电场强求法

电场强度是静电学中极其重要的概念，也是高考中考点分布的重点区域之一．求电场强度的方法一般有：定义式法，点电荷场强公式法，匀强电场公式法，矢量叠加法等．本文讨论特殊静电场中求某点电场强度的几种特殊方法，供大家参考．一、补偿法求解电场强度，常用的方法是根据问题给出的条件建立起物理模型，如果这个模型是一个完整的标准模型，则容易解决．但有时由题给条件建立的模型不是一个完整的标准模型，比如说是模型A，这时需要给原来的问题补充一些条件，由这些补充条件建立另一个容易求解的模型B，并且模型A与模型B恰好组成一个完整的标准模型．这样，求解模型A的问题就变为求解一个完整的标准模型与模型B的差值问题．例1 如图1所示，用长为l的金属丝弯成半径为r的圆弧，但在A、B之间留有宽度为d 的间隙，且d<<r，将电量为Q的正电荷均匀分布于金属丝上，求圆心处的电场强度．解析中学物理只讲到有关点电荷场强的计算公式和匀强电场场强的计算方法，本问题是求一个不规则带电体所产生的场强，没有现成公式直接可用，需变换思维角度．假设将这个圆环缺口补上，并且己补缺部分的电荷密度与原有缺口的环体上的电荷密度一样，这样就形成一个电荷均匀分布的完整带电环，环上处于同一直径两端的微小部分所带电荷可视为两个相对应的点电荷，它们在圆心O处产生的电场叠加后合场强为零．根据对称性可知，带电圆环在圆心O处的总场强E＝0．至于补上的带电小段，由题给条件可视做点电荷，它在圆心O处的场强E1是可求的．若题中待求场强为E2，则E1＋E2＝0．设原缺口环所带电荷的线密度为σ，σ＝Q／（2πr－d），则补上的那一小段金属线的带电量Q′＝σ•d，Q′在O 处的场强为E1＝kQ′／r2，由E1＋E2＝0可得E2＝－E1，负号表示E2与E1反向，背向圆心向左．评注解决此题的方法，由于添补圆环缺口，将带电体“从局部合为整体”，整体时有办法解决，再“由整体分为局部”，求出缺口带电圆环在O处的场强．二、微元法微元法就是将研究对象分割成许多微小的单元，或从研究对象上选取某一“微元”加以分析，从而可以化曲为直，使变量、难以确定的量为常量、容易确定的量．例2 如图2所示，均匀带电圆环所带电荷量为Q，半径为R，圆心为O，P为垂直于圆环平面的对称轴上的一点，OP＝L，试求P点的场强．解析设想将圆环等分为n个小段，当n相当大时，每一小段都可以看做点电荷．其所带电荷量为q＝Q／n，由点电荷场强公式可求得每一点电荷在P处的场强为E＝kQ／nr2＝kQ／n（R2＋L2）．由对称性可知，各小段带电环在P处的场强E的垂直于轴向的分量Ey相互抵消，而E的轴向分量Ex之和即为带电环在P处的场强EP．EP＝nEx＝（nkQ／n（R2＋L2））cosθ＝（nkQ／n（R2＋L2））•（L／）＝kQL／（R2＋L2）3／2．评注本题是通过“微元法”将非点电荷电场问题转化为点电荷电场问题求解．三、等效替代法“等效替代”方法，是指在效果一致的前提下，从A事实出发，用另外的B事实来代替，必要时再由B而C……直至实现所给问题的条件，从而建立与之相对应的联系，得以用有关规律解之，如以模型替代实物，以合力（合运动）替代数个分力（分运动）；等效电阻、等效电源等．例3 如图3所示，一带＋Q电量的点电荷A，与一块接地的长金属板MN组成一系统，点电荷A与板MN间的垂直距离为d，试求A与板MN的连线中点C处的电场强度．解析此题初看十分棘手，如果再画出金属板MN被点电荷A所感应而产生的负电荷（于板的右表面），则更是走进死胡同无法解决．那么此题能否用中学所学的知识灵活地迁移而分析解决呢?当然可以，由金属长板MN接地的零电势条件，等效联想图4所示的由两个等量异种电荷组成的系统的静电场的分布状况，这样的点电荷系统所形成的合电场的分布状况并不陌生，A、B两点电荷连线的垂直平分面M′N′，恰是一电势为零的等势面，利用这样的等效替代的方法，很容易求出C点的电场强度．根据点电荷场强式E＝kQ／r2，点电荷A在C点形成的电场ECA＝kQ／（d／2）2，点电荷B在C点形成的电场ECB＝kQ／（3d／2）2，因ECA与ECB同方向，均从A指向B，故而EC＝ECA＋ECB＝k40Q／9d2．评注此题要求较高，需要类比等量异种电荷电场与所求电场的相似之处，才能发现可以替代．高中物理试验本（选修加必修）第99页有此题模型的电场线分布图．这种等效替代法也叫“镜像法”．四、极值法物理学中的极值问题可分为物理型和数学型两类．物理型主要依据物理概念、定理、定律求解．数学型则是在根据物理规律列方程后，依靠数学中求极值的知识求解．例4 如图5所示，两带电量均为＋Q的点电荷相距2L，MN是两电荷连线的中垂线，求MN上场强的最大值．解析用极限分析法可知，两电荷间的中点O处的场强为零，在中垂线MN处的无穷远处电场也为零，所以MN上必有场强的极值点．采用最常规方法找出所求量的函数表达式，再求极值．由图5可知，MN上的水平分量相互抵消，所以有E＝2（E1sinθ）＝（2kQ／（L／cosθ）2）•sinθ，E2＝（2k2Q2／L4）cos2θcos2（2sin2θ），因为cos2θ＋cos2θ＋2sin2θ＝2所以当cos2θ＝2sin2θ，即tanθ＝／2，E有最大值为Emax＝kQ／L2．评注本题属数学型极值法，对数学能力要求较高，求极值时要巧妙采用先求平方后的极值才能解得．五、转换法：1．根据静电平衡状态下导体的特点，将求解感应电荷在导体内某点的场强问题，转换为求解场源电荷在该点的场强问题．2．根据电场线与等势线垂直，求电场强度要先转化为找电场线，确定电场方向，再利用E＝U／d求解．例5 长为L的导体棒原来不带电，现将一带电量为＋q的点电荷放在距棒的左端R处．如图6所示，当导体棒达到静电平衡后，棒上感应电荷在棒内中点处产生的场强大小等于__________，方向__________．图6解析导体处于静电平衡状态时，导体内部合场强为零，这是点电荷q所形成的电场E1与棒两端出现的感应电荷所形成的附加电场E2在棒中叠加的结果，即E合＝E1＋E2＝0，如图6所示．因此可通过计算点电荷＋q产生的场强E1来确定感应电荷的场强E2的大小和方向，即E2＝－E1＝－kq／（R＋L／2）2．负号表示E2与E1方向相反，即E2的方向向左．评注此题考查学生对导体静电平衡特点的理解，在灵活运用知识点的同时，让学生明确求解感应电荷场强的特殊思维方法．例6 如图7所示，a、b、c是匀强电场中的三点，并构成一等边三角形，每边长为L＝cm，将一带电量q＝－2×10－6C的电荷从a点移到b点，电场力做功W1＝－1．2×10－5J；若将同一点电荷从a点移到c点，电场力做功W2＝6×10－6J．试求匀强电场的电场强度E．图7解析因为Uab＝Wab／q＝－1．2×10－5／－2×10－6＝6．0V，Uac＝Wac／q＝－3．0V，φc＞φa，所以Ucb＝9．0V．将cb分成三等份，每一等份的电势差为3V，如图7所示，连接ad，并从c点依次作ad 的平行线，得到各等势线，作等势线的垂线ce，场强方向由c指向e，所以E＝Ucb／Lcosα＝Uab／Lcosθ，因为3cosθ＝2cosα，α＝60°－θ，3cosθ＝2cos（60°－θ）＝cosθ＋sinθ，2cosθ＝E＝Uab／Lcosθ＝200V／m．评注此题通过寻找电场线与等势面的关系，将整个过程体现在作图的过程中，这是本题的一个明显的特点，对能力的要求较高．把常规问题放在新的物理情景之中，具有新意．求解此类问题首先要找出电场中电势最高点和电势最低点，然后根据题意把电势最高点与电势最低点之间的距离分为若干等份，确定等势面，根据场强方向垂直等势面，最后再由匀强电场中场强大小与电势差之间关系辅之于几何关系求解．附练习题1．如图8所示，有一个均匀带电的硬橡胶球，其带电量为Q，半径为R，在距球体表面R远处有一带电量为q的点电荷．此时带电体与点电荷间的库仑力为F1，当从硬橡胶球体中挖去如图中所示的一个半径为R／2的球体时，硬橡胶球体剩余部分对点电荷q的库仑力为F2，求F1与F2的比值．图82．一限长均匀带电细导线弯成如图9所示的平面图形，其中AB是半径为R的半圆弧，AA′平行于BB′，试求圆心O处的电场强度．图93．一个竖直放置的半径为R的光滑绝缘环，置于水平方向的匀强电场中，电场强度为E．有一质量为m，电量为q的带正电的空心小球套在环上，并且Eq＝mg．求（1）当小球由静止开始从环的顶端A下滑1／4圆弧长到位置B时，小球速度为多大?环对小球的压力为多大?（2）小球从环的顶端A滑至底端C的过程中，小球在何处速度最大?为多少?4．两个等量同种点电荷a、b位置固定，O为ab的中点．O1O2为a、b的垂直平分线，一个电子（重力可以忽略）从O1一侧沿O1O2方向射入，穿过O继续运动的过程中（） A．它的加速度逐渐变大B．它的加速度逐渐变小C．它的加速度开始一段逐渐加大，后来逐渐减小D．它的加速度开始一段逐渐减小，后来逐渐增大5．如图10所示，点电荷＋Q的附近放一长方体薄壁中空的金属盒．试画出盒内由感应岛刹 牡绯∠叻植记榭觯?nbsp;图106．在匀强电场中有P、M、N三点，连线构成一个直角三角形，其中∠P＝90°，∠M＝30°，如图11所示，已知三点电势各为φM＝6V，φN＝－2V，φP＝2V，MN＝20cm，求电场强度的大小与方向．求电场强度大小的几种方法黄传立1. 利用适用于任何电场，E与F、q无关，只取决于电场的本身，其大小和方向与检验电荷q无关。

检验电荷q充当“测量工具”。

例1. 在电场中的某点放入电荷量为的点电荷，受到的电场力为。

这一点的场强是多大？如果改用电荷量为的点电荷，用来确定该点的场强，场强会不会改变？解析：（1）根据定义式，代入数据；（2）场强E不会改变。

E是由电场本身决定，与检验电荷带电量的正负、多少无关。

2. 利用适用于真空中的点电荷，r是空间某点到场源电荷Q的距离。

例2. 真空中一点电荷，在距此点电荷10cm处，该点电荷产生的电场强度是多大？解析：根据，代入数据得。

3. 利用仅适用于匀强电场，其中是两点沿电场方向的距离。

例3. 如图1所示，在匀强电场中，a，b两点相距，与场强方向的夹角，且两点的电势差，求此匀强电场的场强。

图1解析：根据得：4. 利用场强的叠加原理遵守矢量合成的平行四边形定则。

例4. 如图2（a）所示，在边长为L的正三角形的三个顶点A、B、C上各固定一个点电荷，它们的带电量分别为+q、+q和，求其几何中心O处的场强。