高中二年级期末考试数学试题(模拟二)24
2022-2023学年上海市行知中学高二年级上册学期期末数学试题【含答案】
2022-2023学年上海市宝山区高二上学期期末数学试题一、填空题1．函数的导数__________.()sin f x x =()f x '=【答案】cos x【分析】利用导数运算求得正确答案.【详解】由于，()sin f x x =所以.()cos f x x'=故答案为：cos x2．已知一个等比数列的第5项是4，公比是2，它的第1项是__________.【答案】##140.25【分析】设数列为，首项为，化简即得解.{}n a 1a 54a =【详解】设数列为，首项为，则，{}n a 1a 54a =所以.411124,4a a ⨯=∴=所以第一项是.14故答案为：143．在的展开式中，常数项为___________.（用数字作答）61x ⎫⎪⎭【答案】15【分析】利用二项展开式的通项公式计算可得.【详解】解：，令，解得，所以常数项为()6133122166(1)k k k k k k k T C x x C x ---+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭3302k -=2k =()4122123615T C x x -⎛⎫=-= ⎪⎝⎭故答案为：15.4．已知是独立事件，，则__________.A B ､()()0.3,0.6P A P B ==()P A B ⋂=【答案】0.18【分析】根据相互独立事件的概率计算公式，即可得到结果.【详解】因为是独立事件，且，A B ､()()0.3,0.6P A P B ==则()()()0.30.60.18P A B P A P B ⋂==⨯=故答案为:0.185．为了解某校高三年级男生的体重，从该校高三年级男生中抽取17名，测得他们的体重数据如下（按从小到大的顺序排列，单位：kg ）：56､56､57､58､59､59､61､63､64､65､66､68､70､71､73､74､83.据此估计该校高三年级男生体重的第75百分位数为________.【答案】70【分析】根据百分位数的求法求解即可.【详解】，170.7512.75⨯=数据从小到大第个数是，1370所以第75百分位数为70kg故答案为：706．电视台在电视剧开播前连续播放5个不同的广告，其中3个商业广告2个公益广告，现要求2个公益广告不能连续播放，则不同的播放方式共有__________种.【答案】72【分析】不相邻的问题利用插空法求解即可.【详解】先将3个商业广告排好，有种，33A 再将2个公益广告插入个空中，有种，424A 所以不同的播放方式共有种.3234A A 72=故答案为：.727．若一个圆锥的母线与底面所成的角为，体积为，则此圆锥的高为______.π664π【答案】4【分析】设圆锥的高和底面圆的半径，利用体积和线面角建立方程求解即可.【详解】设圆锥的高为，底面圆的半径为，因为圆锥的母线与底面所成的角为，体积为，h r π664π所以，解得.21π64π3r r h ⎧=⎪⎨=⎪⎩4h =故答案为：48．已知关于的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则展开式的系数之和为(12)nx -x _________.【答案】1【分析】试题分析：因为只有第项的二项式系数最大，所以 ，43n =因此展开式的系数之和为()612 1.-=【解析】二项式系数性质9．某医院对某学校高三年级的600名学生进行身体健康调查，采用男女分层抽样法抽取一个容量为50的样本，已知男生比女生少抽了10人，则该年级的女生人数是__________.【答案】360【分析】先求分层抽样比例，然后设元，根据题意列方程求解.【详解】抽取比例为，50160012=设该年级的女生人数是 ，则男生人数为，x 600x -因为男生比女生少抽了10人，所以，11(600)101212x x =-+解得 ，360x =故答案为：360.10．某学校组织学生参加劳动实践活动，其中4名男生和2名女生参加农场体验活动，体验活动结束后，农场主与6名同学站成一排合影留念，则2名女生相邻且农场主站在中间的概率等于__________（用数字作答）.【答案】4105【分析】根据题意，由排列数公式计算“农场主与6名同学站成一排”和“2名女生相邻且农场主站在中间”的站法数目，再由古典概型公式计算即可．【详解】根据题意，农场主与6名同学站成一排，有种不同的站法，77A 5040=2名女生相邻且农场主站在中间可分三步完成：第一步：相邻女生只能站在第一二，第二三，第五六，第六七，有4种；第二步：相邻女生排在一起有种；22A 第三步：4名男生排在剩下的位置有种.44A 因此2名女生相邻且农场主站在中间共有种站法，24244A A 192=则2名女生相邻且农场主站在中间的概率，19245040105P ==故答案为：．410511．已知为椭圆上的一点，若分别是圆和上的点，P 2212516x y +=M N ､22(3)3x y ++=22(3)1x y -+=则的最大值为__________.PM PN +【答案】1111【分析】设圆和圆的圆心分别为，则根据椭圆的性质可知22(3)2x y ++=22(3)1x y -+=,A B 为定值，再根据三角形两边之和大于第三边可知的最大值为与两圆半PA PB +PM PN +PA PB +径的和可得答案.【详解】由题设圆和圆的圆心分别为，22(3)3x y ++=22(3)1x y -+=,A B半径分别为，则椭圆的焦点为，121r r ==2212516x y +=()(),3,03,0A B -，2510+=⨯=PA PB 又，，故，1PA r PM +≥2PB r PN +≥12PM PN PA PB r r +≤+++当且仅当分别在的延长线上时取等号，,M N ,PA PB此时最大值为.1211+++=PA PB r r故答案为：1112．如图，画一个正三角形，不画第三边；接着画正方形，对这个正方形，不画第四边：接着画正五边形，对这个正五边形不画第五边：接着画正六边形，…，这样无限画下去，形成一条无穷伸展的等边折线，称为比尔折线.设第n 条线段与第n +1条线段所夹的角为，则n θ()()*N ,0,πn n θ∈∈__________.2020θ=【答案】174.46【分析】根据正三角形、正方形、正五边形的角的度数规律，类比出多边形个角的度数表达n n 1-式，再计算出2022条线段所在的正多边形的边数，进一步求出夹角.【详解】第一条线段与第二条线段所夹的角，由此类推， ，，160θ= 290θ= 390θ= ，，，，，，，4108θ= 5108θ= 6108θ= 7120θ= 8120θ= 9120θ= 9120θ= ⋯⋯观察规律，三角形会有个相等的角，并且角的度数恰好是其内角的度数，1正方形有个，正五边形有个，正六边形有个， 290 3108 4120⋯⋯多边形有个，n ∴2n -()1802n n - 又观察图形得：正三角形画条线段，正方形画条线段，正五边形画条线段，正六边形画条2234线段，，正边形画条线段；⋯⋯n 2n -画到正多边形时，画线段的条数为，∴n ()()32234222n n m n -=+++++-=+ 当时，；当时，，65n =2017m =66n =2081m =第条线段应在正边形中，∴202265202218063174.4665θ⨯∴=≈ 故答案为：.174.46 二、单选题13．若，则（ ）277C C x =x =A ．2B ．5C ．2或5D ．7【答案】C【分析】由组合数的性质，即可求解.【详解】由组合数性质，可知或.C m n m n n C -=2x =5x =故选：C14．4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法种数为（ ）A ．36B ．64C ．72D ．81【答案】A【分析】通过排列组合，先分组，再分配即可.【详解】4名同学分成1，1，2三组：11243222C C C 6A =三组去三个不同的小区：33A 6=所以全部的种类数：；6636⨯=故选：A.15．已知某射击爱好者打靶成绩（单位：环）的茎叶图如图所示，其中整数部分为“茎”，小数部分为“叶”，则这组数据的标准差为（精确到0.01）（）A ．0.35B ．0.59C ．0.40D ．0.63【答案】B 【分析】根据茎叶图求平均值，再由标准差与均值的关系求x s 【详解】由茎叶图可得数据的平均数为，5.7 5.9 6.1 6.2 6.7 6.77.27.5 6.58x +++++++==则数据的标准差为s ===很接近，且小于0.6，故只有B 选项满足，120.620==0.6故选：B16．已知直线与圆有公共点，且公共点的横､纵坐标均为整数，则满足:1x y l a b +=22100x y +=的有（ ）ab ≥l A ．40条B ．46条C ．52条D ．54条【答案】A【分析】通过分析得出圆上的整数点共有12个，由直线为截距式，先排除掉关于原点22100x y +=对称的两点所连直线，关于x 轴对称的两点所连直线（不含），0x =关于y 轴对称的两点所连直线（不含），再结合变形为，利用0y=ab≥几何意义得到原点到直线的距离小于等于:1x y l a b +=利用垂径定理，弦长越小，原点到直线的距离越大，故先求解最小弦长，进而求出原点到此类直线的距离，与线的距离，与.【详解】圆上的整数点共有12个，分别为22100x y +=，()()()()()()6,8,6,8,8,6,8,6,10,0,0,10±-±±-±±±如图所示，由题意可知：直线的横、纵截距都不为0，即与坐标轴不垂直，不过坐标原点，所以关于原点对称的两点所连直线不合题意，有6条，舍去，关于x 轴对称的两点所连直线（不含）不合题意，有4条，舍去，0x =关于y 轴对称的两点所连直线（不含）不合题意，有4条，舍去0y =其中变形为，ab ≥≤几何意义为原点到直线的距离小于等于:1x y l a b +=这12个点所连的直线中，除去以上不合要求的直线外，根据弦长从小到大分为类，以下为具体情况：的直线有4条，=，不合要求，舍去=>，弦长为的直线有8条，==>8条，=，满足要去，=④其他情况弦长均大于由组合知识可知：满足要求的直线条数为：212C 6444840-----=故选：A【点睛】对于比较复杂一些的排列组合知识，直接求解比较困难的时候，可以先求解出总的个数，再减去不合要求的个数，得到答案.三、解答题17．已知函数.()31423f x x x =-+(1)求函数在处的切线方程；()f x 3x =(2)求函数在上的最大值与最小值.()f x []0,3【答案】(1)516y x =-(2)最大值为2，最小值为103-【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可；（2）求导分析函数在的单调性与极值再求最值即可[0,3]x ∈【详解】（1）因为，所以.则所求切线的斜率为，31()423f x x x =-+()24f x x '=-2(3)345f '=-=且，()391221f =-+=-故所求切线方程为，即；()15(3)y x --=-516y x =-（2）因为，，所以.31()423f x x x =-+[0,3]x ∈()240f x x '=-=令，得（舍去），()240f x x '=-=2x =2x =-当，，函数单调递减，[]0,2x ∈()0f x '≤()f x 当，，函数单调递增，[]2,3x ∈()0f x '≥()f x 所以的极小值为.又，，()f x 810(2)8233f =-+=-(0)2f =(3)1f =-所以的最大值为2，最小值为.()f x 103-18．如图，在四棱锥中，平面，正方形的边长为，设为侧P ABCD -PA ⊥ABCD ABCD 2,3PA =E 棱的中点.PC (1)求正四棱锥的体积；E ABCD -V (2)求直线与平面所成角的大小.BE PCD θ【答案】(1)2(2)【分析】（1）根据锥体体积公式求得正四棱锥的体积.E ABCD -V （2）建立空间直角坐标系，利用向量法求得直线与平面所成角的大小.BE PCD θ【详解】（1）设，则是的中点，AC BD O = O ,AC BD 连接，由于是的中点，所以，，OE E PC //OE PA 1322OE PA ==由于平面，所以平面，PA ⊥ABCD OE ⊥ABCD 所以.()1322232V =⨯⨯⨯=（2）依题意可知两两相互垂直，,,AB AD PA 以为原点建立如图所示空间直角坐标系，A ，()()()()32,0,0,0,0,3,2,2,0,1,1,,0,2,02B P C E D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()()31,1,,2,0,0,0,2,32BE DC PD ⎛⎫=-==- ⎪⎝⎭ 设平面的法向量为，PCD (),,n x y z = 则，故可设，20230n DC x n PD y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-=⎪⎩ ()0,3,2n = 设直线与平面所成角为，BE PCD θ则，sin θ=由于，所以.π02θ≤≤θ=19．某中学为了解高中一年级学生对《生涯规划》读本学习情况，在该年级名学生中随机抽取600了名学生作为样本，对他们一周内对《生涯规划》读本学习时间进行调查，经统计，这些时间40全部介于至单位分钟之间.现将数据分组，并制成如图所示的频率分布直方图.为了研究的1060(：)方便，该年级规定，若一周学习《生涯规划》读本时间多于分钟的学生称为“精生涯生”，若一周50学习《生涯规划》读本时间小于分钟的学生称为“泛生涯生”.20(1)求图中的值；a (2)用样本估计总体，估计该年级“精生涯生”和“泛生涯生”的数量各为多少人？(3)从样本中的“精生涯生”和“泛生涯生”中任选名学生，求这两名学生一周内对《生涯规划》读本2学习时间的差不超过分钟的概率.10【答案】(1)0.020(2)60人；30人(3)715【分析】（1）利用频率分布直方图中所有小长方形的面积之和为1求解即可；（2）先求解“精生涯生” 和 “泛生涯生”的频率，在通过总数频率=频数进行计算；⨯（3）根据古典概型和组合知识进行求解.【详解】（1）由题意，得，解得.()0.0050.0350.0300.010101a ++++⨯=0.020a =（2）“精生涯生”的频率是，“泛生涯生”的频率是，100.0100.1⨯=100.0050.05⨯=故该年级600名学生中“精生涯生”约有人，6000.160⨯=“泛生涯生”约有人.6000.0530⨯=（3）样本中“精生涯生”有人，“泛生涯生”有人，400.14⨯=400.052⨯=从6人中选2人时间的差不超过分钟，即2人同在一个时间组内，10则时间的差不超过分钟的概率.1022422266C C 7C C 15P =+=20．已知等差数列和正项等比数列.{}n a {}117514，，n b a b a b ====(1)求；n n a b ，(2)设，记数列的前项和为，求的最小值：2log 5n n n c b a =+-{}n c n n S n S (3)设的前项和为，是否存在常数､，使恒成立？若存在，求出{}n b n nTp c ()2log n n a p T c =++的值；若不存在，说明理由.p c ､【答案】(1)；11122；n n n a n b -=+=(2)；10-(3)存在，其中，.(22l og p =-1c =【分析】（1）由题干条件可求出等差数列公差与等比数列公比，后可得通项公式；（2）由（1）可得，后由数列单调性结合项的正负性可得的最小值；5n c n =-n S （3）可求得，后由可得))11nn T =+-+()2log nn ap T c =++，后比较相关系数可得答案.n⋅))11nc =+-++【详解】（1）设等差数列公差为，等比数列公比为.d ()0q q >则由题有：，711712a a d -==-4514b b q q ==⇒=故；()111111122；n n n n a a n d n b b q --=+-=+==（2）由（1）可得，21111log 5552222n n n c b a n n n =+-=-++-=-则是以为首项，公差为的递增等差数列，注意到，{}n c 4-1456101，，c c c =-==则，即求的最小值为；45432110n S S S ≥==----=-n S 10-（3）123n nT b b b b =++++=.)11n⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦))11n=+-+因，则若，可得()112n a n =+()2log n n a p T c =++()))211112l og nn p c ⎡⎤+=++-++⇒⎢⎥⎣⎦.注意到()))211112l og nn p c ⎡⎤+-=+-++⎢⎥⎣⎦，()()1112222111222l og l og l og n nn p p n p ++-⎡⎡⎤+-==⋅=⋅⎢⎢⎥⎣⎦⎢⎣则恒成立，从而可得n⋅))11nc =+-++；(21222l og p p =+⇒==-⇒=-.)101c c -++=⇒=+则存在常数，，使恒成立.(22log p =-1c =+()2log n n a p T c =++【点睛】关键点点睛：本题涉及求数列通项，前n 项和，及数列中的恒成立问题.本题难点在于第三问，关键需整理出关于，的等式，后通过比较系数可得关于，的方程.p c p c 21．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆，过右焦点作两条互相垂直的弦22Γ:132x y +=F AB ，CD ，设AB ，CD 中点分别为，.M N(1)写出椭圆右焦点的坐标及该椭圆的离心率；F (2)证明：直线MN 必过定点，并求出此定点坐标；(3)若弦AB ，CD 的斜率均存在，求面积的最大值.FMN 【答案】(1)答案见解析.(2).3,05⎛⎫ ⎪⎝⎭(3).425【分析】（1）由题意的方程可得的值，进而求出的值，求出右焦点的坐标及该椭圆的离心,a b c F 率；（2）分直线AB ，CD 的斜率存在和不存在两种情况，设AB 直线的方程，与椭圆的方程联立，求出两根之和，可得AB 的中点，由题意可得的坐标，分 ，的横坐标相等和不相等两M N M N 种情况，分别求出直线MN 的方程，进而可得直线MN 必过的定点的坐标.（3）由（2）可得直线MN 必过的定点的坐标及，的纵坐标，代入三角形的面积公式，换元，由函数的单调性，求M N 出三角形面积的最大值.【详解】（1）由椭圆的方程，可得，可得，所以22Γ:132x y +=223,2a b ==222321c a b =-=-=，即右焦点的坐标为，离心率,所以椭圆右焦点的坐标为，离1c =F ()1,0c e a ===F ()1,0（2）证明：当直线AB ，CD 的斜率存在且不为0时，设直线AB 的方程为，1x my =+设联立，1122(,),(,)A x y B x y 221132x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩整理可得：，22(23)440m y my ++-=可得，，122423m y y m +=-+121226()223+=++=+x x m y y m 所以AB 的中点，2232(,2323-++mM m m 同理可得的坐标，即，N 2212()3(,112()32()3---+-+m m m 22232(,2323++m m N m m 当，的横坐标不相等时，则，M N 22222222()5232333332323--++==-⎛⎫- ⎪++⎝⎭MNm mm m m k m m m m 所以MN 的方程为，222253((233323--=-+-+m m y x m m m 整理可得253(335=--m y x m 所以直线恒过定点.3,05⎛⎫⎪⎝⎭当，的横坐标相等时，，即时，则轴，M N 222332323=++m m m 21m =MN x ⊥且此时MN 的方程为，显然也过，35x =3,05⎛⎫ ⎪⎝⎭可证得直线MN 必过定点.3,05⎛⎫ ⎪⎝⎭（3）由（2）可得直线MN 必过的定点，3,05⎛⎫ ⎪⎝⎭可得221322122(1)()()32252323523=⨯-⨯-+=+++++ FMN m m S m m m m m m，2210101()65613+=++m m m m 设，则，12t m m=+≥21102()15616==++FMN t S t t t 在上单调递减，所以，2t ≥24125622≤=⨯+FMN S所以面积的最大值为.FMN 425。
2022-2023学年河北省张家口市高二年级上册学期期末考试数学试题【含答案】
张家口市2022－2023学年度高二年级第一学期期末考试数 学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号等填写在试卷和答题卡指定位置上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知两条直线l 1：5x －2y ＋1＝0和l 2：ax ＋3y ＋2＝0相互垂直，则a ＝A .－ B.eq 152C .－D.eq652.若点(2，4)在抛物线y 2＝2px (p >0)上，则抛物线的准线方程为A.x ＝－4B.x ＝－2C.x ＝－1D.y ＝－43.椭圆C ：＋＝1的离心率为x 250y 230A.eqB.eq C.eqD.eq4.已知圆C 1：x 2＋y 2－4x －6y ＋9＝0与圆C 2：(x +1)2 +(y+1)2＝9，则圆C 1与圆C 2的位置关系为A .相交 B .外切 C .外离D.内含5.已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为3，E，F分别在DB，AB1上，且＝2，＝21，则＝BE→ED→AF→FB→|EF|A.3B.2C.2D.4236.已知三角形数表：现把数表按从上到下、从左到右的顺序展开为数列{a n}，则a100＝A.37B.38C.39D.3107.已知x＋y＝0，则＋的最小值为x2＋y2－2x－2y＋2A.eqB.22C.eqD.258.已知{a n}为等比数列，a5＋a8＝－3，a6a7＝－18，则a2＋a11＝A.3B.－9C.eqD.－21 2二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.下列选项正确的有A.eq＝2表示过点P(x0，y0)，且斜率为2的直线B.a＝(2，1)是直线x－2y－4＝0的一个方向向量C.以A(4，1)，B(1，－2)为直径的圆的方程为＋＝0(x－4)(x－1)(y－1)(y＋2) D.直线x＋y－1－4m＝0恒过点(2，1)(m＋1)(2m－1)(m∈R)10.已知S n为等差数列{a n}的前n项和，a9＋a10＋a11>0，a9＋a12<0，则下列选项正确的有A .数列{a n }是单调递增数列B .当n ＝10时，S n 最大C.S 19·S 20<0 D.S 20·S 21<011.已知椭圆C ：＋＝1的离心率为，F 1，F 2是椭圆C 的两个焦x 2a 2y 2b 2(a >b >0)34点，P 为椭圆C 上的动点，△F 1PF 2的周长为14，则下列选项正确的有A .椭圆C 的方程为＋＝1x 216y 27B.eq ·≤16|PF 2|C .△F 1PF 2内切圆的面积S 的最大值为πD.cos ∠F 1PF 2≥－1812.在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2，AB ＝AD ＝2，M 为棱DC 的中点，2点P 满足＝λ＋μ，其中λ∈[0，1],μ∈[0，1]，则下列结论正确的BP → BC → BB1→ 有A .当λ＝，μ＝时，异面直线AP 与DB 1所成角的余弦值为12123714B .当μ＝时，AP ⊥D 1C12C .当λ＝时，有且仅有一个点P ，使得AP ⊥D 1P 12D .当λ＝1时，存在点P ，使得AP ⊥MC 1三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知空间向量a ＝(3，2，λ)，b ＝(λ－2，λ，8)，a ∥b ，则a ·b ＝_____________．14.已知点F 为双曲线C ：－＝1(a >0，b >0)的左焦点,过点F 作倾斜角为x 2a 2y 2b 260°的直线l ，直线l 与双曲线C 有唯一交点P ，且|FP |＝6，则双曲线C 的方程为_____________．15.已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝，S n 为数列{a n }的前n 项1n 2＋3n ＋2(n ≥2)和，S n <λ恒成立，则λ的最小值为_____________．16.过点P(2，－1)作圆E：x2＋y2－2x－4y－1＝0的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为_____________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤．17.(本小题满分10分)已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 8＝6，S 21＝0.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列的前50项和T 50.{}n a 18.(本小题满分12分)已知直线l ：y ＝kx －1与圆E ：(x －2)2 +(y －3)2＝9交于A ，B 两点．(1)当最大时，求直线l 的方程；|AB|(2)若D ，证明：·为定值．(0，－1)DA→ DB → 19.(本小题满分12分)“十三五”期间，依靠不断增强的综合国力和自主创新能力，我国桥梁设计建设水平不断提升，创造了多项世界第一，为经济社会发展发挥了重要作用．下图是我国的一座抛物线拱形拉索大桥，该桥抛物线拱形部分的桥面跨度为64米，拱形最高点与桥面的距离为32米．(1)求该桥抛物线拱形部分对应抛物线的焦准距(焦点到准线的距离)．(2)已知直线m 是抛物线的对称轴，Q 为直线m 与水面的交点，P 为抛物线上一点，O ，F 分别为抛物线的顶点和焦点．若PF ⊥m ，PO ⊥PQ ，求桥面与水面的距离．20.(本小题满分12分)已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝b n ＝a 2n －1.{a n ＋2，n 为奇数，2an ，n 为偶数，)(1)求数列{b n }的通项公式；(2)求数列{nb n }的前n 项和S n .21.(本小题满分12分)如图，在四棱锥P －ABCD 中，四边形ABCD 是边长为4的正方形，平面ADP ⊥平面ABCD ，PD ＝2，PB ＝2.7(1)求证：AP ⊥平面CDP ；(2)若点E 在线段AC 上，直线PE 与直线DC 所成的角为，求平面PDE 与π4平面PAC 夹角的余弦值．22.(本小题满分12分)已知一动圆与圆E ：(x ＋3)2＋y 2＝18外切，与圆F ：(x －3)2＋y 2＝2内切，该动圆的圆心的轨迹为曲线C .(1)求曲线C 的方程．(2)已知点P 在曲线C 上，斜率为k 的直线l 与曲线C 交于A ，B 两点(异于点P )，记直线PA 和直线PB 的斜率分别为k 1，k 2，从下面①、②、③中选取两个作为已知条件，证明另外一个成立．①P ；②k 1＋k 2＝0；③k ＝－.(4，1)12注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．张家口市2022－2023学年度高二年级第一学期期末考试数学参考答案及评分标准一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.D 【解析】由l 1⊥l 2，可得5a －6＝0，所以a ＝，故选D.652.B 【解析】将点(2，4)代入y 2＝2px ，则4p ＝16，得p ＝4，故准线方程为x ＝－2，故选B.3.A 【解析】由题意椭圆C 的长半轴长为a ＝＝5，短半轴长为b ＝，又50230a 2＝b 2＋c 2，所以半焦距c ＝＝2，所以椭圆C 的离心率e ＝＝，故选A.205ca 1054.B 【解析】圆C 1的标准方程为(x －2)2＋2＝4，所以圆心为(2，3)，半径为2.圆C 2(y －3)是以(－1，－1)为圆心，半径为3的圆，故＝＝5＝2＋3，所以|C 1C 2|(2＋1)2 ＋(3＋1)2 两圆外切，故选B.5.A 【解析】如图，以D 为坐标原点，建立空间直角坐标系，所以D (0，0，0)，A ，B ，B 1.又＝2，＝21，所以E ，F (3，0，0)(3，3，0)(3，3，3)BE → ED → AF → FB → (1，1，0)，故＝＝3.故选A.(3，2，2)|EF |(3－1)2 ＋(2－1)2 ＋(2－0)26.B 【解析】设首项为第1组，接下来两项为第2组，再接下来三项为第3组，以此类推．设第k 组的项数为k ，则前k 组的项的个数之和为.又＝91，k （k ＋1）213×（13＋1）2＝105，所以第100项为第14组的第9项，所以a 100＝38.故选B.14×（14＋1）27.C 【解析】设点P (x ，y )为直线x ＋y ＝0上的动点，又＋＝＋.x 2＋y 2－2x －2y ＋2（x －2）2＋y 2（x －1）2＋（y －1）2（x －2）2＋y 2设点M (1，1)，N (2，0)，则点M ′(－1，－1)为点M (1，1)关于直线x ＋y ＝0的对称点，故|PM |＝|PM ′|，且|M ′N |＝＝，（2＋1）2＋（0＋1）210所以|PM |＋|PN |＝＋＝|PM ′|＋|PN |≥|M ′N |＝，（x －1）2＋（y －1）2（x －2）2＋y 210所以＋的最小值为.故选C.x 2＋y 2－2x －2y ＋2（x －2）2＋y 2108.C 【解析】由题意，得a 5a 8＝a 6a 7＝－18.又a 5＋a 8＝－3，所以联立解得或{a 5a 8＝－18，a 5＋a 8＝－3，){a 5＝3，a 8＝－6){a 5＝－6，a 8＝3.)当a 5＝3，a 8＝－6时，＝－2＝q 3，所以a 2＝＝－，a 11＝a 8q 3＝12，a 8a 5a 5q 332所以a 2＋a 11＝；212当a 5＝－6，a 8＝3时，＝－＝q 3，所以a 2＝＝12，a 11＝a 8q 3＝－，a 8a 512a 5q 332所以a 2＋a 11＝.故选C.212二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.BCD 【解析】由＝2可知y ≠y 0，所以＝2不过点P 且斜率为，所x －x 0y －y 0x －x 0y －y 0(x 0，y 0)12以A 错误；直线x －2y －4＝0过点A ，B ，a ＝，所以a ＝是直线(4，0)(0，－2)12BA→ (2，1)x －2y －4＝0的方向向量，所以B 正确；设以A ，B 为直径的圆上的任意点为P ，则⊥，所(4，1)(1，－2)(x ，y )PA→ PB → 以·＝0，即(x －1)＋＝0，所以C 正确；PA→ PB → (x －4)(y －1)(y ＋2)因为×2＋×1－1－4m ＝0，所以D 正确．(m ＋1)(2m －1)10.BC 【解析】设{a n }的公差为d .因为a 9＋a 10＋a 11＝3a 10>0，所以a 10>0.又a 9＋a 12＝a 10＋a 11<0，所以a 11＝a 10＋d <0，故d <0，所以A 错误；因为d <0，所以a 1>a 2>a 3>a 4>a 5>a 6>a 7>a 8>a 9>a 10>0>a 11>…>a n ，所以当n ＝10时，S n 最大，所以B 正确；因为S 19＝＝>0，S 20＝＝<0，19（a 1＋a 19）219×2a 10220（a 1＋a 20）220（a 10＋a 11）2S 21＝＝<0，21（a 1＋a 21）221×2a 112所以C 正确，D 错误．11.ABD 【解析】设焦距为2c ，由题意，得＝，△F 1PF 2的周长为c a 34＋＋＝2a ＋2c ＝14，解得a ＝4，c ＝3.又a 2＝b 2＋c 2，所以b ＝，故椭|PF 1||PF 2||F 1F 2|7圆C 的方程为＋＝1，所以A 正确；x 216y 27因为＋＝2a ＝8，所以8＝＋≥2，当且仅当|PF 1||PF 2||PF 1||PF 2||PF 1|·|PF 2||PF 1|＝|PF 2|＝4时等号成立，所以·≤16，所以B 正确；|PF 1||PF 2|设△F 1PF 2内切圆的半径为r ，则S △F 1PF 2＝＝r ，12|F 1F 2||y p |12(|PF 1|＋|PF 2|＋|F 1F 2|)所以r ＝.又≤，所以r ≤，所以S ≤，所以C 错误；3|y p |7|y p |73779π7因为cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2 ＋|PF 2|2 －|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝＝－1＋.(|PF 1|＋|PF 2|)2 －2|PF 1|·|PF 2|－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|14|PF 1|·|PF 2|又·≤16，所以－1＋≥－，所以D 正确．|PF 1||PF 2|14|PF 1|·|PF 2|1812.AB 【解析】如图，以点D 为坐标原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系D －xyz .由题意可得D (0，0，0)，A (2，0，0)，B (2，2，0)，C (0，2，0)，M (0，1，0)，C 1(0，2，2)，D 1(0，0，2)，B 1(2，2，2)，222所以＝(－2，0，0)，＝(0，0，2)，＝(0，2，－2)，＝(0，2，0)，BC → BB 1→ 2D 1C→ 2AB → ＝(2，2，－2)，D 1B → 2＝(2，2，2)，＝(0，1，2)，DB 1→ 2MC 1→ 2所以＝λ＋μ＝λ(－2，0，0)＋μ(0，0，2)＝(－2λ，0，2μ)．BP → BC → BB 1→ 22当λ＝，μ＝时，＝＋＝(0，2，0)＋(－1，0，)＝(－1，2，)，1212AP→ AB → BP → 22所以异面直线AP 与DB 1所成角的余弦值为＝＝＝，所以A 正确；|cos 〈AP → ，DB 1→ 〉||AP → ·DB 1→||AP → |·|DB 1→ ||－2＋4＋4|1＋4＋2·4＋4＋83714当μ＝时，＝(－2λ，0，)，12BP→ 2＝＋＝(0，2，0)＋(－2λ，0，)＝(－2λ，2，)，AP→ AB → BP → 22故·＝(－2λ，2，)·(0，2，－2)＝0，所以B 正确；AP → D 1C→ 22当λ＝时，＝(－1，0，2μ)，＝＋＝(0，2，0)＋(－1，0，2μ)12BP → 2AP → AB → BP → 2＝(－1，2，2μ)，2＝＋＝(2，2，－2)＋(－1，0，2μ)＝(1，2，－2＋2μ)，D 1P → D 1B → BP → 2222故·＝(－1，2，2μ)·(1，2，－2＋2μ)＝0，得8μ2－8μ＋3＝0无解，所以C AP → D 1P→ 222错误；当λ＝1时，＝(－2，0，2μ)，＝＋＝(0，2，0)＋(－2，0，2μ)BP → 2AP→ AB → BP → 2＝(－2，2，2μ)，2故·＝2＋8μ＝0，解得μ＝－∉[0，1]，所以D 错误．MC 1→ AP→ 14三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.－58 【解析】由a ∥b ，得＝＝，所以λ＝－4，故a ＝(3，2，－4)，3λ－22λλ8b ＝(－6，－4，8)，故a ·b ＝3×＋2×＋×8＝－58.(－6)(－4)(－4)14.eq －＝1 【解析】直线l 与双曲线C 有唯一交点P ，则直线l 与双曲线C 的渐近线平y 248行，所以＝tan 60°＝，ba 3故b ＝a ，所以c 2＝a 2＋b 2＝4a 2.3又|FP |＝6，所以P (3－c ，3)，所以－＝－＝1，解得3（3－c ）2a 2（33）2b 2（3－2a ）2a 2（33）23a 2a ＝4，所以b ＝4，3所以双曲线C 的方程为－＝1.x 216y 24815.eq 【解析】当n ＝1时，S n ＝S 1＝1，又当n ≥2时，a n ＝＝＝－，1n 2＋3n ＋21(n ＋1)(n ＋2)1n ＋11n ＋2所以S n ＝1＋－＋－＋…＋－＝－<，所以λ≥，故λ的最小值为.131414151n ＋11n ＋2431n ＋243434316.x －3y －1＝0 【解析】圆E 的标准方程为(x －1)2＋(y －2)2＝6，所以E .(1，2)由题意，得PA ⊥AE ，PB ⊥BE ，所以P ，A ，E ，B 四点在以PE 为直径的圆上，且直线AB 为该圆与圆E 的交线，以PE 为直径的圆的方程为(x －1)(x －2)＋(y －2)＝0，化(y ＋1)简得x 2＋y 2－3x －y ＝0，所以直线AB 的方程为x 2＋y 2－2x －4y －1－＝0，即x －3y －1＝0.(x 2＋y 2－3x －y )另解：圆E 的标准方程为(x －1)2＋(y －2)2＝6，由切点弦方程可知，直线AB 的方程为(x －1)＋(y －2)＝6，化简得x －3y －1＝0.(2－1)(－1－2)四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.(本小题满分10分)解：(1)设数列{a n }的首项为a 1，公差为d .由S 21＝21a 1＋d ＝0，得a 1＋10d ＝0 (2)21×202分又a 8＝a 1＋7d ＝6，所以d ＝－2，a 1＝20，………………………………………………3分所以a n ＝20＋×＝－2n ＋22.…………………………………………………4分(n －1)(－2)(2)由a n ＝－2n ＋22≥0，解得n ≤11，……………………………………………………5分所以数列＝………………………………………………………………6分|a n |{a n ，n ≤11，－a n ，n >11，)故T 50＝a 1＋a 2＋…＋a 11－a 12－a 13－…－a 50………………………………………………7分＝－＋2(a 1＋a 2＋…＋a 11＋a 12＋a 13＋…＋a 50)(a 1＋a 2＋…＋a 11)＝－S 50＋2S 11…………………………………………………………………………………9分＝－＋2×[50×20＋50×492×（－2）][11×20＋11×102×（－2）]＝1450＋220＝1670 (10)分18.(本小题满分12分)(1)解：圆E 是以E (2，3)为圆心，3为半径的圆， (1)分当直线l 过圆E 的圆心时，最大，………………………………………………………2|AB |分所以3＝2k －1，解得k ＝2，…………………………………………………………………3分所以当最大时，直线l 的方程为y ＝2x －1.……………………………………………4|AB |分(2)证明：设A ，B ，由题意知k 存在，(x 1，y 1)(x 2，y 2)联立得x 2－x ＋11＝0，………………………6分{y ＝kx －1，（x －2）2＋(y －3)2＝9，)(k 2＋1)(8k ＋4)所以x 1＋x 2＝，x 1x 2＝，且2－44>0.……………………………88k ＋4k 2＋111k 2＋1(8k ＋4)(k 2＋1)分因为·＝·＝x 1x 2＋，…………………………10DA→ DB → (x 1，y 1＋1)(x 2，y 2＋1)(y 1＋1)(y 2＋1)分y 1＝kx 1－1，y 2＝kx 2－1，所以·＝x 1x 2＝11，即·为定值.…………………………………………12DA → DB → (k 2＋1)DA→ DB → 分19.(本小题满分12分)解：(1)以该桥抛物线拱形部分对应抛物线的顶点为原点，建立直角坐标系．设对应抛物线的方程为x 2＝2py (p <0).………………………………………………………1分又点(32，－32)在抛物线上，所以322＝2p ×，……………………………………3(－32)分所以p ＝－16，即＝16，故抛物线的焦准距为16米.……………………………………4|p |分(2)由题意，得|OF |＝8米，|FP |＝16米，……………………………………………………5分所以tan ∠POF ＝＝＝2.………………………………………………………………6|FP ||OF |168分又PO ⊥PQ ，所以tan ∠QPF ＝tan ∠POF ＝2，……………………………………………8分所以tan ∠QPF ＝＝＝2，所以|QF |＝32米.………………………………………10|QF ||PF ||QF |16分又拱形最高点与桥面距离为32米，所以桥面与水面的距离d ＝|OF |＝8米，所以桥面与水面的距离为8米.……………………………………………………………12分20.(本小题满分12分)解：(1)由b n ＝a 2n －1，得b 1＝a 1＝2，b n ＋1＝a 2n ＋1.…………………………………………1分又a 2k ＝a 2k －1＋2，a 2k ＋1＝2a 2k ，k ∈N *，……………………………………………………2分故a 2k ＋1＝2＝2a 2k －1＋4，…………………………………………………………3分(a 2k －1＋2)所以b n ＋1＝2b n ＋4，故＝2.…………………………………………………………4b n ＋1＋4b n ＋4分又b 1＋4＝6，…………………………………………………………………………………5分所以数列是以6为首项，2为公比的等比数列，{b n ＋4}所以b n ＋4＝6×2n －1＝3×2n ，故b n ＝3×2n －4.……………………………………………6分(2)nb n ＝3n ·2n －4n .……………………………………………………………………………7分设c n ＝n ·2n ，其前n 项和为T n ，则T n ＝1×2＋2×22＋…＋n ·2n ，…………………………………………………………8分2T n ＝1×22＋2×23＋…＋n ·2n ＋1， 所以－T n ＝2＋22＋23＋…＋2n －n ·2n ＋1＝－2＋2n ＋1－n ·2n ＋1，…………………………9分所以T n ＝2n ＋1＋2，…………………………………………………………………10分(n －1)所以S n ＝3T n －4＝32n ＋1＋6－4×＝2n ＋1－2n 2－2n ＋6.(1＋2＋…＋n )(n －1)n (n ＋1)2(3n －3)………………………………………………………………………………………………12分21.(本小题满分12分)(1)证明：如图，以点D 为坐标原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，过D 垂直于平面ABCD 的直线为z 轴，建立空间直角坐标系D －xyz ，故D ，A ，B ，C .…………………………………1分(0，0，0)(4，0，0)(4，4，0)(0，4，0)因为平面ADP ⊥平面ABCD ，设P ，(a ，0，c )所以PD ＝＝2，PB ＝＝2，………………………2分a 2＋c 2(a －4)2 ＋(0－4)2 ＋c 27所以a 2＋c 2＝4，a 2＋c 2－8a ＋32＝28，所以a ＝1，c ＝±，3由图可得c >0，所以c ＝，所以P ，………………………………………3分3(1，0，3)所以＝，＝.AP → (－3，0，3)DP → (1，0，3)又＝，所以·＝－3＋3＝0，·＝0，………………………………4DC → (0，4，0)AP → DP → AP→ DC → 分所以⊥，⊥，又CD ∩PD ＝D ，且CD ⊂平面CDP ，PD ⊂平面CDP ，AP→ DP → AP → DC → 故AP ⊥平面CDP .……………………………………………………………………………5分(2)解：设＝λ，0≤λ≤1，则E ，…………………………………6AE → AC→ (4－4λ，4λ，0)分所以＝.PE→ (3－4λ，4λ，－3)又直线PE 与直线DC 所成的角为，所以＝＝，π4|cos 〈PE → ，DC → 〉|16λ4(3－4λ)2 ＋(4λ)2 ＋322解得λ＝， (71)2分故E ，所以＝.(2，2，0)DE→ (2，2，0)设m ＝(x 1，y 1，z 1)为平面PDE 的法向量，则有{m ·DE →＝0，m ·DP → ＝0，)即可取m ＝(1，－1，－) (8){2x 1＋2y 1＝0，x 1＋3z 1＝0，)33分设n ＝(x 2，y 2，z 2)为平面PAC 的法向量，则有{n ·AC →＝0，n ·AP → ＝0，)即可取n ＝(1，1，)， (10){－4x 2＋4y 2＝0，－3x 2＋3z 2＝0，)3分∴|cos 〈m ，n 〉|＝＝，|m ·n |m ||n ||10535所以平面PDE 与平面PAC 夹角的余弦值为.………………………………………12分1053522.(本小题满分12分)解：(1)设动圆的圆心为M ，半径为r ，则＝r ＋3，＝r －，(x ，y )|ME |2|MF |2所以－＝4<＝6.……………………………………………………………2分|ME ||MF |2|EF |由双曲线定义可知，M 的轨迹是以E ，F 为焦点，实轴长为4的双曲线的右支，2所以2a ＝4，2c ＝6，即a ＝2，c ＝3，所以b 2＝c 2－a 2＝1，22所以曲线C 的方程为－y 2＝1，x ≥2.…………………………………………………4分x 282(2)选择①②⇒③：设直线l ：y ＝kx ＋m ，A ，B ，(x 1，y 1)(x 2，y 2)联立得{y ＝kx ＋m ，x 28－y 2＝1，)x 2－16mkx －8m 2－8＝0，……………………………………5分(1－8k 2)所以x 1＋x 2＝－，x 1x 2＝.………………………………………………………616mk 8k 2－18m 2＋88k 2－1分因为P (4，1)，k 1＋k 2＝0，所以＋＝0，y 2－1x 2－4y 1－1x 1－4即＋＝0，………………………………………7分(x 1－4)(kx 2＋m －1)(x 2－4)(kx 1＋m －1)即2kx 1x 2＋－8＝0，(m －1－4k )(x 1＋x 2)(m －1)所以2k ×＋－8＝0，………………………………8分8m 2＋88k 2－1(m －1－4k )(－16mk8k 2－1)(m －1)化简得8k 2＋2k －1＋m ＝0，即＝0，(2k ＋1)(2k ＋1)(4k －1＋m )所以k ＝－或m ＝1－4k .…………………………………………………………………10分12当m ＝1－4k 时，直线l ：y ＝kx ＋m ＝k ＋1过点P ，与题意不符，舍去，(x －4)(4，1)故k ＝－，所以③成立 (121)2分选择①③⇒②：设直线l ：y ＝－x ＋m ，A ，B ，12(x 1，y 1)(x 2，y 2)联立得x 2－8mx ＋8m 2＋8＝0， (5){y ＝－12x ＋m ，x 28－y 2＝1，)分所以x 1＋x 2＝8m ，x 1x 2＝8m 2＋8，…………………………………………………………6分所以k 1＋k 2＝＋……………………………………………………………………7y 2－1x 2－4y 1－1x 1－4分＝＋ (8)－12x 2＋m －1x 2－4－12x 1＋m －1x 1－4分＝－1＋＋m －3x 2－4m －3x 1－4＝－1＋…………………………………………………………………10(m －3)(x 1＋x 2－8)x 1x 2－4(x 1＋x 2)＋16分＝－1＋＝0，(m －3)(8m －8)8m 2＋8－4×8m ＋16所以②成立.…………………………………………………………………………………12分选择②③⇒①：设直线l ：y ＝－x ＋m ，A ，B ，P (x 0，y 0)，12(x 1，y 1)(x 2，y 2)联立得x 2－8mx ＋8m 2＋8＝0，……………………………………………5{y ＝－12x ＋m ，x 28－y 2＝1，)分所以x 1＋x 2＝8m ，x 1x 2＝8m 2＋8.……………………………………………………………6分由k 1＋k 2＝＋＝＋＝0，…………………………7分y 2－y 0x 2－x 0y 1－y 0x 1－x 0－12x 2＋m －y 0x 2－x 0－12x 1＋m －y 0x 1－x 0得＋＝0，(x 1－x 0)(－12x 2＋m －y 0)(x 2－x 0)(－12x 1＋m －y 0)即－x 1x 2＋－2x 0＝0，………………………………………8(m －y 0＋12x 0)(x 1＋x 2)(m －y 0)分所以－8m 2－8＋8m ×－2x 0＝0，(m －y 0＋12x 0)(m －y 0)故2m ＋2x 0y 0－8＝0，……………………………………………………………9分(x 0－4y 0)所以………………………………………………………………………10分00002200402801.8x y x y x y ⎧⎪-=⎪⎪-=⎨⎪⎪-=⎪⎩，，又x 0>0，解得所以P ，①成立 (12){x 0＝4，y 0＝1，)(4，1)分。
二年级上册期末数学模拟综合试题测试卷(含答案)
二年级上册期末数学模拟综合试题测试卷（含答案）1．在括号里填上“厘米”或“米”。
一张书桌高约68( )；一辆公共汽车长约6( )；二年级小朋友食指的宽度大约是1( )。
2．在括号里填上“＞”“＜”“＝”。
8×7( )5684＋27( )84＋255×7( )6×63．把口诀补充完整。
四七( )六( )四十八( )九四十五八( )七十二4．在括号里填上“＞”“＜”“＝”或“＋”“－”“×”。
25＋37( )70－1237厘米＋62厘米( )1米41－9( )4×87( )8＝565．在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。
33＋3( )63－303×8( )6×46×6＋6( )8×66．同学们排成一队轮流在轮滑场练习轮滑，从前往后数，小明排在第18个，从后往前数，小亮排在第28个。
已知这一队一共有92人，则小明和小亮中间有( )人。
7．按规律填数。
（1）10，15，20，( )，( )；（2）18，16，14，( )，( )。
8．如图，有( )条线段，( )个角。
9．三名同学进行乒乓球比赛，每两个人比一次，一共要比( )次。
10．从5、7、9这三个数中，任意选取其中两个数字组成两位数，共能组成( )个不同的两位数。
这些两位数中，最大的是( )，最小的是( )，它们相差( )。
11．三角尺上的直角与黑板上的直角相比较，下面说法正确的是（）。
A．三角尺上的直角大B．黑板上的直角大C．一样大12．分针绕着钟面走一圈，时间经过了（）。
A．12时B．60分C．12分13．妈妈8：00去上班，下班回家前要去超市买菜，大约11：55到家。
妈妈买菜的时间可能是（）。
A．8：40 B．9：00 C．11：3514．从5、6、7三个数中任意选取其中2个数求和，得数有（）种可能。
A．3 B．4 C．615．看图列式。
下面正确的是（）。
2022-2023学年山东省泰安市高二年级上册学期期末数学试题【含答案】
高二年级考试数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若直线与直线平行，则实数k 的值为（）1:1l y kx =+2:3l y x =A. B. D. 313-13【答案】D 【解析】【分析】利用两直线平行斜率相等，求出实数k 的值.【详解】因为直线与直线平行，1:1l y kx =+2:3l y x =所以两直线斜率相等，即.3k =故选：D.2. 已知等差数列的首项，公差，则（）{}n a 13a =2d =5a=A. 7 B. 9C. 11D. 13【答案】C 【解析】【分析】根据等差数列的通项公式可算出答案.【详解】因为等差数列的首项，公差，所以{}n a 13a =2d =5143811aa d =+=+=故选：C【点睛】本题考查的是等差数列的通项公式，较简单.3. 已知椭圆上的点到椭圆一个焦点的距离为7，则到另一焦点的距离为2212516x y +=P P （）A. 2 B. 3C. 5D. 7【答案】B 【解析】【分析】根据椭圆的定义列方程，求得到另一个焦点的距离.P 【详解】根据椭圆定义可知，到两个焦点的距离之和为，所以到另一P 22510a =´=P 个焦点的距离为.1073-=故选：B.【点睛】本小题主要考查椭圆的定义，属于基础题.4. 已知空间向量，满足，则实数的值是（）()2,1,2a =-()4,2,b x =-a b ⊥x A. B. C. D. 5-4-45【答案】D 【解析】【分析】由已知条件得出，结合空间向量数量积的坐标运算可求得实数的值.0a b ⋅=x 【详解】由已知条件得出，解得.()241222100a b x x ⋅=⨯--⨯+=-=5x =故选：D.5. 已知圆，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（）2260x y x +-=A. 1 B. 2C. 3 D. 4【答案】B 【解析】【分析】当直线和圆心与点的连线垂直时，所求的弦长最短，即可得出结论.(1,2)【详解】圆化为，所以圆心坐标为，半径为，2260x y x +-=22(3)9x y -+=C (3,0)C 3设，当过点的直线和直线垂直时，圆心到过点的直线的距离最大，所求的(1,2)P P CP P弦长最短，此时||CP ==根据弦长公式得最小值为.2==故选：B.【点睛】本题考查圆的简单几何性质，以及几何法求弦长，属于基础题.6. 我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺…”其大意为：“有一位善于织布的女子，每天织的布都是前一天的2倍，5天共织了5尺布…”．那么该女子第一天织布的尺数为（）A. B. C. D. 4315316311031【答案】B 【解析】【分析】设第一天织布的尺数为，则由题意有，据此可x ()234122225x ++++=得答案.【详解】设第一天织布的尺数为，则x ()234122225x ++++=.52153152131x x x -⇒⋅==⇒=-故选：B7. 设、是轴上的两点，点P 的横坐标为2，且，若直线PA 的方程为A B y PA PB=，则直线PB 的方程为（）10x y -+=A. B. 50x y +-=210x y --=C. D. 270x y +-=30x y +-=【答案】A 【解析】【分析】根据直线PA 的方程，确定出的倾斜角，利用且、在轴上，PA PA PB=A B y 可得的倾斜角，求出的坐标，然后求出直线的方程．PB P PB 【详解】解：由于直线的方程为，故其倾斜角为，PA 10x y -+=45︒又，且、是轴上两点，故直线的倾斜角为，||||PA PB =A B y PB 135︒又当时，，即，2x =3y =(2,3)P 直线的方程为，即．∴PB 3(2)y x -=--50x y +-=故选：A ．8. 是从点P 出发的三条射线，每两条射线的夹角均为，那么直线与平,,PA PB PC 60︒PC 面所成角的余弦值是（）PABD. 12【答案】B 【解析】【分析】作图，找到直线在平面上的投影在构建多个直角三角形，找出边与角之PC PAB 间的关系，继而得到线面角；也可将三条射线截取出来放在正方体中进行分,,PA PB PC 析.【详解】解法一：如图，设直线在平面的射影为，PC PAB PD作于点G ，于点H ，连接，CG PD ⊥CH PA ⊥HG 易得，又平面，则平面，又CG PA ⊥,,CH CG C CH CG ⋂=⊂CHG PA ⊥CHG 平面，则，HG ⊂CHG PA HG ⊥有cos cos cos PH CPA PC PG PH PH CPD APD PC PG PC ⎧∠=⎪⎪⎨⎪∠⨯∠=⋅=⎪⎩故．cos cos cos CPA CPD APD ∠=∠⨯∠已知，60,30APC APD ∠=︒∠=︒故为所求．cos cos60cos cos cos30CPA CPD APD ∠︒=∠︒∠==解法二：如图所示，把放在正方体中，的夹角均为．,,PA PB PC ,,PA PB PC 60︒建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为1，则，(1,0,0),(0,0,1),(1,1,1),(0,1,0)P C A B 所以，(1,0,1),(0,1,1),(1,1,0)PC PA PB =-==-设平面的法向量，则PAB (,,)n x y z =00n PA y z n PB x y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩令，则，所以，1x =1,1y z ==-(1,1,1)n =-所以．cos ,||||PC n PC n PC n ⋅〈〉===⋅设直线与平面所成角为，所以，PC PABθsin |cos ,|PC n θ=〈〉=所以cos θ=故选B ．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 下列说法正确的是（）A. 直线必过定点()24R y ax a a =-+∈()2,4B. 直线在y 轴上的截距为1310x y --=C. 过点且垂直于直线的直线方程为()2,3-230x y -+=210x y ++=D. 直线的倾斜角为120°10x +=【答案】AC 【解析】【分析】对于A ，整理直线方程，合并出参数的系数，令其等于零，建立方程，可得答案；对于B ，将代入直线方程，结合截距的定义，可得答案；0x =对于C ，根据直线之间的垂直关系，设未知直线方程，代入点，可得答案；对于D ，根据直线的一般式方程，明确直线的斜率，可得答案.【详解】对于A ，由直线方程，整理可得，当时，24y ax a =-+()24y a x =-+2x =，故A 正确；4y =对于B ，将代入直线方程，可得，解得，故B 错误；0x =310x y --=10y --=1y =-对于C ，由直线方程，则其垂线的方程可设为，将点230x y -+=20x y C ++=代入上式，可得，解得，则方程为，故C()2,3-()2230C ⨯-++=1=C 210x y ++=正确；对于D ，由直线方程，可得其斜率为，则10x ++=θ，解得，故D 错误.tan θ=150θ= 故选：AC.10. 已知椭圆内一点，过点M 的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，22:142x y C +=11,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭且M 是线段AB 的中点，椭圆的左，右焦点分别为，，则下列结论正确的是（）1F 2F A. 椭圆C 的焦点坐标为，()2,0()2,0-B. 椭圆C 的长轴长为4C. 直线与直线的斜率之积为1MF 2MF 14-D.AB =【答案】BCD 【解析】【分析】根据椭圆的几何性质、点差法、以及弦长公式求得正确答案.【详解】依题意，椭圆，22:142x y C +=所以，所以焦点坐标为，A 选项错误.2,a b c ===)()12,F F 长轴长，B 选项正确.24a =，C 选项正确.1214MF MF k k ⋅==-设，则，()()1122,,,A x y B x y 222211221,14242x y x y +=+=两式相减并化简得，12121212121212121212,,1412y y y y y y y y x x x x x x x x +----=⋅⋅=-=-+---即直线的斜率为，直线的方程为，AB 1-AB ()131,22y x y x -=--=-+由消去并化简得，2232142y x x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩y 261210x x -+=所以，所以.121212,6x x xx +=⋅=AB ==故选：BCD11. 已知数列的前n 项和，则下列结论正确的是（）{}n a ()2*123N 43n S n n n =++∈A. 数列是递增数列 B. 数列不是等差数列{}n a {}n a C.，，成等差数列 D.，，成等差2a 4a 6a 63S S -96S S -129S S -数列【答案】BCD 【解析】【分析】由与的关系推导出数列的通项公式，判断选项A ，B ，分别计算出，n a n S {}n a 2a ，和，，，结合等差数列的定义判断选项C ，D.4a 6a 63S S -96S S -129S S -【详解】，()2*12S 3N 43n n n n =++∈ 时，，2n ∴≥()()22112121531134343212n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=++--+-+=+⎢⎥⎣⎦时，，即，.1n =114712a S ==47,11215,2212n n a n n ⎧=⎪⎪=⎨⎪+≥⎪⎩*N n ∈，因此数列不是单调递增数列，故A 错误；2117471212a a =<= {}n a 又时，不满足，1n =15212n a n =+数列不是等差数列，故B 正确；∴{}n a ，，，21712a =42912a =64112a =因此，，成等差数列，故C 正确；2a 4a 6a ，()63456153545632124S S a a a -=++=⨯+++⨯=，()96789155378932124S S a a a -=++=⨯+++⨯=．()129101112157110111232124S S a a a -=++=⨯+++⨯=成等差数列，故D 正确.6396129,,S S S S S S ∴---故选：BCD.12. 平行六面体中，各棱长均为2，设，ABCD A B C D -''''A AB A AD DAB θ''∠=∠=∠=则下列结论中正确的有（）A. 当时，2πθ=AC '=B. 和BD 总垂直AC 'C. θ的取值范围为2(0,3πD. θ=60°时，三棱锥的外接球的体积是C C B D -'''【答案】ABC 【解析】【分析】对于A ，求正方体对角线即可判断；对于B ，利用空间向量数量积运算即可判断；对于C ，由正三棱锥的高与斜高的关系即可计算判断；对于D ，求出正四面体外接球体积A A BD '-C C B D -'''判断作答.【详解】平行六面体中，各棱长均为2，设ABCD A B C D -''''，A AB A AD DAB θ''∠=∠=∠=对于A ，时，该平行六面体为正方体，其体对角线长，A 正确；2πθ=AC '=对于B ，，，因此，AC AB AA AD '=++' BD AD AB =-22()()AC BD AB AA AD AD AB AD AB AA AD AA AB '⋅++--⋅'''=-⋅⋅=+ ，B 正确；22224cos 4cos 0θθ=-+=-对于C ，连接，如图，依题意，为正三棱锥，取中点E ，,,BD A B A D ''A A BD '-BD 令为正的中心，连，有平面，O A BD ' ,,AE AO EO AO ⊥A BD '正三棱锥的斜高，，则A A BD '-cos2cos22AE AB θθ==2sin4sin22BD AB θθ==，2OE BD θ==显然，，即，则，从而得AE OE >2cos22θθ>tan 2θ<(0,)23θπ∈，C 正确；2(0,)3πθ∈对于D ，当时，三棱锥为正四面体，三棱锥也是正四面体，60θ= C C B D-'''A A BD '-它们全等，由C 选项知，的外接AO ===A A BD '-球球心在线段AO 上，设球半径为，r 则有，整理得，解得222()r AO r OB =-+222(2)AO rAO OE ⋅=+r =于是得三棱锥外接球的体积，D 不正确.C C BD -'''343V π=⨯=故选：ABC【点睛】关键点睛：几何体的外接球的表面积、体积计算问题，借助球的截面小圆性质确定出球心位置是解题的关键.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 准线方程为的抛物线的标准方程是_______．2x =【答案】28y x =-【解析】【详解】抛物线的准线方程为，说明抛物线开口向左，且，所以抛物线2x =224p =⨯=的标准方程是．28y x =-14. 已知双曲线的对称轴为坐标轴，中心是坐标原点，渐近线方程为，请写出C 43y x=±双曲线的一个离心率______．C 【答案】（答案不唯一）53【解析】【分析】分类讨论双曲线的焦点在轴、轴两种情况，结合双曲线的渐近线方程及离C x y 心率公式计算可得.【详解】当双曲线的焦点在轴时，其渐近线为，则，C x b y xa =±43b a =所以离心率，53c e a ====当双曲线的焦点在轴时，其渐近线为，则，即，C y a y x b =±43a b =34b a =所以离心率，54c e a ====综上，可得双曲线的离心率为或.5354故答案为：（答案不唯一）.5315. 如图甲是第七届国际数学教育大会（简称）的会徽图案，会徽的主体图案7ICME -是由如图乙的一连串直角三角形演化而成的，其中，11223781OA A A A A A A ===== 如果把图乙中的直角三角形继续作下去，记的长度构成数列，12,,,n OA OA OA ⋅ {}n a 则此数列的通项公式为_____．n a =【解析】【分析】由图可知，由勾股定理可得,利1122378...1OA A A A A A A =====2211n n a a -=+用等差数列的通项公式求解即可.【详解】根据图形，1122378...1OA A A A A A A =====因为都是直角三角形，122378...OA A OA A OA A ∆∆∆、,2211n n a a -∴=+是以1为首项，以1为公差的等差数列，2n a ∴，()2111n a n n∴=+-⨯=故答案为.na ∴=【点睛】本题主要考查归纳推理的应用，等差数列的定义与通项公式，以及数形结合思想的应用，意在考查综合应用所学知识解答问题的能力，属于与中档题.16. 已知过点的直线与椭圆相交于不同的两点A 和B ，在线段AB()4,1P 22:142x y C +=上存在点Q ，满足，则的最小值为______．AP QB AQ PB ⋅=⋅ OQ【解析】【分析】设，，，由四点共线，用向量共线关系表()11,A x y ()22,B x y (),Q x y ,,,A P B Q 示两点坐标，又点在椭圆上，把坐标代入椭圆方程，得出点在一条定直线上，,A B ,A B Q 再求最短距离即可.【详解】设，，，由，记()11,A x y ()22,B x y (),Q x y AP QB AQ PB⋅=⋅，又四点共线，设，则由已知，且，AP PB AQ QB = ,,,A P B Q PA AQ λ= 0λ>1λ≠.PB BQ λ=- 由，得，PA AQ λ=()()11114,1,x y x x y y λ--=--解得，同理，得，114111x x y y λλλλ+⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩PB BQ λ=- ()()22224,1,x y x x y y λ--=---解得，因为点在椭圆上，所以，即224111x x yy λλλλ-⎧=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩A 224111142x y λλλλ++⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭+=，①()()()22241142x y λλλ+++=+同理点在椭圆上，所以，即B 224111142x y λλλλ--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭+=，②()()()22241142x y λλλ--+=-①-②得 ，因为164442x yλλλ+=0λ>所以，故点在定直线上，220x y+-=Q 220x y +-=的最小值为点到直线的距离.OQO 220x y +-=d ==故答案为.【点睛】解析几何中线段定比分点问题方法点睛：1.在平面直角坐标系中，已知，，，且，,()11,A x y ()22,B x y (),P x y AP PB λ=0λ≠且，那么我们就说P 分有向线段AB 的比为，则有:1λ≠-λ，这就是定比分点坐标公式.121211x x x y y y λλλλ+⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩当P 为内分点时，；0λ>当P 为外分点时， ().0λ<1λ≠-2.这个公式在解决解析几何中向量共线或者点共线问题有着很强大的作用，运用好往往可以几步就解决一个大题.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 如图，直线与抛物线相交于A ，B 两点．2y x =-22y x =（1）求线段AB 的长；（2）证明：．OA OB ⊥【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）联立直线的方程和抛物线的方程，结合根与系数关系求得.AB（2）根据根与系数关系、向量数量积等知识证得结论成立.【小问1详解】设，，由，得．()11,A x y ()22,B x y 222y x y x =-⎧⎨=⎩2640x x -+=，126x x +=124x x =所以．AB ==【小问2详解】由（1）知：，，126x x +=124x x =所以，()121212122240OA OB x x y y x x x x ⋅=+=-++=所以，OA OB ⊥ 所以．OA OB ⊥18. 如图，在三棱锥中，，，两两垂直，O ABC -OA OB OC ，．3OA OC ==2OB =（1）求点到直线的距离；B AC（2）求直线与平面所成角的正弦值．OB ABC 【答案】（1（2【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用点与直线距离的空间向量法计算可得.（2）利用直线与平面夹角的空间向量法计算可得【小问1详解】解：以为坐标原点，，，方向分别为，，轴正方向，建立如图所示的O OB OC OAx y z 空间直角坐标系，则，，，所以，，()0,0,3A ()2,0,0B ()0,3,0C ()2,0,3AB =-()0,3,3AC =-．()2,0,0OB =取，，则，()2,0,3a AB ==-AC u AC ⎛== ⎝ 213a = a u ⋅= 所以点到直线．B AC ==【小问2详解】解：设是平面的一个法向量，则，所以，(),,n x y z = ABC 00AB n AC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 230330x z y z -=⎧⎨-=⎩取，解得，所以．2z =32x y =⎧⎨=⎩()3,2,2n = 设直线与平面所成角为，OB ABC θ则，sin cos ,OB n OB n OB n θ⋅====⋅所以直线与平面OB ABC 19. 在数列的首项为 ，且满足．{}n a 11a =132nn n a a ++=⋅（1）求证：是等比数列．{}2n na-（2）求数列的前n 项和．{}n a n S 【答案】（1）证明见解析；（2）.1122,23,n n n n S n ++⎧-=⎨-⎩为偶数为奇数【解析】【分析】（1）由，化简得到，结合等比数列的定义，即132n n n a a +=-+⋅11212n n nn a a ++-=--可求解；（2）由（1）求得，分当为偶数和当为奇数，两种情况讨论，结合等(1)2n nn a =-+n n 比数列的求和公式，即可求解.【详解】（1）由题意，数列满足，即，{}n a 132n n n a a ++=⋅132nn n a a +=-+⋅则，111232221222n n n n n n nn n nn n n a a a a a a +++--+⋅--===----又由，可得，11a =1121a -=-所以数列表示首项为，公比为的等比数列.{}2n na -1-1-（2）由（1）知，所以，121(1)(1)n n n n a --=-⨯-=-(1)2n nn a =-+所以，12=222(1)1(1)n nn S ++++-+++- 当为偶数时，可得；n 12(12)=02212n n n S +-+=--当为奇数时，可得，n 12(12)=12312n n n S +--=--综上可得，.1122,23,n n n n S n ++⎧-=⎨-⎩为偶数为奇数20. 已知两个定点，，动点P 满足()1,0M -()1,0N MP =（1）求点P 的轨迹方程；（2）若点N 到直线PM 的距离为1，求直线PN 的方程．【答案】（1）22610x y x +-+=（2）或1y x =-1y x =-+【解析】【分析】（1）设点，后由(),P x y MP =（2）由点N 到直线PM 的距离为1，可得，则可得直线PM 方程为30PMN ∠=︒或，将直线方程与轨迹方程联立可得点P坐标，后可得直)1y x =+)1y x =+线PN 方程.【小问1详解】设点P 的坐标为，因为(),xy MP ==整理得，所以点P 的轨迹方程为．22610x y x +-+=22610x y x +-+=【小问2详解】因为点N 到直线PM 的距离为1，，2MN =所以，直线PM 或30PMN ∠=︒所以直线PM 的方程为或.)1y x =+)1y x =+联立轨迹方程与，)1y x =+可得，)2226104101x y x x x y x ⎧+-+=⎪⇒-+=⎨=+⎪⎩解得或．得直线PM 的方程为时，2x =+2x =)1yx =+P 的坐标为或.直线PM 的方程为时，(2++(21-)1y x =+P 的坐标为或．(21+--(2-当P 的坐标为时，直线PN的方程为：(2+，即.11y x ==-1y x =-P 的坐标为时，直线PN的方程为：(21--+，即.11y x ==--1y x =-+P 的坐标为时，直线PN的方程为：(21+--，即.11y x ==--1y x =-+P 的坐标为时，直线PN的方程为：(2-，即.11y x ==-1y x =-综上可得直线PN 的方程为或1y x =-1y x =-+21. 歇山顶，即歇山式屋顶，为古代汉族建筑屋顶样式之一，宋朝称九脊殿、曹殿或厦两头造，清朝改称歇山顶，又名九脊顶，其屋顶（上半部分）类似于五面体形状．如图所示的五面体的底面ABCD 为一个矩形，EF ABCD -，，，棱，M ，N 分别是28AB EF ==6AD =//EF AB 5EA ED FB FC ====AD ，BC的中点．（1）求证：平面平面；EFNM ⊥ABCD （2）求平面与平面夹角的余弦值．BFC EFCD 【答案】（1）证明见解析（2【解析】【分析】（1）证明以及，根据面面垂直的判定定理即可证明结论；EM AD ⊥MNAD ⊥（2）建立空间直角坐标系，求得相关点坐标，求得平面与平面法向量，根BFC EFCD 据向量的夹角公式即可求解.【小问1详解】因为，为的中点，所以．EA ED =M AD EM AD ⊥在矩形中，，分别是，的中点，所以．ABCD M N AD BC MNAD ⊥又，，平面，所以平面．EM MN M ⋂=EM MN ⊂EFNM AD ⊥EFNM 又平面，所以平面平面．AD ⊂ABCD EFNM ⊥ABCD 【小问2详解】在平面中，过作，为垂足．EFNM F FH MN ⊥H 因为平面平面ABCD ，平面平面，EFNM ⊥EFNM ⋂ABCD MN =平面，所以平面．FH ⊂EFNM FH ⊥ABCD 过作的平行线，交于点，则，，，H BC AB S 3HS =2HN=HF =以为坐标原点，以，，方向分别为x 轴，y 轴，z 轴正方向，建立如图所示H HS HN HF的空间直角坐标系，则，，，，()3,2,0B ()3,2,0C -()3,6,0D --(0,0,F 所以，，，．(3,2,BF =--()6,0,0BC =-(3,2,CF =-()0,8,0CD =-设平面EFCD 的一个法向量为，则，所以，(),,m x y z = 00CF m CD m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩32080x y y ⎧-+=⎪⎨-=⎪⎩取，解得，所以，z =20x y =-⎧⎨=⎩(m =-同理可得平面的一个法向量为．BFC ()n =设平面与平面夹角为．则，BFC EFCDθcos cos ,m n m n m nθ⋅=<>==⋅ 所以平面与平面．BFC EFCD 22. 已知双曲线的左，右顶点分别为A ，B ，过点且不()2222:10,0x y C a b a b -=>>()6,0D 与x 轴重合的动直线交双曲线C 于P ，Q 两点，当直线PQ 与x 轴垂直时，．4PD BD ==（1）求双曲线C 的标准方程；（2）设直线AP ，AQ 和直线分别交于点M ，N ，若恒成立，求t 的值．x t =MD ND ⊥【答案】（1）22142x y -=（2）或14t =103t =【解析】【分析】(1)由可得的值，再将点代入即可求解；4PD BD ==a ()6,4P (2) 设直线PQ 的方程为，与双曲线方程联立，利用韦达定理求出直线AP 的方6x my =+程，求出点的坐标，利用即可求出结果.,M N MD ND ⊥【小问1详解】由题知，当PQ 与x 轴垂直时，，4PD BD ==所以，，642a OD BD =-=-=()6,4P 所以，解得，所以双曲线C 的方程为．2236414b -=22b =22142x y -=【小问2详解】设直线PQ 的方程为，，，6x my =+()11,P x y ()22,Q x y 由，得，226142x my x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩()22212320m my y -++=所以，．122122m y y m +=--122322y y m =-直线AP 的方程为，与联立，解得．同理可得()1122y y x x =++x t =()112,2t y M t x +⎛⎫ ⎪+⎝⎭．()222,2t y N t x +⎛⎫⎪+⎝⎭所以，，()1126,2t y DM t x +⎛⎫ ⎪⎝⎭=-+ ()2226,2t y DN t x +=-+⎛⎫ ⎪⎝⎭ 因为恒成立，所以恒成立，MD ND ⊥0DM DN ⋅=又()()()()2212126222y y DM DN t t x x ⋅=-++++ ()()()()2212126288y y t t my my =-++++()()()21222112262864m y y m y y y y t t ++=++-+()()221624t t =--+所以，解得或．()()22462t t -=+14t =103t =。
2022-2023学年江西省南昌市名校高二年级上册学期期末考试数学试题【含答案】
南昌市名校2022-2023学年高二上学期期末考试数学试题考试时间：120分钟第I 卷（选择题）一、单选题（每题5分，共计40分）1．空间四边形中，，，，且，，则OABC OA a = OB b = OC c = 23OM OA =BN NC =（ ）MN =A ．B ．C ．D ．121232a b c -+ 111222a b c +- 221332a b c -++ 211322a b c -++2．已知直线与直线，若直线与直线的夹角为，则10l y +=2:10l kx y -+=1l 2l 60︒实数的值为（ ）A B ．C 0D ．或k 3．在新型冠状病毒肺炎疫情联防联控期间，社区有5名医务人员到某学校的高一、高二、高三3个年级协助防控和宣传工作.若每个年级至少分配1名医务人员，则不同的分配方法有（ ）A ．25种B ．50种C ．300种D ．150种4．与曲线共焦点，且与双曲线共渐近线的双曲线的方程为2211636x y +=22146x y -=（ ）A ．B ．C ．D ．221128y x -=221812y x -=221128x y -=221812x y -=5．已知，则（ ）()()()()4255012512111x x a a x a x a x -+=+++++++ 2a =A ．B ．2C ．4D ．122-6．一个家庭有两个小孩，假设生男生女是等可能的，已知这个家庭有一个是女孩的条件下，这时另一个也是女孩的概率是( )A ．B ．C ．D ．142312137．已知点D 在确定的平面内，O 是平面ABC 外任意一点，实数x ，y 满足ABC ，则：的最小值为（ ）2DO xOA yOB OC =+- 22x y +A ．BC ．1D ．2458．某校举行科技文化艺术节活动，学生会准备安排6名同学到两个不同社团开展活动，要求每个社团至少安排两人，其中，两人不能分在同一个社团，则不同的安排方A B案数是（ ）A ．56B ．28C ．24D ．12二、多选题（每题5分，多选不得分，漏选少选扣2分一个，共计20分）9．已知，，是空间的一个基底，则下列说法中正确的是（ ）a b c A ．若，则0xa yb zc ++=x y z ===B ．，，两两共面，但，，不共面a b c a b cC ．，，一定能构成空间的一个基底+a b b c - 2c a +D ．一定存在实数，，使得x y a xb yc =+10．下列说法正确的是（ ）A ．甲､乙､丙､丁4人站成一排，甲不在最左端，则共有种排法1333C AB ．3名男生和4名女生站成一排，则3名男生相邻的排法共有种4343A A C ．3名男生和4名女生站成一排，则3名男生互不相邻的排法共有种4345A A D ．3名男生和4名女生站成一排，3名男生互不相邻且女生甲不能排在最左端的排法共有1296种11.如图，正四面体ABCD 的顶点A ，B ，C 分别在两两垂直的三条射线Ox ，Oy ，Oz 上，则在下列命题中，正确的是( )A ．O -ABC 是正三棱锥B ．直线OB ∥平面ACDC ．直线AD 与OB 所成的角是45°D ．二面角D -OB -A 为45°12.已知椭圆的左，右焦点分别为，，过点的直线l 交椭圆于A ，B22195x y +=1F 2F 1F 两点.则下列说法正确的是（ ）A ．△ABF 2的周长为12BC ．的最大值为D ．△ABF 2面积最大值为22||AF BF +263203第II 卷（非选择题）三、填空题（每题5分，共计20分）13．圆：与圆：没有公共点，则的取值1C 2220x y x ++=2C 22480x y x y m +--+=m 范围为__________.14．的展开式中含项的系数为___________.4(2)(3)y x --3x y 15．一道单项选择题有4个答案，要求学生将正确答案选择出来.某考生知道正确答案的概率为，在乱猜时，4个答案都有机会被他选择，若他答对了，则他确实知道正确15答案的概率是___________.16．已知双曲线左，右焦点分别为，若双曲线右22221(0,0)x y a b a b -=>>()()12,0,,0F c F c -支上存在点使得，则离心率的取值范围为_______.P 1221sin sin a cPF F PF F ∠∠=四、解答题17（10分）．已知圆，其圆心在直线上．22:220(R)C x y mx y m ++--=∈0x y +=(1)求的值；m (2)若过点的直线与相切，求的方程．(1,4)l C l 18（12分）．（1）解不等式．288A 6A x x -<（2）若，求正整数n ．2222345C C C C 363n +++⋅⋅⋅+=（3）从正方体ABCD -A ′B ′C ′D ′的8个顶点中选取4个作为四面体的顶点，可得到的不同的四面体的个数为？19（12分）．如图，在三棱柱中，是边长为4的正方形，平面111ABC A B C -11AAC C 平面，，，点是的中点，ABC ⊥11AAC C 3AB =5BC =E BC(1)求证：平面；(2)求证：平面；1A B 1AC E 1A C ⊥1ABC (3)证明：在线段上存在点，使得.并求的值.1BC D 1AD A B⊥1BDBC 20（12分）．甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击，三人击中的概率分别为0.4，0.5，0.7.飞机被一人击中且击落的概率为0.2,被两人击中且击落的概率为0.6，若三人都击中，飞机必定被击落，求飞机被击落的概率.21（12分）．如图所示，四棱台的上下底面均为正方形，面1111ABCD A B C D -面，，.11ADD A ⊥1111D C B A 114AADD ==1136A D AD ==(1)求到平面的距离；1B 11CDD C (2)求二面角的正弦值.111B CC D --22（12分）．已知C ：，过椭22221x y a b +=12圆左焦点作不与x 轴重合的直线与椭圆C 相交于M 、N 两点，直线m 的方程为：F ，过点M 作垂直于直线m 交直线m 于点E .2x a =-ME (1)求椭圆C 的标准方程：(2)①若线段EN 必过定点P ，求定点P 的坐标；②点O 为坐标原点，求面积的最大值.OEN参考答案：1．D【分析】根据空间向量的线性运算解决即可.【详解】由题知，空间四边形中，，，，且，OABC OA a = OB b = OC c = 23OM OA=，BN NC = 如图，所以，1122ON OB OC=+ 所以，21211()32322MN MO ON OA OB OC a b c=+=-++=-++ 故选：D 2．C【分析】根据倾斜角与斜率的关系即可求解.【详解】的斜率为，直线恒过10l y +=k =120 2:10l kx y -+=点,若直线与直线的夹角为，则的倾斜角为或者，所以斜率为或()0,11l 2l 60︒2l 60 0 k ，0k =故选：C3．D【分析】首先分析将5个人分为三小组且每小组至少有一人，则可能分法有：两种情况，每种情况利用分步计数原理计算情况数，最后相加即可.(2,2,1),(3,1,1)【详解】当5个人分为2，2，1三小组，分别来自3个年级，共有种；2213531322C C C A 90A ⋅=②当5个人分为3，1，1三小组时，分别来自3个年级，共有种.3113521322C C C A 60A ⋅=综上，选法共有.9060150+=故选:D.4．A【分析】先由与椭圆共焦点得到，且焦点在轴上，从而巧设所求双曲线为220c =y ，利用即可得解.()22046x y λλ-=<222c a b =+【详解】因为曲线为椭圆，焦点在轴上，且，2211636x y +=y 2361620c =-=又因为所求双曲线与双曲线共渐近线，22146x y -=所以设所求双曲线为，即，()22046x y λλ-=<22164y x λλ-=--则，解得，26420c λλ=--=2λ=-所以所求双曲线为.221128y x -=故选：A.5．C【分析】令，直接根据二项式定理求解即可.1x t +=【详解】令，则，1x t +=1x t =-故，()()()445525012512221x x t t a a t a t a t -+=-+-=++++ 中得系数为，中得系数为，()42t -2t ()224C 224-=()51t -2t ()335C 110-=-所以，224204a =-=故选：C.6．D [一个家庭中有两个小孩只有4种可能：(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)．记事件A 为“其中一个是女孩”，事件B 为“另一个是女孩”，则A ＝{(男，女)，(女，男)，(女，女)}，B ＝{(男，女)，(女，男)，(女，女)}，AB ＝{(女，女)}．于是可知P (A )＝，P (AB )＝．问题是求在事件A 发生的情况下，事件B 发生的概率，3414即求P (B |A )，由条件概率公式，得P (B |A )＝＝．]1434137．A【分析】根据空间向量共面可得，然后利用二次函数的性质即得.211x y --+=【详解】因为，2DO xOA yOB OC =+- 所以，又点D 在确定的平面内，2OD xOA yOB OC =--+ ABC 所以，即，211x y --+=22x y =-所以，()222222445422855455x y y y y y y ==-+⎛⎫+-+-⎪=+≥⎝⎭所以当时，的有最小值.45y =22x y +45故选：A.8．B【分析】设两个社团分别为甲乙，按A 在甲社团B 在乙社团和A 在乙社团B 在甲社团两种类型讨论，每种类型又分甲社团有2 人、3 人、4 人三种情况，运用排列组合公式计算方案数.【详解】设两个社团为甲社团和乙社团，当A 在甲社团B 在乙社团时，甲社团有2 人有种方案，甲社团有3 人有种方案，甲14C 24C 社团有4人有种方案，共种方案；34C 123444C +C +C 46414=++=当B 在甲社团A 在乙社团时，同理也有14种方案；所以不同的安排方案数是14+14=28.故选：B 9．ABC【分析】由已知，选项A ，可使用反证法，假设结论不成立来推导条件；选项B ，可根据基底的定义和性质来判断；选项C ，可先假设，，共面，得到无解，即可+a b b c - 2c a +判断，，组成基底向量；选项D ，由，，不共面可知，不存在这样的+a b b c - 2c a + a b c 实数.【详解】选项A ，若不全为，则，，共面，此时与题意矛盾，所以若,,x y z 0a b c，则，该选项正确；0xa yb zc ++=0x y z ===选项B ，由于，，是空间的一个基底，根据基底的定义和性质可知，，，两两a b c a b c共面，但，，不共面，该选项正确；a b c 选项C ，假设，，共面，+a b b c - 2c a +则，此时，无解，+()(2)a b k b c c a λ=-++ 1=2=1=k k λλ⎧⎪⎨⎪⎩所以，，不共面，即可构成空间的一个基底，所以该选项正确；+a b b c - 2c a +选项D ，，，不共面，则不存在实数，，使得，故该选项错误.a b cx y a xb yc =+ 故选：ABC.10．ACD【分析】先排特殊元素（位置）再排其他元素，可判断A 的正误；利用捆绑法，可判断B 的正误；利用插空法，可判断C 的正误，利用插空法和特殊元素（位置）法，可判断D 的正误，即可得答案.【详解】对于A ：先排最左端，有种排法，再排剩余3个位置，有种排法，则共有13C 33A 种排法，故A 正确；1333C A 对于B ：3名男生相邻，有种排法，和剩余4名女生排列，相当于5人作排列，有种33A 55A 排法，所以共有种排法，故B 错误；5335A A 对于C ：先排4名女生，共有种排法，且形成5个空位，再排3名男生，共有种排44A 35A 法，所以共有种排法，故C 正确；4345A A 对于D ：由C 选项可得3名男生和4名女生站成一排，则3名男生互不相邻的排法共有种排法，4345A A 若女生甲在最左端，且男生互不相邻的排法有种排法，3334A A 所以3名男生互不相邻且女生甲不能排在最左端的排法共有-=1296种，故D 正4345A A 3334A A 确.故选：ACD11.ACD [将原图补为正方体不难得出只有B 错误，故选ACD ．]12. ACD【分析】A 由椭圆定义求焦点三角形周长；B 根据椭圆离心率定义求离心率；C 当轴求出最小值，即可得最大值；D 令直线代入椭圆，AB x ⊥||AB 22||AF BF +:2AB x ky =-应用韦达定理、三角形面积公式得到关于的表达式，研究其最值即可.2ABF S k 【详解】A ：由三角形的周长为，正确；221212||||||||||||||412AB AF BF AF AF BF BF a ++=+++==B ：由，故椭圆的离心率为，错误；3,2a c ===23c a =C ：要使最大，只需最小，根据椭圆性质知：当轴时22||12||AF BF AB -+=||AB AB x ⊥，故，正确；2min 210||3b AB a ==22max 26(||)3AF BF +=D ：令直线，代入椭圆方程整理得：，:2AB x ky =-22(95)20250k y ky +--=所以，且，，2900(1)0k ∆=+>22095A B k y y k +=+22595A By y k =-+而，2121||||602ABF A B S F F y y =⋅-==令，则，211t k =+≥260ABF S ==≤= 当且仅当时等号成立，显然等号不成立，45t =又在上递增，即时最小，此时最大为，正确.1625y t t =+[1,)+∞1t =y 2ABF S 203故选：ACD 13．()(),164,20-∞-⋃【分析】先用配方法确定圆心和半径，两圆没有公共点，说明它们内含或者外离，找出圆心距和半径之间的关系可得参数的范围.【详解】圆：，圆：1C ()2211x y ++=2C ()()222420x y m-+-=-两圆没有公共点，则两圆外离或内含.若两圆外离，则，∴12121C C r r >+=420m <<若两圆内含，则，∴.12121C C r r <+=16m <-综上：.()(),164,20m ∈-∞-⋃故答案为：()(),164,20-∞-⋃14．12-【分析】利用乘法分配律得到，则来自于的444(2)(3)(3()2)3y x x x y ---=--3x y 4(3)y x -展开式，根据二项式定理即可求解.【详解】，444(2)(3)(3()2)3y x x x y ---=--的展开式中项为：，4(3)y x -3x y ()3334C 312y x x y ⋅⋅-=-的展开式中没有项，4)2(3x --3x y 故的展开式中含项的系数为，4(2)(3)y x --3x y 12-故答案为：.12-15．##120.5【分析】由全概率公式求出考生答对的概率，再由条件概率公式求他答对条件下，他确实知道正确答案的概率.【详解】设表示“考生答对”，表示“考生知道正确答案”，由全概率公式得A B ()()()141|()(|1,55452P A P B P A B P B P A B =+=⨯+⨯=故()()()115|.225P AB P B A P A ===故答案为：1217．(1)；2m =(2)或.1x =512430x y -+=【分析】（1）将圆的一般方程化为标准方程，求出圆心，代入直线方程即可求解；（2）对直线的斜率是否存在讨论.若存在，设直线的方程为：，利用圆心l ()41y k x -=-到直线的距离即可求解.【详解】（1）圆的标准方程为：，C 222(1)324m m x y ⎛⎫++-=+ ⎪⎝⎭所以，圆心为.,12m ⎛⎫- ⎪⎝⎭由圆心在直线上，得.0x y +=2m =所以，圆的方程为：.C 22(1)(1)4x y ++-=（2）当直线的斜率不存在时，即方程为，此时直线与圆相切；l l 1x =当直线的斜率存在时，设斜率为，则直线的方程为：，l k l ()41y k x -=-即，40kx y k --+=由于直线和圆，l C 2解得：，代入整理可得.512k =512430x y -+=所以，直线方程为：或.1x =512430x y -+=18．（1）；（2）；（3）588x =13n =【分析】（1）根据排列数公式求解；（2）由组合数的性质求解；（3）由分类加法计数原理和分步乘法计数原理计算．【详解】（1）由题意，且，，经验8!8!6(8)!(10)!x x <⨯--116(10)(9)x x <⨯--28x ≤≤N *x ∈算可解得；8x =（2）22223222232223453345445C C C C C C C C C 1C C C C 1n n n +++⋅⋅⋅+=++++⋅⋅⋅+-=+++⋅⋅⋅+-3223551C C C 1C 1n n +=++⋅⋅⋅+-==- 原方程为，，满足题意，且是在且31363C n-=()()113646n n n +-=13n =31C n +*n ∈N 时递增的，因此是唯一解；4n ≥13n =（3）58 [从8个顶点中任取4个有C 种方法，从中去掉6个面和6个对角面，48所以有C －12＝58个不同的四面体．]4819．(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)证明见解析，.1925BD BC =【分析】(1)连接，，记两直线的交点为，证明，根据线面平行判定定1AC 1AC F 1//EF A B 理证明平面；1A B 1AC E(2)证明，，根据线面垂直判定定理证明平面；11AC A C ⊥1A C AB ⊥1A C ⊥1ABC (3) 以为原点，，，为，，轴建立空间直角坐标系，设A AC AB 1AA x y z ，由垂直关系列方程求出即可.()101BDBC λλ=≤≤λ【详解】（1）连接，，记两直线的交点为，因为四边形是正方形，所以1AC 1AC F 11AAC C为的中点，又点为的中点，所以，平面，平面F 1ACE BC 1//FE A B 1A B ⊄1AC E FE ⊂，所以平面；1AC E1A B 1ACE （2）因为，，，所以，所以，3AB =5BC =4AC =222BC AB AC =+AB AC ⊥又平面平面，平面平面，平面，ABC ⊥11AAC C ABC ⋂11AAC C AC =AB ⊂ABC 所以平面，因为平面，所以，因为四边形是AB ⊥11AAC C 1AC ⊂11AAC C 1AB A C ⊥11AACC 正方形，所以，又，平面，平面，所以11AC A C ⊥1AC AB A = 1AC ⊂1ABC AB ⊂1ABC 平面；1A C ⊥1ABC （3）因为平面，，故以为原点，，，为，，AB ⊥11AAC C 1AC AA ⊥A AC AB 1AA x y 轴建立空间直角坐标系，则，，，，z ()10,0,4A ()0,3,0B ()14,0,4C ()10,3,4A B =-，()14,3,4BC =-设在线段上存在点，使得，且， 则，1BC D 1AD A B ⊥()101BD BC λλ=≤≤1BD BC λ= 所以，()()()14,3,44,33,04,3,0AD AB BD AB BC λλλλλ=+=+=-=+-因为，若，则，解得：，()10,3,4A B =-1AD A B ⊥199160AD A B λλ==⋅-- 925λ=所以在线段上存在点，使得且.1BC 364836,,252525D ⎛⎫ ⎪⎝⎭1AD A B ⊥1925BD BC =20．解 设事件A 表示“飞机被击落”，事件B i 表示“飞机被i 人击中”(i=0,1,2,3)，则B 0，构成样本空间的一个划分，且依题意，P(A|B 0)=0，P(A|B 1)=0.2,P(A|B 2)=0.6, P(A|B3) = 1。
二年级下学期数学期末考试试卷共5套
二年级下学期数学期末考试试卷共5套第一套数学期末考试试题一、选择填空（每题2分，共20分）1、12÷2=（）A. 6B. 8C. 102、在2、5、7、8中，比5大的数是（）A. 2B. 5C. 7D. 83、58÷10=（）A. 5.8B. 580C. 58004、将366元分成3份，每份相同，每份是多少元？（）A. 100B. 120C. 1225、将72元平均分给9个人，每人得（）A. 9元B. 8元C. 6元6、小华做了6道数学题，她做对了其中的4道，小华的正确率是（）A. 2/6B. 1/3C. 2/37、30÷5=（）A. 10B. 5C. 68、小张有12个橙子，他要将它们分到3个篮子里，每篮子至少放2个橙子，那么每篮子能放的最多的橙子数是（）A. 3B. 4C. 5D. 69、用5元的纸币，最少需要几张才能凑够235元钱？（）A. 47B. 54C. 6010、四个小朋友要分别找到1、2、3、4个与18，20，21不连续的自然数，其中只有3找不到，它没有找到的数是（）A. 16B. 15C. 14二、计算（每题5分，共25分）1、25×0.5=（）2、9+×=20（）3、34－（45－28）=（）4、50÷5×4=（）5、9.2×5=（）三、判断（每题2分，共10分）1、一个奇数与一个偶数相乘，结果一定是偶数。
（）A. 对B. 错2、4÷5=0.8。
（）A. 对B. 错3、一个正数的平方一定大于它本身。
（）A. 对B. 错4、学校里有660个学生，其中240个是小学生，其余的是初中生。
初中生的比例是4:3。
（）A. 对B. 错5、两个分数的乘积一定小于它们的和。
（）A. 对B. 错四、应用题（每题8分，共20分）1、两个数的和是54，这两个数的差是6，请你算出这两个数各是多少？2、两个不相等的数的和是146，它们之差的绝对值是58，请你算出这两个数各是多少？3、某公司的总价值为500万元，其中股票的价值占总价值的1/5，而房产的价值是股票价值的1.5倍，请你根据这个条件计算出房产的价值和股票的价值各是多少？4、某个数的3/4等于120，请你求出这个数是多少？5、银行一个月的利率是1.2%，如果你在银行存款3个月，那么你的本金和利息的总数是多少?（假设本金为5000元）第二套数学期末考试试题一、选择填空（每题2分，共20分）1、23-19=（）A. 2B. 3C. 42、50÷2=（）A. 15B. 25C. 303、25×4=（）A. 100B. 80C. 754、小华的生日是在10月15日，那么她是在哪一季出生的？（）A. 春季B. 夏季C. 秋季D. 冬季5、5×4-10÷2=（）A. 15B. 16C. 176、小明有24个苹果要分给3个小朋友，他每人可以分到多少个苹果？（）A. 8个B. 6个C. 4个7、34÷6的商是（）A. 4B. 5C. 68、13-5×2=（）A. 18B. 7C. 39、36÷4=（）A. 4B. 8C. 910、二十以内的所有偶数是（）A. 1，3，5，7，9，11，13，15，17，19B. 2，4，6，8，10，12，14，16，18，20C. 1，2，3，4，5，6，7，8，9，10二、计算（每题5分，共25分）1、12+16=（）2、27÷3-2×4=（）3、5×(20-12)=（）4、71-29=（）5、24÷8+6=（）三、判断（每题2分，共10分）1、0.35=35%。
2022-2023学年山东省济南市高二年级上册学期期末数学试题【含答案】
2022-2023学年山东省济南市高二上学期期末数学试题一、单选题1．已知空间向量，且，则的值为（ ）()()1,,2,2,1,4a m m b =--=-a b ⊥m A ．B ．C ．6D ．103-6-103【答案】B【分析】根据向量垂直得，即可求出的值.2(1)80m m --+-=m 【详解】因为空间向量，且()()1,,2,2,1,4a m m b =--=-a b⊥ .2(1)806m m m ∴--+-=⇒=-故选：B.2．已知等比数列各项均为正数，公比，且满足，则（ ）{}n a 2q =2616a a =3a =A ．8B ．4C ．2D ．1【答案】C【分析】根据等比数列的性质可得，根据各项均为正数，得到，则，进而2416a =44a =432a a q ==求解.【详解】因为，由等比数列的性质可得：，2616a a =242616a a a ==又因为数列各项均为正数，所以，因为公比，则，{}n a 44a =2q =432a a q ==故选：.C3的倾斜角是10+=A ．B ．C ．D ．56π6π3π23π【答案】A【详解】试题分析：直线的斜率k ==56π【解析】直线的斜率与倾斜角的关系4．抛物线的准线方程为（ ）24y x =A ．B ．1y =-=1x -C ．D ．116x =-116y =-【答案】D【分析】将抛物线转化成标准式，由定义求出准线.【详解】由得，故抛物线的准线方程为.24y x =214x y =24y x =116y =-故选：D5．如图，在四面体中，，，，，为线段的中点，则OABC OA a = OB b = OC c = 2CQ QB =P OA 等于（ ）PQA ．B ．C ．D ．112233a b c ++ 112233a b c --112233a b c-++121233a b c-++【答案】D【分析】根据空间向量的线性运算求解．【详解】由已知2132PQ OC CQ OP c CB OA =+-=+- 2121()()3232c OB OC a c b c a=+--=+--，121233a b c=-++ 故选：D ．6．若圆上恰有两个点到直线的距离为1，则半径的取值范围是222(3)(5)x y r -++=4320x y --=r （ ）A ．B ．C ．D ．()6,+∞[)6,+∞()4,6[]4,6【答案】C【分析】作图，根据几何意义分析求解.【详解】如图，与直线 平行的距离为1的直线有2条： ，1l23,l l 圆C ：的圆心是，依题意及图：圆 与 必有2个交点，与 相离，()()22235x y r -++=()3,5-C 3l 2l圆心C 到 的距离 ， ；1l 5d 46r ∴<<故选：C.7．已知双曲线的左､右焦点分别为，点在双曲线的右支上，且22221(0,0)x y a b a b -=>>12,F F P ，则双曲线离心率的取值范围是（ ）125PF PF =A ．B ．C ．D ．31,2⎛⎤⎥⎝⎦3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭(]1,2[)2,+∞【答案】A【分析】由条件结合双曲线的定义求，根据，即可求出结果.12,PF PF 1212+≥PF PF F F 【详解】因为点在双曲线的右支上，由双曲线的定义可得，P 122PF PF a-=又，所以，即，则，125PF PF =242PF a=22aPF =152a PF =因为双曲线中，，1212+≥PF PF F F 即，则，即，32a c ≥32c a ≤32e ≤又双曲线的离心率大于，所以.1312e <≤故选：A.8．如图甲是第七届国际数学家大会（简称ICME -7）的会徽图案，会徽的主题图案是由图乙的一连串直角三角形演化而成的.已知为直角顶点，设这些直角三1122334455667781232,,,OA A A A A A A A A A A A A A A A A A =========角形的周长从小到大组成的数列为，令为数列的前项和，则（ ）{}n a 2,2n nn b S a =-{}n b n 120S=A ．8B ．9C ．10D ．11【答案】C【分析】由题意可得的边长，进而可得周长及，进而可得，可得解.n OA n a n b n S 【详解】由，1122334455667782OA A A A A A A A A A A A A A A ========⋅⋅⋅=可得，，2OA =3OA =⋅⋅⋅n OA =所以，112n n n n n a OA OA A A ++=++=所以，22n n b a===-所以前项和，n 1211n n S b b b =+++== 所以，120110S ==故选：C.二、多选题9．已知椭圆，则的值可能为（ ）221mx y +=m A B ．C ．5D ．2515【答案】BC【分析】先将椭圆方程化为标准方程，然后分和两种情况结合离心率的定义列方程1m >01m <<求解即可.【详解】可化为.221mx y +=2211x y m +=当时，，椭圆；1m >101m <<221mx y +==5m =当时，，椭圆.01m <<11m >221mx y +==15m =故选：BC.10．已知数列的前项和为，则下列说法正确的是（ ）{}n a n n S A ．若，则211n S n n =-212n a n =-B ．若，则当时，是等比数列(),0n n S p q r p q =⋅+≠r p =-{}n a C ．若数列为等差数列，，，则{}n a 10a >69S S =78S S >D ．若数列为等差数列，，，则时，最大{}n a 150S >160S <8n =n S 【答案】AD【分析】利用题设条件及等差等比数列性质以及前项和公式，一一验证即可.n 【详解】对于选项A ：， ，211n S n n =- ()()()221111113122n S n n n n n -∴=---=-+≥，又，()12122n n n S S a n n -∴-==-≥1111110S a ==-=- 则时也符合，故若，则，故选项A 正确；1n =212n a n =-211n S n n =-212n a n =-对于选项B ：当时，，此时，,1r p q =-=01nn S p p ⋅-==0n a =数列不是等比数列，故选项B 错误；{}n a 对于选项C ：数列为等差数列，，，{}n a 10a >69S S =，，，，11615936a d a d ∴+=+170a d ∴=->8170a a d ∴=+=78S S ∴=故选项C 错误；对于选项D ：数列为等差数列，，，{}n a 150S >160S <，即，()151158151502S a a a ∴=+=>80a >，即，()()1611689880S a a a a =+=+<890a a +<，时，最大，故选项D 正确；90a ∴<8n ∴=n S 综上所述：选项AD 正确，故选：AD.11．数学著作《圆锥曲线论》中给出了圆的一种定义：平面内，到两个定点距离之比是常数,A B的点的轨迹是圆.若两定点，动点(0,1)λλλ>≠M ()()2,0,2,0A B -M 说法正确的是（ ）A ．点的轨迹围成区域的面积为M 32πB ．面积的最大值为ABMC ．点到直线距离的最大值为M 40x y -+=D ．若圆上存在满足条件的点，则半径的取值范围为222:(1)(1)C x y r +++=M r 【答案】ACD【分析】设点的轨迹为以点为圆心，(),M x y M ()6,0N圆，可判断A ；得可判断B ；求出点到直线y ⎡∈-⎣(12ABM S AB y =⋅∈ ()6,0N 的距离可判断直线与圆相离，求出点到直线距离的最大值可判断C ；由40x y -+=M 40x y -+=D 选项可知圆与圆可判断D.C N r CN r-≤≤【详解】由题意，设点(),M x y=化简可得，()22632x y -+=所以点的轨迹为以点为圆心，M ()6,0N 所以点的轨迹围成的区域面积为，A 选项正确；M 32π又点满足，(),M x y y ⎡∈-⎣所以，面积的最大值为B 选项错误；(12ABM S AB y =⋅∈ ABM点到直线的距离，()6,0N 40x y -+=d >所以直线与圆相离，所以点到直线距离的最大值为C 选项正确；M 40x y -+==由D 选项可知圆与圆，C N r CN r-≤≤且==CN，r r-≤≤D 选项正确；r ≤≤故选：ACD.12．在棱长为1的正方体中，为侧面的中心，是棱的中点，若点1111ABCD A B C D -E 11BCC B F 11C D 为线段上的动点，则下列说法正确的是（ ）P 1BDA ．的长最小值为PE 12B ．的最小值为PE PF ⋅ 148-C ．若，则平面截正方体所得截面的面积为12BP PD =PAC 98D ．若正方体绕旋转角度后与其自身重合，则的值可以是1BD θθ23π【答案】BCD【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，设，，得1(,,)BP BD λλλλ==--(01)λ≤≤，然后用空间向量法求得，判断A ，求得数量积计算最小值判断B ，由(1,1,)P λλλ--PE PE PF ⋅线面平行得线线平行，确定截面的形状、位置，从而可计算出截面面积，判断C ，结合正方体的对称性，利用是正方体的外接球直径判断D ．1BD 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，正方体棱长为1，则，，，11(,1,22E (1,1,0)B 1(0,0,1)D ，1(0,,1)2F ，设，，所以，1(1,1,1)BD =--1(,,)BP BD λλλλ==--(01)λ≤≤(1,1,)P λλλ--，11(,,)22PE λλλ=--时，A 错；=13λ=min PE = ，1(1,,1)2PF λλλ=---，111()(1)()()(1)222PE PF λλλλλλ⋅=--+-+-- 2713()1248λ=--所以时，，B 正确；712λ=min 1()48PE PF ⋅=-，则是上靠近的三等分点，，12BP PD =P 1BD 1D 112(,,333P 取上靠近的三等分点，则，AC C G 12(,,0)33G ，显然与平面的法向量垂直，因此平面，12(0,,33PG =- PG 11CDD C (1,0,0)//PG 11CDD C 所以截面与平面的交线与平行，作交于点，PAC 11CDD C PG //CM PG 11C D M 设，则，由得，解得，(0,,1)M k (0,1,1)CM k =- //CM PG 21(1)33k --=12k=则与重合，因此取中点，易得，截面为，它是等腰梯形，M F11A D N //NF AC ACFN ，梯形的高为AC =NF=AN CF ==h ==截面面积为，C 正确；1928S ==，，，，，(1,0,0)A (0,1,0)C 1(1,1,1)B (1,1,0)AC =-1(1,1,1)BD =-- ，，同理，11100AC BD ⋅=-+=1AC BD ⊥ 11AB BD ⊥ 所以是平面的一个法向量，即平面，设垂足为，则1BD 1ACB 1BD ⊥1ACB 1O ，是正方体的外接球的直径，因此正方体绕旋转角度后111123AO C CO B B OA π∠=∠=∠=1BD 1BD θ与其自身重合，至少旋转．D 正确．23π故选：BCD ．三、填空题13．已知直线:，，当时，的值为__________.1l60x my ++=2:l ()1220m x y m -++=12l l ∥m 【答案】或1-2【分析】由一般式方程下两直线平行公式进行运算并检验即可.【详解】∵:，，1l60x my ++=2:l ()1220m x y m -++=∴当时，有，解得或，12l l ∥()1210m m ⨯--⨯=1m =-2m =当时，:，，∴满足题意；1m =-1l60x y -+=2:l 10x y -+=12l l ∥当时，:，，∴满足题意.2m =1l260x y ++=2:l 240x y ++=12l l ∥∴当时，的值为或.12l l ∥m 1-2故答案为：或.1-214．已知等差数列的公差为，且是和的等比中项，则前项的和为__________.{}n a 13a 2a 6a {}n a 20【答案】180【分析】利用等差数列的基本量，结合已知条件，即可求得等差数列的首项和公差，再求其前项的和即可.20【详解】由等差数列的公差为，{}n a 1且是和的等比中项，故可得3a 2a 6a ，解得.()()()2111152a a a ++=+112a =-故数列的前项的和{}n a 20.201201920118022S ⨯⎛⎫=⨯-+⨯= ⎪⎝⎭故答案为：.18015．如图，把正方形纸片沿对角线折成直二面角，则折纸后异面直线，所成的角ABCD AC AB CD 为___________.【答案】##60°3π【分析】过点E 作CE ∥AB ，且使得CE =AB ，则四边形ABEC 是平行四边形，进而（或其补DEC ∠角）是所求角，算出答案即可.【详解】过点E 作CE ∥AB ，且使得CE =AB ，则四边形ABEC 是平行四边形，设所求角为，于是.02πθθ⎛⎫<≤⎪⎝⎭cos |cos |DCE θ=∠设原正方形ABCD 边长为2，取AC 的中点O ，连接DO ,BO ，则BO DO ==，而平面平面，且交于AC ，所以平面ABEC ，则.,BO AC DO AC ⊥⊥ACD ⊥ABC DO ⊥DO OE ⊥易得，，而则BE AC ==//BE AC ,BO AC ⊥.BO BE ⊥于是，.OE ==DE ==在中，，取DE 的中点F ，则，所以DCE △2DC CE ==CF DE ⊥cos FE DEC CE ∠==，2,63DEC DCE ππ∠=∠=于是.3πθ=故答案为：.3π16．已知F 为抛物线C ：的焦点，过点F 的直线l 与抛物线C 交于不同的两点A ，B ，抛物24y x =线在点A ，B 处的切线分别为和，若和交于点P ，则的最小值为______．1l 2l 1l 2l 2164PFAB+【答案】4【分析】设直线：，利用韦达定理求得，设，利用判别式l 1x my =+AB()()111:0l y y k x x k -=-≠求得直线的方程，进而得到的坐标，从而可得，再利用基本不等P 2221644164444PFm AB m ++=++式即得.【详解】由题可知，设直线：，(1,0)F l 1x my =+直线:与联立消，得，l 1x my =+24y x =x 2440y my --=设，，则，，()11,A x y ()22,B x y 124y y m +=124y y =-∴，()212122444AB x x m y y m =++=++=+设，()()111:0l y y k x x k -=-≠由，可得，()1124y y k x x y x ⎧-=-⎨=⎩2114440y y y x k k -+-=∴，又，21144440y x k k ⎛⎫⎛⎫∆=---= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2114y x =∴，12k y =∴，即，()11112:l y y x x y -=-1122y y x x =+同理可得，2:l 2222=+y y x x 所以可得，即，()1212111,242P P x y y y y y m ==-=+=()1,2P m -，∴，当且仅当，即取等号.2222216441641444441PF m m AB m m ++=+=++≥++22411m m +=+1m =±故答案为：4.四、解答题17．已知圆的圆心在直线上，且与直线相切于点.C 10x y --=23100x y +-=()2,2P (1)求圆的方程；C (2)若过点的直线被圆截得的弦的长为4，求直线的方程.()3,2Q --l C AB l 【答案】(1)()22113x y ++=(2)或3x =-43180x y ++=【分析】（1）根据圆的圆心在直线上，设圆心为，再根据圆与直线C 10x y --=(),1a a -相切于点求解；23100x y +-=()2,2P （2）分直线的斜率不存在和直线的斜率存在两种情况，利用弦长公式求解.【详解】（1）解：因为圆的圆心在直线上，C 10x y --=所以设圆心为，(),1a a -又因为圆与直线相切于点，23100x y +-=()2,2P 所以d 解得，0a =所以圆心为，半径为，()0,1-r =所以圆的方程；C ()22113x y ++=（2）当直线的斜率不存在时：直线方程为，3x =-圆心到直线的距离为，3d =所以弦长为，成立；4AB ==当直线的斜率存在时，设直线方程为，即，2(3)y k x +=+320kx y k -+-=圆心到直线的距离为d所以弦长为，4AB ===解得，43k =-所以直线方程为：，43180x y ++=所以直线的方程为 或.l 3x =-43180x y ++=18．在数列中，，当时，其前n 项和满足．{}n a 11a =2n ≥n S 212n n n S a S ⎛⎫=- ⎪⎝⎭(1)求证：是等差数列；1n S⎧⎫⎨⎬⎩⎭(2)设，求的前n 项和．21nn S b n =+{}n b n T 【答案】(1)证明见解析；(2)21n n +【分析】（1）利用可将已知等式整理为，结合可证得结论；1n n n a S S -=-1112n n S S --=11111S a ==（2）由（1）得到，进而求得，再采用裂项相消法求得结果.n S n b 【详解】（1）证明：∵当时，，2n ≥1nn n a S S -=-212n n n S a S ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，即：()22111111222n n n n n n n n n S S S S S S S S S ---⎛⎫∴=--=--+ ⎪⎝⎭112n nn n S S S S ---=，又111112112n n n n n n n n n n S S S S S S S S S S ------∴-===11111S a ==数列是以为首项，为公差的等差数列∴1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭12（2）解：由（1）知：()112121n n n S =+-=-121n S n ∴=-∴()()1111212122121n b n n n n ⎛⎫==⨯-⎪-+-+⎝⎭11111111112335212122121n n T n n n n ⎛⎫⎛⎫∴=⨯-+-+⋅⋅⋅+-=⨯-= ⎪ ⎪-+++⎝⎭⎝⎭19．已知椭圆的中心是坐标原点，它的短轴长，焦点，点，且C O (),0F c 10,0A c c⎛⎫- ⎪⎝⎭2.OF FA = （1）求椭圆的标准方程；C （2）是否存在过点的直线与椭圆相交于两点，且以线段为直径的圆过坐标原点，若A C ,P Q PQ O 存在，求出直线的方程；不存在，说明理由.PQ 【答案】(1)；(2)答案见解析.22162x y +=【详解】【试题分析】(1)利用列方程,可求得,由题意可知,由此求得,且出去2OF FA =2c =b =a 椭圆的标准方程.(2) 设直线的方程为,联立直线的方程和椭圆的方程,写出韦达定理,PQ ()3y k x =-利用圆的直径所对的圆周角为直角,转化为两个向量的数量积为零建立方程,由此求得的值.k 【试题解析】（1）由题意知，()10,0,,0b F c A c c ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()10,0,2,0OF c FA c c ⎛⎫==- ⎪⎝⎭由，得，解得：2OF FA = 204c c c =- 2.c =椭圆的方程为2226,a b c ∴=+=∴22162x y+==（2），设直线的方程为()3,0A PQ ()3y k x =-联立，得()223162y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩()222213182760k x k x k +-+-=设，则()()1122,,,P x y Q x y 2212122218276,1313k k x x x x k k -+==++()22222121212222276543399131313k k k y y k x x x x k k k k ⎡⎤-⎡⎤=-++=-+=⎢⎥⎣⎦+++⎣⎦由已知得，得，即OP OQ ⊥12120x x y y +=22222227633060131313k k k k k k--+==+++解得：k=符合直线的方程为.0,∆>∴PQ )3y x =-20．如图所示，在梯形中，，，四边形为矩形，且平面ABCD //AB CD 120BCD ∠=︒ACFE CF ⊥，.ABCD 112AD CD BC CF AB =====(1)求证：；EF BC ⊥(2)点在线段（不含端点）上运动，设直线与平面所成角为，当M BF BE MAC θsin θ=定此时点的位置.M 【答案】(1)证明见解析；(2)点为线段的中点.M BF 【分析】（1）由，求得，在中，用余弦定理求得，再//AB CD 120BCD ∠=︒60ABC ∠=︒ABC AC 使用勾股定理证得，即可证出；AC BC ⊥EF BC ⊥（2）建立空间直角坐标系，设，根据直线与平面BM BF λ=BE MAC 出实数的值即可.λ【详解】（1）在梯形中，∵，，∴，ABCD //AB CD 120BCD ∠=︒60ABC ∠=︒在中，∵，，ABC 2AB =1BC =∴由余弦定理，2222212cos 2122132AC AB BC AB BC ABC =+-⋅⋅⋅∠=+-⨯⨯⨯=∴，∴，222AB AC BC =+AC BC ⊥∵四边形为矩形，∴，ACFE //AC FE ∴.EF BC ⊥（2）由第（1）问，，又∵平面，AC BC ⊥CF ⊥ABCD ∴以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，C CA CB CF x y z 则由已知，，，，，()0,0,0C )A()0,1,0B )E ()0,0,1F ∵点在线段（不含端点）上运动，M BF ∴设，，()()0,1,10,,BM BF λλλλ==-=-()0,1λ∈∴，()()()0,1,00,,0,1,CM CB BM λλλλ=+=+-=-又∵，)CA =∴设平面的一个法向量，则MAC (),,n x y z =，令，则，，00n CM n CA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ⇒()100y z λλ⎧-+=⎪=y λ=0x =1z λ=-∴，()0,,1n λλ=-又∵，直线与平面所成角为，当)1,1BE =- BE MAC θsin θ=∴，sin cos ,n BE n BE n BE θ⋅====解得，12λ=∴，即点为线段的中点.12BM BF= M BF 21．已知等差数列的首项为2，公差为8.在中每相邻两项之间插入三个数，使它们与原数{}n A {}n A 列的项一起构成一个新的等差数列.{}n a (1)求数列的通项公式；{}n a(2)若，，，，是从中抽取的若干项按原来的顺序排列组成的一个等比数列，1k a 2k a ⋅⋅⋅nk a ⋅⋅⋅{}n a ，，令，求数列的前项和.11k =23k =n n b nk ={}n b n n S 【答案】(1)；2,()n a n n N +=∈(2)11()3424n n n S =+-⋅【分析】（1）由题意在中每相邻两项之间插入三个数，使它们与原数列的项一起构成一个新的{}n A 等差数列，可知的公差，进而可求出其通项公式；{}n a {}n a 824d ==（2）根据题意可得，进而得到，再代入中得，利用错位相减即可求1=23n n k a -⨯1=3n n k -n b 1=3n n b n -⋅出前项和.n n S 【详解】（1）由于等差数列的公差为8，在中每相邻两项之间插入三个数，使它们与原数{}n A {}n A 列的项一起构成一个新的等差数列，则的公差，的首项和 首项相同为{}n a {}n a 824d =={}n a {}n A 2，则数列的通项公式为.{}n a 22(1)2,()n a n n n N +=+-=∈（2）由于，是等比数列的前两项，且，，则，则等比数列的公比为1k a 2k a 11k =23k =132,6a a ==3， 则，即，.1=23n n k a -⨯112=23=3n n n n k k --⨯⨯⇒1=3n n n b nk n -=⋅①.01221132333(1)33n n n S n n --∴=⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯ ②.12313132333(1)33n n n S n n -=⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯ ①减去②得.11213(13)1121333313()31322n n nn nn S n n n --⨯--=++++-⋅=+-⋅=-+-⋅- .11()3424nn n S ∴=+-⋅22．已知圆，点，点是圆上任意一点，线段的垂直平分线交直()22:24F x y -+=()2,0E -G F EG 线于点，点的轨迹记为曲线.FG T T C (1)求曲线的方程；C (2)已知曲线上一点，动圆，且点在圆外，过点C ()()002,0M y y >()()222:20N x y r r -+=>M N 作圆的两条切线分别交曲线于点，.M N C A B （i ）求证：直线的斜率为定值；AB（ii ）若直线与交于点，且时，求直线的方程.AB 2x =Q 2BQM AQMS S=△△AB 【答案】(1)2213y x -=(2)（i ）答案见解析（ii ）或4623310x y ++=2211130x y +-=【分析】（1）通过几何关系可知，且,由此可知点的轨迹是以点、2ET TF -=42EF =>T E 为焦点，且实轴长为的双曲线，通过双曲线的定义即可求解；F 2（2）（i ）设点，，直线的方程为，将直线方程与双曲线方程联立利()11,A x y ()22,B x y AB y kx m =+用韦达定理及求出，即得到直线的斜率为定值；0MA MB k k +=()()2230k k m ++-=AB （ii ）由（i ）可知，由已知可得，联立方程即可求出，的值，124x x m +=122122AQMBQM S x Sx -==-△△1x 2x 代入即可求出的值，即可得到直线方程.2123x x m =+m 【详解】（1）由题意可知,2ET TF TG TFFG -=-==,且,4=2EF >∴根据双曲线的定义可知，点的轨迹是以点、为焦点，且实轴长为的双曲线，T E F 2即，，，1a =2c =2223b c a =-=则点的轨迹方程为；T 2213y x -=（2）（i ）设点，，直线的方程为，()11,A x y ()22,B x y AB y kx m =+联立得，2213y x y kx m ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩()2223230k x kmx m ----=其中，且，230k -≠()()22224433k m k m ∆=+-+()221230m k =-+>，，12223kmx x k +=-212233m x x k +=--∵曲线上一点，∴，C ()()002,0M y y >()2,3M 由已知条件得直线和直线关于对称，则，MA MB 2x =0MA MB k k +=即，整理得，12122233x x y y --+=--()()()()121223320x y y x --+--=()()()()121223320x kx m kx m x -+-++--=，()()()1212223430kx x m k x x m +--+--=，()()()2222322343033k m km m k m k k +---+--=--，即，()()221230k m k m +++-=()()2230k k m ++-=则或，2k =-32m k =-当，直线方程为，此直线过定点，应舍去，32m k =-()3223y kx k k x =+-=-+()2,3故直线的斜率为定值.AB 2-（ii ）由（i ）可知，124x x m +=2123x x m =+由已知得，即，12AQMBQMS S =△△122122AQMBQMS x S x -==-△△当时，，122122x x -=-2122x x =-，即，，1211224x x x x m +=+-=1423m x +=2823m x -=，解得或，2124282333m m x x m +-=⋅=+1m =3123m =-但是当时，，故应舍去，当时，直线方程为，1m =Δ0=3123m =-4623310x y ++=当时，，即，，122122x x -=--2162x x =-164x m =-286x m =-，解得（舍去）或，()()21264863x x m m m =--=+1m =1311m =当时，直线方程为,1311m =2211130x y +-=故直线的方程为或.AB 4623310x y ++=2211130x y +-=。
2022-2023学年山西省晋中市校高二年级上册学期期末考试数学试题【含答案】
2022-2023学年山西省晋中市校高二上学期期末考试数学试题一、单选题1．抛物线的焦点坐标为（ ）224y x =A ．B ．C ．D ．10,96⎛⎫ ⎪⎝⎭(0,6)1,096⎛⎫ ⎪⎝⎭()6,0【答案】A【分析】把抛物线方程化为标准方程，由此可得焦点坐标．【详解】因为抛物线的标准方程为，，，，所以焦点坐标为2124x y =1224p =148p =1296p =，10,96⎛⎫ ⎪⎝⎭故选：A ．2．已知直线经过，两点，且直线，则直线的倾斜角为（ ）1l()3,7A ()2,8B 21l l ⊥2l A ．B ．C ．D ．30︒45︒135︒150︒【答案】B【分析】先求出直线的斜率，再结合直线垂直的性质，即可求解．1l【详解】设直线的倾斜角为，2l α因为直线的斜率，由，得，1l178132l k -==--12l l ⊥121l l k k ⋅=-所以，即，又，则，21l k =tan 1α=0180α︒≤<︒45α=︒所以直线的倾斜角为．2l 45︒故选：B ．3．已知椭圆方程为，则以该椭圆的长轴长为弦长的圆的最小面积是（ ）2213664x y +=A ．B ．C ．D ．8π16π36π64π【答案】D【分析】计算得出椭圆的长轴长，即可得出以该椭圆的长轴长为弦长的圆的最小半径，即可得出该圆的最小面积.【详解】由题意知该椭圆的长轴长为，2816⨯=以16为弦长的圆的最小半径为8，所以圆的最小面积为，64π故选：D ．4．已知是等差数列的前项和，若，则（ ）n S {}n a n 12725a a =1813S S =A ．15B ．18C ．23D ．27【答案】B【分析】利用等差数列前项和公式及等差数列的性质求解即可.n 【详解】因为是等差数列的前项和，n S {}n a n 所以，()()()()118712181211313771818992112518132613132a a a a S a a a S a a ++⎛⎫===+=⨯+= ⎪+⎝⎭故选：B ．5．已知函数，则（ ）()()()12e 111x f x f x f x -=+++'()2f '=A ．B ．C ．D ．e 2+3e-e 5-e 7-【答案】D【分析】令求得，求出，令求得，从而得1x =()12f '=-()()1e 41x f x x f -'=-+1x =()11f =，即可求得．()1e 41x f x x -=-+'()2f '【详解】令，得，解得，1x =()()()11111f f f '=+++()12f '=-，令，得，解得，()()1e 41x f x x f -'=-+1x =()()11412f f =-+=-'()11f =所以，所以，所以7．()12e 21x f x x x -=-++()1e 41x f x x -=-+'()2e f '=-故选：D ．6．在平行六面体中，点是线段上的一点，且，设，1111ABCD A B C D -P BD 3PD PB =1A A a = ，，则（ ）11A B b=11A D c= 1PC = A ．B ．C ．D ．1324a b c++113444a b c-+1344a b c-++131444a b c-+【答案】C【分析】根据空间向量加法与减法的运算法则求解即可.【详解】111111111PC A C A P A B A D A B BP =-=+--()111111114A B A D A B B B BD=+-+- 11111111114A B A D A B A A B D =+--- ()111111114A D A A A D AB =--- 111113144A D A B A A =+-．1344a b c=-++ 故选：C ．7．已知双曲线的左焦点为，点是双曲线右支上的一点，点是圆22144x y C :-=F P C M上的一点，则的最小值为（ ）22:(1E x y+-=PF PM +A ．5B ．C ．7D ．85+【答案】C【分析】由双曲线定义等于到右焦点的距离，而的最小值是（PFP 1F 1PF 4+1PF PM +1EF r -是圆半径），由此可得结论．r 【详解】记双曲线的右焦点为，所以C ()1F ，1114413PF PM PF PM PF PE EF +=++≥++-≥+437=+=当且仅当点为线段与双曲线的交点时，取到最小值．P 1EF C 故选：C ．8．若直线上存在点，过点作圆的两条切线，，为切点，满足8y kx =+P P 22:4O x y +=A B，则的取值范围是（ ）6PA PB ⋅=k A ．B．C ．D ．(-∞([)2,+∞()-∞+∞【答案】D【分析】利用定义计算向量数量积，进而确定长度，进而确定的取值范围.POk 【详解】设，，PO m=APO α∠=则，()()2224cos212sin 4126PA PB PA PB PA PB m m αα⎛⎫⋅=⋅=⋅-=--⋅= ⎪⎝⎭ 整理得，4218320m m -+=解得（舍去）或，则，22m =216m =4m =故点到直线的距离，即，解得，O d PO≤4≤23k≥所以．(),k ∈-∞+∞故选：D ．二、多选题9．在等比数列中，已知，，其前项和为，则下列说法中正确的是（ ）{}n a 34a =632a =n n S A ．B ．C ．D ．12a =12n n a -=78564a a a a +=+21nn S =+【答案】BC【分析】由等比数列的定义求得公比，从而求得，得通项公式，前项和，判断各选项．q1a n 【详解】设等比数列的公比为，{}n a q ，，，故A 错误；3633284a q a ===2q =312414a a q ===，故B 正确；1111122n n n n a a q ---==⋅=，故C 正确；()25627856564a a qa a q a a a a ++===++，故D 错误．()111221112nnn n a q S q--===---故选：BC ．10．已知双曲线，则下列说法正确的是（ ）22:1812y xC -=A ．双曲线的实轴长为B ．双曲线的焦距为C CC ．双曲线D ．双曲线的渐近线方程为C C y =【答案】BC【分析】根据双曲线方程求解出a ，b ，c ，由双曲线的性质逐一判断．【详解】双曲线，则，22:1812y x C -=a b c ===双曲线的实轴长为，故A 错误；C 2a =双曲线的焦距为B 正确；C 2c =双曲线的离心率C 正确；Cc e a ===双曲线的渐近线方程为，故D 错误．C a y x b =±=故选：BC ．11．下列说法正确的是（ ）A ．若，则B ．若，则12x x <1212sin sin x x x x -<-12x x <1212sin sin x x x x ->-C ．若，则D ．若，则12e x x <<2112ln ln x x x x <12e x x <<2112ln ln x x x x >【答案】AD 【分析】构造函数，，利用导数判断各函数的单调性，进而判断各选项.()sin x x xf -=()ln xg x x =【详解】令，则在上恒成立，所以在上单调递增，所()sin x x x f -=()1cos 0f x x '=-≥R ()f x R 以当时，，即，故A 选项正确，B 选项错误；12x x <1122sin sin x x x x -<-1212sin sin x x x x -<-令，所以在上恒成立，所以在上单调递减，所以()ln xg x x =()21ln 0x g x x -=<'()e,+∞()g x ()e,+∞当时，，即，故C 选项错误，D 选项正确．12e x x <<1212ln ln x x x x >2112ln ln x x x x >故选：AD ．12．已知抛物线，点是抛物线准线上的一点，过点作抛物线的切线，切点分别为2:8C x y =P C P C ，，直线，的斜率分别为，，则下列说法正确的是（ ）A B PA PB 1k 2k A ．直线恒过定点B ．AB ()0,2122k k -=C ．D ．的面积最小值为121k k =-PAB 16【答案】ACD【分析】利用导数可得切线方程，进而可得直线方程，即可判断A 选项；联立直线与抛物AB AB 线，结合韦达定理可得与，判断BC 选项；利用弦长公式，结合点到直线的距离可判断12k k 12k k -D 选项.【详解】设，，，因为，所以，，(),2P t -()11,A x y ()22,B x y 28x y =4x y '=114x k =所以在点处的切线方程为，即，A ()1114xy y x x -=-()114x x y y =+同理可得，在点处的切线方程为，所以，，B ()224x x y y =+()1142tx y =-+()2242tx y =-+故直线的方程为，直线恒过定点，故A 选项正确；AB ()42tx y =-+AB ()0,2由，得，所以，，()2428tx y x y ⎧=-+⎨=⎩22160x tx --=122x x t +=1216x x =-所以，B 选项错误，C 选项1212144x x k k =⨯=-121244x x k k -=-==正确；，点到直线的距离，()21212164842t x x t AB y y p ++=++=+=+PAB d ==所以的面积，故D 选项正确．PAB 21116222t S AB d +=⋅=⨯min 16S =故选：ACD ．三、填空题13．已知圆与圆，则两圆的位置关系为________．221:1C x y +=222:(3)(4)25C x y -+-=【答案】相交【分析】根据圆的位置关系直接得出.【详解】根据两圆的方程，得，，，15C C =11r =25r =，121212r rC C r r ∴-<<+两圆相交．∴故答案为：相交.14．在各项均为正数的数列中，，，则________．{}n a 22a=88a =()2n a n =≥14a =【答案】32【分析】先把含有根式的方程两边平方，得到一个等比数列，再根据等比数列的性质求解即可.，，na =0n a >得，即，211n n n a a a -+⋅=11n n n n a a a a +-=则数列为等比数列，，，．{}n a 22148a a a ⋅=21428a ⋅=1432a =故答案为：32.15．已知椭圆（且为常数）的左、右焦点分别为，，点是椭圆上的一222:17x y C a +=0a >1F 2F P C 点，若的最大值为25，则椭圆的离心率为________．()122PF PF ⋅+C 【答案】##0.7534【分析】设椭圆的焦距为，，，根据定义求出，2c 1PF x=[],x a c a c ∈-+2PF 得到的一个关于的二次函数，利用函数的性质分析最值问题，求出的值，在根()122PF PF ⋅+x a 据离心率求解即可【详解】设椭圆的焦距为，，，2c 1PF x=[],x a c a c ∈-+则由椭圆的定义得：，22PF a x=-所以，()()()21222221PF PF x a x x a x⋅+=-+=-++令，，()()221f x x a x =-++[],x a c a c ∈-+可知的对称轴为，()f x 1x a =+当时，，解得，1c ≥()2max ()1(1)25f x f a a =+=+=4a =由，b =2221679c a b =-=-=此时离心率，34c e a ==当时，1c <，()()()222max ()()212225f x f a c a c a a c a c a c =+=-++++=-++=所以，72225a c ++=所以，又，9a c +=2227a c b -==联立解得，不满足题意舍去，449379a c ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以椭圆的离心率为：，34故答案为：.3416．已知函数是定义在上的可导函数，其导函数为，若，且对()f x R ()f x '()14f =()23f x x '-<任意的恒成立，则不等式的解集为________．x ∈R ()()23223f x x x -<-【答案】(2,)+∞【分析】由已知构造函数，并得出函数在上单调递减，()23f x x '-<()()23g x f x x x=--()g x R 再求解不等式即可.()()231g x g -<【详解】令，则在上恒成立，()()23g x f x x x =--()()230g x f x x =--'<'R 所以在上单调递减.()g x R 又，即，()()23223f x x x -<-()()223(23)3230f x x x -----<又，即，()211310f --⨯=()()231g x g -<所以，解得，231x ->2x >所以不等式的解集为．()()23223f x x x -<-()2,+∞故答案为：.()2,+∞【点睛】方法点睛：构造函数是解决抽象不等式的基本方法，根据题设的条件，并借助初等函数的导数公式和导数的基本运算法则，相应地构造出辅助函数.通过进一步研究辅助函数的有关性质，给予巧妙的解答.利用导数构造函数时，不仅要牢记两个函数u (x )和v (x )的积、商的导数公式的特点，还需要牢记常用函数的导数的特征.四、解答题17．已知函数．()23ln 2f x x x x =-++(1)求的单调区间；()f x (2)求的极值．()f x 【答案】(1)单调递增区间为和，单调递减区间为；10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭(1,)+∞1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭(2)极大值为，极小值为0．3ln24-【分析】（1）求出导函数，在定义域内由得增区间，由得减区间；()f x '()0f x '>()0f x '<（2）由单调性得极值点，计算得极值．【详解】（1）的定义域为，()f x ()0,∞+，令，解得或，()()()211123x x f x x x x --=-+='()0f x ¢>102x <<1x >令，解得，()0f x '<112x <<所以的单调递增区间为和，单调递减区间为；()f x 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭(1,)+∞1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭（2）由（1）可知，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．()f x 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭()1,+∞又，，11313ln 2ln224224f ⎛⎫=-++=- ⎪⎝⎭()11320f =-+=所以的极大值为，极小值为0．()f x 3ln24-18．已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于，两点，当2:2(0)C y px p =>F F l C A B 轴时，．l x ⊥12AB =(1)求抛物线的标准方程；C (2)当线段的中点的纵坐标为3时，求直线的斜率．AB l 【答案】(1)212y x=(2)2【分析】（1）根据题意可得，当轴时，，两点的横坐标，代入抛物线计算,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭l x ⊥A B 2px =可得，即可得到答案；||212AB p ==（2）设，，，由，两点都在上，得和，可()11,A x y ()22,B x y 12x x ≠A B 212y x =21112y x =22212y x =得，由中点的纵坐标为3得，从而可求得直线的斜率()()12121212y y y y x x -+=-AB 1232y y +=l．1212y y k x x -=-【详解】（1）由题意知，，当轴时，，两点的横坐标，,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭l x ⊥A B 2p x =代入得，，则，解得，22y px =22y p =y p =±212AB p ==6p =所以抛物线的标准方程为；C 212y x =（2）根据题意得，直线的斜率存在，l 设，，，()11,A x y ()22,B x y 12x x ≠，两点都在上，则有，，A B 212y x =21112y x =22212y x =则，即，()22121212y y x x -=-()()12121212y y y y x x -+=-又中点的纵坐标为3，则，，AB 1232y y +=126y y +=则，121212121226y y x x y y -===-+即直线的斜率．l 12122y y k x x -==-19．在数列中，，且．{}n a 11a =11221n n n a a n ++=++-(1)证明：是等差数列；2n n a n +⎧⎫⎨⎬⎩⎭(2)求的前项和．{}n a n n S 【答案】(1)证明见解析(2)()()112122n n n nS n ++=+-⋅-【分析】（1）利用构造法证明该数列为等差数列；（2） 利用错位相减法与分组求和法可得.n S 【详解】（1）由，得，11221n n n a a n ++=++-112221n n n a a n n ++=++++等式左右同除，得，12n +111221n n n n a nn a ++++=++故数列是以为首项，为公差的等差数列；2n n a n +⎧⎫⎨⎬⎩⎭11112a +=1（2）由（1）得，()112n na nn n +=+-=故，2nn a n n =⋅-设，其前项和为，2nn b n =⋅n n T 则，()231122232122n nn T n n -=⨯+⨯+⨯++-⋅+⋅ ，()23412122232122n n n T n n +=⨯+⨯+⨯++-⋅+⋅ 故，()()2311121222222221212n n n n n n T n n n +++--=++++-⋅=-⋅=---⋅- 即，()1212n n T n +=+-⋅故.()121212n n n S n a a a b b b =+++=+++-+++ ()()112122n nnn ++=+-⋅-20．如图，四边形为正方形，四边形是梯形，，，平面ABCD ADEF //AF DE 3AD DE AF ==平面，且，点是线段上的一点（不包括端点）．ADEF ⊥ABCD ED BD ⊥P FC (1)证明；:BD FC ⊥(2)若，且直线与平面所成角的大小为，求三棱锥的体积．1AF =EC PBD 45C PBD -【答案】(1)证明见解析(2)913【分析】（1）由面面垂直得平面，从而得．再由已知，得AB ⊥ADEF AB AF ⊥ED BD ⊥，从而可得平面，得证，再由线面垂直的判定定理证明平面AF BD ⊥AF ⊥ABCD AF BD ⊥BD ⊥，即可证得；AFC （2）建立如图所示的空间直角坐标系，设，由线面角的空间向量法求得值，(01)FP FC λλ=<<λ然后由棱锥体积公式计算可得．【详解】（1）证明：连接，因为四边形为正方形，所以，，AC ABCD AC BD ⊥AB AD ⊥又平面平面，平面平面，平面，所以平面ADEF ⊥ABCD ADEF ABCD AD =AB ⊂ABCD AB ⊥，ADEF 又平面，所以．AF ⊂ADEF AB AF ⊥因为，，所以，ED BD ⊥//AF DE AF BD ⊥又，，平面，AB BD B = AB BD ⊂ABCD 所以平面，AF ⊥ABCD 又平面，所以，BD ⊂ABCD AF BD ⊥又，，，平面，AC BD ⊥AF AC A = AF AC ⊂AFC 所以平面，又平面，所以；BD ⊥AFC FC ⊂AFC BD FC⊥（2）以A 为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如AB AD AF x y z 图所示．则，，，，，()0,0,1F ()3,3,0C ()3,0,0B ()0,3,0D ()0,3,3E 所以，．设，()3,0,3CE =-()3,3,0BD =-(01)FP FC λλ=<<则．()33,3,1BP BF FP BF FC λλλλ=+=+=-+-设平面的一个法向量为，PBD (),,n x y z =，330(33)3(1)0n BD x y n BP x y z λλλ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+++-=⎪⎩ 令，解得，，所以平面的一个法向量为，1x =1y =361z λλ-=-PBD 361,1,1n λλ-⎛⎫= ⎪-⎝⎭ 又直线与平面所成角的大小为，EC PBD 45所以，cos ,CE n CE n n CE ⋅===解得．所以，所以，713λ=713FP FC = 613PC CF =所以．6611933113133213C PBD P BCD F BCD V V V ---===⨯⨯⨯⨯⨯=21．已知椭圆过点，．2222:1(0,0)x y C a b a b +=>>(-(1)求椭圆的标准方程；C (2)若点是圆上的一点，过点作圆的切线交椭圆于，两点，证明：以P 2224:5O x y +=P O C A B 为直径的圆过原点．AB O 【答案】(1)221128x y +=(2)证明见解析【分析】（1）根据题意列出方程组，求得的值，即可得到椭圆的标准方程；22,a b （2）当直线的斜率不存在时，得到直线的方程，求出点的坐标，可证得；AB AB ,A B 0OA OB ⋅=当直线的斜率存在时，设方程为，由直线与圆相切得，联立直线AB y kx m =+AB O ()222415m k =+与椭圆方程，结合韦达定理与向量数量积运算的坐标表示，证明即可．AB 0OA OB ⋅=【详解】（1）由题意知，解得，，222292116431a b a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩212a =28b =所以椭圆的标准方程是；C 221128x y +=（2）当直线的斜率不存在时，直线的方程为AB AB x=x =若直线的方程为，不妨设，，所以，AB x =AB 0OA OB ⋅=所以；OA OB ⊥若直线的方程为，，所以AB x =A ⎛⎝B ⎛ ⎝，所以；0OA OB ⋅=OA OB ⊥当直线的斜率存在时，设直线的方程为，AB AB y kx m =+又直线与圆，即．ABO =()222415m k =+设，，()11,A x y ()22,B x y 由，得，221128x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩()2222363240k x kmx m +++-=所以，()()22222223286436423324242881908455k m k m m k k ∆+=-+-=-++=>，，122623kmx x k +=-+212232423m x x k -=+所以()()22121212121OA OB x x y y k x x km x x m ⋅=+=++++ ()22222324612323m km k km m k k -⎛⎫=⨯++-+ ⎪++⎝⎭，所以．2225242432m kk --=+()222245124245032k k k ⨯+--==+OA OB ⊥综上，以为直径的圆过原点．AB O 22．已知函数．()()()()2ln 1f x x x a x a =+--∈R (1)若，求在处的切线与坐标轴围成的三角形的面积；1a =()f x 1x =(2)若，试判断的零点的个数．3a ≥()f x 【答案】(1)1(2)答案见解析.【分析】（1）先求导，把代入，得到切线的斜率，再结合切点坐标写出切线的方程，再求切线1x =与坐标轴围成的三角形的面积；（2）函数的零点个数，即为方程的解的个数，再转化为函数的()f x ()0f x =()()1ln 2a xg x x x -=-+零点个数，对求导，分类讨论当，时函数的单调性，再找到零点的个数.()g x 3a =3a >()g x 【详解】（1）若，，，所以，即1a =()()2ln 1f x x x x =+-+()22ln 1ln x f x x x x x +=+-=+'()12f '=切线的斜率为2.又，即切点坐标为.()10f =()1,0所以在处的切线方程为，()f x 1x =22y x =-令，解得；令，解得.0x ==2y -0y =1x =所以在处的切线与坐标轴围成的面积.()f x 1x =11212S =⨯⨯=（2）由且，整理得．()0f x =0x >()1ln 02a x x x --=+令，．()()1ln 2a x g x x x -=-+()()2222243413(2)3(2)(2)(2)x a x a x ax g x x x x x x x '+-++-=-==+++若，则，令，解得或，令，解得，3a =()2254(2)x x g x x x -+=+'()0g x '>01x <<4x >()0g x '<14x <<所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，()g x ()0,1()1,4()4,+∞又，，，()10g =()()410g g <=()()()33333333e 13e19elne 30e 2e 2e 2g --=-=-=>+++所以在上有且仅有两个零点，即在上有且仅有两个零点．()g x ()0,∞+()f x (0,)+∞若，令，又，，3a >()()2434u x x a x =+-+4312a-->()()2114314930u a a =+-⨯+=-<，所以在上有两个零点且．令，解得或()040u =>()u x ()0,∞+12,x x 1201x x <<<()0g x '>10x x <<，令，解得，所以在上单调递增，在上单调递减，在2x x >()0g x '<12x x x <<()g x ()10,x ()12,x x 上单调递增．又，所以，，又()2,x +∞()10g =()()110g x g >=()()210g x g <=()22e lnea xa x g ++=-，所以在区间上有唯一零点.()2222e 10e2a x a x a a xa x ++->+-=>+()g x ()2+2,e a x x ，所以在区间上有唯一零点，所()()()e 11e elnee 2e 2a aaaaaa a g a a a --------=-=-+<-+=++()g x ()1e,ax -以在上有且仅有3个零点，即在上有且仅有3个零点．()g x ()0,∞+()f x (0,)+∞综上，若，在上有且仅有两个零点；3a =()f x ()0,∞+若，在上有且仅有3个零点．3a >()f x ()0,∞+【点睛】关于函数导数的零点问题，一般要进行分类讨论，难度比较大.1.函数零点个数也就是函数图像与x 轴交点的个数，所以可以借助函数图像的特征求解函数的零点个数问题.2.对于含参函数的零点个数，可以对函数进行适当的变形，也可以进行参变分离，利用导数研究函数的单调性和极值，做出函数的大致图象，根据极大值和极小值的符号确定函数零点的个数，即“几个交点几个根，正负极值定乾坤”.。
2022-2023学年吉林省长春市第十七中学高二年级上册学期期末数学试题【含答案】
2022-2023学年吉林省长春市第十七中学高二上学期期末数学试题一、单选题1．设函数，则（ ）2()f x x x =+0(1)(1)limx f x f x ∆→+∆-=∆A ．-6B ．-3C ．3D ．6【答案】C【解析】根据瞬时变化率的求解方法求解即可.【详解】解：根据导数的定义：()()()()211112limlimx x f x f x x xx→→+-+++-= ，()2003lim lim 33x x x x x x →→+==+= 故选：C.【点睛】本题考查函数的瞬时变化率的求解问题，是基础题.2．已知，则m 等于（ ）2188C C m m -=A ．1B ．3C ．1或3D ．1或4【答案】C【分析】根据组合数的性质即可求解.【详解】由可知:或者,解得:或2188C =C m m -21m m =-2-18m m +=1m =3m =故选：C3．设是等比数列，且，，则（ ）{}n a 1231a a a ++=234+2a a a +=678a a a ++=A ．12B ．24C ．30D ．32【答案】D【分析】根据已知条件求得的值，再由可求得结果.q ()5678123a a a q a a a ++=++【详解】设等比数列的公比为，则，{}n a q ()2123111a a a a q q ++=++=，()232234111112a a a a q a q a q a q q q q ++=++=++==因此，.()5675256781111132a a a a q a q a q a q q q q ++=++=++==故选：D.【点睛】本题主要考查等比数列基本量的计算，属于基础题．4．5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同报名方法有（ ）A ．10种B ．20种C ．25种D ．32种【答案】D【分析】该事件用分步乘法计数原理计数，结合每个同学有2种选择，即可得出结果【详解】由题，每个同学有2种选择，故不同报名方式为，5232=故选：D5．若的展开式中第4项是常数项，则n 的值为（ ）1nx ⎫⎪⎭A ．14B ．16C ．18D ．20【答案】C【分析】写出二项式展开式的通项，令时的指数位置等于即可求解.3k =x 0【详解】展开式的通项为，1nx ⎫⎪⎭()()16555111n kn k kkk kkk n n T C x xCx---+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭令可得为常数项，可得，可得，3k =()18335541n nT C x-=-18055n -=18n =故选：C.6．在处的切线方程是（ ）1y x =-1(,2)2-A ．B ．4y x =44y x =-C ．D ．44y x =+24y x =-【答案】B【分析】求导，利用导函数求出斜率，然后利用点斜式写出直线方程整理即可.【详解】由已知，21y x '=则，12|4x y ='=所以切线方程为，1242y x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭整理得44y x =-故选：B.7．3名男生和2名女生排成一队照相，要求女生相邻，共有排法（ ）种A ．120B ．24C ．48D ．96【答案】C【分析】利用捆绑法可得答案.【详解】将两名女生当成一个元素和3名男生全排列得种排法，44A 24=两名女生排序有种排法，22A 2=所以共有种排法.24248⨯=故选：C.8．已知数列满足，则（ ）{}n a 1n n a n =+3202020212122222320202021a a a a a +++⋅⋅⋅++=A ．B ．C ．D ．20202021201820192019202020212022【答案】D【分析】根据给定条件求出数列的通项公式，再利用裂项相消法即可计算作答.2{}na n 【详解】因，则，1n n a n =+2111(1)1n a n n n n n ==-++所以3202020212122221111111(1((()23202020212233420202021a a a a a +++⋅⋅⋅++=-+-+-++- ，111202112021202220222022⎛⎫+-=-= ⎪⎝⎭所以.320202*********202123202020212022a a a a a +++⋅⋅⋅++=故选：D9．关于排列组合数，下列结论错误的是（ ）A ．B ．C C m n mn n-=11C C C m m m n n n-+=+C ．D ．11A A m m n n m --=()!A !m n n n m =-【答案】C【分析】运用排列组合数公式展开化简，结合选项辨析即可.【详解】，，故A 正确；()!C !!m n n n m m =-()()()!!C !!!!n m nn n n m n n m n m m -==--+-()()()1!!C C 1!1!!!m m n n n n n m m n m m -+=+-+--，故B 正确；()()()()()11!1!!C 1!!1!!1!!m n n m n n m n n m m n m m n m m +-+⋅+⋅=+==-+-++-，而，故C 错误，D 正确；()!A !m n n n m =-()()111!A !m n m n m n m --⋅-=-故选：C.二、多选题10．(多选)数列{an }为等差数列，Sn 为其前n 项和，已知a 7＝5，S 7＝21，则（ ）A ．a 1＝1B ．d ＝－23C ．a 2＋a 12＝10D ．S 10＝40【答案】ACD【分析】根据所给条件，代入等差数列的通项公式和求和公式，直接计算即可得解.【详解】设数列{an }的公差为d ，则由已知得S 7＝，177()2a a +即21＝，解得a 1＝1.17(5)2a +又a 7＝a 1＋6d ，所以d ＝.23所以S 10＝10a 1＋d ＝10＋＝40.1092⨯109223⨯⨯由{an }为等差数列，知a 2＋a 12＝2a 7＝10.故选：ACD11．下列说法正确的是（ ）A ．可表示为888990100⨯⨯⨯⨯ 12100A B ．若把英文“hero”的字母顺序写错，则可能出现的错误共有23种C ．10个朋友聚会，见面后每两人握手一次，一共握手45次D ．将名医护人员安排到呼吸、感染、检验三个科室，要求每个科室至少有人，共有150种不同51安排方法【答案】BCD【分析】对A ，由排列数的定义判断；对B ，可能出现的错误种树为，对C ，10人两两握手44A 1-共次，对D ，先分组成3、1、1或2、2、1，再将组排列到科室去.210C 【详解】对A ，，A 错；121001009989A =⨯⨯⨯对B ，四个字母全排列共有种，可能出现的错误共有种，B 对；44A 24=24123-=对C ，10人两两握手，共次，C 对；210C 45=对D ，将5人按3、1、1分组，共有种分法，再分到科室有种分法；35C 10=33A 6=将5人按2、2、1分组，共有种分法，再分到科室有种分法.225322C C 15A =33A 6=故每个科室至少有人共有种安排方法，D 对.1106156150´+´=故选：BCD12．设函数在上可导，其导函数为，且函数的图像如图所示，则下列结()f x R ()f x '(1)()y x f x '=-论中一定成立的是（ ）A ．函数有极大值B ．函数有极大值()f x (2)f ()f x (2)f -C ．函数有极小值D ．函数有极小值()f x (2)f -()f x (2)f 【答案】BD【分析】根据函数的图像判断导数在各个区间上的符号，再根据极值的定义即(1)()y x f x '=-()f x '可求解.【详解】由图可知，当时，，，则，<2x -0y >10x ->()0f x '>当时，，，则，2<<1x -0y <10x ->()0f x '<当时，，，则，12x <<0y >10x -<()0f x '<当时，，，则，2x >0y <10x -<()0f x '>综上当时，当时，当时，<2x -()0f x '>22x -<<()0f x '<2x >()0f x '>所以函数有极大值，有极小值，()f x (2)f -(2)f 故选：BD三、填空题13．计算：___________.4331073C C A -⨯=【答案】0【分析】根据排列数和组合数计算公式可得答案.【详解】解：原式.10987765(321)21021004321321⨯⨯⨯⨯⨯=-⨯⨯⨯=-=⨯⨯⨯⨯⨯故答案为：0.14．已知数列的前n 项和为，且，则当________，有最大值．{}n a n S 112n a n =-n =n S 【答案】.5【分析】利用等差数列的求和公式，求得，结合和二次函数的性质，即可求210n S n n =-+*n N ∈解.【详解】由题意，数列，可得，112n a n =-21()(202)1022n n n a a n n S n n +-===-+因为，所以当时，数列的前n 项和为最大.*n N ∈5n ={}n a n S 故答案为：.515．设，则___．443243210(2)x a x a x a x a x a -=++++1234a a a a +++=【答案】.15-【解析】在原式中令和即可解得答案.0x =1x =【详解】在中，443243210(2)x a x a x a x a x a -=++++令得：，0x =40216a ==令得：，1x =432101a a a a a ++++=所以.43210115a a a a a +++=-=-故答案为：.15-【点睛】求解与二项式定理有关的系数和问题时，要注意系数的正负规律，通过赋值法来求解，一般地假设令便可得到项的系数和，分别令和，然后通过两式相加减便可得到的奇1x =1x ==1x -x 数次方项的系数和与偶次方项的系数和.16．若点是曲线上任意一点，则点到直线的最小距离为___________.P 2ln 1y x x =--P 3y x =-【分析】由已知，先在曲线上设出点，然后写出以点为切点的曲线的切线方程，00(,)Q x y 00(,)Q x y根据题意，找到距离直线最近的点，即，从而求解出切点以及切线方程，最3y x =-00121k x x =-=后计算两条平行线之间的距离即可.【详解】由已知，设点曲线上一点，则有，00(,)Q x y 2ln 1y x x =--0002ln 1y x x =--因为，所以，所以，2ln 1y x x =--12y x x '=-00012|x x y x x ='-=所以曲线在处的切线斜率为，2ln 1y x x =--00(,)Q x y 0012k x x =-则曲线在处的切线方程为，即2ln 1y x x =--00(,)Q x y 020000(ln 1)()()12y x x x x x x ---=--．20000()12ln y x x x x x =---要求得曲线上任意一点，到直线的最小距离即找到曲线上距离直线最近的点，2ln 1y x x =--3y x =-即，解得或（舍去），00121k x x =-=0=1x 012x =-此时，以点为切点，曲线的切线方程为：，(1,0)Q 1y x =-此时，切点为曲线上距离直线最近的点，即点与点重合，(1,0)Q 3y x =-P Q 最小距离为直线与直线之间的距离，设最小距离为，3y x=-1yx =-d 所以.d .四、解答题17．已知函数.若曲线在点处的切线与轴平行，且()()2ln f x a b x x x x=---()y f x =()()1,1f x ，求的值.()1f a=,a b 【答案】1,1a b =-=-【分析】求导，然后通过列方程组求解.()()101f f a ⎧=⎪⎨='⎪⎩【详解】由已知，()()()()211ln 2ln f x a b x x a b x x'=---+=--，()()()()12ln1011ln1f a b f a b a ⎧=--=⎪∴⎨=---='⎪⎩解得.11a b =-⎧⎨=-⎩18．给出下列条件:①若展开式前三项的二项式系数的和等于16；②若展开式中倒数第三项与倒数第二项的系数比为4:1.从中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答(注:若选择多个条件，按第一个解答计分)已知，___________.()*nx n N ⎛∈ ⎝(1)求展开式中二项式系数最大的项；(2)求展开式中所有的有理项.【答案】(1)和4352T x =74254T x =(2)，，51T x =4352T x =35516T x =【分析】（1）无论选①还是选②，根据题设条件可求，从而可求二项式系数最大的项.5n =（2）利用二项展开式的通项公式可求展开式中所有的有理项.【详解】（1）二项展开式的通项公式为：.211C C ,0,1,2,,2rr r rr n n n r r n T x x r n --+⎛⎫=== ⎪⎝⎭ 若选①，则由题得，012C C C 16n n n ++=∴，即，()11162n n n -++=2300n n +-=解得或(舍去)，∴.5n =6n =-5n =若选②，则由题得，∴，()221111C 22141C 22n n nn n n n n n n ----⎛⎫- ⎪⎝⎭==-=⎛⎫ ⎪⎝⎭5n =展开式共有6项，其中二项式系数最大的项为，22443515C 22T x x ⎛⎫== ⎪⎝⎭，.7732345215C 24T x x⎛⎫== ⎪⎝⎭（2）由（1）可得二项展开式的通项公式为：.5521551C C ,0,1,2,,52rr r rr r r T x x r --+⎛⎫=== ⎪⎝⎭ 当即时得展开式中的有理项，52r Z -∈0,2,4r =所以展开式中所有的有理项为:，，.51T x =5423522215C 22T x x -⎛⎫= ⎪⎝⎭=5342545415C 216T x x -⎛⎫= ⎪=⎝⎭19．已知数列的前项和满足，数列是公差为1的等差数列，.{}n a n n S 2nSn n =+{}2log n b 11b =(1)求数列的通项公式；{}{},n n a b (2)设，求数列的前项和.1n n n c a b +=+{}n c n n T 【答案】(1)；2n a n =12n n b -=(2)221nn n ++-【分析】（1）利用可得数列的通项公式，通过数列为等差数列及对数的运1n n n a S S -=-{}n a {}2log n b 算可得数列的通项公式；{}n b （2）利用分组求和法可得数列的前项和.{}n c n nT【详解】（1）当时，，2n ≥()()()221112n n n a S S n n n n n-⎡⎤=-=+--+-=⎣⎦当时，，符合上式，1n =112a S ==故；2n a n =又，22111log log n b n n =+-=-；12n n b -∴=（2）由（1）知122n n c n -=+.()()()()212121122221212n n n n n n nT a a a b b b n n ⨯-+∴=+++++++=+=++-- 20．已知函数．2()xx f x e =（1）求函数的单调区间；()f x（2）求函数在区间上的值域．()f x 1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为；（2）．(0,2)(,0),(2,)-∞+∞240,e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）根据函数的单调性求出函数的极值点，从而求出函数的最值即可．【详解】解：（1）由题意得，，令，得，(2)()x x x f x e -'=()0f x '>02x <<令，得或，故函数的单调递增区间为，单调递减区间()0f x '<2x >0x <()f x (0,2)为．(,0),(2,)-∞+∞（2）易知241(0)0,(2),2f f f e ⎛⎫==-=⎪⎝⎭因为214(2)2f f e ⎛⎫--== ⎪⎝⎭,22221628042e e e e -->==>所以．1(2)2f f ⎛⎫>- ⎪⎝⎭（或由，）,244(2)9f e =>1429f ⎛⎫-=<>⎪⎝⎭1(2)2f f ⎛⎫>- ⎪⎝⎭又当时，，0x >2()0x x f x e =>所以函数在区间上的值域为．()f x 1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭240,e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【点睛】确定函数单调区间的步骤：第一步，确定函数的定义域；()f x 第二步，求；'()f x 第三步，解不等式，解集在定义域内的部分为单调递增区间；解不等式，解集在'()0f x >'()0f x <定义域内的部分为单调递减区间．。
二年级下册数学试题-2020年二年级下册数学期末模拟试卷(二)(含答案)人教版
2020年二年级下册 数学 期末模拟检测卷一、 填一填。
1. 789是（ ）位数，它由（ ）个百，（ ）个十和（ ）个一组成的。
2. 4千克=（ ）千克 8000克=（ ）千克 一个苹果重200（ ） 小红体重25（ ）3.>、<或=400580克+20100千克5230 4. 26里面最多有（ ）个3。
27里面最多有（ ）个5。
5. 一个数除以9有余数，这个余数最大是（）。
6.（1平均分成3份，每份（ ）个。
（2每4个为一份，有这样的（ ）份。
（3每5个为一份，有这样的（ ）份，还剩（ ）个。
7. 有甲、乙、丙三人，甲说：“我考的不是最好，也不是最差”。
乙说：“我是最好的”。
请问这三人中，（ ）考的最差。
8.小明家到学校997米，约（ ）米。
二、选一选，把正确的答案序号填在（ ）里。
1. B. C. 2.一只蝴蝶大约重（ ）A.2000克B.200克C.20克3.用7,8和两个0组成的四位数中，一个零也不读的是（ ） A.7800 B.7008 C.70804.下列现象属于平移的是（ ）A.旋转木马B.电梯升降C.陀螺运动 三、算一算 1. 直接写出得数24÷4= 17+26= 900+200= 12÷3×5= 28+37= 25÷5= 1400-600= 23+9÷3= 52-18= 5×9= 5000+300= （45-33）÷6= 2. 列竖式计算43÷7= 58÷9= 35÷5= 67÷8=3.递等式计算8÷4×7 56+9÷3 28+58-39 （52+11）÷9四、统计 201班要投票选出“六一”节出游的公园。
除了请假的冬冬和平平没有参加。
全班同学投票结果如下图。
（1）完成统计表。
（2（3）估计201班最后去了（ ）。
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2017年秋期高中二年级期末考试数学试题（模拟二） 一.选择题 (本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的). 1.已知(2,2,5)u，(6,4,4)v，u，v分别是平面，的法向量，则平面，的位置关系为 A．平行 B．垂直 C．所成的二面角为锐角 D．所成的二面角为钝角 2. 如图是一边长为8的正方形苗圃图案，中间黑色大圆与正方形的内切圆共圆心，圆与圆之间是相切的，且中间黑色大圆的半径是黒色小圆半径的2倍，若在正方形图案上随机取一点，则该点取自白色区域的概率为 A. 64 B. 32 C. 16 D. 8
3.圆2228130xyxy的圆心到直线10axy的距离为1，则a =（ ） A．43 B．34 C．3 D．2
4. 抛物线28xy的焦点坐标是 A． (0,2) B．(0,2) C．(0,4) D．(0,4) 5.有3个不同的社团，甲、乙两名同学各自参加其中1个社团，每位同学参加各个社团的可能性相同，则这两位同学参加同一个社团的概率为 A．13 B．12 C．23 D．34 6. 我国南宋时期的数学家秦九韶（约1202-1261）在他的著作《数书九章》中提出了多项式求值的秦九韶算法.如图所示的框图给出了利用秦九韶算法求多项式的一个实例.若输入的4,1,2nvx===，则程序框图计算的是 23.1222A 234.12222B
23.123242C 234.12324252D
7.二面角l为60°，,AB是棱上的两点，,ACBD分别在半平面,内，
,AClBDl且12,ABACBD，则CD的长为（ ） A．1 B． C．2 D．
8. 若关于x的方程21xbx+=-有两个不同的实数解，则实数b的取值范围是（ ） A. (2,2)- B. (1,1)- C. [1,2] D. [1,2) 9.设F为抛物线xy42的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，若0FCFBFA，则FCFBFA等于( )
A．9 B．4 C． 6 D．3 10.如图,正方体1111ABCDABCD中，P为底面ABCD上的动 点，1PEAC于E，且PAPE，则点P的轨迹是( ) A. 线段 B.圆弧 C.椭圆的一部分 D.抛物线的一部分
11. 已知双曲线22221xyab（0a，0b）的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（ ） A. (1,2) B. (1,2] C. [2,) D. (2,) 12．一组数据共有7个数，记得其中有10、2、5、2、4、2，还有一个数没记清，但知道这组数的平均值、中位数、众数依次成等差数列，则这个数的所有可能值的和为 A．11 B．3 C．9 D．17 【答案】C 【解析】设没记清的数为x， ①若2x，则这列数：x，2，2，2，4，5，10，平均数为257x，中位数为2，众数为2，所以252227x，11x； ②若24x，则这列数为2，2，2，x，4，5，10，则平均数为257x，中位数为x，众数为2，所以2522,37xxx； ③若5x，则这列数为 2，2，2，4，5，x，10，或 2，2，2，4，5，10，x，则平均数为257x，中位数为4，众数为2，所以25242,177xx. 所以−11+3+17=9. 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.已知直线410axy与直线50xay平行，则a= ； 14.现有三张识字卡片，分别写有“中”、“国”、“梦”这三个字．将这三张卡片随机排序，则能组成“中国梦”的概率是__________． 15.《九章算术》第三章“衰分”中有如下问题：“今有甲持钱五百六十，乙持钱三百五十，丙持钱一百八十，凡三人俱出关，关税百钱，欲以钱数多少衰出之，问各几何？”其意为：“今有甲带了560钱，乙带了350钱，丙带了180钱，三人一起出关，共需要交关税100钱，依照钱的多少按比例出钱”，则丙应出__________钱（所得结果四舍五入，保留整数）． 16.在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为2240xyx．若直线1ykx上存在一点P，使过P所作的圆的两条切线相互垂直，则实数k的取值范围是 ． 【解答】解：∵C的方程为x2+y2﹣4x=0，故圆心为C（2，0），半径R=2． 设两个切点分别为A、B，则由题意可得四边形PACB为正方形，故有PC=R=2， ∴圆心到直线y=k（x+1）的距离小于或等于PC=2，
即≤2，解得k2≤8，可得﹣2≤k≤2，
13．2 14． 22143xy 15. 17 16. 2222, 三. 解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分12分）
已知ABC的三个顶点的坐标为)(),(),(321241，，，CBA. （Ⅰ）在ABC中，求边AC中线所在直线方程; （Ⅱ） 求ABC的面积.
17.解：(1)设AC边中点为M，则M点坐标为），（2721
∴直线59221127BMk. ∴直线BM方程为：)()(2591xy 即：01359yx ∴AC边中线所在直线的方程为：01359yx (2))(),3212，，（CB ∴24312222)()(BC 由)(),,(3212，CB得直线BC的方程为：01yx ∴到直线BC的距离141222d, ∴1422282ABCS
18.（本小题满分12分） 某购物网站为优化营销策略,对在“双十一”当天在该网站进行网购消费且消费金额不超过1000元的1000名网购者(其中有女性800名,男性200名)进行抽样分析.根据性别采用分层抽样的方法从这1000名网购者中抽取100名进行分析,得到女性消费情况频数分布表和男性消费情况频率分布直方图(消费金额单位:元). 女性消费情况频数分布表 男性消费情况频率分布直方图
（Ⅰ）若消费金额不低于600元的网购者为“网购达人”、低于600元的网购者为“非网购达人”，求在抽出的100名网购者中男性“网购达人”的人数； （Ⅱ）在抽出的100名且消费金额在[800,1000](单位:元)的网购者中任意选出2名发放幸运红包,求选出的2名网购者至少有一名为男性的概率. 18. (本题满分12分)
解：依题意,抽出的100名消费者中男性20人，女性80人，.......................1分 由男性消费情况频率分布直方图可知消费金额不低于600元的网购者所占频率为(0.000500.00075)2000.25，.........................................3分
男性“网购达人”共有0.25205人....................................5分
(2)依题意,抽出的100名消费者中男性20人，女性80人，其中消费金额在[800,1 000](单位:元)的网购者中有女性3名,记为A,B,C;男性2名,记为a,b.从5人中任选2人的基本事件有:(A,B),(A,C),(A,a),(A,b),(B,C),(B,a),(B,b),(C,a),(C,b),(a,b),共10个, .................8分 设“选出的2名网购者至少有一名为男性”为事件A, 则事件A包含的基本事件有:(A,a),(A,b),(B,a),(B,b),(C,a),(C,b),(a,b)共7个...10分
∴ 7()10PA ........................................12分
消费金额（元） 人数 (0,200) 5
[200,400) 10 [400,600) 15 [600,800) 47 [800,1000] 3 19. （本小题满分12分） 如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，o1,90,2ABBCADBADABC E是PD的中点．
（1）证明：直线CE∥平面PAB； （2）点M在棱PC 上，且直线BM与底面ABCD所成角为o45，求二面角MABD的余弦值．
19.（2）由已知得BAAD，以A为坐标原点，AB的方向为x轴正方向，AB为单位长， 建立如图所示的空间直角坐标系Axyz， 则0,0,0A，1,0,0B，1,1,0C，0,1,3P，(1,0,3)PC，(1,0,0)AB， 设,,01Mxyzx，则1,,,(,1,3)BMxyzPMxyz， 因为BM与底面ABCD所成的角为45°，而0,0,1n是底面ABCD的法向量， 所以cos,sin45BMn，222221zxyz，即22210xyz． ①
又M在棱PC上，设PMPC，则 ,1,33xyz． ②
由①②解得212162xyz(舍去)，212162xyz． 所以26(1,1,)22M，从而26(1,1,)22AM． 设000,,xyzm是平面ABM的法向量，则0,0,AMABmm即0000
(22)260,0,xyzx
所以可取(0,6,2)m．于是 10cos,5mnmnmn，
因此二面角MABD的余弦值为105． 20． (本小题满分12分) 在“新零售”模式的背景下，某大型零售公司推广线下分店，计划在S市的A区开设分店，为了确定在该区开设分店的个数，该公司对该市已开设分店听其他区的数据作了初步处理后得到下列表格．记x表示在各区开设分店的个数， y表示这个x个分店的年收入之和．
x（个） 2 3 4 5 6
y（百万元） 2.5 3 4 4.5 6
（1）该公司已经过初步判断，可用线性回归模型拟合y与x的关系，求y关于x的线性回归方程ˆybxa； （2）假设该公司在A区获得的总年利润z（单位：百万元）与,xy之间的关系为20.051.4zyx
，请结合（1）中的线性回归方程，估算该公司应在A区开设多少个分