复数的加法与减法
复数的加法与减法教案
复数的加法与减法【学习目标】1．掌握复数代数形式的加、减运算法则．2．了解复数代数形式的加、减法的几何意义．【重点、难点】重点：复数的代数形式的加、减运算及其几何意义．难点：复数的代数形式的加、减法的几何意义．【学法指导】1．根据学习目标，自学课本内容，限时独立完成导学案；2．用红笔勾出疑难点，提交小组讨论．【自主探究】1．应用复数相等的充要条件解题时要确保复数必须化成a＋b i(a，b∈R)的形式，否则等量关系不成立．2．复数z1＝a＋b i与z2＝a－b i(其中a，b∈R，b≠0)在复平面内对应的点关于对称．1．复数的加、减法法则设z1＝a＋b i，z2＝c＋d i(a，b，c，d∈R)，则z1＋z2＝，z1－z2＝．即两个复数的和(或差)仍然是一个，它的实部是原来两个复数的的和(或差)，它的虚部是原来两个复数的的和(或差)．2．复数加法的运算律(1)交换律：z1＋z2＝(2)结合律：(z1＋z2)＋z3＝复数加、减法有什么样的几何意义？提示：(1)复数加法的几何意义若复数z 1，z 2对应的向量OZ 1→，OZ 2→不共线，则复数z 1＋z 2是以OZ 1→，OZ 2→为两邻边的平行四边形的对角线OZ→所对应的复数．因此，复数的加法可以按照向量的加法来进行．(2)复数减法的几何意义复数z 1－z 2是连接向量OZ 1→、OZ 2→的终点，并指向被减向量的终点所对应的复数．因此，复数的减法运算也可以按向量的减法来进行．【合作探究】1．已知复数z 满足z ＋i －3＝3－i ，则z ＝( )A ．0B ．2iC ．6D ． 6－2i2．计算(－i ＋3)－(－2＋5i)的结果为( )A ．5－6iB ．3－5iC ．－5＋6iD ．－3＋5i3．向量OZ 1→对应的复数是5－4i ，向量OZ 2→对应的复数是－5＋4i ，则OZ 1→＋OZ 2→对应的复数是( )A ．－10＋8iB ．10－8iC ．0D ．10＋8i4．若OA→、OB →对应的复数分别是7＋i,3－2i ，则|AB →|＝________． 5．计算：(1)(1＋2i)＋(3－4i)－(5＋6i)；(2)5i －[(3＋4i)－(－1＋3i)]；(3)(a ＋b i)－(2a －3b i)－3i(a ，b ∈R )．6．(2011年宁波高二检测)在复平面上复数i,1,4＋2i 所对应的点分别是A ，B ，C ，求平行四边形ABCD 的D 点所对应的复数．【巩固提高】1．如图，在平行四边形OABC 中，顶点O 、A 、C 分别表示0、3＋2i 、－2＋4i ，试求：(1)AO→所表示的复数，BC →所表示的复数；(2)对角线CA →所表示的复数；(3)对角线OB→所表示的复数及OB →的长度．2．已知z 1，z 2∈C ，且|z 1|＝|z 2|＝|z 1－z 2|＝1．求|z 1＋z 2|．自我挑战 已知复数z 1，z 2满足|z 1|＝|z 2|＝|z 1＋z 2|，z 1＋z 2＝2i ，求z 1，z 2．【方法小结】1．(1)两个复数的和差仍是一个复数．(2)复数的加减法运算，只需把“i”看作一个字母，完全可以按照合并同类项的方法进行．(3)算式中出现字母时，首先确定其是否为实数，再提取各复数的实部与虚部，将它们分别相加减．2．(1)复数的加减运算用向量进行时，同样满足平行四边形法则和三角形法则．(2)复数及其加减运算的几何意义为数形结合思想在复数中的应用提供了可能．3．复数加、减法几何意义的应用首先要结合向量加、减法的几何意义．|z1＋z2|，|z1－z2|分别是以复数z1，z2的对应向量为邻边的平行四边形的两对角线的长．由|z1|，|z2|，|z1＋z2|，|z1－z2|的大小关系可推出该平行四边形的性质，其次是|z1－z2|即为复数z1，z2对应的两点的距离．再结合直线，圆，圆锥曲线知识解题．。
复数的加减法
复数减法规定是加法的逆运算 (a+bi )－(c+di) = x+yi ，
(c+di )+(x+yi) = a+bi
，
由复数相等定义，有 c+x=a ， d+y=b 由此，x=a－c ， y=b－d ∴ (a+bi )－(c+di) = (a－c) + (b－d)i (a+bi )±(c+di) = (a±c) + (b±d)i
= (a1+a 2 ) + ( b1+b2 )i = (a1+a 2 )－( b1+b2 )i = (a1－b1 i)+( a2－b2 i)=Z1+ Z2 同理可证： Z1-Z2= Z1－Z2 .
7
复数的加法与减法
谢
谢
8
z－z _________.
6
学而时习之
例2、设Z1 , Z2 ∈C，求证： + Z1 Z2 = Z1+ Z2 ，Z1-Z2 =Z1 -Z2 证明：设 Z1 = a1+b1i ，Z2 = a2+b2i (a1 , a2 , b1 , b2) ∈R ，则
+ Z1 Z2 = (a1+b1i )+ (a2+b2i )
复数的理
数系的扩充
复数的概念 虚数单位i 复数的代数形式 复数的分类
2.规律总结 相等复数 ⑴用分类讨论的思想准确理解复数的分类； ⑵复数问题实数化是解决复数问题最基本也 是最重要的思想方法，桥梁是复数相等的充 要条件,具体做法是设z＝a＋bi(a,b∈R).
2
复数的加法与减法
复数知识点总结公式大全
复数知识点总结公式大全复数是数学中一个重要的概念，其包括实数和虚数。
在实际应用中，复数广泛被用于电路分析、信号处理、控制系统、波动方程求解等领域。
因此，理解复数的性质和运算规律对于掌握这些领域的知识具有重要意义。
以下是复数知识点的总结和相关公式的大全：1. 复数的定义：复数可以表示为a+bi的形式，其中a称为实部，b称为虚部，i称为虚数单位，满足i^2=-1。
2. 复数的运算：（1）加法：(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i（2）减法：(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i（3）乘法：(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i（4）除法：(a+bi)/(c+di)=(ac+bd)/(c^2+d^2)+(bc-ad)i/(c^2+d^2)3. 共轭复数：设z=a+bi，其共轭复数为z*=a-bi。
显然，复数与共轭复数的乘积是实数，即zz*=|z|^2，其中|z|表示复数z的模。
4. 欧拉公式：e^(iθ)=cosθ+isinθ5. 复指数函数：e^(z)=e^a(cosb+isinb)，其中z=a+bi6. 幅角和辐角：复数z=a+bi的幅角θ满足tanθ=b/a，辐角则为θ+2kπ(k∈Z)。
7. 极坐标形式：复数z=a+bi可以表示为z=r(cosθ+isinθ)，其中r=|z|，θ为z的辐角。
8. 三角形式：复数z=r(cosθ+isinθ)可以表示为z=r∠θ9. 复数的乘除法：（1）乘法：z1=r1∠θ1，z2=r2∠θ2，则z1z2=r1r2∠(θ1+θ2)（2）除法：z1=r1∠θ1，z2=r2∠θ2，则z1/z2=r1/r2∠(θ1-θ2)10. 复数的幂：z^n=r^n∠(nθ)11. 根式：复数z=r∠θ的n次根是n个复数，其模为∛r，辐角依次加2kπ/n(k=0,1,...,n-1)。
12. 解析函数与共轭函数：设u(x,y)和v(x,y)是复变函数f(x+iy)的实部和虚部，则f(z)=u(x,y)+iv(x,y)。
复数四则运算
复数四则运算复数是由实数和虚数的叠加组成的，它的应用范围极为广泛，并且与实数运算同样重要。
关于复数的运算，其核心就是复数四则运算。
首先，让我们来了解一下什么是复数四则运算。
一般来说，复数四则运算就是指给定两个复数，通过加、减、乘、除运算来求出一个新的复数。
具体而言，复数四则运算可以总结为下面几条规则。
一、复数的加法运算：对于两个复数$a=a_1+ia_2$和$b=b_1+ib_2$，其和$c=c_1+ic_2$是：$c_1=a_1+b_1$，$c_2=a_2+b_2$二、复数的减法运算：对于两个复数$a=a_1+ia_2$和$b=b_1+ib_2$，其差$d=d_1+id_2$是：$d_1=a_1-b_1$， $d_2=a_2-b_2$三、复数的乘法运算：对于两个复数$a=a_1+ia_2$和$b=b_1+ib_2$，其积$e=e_1+ie_2$是：$e_1=a_1b_1-a_2b_2$，$e_2=a_1b_2+a_2b_1$四、复数的除法运算：对于两个复数$a=a_1+ia_2$和$b=b_1+ib_2$，其商$f=f_1+if_2$是：$f_1=dfrac{a_1b_1+a_2b_2}{b_1^2+b_2^2}$，$f_2=dfrac{a_2b_1-a_1b_2}{b_1^2+b_2^2}$以上就是复数四则运算的基本规则，即加减乘除。
在实际应用中，我们可以根据需要，运用这些四则运算，来解决一系列复数问题。
接下来，我们来看几个实例，这些实例有助于我们加深对复数四则运算的理解。
例一：$(2+3i) + (4+5i)$解：根据复数的加法运算，我们可以得出$ (2+3i) + (4+5i) = 6+8i$例二：$(2+3i) - (4+5i)$解：根据复数的减法运算，我们可以得出$ (2+3i) - (4+5i) = -2-2i$例三：$(2+3i) (4+5i)$解：根据复数的乘法运算，我们可以得出$ (2+3i) (4+5i) = -7+22i$例四：$dfrac{2+3i}{4+5i}$解：根据复数的除法运算，我们可以得出$ dfrac{2+3i}{4+5i} = dfrac{13}{41}+dfrac{2}{41}i$ 以上只是复数四则运算的简单介绍，在实际应用中，我们还可以运用复数的平方、立方、n次方等操作，来解决一些复杂的问题。
复数的加法与减法
y Z1
OZ1 OZ2 Z2 Z1
Z2
x
首页 上页 下页 返回
讲解例题 例1 计算 (5 6i) (2 i) (3 4i) 解： (5 6i) (2 i) (3 4i)
(5 2 3) (6 1 4)i 11i
首页 上页 下页 返回
例题讲解
例2 根据复数的几何意义及向量表示，求复平面内圆 的方程．
(a bi) (c di) 根据复数相等可得 (a bi) (c di) (a c) (b d )i
首页 上页 下页 返回
新授课
两个复数相加（减）就是把实部与实部、虚部与虚部分别 相加（减），即
(a bi) (c di) (a c) (b d )i
复数减法的几何意义：
解：如图，设圆心P与复数 p a bi
对应，圆的半径为r ，圆上任意一点Z 与复数 z x yi 对应，那么
yZ P
| z p | r
这就是复平面内的圆的方程．
O
x
首页 上页 下页 返回
课堂小结
1．复数的加法与减法运算法则； 2．加法、减法的几何意义．
首页 上页 下页 返回
谢谢您的关注
复数的加法与减法
知识回顾 复数与向量之间的关系？ 复数 z a bi 一一对应 平面向量 OZ 根据向量的运算法则能否得到复数的运算法则？
首页 上页 下页 返回
y
设 OZ1 及 OZ2 分别与复数 a bi 及复数 c di对应，且 OZ1 , OZ2 不 共线．
Z2 (c, d )
向量 OZ 就是与复数
新授课
复数的加法满足交换律、结合律，即对任何 z1, z2 , z3 C
有
z1 z2 z2 z1
复数的运算规则与性质
复数的运算规则与性质复数是数学中的一个重要概念，常用于解决现实生活中的问题。
复数由实数部分和虚数部分组成，可以表示为a+bi的形式，其中a为实数部分，b为虚数部分，i为虚数单位，满足i²=-1。
在复数的运算中，有一些基本的规则和性质，下面将重点介绍它们。
一、加法规则和性质复数的加法遵循以下规则和性质：1. 实数部分和虚数部分分别相加。
例如，对于两个复数a+bi和c+di，则它们的和为(a+c)+(b+d)i。
2. 加法满足交换律。
即对于任意两个复数a+bi和c+di，有(a+bi)+(c+di)=(c+di)+(a+bi)。
3. 加法满足结合律。
即对于任意三个复数a+bi、c+di和e+fi，有[(a+bi)+(c+di)]+(e+fi)=(a+bi)+[(c+di)+(e+fi)]。
二、减法规则和性质复数的减法可以通过加法规则进行转化，即用加上符号的相反数来表示减法。
例如，对于两个复数a+bi和c+di，则它们的差为(a+bi)-(c+di)=(a+bi)+[-(c+di)]。
三、乘法规则和性质复数的乘法遵循以下规则和性质：1. 实数部分和虚数部分分别相乘。
例如，对于两个复数a+bi和c+di，则它们的乘积为(ac-bd)+(ad+bc)i。
2. 乘法满足交换律。
即对于任意两个复数a+bi和c+di，有(a+bi)(c+di)=(c+di)(a+bi)。
3. 乘法满足结合律。
即对于任意三个复数a+bi、c+di和e+fi，有[(a+bi)(c+di)](e+fi)=(a+bi)[(c+di)(e+fi)]。
四、除法规则和性质复数的除法可以通过乘法规则进行转化，即用除数的共轭复数来表示除法。
例如，对于两个复数a+bi和c+di（其中c和d不同时为0），则它们的商为(a+bi)/(c+di)=(a+bi)[(c-di)/(c+di)]。
在复数运算中，还有一些其他有用的性质：1. 复数的模（绝对值）对于一个复数a+bi，它的模定义为|a+bi|=√(a²+b²)。