高等数学 课后习题答案第九章

习题九

1. 求函数u =xy 2+z 3-xyz 在点（1，1,2）处沿方向角为

πππ,,343

αβγ===

的方向导数。

解：

(1,1,2)(1,1,2)(1,1,2)cos cos cos u u u u

y l x z αβγ

????=++????

22(1,1,2)(1,1,2)(1,1,2)πππ

cos

cos cos 5.(2)()(3)343xy xz y yz z xy =++=---

2. 求函数u =xyz 在点（5,1,2）处沿从点A （5,1,2）到B （9，4，14）的方向导数。

解：

{4,3,12},13.AB AB ==

AB

的方向余弦为

4312cos ,cos ,cos 131313αβγ=

== (5,1,2)(5,1,2)(5,1,2)(5,1,2)(5,1,2)(5,1,2)2105u

yz x u

xz y

u

xy z ?==??==??==?

故4312982105.

13131313u l

?=?+?+?=? 3. 求函数22221x y z a b ??=-+ ???

在点处沿曲线22

2

21x y a b +=在这点的内法线方向的方向导

数。

解：设x 轴正向到椭圆内法线方向l 的转角为φ，它是第三象限的角，因为

2222220,x y b x y y a b a y ''+==-

所以在点处切线斜率为

2.b y a a '

==-

法线斜率为

cos a

b ?=

.

于是tan sin ??== ∵2222,,

z z x y x a y b ??=-=-??

∴

22

22

z

l a b

?

?

=--=

??

4.研究下列函数的极值：

(1)z=x3+y3－3(x2+y2); (2)z=e2x(x+y2+2y);

(3)z=(6x－x2)(4y－y2); (4)z=(x2+y2)

22

()

e x y

-+

;

(5)z=xy(a－x－y),a≠0.

解：（1）解方程组

2

2

360

360

x

y

z x x

z y y

?=-=

?

?

=-=

??

得驻点为（0,0）,(0,2),(2,0),(2,2).

z xx=6x－6, z xy=0, z yy=6y－6

在点（0，0）处，A=－6，B=0，C=-6，B2－AC=－36<0，且A<0,所以函数有极大值z(0,0)=0.

在点（0，2）处，A=－6，B=0，C=6，B2－AC=36>0，所以(0,2)点不是极值点.

在点（2，0）处，A=6，B=0，C=－6，B2－AC=36>0，所以(2,0)点不是极值点.

在点（2，2）处，A=6，B=0，C=6，B2－AC=－36<0，且A>0,所以函数有极小值z(2,2)=-8.

(2)解方程组

22

2

e(2241)0

2e(1)0

x

x

x

y

z x y y

z y

?=+++=

?

?

=+=

??

得驻点为

1

,1

2

??

-

?

??.

22

2

2

4e(21)

4e(1)

2e

x

xx

x

xy

x

yy

z x y y

z y

z

=+++

=+

=

在点

1

,1

2

??

-

?

??处,A=2e,B=0,C=2e,B2-AC=-4e2<0,又A>0,所以函数有极小值

e

1

,1

2

2

z??=-

-

?

??. (3) 解方程组

2

2

(62)(4)0

(6)(42)0

x

y

z x y y

z x x y

?=--=

?

?

=--=

??

得驻点为（3,2）,(0,0),(0,4),(6,0),(6,4).

Z xx=－2(4y-y2),

Z xy=4(3－x)(2－y)

Z yy=－2(6x－x2)

在点（3，2）处，A=－8，B=0，C=－18，B2－AC=－8×18<0,且A<0，所以函数有极大值z(3,2)=36. 在点（0，0）处，A=0，B=24，C=0，B2－AC>0，所以(0,0)点不是极值点.

在点（0，4）处，A=0，B=-24，C=0，B2－AC>0，所以(0,4)不是极值点.

在点（6，0）处，A=0，B=-24，C=0，B2－AC>0，所以(6,0)不是极值点.

在点（6，4）处，A=0，B=24，C=0，B2－AC>0，所以(6,4)不是极值点.

(4)解方程组

22

22

()22

()22

2e(1)0

2e(1)0

x y

x y

x x y

y x y

-+

-+

?--=

?

?

--=

??

得驻点P0(0,0),及P(x0,y0),其中x02+y02=1，

在点P0处有z=0，而当（x,y）≠(0,0)时，恒有z>0，

故函数z在点P0处取得极小值z=0.

再讨论函数z=u e-u

由

d

e(1)

d

u

z

u

u

-

=-

，令

d

d

z

u

=

得u=1,

当u>1时，

d

d

z

u

<

；当u<1时，

d

d

z

u

>

,

由此可知，在满足x 02+y 02=1的点（x 0,y 0）的邻域内，不论是x 2+y 2>1或x 2+y 2<1,均有

22

22()1()e e x y z x y -+-=+≤.

故函数z 在点（x 0,y 0）取得极大值z =e -

1

(5)解方程组(2)0(2)0x y z y a x y z x a y x =--=??

=--=?

? 得驻点为

12(0,0),,33a a P P ??

???

z xx =-2y , z xy =a -2x -2y , z yy =-2x .

故z 的黑塞矩阵为

222222y

a x y H a x y x ---??=??---?? 于是

122033(),().0233a

a a H P H P a a a ??--??

??==????????

--???? 易知H （P 1）不定，故P 1不是z 的极值点，

H （P 2）当a <0时正定，故此时P 2是z 的极小值点，且3,2733a a a z ??=

???,

H （P 2）当a >0时负定，故此时P 2是z 的极大值点，且3

,2733a a a z ??=

???.

5. 设2x 2+2y 2+z 2+8xz -z +8=0，确定函数z =z (x ,y )，研究其极值。 解：由已知方程分别对x ,y 求导，解得

484,281

281z x z z y

x z x y z x ?--?-==

?+-?+-

令0,0,z z x y ??==??解得

0,2x y z ==-

, 将它们代入原方程，解得

162,7x x =-=

.

从而得驻点

16(2,0),,07??- ?

??. 2222

2222

(281)(48)4828(281)428,(281)

4(281)8

.

(281)z z z x x z z x x x z x z y z x x y z x z z x z y

y

z x ??????+-++--+ ? ????????=?+-???+ ?????=??++?-+--??=?+- 在点（-2，0）处，

44

1,,0,,

1515Z A B C ====B 2-AC <0，因此函数有极小值z =1.

在点16,07

?? ???处，82828,,0,,7105105Z A B C =-=-==-B 2-AC <0，函数有极大值8

7z =-.

6. 在平面xOy 上求一点，使它到x =0,y =0及x +2y -16=0三直线距离的平方之和为最小。

解：设所求点为P (x ,y )，P 点到x =0的距离为|x |,到y =0的距离为|y |，到直线x +2y -16=0的距离为

=

距离的平方和为

222

1

(216)5z x y x y =+++-

由22(216)0542(216)0

5z

x x y x z

y x y y ??=++-=??????=++-=???

得唯一驻点816,55?? ???,因实际问题存在最小值，故点816,55?? ?

??即为所求。

7. 求旋转抛物面z =x 2+y 2与平面x +y -z =1之间的最短距离。

解：设P （x ,y ,z ）为抛物面上任一点.则点P

到平面的距离的平方为

2(1)3x y z d +--=

,即求其在条件

z = x 2+y 2下的最值。设F （x ,y ,z ）=2

22(1)()

3x y z z x y λ+--+--

解方程组22

2(1)203

2(1)2032(1)03x

y

z

x y z F x x y z F y x y z F z x y λλλ+--?

=-=??

+--?=-=??

?-+--=+=??

?=+?

得

1

2x y z ===

故所求最短距离为

1

== 8. 抛物面z =x 2+y 2被平面x +y +z =1截成一椭圆，求原点到这椭圆的最长与最短距离。

解：设椭圆上的点为P （x ,y ,z ），则

|OP |2=x 2+y 2+z 2.

因P 点在抛物面及平面上，所以约束条件为

z =x 2+y 2， x +y +z =1

设F （x ,y ,z ）= x 2+y 2+z 2+λ1(z -x 2-y 2)+λ2(x +y +z -1)

解方程组12121222220220

201x y

z F x x F y y F z z x y x y z λλλλλλ=-+=??=-+=??

=++=??=+??++=?

得

2x y z ==

= 由题意知，距离|OP |有最大值和最小值，且

(

22

222

12922x y z OP ?-=++=+= ?? .

9. 在第I 卦限内作椭球面

222

2221x y z a b c ++=

的切平面,使切平面与三坐标面所围成的四面体体积最小，求切点坐标。

解：令222

222(,,)1

x y z F x y z a b c =++-

∵

222222,,,

x y z x y z F F F a b c === ∴椭球面上任一点0000(,,)P

x y z 的切平面方程为 000

000222222()()()0.x y z x x y y z z a b c -+-+-=

即 000222 1.x x y y z z

a b c ++=

切平面在三个坐标轴上的截距分别为222

000

,,

a b c x y z ，因此切平面与三个坐标面所围的四面体的体积为

222222

000000

166a b c a b c V x y z x y z =???=

即求

222

6a b c V xyz =

在约束条件222

2221x y z a b c ++=下的最小值，也即求xyz 的最大值问题。

设

222222(,,)1x y z x y z xyz a b c λ??Φ=+++- ?

??,

解方程组2

22222

22220,20,20,1.

x

y z x yz a x xz b x xy c x y z a b c λλλ?

Φ=+=??

?Φ=+=??

?Φ=+=???++=?

得

x y z =

==

故切点为

，此时最小体积为

222

.

6

a b c

V==

*10. 设空间有n个点，坐标为

(,,)(1,2,,)

i i i

x y z i n

=

,试在xOy面上找一点，使此点与这n个点的距离的平方和最小。

解：设所求点为P（x,y,0），则此点与n个点的距离的平方和为

222222

111222

222

22

1212

222222222

121212

()()()()

()()

2()2()

()()()

n n n

n n

n n n S x x y y z x x y y z

x x y y z

nx x x x x ny y y y y

x x x y y y z z z

=-+-++-+-++

+-+-+

=-++++-+++

++++++++++++

解方程组

12

12

22()0

22()0

x n

y n

S nx x x x

S ny y y y

=-+++=

?

?=-+++=

??

得驻点

12

12

n

n

x x x

x

n

y y y

y

n

+++

?

=

??

?

+++

?=

??

又在点11

11

,

n n

i i

i i

x y

n n

==

??

?

??

∑∑

处

S xx=2n=A, S xy=0=B, S yy=2n=C

B2-AC=-4n2<0, 且A>0取得最小值.

故在点11

11

,

n n

i i

i i

x y

n n

==

??

?

??

∑∑

处，S取得最小值.

即所求点为11

11

,,0

n n

i i

i i

x y

n n

==

??

?

??

∑∑

.

11. 已知平面上分别带有质量m1,m2,m3的三个质点111222333

(,),(,),(,)

p x y p x y p x y

，问点

(,)

p x y的位置如何才能使该质点系对于p点的转动惯量为最小。

解：该质点系对于p点的转动惯量为

()()()()

22 2222

123

2233 11

()()

I m m m

x x y y x x y y x x y y??

??

=++

??

-+-

+-+---??

????123112233

123112233

2()2220

2()2220

x

y

I m m m x m x m x m x

I m m m y m y m y m y

=++---=

?

?=++---=

??

解上式得驻点

112233112233

123123

,

m x m x m x m y m y m y

p

m m m m m m

++++

??

?

++++

??

因驻点唯一，故转动惯量在

112233112233

123123

,

m x m x m x m y m y m y

p

m m m m m m

++++

??

?

++++

??点处取得最小值.

*

解：在直角坐标系下描点，从图可以看出，这些点大致接近一条直线，因此可设f(x)=ax+b，求

[]

6

2

1

()i i i u y ax b ==-+∑的最小值，即求解方程组

666

2

1116611,6.i i i i i i i i i i i a x b x y x a x b y =====?+=????+=??∑∑∑∑∑

把(x i ,y i )代入方程组，得

29834402240034026320a b a b +=??

+=?

解得 a =0.884, b =-5.894

即 y =0.884x -5.894,

当x =120时，y =100.186(千元

).

13. 求下曲线在给定点的切线和法平面方程： (1)x =a sin 2t ,y =b sin t cos t ,z =c cos 2t ,点

π4t =

;

(2)x 2+y 2+z 2=6,x +y +z =0,点M 0(1,-2,1); (3)y 2=2mx ,z 2=m -x ,点M 0(x 0,y 0,z 0).

解：2sin cos ,cos 2,2cos sin x a t t y b t z c t t '''===-

曲线在点

π

4t =

的切向量为

{}πππ,,,0,444T x y z a c ????????'''==-?? ? ? ?????????

当

π4t =

时， ,,222a b c

x y z === 切线方程为

2220a b c

x y z a c

-

--==-.

法平面方程为

0()0.

222a b c a c x y z ??????++-=--- ? ? ???????

即 220

22a c

ax cz --+=.

（2）联立方程组

22260x y z x y z ?++=?

++=?

它确定了函数y =y (x ),z =z (x )，方程组两边对x 求导，得

d d 2220d d d d 10d d y z x y z x x y z x x ?

+?+?=???

?++=?? 解得

d d ,,d d y z x z x y x y z x y z --==--

在点M 0（1，-2，1）处，00

d d 0,1

d d M M y z x x ==-

所以切向量为{1，0，-1}. 故切线方程为

121

101x y z -+-==-

法平面方程为

1(x -1)+0(y +2)-1(z -1)=0

即x -z =0.

(3)将方程y 2=2mx ,z 2=m -x 两边分别对x 求导，得

d d 22,21d d y z y

m z x x ==-

于是

d d 1,d d 2y m z x y x z ==- 曲线在点（x 0,y 0,z 0）处的切向量为

0011,,2m y z ??-????,故切线方程为 000

00,

112x x y y z z m y z ---==-

法平面方程为

00000

1()()()02m x x y y z z y z -+

---=.

14. t (0

t

在相应点的切线垂直于平面0x y +

=，

并求相应的切线和法平面方程。

解：

1cos ,sin ,2cos

2t

x t y t z '''=-==,

在t 处切向量为

{}

1cos ,sin ,2cos

2t T t t =- ,

已知平面的法向量为{n =

.

且T ∥n ,

故

2cos 1cos sin 11

t

t t

-==

解得

π2t =

，相应点的坐标为π2

?- ?.

且{T =

故切线方程为

π

1

1211x y -

+-==

法平面方程为

π

1102x y z -

++-+-=

即

π0

42x y ??

+-=+ ???.

15. 求下列曲面在给定点的切平面和法线方程： (1)z =x 2+y 2,点M 0(1,2,5);

(2)z =arctan

y

x

,点M 0(1,1,π

4);

解：（1）

00

2, 4.

22y

x

m m m m z z y x ====

故曲面在点M 0(1,2,5)的切平面方程为

z -5=2(x -1)+4(y -2).

即 2x +4y -z =5. 法线方程为

125

241x y z ---==-

（2）

00

22

22

11

,.2

2y x m m m m y x z z x y x y -

==-==++

故曲面在点M 0(1,1,π

4)的切平面方程为

z -π4=-12

(x -1)+12

(y -1).

法线方程为

π

11411122

z x y -

--==--.

16.指出曲面z =xy 上何处的法线垂直于平面x -2y +z =6,并求出该点的法线方程与切平面方程。 解：z x =y ,z y =x .

曲面法向量为{}1,,1

n y x =-

. 已知平面法向量为{

}21,2,1n =-

. 且1n ∥2n ，故有1

12y x ==--

解得x =2,y =-1,此时，z =-2.

即（2,-1,-2）处曲面的法线垂直于平面，且在该点处的法线方程为

212

121x y z -++==--.

切平面方程为

-1(x -2)+2(y +1)-(z +2)=0

即 x -2y +z -2=0.

17. 证明：螺旋线x=acost,y=asint,z=bt 的切线与z 轴形成定角。 证明：sin ,cos ,.x a t y a t z b '''=-== 螺旋线的切向量为

{sin ,cos ,}T a t a t b =-

.

与z 轴同向的单位向量为 {0,0,1}k =

两向量的夹角余弦为

cos θ=

=

为一定值。

故螺旋线的切线与z 轴形成定角。

18. 证明：曲面xyz =a 3上任一点的切平面与坐标面围成的四面体体积一定。 证明：设 F (x ,y ,z )=xyz -a 3. 因为 F x =yz ,F y =xz ,F z =xy ,

所以曲面在任一点M 0(x 0,y 0,z 0)处的切平面方程为

y 0z 0(x -x 0)+x 0z 0(y -y 0)+x 0y 0(z -z 0)=0.

切平面在x 轴，y 轴，z 轴上的截距分别为3x 0,3y 0,3z 0.因各坐标轴相互垂直，所以切平面与坐标面围成的四面体的体积为

33000000

1119132727.

3336622

V z x y z a a x y ??=?==?=?????

它为一定值。