离散练习题
离散数学图论练习题(优选试题)
图论练习题一.选择题1、设G是一个哈密尔顿图，则G一定是( )。
(1) 欧拉图(2) 树(3) 平面图(4)连通图2、下面给出的集合中，哪一个是前缀码？()(1) {0，10，110，101111}(2) {01，001，000，1}(3) {b，c，aa，ab，aba}(4) {1，11，101，001，0011}3、一个图的哈密尔顿路是一条通过图中()的路。
4、设G是一棵树，则G 的生成树有( )棵。
(1) 0(2) 1(3) 2(4) 不能确定5、n阶无向完全图Kn 的边数是( )，每个结点的度数是( )。
6、一棵无向树的顶点数n与边数m关系是()。
7、一个图的欧拉回路是一条通过图中( )的回路。
8、有n个结点的树，其结点度数之和是()。
9、下面给出的集合中，哪一个不是前缀码( )。
(1) {a，ab，110，a1b11} (2) {01，001，000，1}(3) {1，2，00，01，0210} (4) {12，11，101，002，0011}10、n个结点的有向完全图边数是( )，每个结点的度数是( )。
11、一个无向图有生成树的充分必要条件是( )。
12、设G是一棵树，n,m分别表示顶点数和边数，则(1) n=m (2) m=n+1 (3) n=m+1 (4) 不能确定。
13、设T=〈V,E〉是一棵树，若|V|>1，则T中至少存在( )片树叶。
14、任何连通无向图G至少有( )棵生成树，当且仅当G 是( )，G的生成树只有一棵。
15、设G是有n个结点m条边的连通平面图，且有k个面，则k等于:(1) m-n+2 (2) n-m-2 (3) n+m-2 (4) m+n+2。
16、设T是一棵树，则T是一个连通且( )图。
17、设无向图G有16条边且每个顶点的度数都是2，则图G有( )个顶点。
(1) 10 (2) 4 (3) 8 (4) 1618、设无向图G有18条边且每个顶点的度数都是3，则图G有( )个顶点。
《离散数学》复习题及答案
《离散数学》试题及答案一、选择或填空（数理逻辑部分）1、下列哪些公式为永真蕴含式？( )(1)⌝Q=>Q→P (2)⌝Q=>P→Q (3)P=>P→Q (4)⌝P∧(P∨Q)=>⌝P答：（1），（4）2、下列公式中哪些是永真式？( )(1)(┐P∧Q)→(Q→⌝R) (2)P→(Q→Q) (3)(P∧Q)→P (4)P→(P∨Q)答：（2），（3），（4）3、设有下列公式，请问哪几个是永真蕴涵式?( )(1)P=>P∧Q (2) P∧Q=>P (3) P∧Q=>P∨Q(4)P∧(P→Q)=>Q (5) ⌝(P→Q)=>P (6) ⌝P∧(P∨Q)=>⌝P答：（2），（3），（4），（5），（6）4、公式?x((A(x)?B(y，x))??z C(y，z))?D(x)中，自由变元是( )，约束变元是( )。
答：x,y, x,z5、判断下列语句是不是命题。
若是，给出命题的真值。
( )(1)北京是中华人民共和国的首都。
(2) 陕西师大是一座工厂。
(3) 你喜欢唱歌吗？ (4) 若7+8＞18，则三角形有4条边。
(5) 前进！ (6) 给我一杯水吧！答：（1）是，T （2）是，F （3）不是（4）是，T （5）不是（6）不是6、命题“存在一些人是大学生”的否定是( )，而命题“所有的人都是要死的”的否定是( )。
答：所有人都不是大学生，有些人不会死7、设P：我生病，Q：我去学校，则下列命题可符号化为( )。
(1) 只有在生病时，我才不去学校 (2) 若我生病，则我不去学校(3) 当且仅当我生病时，我才不去学校(4) 若我不生病，则我一定去学校答：（1）P↔（4）QP→⌝P⌝Q→⌝（2）QP⌝→（3）Q8、设个体域为整数集，则下列公式的意义是( )。
(1) ?x?y(x+y=0) (2) ?y?x(x+y=0)答：（1）对任一整数x存在整数 y满足x+y=0（2）存在整数y对任一整数x满足x+y=0 9、设全体域D是正整数集合，确定下列命题的真值：(1) ?x?y (xy=y) ( ) (2) ?x?y(x+y=y) ( )(3) ?x?y(x+y=x) ( ) (4) ?x?y(y=2x) ( )答：（1） F （2） F （3）F （4）T10、设谓词P(x)：x是奇数，Q(x)：x是偶数，谓词公式?x(P(x)?Q(x))在哪个个体域中为真?( )(1) 自然数(2) 实数 (3) 复数(4) (1)--(3)均成立答：（1）11、命题“2是偶数或-3是负数”的否定是（）。
离散数学习题
第1章命题逻辑一、单项选择题1. 下列命题公式等值的是( )BBAAQPQQPQB AABAAQPQP),()D(),()C() (),()B(,)A(∧∨⌝∨∨⌝∨→→→⌝→→∨⌝∧⌝2. 设命题公式G：)(RQP∧→⌝,则使公式G取真值为1的P，Q，R赋值分别是( )0,0,1)D(0,1,0)C(1,0,0)B(0,0,0)A(3. 命题公式QQP→∨)(为( )(A) 矛盾式(B) 仅可满足式(C) 重言式(D) 合取范式4 命题公式)(QP→⌝的主析取范式是( )．(A) QP⌝∧(B) QP∧⌝(C) QP∨⌝(D) QP⌝∨5. 前提条件PQP,⌝→的有效结论是( )．(A) P(B) ⌝P(C) Q(D)⌝Q6. 设P：我将去市里，Q：我有时间．命题“我将去市里，仅当我有时间时”符号化为( )QPQPQPPQ⌝∨⌝↔→→)D()C()B()A(二、填空题1. 设命题公式G：P→⌝(Q→P)，则使公式G为假的真值指派是2. 设P：我们划船，G：我们跑步，那么命题“我们不能既划船，又跑步”可符号化为3. 含有三个命题变项P，Q，R的命题公式P∧Q的主析取范式是4. 若命题变元P，Q，R赋值为(1,0,1)，则命题公式G＝)())((QPRQP∨⌝↔→∧的真值是5. 命题公式P→⌝(P∧Q)的类型是．6. 设A，B为任意命题公式，C为重言式，若C⇔∧，那么A∧CBA↔是式(重言式、矛盾式或可满B足式)三、解答化简计算题1.判别下列语句是否命题？如果是命题，指出其真值.(1) 中国是一个人口众多的国家. (2) 存在最大的质数.(3) 这座楼可真高啊！(4) 请你跟我走! (5) 火星上也有人.2.作命题公式)P∨∧→→的真值表，并判断该公式的类Q)((P)(PQ型．3. 试作以下二题：(1) 求命题公式(P∨⌝Q)→(P∧Q)的成真赋值．(2) 设命题变元P,Q,R的真值指派为(0,1,1),求命题公式∨P→R→⌝↔的真值．∧P⌝(()Q)((QR))4. 化简下式命题公式)⌝∧P∧∨Q⌝∧(P))Q((P5. 求命题公式))⌝∧→的主合取范式.Q→P∧P)(P((Q6. 求命题公式R→∧⌝⌝)((的真值．→(∧))QP∨PRQ∨↔RP7. 求命题公式)→∧→⌝的主析取范式，并求该命题公P⌝(Q)(PQ式的成假赋值．8. 将命题公式)⌝∧⌝化为只含∨和⌝的尽可能简单的⌝∧RQP→(P等值式．9. 求命题公式)∨⌝∧的真值表.P⌝∧)((QPQ四、证明题1. 证明S∧∧→)∨⌝)⌝(()(RQRS∧QP⌝P⌝∨⇒2. 构造推理证明：QR→→())((⇒S→)RPSQ→P∧∧3. 证明命题公式(P→(Q∨⌝R))∧⌝P∧Q与⌝（P∨⌝Q）等值．4. 证明命题公式)R→与QP→∧)(有相同的主析取范∨)((QRP→Q式．命题逻辑习题参考答案一、1. C 2. D 3. B 4. A 5. D 6. B二、1. 1,0；1,1 2. )(Q P ∧⌝或Q P ⌝∨⌝ 3. (P ∧Q ∧R )∨(P ∧Q ∧⌝R )4. 05. 非永真式的可满足式6. 重言三、1. (1) 是命题，真值为1. (2) 是命题，真值为0. (3), (4)不是命题. (5)是命题.1. 判别下列语句是否命题？如果是命题，指出其真值.(1) 中国是一个人口众多的国家. (2) 存在最大的质数.(3) 这座楼可真高啊！ (4) 请你跟我走! (5) 火星上也有人.2. 命题公式))(()(P Q P Q P ∨∧→→的真值表 P Q P →Q Q P ∧ P Q P ∨∧)())(()(P Q P Q P ∨∧→→ 0 0 1 0 0 00 1 1 0 0 01 0 0 0 1 11 1 1 1 1 1原式为可满足式.3. (1) (P ∨⌝Q )→(P ∧Q )⇔(⌝P ∧Q )∨(P ∧Q )⇔(⌝P ∨P )∧Q ⇔Q可见(P ∨⌝Q )→(P ∧Q )的成真赋值为(0,1)，(1,1)．(2) ))()(()(Q R Q P R P →⌝∨⌝→⌝∧↔0))10()01(()10(⇔→∨→∧↔⇔4. ))()((P Q P Q P ∧⌝∧⌝∨∧P Q P Q P ∧⌝∧⌝∨∧⇔)()()()(P P Q P Q P ∧⌝∧⌝∨∧∧⇔0)(∨∧⇔Q PQ P ∧⇔5. ))()((Q P P Q P ∧⌝∧→→))()((Q P P Q P ∧⌝∧∨⌝∨⌝⇔)())(Q P P Q P Q P ∧⌝∧∨∧⌝∧⌝∨⌝⇔)00(∧∨⌝⇔P)(Q Q P ⌝∧∨⌝⇔)()(Q P Q P ⌝∨⌝∧∨⌝⇔6. R P R Q P P R Q ∨↔∨→⌝∧→⌝∧)())((R P R Q P P R Q ∨↔∨∨∧∨∨⌝⇔)()(R P Q Q R P ∨↔∧⌝∨∨⇔)(1⇔7. Q P Q P Q P Q P Q P ⌝∧⇔⌝∨⌝∧⌝∧⇔⌝→∧→⌝)()()()(因为成真赋值是（1，0），故成假赋值为（0，0），（0，1），（1，1）8. ))()()(R P Q P P R Q P ∨∧∨⌝⇔→⌝∧⌝∧⌝))()((R P Q P ∨⌝∨∨⌝⇔不唯一．9. 作真值表P Q P∧Q⌝P⌝Q⌝P∨⌝Q (P∧Q)∧(⌝P∨⌝Q)0 0 0 1 1 1 00 1 0 1 0 1 01 0 0 0 1 1 01 1 1 0 0 0 0四、证明题1.①⌝Q∨R P②⌝R P③⌝Q①，②析取三段论④P→Q P⑤P⌝③，④拒取式⑥P∨⌝S P⑦⌝S⑤，⑥析取三段论2.前提：QPRSQP,)),((→→→结论：SR→证明：①R附加前提②R→P前提引入③P①，②假言推理④P→(Q→S) 前提引入⑤Q→S③,④假言推理⑥Q前提引入⑦S⑤,⑥假言推理3. (P→(Q∨⌝R))∧⌝P∧Q⇔(⌝P∨(Q∨⌝R))∧⌝P∧Q⇔(⌝P∧⌝P∧Q)∨(Q∧⌝P∧Q)∨(⌝R∧⌝P∧Q)⇔(⌝P∧Q)∨(⌝P∧Q)∨(⌝P∧Q∧⌝R)⇔⌝P∧Q⇔⌝(P∨⌝Q)4.方法1．)()(QRQP→∨→⇔)()(QRQP∨⌝∨∨⌝⇔∨∧⌝⇔QRP)(QRP→∧)(因为两命题公式等值，由主合取范式的惟一性，可知两命题公式的主合取范式是相同．方法2．)()(QRQP→∨→⇔)()(QRQP∨⌝∨∨⌝RQPQRP⌝∨∨⌝⇔∨⌝∨⌝⇔RQPQRPQRP⌝∨∨⌝⇔∨⌝∨⌝⇔→∧)(因为它们的主合取范式相同，可知它们的主析取范式也相同．第2章谓词逻辑习题一、 单项选择题1. 谓词公式)())()((x Q y yR x P x →∃∨∀中量词∀x 的辖域是( )(A) ))()((y yR x P x ∃∨∀ (B) P (x ) (C) )()(y yR x P ∃∨ (D) )(x Q2. 谓词公式∃xA (x )∧⌝∃xA (x )的类型是（ ）(A) 永真式 (B) 矛盾式(C) 非永真式的可满足式 (D) 不属于(A ),(B ),(C )任何类型3 设个体域为整数集，下列公式中其真值为1的是( )(A) )0(=+∃∀y x y x(B) )0(=+∀∃y x x y (C))0(=+∀∀y x y x (D) )0(=+∃⌝∃y x y x 4 设L (x )：x 是演员，J (x )：x 是老师，A (x ,y )：x 佩服y. 那么命题“所有演员都佩服某些老师”符号化为( )(A) ),()(y x A x xL →∀ (B) ))),()(()((y x A y J y x L x ∧∃→∀(C) )),()()((y x A y J x L y x ∧∧∃∀ (D) )),()()((y x A y J x L y x →∧∃∀ 5. 设个体域是整数集合，P 代表∀x ∃y ((x <y )→(x -y <0))，下面4个命题中为真的是( )(A) P 是真命题 (B) P 是谓词逻辑公式，但不是命题(C) P 是假命题 (D) P 不是谓词逻辑公式6. 表达式))(),(())(),((z zQ y x R y z Q y x P x ∀→∃∧∨∀中x ∀的辖域是( )(A) P (x ,y ) (B)R (x ,y ) (C)P (x ,y )∧R (x ,y ) (D) P (x ,y )∨Q (z )二、 填空题1. 设个体域D ＝{1,2},那么谓词公式)()(y yB x xA ∀∨∃消去量词后的等值式为.2. 设个体域D＝{a,b},公式))Gx→∀消去量词化为yHx∃(y,()(x3. 设N(x)：x是自然数，Z(y)；y是整数，则命题“每个自然数都是整数，而有些整数不是自然数”符号化为4. 谓词公式∀x(F(x)→G(x))∧⌝∀y(F(y)→G(y))的类型是．5. 设个体域{1,2},谓词P(1)=1,P(2)=0，Q(1)=0，Q(2)=1，则∀x(P(x)∨Q(x))的真值是三、解答化简计算题1. 判别谓词公式),(x∃yF∀→∃的类型.∀x,)yx(yyxF2. 指出谓词公式)(xQyPx∀中∀x和∃x的辖xR→∧∃x∧(,))x))(S)((x(域，并指出该公式的约束变元和自由变元以及约束出现次数和自由出现次数．3. 求谓词公式))PQx∧→x∀的真值．(R(())f(a其中P：4>3，Q（x）：x>1，R（x）：x≤2．f（-3）=1，f（1）=5，f（5）= -3．a：5．个体域D=（-3，1，5）．4.说明公式))xP∀xyG→(∀是逻辑有效式(永真式)．→x∃()y(,)(xxP5. 通过等值演算说明下列等值式成立：PxxxPQ∃→⇔∀→x∃)()()))(xQ(x(x6. 求谓词公式),,(xyyGxxF∃∧∀的前束范式.→∀yzH)(,,(xy(z))四、证明题1. 试利用代换实例证明谓词公式xyzGxF∀∃∀→∀x→,)())((xF(x)z是逻辑有效式(永真式)．2. 构造推理证明))xxQxxP∀∃．→∀⇒xP→(()()(Q(x)x（提示：))xA∨xxBx∀x∨∀⇒∀.))(()(()xB(xA谓词逻辑习题参考答案一、1. C ；2.. B ；3 A ；4. B ；5. A 6. D二、1. A (1)∨A (2)∨(B (1)∧B (2)) 2. (G (a )→(H (a ,a )∨H (a ,b )))∧ (G (b )→(H (b ,a )∨H (b ,b )))3.))()(())()((x N x Z x x Z x N x ⌝∧∃∧→∀ 4. 永假式 5. 1三、1.设I 为任意一个解释，D 为I 的个体域. 若在解释I 下，该公式的前件为0，无论),(y x xF y ∃∀如何取值，),(),(y x xF y y x yF x ∃∀→∀∃为1； 若在解释I 下，该公式的前件为1，则,0D x ∈∃使得),(y x yF ∀为1，它蕴含着),(,0y x F D y '∈'∀为1),(y x xF '∃⇒为1，由y '的任意性，必有),(y x xF y ∃∀为1，于是),(),(y x xF y y x yF x ∃∀→∀∃为1. 所以，),(),(y x xF y y x yF x ∃∀→∀∃是永真式．2. ∀x 的辖域为：P (x )→Q (x ,y )∧∃xR (x )∃x 的辖域为：R (x )x 既是约束变元，也是自由变元，约束出现3次，自由出现1次．y是自由变元，自由出现1次． 3. ))(())((a f R x Q P x ∧→∀=))5(())5(())1(())3((f R Q P Q P Q P ∧→∧→∧-→=)3()11()01()01(-∧→∧→∧→R01100=∧∧∧=4. 已知1)()(⇔∨⌝∨⌝⇔∨⌝∨⌝⇔→→P Q P P Q P P Q P因为))(),(()(x xP y x yG x xP ∀→∃→∀是)(P Q P →→的代换实例，可知))(),(()(x xP y x yG x xP ∀→∃→∀是逻辑有效式．或))(),(()(x xP y x yG x xP ∀∨⌝∃∨⌝∀1)(),()(⇔∨⌝∃∨⌝∀⇔x P y x yG x xP5. ⇔→∃))()((x Q x P x )()((x Q x P x ∨⌝∃))()(x xQ x P x ∃∨⌝∃⇔)()(x xQ x xP ∃∨⌝∀⇔)()(x xQ x xP ∃→∀⇔6. ),,()),(),((z y x zH y x yG y x xF ∃∧∀→∀),,()),(),((z y x zH y x yG y x xF ∃∧∀∨⌝∀⇔),,()),(),((z y x zH v u vG y u F u ∃∧∀∨⌝∃⇔)),,()),(),((z y x zH v u vG y u F u ∃∧∀∨⌝∃⇔)),,()),(),(((z y x H v u Q y u F z v u ∧∨⌝∃∀∃⇔(或)),,()),(),(((z y x H v u Q y u F z v u ∧→∃∀∃⇔)四、1.谓词公式))(),(()(x xF z x zG y x xF ∀→∃∀→∀ 是命题公式)(P Q P →→的代换实例．因为命题公式⇔∨⌝∨⌝⇔→→P Q P P Q P )(1是永真式， 故))(),(()(x xF z x zG y x xF ∀→∃∀→∀是逻辑有效式．2.前提：)()(x xQ x xP ∀→∃．结论：)()(x xQ x xP ∀→∃．证 ① )()(x xQ x xP ∀→∃ 前提引入② )()(x xQ x xP ∀∨⌝∃ T ①,蕴含等值式③ )()(x xQ x P x ∀∨⌝∀ T ②,量词否定④ ))()((x Q x P x ∨⌝∀⑤ ))()((x Q x P x →∀ T ④,蕴含等值式第3章 集合及其运算一、 单项选择题1. 设a 是集合A 的元素，则以下正确的是( )A a A a A a a a ∈⊆⊆⊆}){D ()C (}){B (}){A (2. 设集合A ={1,2,3,4},B ＝{2,4,6,9}，那么集合A ，B 的对称差A ⊕B＝( )(A) {1,3} (B) {2,4,6} (C) {1,3,6,9} (D) {1,2,3,4,6,9}3. 设集合A ＝{{1,2,3},{4,5},{6,7,8}}，则下列各式为真的是( )(A) 1∈A (B) {{4,5}}⊂A(C) {1,2,3}⊆A (D) ∅∈A4. 设A , B , C 都是集合，如果A ⋂C ＝B ⋂C ，则有( ) (A) A ＝B (B) A ≠B (C) 当A －C ＝B －C 时,有A =B(D) 当C =U 时, 有A ≠B5. 设集合A ＝{∅，a }，则P (A )＝ ( )}},{},{},{,){D (}}}},{,{},{},{,){C (}},{},{},){{B (}},{},{,){A (a a A a a a a a a ∅∅∅∅∅∅∅∅∅∅6. 设A ={1，2，3}，B ={2，3，4，5}，C ={2，3}，则（A ∪B ）⊕C 为（ ）(A) {1，2} (B) {2，3} (C) {1，4，5} (D) {1，2，3}二、 填空题1.设A , B 代表集合，命题A -B =∅⇔A=B 的真值为 ．2. 设A , B 为任意集合，命题A -B =∅⇔A⊆B 的真值为 ．3. 设集合A ={∅,{a }}，则A 的幂集P (A )=4. 设集合A ={{a ,b },c }, B ={c ,d }, 那么A －B ＝5. 设集合A ＝{1,2,3,4}，B ={a ，b ，c }，则∣A ×B ∣＝三、解答化简计算题1. 试作以下二题：(1) 设有序对＜2x +y ,6＞=＜5,x +y ＞,求x ,y ；(2)设集合A ＝{1,2},求A ×P (A ).2. 设集合A ＝{a ,b ,c },B ={b ,d ,e }，求B ⋂A ，A ⋃B ，A －B ，B ⊕A ．3. 化简集合表达式：((A ⋃B ⋃C )⋂(A ⋃B ))－((B ⋃(B －C ))－A )4. 判断下列哪些运算结果是对的？哪些是错的？请将错误的运算结果更正过来．(1) ∅=∅⋂∅}{ (2) ∅=∅⋃∅}{(3) }{}}{,{}{∅=∅∅⋂∅ (4) }}{,{}{}}{,{∅∅=∅-∅∅（5）A B B A =⋃-)( （6）A B B A =-⋃)(（7）A A A =⊕ （8）∅=-⋂A B A )(5.易,0.5,8,掌握,2-2 设全集E ＝(a ,b ,c ,d ,e ,f ), A ={a ,d }，B ={a ,b ,e }，C ={b ,d }，求下列集合：(1) C B A ~)(⋃⋂； (2))()(A P A A ⋃⊕.6. 设},{},,,{},,{},,,,,{42=521=41=54321=C B A E求 (A ⋂B )⋃~C ，P (A )－P (B )，A ⊕B ．四、证明题1. 设A ，B ，C 为三个集合，证明若C ⊆A ．则(A ⋂B )⋃C ⊆A ⋂(B ⋃C )2. 试证明对任意集合A ，B ，C ，如果B A ⊆且D C ⊆，则C BD A -⊆- 3. 设A ，B ，C 为任意集合，证明：)()()(C B C A C B A ---=--集合练习题参考答案一、1. B 2. C 3. B 4. C 5. D 6. C 二、1. 0 2. 1 3. }}}{,{}},{{},{,{a a ∅∅∅ 4. {{a ,b }} 5.12三、解答化简题1. (1) 由有序对定义，解方程⎩⎨⎧=+=+652y x y x 解得x=－1，y=7．(4分)（2）P （A ）={∅,{1},{2}{1,2}}A ⨯P (A )={<1,∅>,<2,∅>,<1,{1}>,<2,{1}>,<1,{2}>,<2,{2}>,<1,{1,2}>,<2,{1,2}>}2. B ⋂A ＝{b } A ⋃B ={a ,b ,c ,d ,e } A －B ={a ,c } B ⊕A ={a ,b ,c ,d ,e }－{b }={a ,c ,d ,e }3. ((A ⋃B ⋃C )⋂(A ⋃B ))－((B ⋃(B －C ))－A )＝(A ⋃B )－(B －A ) =(A ⋃B )⋂(～B ⋃A ) =A ⋃(B ⋂～B )=A ⋃∅=A4. (1) 对． (2) 错．应为}{∅． (3) 对． (4) 错．应为{}{∅}（5）错．应为B A ⋃ （6）错．应为B A -(或B A ~⋂或A －AB )（7）错．应为∅，即∅=⋂-⋃=⊕A A A A A A （8）对． 5. (1) },,,{},,,{}{~)(f e c a f e c a a C B A =⋃=⋃⋂ (2)∅=⋂-⋃=⊕)()()(A A A A A A . }},{},{},{,{)(d a d a A P ∅=.故)()(A P A A ⋃⊕＝}},{},{},{,{d a d a ∅ 6. (A ⋂B )⋃~C ={1}⋃}5,3,1{}5,3,1{=}},{},{{}},{},{},{,{}},{},{},{,{)()(411=4242-4141=-φφC P A PA⊕B =(A⋃B)－（A⋂B）=}5,4,2{}5,4,2,1{=-}1{四、证明题1. 已知xC∀⊆,A∈⋂∨⇔⋃(∈)x∈⋂CAxABxBC∈∧(⇔)∈∨Cx∈BxAx∨∈x∈∧⇔A∈∨∈x(C)(x)BCx∈∈x⋃∨⋂∧A⇒∈∈⇔B(C(xA)BxC)即)⋂A⋃⊆⋂B⋃(CC)(AB2. 由于C⇔~⊆⊆，DC~D又有BA⊆，所以⊆⋂~⋂DCA~B即C-．⊆A-DB3. )A⋂CC⋂B---A=⋂~)~(~C(B(C))(⋂A⋃C=⋂~B(~))(CA⋂CB⋂⋂A⋂⋃=(~))~(C~C＝C)~~(⋂⋂⋂=⋂= C)(BBAC~A~(-)BA-第3章 二元关系练习题一、 单项选择题1. 设集合A ＝{0,b },B ={1,b ,3},则A ⋃B 上的恒等关系是 ( ).(A) {<0,0>,<1,1>,<3,3>} (B){<0,0>,<1,1>,<b ,b >,<3,3>}(C) {<1,1>,<b ,b >,<3,3>} (D) {<0,1>,<1,b ><b ,3>,<3,0>} 2. 已知集合A ＝{a ,b ,c }上的二元关系R 的关系矩阵M R ＝⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡001011010，那么R ＝( )，(A) {<a ,b >,<b ,a >,<b ,b >,<a ,c >} (B) {<a ,b >,<b ,a >,<b ,b >,<c ,b >} (C) {<a ,b >,<a ,a >,<b ,b >,<c ,a >} (D) {<a ,b >,<b ,a >,<b ,b >,<c ,a >} 3. 设集合A ={1,2,3,4}, A 上的二元关系R 的关系矩阵为M R ＝⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡00000001011001则关系R 的表达式是( )(A) {<1,1>,<1,4>,<2,1>,<2,3>} (B) {<1,1>,<1,2>,<1,4>,<2,3>} (C) {<1,1>,<2,1>,<3,2>,<1,4>} (D) {<1,1>,<2,1>,<3,2>,<4,1>}4. 设A ={a ，b ，c }，R ={<a ，a >，<b ，b >}，则R 具有性质（ ） (A) 自反的 (B) 反自反的 (C) 反对称的 (D) 等价的5. 设R 是集合A 上的二元关系，I A 是A 上的恒等关系，如果R ⊂I A ，则下面四个命题中为真的是（ ）(A) R 不是自反的 (B) R 不是传递的 (C) R 不是对称的 (D) R不是反对称的 二、填空题1. 设R ，S 都是集合A 上的等价关系，则对称闭包s (R ⋂S )=2. 如果关系R 是传递的，则R ∙R ⊆ ．3. 设集合A ={1,2,3,4 }, B ={6,8,12}, A 到B 的关系R ＝},,2,{B y A x x y y x ∈∈=><,那么R －1＝4. 设X ＝{a ,b ,c }，R 是X 上的二元关系，其关系矩阵为 M R＝⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡001001101，那么R 的关系图为 ．5. 设A ={1,2,3,4}，A 上的二元关系}3,{Z ∈-><=y x y x R ,其中Z 是整数集合．试用列举法那么R＝ ． 三、解答化简计算题1. 设集合A ＝{a ,b ,c ,d }，在A 上定义二元关系R ＝{<a ,a >,<a ,d >,<b ,b >,<b ,c >,<c ,b >,<c ,c >,<d ,a >,<d ,d >} R 是否为等价关系，说明理由.2. 设R 是实数集，R 上的二元关系S 为 S ＝{<x ,y >∣x ,y ∈R ∧x =y }试问二元关系S 具有哪些性质？简单说明理由．3. 设A ＝{1,2},B ={a ,b },试问从A 到B 的二元关系有多少个?4. 设集合A ＝{0，1，2，3，4，5，6}上的偏序关系R 如下： R={<0,1>,<0,2>,<0,3>,<0,4>,<0,5>,<0,6>,<4,6>,<2,5>,<3,5>}⋃I A 做偏序集<A ,R >的哈斯图，并求B ={0,2,3}的极大元、极小元、最大元和最小元．5. 设集合A ={0,1,2,3,4}，定义A 上的二元关系R 为： R ＝{<x ,y >⎪x ,y ∈A ∧(x =y ∨x +y ∈A )}试写出二元关系R 的集合表达式，并指出R 具有的性质．6. 已知集合A 上的二元关系R 的关系图如图4－1，试写出R 的集合表达式和R 的关系矩阵．并指出R 所有的性质．7. 设集合A ＝{1,2,3,4}, B ＝{2,4,6} 从A 到B 的二元关系R 定义为R ＝},{N k k xy B y A x y x ∈∧=∧∈∧∈><试求R 的集合表达式和关系矩阵M R .8. 设R 1是A 1＝{1,2}到A 2＝(a ,b ,c )的二元关系，R 2是A 2到A 3＝{βα,}的二元关系，R 1= {<1,a >,<1,b >,<2,c >}, R 2={<a ,β>,<b ,β>} 试用关系矩阵求R 1∙R 2的集合表达式.9. 设集合X ＝{a ,b ,c ,d },X 上的二元关系R 的关系图如图4－2所示．试写出R 的表达式和关系矩阵．10. 设集合S ＝{1,2,3,4},定义S 上的二元关系 })(,,{2y x S y x S y x y x R >∧∈-∧∈><=},,{是素数yx S y x y x T ∧∈><=试求R ，T 的元素表达式，并计算R ∙T ． 四、证明题1. 证明如果非空集合A 上的二元关系R 和S 是偏序关系，则S R ⋂也是A 上的偏序关系．2. 设R 是集合A 上的二元关系，试证明R 是自反的当且仅当R I A ⊆．3. 假设R 是非空集合A 上的等价关系，证明R 的逆关系R －1也是A 上的等价关系．0 ∙ ∙2 1∙ 图4－ 1a db c图4－2二元关系习题参考答案一、1. B 2. D 3. A 4. C 5. A二、1. R ⋂S 2. R 3. {<6,3>,<8,4> }4. 如图4－3．5. }1,4,4,1{><><⋃A I三、1. R 含有<a ,a >,<b ,b >,<c ,c >,<d ,d >, 是自反的；R 含有<a ,a >,<b ,b >,<c ,c >,<d ,d >,<a ,d >,<d ,a >,<b ,c >,<c ,b >, 是对称的； 对R z x R z y R y x >∈⇒<>∈<>∈<∀,,,,，是传递的.故R 是A 上的等价关系.2. S 具有自反性，显然<x ,x >∈S ； S 具有对称性，∀<x ,y >∈S ，有x =y ，则<y ,x >∈S ； S 具有反对称性，∀<x ,y >,<y ,x >∈S ，有x =y ； S 具有传递性，∀<x ,y >,<y ,z >∈S ,因为x =y =z ，故<x ,z >∈S ．3. 二元关系共有16个．4. A ＝{0,1,2,3,4,5,6}, B ={0，2，3}， 哈斯图如图4－4．B 的极大元：2，3, B 的极小元：0 B 的最大元：无 B 的最小元：05. 由题设，R ＝I A ⋃{<0,1>,<1,0>,<0,2>,<2,0>,<0,3>,<3,0>,<0,4>,<4,0>,<1,2>,<2,1>,<1,3>,<3,1>}易知，R 具有自反性和对称性．6. }0,2,2,0,2,2,0,0{><><><><=R⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=101000101RMR 有对称性和传递性．7. R ＝{<1,2>,<1,4>,<1,6>,<2,2>,<2,4>,<2,6>,<3,6>,<4,4>}M R =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡01100111111 a c b 图4－3 6∙ 5∙∙4 3∙ 2∙ ∙10∙ 图4－48. ,100111⎥⎦⎤⎢⎣⎡=R M⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=0010102R M ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=∙10001121R R M ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡0010001010 },1{21><=∙βR R9. R ＝{<a ,a >,<a ,c >,<b ,c >,<d ,d >}⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=1000000001000101R M 10. }2,4,3,4,2,3,1,2{><><><><=R}2,4,1,3,1,2{><><><=T }1,4,1,3{><><=⋅T R四、证明题1. .① S R x x S x x R x x A x ⋂>∈⇒<>∈<>∈<∈∀,,,,,，所以S R ⋂有自反性；②,,A y x ∈∀因为R ，S 是反对称的，yx x y y x S x y S y x R x y R y x S x y R x y S y x R y x S R x y S R y x =⇔=∧=⇒>∈<∧>∈<∧>∈<∧>∈<⇔>∈<∧>∈<∧>∈<∧>∈<⇔⋂><∧⋂><),,(),,(),,(),,(,, 所以，R ⋂S 有反对称性．③ A z y x ∈∀,,，因为R ，S 是传递的， S R z y S R y x ⋂>∈<∧⋂>∈<,,S z y R z y S y x R y x >∈<∧>∈<∧>∈<∧>∈⇔<,,,, S z y S y x R z y R y x >∈<∧>∈<∧>∈<∧>∈⇔<,,,, S R z x S z x R z x ⋂>∈⇔<>∈<∧>∈⇒<,,,所以，S R ⋂有传递性． 总之，R 是偏序关系. 2. 先证必要性．假设R I A ⊆/，则必存在x ∈A ,使得<x ,x >∈I A ,且<x ,x >∉R ,这与R 是自反的相矛盾．所以R I A ⊆．再证充分性．设R I A ⊆，则对,,,A I x x A x >∈<∈∀因为R I A ⊆，所以R x x >∈<,．因此R 是自反的．3. (1) ∀x ∈A ，则<x ,x >∈R ，显然<x ,x >∈R －1，R －1具有自反性． (2) ∀x ，y ∈A ， 如果<x ,y >∈R －1⇔<y ,x >∈R⇒<x ,y >∈R (R 是对称的)⇔<y ,x >∈R －1， R －1具有对称性．(3) ∀x ,y ,z ∈A ，如果<x ,y >∈R －1∧<y ,z >∈R 1⇔<y ,x >∈R ∧<z ,y >∈R ⇔<z ,y >∈R ∧<y ,x >∈R ⇒<z ,x >∈R （R 是传递的）⇔<x ,z >R －1，R 具有传递性．总之，R 是等价关系．第5章 群练习题一、单项选择题1. 设A ＝Q ×Q ，其中Q 是有理数集，定义A 上的二元运算*为:),,(b a ∀,A y x ∈),(,),(),(),(b ay ax y x b a +=*,则(1,2)*(3,4)=())6,3)(D ()8,6)(C ()1,5)(B ()10,3)(A (-2. 下列集合和运算能构成群的是 ( )．(A) (M n (R ),+),其中M n (R )是定义在实数集上的n 阶矩阵，＋是普通加法 (B)(A ,+),其中A ＝{0,±1,±2,…,±n },+是普通加法 (C)({21,0,2},+),其中＋是普通加法(D) ({0,1,2,3},⊗),其中运算⊗是模4乘法3. 在自然数集N 上定义的二元运算*，满足结合律的是( )ba b a b a b a b a b a b a b a -=*=*2+=*-=*)D (},max{)C ()B ()A (4. 以下代数系统中，只是半群的为( )． (A) (Z ，︒)，其中Z 是整数集，∀a ,b ∈Z ,a ︒b =a +b －2 (B) (Z ，︒)，其中Z 是整数集，∀a ,b ∈Z ,a ︒b =b (C) (Z ，︒)，其中Z 是整数集，∀a ,b ∈Z ,a ︒b =a +b －ab(D) (R －{0}，︒)，其中R 是实数集，∀a ，b ∈R ,a ︒b =ab 5. 以下群中，是循环群的为( )． (A) (Z ，+)，其中Z 是整数集，+是数的加法 (B) (Q +，×)，其中Q +是正有理数集，×是数的乘法 (C) (Q ，+)，其中Q 是有理数集，+是数的加法(D) (P (A),⊕)，其中A ={a ,b },P (A)是A 的幂集，⊕是集合的对称差运算 二、填空题 1. 设R 是实数集，∀a ,b ∈R ,定义二元运算*：a *b =a +b +ab ,已知0∈R 是其单位元，那么∀a ∈R ,但a ≠－1，则a 的逆元是 .2. 设(R *, )是代数系统，其中R *＝R －{0}，二元运算 定义为abb a R b a =∈∀ ,,*,那么，a R a ,*∈∀的逆元是3. 设集合A ＝{1，2，3}，在A 上定义二元运算︒为：,,A b a ∈∀a ︒b =},min{b a ，则︒的运算表为︒ 1 2 3 1 2 34. 设S 是非空有限集合，P （S ）是S 的幂集，则代数系统<P (S ),⋃ >存在单位元是 三、解答化简计算题1. 设代数系统(R *, ︒)，其中R *是非0实数集，二元运算︒为：∀a ,b ∈R , a ︒b =ab. 试问︒是否满足交换律、结合律，并求单位元以及可逆元素的逆元.2. 验证H 2={e ,a 3}是6阶循环群G ={ e ,a 1,a 2,a 3,a 4, a 5}的子群．3. 验证代数系统(Z ,+)与(2Z ，+)同构．4. 设集合A ＝{1,2,3}，P (A )是A 的幂集合，⊕是集合的对称差运算．求运算⊕在P (A )上的单位元．∀x ∈P (A )，求x 关于运算⊕的逆元．并解方程{1,2}⊕y ={1}．四、证明题1. 设群(G ,*), 若∀a ∈G ,都有a 的逆元a －1=a ，则G 是交换群.2. 设R *=R －{0}，集合S 定义为},00{*R b a b a S ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡= 证明代数系统(S ，*)是群，其中*是矩阵的乘法运算．3. 在整数集合Z 上定义二元运算︒：∀x ,y ∈Z , x ︒y =x +y －2，已知<Z , ︒>是半群，证明<Z ，︒>是群．4. 证明群(R ，+)与(R +，∙)同构，其中+和∙分别是数的加法和乘法．(提示：考虑函数f (x )=e x )群练习题参考答案一、1. D 2. A 3. C 4. B 5. A 二、1. 1+-a a 2.a1 3.4. ∅三、1. ∀a ,b ,c ∈R *, a ︒b =ab =ba =b ︒a ，可交换； (a ︒b )︒c =ab ︒c =abc =a (bc )=a ︒(bc )=a ︒(b ︒c )，可结合. 易见，单位元为1.对∀a ∈R *, a ︒a －1=aa －1=1=a －1a ＝a －1︒a ，故a 的逆元：aa 11=-2. (1) H 2⊂G ．易验证∀x ,y ∈H 2,有xy ∈H 2．且在H 2上满足结合律． e 是其单位元，(e )－1=e ，(a 3)－1=a 3． 故H 2是G 的子群．3. ∀z ∈Z ，f (z )=2z ，有f ：Z →2Z ．∀z 1,z 2∈Z ，f (z 1+z 2)=2(z 1+z 2)= 2z 1+2z 2= f (z 1)+f (z 2) 所以，(Z ,+)与(2Z ，+)同态．又因为f (z )=2z 是双射函数，故(Z ,+)与(2Z ，+)同构． 4. ∀S ∈P (A)，S ⊕∅=∅⊕S =S ，故∅是单位元． ∀x ∈P (A)，x ⊕x =∅，故x 的逆元是它自己． 因为(1,2)的逆元是{1,2}，故y ={1,2}⊕{1}={2}． 四、1. 111,,)(,,,---==*=*∈*∈∀b b a a b a b a G b a G b a 由题设(3分) 于是有a b a b b a b a b a *====--------11111111)(*)()*()*(* 所以G 是一个交换群.2. 任取S 中的元素⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡d c y x b a00,00,00，其中a ,b ,x ,y ,c ,d ∈R *，有⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡byd axc yd xcb a dc y x b a byd axc d c by ax d c y x b a 0000*00)00*00(*000000*0000*)00*00(︒1 2 3 1 1 1 1 21 2 2 3123可见，*满足结合律，故(S ，*)是半群． 取E =S ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡1001，∀A ∈S ，有AE ＝EA ＝A ．E 为S 的单位元．∀X ∈S ，X =⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x0，x ,y ∈R *，则存在⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡y x 1001∈S ，则有⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x0*⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡y x 1001＝⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡y x 1001*⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x 00=E ，即X －1＝⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡y x 1001．S 的每个元素都有逆元.故(S , *)是群． 3. 因为<Z ，︒>是半群，易见二元运算︒满足交换律．设幺元为e , ∀x ∈Z ，有x ︒e =x +e －2=x ，得到e =2∈Z ，幺元存在惟一；∀x ∈Z , x 的逆元记作x －1, x ︒x －1=x +x －1－2=2, 即x －1=4－x ∈Z ，即x 的逆元存在且惟一．所以，<Z ，︒>是群． 4.设f (x )=e x ，可知f ：R →R +．(1) ∈∀21,x x R ，)()(e e e )(21212121x f x f x x f x x x x ∙===++∈R +． 0和1分别是(R ，+)和(R +，∙)的单位元，有 f (0)=e 0=1对任意x ∈R ，x 关于+的逆元为－x ，而f (－x )＝e －x ＝)(11x f ex=．(2) f ：R →R +是双射函数．所以，(R ，+)与(R +，∙)同构．第6章 格与布尔代数及环、域练习题一、 单项选择题1.下列偏序集中是格的为( )2. 设布尔代数式c b a f ⋅+=，则f 的对偶式f *=( )(A) c b a ⋅+ (B) c b a ⋅+ (C) c b a +⋅ (D) c b a +⋅ 3. ( )是布尔代数． (A) 有余有界格 (B) 有余分配格 (C) 有界分配格 (D) 有余代数格 4. 设G 是非空集合，G 上二元运算︒和*，*对︒有左、右分配律，又满足( )，则(G ,︒,*)称为环．(A) (G ,*)是交换群，(G ,︒)是交换群 (B) (G ,*)是半群，(G ,︒)是半群(C) (G ,*)是群，(G ,︒)是群 (D) (G ,*)是半群，(G ,︒)是交换群二、 填空题1. 设代数系统(L ，︒，*)，若(L ，︒)是 ，(L ，*)是半群，又二元运算*对︒满足分配律，则(L ，︒，*)是环.2. 布尔代数式))(()1(c a b a +⋅+⋅的对偶式是3.在布尔代数中，有b a b a a +=⋅+)(成立，则其对偶式 一定成立．4. 若<G ,+,∙>是环，那么∀a ,b ∈G ，有 则称<G ,+,∙>是交换环． 三、解答化简计算题1. 设代数系统(Z ，+，×)，已知(Z ，×)是半群，验证(Z ，+，×)是环．2. 设(L ，*，︒)是有补格，∀a ,b ∈L ，化简表达式 (a *b )*(a '︒b ')(其中a ',b '分别是元素a ,b 的补元)3. 已知(L ，*，︒)是格，且二元运算*和︒满足分配律，∀a ,b ,c ∈L ，化简表达式 ((a *b )︒(a *c ))* ((a *b )︒(b *c ))4. 试作以下二题：(1)已知A ≠∅，则(P (A )，⋃，⋂，～，∅，A )是布尔代数，∀S ∈P (A )，求S 的补元，说明理由．（2）布尔代数(),,,+∙B ，其中}1,0{=B ，若B 上的三个变元的表达式c b c b a c b a E ++∙+=),,(求)1,1,0(E 的真值．四、证明题1. 设R 为实数集，证明(R ，＋)是交换群，(R ,×)是半群，且×对＋满足左、右分配律，即(R ，＋，×)是环．其中＋，×是普通加法和乘法．2. 设<S ,+,∙,,0,1>为一布尔代数，证明∀a ,b ∈S ，有b a b a a +=∙+)(；b a b a a ∙=+∙)((A)(B) (C) (D)格等代数系统习题参考答案一、 1. B 2. C 3. B 4. D二、1.交换群 2. ))(()0(c a b a ⋅+⋅+ 3. b a b a a ⋅=+⋅)( 4. a ∙b =b ∙a 三、1.只需验证(Z ，+)是交换群． 易验证整数具有结合律，交换律． 0是加法的单位元．(4分)∀k ∈Z ，∃－k ∈Z ，有 k +(―k )=(―k )+k =0Z 中每个元素有逆元．故(Z ,+)是交换群． 所以(Z ,+,×)是环．(8分)2. (a *b )*(a '︒b ')＝(a *b )* (a *b ) '=13. ((a *b )︒(a *c ))*((a *b )︒(b *c ))＝(a *b )︒ ( (a *c )* (b *c ))(分配律) =(a *b ) ︒((a *b )*c ) (幂等律) =a *b (吸收律)4. (1) 对任意S ， 因为S ⋃(A －S )=(S ⋃A )⋂(S ⋃~S )=A ，S ⋂(A －S )=S ⋂(A ⋂~S )=∅故S 的补元为A －S ．（2） 因为c b c b a c b a E ++∙+=),,(所以， E (0,1,1) =11110++∙+=1110++∙=0+1=1四、1. (1)∀x ,y ,z ∈R ,有(x +y )+z =x +(y +z ),满足加法 R 上满足加法结合律． (2) ∀x ,y ∈R ,有x +y =y +x ,满足加法R 上满足加法交换律．(3)R 中存在元素0，使得∀x ∈R ,有x +0 =0＋x , 加法单位元存在，为0． (4) ∀x ∈R , 存在－x ∈R ，使得x +(－x )=0，加法逆元存在，x －1=－x ． 可见(R ,+)是交换群； (5) ∀x ,y ,z ∈R ,有(x ×y )×z =x ×(y ×z ),满足乘法结合律． 可见(R ,×)是半群； (6) ∀x ,y ,z ∈R ,有(x +y )×z =x ×z +(y ×z ), z ×(x +y )=z ×x +z ×y , 满足左、右分配律．二元运算×对＋满足左右分配律．总之，(R ，＋，×>是环． 2. b a b a b a a a b a a +=+∙=+∙+=∙+)(1)()()( b a b a b a a a b a a ∙=∙+=∙+∙=+∙0)()(第７章 图的基本概念一、 单项选择题1. 设V ＝{a ,b ,c ,d },与V 能构成强连通图的边集E ＝( )(A) {<a ,b >,<a ,c >,<d ,a >,<b ,d >,<c ,d >} (B) {<a ,d >,<b ,a >,<b ,c >,<b ,d >,<d ,c >} (C) {<a ,c >,<b ,a >,<b ,c >,<d ,a >,<d ,c >} (D) {<a ,d >,<b ,a >,<b ,d >,<c ,d >,<d ,c >} 2. 有向完全图D ＝<V ,E >, 则图D 的边数是( )(A)2)1(-E E (B)2)1(-V V (C) ∣E ∣(∣E ∣－1) (D) ∣V ∣(∣V ∣－1)3. n 阶无向完全图K n 中的边数为（ ） (A)2)1(-n n (B)2)1(+n n (C) n (D)n (n +1)4. 给定无向图G 图5－1所示，下面给出的顶点集子集中，不是点割集的为（ ）(A) {b ,d } (B) {d } (C) {a ,c } (D) {g ,e } 5. 下列数组中，不能构成无向图的度数列的数组是( )(A) (1,1,1,2,3) (B) (1,2,3,4,5) (C) (2,2,2,2,2) (D) (1,3,3,3)二、 填空题1.设有向图D ＝<V ,E >的邻接矩阵为A (D )=0110101000010110⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，那么∣E ∣＝ . 2. 无向图G (如图5－2)的关联矩阵M (G )=3. 数列{2，3，3，4}不能构成无向简单图的度数列，此命题的真值为4. 在有向图的邻接矩阵中，第i 行元素之和与第j 列元素之和分别为 ．5. 图G 如图5－3，那么图G 的割点是6. 有16条边，每个顶点都是2度顶点的无向图有个顶点．三、解答化简计算题 1. 设图G 如图5－4所示．已知通路(1) v 1e 5 v 5e 7 v 2e 2 v 3(2) v 5e 6 v 2e 2 v 3e 3 v 4e 8 v 2e 7 v 5 (3) v 2e 7 v 5e 6 v 2(4) v 1e 1 v 2e 2 v 3e 3 v 4e 8 v 2e 6 v 5试回答它们各是简单通路、简单回路、 初级通路还是初级回路．a gb d fc e 图5－ 1 v 2e 2 v 3 e 1 e 3 v 1 e 4 v 4 图5－2a bf ce d图5－3 v 1 e 1 e 5 v 2 e 6 v 5 e 2 e 7 e 4 e 8v 3 e 3 v 4 图5－42. 指出有向图D(如图5－5)中各图是强连通，单侧连通还是弱连通？3. 找出无向图G（如图5－6所示）中的一个点割集，三条边和四条边的边割集各一个．4. 已知有向图D(如图5－7)的邻接矩阵为A(D)=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡111111111求从v2到v4长度为2和从v3到v3长度为2的通路条数，并将它们具体写出.5. 设图G＝<V，E>，其中V＝{a,b,c,d,e}, E={(a,b),(b,c),(c,d), (a,e)}试作出图G的图形，并指出图G是简单图还是多重图？是连通图吗？说明理由.6. 设简单连通无向图G有12条边，G中有2个1度结点，2个2度结点，3个4度结点，其余结点度数为3．求G中有多少个结点．试作一个满足该条件的简单无向图．四、证明题1. 若无向图G中只有两个奇数度结点，则这两个结点一定是连通的．2 证明在任何有向完全图中，所有结点的入度平方之和等于所有结点的出度平方之和．(1)(2)(3)(4)(5)图5－5a bce d图5－6v4 v3v1 v2图5－7图的基本概念习题参考答案一、1. A 2. D 3. A 4. A 5. B二、1. 7 2. ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡11001101101001 3. 1 4.结点v i 的出度与结点v j 的入度 5. a , f 6. 16 三、1. (1) 初级通路； (2) 简单回路； (3) 初级回路； (4) 简单通路．2. 强连通图为：图5－5的(1),(4),(5)；单侧连通图为：如图5－5的(1),(2),(4),(5)，或图5－5的(2)； 弱连通图为：图5－5(1)～(5)，或图5－5的(3).．3. 点割集：{a ,c ,d }(不惟一) 三条边的边割集：{(b ,c ),(c ,e ),(c ,d )}(不惟一) 四条边的边割集：{(a ,b ),(a ,d ),(d ,e ),(c ,e )}(不惟一)4.. A 2(D )=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡2120020221201212从矩阵A 2(D )中a 24=2,a 33=2可知，从v 2到v 4长度为2的通路有2条. 它们是： v 2v 3v 4,和v 2v 1v 4, 从v 3到v 3长度为2的通路有2条. 它们是： v 3v 4v 3,和v 3v 2v 3,5. 图G 如图5－8.图G 中既无环，也无平行边，是简单图.图G 是连通图. G 中任意两点都连通. 6. 设图G 有x 个结点，有握手定理 2⨯1+2⨯2+3⨯4+3⨯（x -2-2-3）＝12⨯2271821243=-+=xx ＝9 图G 有9个结点． 作图如图5－10四、1. 用反证法．设G 中的两个奇数度结点分别为u 和v ．假若u 和v 不连通． 即它们之间无任何通路，则G 至少有两个连通分支G 1，G 2，且u 和v 分别属于G 1和G 2，于是G 1和G 2各含有一个奇数度结点．这与握手定理的推论矛盾．因而u 和v 一定是连通的．ab ec d图5－8 图5－10第七章几种特殊图练习题一、 单项选择题1. 以下命题真值为1的是( )(A) 无向完全图都是欧拉图 (B) 有n 个结点n －1条边的无向图都是树 (B) 无向完全图都是平面图 (D) 树的每条边都是割边 2. 有4个结点的非同构的无向树有 ( )个． (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5 3. 无向完全图K 4是（ ）（A ）欧拉图 （B ）哈密顿图 （C ）树 （D ）非平面图 4. 以下各图中存在哈密顿回路的图是 ( )5. 设G 是连通平面图，有v 个结点，e 条边，r 个面，则r = ( )． (A) e －v ＋2 (B)v ＋e －2 (C)e －v －2 (D) e ＋v ＋26. 无向图G 是欧拉图，当且仅当( )(A) G 中所有结点的度数全为偶数 (B) G 中所有结点的度数全为奇数 (C) G 连通且所有结点的度数全为偶数 (D) G 连通且所有结点的度数全为奇数 7. 设G 是有6个结点的无向完全图，从G 中删去( )条边，则得到树． (A) 6 (B) 9 (C) 10 (D) 15二、填空题1. 无向连通图G 含有欧拉回路的充分必要条件是2. 设图G =<V ,E >，其中|V |=n ,|E |=m ．则图G 是树当且仅当G 是连通的，且m = ．3. 图G （如图6－1所示）带权图中最小生成树的权是4.在平面图>=<E V G ,中,则∑=ri i r 1)deg(＝ ,其中r i (i =1,2,…,r )是图G 的面．5. 设图>=<E V G ,是简单图，若图中每对结点的度数之和 ，则G 一定是哈密顿图．6. 设G 是连通平面图，v ,e ,r 分别表示G 的结点数，边数和面数，则v ,e 和r 满足的关系式是三、解答化简计算题1. 设无向图G ＝<V ,E >, 那么图G 中∣V ∣与∣E ∣满足什么条件，图G 一定是树.2. 图G (如图6－2)能否一笔画出？说明理由. 若能画出，请写出一条通路或回路.3. 给定三个图如图6－3所示，试判断它们是否 为欧拉图、哈密顿图、或平面图？并说明理由．(A) (B) (C) (D)∙2 2 3∙ 1 ∙7 9 2∙ 8 ∙ 6 图6－1v 5 d v 4 v 1 v 2 v 3 图6－2 e f n c a h g b。
离散数学习题
离散数学习题集合论1.A={?,1}，B={{a}}求A的幂集、A×B、A∪B、A+B。
2.A={1,2,3,4,5},R={(x,y)|x3.A={a,b,c},R={(a,a),(b,a)},求R-1,R2,R-I A,I A-R,r(R),s(R),t(R),st(R),ts(R)。
4.A={a,b,c},R= I A∪{(a,b),(b,a)}，求a和b关于R的等价类。
5.R是A上的等价关系，A/R={{1,2}，{3}},求A，R。
6.请分别判断以下结论是否一定成立，如果一定成立请证明，否则请举出反例。
①如果A∪B?C，则A?C或者B?C。
②如果A×B=A×C且A≠?，则B=C。
7.如果R是A上的等价关系，R2,r(R)是否一定是A上的等价关系？证明或举例。
8.已知A∩C?B∩C,A-C?B-C,证明：A?B。
9.证明：A X(B∩C)=(A X B)∩(A X C)10.证明：P(A)∪P(B)?P(A∪B)11.证明：R[sym] iff R=R-112.证明：r(R)=R∪I A,S(R)=R∪R-1,t(R)=R∪R2∪...13.证明：s(R∪S)=s(R)∪s(S)14.R是A上的关系，证明：如果R是对称的，则r(R)也是对称的。
15.I是整数集，R={(x,y)|x-y是3的倍数}，证明：R是I上的等价关系。
16.如果R是A上的等价关系，则A/R一定是A的划分。
17.R是集合A上的自反关系，S是A上的自反和对称关系，证明t(R∪S)是A上的等价关系。
18.I是正整数集合，R是I×I上的二元关系，R={<,>|xv=yu},证明：R是等价关系。
19.f:A→B，R是B上的等价关系，令S={|x∈A且y∈A且∈R}，证明：S是A上的等价关系。
20.R是集合A上的自反关系，S是A上的自反和对称关系，证明t(R∪S)是A上的等价关系。
《离散数学》复习题及答案
页眉内容《离散数学》试题及答案一、选择或填空（数理逻辑部分）1、下列哪些公式为永真蕴含式？( )(1)⌝Q=>Q→P (2)⌝Q=>P→Q (3)P=>P→Q (4)⌝P∧(P∨Q)=>⌝P答：（1），（4）2、下列公式中哪些是永真式？( )(1)(┐P∧Q)→(Q→⌝R) (2)P→(Q→Q) (3)(P∧Q)→P (4)P→(P∨Q)答：（2），（3），（4）3、设有下列公式，请问哪几个是永真蕴涵式?( )(1)P=>P∧Q (2) P∧Q=>P (3) P∧Q=>P∨Q(4)P∧(P→Q)=>Q (5) ⌝(P→Q)=>P (6) ⌝P∧(P∨Q)=>⌝P答：（2），（3），（4），（5），（6）4、公式∀x((A(x)→B(y，x))∧∃z C(y，z))→D(x)中，自由变元是( )，约束变元是( )。
答：x,y, x,z5、判断下列语句是不是命题。
若是，给出命题的真值。
( )(1)北京是中华人民共和国的首都。
(2) 陕西师大是一座工厂。
(3) 你喜欢唱歌吗？ (4) 若7+8＞18，则三角形有4条边。
(5) 前进！ (6) 给我一杯水吧！答：（1）是，T （2）是，F （3）不是（4）是，T （5）不是（6）不是6、命题“存在一些人是大学生”的否定是( )，而命题“所有的人都是要死的”的否定是( )。
答：所有人都不是大学生，有些人不会死7、设P：我生病，Q：我去学校，则下列命题可符号化为( )。
(1) 只有在生病时，我才不去学校 (2) 若我生病，则我不去学校(3) 当且仅当我生病时，我才不去学校(4) 若我不生病，则我一定去学校答：（1）PP⌝P→⌝↔（4）QQ→⌝（2）QP⌝→（3）Q8、设个体域为整数集，则下列公式的意义是( )。
(1) ∀x∃y(x+y=0) (2) ∃y∀x(x+y=0)答：（1）对任一整数x存在整数 y满足x+y=0（2）存在整数y对任一整数x满足x+y=0 9、设全体域D是正整数集合，确定下列命题的真值：(1) ∀x∃y (xy=y) ( ) (2) ∃x∀y(x+y=y) ( )(3) ∃x∀y(x+y=x) ( ) (4) ∀x∃y(y=2x) ( )答：（1） F （2） F （3）F （4）T10、设谓词P(x)：x是奇数，Q(x)：x是偶数，谓词公式∃x(P(x)∨Q(x))在哪个个体域中为真?( )(1) 自然数(2) 实数 (3) 复数(4) (1)--(3)均成立答：（1）11、命题“2是偶数或-3是负数”的否定是（）。
离散数学练习题(含答案)
离散数学练习题(含答案)题目1. 对于集合 $A={1,2,3,...,10}$ 和 $B={n|n是偶数，2<n<8}$，求 $A \cap B$ 的元素。
2. 存在三个可识别的状态A,B,C。
置换群 $S_3$ 作用在状态集上。
定义四个动作：$α: A → C, β: A → B, γ: C→ A, δ: B→ C$。
确定式子，描述 $\{α,β,γ,δ\}$ 的乘法表。
3. 证明 $\forall n \in \mathbb{N}$，合数的个数不小于$n$。
4. 给定一个无向带权图，图中每个节点编号分别是$1,2,...,n$，证明下列结论：a. 如果从节点$i$到$j$只有一条权值最小的路径，则这条路径的任意子路径都是最短路径。
b. 如果从节点$i$到$j$有两条或两条以上权值相等的路径，则从$i$到$j$的最短路径可能不唯一。
答案1. $A \cap B = \{2,4,6\}$。
2. 乘法表：3. 对于任意$n$，我们可以选择$n+1$个连续的自然数$k+1,k+2,...,k+n,k+n+1$中的$n$个数，其中$k \in \mathbb{Z}$。
这$n$个数构成的$n$个正整数均为合数，因为它们都至少有一个小于它自身的因子，所以不是质数。
所以合数的个数不小于任意$n$。
4.a. 根据题意，从$i$到$j$只有一条权值最小的路径，即这条最短路径已被确定。
如果从这条路径中任意取出一段子路径，假设这段子路径不是这个节点到$j$的最短路径，那么存在其他从$i$到$j$的路径比这段子路径更优，又因为这条路径是最短路径，所以这段子路径也一定不优于最短路径，矛盾。
所以从这条路径中任意取出的子路径都是最短路径。
b. 如果从节点$i$到$j$有多条权值相等的路径，则这些路径权值都是最短路径的权值。
因为所有最短路径的权值相等，所以这些路径的权值就是最短路径的权值。
所以从$i$到$j$的最短路径可能不唯一。
离散数学复习题及答案
1. 写出命题公式 ﹁（P →（P ∨ Q ））的真值表。
答案：2.证明答案：3. 证明以下蕴涵关系成立：答案：4. 写出下列式子的主析取范式：答案：5. 构造下列推理的论证：p ∨q, p →?r, s →t, ?s →r, ?t ? q答案：①s →t 前提②t 前提③s ①②拒取式I12④s →r 前提⑤r ③④假言推理I11⑥p →r 前提⑦p ⑤⑥拒取式I12⑧p ∨q 前提⑨q ⑦⑧析取三段论I106. 用反证法证明：p →(?(r ∧s)→?q), p, ?s ? ?q7. 请将下列命题符号化：所有鱼都生活在水中。
答案：令 F( x )：x 是鱼 W( x )：x 生活在水中8. 请将下列命题符号化：存在着不是有理数的实数。
答案：令 Q ( x )：x 是有理数 R ( x )：x 是实数9. 请将下列命题符号化：尽管有人聪明，但并非一切人都聪明。
答案：令M(x)：x 是人 C(x)：x 是聪明的则上述命题符号化为10. 请将下列命题符号化：对于所有的正实数x,y ，都有x+y ≥x 。
答案：令P(x):x 是正实数 S(x,y): x+y ≥x11. 请将下列命题符号化：每个人都要参加一些课外活动。
答案：令P(x):x 是人 Q(y): y 是课外活动 S(x,y):x 参加y12. 请将下列命题符号化：某些人对某些药物过敏。
答案：)()(R P Q P ∨∧∧⌝令P(x):x是人 Q(y): y是药 S(x,y):x对y过敏13. 求)())()((yyRyQxPy∀→→∃的对偶式:答案：14. 求下列谓词公式的前束范式：答案：15. 证明：答案：16. 用反证法证明：??x(P(x)∧Q(x)) , ?xP(x) ???xQ(x)答案：17. 证明：前提：?x(C(x)?W(x)∧R(x)), ?x(C(x)∧Q(x)).结论：?x(Q(x)∧R(x)).答案：⏹(1) ?x(C(x)∧Q(x)) 前提引入⏹(2) C(a)∧Q(a) (1)ES⏹(3) C(a) (2)化简规则⏹(4) ?x(C(x)?W(x)∧R(x)) 前提引入⏹(5) C(a)?W(a)∧R(a) (4)US⏹(6) W(a)∧R(a) (3)(5)假言推理⏹(7) R(a) (6)化简规则⏹(8) Q(a) (2)化简规则⏹(9) R(a)∧Q(a) (7)(8)合取引入规则⏹(10) ?x(Q(x)∧R(x)) (9)EG18. 判断：下列命题是否正确？答案：⏹(1) √⏹(2) ×⏹(3) √⏹(4) √⏹(5) √⏹(6) √⏹(7) √⏹(8) ×19. 列出下列集合的元素⏹(1) {x|x∈N∧?t(t∈{2,3}∧x=2t)}⏹(2) {x|x∈N∧?t?s(t∈{0,1}∧s∈{3,4}∧t<x<s)}⏹(3){x|x∈N∧?t(t整除2?x≠t)}答案：⏹(1) {4,6}⏹(2) {1,2,3}⏹(3) {3,4,5…}20.) ,,()),(),((uyxuQzyPzxzPyx∃→∧∃∀∀S={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}，A={2,4,5,6,8}B={1,4,5,9}，C={x|x∈Z+, 2≤x≤5}答案：21. 一个学校有507，292，312和344个学生分别选择了A,B,C,D四门课程。
国开本科离散数学形考任务1练习
题目13 设集合A={1, 2, 3}，B={1, 2}，则A×B={<1,1>, <1,2>, <2,1>, <2,2>, <3,1>, <3,2>}．（ ） 正确的答案是“对”。 题目14 设集合A=｛a, b, c, d｝，A上的二元关系R={<a, b>, <b, a>, <b, c>, <c, d>}，则R具 有反自反性质．（ ） 正确的答案是“对”。 题目15 设集合A={1, 2, 3, 4}，B={2, 4, 6, 8}，下列关系f = {<1, 4>, <2, 2,>, <4, 6>, <1, 8>}可以构成函数f：．（ ） 正确的答案是“错”。 题目16 若偏序集<A，R>的哈斯图如图二所示，则集合A的最大元为a，极小元不存在．（ ） 正确的答案是“错”。 题目17 设A={1，2}，B={ a, b, c }，则A×B的元素个数为8．（ ） 正确的答案是“错”。 题目18 设集合A={0, 1, 2, 3}，B={2, 3, 4, 5}，R是A到B的二元关系， 则R的有序对集合为{<2, 2>，<2, 3>，<3, 2>，<3, 3>}．（ ） 正确的答案是“对”。 题目19 设A={a, b}，B={1, 2}，C={a, b}，从A到B的函数f={<a, 1>, <b, 2>}，从B到C的函数g={<1, b>, <2, a >}，则g° f ={<1，2 >, <2，1 >}．（ ） 正确的答案是“错”。
离散数学(一)练习题与答案
1-5 题：× × × ×√6-10 题：× ×√√√11-15题：× ×√ ×√16-17题：√ ×二、单项选择题1 A C2 C3 C 4. B 5 A6 B7 B8 C9 B 10 B11 D 12 A 13 C 14 C三、填空题1 ┐Q→P 或┐P→Q，Q→P2 A B=｛{a,b}, {a},{b},{c}｝，A B=｛｛c｝｝，A B-=｛{a,b}｝，A B⊕=｛{a,b},{a},{b}｝。
3．{}ΦΦ=Φ，{,{}}ΦΦ-Φ={Φ,{ Φ}}，ΦΦ={Φ}。
{,{}}{}ΦΦ-Φ={{Φ}}，{}4．A={1,2,3,……,12}，R是A上的整除关系，子集B={2,4,6}。
则B的最大元是：无，最小元是：2，极大元是：4，6，极小元是：2，上界是：12，下界是：2，上确界是：12，下确界是：2。
5. g g g6 R, T7. 略8．极大元：{a,b}, {b,c}，最大元：无，上界：{a,b,c}，下确界：Φ。
( )1．设A ，B ，C 为任意的命题公式，若A C B C ∨⇔∨,则A B ⇔。
( )2．公式P Q ∧是合取范式，不是析取范式。
( )3．公式()()P Q P Q ⌝∨∧→与公式()P Q R →∧等价。
( )4．()(()())()()()()x A x B x x A x x B x ∀∨⇔∀∨∀。
( )5．谓词公式()()((,)(,))x y P x y Q y z ∀∀∨中，x,y 是约束变元，z 是自由变元。
( )6．对谓词公式()(()(,))(,)x P y Q x y R x y ∀→∧中的自由变元进行代入后得到公式()(()(,))(,)x P z Q x z R x y ∀→∧。
( )7．对谓词公式()(()(,))(,)x P x Q x y R x y ∀→∧中的约束变元进行换名后得到公式()(()(,))(,)y P y Q y y R x y ∀→∧。
离散数学练习题
离散数学练习题 TTA standardization office【TTA 5AB- TTAK 08- TTA 2C】一、填空题（10分，每空1分，请将本题答案填在原题横线．．．．上！）1、设集合X={0，1，2}，R 是X 上的二元关系，R={<0，0>，<0，2>，<1，2>，<2，0>，<2，1>}，则R 的关系矩阵M R = 。
2、66,Z <⊕>为模6整数加群， 则由2生成的子群<2>= ，右陪集<2>⊕65= 。
3、设A 和B 为有限集，|A|=m ，|B|=n ，则有 个从A 到B 的关系，有 个从A 到B 的函数。
4、无向图G 如下图所示，G 的点连通度κ为 ，边连通度λ为 。
5、在上面无向图中，已给出了一棵生成树T （粗边所示），则树枝d 对应的基本割集是 ，弦b 对应的基本回路是 。
6、令F(x)： x 是整数，G(x)：x 是奇数，则“不存在不是奇数的整数”符号化为 。
7、含有三个命题变项P ，Q ，R 的命题公式PQ 的主析取范式是 （用m i 形式表示最小项）。
二、单选题（20分，每题1分，请将本题答案写在下方表格．．．．中！）A 、{}1111,110,10,0B 、{}01,001,000,10C 、{}1101,1001,101,110,D 、{}abc aba ac aa c b ,,,,,2、下列( )组赋值不是命题公式C ()A B →∨⌝的成真赋值。
A 、010B 、011C 、110D 、1013、设A={a ，b ，c ，d}，A 上的等价关系R={<a ，b>，<b ，d>，<d ，a>}∪R -1∪I A ，则对应于R 的A 的划分是（ ）。
A 、{{a ，b}，{c ，d}}B 、{{a ，b ，d}，{c}}C 、{{a}，{b}，{c}，{d}}D 、{{a}，{b ，c}，{d}} 4、二部图3,3K 是( ) 。
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一、单项选择题(本大题共15小题，每小题1分，共15分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1．下列句子不是．．命题的是（ ）
A．中华人民共和国的首都是北京 B．张三是学生 C．雪是黑色的 D．太好了！ 2．下列式子不是．．谓词合式公式的是（ ）
A．（x）P(x)→R(y) B．(x) ┐P（x）(x)(P(x)→Q(x)) C．(x)(y)(P(x)∧Q(y))→(x)R(x) D．(x)(P(x,y)→Q(x,z))∨(z)R(x,z) 3．下列式子为重言式的是（ ） A．(┐P∧R)→Q B．P∨Q∧R→┐R C．P∨(P∧Q) D．(┐P∨Q)(P→Q) 4．在指定的解释下，下列公式为真的是（ ） A．(x)(P(x)∨Q(x)),P(x):x=1,Q(x):x=2,论域:{1,2} B．(x)(P(x)∧Q(x)),P(x):x=1,Q(x):x=2,论域: {1,2} C．(x)(P(x) →Q(x)),P(x):x>2,Q(x):x=0,论域:{3,4} D．(x)(P(x)→Q(x)),P(x):x>2,Q(x):x=0,论域:{3,4} 5．对于公式(x) (y)(P(x)∧Q(y))→(x)R(x,y)，下列说法正确的是（ ） A．y是自由变元 B．y是约束变元 C．(x)的辖域是R(x, y) D．(x)的辖域是(y)(P(x)∧Q(y))→(x)R(x,y) 6．设论域为{1,2}，与公式(x)A(x)等价的是（ ） A．A(1)∨A(2) B．A(1)→A(2) C．A(1)∧A(2) D．A(2)→A(1) 7．设Z+是正整数集，R是实数集，f:Z+→R, f(n)=log2n ,则f（ ） A．仅是入射 B．仅是满射 C．是双射 D．不是函数 8．下列关系矩阵所对应的关系具有反对称性的是（ ）
A．001110101 B．101110001
C．001100100 D．001010101 9．设R1和R2是集合A上的相容关系，下列关于复合关系R1R2的说法正确的是（ ） A．一定是等价关系 B．一定是相容关系 C．一定不是相容关系 D．可能是也可能不是相容关系 10．下列运算不满足．．．交换律的是（ ）
A．a*b=a+2b B．a*b=min(a,b) C．a*b=|a-b| D．a*b=2ab 11．设A是偶数集合，下列说法正确的是（ ） A．是群 B．是群 C．是群 D．, ,都不是群 12．设*是集合A上的二元运算，下列说法正确的是（ ） A．在A中有关于运算*的左幺元一定有右幺元 B．在A中有关于运算*的左右幺元一定有幺元 C．在A中有关于运算*的左右幺元，它们不一定相同 D．在A中有关于运算*的幺元不一定有左右幺元 13．题13图的最大出度是（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 14．下列图是欧拉图的是（ ）
15．一棵树的3个4度点，4个2度点，其它的都是1度，那么这棵树的边数是（ ） A．13 B．14 C．15 D．16 1.下列句子为命题的是( ) A.全体起立! B.x=0 C.我在说谎 D.张三生于1886年的春天 2.下列式子不是．．谓词合式公式的是( )
A.,()()),(),()((zxRzzxQyxPx B. ),()(),(),())((yxPxzxQyxPyx C. ))()()(())()()(xQxPxxQxPx D. ),()()(zyQxPx 3.下列式子为矛盾式的是( ) A.PP B.)(QPP C.PP D.)(QP QP 4.设给定赋值N如下：个体域为自然数集；特定元素a=0；特定函数f(x,y)=x+y,g(x,y)=xy；特定谓词F(x,y)为x=y。在赋值N下，下列公式为真的是( ) A. )),,(()(xaxgFx B. ))),,(()),,(()()((xayfFyaxfFyx C. )),,(())()((zyxfFzyx D. )),(),,(())((yxgyxfFyx 5.对于公式),()()),(),()((zxRzzxQyxPx，下列说法正确的是( ) A.y是自由变元 B.x是约束变元 C. )(x的辖域是),()()),(),((zxRzzxQyxP D. )(x的辖域是P(x,y) 6.设论域为{l，2}，与公式)()(xAx等价的是( ) A.A(1)A(2) B. A(1)A(2) C.A(1) D. A(2)A(1) 7.设Z+是正整数集合，f:Z+→Z+，f(n)=2n-2,则f( ) A.仅是入射 B.仅是满射 C.是双射 D.不是函数 8.下列关系矩阵所对应的关系具有反自反性的是( )
A.001110101 B. 101110001
C. 001100100 D. 001010101 9.设R1和R2是集合A上的相容关系，下列关于21RR的说法正确的是( ) A.一定是相容关系 B.一定不是相容关系 C.可能是也可能不是相容关系 D.一定是等价关系 10.设A是奇数集合，下列构成独异点的是( ) A. B. C. D. 11.设A是整数集，下列说法正确的是( ) A.有零元 B.有零元 C.有幺元 D.有幺元 12.下列说法不正确．．．的是( ) A.在实数集上，乘法对加法是可分配的 B.在实数集上，加法对乘法是可分配的 C.在某集合的幂集上，∪对∩是可分配的 D.在某集合的幂集上，∩对∪是可分配的 13.右图的最大入度是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 14.下列可一笔画成的图形是( )
15.一棵树有5个3度结点，2个2度结点，其它的都是l度结点，那么这棵树的结点数是 ( ) A.13 B.14 C.16 D.17 1.下列句子为命题的是( ) A.走，看电影去 B.x+y>0 C.空集是任意集合的真子集 D.你明天能来吗? 2.下列式子不是．．谓词合式公式的是( ) A.(x)(P(x)→(x)(Q(x) ∧A(x，y))) B.(x)∧(y)∨P(x，y) C.(x)P(x)→R(y) D.(x)P(x)∧Q(y，z) 3.下列式子为重言式的是( ) A.P→P∨Q B.(﹁P∧Q)∧(P∨﹁Q) C.﹁ (P Q) D.(P∨Q) (P→Q) 4.设个体域为实数集，特定元素a=0，函数f(x，y)=x-y，特定谓词F(x，y)为x真值为真的是( ) A.(x)(y)F(x，f(f(x，y)，y)) B.(x)(y)(﹁F(f(x，y)，x)) C.(x)(y)(z)(F(x，y)→F(f(x，z)，f(y，z))) D.(x)F(f(a，x)，a) 5.对于公式(x)(y)P(x，y)∨Q(x，z)∧(x)P(x，y)，下列说法正确的是( ) A.x是自由变元 B.x是约束变元 C.( x)的辖域是P(x，y)∨Q(x，z) D.(x)的辖域是P(x，y) 6.设论域为{1，2}，与公式(x)﹁A(X)等价的是( ) A. ﹁A(1) ∨﹁A(2) B. ﹁A(1)→﹁(A2) C. ﹁A(1) ∧﹁A(2) D. A(1) →A(2) 7.设Z+是正整数集，f：Z+×Z+→Z+，f(n，m)=nm，则f( ) A.仅是入射 B.仅是满射 C.是双射 D.不是函数 8.下列哪个关系矩阵所对应的关系具有自反性( )
A.001111101 B.101110001 C.001100100 D.001010101 9.设R1和R2是集合A上的相容关系，下列关系哪个可能不是．．相容关系( ) A.R1R2 B.RlR2 C.R1-1 D.RlR2 10.在整数集上，下面哪个运算不是．．二元运算( )
A.加法 B.减法 C.乘法 D.除法 11.设A是奇数集合，×为乘法运算，则是( ) A.半群 B.群 C.循环群 D.交换群 12.下面不满足．．．结合律的运算是( )
A.a*b=min(a，b) B.a*b=max(a，b) C.a*b=2(a+b) D.a*b=2ab 13.右图的最小入度是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 14.下面既是汉密尔顿图又是欧拉图的图形是( )
15.一棵树有3个5度点、1个4度点、3个2度点，其它的都是1度，那么它的边数是( ) A.17 B.18 C.19 D.20
1．下列为两个命题变元P，Q的小项是（ ） A．P∧Q∧ P B． P∨Q C． P∧Q D． P∨P∨Q 2．下列语句中是真命题的是（ ） A．我正在说谎 B．严禁吸烟 C．如果1+2=3，那么雪是黑的 D．如果1+2=5，那么雪是黑的