【举一反三】（选做）已知228)(x x x f -+=，如果)2()(2x f x g -=，求)(x g 的单调区间．考点2 函数的单调区间【考题5】写出下列函数的单调区间． （1）2()|23|f x x x =--（2）3||2)(2--=x x x f（3）223)(-+=x x x f（4）4444)(22++++-=x x x x x f【举一反三】求函数22311)(xx x f ---=的单调递减区间．考点3 函数的最值【考题6】设ax x x f -+=1)(2，其中1≥a ，求函数)(x f 在[a ，）∞+上的最值．【举一反三】 1．求函数1)(-=x xx f 在区间2[，]5上的最大值与最下值．2．设max {a ，b }表示两个数a 与b 的最大值，则max {|1|+x ，|2|-x }的最小值．3．已知函数f (x )=xax x ++22，[)1,x ∈+∞，（1）当12a =时，求函数f (x )的最小值； （2）若对任意[)1,x ∈+∞，()0f x >恒成立，试求实数a 的取值范围．【考题7】求函数12)(2--=ax x x f 在闭区间]2,0[上的最大值与最小值．【举一反三】1．已知函数2()22f x x ax =++，求()f x 在[]5,5-上的最大值与最小值．2．已知函数32)(2+-=x x x f ，当t x [∈，]1+t 时，求)(x f 的最大值与最小值．3．已知函数3)1(2)(2--+=x a ax x f )0(≠a 在区间23[-，]2上的最大值是1，求实数a 的值．考点4 函数单调性的应用【考题7】函数y ＝x －5x －a －2在(－1，＋∞)上单调递增，则a 的取值范围是（ ）A ．a ＝－3B ．a <3C ．a ≤－3D ．a ≥－3【举一反三】1．已知函数)0()(2>+=a xax x f 在),2(+∞上递增，则实数a 的取值范围是 ． 2．若函数⎩⎨⎧≤-+->-+-=）（）0,)2(0(,1)12()(2x x b x x b x b x f 在R 上是增函数，则实数b 的取值范围是 ．3．若函数n mx x x f ++=2)(，对任意x 都有)2()2(x f x f +=-成立，试比较)1(-f ，)2(f ，)4(f 的大小关系．【考题8】定义在R 上的函数)(x f y =，0)0(≠f ，当0x >时，1)(>x f ，且对任意的,a b R ∈，有()()()f a b f a f b +=.（1）求证：(0)1f =；（2）求证：对任意的x R ∈，恒有()0f x >； （3）求证：()f x 是R 上的增函数；（4）若()2()21f x f x x ->，求x 的取值范围．【举一反三】1．已知函数)(x f 对于任意x ，y ∈R ，总有f (x )＋f (y )＝f (x ＋y )，且当x ＞0时，f (x )＜0，f (1)＝－23.（1）求证：)(x f 在R 上是减函数； （2）求)(x f 在[－3,3]上的最大值和最小值．1．设二次函数a ax x x f ++=2)(，方程0)(=-x x f 的两个实根1x 和2x 满足1021<<<x x ． （1）求实数a 的取值范围； （2）试比较)0()1()0(f f f -与161的大小关系，并说明理由．3．设a ，b ，c 都是大于0的实数，且c b a >+，求证：ccb b a a +>+++111．【题型优化测训】一、选择题1．函数2()2f x x ax a =-+在区间(,1)-∞上有最小值，则a 的取值范围是（ ） A ．1a <B ．1a ≤C ．1a >D ． 1a ≥2．函数54)(2+-=mx x x f 在),2[+∞-上是增函数，则)1(f 的取值范围是（ ）A ．25)1(≥fB ．25)1(=fC ．25)1(≤fD ．25)1(>f3．若()ax x x f 22+-=与()1+=x ax g 在区间[]2,1上都是减函数，则a 的取值范围是（ ） A ．()()1,00,1-⋃B ．()1,0C ．(]1,0D ．()(]1,00,1-⋃4．设()22f x x =-,若0a b <<，且()()f a f b =，则ab 的取值范围 （ ） A ．()0,2B ．(]0,2C ．(]0,4D ．()0,45．已知函数()x f 是R 上的增函数，()1,0-A ，)1,3(B 是其图象上的两点，那么不等式()11<+x f 的解集的补集是 （ ）A ．(][),14,-∞⋃+∞B ．()1,2-C ．()1,4D ．(][),12,-∞-⋃+∞6．定义在R 上的函数()y f x =在(),2-∞上是增函数，且()2y f x =+图象的对称轴是0x = 则（ ） A ．()()13f f -<B ．()()03f f >C ．()()13f f -=-D ．()()23f f <7．用min {a ，b ，c }表示三个数a ，b ，c 中的最小值，设=)(x f min {x 2，x -10，2+x }，则)(x f 的最大值是（ ） A ．4B ．5C ．6D ．78．已知()x f 在区间R 内是减函数，又0,,≤+∈∈b a R b R a ，则有（ ） A ．()()()()b f a f b f a f --≤+ B ．()()()()b f a f b f a f -+-≤+ C ．()()()()b f a f b f a f --≥+ D ．()()()()b f a f b f a f -+-≥+二、填空题9．若函数2()48f x x kx =--在[5,8]上是单调函数，则k 的取值范围是____________．10．函数f (x )在(0，＋∞)上为减函数，比较f (a 2－a ＋1) )43(f (填“>” 或“<”或“≥” 或“≤”)． 11．函数f (x )＝2x 2－mx ＋3在[－2，＋∞)上为增函数，在(－∞，－2)上为减函数，则m ＝ ．12．设函数()f x x =-在[]3,0x ∈-上的最大值a ，最小值为b ，则a b +=________．13．设()f x 是R 上的增函数，且)()(2x a f x x f ->+对∀R x ∈都成立，则a 的取值范围是 ． 三、解答题14．已知()f x 是定义在[]1,1-上的增函数，且2(1)(1)f x f x -<-，求x 的取值范围．15．已知函数()f x 对任意,a b R ∈，都有()()()1f a b f a f b +=+-，且当0x >时，()1f x >， 求证：()f x 是R 上的增函数．16．对R x ∈∀，)(x f 表示3+-x ，2123+x ，342+-x x 的最大者，写出)(x f 的解析式并求其最小值．17．已知函数)(x f 的定义域为0(，)∞+，且当1>x 时，0)(>x f 且)()()(y f x f y x f +=⋅． （1）求)1(f 的值；（3）解不等式0)]21([<-x x f ．18．已知定义在区间(0，＋∞)上的函数)(x f 满足)()()(2121x f x f x x f -=，且当1>x 时，0)(<x f . （1）求)1(f 的值； （2）判断)(x f 的单调性；（3）若1)3(-=f ，求)(x f 在[2，9]上的最小值； （4）若1)3(-=f ，解不等式2|)(|-<x f。
函数的基本性质单调性教案
函数的基本性质——单调性教案一、教学目标1. 知识与技能：（1）理解函数单调性的概念，掌握判断函数单调性的方法；（2）能够运用单调性解决实际问题，如求函数的最值等。
2. 过程与方法：（1）通过观察实例，引导学生发现函数单调性的规律；（2）利用数形结合，让学生理解函数单调性的几何意义。
3. 情感态度与价值观：培养学生对数学的兴趣，提高学生分析问题和解决问题的能力。
二、教学重点与难点1. 教学重点：（1）函数单调性的概念及其判断方法；（2）单调性在实际问题中的应用。
2. 教学难点：（1）理解函数单调性的几何意义；（2）如何运用单调性解决实际问题。
三、教学过程1. 导入：通过实例引入函数单调性的概念，激发学生的兴趣。
2. 新课讲解：（1）介绍函数单调性的定义及判断方法；（2）利用数形结合，讲解函数单调性的几何意义。
3. 案例分析：分析具体案例，让学生学会运用单调性解决实际问题。
4. 练习巩固：布置练习题，让学生独立完成，检验对单调性的掌握程度。
5. 课堂小结：总结本节课的主要内容，强调单调性在数学中的重要性。
四、课后作业1. 完成练习册的相关题目；2. 选取一个实际问题，运用单调性进行解决。
五、教学反思本节课结束后，教师应认真反思教学效果，针对学生的掌握情况，调整教学策略，以提高学生对函数单调性的理解和运用能力。
关注学生在学习过程中的情感态度，激发学生对数学的兴趣。
六、教学活动设计1. 互动环节：学生分组讨论，举例判断给定函数的单调性；2. 探究活动：学生自主研究，分析函数单调性在实际问题中的应用；3. 小组合作：学生分组完成课后作业，相互检查，共同提高。
七、教学评价1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答等情况，评价学生的学习状态；2. 练习完成情况：检查学生课后作业的完成质量，评价学生对单调性的掌握程度；3. 实际问题解决：评估学生在探究活动中的成果，检验学生运用单调性解决问题的能力。
高一数学必修一函数的基本性质(单调性)精品PPT课件
观察图像变化规律
图像在对称轴左边呈下降， 在对称轴后边呈下降趋势。
x
y
O
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O
x
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自变量递增，函数递减
x
y
O
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自变量递增，函数递增
增函数、减函数的概念：
增函数、减函数的概念：
一般地，设函数f(x)的定义域为I.
1.如果对于定义域I内的某个区间上的任意 两个自变量的值x1, x2，当x1＜x2时，都有 f(x1)＜f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是 增函数.
2．两种方法：
判断函数单调性的方法 有图象法、定义法． 下一课时我们会重点练习
课堂小结
1．阅读教材P.27 -P.30； 2．教材课后练习：1、2、3.
课后作业
谢谢欣赏
一般地，设函数f(x)的定义域为I.
增函数、减函数的概念：
函数最大值→图像最高点
一般地，设函数y=f（x）的定义域为I，如果存在实数M满足： （1）对于任意的x∈I，都有f（x）≤M （2）存在x0∈I，使得f（x0）=M. 那么我们称M是函数y=f（x）的最大值 .
函数最小值→图像最低点
一般地，设函数y=f（x）的定义域为I，如果存在实数M满足： （1）对于任意的x∈I，都有f（x）≥M （2）存在x0∈I，使得f（x0）=M. 那么我们称M是函数y=f（x）的最小值 .
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函数的基本性质
函数的基本性质一．函数的单调性：1. 定义：设D 为函数)(x f 定义域的子集。
对任意的D ,21∈x x 且21x x <时，都有⇔>--⇔>--⇔<0)](()([0)()()()(1212121221）x x x f x f x x x f x f x f x f 函数)(x f y =在D 上是增加的。
对任意的D ,21∈x x 且21x x <时，都有⇔<--⇔<--⇔>0)](()([0)()()()(1212121221）x x x f x f x x x f x f x f x f 函数)(x f y =在D 上是减少的。
2. 图像特点：自左向右看图像是上升的。
（图像在此区间上是增加的） 自左向右看图像是下降的。
（图像在此区间上是减少的）3.判断函数单调性的方法：（1）图像法：作出函数图像，由图像直观判断求解，只能用于判断。
（数形结合） 解题程序：解析式-----图像-----单调区间（2）性质法：需要先记清基本初等函数的单调性。
高中基本初等函数：一次函数：)0(≠+=k b kx y ，二次函数：)0(2≠++=a c bc ax y 反比例函数：)0(≠=k x k y ，简单幂函数：3,2,21,1,1)(-=∈=αααR x y 指数函数：)10(≠>=a a a y x 且，对数函数：)10(log ≠>=a a x y a 且， “对勾”函数：)0(>+=a x ax y①a x f y +=)(与)(x f y =的单调性相同。
②当0>a 时，函数)(x af y =与)(x f y =的单调性相同；当0<a 时，函数)(x af y =与)(x f y =的单调性相反；③在公共定义域内，增函数)(x f +增函数)(x g 是增函数， 减函数)(x f +减函数)(x g 是减函数；增函数)(x f －减函数)(x g 是增函数，减函数)(x f －增函数)(x g是减函数；④两函数积的单调性：当)(x f ，)(x g 在公共区间上都是增（减）函数。
函数的基本性质(单调性、奇偶性、周期性)(含答案)
函数的基本性质一、知识点1．对函数单调性的理解(1)函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论,所以求函数的单调区间,必须先求函数的定义域；(2) 一些单调性的判断规则：①若f (x)与g(x)在定义域内都是增函数(减函数)，那么f (x) + g(x)在其公共定义域内是增函数(减函数)即“同加异减”减时和第一个单调性相同。
②复合函数的单调性规则是“同增异减”。
2．函数的奇偶性的定义：(1)对于函数f (x)的定义域内任意一个x，都有f (-x) = —f (x)，则称f (x)为.奇函数的图象关于对称。
(2)对于函数f (x)的定义域内任意一个x，都有f (-x) = f (x)，则称f (x)为.偶函数的图象关于对称。
(3)通常采用图像或定义判断函数的奇偶性. 具有奇偶性的函数，其定义域原点关于对称(也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称)。
3．奇偶函数图象的对称性(1)若y = f (a + x)是偶函数，则 f (a + x) = f (a - x) o f (2a - x) = f (x) o f (x)的图象关于直线x= a对称；(2)若y = f (b + x)是偶函数，则 f (b - x) = - f (b + x) o f (2b - x) = - f (x) o f (x)的图象关于点(b,0)中心对称；4.若函数满足f Q + a)= f Q)，则函数的周期为T=a。
二、例题讲解1.下列函数中，既是偶函数，又是在区间(0,+ 8)上单调递减的函数是()A. y = 2|x|B. y = x3C. y = -x2+1D. y=cosx【答案】C【解析】试题分析：偶函数需满足f (-x) = f (x)，由此验证可知A,C,D都是偶函数，但要满足在区间(0,+ 8) 上单调递减，验证可知只有C符合.考点：偶函数的判断，函数的单调性.2. f (x) = x2-2x + 4的单调减区间是.【答案】(fl) 【解析】试题分析：将函数进行配方得/(，) =，2—2x + 4 = (x —1)2+3,又称轴为x = l,函数图象开口向上，所 以函数的单调减区间为(-8,1) . 考点：二次函数的单调性.3 .函数y = log (%2 +2% —3)的单调递减区间为()2A. (— °°, —3)B. (— °°, — 1)C. (1, +°°)D. ( — 3, — 1) 【答案】A 【解析】试题分析：由x2 + 2x —3>0,得％<—3或x>l, .♦./(%)的定义域为(―8,—3)U(L+8).y = log (%2 + 2% —3)可看作由 y = log 沈和 M = %2 + 2% — 3 复合而成的，u - X2 +2x-3 = (x +1)2 -4 2 2在(—8,—3)上递减，在(1,+8)上递增，又y = log "在定义域内单调递增，.・.y = log (%2+2%-3)在2 2(—8,—3)上递减，在(1,+8)上递增，所以y = log (%2+ 2% —3)的单调递减区间是(―叫—3),故选A.2考点：复合函数的单调性.4 .已知丁 = %2+2(〃 — 2)% + 5在区间(4,+8)上是增函数，则a 的范围是( )【答案】B 【解析】试题分析：函数y = %2+2(〃-2)% + 5的图像是开口向上以x = 2-a 为对称轴的抛物线，因为函数在区 间(4,+8)上是增函数，所以2 —a V 4,解得“之―2 ,故A 正确。
(整理)函数的基本性质单调性最值
（一）函数单调性的定义1. 增函数与减函数一般地，设函数y ＝f （x ）的定义域为I ，增函数：如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1＜x 2时，都有f （x 1）＜f （x 2），那么就说f （x ）在区间D 上是增函数。
减函数：如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1＜x 2时，都有f （x 1）>f （x 2），那么就说f （x ）在区间D 上是减函数。
说明：一个函数的两个单调区间是不可以取其并集，比如：xy 1=不能说 )0,(-∞ ),0(+∞是原函数的单调递减区间；注意：①函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；②必须是对于区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2；当x 1＜x 2时，总有f （x 1）＜f （x 2）或 f （x 1）＞f （x 2）。
2. 函数的单调性的定义如果函数y ＝f （x ）在某个区间上是增函数或减函数，那么就说函数y ＝f （x ）在这一区间具有（严格的）单调性，区间D 叫做y ＝f （x ）的单调区间。
例1 观察下列函数的其图象，指出其单调性． （1）1y x x=+；（2）11y x=-；例2 指出下列常见函数的单调性： （1）y c =（c 为常数）；【析】y 不随x 的增大而改变，无单调性． （2）y ax b =+（0a ≠）；【析】0a >，函数在R 上递增；0a <，函数在R 上递减． （3）2y ax bx c =++（0a ≠）； 【析】0a >，函数在(,)2b a-∞-上递减，在(,)2ba -+∞上递增；0a <，函数在(,)2b a-∞-上递增，在(,)2ba -+∞上递减．（4）ky x=（0k ≠）； 0k >，函数在(,0)-∞上递减，在(0,)+∞上递减； 0k <，函数在(,0)-∞上递增，在(0,)+∞上递增．（5）y x =；函数在(,0)-∞上递减，在(0,)+∞上递增． （6）y x =． 函数在(0,)+∞上递增．3. 判断函数单调性的方法和步骤（1）利用定义证明函数f （x ）在给定的区间D 上的单调性的一般步骤： ①任取x 1，x 2∈D ，且x 1＜x 2； ②作差f （x 1）－f （x 2）；③变形（通常是因式分解和配方）；④定号（即判断差f （x 1）－f （x 2）的正负）；⑤下结论（即指出函数f （x ）在给定的区间D 上的单调性）。
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如何用x与f(x)来描述上升的图象？ y y＝f(x)
f(x1) f(x2) x1＜x2
O x1 x2 x
如何用x与f(x)来描述上升的图象？ y y＝f(x)
f(x1) f(x2) x1＜x2
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如何用x与f(x)来描述上升的图象？ y y＝f(x)
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如何用x与f(x)来描述上升的图象？ y
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如何用x与f(x)来描述上升的图象？ y
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x
如何用x与f(x)来描述上升的图象？ y
O
x
如何用x与f(x)来描述上升的图象？ y
x1＜x2 O x1 x2 x
如何用x与f(x)来描述上升的图象？ y y＝f(x)
在单调区间上增函数的图象是上升 的，减函数的图象是下降的.
1.右图是定义在
y
3
闭区间[－5, 5]上
2
的函数y＝f(x)的图
1
象，根据图象说出 -5 -4 -3 -2 -1 O 1 2 3 4 5 x
y＝f(x)的单调区间，
-1 -2
以及在每一单调区
-3
间上， y＝f(x)是增函数还是减函数．
1.右图是定义在
O x1 x2 x 区间上为增函数.
如何用x与f(x)来描述下降的图象？ y y＝f(x)
f(x1) f(x2)
O x1 x2 x
如何用x与f(x)来描述上升的图象？
y
y＝f(x)
在给定区间上任取x1, x2
f(x1)
f(x2)
x1＜x2 f(x1)＜f(x2) 函数f (x)在给定
O x1 x2 x 区间上为增函数.
其中y＝f(x)在[－5,－2)，[1, 3)上是减函数， 在区间[－2, 1)，[3, 5]上是增函数．
1.右图是定义在
y
3
闭区间[－5, 5]上
2
的函数y＝f(x)的图
1
象，根据图象说出 -5 -4 -3 -2 -1 O 1 2 3 4 5 x
y＝f(x)的单调区间，
-1
-2 图象法
以及在每一单调区
增函数、减函数的概念:
一般地，设函数f(x)的定义域为I.
1.如果对于定义域I内的某个区间上的任意 两个自变量的值x1, x2，当x1＜x2时，都有 f(x1)＜f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是 增函数. 2.如果对于定义域I内的某个区间上的任意 两个自变量的值x1, x2，当x1＜x2时，都有 f(x1)＞f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是 减函数.
y
y＝f(x)
在给定区间上任取x1, x2
f(x1)
f(x2)
x1＜x2 f(x1)＜f(x2) 函数f (x)在给定
O x1 x2 x 区间上为增函数.
如何用x与f(x)来描述上升的图象？
y
y＝f(x)
在给定区间上任取x1, x2
f(x1)
f(x2)
x1＜x2 f(x1)＜f(x2) 函数f (x)在给定
1.3.1 函数的基本性质 ——单调性
某市年生产总值统计表
生产总值 (亿元)
30
33.60
20
19.71
10 4.67 7.56
1985 1990 1994 1997 年份
某市高等学校在校学生数统计表
人数 (万人)
15
10
15.38 14.04 12.13 10.79
5
1985 1990 1994 1997 年份
O x1 x2 x 区间上为增函数.
如何用x与f(x)来描述下降的图象？
y y＝f(x) f(x1) f(x2)
O x1 x2 x
在给定区间上任取x1, x2 x1＜x2 f(x1)＞f(x2)
函数f (x)在给定 区间上为减函数.
增函数、减函数的概念:
增函数、减函数的概念:
一般地，设函数f(x)的定义域为I.
减函数．
x
变式1:f(x)＝ 3在(－∞, 0)上是增函数 还是减函数？ x
变式2:讨论函数f(x)＝ 3在定义域上的
单调性．
x
3. 证明:函数f(x)＝ 在3(0, ＋∞)上是
减函数．
x
变式1:f(x)＝ 3在(－∞, 0)上是增函数 还是减函数？ x
y
3
闭区间[－5, 5]上
2
的函数y＝f(x)的图
1
象，根据图象说出 -5 -4 -3 -2 -1 O 1 2 3 4 5 x
y＝f(x)的单调区间，
-1 -2
以及在每一单调区
-3
间上， y＝f(x)是增函数还是减函数．
解: 函数y＝f(x)的单调区间有[－5,－2)， [－2, 1)，[1, 3)，[3, 5]，
增函数、减函数的概念:
一般地，设函数f(x)的定义域为I.
1.如果对于定义域I内的某个区间上的任意 两个自变量的值x1, x2，当x1＜x2时，都有 f(x1)＜f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是 增函数. 2.如果对于定义域I内的某个区间上的任意 两个自变量的值x1, x2，当x1＜x2时，都有 f(x1)＞f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是 减函数.
若差＞0，则为减函数).
2. 证明:函数f(x)＝3x＋2在R上是增函数． 定义法
2 .证明:函数f(x)＝3x＋2在R上是增函数． 定义法
变式1:函数f(x)＝－3x＋2在R上是增函数 还是减函数？
2. 证明:函数f(x)＝3x＋2在R上是增函数． 定义法
变式1:函数f(x)＝－3x＋2在R上是增函数 还是减函数？
如何用x与f(x)来描述下降的图象？
y y＝f(x)
在给定区间上任取x1, x2
f(x1) f(x2)
O x1 x2 x
如何用x与f(x)来描述上升的图象？
y
y＝f(x)
在给定区间上任取x1, x2
f(x1)
f(x2)
x1＜x2 f(x1)＜f(x2) 函数f (x)在给定
O x1 x2 x 区间上为增函数.
f ( x1 )
x1 O
y x2
x
y
f ( x1 )
x1 O
y x2
x
y
y x2
f ( x1 )
x
x1 O0
y
y x2
f ( x1 )
x
x1O
y
y x2
f ( x1 )
x
O x1
y
y x2
f ( x1 )
x
O x1
y
y x2
f ( x1 )
x
O x1
y
y x2
f ( x1 )
变式2: y＝x2－ax＋4在[2，4]上是 单调函数，求a的取值范围.
2. 证明:函数f(x)＝3x＋2在R上是增函数．
判定函数在某个区间上的单调性的 方法步骤:
1. 设x1, x2∈给定的区间，且x1＜x2; 2. 计算f(x1)－f(x2) 至最简; 3. 判断上述差的符号; 4. 下结论 (若差＜0，则为增函数;
函数单调性的概念:
函数单调性的概念:
如果函数 y＝f(x)在某区间上是增函 数或减函数，那么就说函数 f(x)在这一 区间具有(严格的)单调性，这一区间叫 做 y＝f(x)的单调区间.
函数单调性的概念:
如果函数 y＝f(x)在某区间上是增函 数或减函数，那么就说函数 f(x)在这一 区间具有(严格的)单调性，这一区间叫 做 y＝f(x)的单调区间.
增函数、减函数的概念:
一般地，设函数f(x)的定义域为I.
1.如果对于定义域I内的某个区间上的任意 两个自变量的值x1, x2，当x1＜x2时，都有 f(x1)＜f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是 增函数.
增函数、减函数的概念:
一般地，设函数f(x)的定义域为I.
1.如果对于定义域I内的某个区间上的任意 两个自变量的值x1, x2，当x1＜x2时，都有 f(x1)＜f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是 增函数. 2.如果对于定义域I内的某个区间上的任意 两个自变量的值x1, x2，当x1＜x2时，都有 f(x1)＞f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是 减函数.
如何用x与f(x)来描述上升的图象？
y
y＝f(x)
在给定区间上任取x1, x2
f(x1) f(x2)
O x1象？
y
y＝f(x)
在给定区间上任取x1, x2
f(x1) f(x2) x1＜x2 f(x1)＜f(x2)
O x1 x2 x
如何用x与f(x)来描述上升的图象？
y
y＝x＋1
1
-1 O x
yy
2 2y＝－2x＋2
11 x
O
x
y
y＝x＋1
1
-1 O x
y y y＝－x2＋2x
O
12 x
yy
2 2y＝－2x＋2
11 x
O
x
y
y＝x＋1
1
-1 O x
y y y＝－x2＋2x
O
12 x
yy
2 2y＝－2x＋2
11 x
O
x
y y 1 x
Ox
y
y x2
x O
y
f(x1) f(x2) x1＜x2 f(x1)＜f(x2)
O x1 x2 x
如何用x与f(x)来描述上升的图象？ y y＝f(x)
f(x1) f(x2) x1＜x2 f(x1)＜f(x2)