5.3.3一阶电路的动态响应 - 一阶电路的动态响应2——【江苏大学电路原理 精】

i(t)
=
-
U0
-
e
t
R
3、RL电路的零输入响应
R1
Ri
求电感电压uL(t)和电流i(t)
解: uL(t- ) = 0
+
US
u S(t=0)
L
L
–
i(0- ) =
US R1 + R
I0
i(0+ )
=
i(0- )
=
US R1 +
R
=
I0
电路方程：
L di + Ri = 0 dt
t 0+
一阶微分方程的通解：
uR = Ri
i = C duC dt
+ U0
-
S(t = 0)
R i (t)
2
+ uR -
1
C
+ uC(t)
-
uC (0-) = U0 i (0-) = 0
t≥0+ uR + uC = 0
uR = Ri
i = C duC dt
一阶齐次微分方程，其通解为:
RC
duC dt
+
uC
=
0
uC (0+ ) = U0
uC = Ae pt
特征根p：
特征方程：
RCp+1=0
p=- 1 RC
uC
=
Ae pt
=
- 1t
Ae RC
（t≥0+）
系数A由初始状态确定：uC (0+) =U0
将初始值代入:
- 1t
uC = Ae RC
A=uC(0+)=U0
uC = Ae pt
-1t
= U0e RC (t 0+ )
U0 uC
i(t ) = Ae pt
特征方程： Lp+R=0
特征根 p =
－Rt
i(t ) = Ae L
-R L
R1 US
R S(t=0)
i
+
u LL–来自i(0+)=
i(0- )
=
US R1 +
R
=
I0
uL(t- ) = 0
一阶微分方程的通解：
i(t) =
Ae pt
=
－Rt
Ae L
由初始值i(0+)= I0确定积分常数A
=
2
故电路的时间常数为：
= L = 2 s = 1s
Req 2
-t
y(t ) = y(0+ )e τ
得零输入响应为：
iL(0+ ) = 3A
i1(0+ ) = -1A i2 (0+ ) = -2A
-t
iL (t ) = iL (0+ )e τ
= 3e-t A
-t
i1 (t ) = i1 (0+ )e τ
电路的 能量来源
外施激励（即独立电源）
储能元件（C、L）储存
iL(0＋)
uC(0＋)
激励输入为零，仅由动态元件的初始储能(uC或 iL）引起的电路响应
动态元件的初始储能(uC或iL）为零，仅激励输入 由引起的电路响应
由激励输入、动态元件的初始储能(uC或iL）共 同引起的电路响应
——输入 ——状态
零输入响应 零状态响应
2、RC电路的零状态响应
+ US
-
S(t = 0)
R iC(t)
2
+ uR -
1
C
+ uC(t)
-
t<0时，开关S在位置1，处于稳态 ，即：uC (0-)=0（状态为0）
t = 0时，开关S打向位置2，引入 激励（输入） US， 列方程：
t
i(t) = C
duC dt
=
- U0 R
-1t
e RC (t
0+ )
0 0 i(t)
若令：τ =RC
t
（τ称为一阶RC电路的时间常数）。
-U0/R
则RC一阶电路的零输入响应可写为:
+ U0
-
S(t = 0)
R i (t)
2
+ uR -
1
C
+ uC(t)
-
-t
uC (t ) = U0e (t≥0+)
（2）同一电路中所有响应具有相同的时间常数τ 。 （3）一阶电路的零输入响应和初始值（状态）成正比，称为零输入线性。
例1. 如图a）所示电路，已知Us＝6V， Rs=2， R1=6， R2=1， R3=2 ， L=2H，t<0时电路已经处于稳态，t＝0时开关打开。求t>0+时的 i i i L(t) 、 1(t) 和 2(t) 。
=
R2 + R3 R1 + R2 + R3
3A
=
-1A
L
R3 i2 (0+ ) = -i1(0+ ) - iL (0+ ) = -2A
3A
换路后，从L看进去的戴维南等效电阻
图b)
为：
Req
=
R1
//( R2
+
R3 ) =
R1( R2 + R3 ) R1 + R2 + R3
=
6(1 + 2) 6+1+ 2
i(0+ ) = Ae p0+ = A =I0
i(t) =
Ae pt
=
-Rt
I0e L
t 0+
R1 US
R S(t=0)
i
+
u L
L
–
i I0
0
t
-Rt
-t
i(t) = I0e L = I0e L/R (t 0+ )
uL
uL (t )
=
L
di dt
=
-t
-RI0e L/R
(t 0+)
-RI0
Rs
＋ us －
i1 R1
R2 i2
iL
L
R3
图a）
解： t<0时电路已经处于稳态，L可以看作短路，则有：
iL(0- ) =
US RS
=
6 A = 3A 2
由换路定律得
iL(0+ ) = iL(0- ) = 3A
画出0＋时刻的等效电路，如图b），可解得：
i1(0+ ) R1
R2 i2 (0+ )
i1(0+ )
= -e-t A
-t
i2 (t ) = i2 (0+ )e τ
= -2e-t A
注意：其他支路电流还可以这样求取：
若已经求得电感电流：
R2 i2 (t)
-t
iL (t ) = iL (0+ )e τ
= 3e-t A
i1 (t )
R1
L
iL (t)
换路后电路为：
R3
由替代定理，可得：
i1 (t ) R1
全响应
一、一阶电路的零输入响应
1、零输入响应：动态电路没有外施电源激励，仅由动态 元件的初始储能(电容电压值uC或电感电流 值iL ）引起的电路响应。
2、RC电路零输入响应
图示电路，求 uC(t)和 i(t)。
解: 由图可知，
uC (0+) = uC (0-) = U0
t≥0+ uR + uC = 0
t
令τ = L/R , 称为一阶RL电路时间常数
[
]
=
[
L R
]
=
亨 [欧
]
=
[
韦 安欧
]
=
[
伏 安
秒 欧
]
=
[秒]
4、一阶电路零输入响应解的一般公式
一阶电路的零输入响应是由储能元件的初始值（状
态）引起的响应，它们都是由初始值衰减为零的指数衰
减函数。
-t
y(t ) = y(0+ )e τ
（1） τ体现了一阶电路的固有特性，衰减快慢取决于时间常数τ。RC电路τ = ReqC , RL电路τ = L/Req。 （Req为换路后从C或L两端看进去的戴维南等效电阻）
R2 i2 (t)
L
R3
iL (t)
i1(t )
=
-
R + R R1 + R2 + R3
i(t )
=
-e-t A
i2 (t )
=
-
R1
+
R R2
+
R3
i(t)
=
-2e-t A
二、一阶电路的零状态响应
1、零状态响应：电路在储能元件零初始条件下(电容电压 值uC和电感电流值iL为零），而由外施激励引 起的电路响应。