不等式证明与最值问题
不等式的最大值与最小值计算公式
不等式的最大值与最小值计算公式不等式在数学中可是个相当重要的家伙，尤其是在求解最大值和最小值的时候。
那咱就好好唠唠不等式的最大值与最小值计算公式。
先来说说啥是不等式。
想象一下，你和小伙伴比赛跑步，你规定自己跑的距离不能超过500 米，这就是一个不等式。
用数学的语言来说，就是比如x ≤ 500 。
那咋求不等式的最大值和最小值呢？这可得有点技巧。
咱先从简单的线性不等式说起。
比如说，有个不等式2x + 3y ≤ 12 ，同时 x 和 y 都得是大于等于 0的整数。
这时候，咱们可以通过画图来解决。
把这个不等式看成一个直线方程 2x + 3y = 12 ，然后在坐标系里画出这条直线。
接着，因为 x和 y 都得大于等于 0 ，所以咱们只看第一象限的部分。
然后你就会发现，满足这个不等式的点就在直线下方和坐标轴围成的区域里。
再举个例子，我曾经教过一个学生小明，他一开始对这种问题简直是一头雾水。
我就给他举了个生活中的例子。
比如说，他有100 块钱，买苹果每个 5 块，买香蕉每根 3 块，而且他买的苹果和香蕉加起来的钱不能超过 100 块。
那他能怎么买才能让买的水果数量最多或者最少呢？小明听了这个例子，眼睛一下子亮了，开始自己琢磨起来。
咱们接着说，如果是二次不等式呢？像 x² + 2x - 3 ≤ 0 。
这时候，咱们得先把它变成 (x + 3)(x - 1) ≤ 0 ，然后求出它的零点 -3 和 1 ，再根据二次函数的图像来判断不等式的解集。
还有一种情况，就是多个不等式组成的系统。
比如说，有x + y ≤ 5 ，x - y ≥ 1 。
这时候，咱们就得把每个不等式都按照前面说的方法处理，然后找出它们的公共区域，这个公共区域里的点就是同时满足这些不等式的解。
总之，求不等式的最大值和最小值，就像是在一个迷宫里找出口，得有耐心，有方法，多尝试。
就像小明，一开始觉得难，后来掌握了方法，自己也能解决不少问题啦。
所以啊，同学们，别害怕不等式，多练练，多想想，你就能轻松搞定它们，求出最大值和最小值，在数学的世界里畅游无阻！。
基本不等式最大值最小值公式
基本不等式最大值最小值公式不等式是数学中的一种基本概念。
在实际生活和工作中，我们会遇到各种各样的不等式问题。
投资的收益率大于某个固定值，或者某个物品的价格必须低于定价等等。
为了解决这些问题，我们需要用到不等式的理论和技巧。
不等式的最大值和最小值是非常重要的概念。
其指的是在给定条件下，不等式所能达到的最大和最小的值。
基本不等式就是一种常见的最大最小值公式。
基本不等式是指对于任意的正实数 a_1, a_2, ..., a_n，有如下的不等式关系：\frac{a_1+a_2+...+a_n}{n}\geq \sqrt[n]{a_1a_2\cdot\cdot\cdot a_n}\geq\frac{n}{\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\cdot\cdot\cdot+\frac{1}{a_n}}左边的式子称为算术平均数和几何平均数不等式，右边的式子称为调和平均数不等式。
这两个不等式可以统称为基本不等式。
基本不等式的原理是利用平均值不等式和相应的积分不等式证明的。
平均值不等式指的是对于一组数，算术平均数大于等于几何平均数，大于等于调和平均数。
即：\frac{a_1+a_2+\cdot\cdot\cdot+a_n}{n}\geq\sqrt[n]{a_1a_2\cdot\cdot\cdota_n}\geq\frac{n}{\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\cdot\cdot\cdot+\frac{1}{a_n}}这是数学中的一个基本定理，其应用范围非常广泛。
而基本不等式是平均值不等式的一种特例，其应用范围也同样广泛。
下面我们来看一下基本不等式的具体应用。
基本不等式广泛应用于数学竞赛等数学问题的解决中。
在一些竞赛题目中，基本不等式常常被用来证明一些不等式关系，或者推导最大最小值等问题。
基本不等式还可以应用于物理、化学等领域的一些问题。
在物理和化学中，我们也经常会遇到一些关于最大最小值的问题。
应用基本不等式,破解三角形最值
２０２４年３月上半月㊀学习指导㊀㊀㊀㊀应用基本不等式,破解三角形最值◉河南省固始县高级中学㊀沈玉洁㊀㊀利用基本不等式破解三角形中的角㊁边㊁周长㊁面积以及相应代数式等的最值及其综合应用问题,一直是高考命题中的一个重点与难点,交汇点多,综合性强,难度较大,灵活多样,备受各方关注．本文中结合实例,合理通过基本不等式的巧妙放缩,得以确定相应的最值．１角的最值问题利用基本不等式求解三角形中角的最值问题,是高考的一个考点．解决这类问题的关键是,利用正㊁余弦定理及基本不等式求出三角形中相应内角的某一三角函数值的取值范围或进一步利用三角函数的单调性求出角的最值等．例１㊀在әA B C 中,已知０＜A ＜π２,０＜B ＜π２,２s i n A ＝c o s (A ＋B )s i n B ,则t a n A 的最大值为．解析:由２s i n A ＝c o s (A ＋B )s i n B ＝－c o s C s i n B 及正弦定理和余弦定理,可得２a ＝－a ２＋b ２－c２２a bˑb ,化简可得５a ２＋b ２＝c ２．而t a n ２A ＝s i n ２A c o s ２A ＝１c o s ２A－１,又A 为锐角,可得c o s A ＞０,t a n A ＞０,因此只要求出c o s A 的最小值,就可求得t a n A 的最大值．结合基本不等式,利用余弦定理有c o s A ＝b ２＋c ２－a ２２b c ＝３b ２＋２c ２５b c ȡ２３b ２ˑ２c ２５b c ＝２６５,当且仅当３b ２＝２c２,即c ＝６２b 时等号成立,所以t a n ２A ＝１c o s ２A －１ɤ１(２６５)２－１＝１２４,解得t a n A ɤ６１２,则t a n A 的最大值为６１２．点评:解决本题的关键是利用正弦定理㊁余弦定理化角为边的关系式,并结合基本不等式与余弦定理求出角A 的余弦值的取值范围,然后利用三角关系式的变形与转化,以及不等式的性质来确定角A 的正切值的平方的最值,进而获解．２边的最值问题求解三角形中边(或对应的线段长度等)的最值问题是高考的一个基本考点,解决这类问题的关键是利用余弦定理表示出所要求的边,然后利用基本不等式或三角形的三边关系等条件求出边的最值．例２㊀在әA B C 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,已知３a c o s C －a s i n C ＝３b ．(１)求角A 的大小;(２)若D 为B C 的中点,且A D ＝２,求a 的最大值．解析:(１)由３a c o s C －a s i n C ＝３b ,结合正弦定理,可得３s i n A c o s C －s i n A s i n C ＝３s i n B ＝３s i n (A ＋C ),整理可得－s i n A s i n C ＝３c o s A s i n C ,即t a n A ＝－３．又A ɪ(０,π),所以A ＝２π３．(２)由于D 为B C 的中点,可得２A D ң＝A B ң＋A C ң,式子两边同时平方,有４A D ң２＝AB ң２＋２A Bң A C ң＋A C ң２,又A D ＝２,所以１６＝c ２＋b ２＋２b c c o s A ＝c ２＋b ２－b c ,即b ２＋c ２＝１６＋b c ．而结合余弦定理,可得a ２＝b ２＋c ２－２b c c o s A ＝b ２＋c ２＋b c ＝１６＋２b c ．由基本不等式,可得２b c ɤb ２＋c ２＝１６＋b c ,解得b c ɤ１６,当且仅当b ＝c 时等号成立,所以２b c ＋１６ɤ４８,即a ２＝１６＋２b c ɤ４８,解得a ɤ４３,当且仅当b ＝c ,即әA B C为等腰三角形时,等号成立．所以a 的最大值为４３．点评:利用平面向量的线性关系的两边平方处理以及余弦定理的应用,用b ２＋c ２及b c 的线性关系式表示出a ２是解决本题的关键,同时注意利用基本不等式来合理放缩b ２＋c ２与b c 之间的不等关系,为确定边的最值奠定基础．３三角形周长的最值问题三角形周长的最值问题是高考的一个热点与常见题型,这类问题一般可以求出一条边(或已知一边),然后利用余弦定理表示出另两条边满足的关系式,最后利用基本不等式求出周长的最值．例３㊀在әA B C 中,角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c ,已知c o s B a b ＋c o s C a c ＋２c o s Ab c＝０．５４学习指导２０２４年３月上半月㊀㊀㊀(１)求A ;(２)若a ＝２３,求әA B C 周长的取值范围．解析:(１)由c o s B a b ＋c o s C a c ＋２c o s Ab c＝０及正弦定理,可得c o s B s i n A s i n B ＋c o s C s i n A s i n C ＋２c o s A s i n B s i n C＝０．整理得s i n C c o s B ＋s i n B c o s C ＋２s i n A c o s A ＝０,即s i n (B ＋C )＝－２s i n A c o s A ．在әA B C 中,s i n (B ＋C )＝s i n A ʂ０,所以可得c o s A ＝－１２,而A ɪ(０,π),可得A ＝２π３．(２)由(１)及余弦定理可得a ２＝b ２＋c ２－２b c c o s A ＝(b ＋c )２－２b c ＋b c ＝(b ＋c )２－b c ,合理变形并结合基本不等式,可得(b ＋c )２＝a ２＋b c ɤa ２＋(b ＋c２)２,当且仅当b ＝c 时等号成立,所以(b ＋c )２ɤ４３a ２＝４３ˑ(２３)２＝１６,解得b ＋c ɤ４．又利用三角形的基本性质有b ＋c ＞a ＝２３,即b ＋c ɪ(２３,４]．所以әA B C 周长的取值范围为(４３,４＋２３]．点评:涉及三角形周长的最值问题,经常在已知或已求得其中一边的基础上,通过另外两边之和的最值转化来综合,而这时往往需要借助基本不等式来合理放缩与应用,同时也离不开三角形的基本性质等．４三角形面积的最值问题三角形面积的最值问题一直是高考命题的一个热点,解决这类问题的关键是找出两边(这两边的夹角往往已知或可求)之积满足的不等关系式,借助基本不等式合理放缩,再利用三角形面积公式解决问题．例４㊀在әA B C 中,D ,E 分别是线段A C ,B D 的中点,øB A C ＝１２０ʎ,A E ＝４,则әA B C 面积的最大值为．(３２３)解析:略．点评:解决本题的关键是利用余弦定理,或利用平面向量中的线性运算,或利用坐标运算等表示出b ,c 满足的关系式,然后利用基本不等式求出b c 满足的不等关系,最后利用三角形面积公式解决问题．５涉及角或边的代数式的最值问题关于三角形中的边长或角的代数式的最值问题是新课标高考的一个新趋向,创新新颖,变化多端,解决这类问题的关键是消元 消边或消角,对元素进行统一化处理,然后利用基本不等式求出最值即可．例５㊀记әA B C 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知c o s A １＋s i n A ＝s i n ２B１＋c o s ２B．(１)若C ＝２π３,求B ;(２)求a ２＋b ２c２的最小值．解析:(１)利用二倍角公式,可得c o s A１＋s i n A＝s i n ２B １＋c o s ２B ＝２s i n B c o s B ２c o s ２B ＝s i n Bc o s B ,则有s i n B ＝c o s A c o s B －s i n A s i n B ＝c o s (A ＋B )＝－c o s C ＝－c o s ２π３＝１２,而０＜B ＜π３,所以B ＝π６．(２)由(１)可得－c o s C ＝s i n B ＞０,则知c o s C ＜０,则有C ɪ(π２,π),于是有B ＝C －π２,可得s i n A ＝s i n (B ＋C )＝s i n (２C －π２)＝－c o s ２C ．结合基本不等式,利用正弦定理可得㊀㊀㊀㊀a ２＋b ２c ２＝s i n ２A ＋s i n ２Bs i n ２C＝c o s ２２C ＋c o s ２C s i n ２C＝(１－２s i n ２C )２＋(１－s i n ２C )s i n ２C＝４s i n ４C －５s i n ２C ＋２s i n ２C＝４s i n ２C ＋２s i n ２C－５ȡ２４s i n ２C ˑ２s i n ２C －５＝４２－５,当且仅当４s i n ２C ＝２s i n ２C ,即s i n C ＝１４２时,等号成立．所以a ２＋b ２c ２的最小值为４２－５．点评:解决本题中涉及边的代数式的最值问题的关键在于利用正弦定理化边为角,结合诱导公式与二倍角公式的转化,综合三角关系式的恒等变形,利用基本不等式来确定相应的最值问题．当然,除了巧妙利用基本不等式的放缩来确定三角形中的角㊁边㊁周长㊁面积以及相应的代数式等的最值及其综合应用,还可以利用平面几何图形的直观性质㊁三角函数的有界性㊁函数与方程的基本性质以及导数等相关知识来解决．而这当中基本不等式的放缩与应用是最简单有效的一种方法,也是最常见的,要结合问题的实质加以合理转化,巧妙构建 一正㊁二定㊁三相等 的条件,为利用基本不等式来处理三角形最值问题提供条件．Z６４。
不等式-基本不等式辅导讲义(含详细解答)
例题1证明 ∵x ＞0，y ＞0，z ＞0，∴y x ＋z x ≥2 yz x ＞0，x y ＋z y ≥2 xzy ＞0， x z ＋y z ≥2 xyz ＞0， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫y x ＋z x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ＋z y ⎝ ⎛⎭⎪⎫x z ＋y z ≥ 8 yz ·xz ·xyxyz＝8.当且仅当x ＝y ＝z 时等号成立．训练1解：∵x ，y 都是正数 ∴yx ＞0，x y ＞0，x 2＞0，y 2＞0，x 3＞0，y 3＞0(1)xyy x x y y x ⋅≥+2＝2即x y y x +≥2.(2)x ＋y ≥2xy ＞0 x 2＋y 2≥222y x ＞0 x 3＋y 3≥233y x ＞0∴（x ＋y ）（x 2＋y 2）（x 3＋y 3）≥2xy ·222y x ·233y x ＝８x 3y 3即（x ＋y ）（x 2＋y 2）（x 3＋y 3）≥８x 3y 3.例题2解析 (1)由x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0，得z ＝x 2－3xy ＋4y 2， ∴xy z ＝xy x 2－3xy ＋4y 2＝1x y ＋4yx －3. 又x ，y ，z 为正实数，∴x y ＋4yx ≥4， 当且仅当x ＝2y 时取等号，此时z ＝2y 2. ∴2x ＋1y －2z ＝22y ＋1y －22y 2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1y 2＋2y＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1y －12＋1，当1y ＝1，即y ＝1时，上式有最大值1.(2)∵x ＞0，y ＞0，∴x ＋y ＝(x ＋y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2y ＝ 4＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ＋y x ≥4＋4x y ·yx ＝8.当且仅当x y ＝yx ，即x ＝y ＝4时取等号． 答案 (1)B (2)D训练2解析 (1)由x ＋3y ＝5xy 可得15y ＋35x ＝1，∴3x ＋4y ＝(3x ＋4y )⎝ ⎛⎭⎪⎫15y ＋35x ＝95＋45＋3x 5y ＋12y 5x ≥135＋125＝5(当且仅当3x 5y ＝12y 5x ，即x＝1，y＝12时，等号成立)，∴3x＋4y的最小值是5.(2)由x＞0，y＞0，得4x2＋9y2＋3xy≥2×(2x)×(3y)＋3xy(当且仅当2x＝3y时等号成立)，∴12xy＋3xy≤30，即xy≤2，∴xy的最大值为2.答案(1)C(2)C解析由32＋x＋32＋y＝1可化为xy＝8＋x＋y，∵x，y均为正实数，∴xy＝8＋x＋y≥8＋2xy(当且仅当x＝y时等号成立)，即xy－2xy－8≥0，解得xy≥4，即xy≥16，故xy的最小值为16.答案 D课堂练习1、解析因为ab＞0，即ba＞0，ab＞0，所以ba＋ab≥2ba×ab＝2.答案 C2、解析由题意1a＋1b＝a＋ba＋a＋bb＝2＋ba＋ab≥2＋2ba×ab＝4，当且仅当ba＝ab，即a＝b＝12时，取等号，所以最小值为4.答案 C3、解析y＝x－4＋9x＋1＝x＋1＋9x＋1－5，由x＞－1，得x＋1＞0，9x＋1＞0，所以由基本不等式得y＝x＋1＋9x＋1－5≥2(x＋1)×9x＋1－5＝1，当且仅当x＋1＝9x＋1，即(x＋1)2＝9，所以x＋1＝3，即x＝2时取等号，所以a＝2，b＝1，a＋b＝3.答案 C4、解析(1＋2a)(1＋b)＝5＋2a＋b≥5＋22ab＝9.当且仅当2a＝b，即a＝1，b ＝2时取等号．答案9解析 ∵x ＞0，y ＞0且1＝x 3＋y4≥2xy 12，∴xy ≤3.当且仅当x 3＝y 4，即当x ＝32，y＝2时取等号． 答案 3解析 ∵y ＝a 1－x 恒过点A (1,1)，又∵A 在直线上，∴m ＋n ＝1.而1m ＋1n ＝m ＋n m ＋m ＋n n ＝2＋n m ＋m n ≥2＋2＝4，当且仅当m ＝n ＝12时，取“＝”，∴1m ＋1n 的最小值为4. 答案 4课后作业1、答案 C2、答案 A解析 由题意知，a <0，b a ＝－56，－1a ＝16，∴a ＝－6，b ＝5.∴x 2－5x ＋6<0的解是(2,3)．3、答案 C解析 作出可行域如图所示 .由于2x ＋y ＝40、x ＋2y ＝50的斜率分别为－2、－12，而3x ＋2y ＝0的斜率为－32，故线性目标函数的倾斜角大于2x ＋y ＝40的倾斜角而小于x ＋2y ＝50的倾斜角，由图知，3x ＋2y ＝z 经过点A (10,20)时，z 有最大值，z 的最大值为70.4、答案 A解析 x －1x ≥2⇔x －1x －2≥0⇔－x －1x≥0⇔x ＋1x ≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x (x ＋1)≤0x ≠0⇔－1≤x <0. 5、答案 A解析 ∵ab －(a ＋b )＝1，ab ≤(a ＋b 2)2，∴(a ＋b 2)2－(a ＋b )≥1，它是关于a ＋b 的一元二次不等式，解得a ＋b ≥2(2＋1)或a ＋b ≤2(1－2)(舍去)． ∴a ＋b 有最小值2(2＋1)．又∵ab －(a ＋b )＝1，a ＋b ≥2ab ，∴ab －2ab ≥1，它是关于ab 的一元二次不等式， 解得ab ≥2＋1，或ab ≤1－2(舍去)， ∴ab ≥3＋22，即ab 有最小值3＋2 2.6、答案 A 解析不等式表示的平面区域如图所示阴影部分，当直线ax ＋by ＝z (a >0，b >0)过直线x －y ＋2＝0与直线3x －y －6＝0的交点(4,6)时，目标函数z ＝ax ＋by (a >0，b >0)取得最大值12，即4a ＋6b ＝12，即2a ＋3b ＝6，而2a ＋3b ＝(2a ＋3b )·2a ＋3b 6＝136＋(b a ＋a b )≥136＋2＝256(a ＝b＝65时取等号)．7、答案 [－1,0]解析 由f (x )＝2x 2－2ax －a －1的定义域为R .可知2x 2－2ax －a ≥1恒成立，即x 2－2ax －a ≥0恒成立，则Δ＝4a 2＋4a ≤0，解得－1≤a ≤0.8答案 3解析 由x －2y ＋3z ＝0，得y ＝x ＋3z 2，将其代入y 2xz，得x 2＋9z 2＋6xz 4xz ≥6xz ＋6xz 4xz ＝3，当且仅当x ＝3z 时取“＝”，∴y 2xz的最小值为3.。
运用基本不等式求最值需注意的两个问题
基本不等式a +b 2≥ab (a ,b ∈R +)是高中数学中的重点知识，其应用范围较广,尤其在求最值时,运用基本不等式能使问题快速获解.而在运用基本不等式求最值时，我们需要注意以下两个问题.一、把握应用基本不等式的条件运用基本不等式求最值需把握三个条件：一正、二定、三相等.“一正”是指两个数或两个式子都是大于0的；“二定”是指两个数或两个式子的积或和为定值；“三相等”指在两个数或两个式子相等时不等式可取等号.运用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可.例1.求函数y =x 2+1x 2+2的最值.解析：很多同学在解题时会直接利用基本不等式进行求解：y =x 2+2+1x 2+2-2≥2-2=0.出错的原因在于，忽略了“三相等”这一条件，很显然x 2+2≠1x 2+2，导致得到错误的答案.解答本题，我们需通过换元，令t =x 2+2(t ≥2),则y =t +1t-2,根据对勾函数y =t +1t -2在[2,+∞)上为增函数，得出y =x 2+1x 2+2的值域为[12,+∞).很多同学在运用基本不等式时往往会注意到“一正”“二定”两个条件，却忽略“三相等”这个条件.大家在解题时要警惕，避免出现这样的错误.二、灵活运用配凑技巧运用基本不等式求最值，关键是配凑出两式的和或积的定值.如何配凑呢？常见的配凑技巧有拆项、裂项、添项等，下面我们结合实例来说明.1.拆项在拆项时，我们要学会将某些项拆为两项之和、差、积的形式，以便配凑出两式的和或积.常见的拆项形式有：a +b =a 2+a 2+b 、x 2+m x =x +m x 等.例2.当x >0时，试求y =16x +9x2的最小值.分析：可将目标式中的16x 拆为8x +8x ，这样便构造出三项8x 、8x 、9x2积的定值，便可利用基本不等式求得最值.解:因为x >0,所以y =8x +8x +9x 2≥=1293,当且仅当8x =9x 2，即x =时，y 的最小值为1293.2.裂项裂项是指将某一项分裂为两项、三项之和或者差的形式，然后将各式重新组合，配凑出两式的和或积，运用基本不等式求得最值.裂项常用于求分式的最值.例3.已知x >-1,求函数y =x 2+7x +10x +1的最小值.分析：要运用基本不等式求得y 的最小值，需先将函数式中的分式裂项，配凑出分母x +1，才可利用基本不等式求得最值.解：∵x >-1,∴y =x 2+7x +10x +1=[]()x +1+4[]()x +1+1x +1=()x +1+4x +1+5≥+5=9,当且仅当x +1=4x +1,即x =1时，等号成立,∴y 的最小值为9.3.添项添项，即通过恒等变换，在代数式中添加某些项，从而配凑出两式的和或者积.常见的添项形式有：a +1a +m =()a +m +1a +m-m 、a =a -b +b 等.例4.已知a >1,b >1,且ab -()a +b =1，求a +b 的最小值.分析：因为ab -()a +b =1，所以()a -1()b -1=2，将其与目标式对比可发现，只需通过添项，构造出a -1、b -1，便可运用基本不等式求得问题的答案.解:a +b =()a -1+()b -1+2≥2()a -1()b -1+2=22+2，当且仅当a -1=b -1，即a =b =1+2时，等号成立，因此a +b 的最小值为22+2.虽然，基本不等式法是一种常用的解题方法，也是大家比较熟悉的方法，但是同学们在解题时一定要注意这两个问题，只有把握了应用基本不等式的条件，学会灵活运用配凑的技巧，才能顺利求得问题的答案.（作者单位：江苏省海门证大中学）思路探寻49。
巧用均值不等式及其条件求最值
巧用均值不等式及其条件求最值(南京师范大学数学与计算机科学学院 张逸洁)均值不等式是高中阶段初等数学中最重要的基本不等式之一，在许多问题的解决中往往能发挥出它的独特功能，对于它及它各种变式的掌握和熟练运用也是求解很多与不等式有关的最值问题的重要方法。
本文将归纳介绍均值不等式在最值问题中的一些巧妙运用，希望能够开拓学生的思维，对高中生不等式的学习有所帮助。
一、均值不等式1．22,2,a b R ab ab ∈+≥、（当且仅当a=b 时取“=”）。
推论：,a b R a b +∈+≥、，（当且仅当a=b 时取“=”）。
2．变形，对a b R ∈、积向平方和转化：222a b a b +⋅≤。
对a b R ∈、积向和转化：2()2a b a b +⋅≤。
注：这里有“最值定理”： 若,,,x y R x y s xy p +⋅∈+==2()2x y xy +≥⇔≤则x+y 运用此定理求最值时必须具备“一正，二定，三相等”这三个条件。
3．333,3a b c Ra b c abc +∈++≥、、，（当且仅当a=b=c 时取“=”）推论：,a b c R a b c +∈++≥、、，（当且仅当a=b=c 时取“=”）4．变形：对3,()3a b c a b c R abc +++∈≤、、 方法小结：在运用均值不等式求正数和的最小值时，凑积为定值；求正数积的最大值时，凑和为定值。
二、巧用均值不等式求解最值问题在求解函数最值问题的过程中，我们通常运用不等式，函数单调性，数形结合等方法分析解答。
本文着重介绍均值不等式在求解此类问题中的妙用，旨在帮助读者系统归纳，拓展思维，灵活解题。
1． 连用例1：已知3222160,a b a b a b ab b-+>>-求的最小值。
解：32222222222161616166416()2a b a b a a a a b a b ab b ab b b a b a -+=+=+≥+=+≥+----（）216.64a b a ⎧⎧=⎪⎪∴⎨⎨==⎪⎪⎩⎩2b=a-b 当且仅当即a分析：有时利用均值不等式求最值时只用一次并不能解决问题，通常需要连用来巧求最值。
基本不等式最值问题
基本不等式最值问题在数学中，基本不等式是解决最值问题的常用工具。
最值问题可以简单理解为在一定条件下，求一个函数的最大值或最小值。
而基本不等式是通过确定函数的上界或下界，从而确定函数的最值。
本文将介绍基本不等式的概念、应用以及解决最值问题的步骤。
一、基本不等式的概念基本不等式是指一些常见的不等式模式，通过这些模式，可以直接得到函数的上界或下界，从而确定函数的最值。
常见的基本不等式有以下几种：1. 平方不等式：对于任意实数a，有a^2≥0，即任意实数的平方都大于等于0。
这个不等式模式可以用于求解二次函数的最值问题。
2. 三角不等式：对于任意实数a和b，有|a+b|≤|a|+|b|，即两个数的绝对值之和不大于这两个数的绝对值之和。
这个不等式模式可以用于求解绝对值函数的最值问题。
3. 柯西-施瓦茨不等式：对于任意n个实数a1、a2、...、an和b1、b2、...、bn，有|(a1b1+a2b2+...+anbn)|≤√(a1^2+a2^2+...+an^2)√(b1^2+b2^2+ ...+bn^2)，即两个向量的内积的绝对值不大于它们的模的乘积。
这个不等式模式可以用于求解向量函数的最值问题。
二、解决最值问题的步骤解决最值问题的一般步骤如下：1. 确定问题：明确要求求解的最值是函数的最大值还是最小值。
2. 建立模型：根据题目中的条件，建立函数模型。
根据问题的特点，可以选择适合的基本不等式。
3. 求解过程：根据建立的模型，利用基本不等式求解函数的上界或下界。
具体的求解过程要根据问题的具体条件进行分析和推导。
4. 检验答案：将求解得到的值代入原函数，验证其是否为最大值或最小值。
同时，还要检查是否存在其他的极值点。
三、应用举例下面通过两个具体的例子来说明基本不等式的应用。
例1：求函数y=x^2+2x+3在定义域内的最小值。
解：首先，我们可以求出函数的导数为y'=2x+2，令其等于0，得到x=-1。
由于这是一个二次函数，且a>0，所以函数在x=-1处取得最小值。
基本不等式的应用——求最值
4
4
2
ab
4
42
4
25 .
a b
2
4
2
2
故
a
1
2
b
1
2
的最小值是
25
a b
2
错解：
a
1 a
2
b
1 2 b
2
a
1 a
2
2
b
1 b
2
4
4
8
，故
a
1
2
b
1 2
a b
的最小值是8．错误的原因是，
在两次用到重要不等式当等号成立时，有 a 1 和 b 1，但在
注意
运用均值定理求最值，主要是揭示已知 条件与目标不等式的运算结构特征，找 出差异，并将其与基本不等式的运算结 构进行类比，选择相应的基本不等式求 解 .基础是检查条件“一正二定三等四同 时”，关键是“配定”!!!
配式的目的是： 创设一个应用基本不等式的情境! 创设其等号成立的条件!
配式的常用方法是： 拆项、组合、添加系数及常值替换等!!!
例4（1）求
6 x2 1 y 4
的最大值．
设a b 0，求a2 16 的最小值. 思 考
b(a b)
a2
16 b(a
b)
a2
[b
16 (a
b) ]2
2
a2 64 16(b a b且a2 =8时原式为16) a2
(当且仅当a 2 2,b 2时，原式取最小值16)
a 0,
ab a b 2 2
4、 a b a2 b2 即 a b 2 a2 b2
2
2
5、 a b c 33 abc a,b,c R*
3.2均值不等式—最值问题
a b 2 ab 2 p
（当且仅当a=b时取等号）
s ab （2）若a+b=S(a,b∈R+),则 ab 4 2 （当且仅当a=b时取等号）
a bmin 2 p
2
2
2
abmax
s 4
例题：求函数
y x 3 2x 0 x 1
s 4
求最值要注意三点：
⑴正数⑵定值⑶检验等号是否成立
练习：求函数
以及此时x的值。
- 2 x2 + x - 3 f ( x) = , ( x > 0) 的最大值， x
1. 均值定理： ab ab 如果 a, b R，那么 当且仅当 a b 时，式中等号成立 2. 定理：(重要不等式）
最值定理： （1）若a,b∈R+且ab=p（p为常数）则
a b 2 ab 2 p
（当且仅当a=b时取等号）
s ab （2）若a+b=S(a,b∈R+),则 ab 2 4 （当且仅当a=b时取等号）
a bmin 2 p
2
2
2
abmax
的最大值为________________.
例题、(1)一个矩形的面积为100 m ，问：这个矩形的 长、宽各为多少时，矩形的周长最短？最短周长是多少？ (2)已知矩形的周长为36 m.问这个矩形的 长、宽各为多少时，矩形的面积最大？最大面积是多少？
2
小结：两个正数的积为常数时，它们的和有最小值； 两个正数的和为常数时，它们的积有最大值。
若a,b∈R，那么 a2+b2≥2ab
（当且仅当a=b时，取“=”号）
2
3.2 均值不等式的应用— 最值问题
不等式的最值应用(附答案)
不等式最值的应用一．选择题（共14小题）1．设二次函数f（x）=ax2﹣4x+c的值域为[0，+∞），则的最大值为（）A．B．C．D．2．设a＞2，p=a+，q=+4a﹣2，则（）A．p＞q B．p＜q C．p＞q与p=q都有可能D．p＞q与p＜q都有可能3．设x，y∈R+且x+2y=4，则lgx+lgy的最大值是（）A．﹣lg2 B．lg2 C．2lg2 D．24．学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传，现让你设计一张竖向张贴的海报，要求版心面积为128 dm2，上、下两边各空2 dm，左右两边各空1 dm，张贴的长与宽尺寸为（）才能使四周空白面积最小（）A．20dm，10dm B．12dm，9dm C．10dm，8dm D．8dm，5dm5．设x、y满足约束条件若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为12，则的最小值为（）A．2 B．C．4 D．6．（2005•重庆）若x，y是正数，则+的最小值是（）A．3 B．C．4 D．7．己知x＞0，y＞0，且x+y=3，则xy的最大值是（）A．2 B．C．3 D．48．已知a2+b2=4，b2+c2=3，c2+a2=3（a，b，c∈R），则ab+bc+ca的最小值为（）A．﹣5 B．﹣2 C．D．9．若（a∈R，a≠0），则M的取值范围为（）A．（﹣∞，﹣4]∪[4+∞）B．（﹣∞，﹣4] C．[4+∞）D．[﹣4，4]10．已知a，b，c，是正实数，且a+b+c=1，则的最小值为（）11．已知，则m，n之间的大小关系是（）A．m＞n B．m＜n C．m=n D．m≤n12．已知正实数a、b满足a+b=1，则的最大值为（）A．B．C．D．13．过定点P（2，1）的直线l交x轴正半轴于A，交y轴正半轴于B，O为坐标原点，则△OAB周长的最小值为（）A．8 B．10 C．12 D．14．设x为实数，P=e x+e﹣x，Q=（sinx+cosx）2，则P、Q之间的大小关系是（）A．P≥Q B．P≤Q C．P＞Q D．P＜Q二．填空题（共12小题）15．设x，y满足约束条件，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的值是最大值为12，则的最小值为_________．16．（2011•重庆）若实数a，b，c满足2a+2b=2a+b，2a+2b+2c=2a+b+c，则c的最大值是_________．17．（2009•湖南）若x∈（0，）则2tanx+tan（﹣x）的最小值为_________．18．已知a＞0，b＞0，则的最小值是_________．19．在等式中填上两个自然数__________________，使它们的和最小．20．已知函数的图象过点A（3，7），则此函的最小值是_________．21．若x＞2，则的最小值为_________．22．已知点P（m，n）是位于第一象限，是在直线x+y﹣1=0上，则使不等式恒成立的实数a的取值范围是_________23．设x≥2，则函数的最小值是_________．24．若x＞0、y＞0，且2x+y=1，则x•y的最大值为_________．25．给出下列命题：（1）函数y=x+的最小值是2；（2）函数y=x+2﹣3的最小值是﹣2；（3）函数的最小值是；（4）函数y=在（﹣∞，0）∪（0，+∞）内递减；（5）幂函数y=x3为奇函数且在（﹣∞，0）内单调递增；其中真命题的序号有：_________（把你认为正确的命题的序号都填上）26．（2010•辽宁）已知数列{a n}满足a1=33，a n+1﹣a n=2n，则的最小值为_________．三．解答题（共4小题）27．求函数的值域：．28．已知函数．（1）当时，判断并证明函数f（x）在[1，+∞）上的单调性；（2）如果对任意x∈[1，+∞），有f（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围．29．某地需要修建一条大型输油管道通过240公里宽的沙漠地带，该段输油管道两端的输油站已建好，余下工程只需要在该段两端已建好的输油站之间铺设输油管道和等距离修建增压站（又称泵站）．经预算，修建一个增压站的工程费用为400万元，铺设距离为x公里的相邻两增压站之间的输油管道费用为x2+x万元．设余下工程的总费用为y万元．（1）试将y表示成关于x的函数；（2）需要修建多少个增压站才能使y最小，其最小值为多少万元？30．某公司仓库A存有货物12吨，仓库B存有货物8吨，现按7吨、8吨和5吨把货物分别调运给甲、乙、丙，从仓库A运货物给甲、乙、丙每吨货物的运费分别为8元、6元、9元；从仓库B运货物到商店甲、乙、丙，每吨货物的运费分别为3元、4元、5元．问应如何安排调运方案，才能得到从两个仓库货物到三个商店的总运费最少？答案与评分标准一．选择题（共14小题）1．设二次函数f（x）=ax2﹣4x+c的值域为[0，+∞），则的最大值为（）A．B．C．D．考点：二次函数的性质；基本不等式在最值问题中的应用。
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不等式证明与最值问题（一）均值不等式的运用(1)均值不等式的运用：a² + b²≥ 2ab；当a＞0，b＞0时，a+b ≥2√ab附：完全的均值不等式：√[(a²+ b²)/2] ≥(a+b)/2 ≥√ab ≥2/(1/a+1/b)（二次幂平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均）注意：利用均值不等式，注意“一正二定三相等”；注意“1”的添加；注意拆项补项；可以先假设成立，然后逆推，看逆推出的式子是否成立；注意代换。
（1）注意“1”的代换：已知x＞0，y＞0，满足4/x+16/y=1。
求x+y的最小值解：x+y=(x+y)( 4/x+16/y)=20+4y/x+16x/y≥20+2√[(4y/x)·(16x/y)]=36注意：千万不可：1=4/x+16/y≥16/√(xy)，√(xy)≥16,故：x+y≥2√(xy)＝32 归纳：x,y a,b都是正数且(a/x)+(b/y)=1,求x+y的最小值。
解：因为(a/x)+(b/y)=1故：x+y=(x+y)[ (a/x)+(b/y)]=a+b+xb/y+ya/x≥a+b+2√(xb/y·ya/x)=a+b+2√(ab)练习：1、已知x,y＞0,1/x+2/y=1，求x+y的最小值。
（答案：3＋2√2）2、已知x，y＞0，1/x+9/y=1，求x+y的最小值。
（答案：16）（2）1、已知a＞0，b＞0，求证：(1/a+1/b) (1/a²+1/b²)(a³+b³)≥8解：(1/a+1/b) (1/a²+1/b²)(a³+b³)≥2√[1/(ab)]·2√[1/(a²b²)]·2√(a³b³)=82、已知a+b+c=1,a,b,c为不全相等的实数，求证：a²+b²+c²＞1/3解：a²+b²≥2ab, a²+ c²≥2ac, b²+c²≥2bc因为a,b,c为不全相等的实数，故：上面三式不能同时取等号。
故：2(a²+b²+c²)≥2ab+2bc+2ac故：3(a²+b²+c²)≥(a+b+c) ²=1故：a²+b²+c²＞1/3练习：1、已知x＞0，y＞0，3x+2y=12，求lgx+lgy的最大值。
（答案：lg6）2、若x，y＞0,且2x²+y²/3=8，求x√(6+2y²)的最大值.[答案：9√3/2,提示：先把x√(6+2y²)平方]（3）a＞0，b＞0，c＞0，求证：(a+b)/c+(a+c)/b+(b+c)/a≥6解：(a+b)/c+(a+c)/b+(b+c)/a=a/c+b/c+a/b+c/b+b/a+c/a=(a/c+c/a)+(b/c+c/b)+(a/b+b/a)≥2+2+2=6（4）a＞0，b＞0，c＞0，求证：bc/a+ac/b+ab/c≥a+b+c解：bc/a+ac/b+ab/c=2bc/(2a)+2ac/(2b)+2ab/(2c)=[bc/(2a)+ac/(2b)]+[ac/(2b)+ab/(2c)]+[ab/(2c)+bc/(2a)] ≥a+b+c（5）已知a＞0，b＞0，c＞0，求证：a/√b+b/√c+c/√a≥√a+√b+√c证明：a/√b+√b≥2√a；b/√c+√c≥2√b；c/√a+√a≥2√c故：a/√b+√b+ b/√c+√c+ c/√a+√a≥2√a+2√b+2√c故：a/√b+b/√c+c/√a≥√a+√b+√c（6）已知x＜0，求y=x+1/x的最大值解：因为x＜0，故：-x＞o故：(-x)+(-1/x)≥2故：y=x+1/x≤-2(7)1、已知a＞b＞0，求a+1/[(a-b)b]的最小值解：a+1/[(a-b)b]=(a-b)+b+1/[(a-b)b] ≥3，此时a=2,b=12、若0＜x＜1,求证：a²/x+b²/(1-x)≥(a-b)²解：∵0＜x＜1,∴0＜1-x＜1∴a²/x+b²/(1-x)=a²/x·[x+(1-x)]+b²/(1-x)[x+(1-x)]=a²+a²(1-x)/x+b²+b²x/(1-x)≥a²+b²+2ab=(a+b) ²当a²(1-x)/x=b²x/(1-x)时，取等号。
练习：当a＞1时，4/(a-1)+a的最小值是（）。
（答案：5）（一）均值不等式的运用(2)均值不等式的运用：a² + b²≥ 2ab；当a＞0，b＞0时，a+b ≥2√ab附：完全的均值不等式：√[(a²+ b²)/2] ≥(a+b)/2 ≥√ab ≥2/(1/a+1/b)（二次幂平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均）注意：利用均值不等式，注意“一正二定三相等”；注意“1”的添加；注意拆项补项；可以先假设成立，然后逆推，看逆推出的式子是否成立；注意代换。
(8)已知二次函数f(x)=ax²-bx+c，且f(x)=0的两根为x1，x2都在(0,1)内，求证：f(0)·f(1) ≤a²/16证明：因为f(x)=0的两根为x1，x2，故：可设f(x)=a(x-x1)(x-x2)，因为0＜x1＜1, 0＜x2＜1故：f(0)·f(1)=a·x1·x2·a(1-x1)(1-x2)=a²·x1(1-x1) ·x2(1-x2)≤a²·[(x1+1-x1)/2] ²·[(x2+1-x2)] ²= a²/16(9)已知a,b＞0,a+b=1，求证：√(a+1/2)+√(b+1/2)≤2证明：√(a+1/2)=√[1·(a+1/2)]≤(1+a+1/2)/2=3/4+a/2同理：√(b+1/2)≤3/4+b/2故：√(a+1/2)+√(b+1/2)≤3/2+(a+b)/2=2（10）a,b,c＞0,比较a³+b³+c³与a²b+b²c+c²a的大小解：a²+b²≥2ab故：a²-ab+b²≥ab不等式两边同乘以a+b,不等号方向不变。
可得:a³+b³≥a²b+b²a (1)同理可得:b³+c³≥b²c+c²b (2)c³+a³≥c²a+a²c (3)(1)+(2)+(3)得：2(a³+b³+c³)≥2(a²b+b²c+c²a )a³+b³+c³≥a²b+b²c+c²a（11）设a、b、c都是正数，求证1/2a+1/2b+1/2c≥1/（b+c）+1/（c+a）+1/（a+b）证明：因为(a-b)²≥0故：a²-2ab+b²≥0故：a²+2ab+b²≥4ab故：(a+b) ²≥4ab[两边同时除以4ab/(a+b)]故：(a+b)/4ab≥1/(a+b)故：1/(4a)+a/(4b) ≥1/(a+b)同理：1/(4a)+1/(4c) ≥1/(a+c)；1/(4b)+1/(4c) ≥1/(b+c)故：1/(4a)+a/(4b)+ 1/(4a)+1/(4c)+ 1/(4b)+1/(4c) ≥1/（b+c）+1/（c+a）+1/（a+b）故：1/(2a)+1/(2b)+1/(2c)≥1/（b+c）+1/（c+a）+1/（a+b）（12）均值代换：已知a+b=1,a,b∈R,求证：(a+2)²+(b+2)²≥25/2解；∵a+b=1,设a=1/2+t,b=1/2-t故：(a+2) ²+(b+2) ²=2t²+25/2≥25/2(13)已知：x, y＞0, 2x+y=1,求证：1/x+1/y≥3+2√2证明：设2x=m/(m+n)，y=n/(m+n) (m, n＞0)故：1/x+1/y=3+2n/m+m/n≥3+2√2（二）利用判别式“△=b² -4ac”及一元二次方程1、若x²+xy+y²=1,且x，y为实数，则x²+y²的取值范围？解：令t=x²+y²＞0故：y²=t-x²故：y=±√(t-x²)故：t±x√(t-x²)=1故：x²(t-x²)=(1-t)²故：x^4-tx²+(1-t)²=0故：△=t²-4(1-t)²≥0故：2/3≤t≤2即：2/3≤x²+y²≤22、设a＞1，b＞1，且ab-(a+b)=1,求ab、a+b的最小值解：ab≤[(a+b)/2] ²，故：[(a+b)/2] ²-(a+b)-1≥0故：a+b≥2√2+2 [其中a+b≥－2√2+2舍去]故：a+b的最小值是2√2+2，此时a=b=√2+1因为ab=1+(a+b)≥2√2+3,故ab的最小值是2√2+33、设a+b+c=1, a²+b²+c²=1且a＞b＞c,求证：-1/3＜c＜0证明：因为a+b+c=1，故：(a+b+c) ²=1，即：a²+b²+c²+2ab+2ac+2bc=1因为a²+b²+c²=1，故：ab+ac+bc=0，故：a、b、c中至少一个负数因为a＞b＞c，故：c＜0因为a+b+c=1，ab+ac+bc=0故：a+b=1-c，ab=c(1-c)故：a、b可以看作方程x²+(c-1)x+c(1-c)=0两个不相等的实数根故：△=(c-1) ²-4c(c-1)＞0故：(c-1)(c-1-4c)＞0故：-1/3＜c＜1故：-1/3＜c＜04、已知X>0,Y>0且XY-X-Y=1,求X+Y的最小值解：设X+Y=t，因为X>0,Y>0故：t>0因为XY-X-Y=1故：XY＝1+t故：X、Y可以看作方程z²-tz+(1+t)＝0的两个实数根故：△=t²-4(1+t)≥0故：t²-4t-4≥0(t-2) ²≥8故：t≥2√2＋2,或t≤－2√2＋2（因为t>0）故：t≥2√2＋2故：X+Y的最小值是2√2＋2，此时X＝Y＝√2＋15、.已知正数ab满足a+b=1，求ab+1/ab的最小值解：∵正数ab∴ab+1/ab≥2令ab+1/ab=t≥2故：ab=[t±√(t²-4)]/2故：a、b可以看作方程x-x+[t±√(t²-4)]/2=0的两根故：△=1-4×[t±√(t²-4)]/2≥0故：±√(t²-4)≥t-1/2因为t-1/2＞0故：√(t²-4)≥t-1/2＞0故：t≥17/4故：ab+1/ab的最小值是17/4，此时a=b=1/2（三）利用几何意义求极值1、求下面函数的极小值：y=√(x²+4)+√[(12-x) ²+9]解：√(x²+4)+√[(12-x) ²+9]可以看作点(x,0)到点(0,2)和(12,3)的距离之和而点(0,2)关于x轴的对称点是(0,-2)故：最小值就是(0,-2)和(12,3)之间的距离，即：132、a,b,c分别为直角三角形的三边，c为斜边，若（m,n)在直线ax+by+2c=0上，求m²+n²的最小值解：因为a,b,c分别为直角三角形的三边，c为斜边故：a²+b²=c²因为√(m²+n²)=√[(m-0) ²+(n-0) ²]，即：√(m²+n²)表示点（m,n)到原点距离，因为（m,n)在直线ax+by+2c=0上而原点到直线的距离是∣a×0+b×0+2c∣/√(a²+b²)=2c/c=2故：m²+n²的最小值是2²=4，此时n=-2b/c，m=-2a/c。