高考数学核心考点深度解析圆锥曲线篇
高考圆锥曲线知识点、题型全总结
圆锥曲线全总结及全题型解析1.圆锥曲线的两定义：第一定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F ，F 的距离的和等于常，且此常数一定要大于，当常数等时，轨迹是线段 F F ，当常数小时，无轨迹；双曲线中，与两定点F ，F 的距离的差的绝对值等于常数，且此常数一定要小于F |，定义中的“绝对值”与＜|F F|不可忽视。
若＝|F F|，则轨迹是以F，F为端点的两条射线，若﹥|F F |，则轨迹不存在。
若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。
2.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）：（1）椭圆：焦点在轴上时（），焦点在轴上时＝1（）。
方程表示椭圆的充要条件是什么？（A B C≠0，且A，B，C同号，A≠B）。
（2）双曲线：焦点在轴上=1，焦点在轴上＝1（）。
方表示双曲线的充要条件是什么？（ABC≠0，且A，B 异号）。
（3）抛物线：开口向右时，开口向左，开口向上时，开口向下时。
3.圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）：（1）椭圆：由, 分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。
（2）双曲线：由, 项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上；（3）抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。
提醒：在椭圆中，最大，在双曲线中，最大。
4.圆锥曲线的几何性质：（1）椭圆（以（）为例）：①范围：；②焦点：两个焦点；③对称性：两条对称轴，一个对称中心（0,0），四个顶点，其中长轴长为，短轴长为；④准线：两条准线；⑤离心率：，椭圆，越小，椭圆越圆；越大，椭圆越扁。
（2）双曲线（以（）为例）：①范围：或；②焦点：两个焦点；③对称性：两条对称轴，一个对称中心（0,0），两个顶点，其中实轴长为2 ，虚轴长为，特别地，当实轴和虚轴的长相等时，称为等轴双曲线，其方程可设为；④准线：两条准线；⑤离心率：，双曲线，等轴双曲线在椭圆外， 越小，开口越小， 越大，开口越大；⑥两条渐近线。
新高考 核心考点与题型 圆锥曲线 第2讲 双曲线及其性质 - 解析
第2讲 双曲线的标准方程和几何性质1．双曲线的定义平面内到两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数2a (2a ＜|F 1F 2|)的点P 的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．2.双曲线的标准方程(1)中心在坐标原点，焦点在x 轴上的双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)．(2)中心在坐标原点，焦点在y 轴上的双曲线的标准方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)．3．双曲线的几何性质标准方程 x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0) y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0) 范围 |x |≥a ，y ∈R|y |≥a ，x ∈R对称性 对称轴：x 轴，y 轴；对称中心：原点 焦点 F 1(－c,0)，F 2(c,0) F 1(0，－c )，F 2(0，c ) 顶点 A 1(－a,0)，A 2(a,0)A 1(0，－a )，A 2(0，a )轴 线段A 1A 2，B 1B 2分别是双曲线的实轴和虚轴；实轴长为2a ，虚轴长为2b 焦距|F 1F 2|＝2c离心率e ＝c a＝ 1＋b 2a2∈(1，＋∞) e 是表示双曲线开口大小的一个量，e 越大开口越大.渐近线 y ＝±b axy ＝±a bxa ，b ，c 的关系a 2＝c 2－b 2考点一 双曲线的定义及应用【例1-1】 已知圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1和圆C 2：(x －3)2＋y 2＝9，动圆M 同时与圆C 1及圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为____________.如图所示，设动圆M 与圆C 1及圆C 2分别外切于A 和B .根据两圆外切的条件，得|MC 1|－|AC 1|＝|MA |，|MC 2|－|BC 2|＝|MB |，因为|MA |＝|MB |，所以|MC 1|－|AC 1|＝|MC 2|－|BC 2|，即|MC 2|－|MC 1|＝|BC 2|－|AC 1|＝2， 所以点M 到两定点C 1，C 2的距离的差是常数且小于|C 1C 2|＝6.又根据双曲线的定义，得动点M 的轨迹为双曲线的左支(点M 与C 2的距离大，与C 1的距离小)， 其中a ＝1，c ＝3，则b 2＝8.故点M 的轨迹方程为x 2－y 28＝1(x ≤－1).【例1-2】已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|＝2|PF 2|， 则cos ∠F 1PF 2＝( ) A.14B.35C.34D.45解析由x 2－y 2＝2，知a ＝b ＝2，c ＝2.由双曲线定义知，|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝22，又|PF 1|＝2|PF 2|， ∴|PF 1|＝42，|PF 2|＝22，在△PF 1F 2中，|F 1F 2|＝2c ＝4，由余弦定理，得 cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝34.规律方法1.利用双曲线的定义判定平面内动点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出曲线方程；2.在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合||PF 1|－|PF 2||＝2a ，运用平方的方法，建立与|PF 1|，|PF 2|的联系，一般地，双曲线的焦点三角形有以下性质： （1）(2c)2=|PF 1|2+ |PF 2|2−2|PF 1||PF 2|cos∠F 1PF 2,得到：|PF 1||PF 2|= 2b 21− cos∠F 1PF 2;（2）S ∆F1PF 2= 12|PF 1||PF 2|sin∠F 1PF 2=b 2sin∠F 1PF 21− cos∠F 1PF 2=b 2tan(∠F 1PF22)【变式1】 已知△ABC 的顶点A (－5,0)，B (5,0)，△ABC 内切圆的圆心在直线x ＝2上，则顶点C 的轨迹方程是( )A.x 24－y 221＝1(x ＞2)B.y 24－x 221＝1(y ＞2)C.x 221－y 24＝1D.y 24－x 22＝1 【解析】选A 如图，△ABC 与内切圆的切点分别为G ，E ，F . |AG |＝|AE |＝7，|BF |＝|BG |＝3，|CE |＝|CF |，所以|CA |－|CB |＝7－3＝4.根据双曲线定义，所求轨迹是以A ，B 为焦点，实轴长为4的双曲线的右支，方程为x 24－y 221＝1(x >2)．【变式2】已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，左、右焦点分别为F 1，F 2，点A 在双曲线C上，若△AF 1F 2的周长为10a ，则△AF 1F 2的面积为( ) A.215a 2 B.15a 2 C.30a 2D.15a 2解析 由双曲线的对称性不妨设A 在双曲线的右支上，由e ＝ca＝2，得c ＝2a ，∴△AF 1F 2的周长为|AF 1|＋|AF 2|＋|F 1F 2|＝|AF 1|＋|AF 2|＋4a ，又△AF 1F 2的周长为10a ，∴|AF 1|＋|AF 2|＝6a ，又∵|AF 1|－|AF 2|＝2a ，∴|AF 1|＝4a ，|AF 2|＝2a ，在△AF 1F 2中，|F 1F 2|＝4a ， ∴cos ∠F 1AF 2＝|AF 1|2＋|AF 2|2－|F 1F 2|22|AF 1|·|AF 2|＝（4a ）2＋（2a ）2－（4a ）22×4a ×2a ＝14.又0<∠F 1AF <π，∴sin ∠F 1AF 2＝154，∴S △AF 1F 2＝12|AF 1|·|AF 2|·sin ∠F 1AF 2＝12×4a ×2a ×154＝15a 2. 【变式3】双曲线C 的渐近线方程为y ＝±233x ，一个焦点为F (0，－7)，点A (2，0)，点P 为双曲线第一象限内的点，则当点P 的位置变化时，△P AF 周长的最小值为( ) A.8B.10C.4＋37D.3＋317由已知得双曲线方程为y 24－x 23＝1，设双曲线的另一个焦点为F ′，则|PF |＝|PF ′|＋4，△P AF 的周长为|PF |＋|P A |＋|AF |＝|PF ′|＋4＋|P A |＋3，当F ′，P ，A 三点共线时，|PF ′|＋|P A |有最小值，为|AF ′|＝3，故△P AF 的周长的最小值为10. 考点二 双曲线的标准方程【例2-1】已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B两点.设A ，B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d 1和d 2，且d 1＋d 2＝6，则双曲线的方程为( ) A.x 24－y 212＝1 B.x 212－y 24＝1 C.x 23－y 29＝1 D.x 29－y 23＝1 由d 1＋d 2＝6，得双曲线的右焦点到渐近线的距离为3，所以b ＝3.因为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，所以c a ＝2，所以a 2＋b 2a 2＝4，所以a 2＋9a 2＝4，解得a 2＝3，所以双曲线的方程为x 23－y 29＝1.【例2- 2】已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为y ＝52x ，且与椭圆x 212＋y 23＝1有公共焦点，则C 的方程为( )A.x 28－y 210＝1B.x 24－y 25＝1C.x 25－y 24＝1D.x 24－y 23＝1 解析 由题设知b a ＝52①，又由椭圆x 212＋y 23＝1与双曲线有公共焦点， 易知a 2＋b 2＝c 2＝9②，由①②解得a ＝2，b ＝5，则双曲线C 的方程为x 24－y 25＝1.规律方法1.利用待定系数法求双曲线标准方程的关键是：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出关于参数a ，b ，c 的方程并求出a ，b ，c 的值.2.不知道焦点在横纵坐标的曲线，可设为为mx 2＋ny 2＝1(当m ＞0，n ＞0，m ≠n ，为椭圆方程，当mn <0，m≠n ，为双曲线，当m=n ≠0，为圆)3. 与x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)有共同焦点的曲线可设为12222=-+-kb y k a x （2b k <，为共焦点椭圆；22a k b <<为共焦点双曲线）4. 与x 2a 2±y 2b 2＝1(a >b >0)有相同离心率的曲线可设为12222=±mb y ma x 5. 与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)共渐近线bx ±ay ＝0的双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝λ(λ≠0)．【变式1】 已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)过点(2，3)，且实轴的两个端点与虚轴的一个端点组成一个等边三角形，则双曲线C 的标准方程是( ) A.x 212－y 2＝1 B.x 29－y 23＝1 C.x 2－y 23＝1 D.x 223－y 232＝1 解析 (1)由双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)过点(2，3)，且实轴的两个端点与虚轴的一个端点组成一个等边三角形，可得⎩⎨⎧2a 2－3b 2＝1，b a＝3，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝3，∴双曲线C 的标准方程是x 2－y 23＝1. 【变式2】已知双曲线的渐近线方程为2x ±3y ＝0，且双曲线经过点P (6，2)，则双曲线的方程为________________.由双曲线的渐近线方程为y ＝±23x ，可设双曲线方程为x 29－y 24＝λ(λ≠0).因为双曲线过点P (6，2)，所以69－44＝λ，λ＝－13，故所求双曲线方程为y 243－x 23＝1.【变式3】经过点P (3,27)，Q (－62，7)的双曲线的标准方程为____________．【解析】设双曲线方程为mx 2＋ny 2＝1(mn ＜0)，因为所求双曲线经过点P (3,27)，Q (－62，7)，所以 ⎩⎪⎨⎪⎧9m ＋28n ＝1，72m ＋49n ＝1，解得⎩⎨⎧m ＝－175，n ＝125.故所求双曲线标准方程为y 225－x 275＝1.考点三 双曲线的性质 多维探究角度1 求双曲线的渐近线【例3－1】 双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为3，则其渐近线方程为( )A.y ＝±2xB.y ＝±3xC.y ＝±22x D.y ＝±32x 解析 法一 由题意知，e ＝c a ＝3，所以c ＝3a ，所以b ＝c 2－a 2＝2a ，即ba ＝2，所以该双曲线的渐近线方程为y ＝±ba x ＝±2x .法二 由e ＝ca ＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2＝3，得b a ＝2，所以该双曲线的渐近线方程为y ＝±b ax ＝±2x . 规律方法【变式1】已知双曲线C ：x m 2－y n 2＝1(m ＞0，n ＞0)的离心率与椭圆x 25＋y 16＝1的离心率互为倒数，则双曲线C 的渐近线方程为( )A ．4x ±3y ＝0B ．3x ±4y ＝0C ．4x ±3y ＝0或3x ±4y ＝0D ．4x ±5y ＝0或5x ±4y ＝0 【解析】 由题意知，椭圆中a ＝5，b ＝4，∴椭圆的离心率e ＝ 1－b 2a 2＝35， ∴双曲线的离心率为1＋n 2m 2＝53，∴n m ＝43，∴双曲线的渐近线方程为y ＝±n m x ＝±43x ，即4x ±3y ＝0. 【变式2】已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一个焦点为F ，点A ，B 是C 的一条渐近线上关于原点对称的两点，以AB 为直径的圆过F 且交C 的左支于M ，N 两点，若|MN |＝2，△ABF 的面积为8，则C 的渐近线方程为( )A ．y ＝±3xB ．y ＝±33x C ．y ＝±2x D ．y ＝±12x 【解析】设双曲线的另一个焦点为F ′，由双曲线的对称性，可得四边形AFBF ′是矩形， ∴S △ABF ＝S △ABF ′，即bc ＝8，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝c 2，x 2a 2－y 2b 2＝1可得y ＝±b 2c ，则|MN |＝2b 2c ＝2，即b 2＝c ，∴b ＝2，c ＝4，∴a ＝c 2－b 2＝2 3，∴C 的渐近线方程为y ＝±33x ， 角度2 求双曲线的离心率【例3－2】 (1)(2018·全国Ⅲ卷)设F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，O 是坐标原点.过F 2作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P .若|PF 1|＝6|OP |，则C 的离心率为( ) A. 5B.2C. 3D.2解析 不妨设一条渐近线的方程为y ＝b a x ，则F 2到y ＝b a x 的距离d ＝|bc |a 2＋b 2＝b ，在Rt △F 2PO 中，|F 2O |＝c ，所以|PO |＝a ，所以|PF 1|＝6a ，又|F 1O |＝c ，所以在△F 1PO 与Rt △F 2PO 中，根据余弦定理得cos ∠POF 1＝a 2＋c 2－（6a ）22ac ＝－cos ∠POF 2＝－a c ，则3a 2＋c 2－(6a )2＝0，得3a 2＝c 2，所以e ＝ca＝ 3.【例3－3】已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，圆C 2：x 2＋y 2－2ax ＋34a 2＝0，若双曲线C 1的一条渐近线与圆C 2有两个不同的交点，则双曲线C 1的离心率的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫1，233B.⎝⎛⎭⎫233，＋∞ C.(1，2)D.(2，＋∞)由双曲线方程可得其渐近线方程为y ＝±b a x ，即bx ±ay ＝0，圆C 2：x 2＋y 2－2ax ＋34a 2＝0可化为(x －a )2＋y 2＝14a 2，圆心C 2的坐标为(a ，0)，半径r ＝12a ，由双曲线C 1的一条渐近线与圆C 2有两个不同的交点，得|ab |a 2＋b 2<12a ，即c >2b ，即c 2>4b 2，又知b 2＝c 2－a 2，所以c 2>4(c 2－a 2)，即c 2<43a 2，所以e ＝c a <233，又知e >1，所以双曲线C 1的离心率的取值范围为⎝⎛⎭⎫1，233.规律方法 求双曲线离心率或其取值范围的方法1.求a ，b ，c 的值，由c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a 2直接求e ；或者结合双曲线性质e ＝c a = 2c 2a = |F 1F 2||PF 1−PF 2| = sinF 1PF 2sinPF 2F 1− sinPF 1F 2 2.列出含有a ，b ，c 的齐次方程(或不等式)，借助于b 2＝c 2－a 2消去b ，然后转化成关于e 的方程(或不等式) 【变式1】在平面直角坐标系xOy 中，双曲线C ：y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线与圆(x －2)2＋(y －1)2＝1相切，则C 的离心率为( ) A.43B.54C.169D.2516双曲线C 的渐近线方程为by ±ax ＝0，结合图形易知与圆相切的只可能是by －ax ＝0，又圆心坐标为(2，1)， 则|b －2a |a 2＋b 2＝1，得3a ＝4b ，所以9a 2＝16b 2＝16(c 2－a 2)，则e 2＝2516，又e >1，故e ＝54.【变式2】 已知抛物线y 2＝4x的焦点为F ，准线为l .若l 与双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线分别交于点A 和点B ，且|AB |＝4|OF |(O 为原点)，则双曲线的离心率为( )A.2B.3 C ．2 D.5【解析】由已知易得，抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，准线l ：x ＝－1，所以|OF |＝1.又双曲线的两条渐近线的方程为y ＝±b a x ，不妨设点A ⎝⎛⎭⎫－1，b a ，B ⎝⎛⎭⎫－1，－ b a ，所以|AB |＝2b a ＝4|OF |＝4，所以ba ＝2，即b ＝2a ，所以b 2＝4a 2.又双曲线方程中c 2＝a 2＋b 2，所以c 2＝5a 2，所以e ＝ca ＝ 5.故选D.角度3 与双曲线有关的范围(最值)问题【例3－4】 已知M (x 0，y 0)是双曲线C ：x 22－y 2＝1上的一点，F 1，F 2是C 的两个焦点，若MF 1→·MF 2→<0，则y 0的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫－33，33 B.⎝⎛⎭⎫－36，36 C.⎝⎛⎭⎫－223，223 D.⎝⎛⎭⎫－233，233 解析 因为F 1(－3，0)，F 2(3，0)，x 202－y 20＝1，所以MF 1→·MF 2→＝(－3－x 0，－y 0)·(3－x 0，－y 0)＝x 20＋y 2－3<0，即3y 20－1<0，解得－33<y 0<33. 规律方法 与双曲线有关的取值范围问题的解题思路 (1)若条件中存在不等关系，则借助此关系直接变换转化求解.(2)若条件中没有不等关系，要善于发现隐含的不等关系或借助曲线中不等关系来解决.【变式】已知焦点在x 轴上的双曲线x 28－m ＋y 24－m ＝1，它的焦点到渐近线的距离的取值范围是________.对于焦点在x 轴上的双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，它的一个焦点(c ，0)到渐近线bx －ay ＝0的距离为|bc |b 2＋a2＝b .本题中，双曲线x 28－m ＋y 24－m ＝1即x 28－m －y 2m －4＝1，其焦点在x 轴上，则⎩⎪⎨⎪⎧8－m >0，m －4>0，解得4<m <8，则焦点到渐近线的距离d ＝m －4∈(0，2).基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、选择题1.设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的虚轴长为2，焦距为23，则双曲线的渐近线方程为( )A.y ＝±12xB.y ＝±22x C.y ＝±2xD.y ＝±2x解析 因为2b ＝2，所以b ＝1，因为2c ＝23，所以c ＝3，所以a ＝c 2－b 2＝2，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ＝±22x .答案 B2.双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一个焦点为F ，过点F 作双曲线C 的一条渐近线的垂线，垂足为A ，且交y 轴于B ，若A 为BF 的中点，则双曲线的离心率为( ) A. 2B. 3C.2D.62解析 由题易知双曲线C 的一条渐近线与x 轴的夹角为π4，故双曲线C 的离心率e ＝⎝⎛⎭⎫cos π4－1＝ 2. 答案 A3.已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，则点(4，0)到C 的渐近线的距离为( )A. 2B.2C.322D.22解析 法一 由离心率e ＝ca ＝2，得c ＝2a ，又b 2＝c 2－a 2，得b ＝a ，所以双曲线C 的渐近线方程为y ＝±x .由点到直线的距离公式，得点(4，0)到C 的渐近线的距离为41＋1＝2 2. 法二 离心率e ＝2的双曲线是等轴双曲线，其渐近线方程是y ＝±x ，∴点(4，0)到C 的渐近线的距离为41＋1＝2 2. 答案 D4.已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为32，过右焦点F 作渐近线的垂线，垂足为M .若△FOM 的面积为5，其中O 为坐标原点，则双曲线的方程为( ) A.x 2－4y 25＝1B.x 22－2y 25＝1C.x 24－y 25＝1D.x 216－y 220＝1 解析 由题意可知e ＝c a ＝32，可得b a ＝52，取一条渐近线为y ＝ba x ，可得F 到渐近线y ＝b a x 的距离d ＝bca 2＋b2＝b ，在Rt △FOM 中，由勾股定理可得|OM |＝|OF |2－|MF |2＝c 2－b 2＝a ，由题意可得12ab ＝5，联立⎩⎨⎧b a ＝52，12ab ＝5，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝5，所以双曲线的方程为x 24－y25＝1.答案 C5.已知F 2，F 1是双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)的上、下两个焦点，过F 1的直线与双曲线的上下两支分别交于点B ，A ，若△ABF 2为等边三角形，则双曲线的渐近线方程为( ) A.y ＝±2x B.y ＝±22x C.y ＝±6xD.y ＝±66x 解析 根据双曲线的定义，可得|BF 1|－|BF 2|＝2a ，∵△ABF 2为等边三角形，∴|BF 2|＝|AB |，∴|BF 1|－|AB |＝|AF 1|＝2a ，又∵|AF 2|－|AF 1|＝2a ，∴|AF 2|＝|AF 1|＋2a ＝4a ，∵在△AF 1F 2中，|AF 1|＝2a ，|AF 2|＝4a ，∠F 1AF 2＝120°，∴|F 1F 2|2＝|AF 1|2＋|AF 2|2－2|AF 1|·|AF 2|cos 120°，即4c 2＝4a 2＋16a 2－2×2a ×4a ×⎝⎛⎭⎫－12＝28a 2，亦即c 2＝7a 2，则b ＝c 2－a 2＝6a 2＝6a ，由此可得双曲线C 的渐近线方程为y ＝±66x . 答案 D 二、填空题6.直线l ：y ＝2x ＋10过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)一个焦点且与其一条渐近线平行，则双曲线方程为________________.解析 由题意得一个焦点为F (－5，0)，c ＝5，ba ＝2，又a 2＋b 2＝c 2，所以a 2＝5，b 2＝20，所以双曲线方程为x 25－y 220＝1.7.设双曲线x 29－y 216＝1的右顶点为A ，右焦点为F .过点F 且平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B ，则△AFB 的面积为________.解析 a 2＝9，b 2＝16，故c ＝5.∴A (3，0)，F (5，0)，不妨设直线BF 的方程为y ＝43(x －5)，代入双曲线方程解得B ⎝⎛⎭⎫175，－3215.∴S △AFB ＝12|AF |·|y B |＝12·2·3215＝3215. 8.已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，O 为坐标原点.P 是双曲线在第一象限上的点，直线PO ，PF 2分别交双曲线C 左、右支于M ，N .若|PF 1|＝2|PF 2|，且∠MF 2N ＝60°，则双曲线C 的离心率为________.解析 由题意，|PF 1|＝2|PF 2|，由双曲线的定义可得，|PF 1|－|PF 2|＝2a ，可得|PF 1|＝4a ，|PF 2|＝2a ， 又|F 1O |＝|F 2O |，|PO |＝|MO |，得四边形PF 1MF 2为平行四边形，又∠MF 2N ＝60°，可得∠F 1PF 2＝60°， 在△PF 1F 2中，由余弦定理可得，4c 2＝16a 2＋4a 2－2·4a ·2a ·cos 60°，即4c 2＝20a 2－8a 2，c 2＝3a 2， 可得c ＝3a ，所以e ＝ca ＝ 3.三、解答题9.已知双曲线的中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点P (4，－10). (1)求双曲线的方程；(2)若点M (3，m )在双曲线上，求证：MF 1→·MF 2→＝0. (1)解 ∵e ＝2，∴可设双曲线的方程为x 2－y 2＝λ(λ≠0).∵双曲线过点(4，－10)，∴16－10＝λ，即λ＝6.∴双曲线的方程为x 2－y 2＝6，即x 26－y 26＝1. (2)证明 法一 由(1)可知，a ＝b ＝6，∴c ＝23，∴F 1(－23，0)，F 2(23，0)， ∴k MF 1＝m 3＋23，k MF 2＝m 3－23，k MF 1·k MF 2＝m 29－12＝－m 23.∵点M (3，m )在双曲线上，∴9－m 2＝6，m 2＝3，故k MF 1·k MF 2＝－1，∴MF 1⊥MF 2.∴MF 1→·MF 2→＝0. 法二 由(1)可知，a ＝b ＝6，∴c ＝23，∴F 1(－23，0)，F 2(23，0)，MF 1→＝(－23－3，－m )，MF 2→＝(23－3，－m )，∴MF 1→·MF 2→＝(3＋23)×(3－23)＋m 2＝－3＋m 2， ∵点M (3，m )在双曲线上，∴9－m 2＝6，即m 2－3＝0，∴MF 1→·MF 2→＝0.10.设A ，B 分别为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右顶点，双曲线的实轴长为43，焦点到渐近线的距离为 3.(1)求双曲线的方程； (2)已知直线y ＝33x －2与双曲线的右支交于M ，N 两点，且在双曲线的右支上存在点D ，使OM →＋ON →＝tOD →，求t 的值及点D 的坐标.解 (1)由题意知a ＝23，∵一条渐近线为y ＝b a x ，即bx －ay ＝0.∴由焦点到渐近线的距离为3，得|bc |b 2＋a2＝ 3. 又∵c 2＝a 2＋b 2，∴b 2＝3，∴双曲线的方程为x 212－y 23＝1. (2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，D (x 0，y 0)，其中x 0≥2 3.又OM →＋ON →＝tOD →，即(x 1，y 1)＋(x 2，y 2)＝t (x 0，y 0)，则x 1＋x 2＝tx 0，y 1＋y 2＝ty 0.将直线方程y ＝33x －2代入双曲线方程x 212－y 23＝1得x 2－163x ＋84＝0，其中Δ＝(163)2－4×84>0， 则x 1＋x 2＝163，y 1＋y 2＝33(x 1＋x 2)－4＝12.∴⎩⎨⎧x 0y 0＝433，x 2012－y 203＝1.解得⎩⎨⎧x 0＝43，y 0＝3. ∴t ＝4，点D 的坐标为(43，3).能力提升题组(建议用时：20分钟)11.已知F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，P 是双曲线上一点，若|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，且△PF 1F 2的最小内角为π6，则双曲线的渐近线方程为( ) A.y ＝±2xB.y ＝±12xC.y ＝±22xD.y ＝±2x解析 不妨设P 为双曲线右支上一点，则|PF 1|>|PF 2|，由双曲线的定义得|PF 1|－|PF 2|＝2a ，又|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，所以|PF 1|＝4a ，|PF 2|＝2a .又因为⎩⎪⎨⎪⎧2c >2a ，4a >2a ，所以∠PF 1F 2为最小内角，故∠PF 1F 2＝π6. 由余弦定理，可得（4a ）2＋（2c ）2－（2a ）22·4a ·2c ＝32，即(3a －c )2＝0，所以c ＝3a ，则b ＝2a ， 所以双曲线的渐近线方程为y ＝±2x .答案 D12.已知点F 为双曲线E ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点，直线y ＝kx (k >0)与E 交于不同象限内的M ，N 两点，若MF ⊥NF ，设∠MNF ＝β，且β∈⎣⎡⎦⎤π12，π6，则该双曲线的离心率的取值范围是( )A.[2，2＋6]B.[2，3＋1]C.[2，2＋6]D.[2，3＋1]解析 如图，设左焦点为F ′，连接MF ′，NF ′，令|MF |＝r 1，|MF ′|＝r 2，则|NF |＝|MF ′|＝r 2，由双曲线定义可知r 2－r 1＝2a ①，∵点M 与点N 关于原点对称，且MF ⊥NF ，∴|OM |＝|ON |＝|OF |＝c ，∴r 21＋r 22＝4c 2②，由①②得r 1r 2＝2(c 2－a 2)，又知S △MNF ＝2S △MOF ，∴12r 1r 2＝2·12c 2·sin 2β，∴c 2－a 2＝c 2·sin 2β， ∴e 2＝11－sin 2β，又∵β∈⎣⎡⎦⎤π12，π6，∴sin 2β∈⎣⎡⎦⎤12，32，∴e 2＝11－sin 2β∈[2，(3＋1)2]. 又e >1，∴e ∈[2，3＋1].答案 D13.已知椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，双曲线N ：x 2m 2－y 2n2＝1.若双曲线N 的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M 的离心率为________；双曲线N 的离心率为________. 解析 设椭圆的右焦点为F (c ，0)，双曲线N 的渐近线与椭圆M 在第一象限内的交点为A ，由题意可知A ⎝⎛⎭⎫c 2，3c 2，由点A 在椭圆M 上得，c 24a 2＋3c 24b 2＝1，∴b 2c 2＋3a 2c 2＝4a 2b 2， ∵b 2＝a 2－c 2，∴(a 2－c 2)c 2＋3a 2c 2＝4a 2(a 2－c 2)，∴4a 4－8a 2c 2＋c 4＝0，∴e 4椭－8e 2椭＋4＝0， ∴e 2椭＝4±23，∴e 椭＝3＋1(舍去)或 e 椭＝3－1，∴椭圆M 的离心率为3－1. ∵双曲线的渐近线过点A ⎝⎛⎭⎫c 2，3c 2，∴渐近线方程为y ＝3x ，∴n m ＝3， 故双曲线的离心率e 双＝m 2＋n 2m 2＝2. 14.已知椭圆C 1的方程为x 24＋y 2＝1，双曲线C 2的左、右焦点分别是C 1的左、右顶点，而C 2的左、右顶点分别是C 1的左、右焦点.(1)求双曲线C 2的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋2与双曲线C 2恒有两个不同的交点A 和B ，且OA →·OB →＞2(其中O 为原点)，求k 的取值范围.解 (1)设双曲线C 2的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，则a 2＝3，c 2＝4，再由a 2＋b 2＝c 2，得b 2＝1. 故C 2的方程为x 23－y 2＝1. (2)将y ＝kx ＋2代入x 23－y 2＝1，得(1－3k 2)x 2－62kx －9＝0. 由直线l 与双曲线C 2交于不同的两点，得⎩⎨⎧1－3k 2≠0，Δ＝（－62k ）2＋36（1－3k 2）＝36（1－k 2）＞0，∴k 2≠13且k 2＜1.① 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝62k 1－3k 2，x 1x 2＝－91－3k 2. ∴x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(kx 1＋2)(kx 2＋2)＝(k 2＋1)x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋2＝3k 2＋73k 2－1. 又∵OA →·OB →＞2，得x 1x 2＋y 1y 2＞2，∴3k 2＋73k 2－1＞2，即－3k 2＋93k 2－1＞0，解得13＜k 2＜3.② 由①②得13＜k 2＜1，故k 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－1，－33∪⎝⎛⎭⎫33，1.。
解析高考数学中的圆锥曲线及应用
解析高考数学中的圆锥曲线及应用近年来，高考数学中的圆锥曲线部分一直是考生们的重点之一，也是不少学生难以攻克的难点。
在这篇文章中，我们将对圆锥曲线进行较为全面的解析，并探讨其在实际应用中的具体意义。
一、圆锥曲线的概念和基本形态圆锥曲线，是指在平面直角坐标系中，由一个固定点F（焦点）与一条固定直线l（准线）所确定的点P的轨迹。
这个点P与焦点的距离PF与P到直线l的距离PL之比始终相等，该比值称为偏心率，用字母e表示。
具体而言，圆锥曲线可以分为四类：椭圆、双曲线、抛物线和直线。
1. 椭圆椭圆是由一个固定点F1（焦点）和另外一个固定点F2（F2≠F1）到平面上的所有点P距离之和为定值的轨迹。
该定值等于两焦点距离之和的一半，用字母2a表示。
对于一个椭圆来说，它的中心点是两焦点的中点O，偏心距离e=OF1/OF2，长轴长度为2a，短轴长度为2b。
2. 双曲线双曲线是由一个固定点F1（焦点）和另外一个固定点F2（F2≠F1）到平面上的所有点P距离之差为定值的轨迹。
该定值等于两焦点距离之差的绝对值，用字母2a表示。
对于一个双曲线来说，它的中心点是两焦点的中点O，偏心距离e=OF1/OF2，距离焦点较远的那一部分曲线称为“远焦双曲线”，距离焦点较近的那一部分曲线称为“近焦双曲线”。
3. 抛物线抛物线是由一个固定点（焦点）F和一条固定直线（准线）l到平面上所有点P的距离之比为定值的轨迹。
该定值等于距离焦点F最近的点到准线l的距离，用字母p表示。
对于一个抛物线来说，它的中心点是准线l上的中点O，焦距f=2p。
4. 直线直线可以看作是一个非常特殊的圆锥曲线，它的两个焦点在无穷远点，准线可以看作是无穷远处的一条直线。
因此，直线的偏心率为0。
二、圆锥曲线的方程及参数表示圆锥曲线可以用不同的方程和参数表示，常用的有标准方程、参数方程和极坐标方程。
1. 椭圆的方程和参数表示椭圆的标准方程为：(x/a)^2+(y/b)^2=1。
2020年新高考数学核心知识点23.1 圆锥曲线的综合问题(精讲精析篇)(学生版)
专题23.1 圆锥曲线的综合问题（精讲精析篇）提纲挈领点点突破热门考点01 圆锥曲线中的定点问题圆锥曲线中定点问题的求解方法圆锥曲线中的定点问题往往与圆锥曲线中的“常数”有关,如椭圆的长、短轴,双曲线的虚、实轴,抛物线的焦参数等．解答这类题要大胆设参,运算推理,到最后参数必清．【典例1】（2019年高考北京卷理）已知抛物线C ：x 2=−2py 经过点（2,−1）． （1）求抛物线C 的方程及其准线方程；（2）设O 为原点,过抛物线C 的焦点作斜率不为0的直线l 交抛物线C 于两点M ,N ,直线y =−1分别交直线OM ,ON 于点A 和点B ．求证：以AB 为直径的圆经过y 轴上的两个定点．【典例2】（2019·安徽高三月考（理））已知点A,B 是抛物线2:2(0)C y px p =>上关于轴对称的两点,点E 是抛物线C 的准线与x 轴的交点.（1）若EAB V 是面积为4的直角三角形,求抛物线C 的方程； （2）若直线BE 与抛物线C 交于另一点D ,证明：直线AD 过定点.【规律方法】圆锥曲线中定点问题的两种解法热门考点02 圆锥曲线中的定值问题圆锥曲线中定值的求解方法圆锥曲线中的定点、定值问题往往与圆锥曲线中的“常数”有关,如椭圆的长、短轴,双曲线的虚、实轴,抛物线的焦参数等．定值问题的求解与证明类似,在求定值之前,已经知道定值的结果(题中未告知,可用特殊值探路求之),解答这类题要大胆设参,运算推理,到最后参数必清,定值显现．【典例3】（2019·湖北高三月考）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点1F ,2F ,M 是椭圆上任意一点,若以坐标原点为圆心,椭圆短轴长为直径的圆恰好经过椭圆的焦点,且12MF F ∆的周长为422+（1）求椭圆C 的方程； （2）设直线l 是圆O ：2243x y +=上动点()()0000,0P x y x y ⋅≠处的切线,l 与椭圆C 交与不同的两点Q ,R ,证明：QOR ∠的大小为定值．【典例4】（2020·浙江高三月考）已知椭圆2222:1x yCa b+=（0a b>>）的焦距为23,且过点(2,0)A．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若点(0,1)B,设P为椭圆C上位于第三象限内一动点,直线PA与y轴交于点M,直线PB与x轴交于点N,求证：四边形ABNM的面积为定值,并求出该定值．【总结提升】1.圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略2.两种解题思路①从特殊入手,求出定值,再证明这个值与变量无关；②引进变量法：其解题流程为：热门考点03 圆锥曲线中的最值与范围问题与圆锥曲线相关的最值、范围问题综合性较强,解决的方法：一是由题目中的限制条件求范围,如直线与圆锥曲线的位置关系中Δ的范围,方程中变量的范围,角度的大小等；二是将要讨论的几何量如长度、面积等用参数表示出来,再对表达式进行讨论,应用不等式、三角函数等知识求最值,在解题过程中注意向量、不等式的应用．【典例5】（2019年高考全国Ⅱ卷理21）已知点A (−2,0),B (2,0),动点M (x ,y )满足直线AM 与BM 的斜率之积为−12.记M 的轨迹为曲线C .（1）求C 的方程,并说明C 是什么曲线；（2）过坐标原点的直线交C 于P ,Q 两点,点P 在第一象限,PE ⊥x 轴,垂足为E ,连结QE 并延长交C 于点G . （i ）证明：PQG △是直角三角形； （ii ）求PQG △面积的最大值.【典例6】（2019·四川高三月考（理））已知抛物线28x y ,过点04M （，）的直线与抛物线交于,A B 两点,又过,A B 两点分别作抛物线的切线,两条切线交于P 点. （1）证明：直线,PA PB 的斜率之积为定值； （2）求PAB △面积的最小值【典例7】（2018·湖南宁乡一中高三月考）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左,右焦点分别为12F F 、,该椭圆的离心率为22,以原点为圆心,椭圆的短半轴长为半径的圆与直线2y x =+相切.（I ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）如图,若斜率为()0k k ≠的直线l 与x 轴,椭圆C 顺次交于,,(P Q R P 点在椭圆左顶点的左侧）且121RF F PFQ ∠=∠,求证：直线l 过定点；并求出斜率k 的取值范围.【总结提升】1．处理圆锥曲线最值问题的求解方法圆锥曲线中的最值问题类型较多,解法灵活多变,但总体上主要有两种方法：一是利用几何法,即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是利用代数法,即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式),然后利用函数方法、不等式方法等进行求解. 2.解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系,从而确定参数的取值范围．(2)利用已知参数的范围,求新参数的范围,解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系．(3)利用隐含的不等关系建立不等式,从而求出参数的取值范围．(4)利用已知的不等关系构造不等式,从而求出参数的取值范围．(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数,求其值域,从而确定参数的取值范围．热门考点04圆锥曲线中的探索性问题探索性问题的求解方法：先假设成立,在假设成立的前提下求出与已知、定理或公理相同的结论,说明结论成立,否则说明结论不成立．处理这类问题,一般要先对结论做出肯定的假设,然后由此假设出发,结合已知条件进行推理论证．若推出相符的结论,则存在性随之解决；若推出矛盾,则否定了存在性；若证明某结论不存在,也可以采用反证法.【典例8】（2019·全国高考真题（文））已知点A,B关于坐标原点O对称,│AB│ =4,⊙M过点A,B且与直线x+2=0相切．（1）若A在直线x+y=0上,求⊙M的半径．（2）是否存在定点P,使得当A运动时,│MA│－│MP│为定值？并说明理由．【例9】（2018届广东省东莞市考前冲刺）在直角坐标系中,已知抛物线的焦点为,若椭圆：经过点,抛物线和椭圆有公共点,且.（1）求抛物线和椭圆的方程；（2）是否存在正数,对于经过点且与抛物线有两个交点的任意一条直线,都有焦点在以为直径的圆内？若存在,求出的取值范围；若不存在,请说明理由.【总结提升】解析几何中存在性问题的求解方法：1．通常采用“肯定顺推法”,将不确定性问题明朗化,其步骤为：假设满足条件的元素（点、直线、曲线或参数）存在,用待定系数法设出,列出关于特定参数的方程组,若方程组有实数解,则元素（点、直线、曲线或参数）存在,否则（点、直线、曲线或参数）不存在． 2．反证法与验证法也是求解存在性问题的常用方法．热门考点05 直线、圆及圆锥曲线的交汇问题【典例10】（2019年高考江苏卷）如图,在平面直角坐标系xOy 中,椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的焦点为F 1（–1、0）,F 2（1,0）．过F 2作x 轴的垂线l ,在x 轴的上方,l 与圆F 2:222(1)4x y a -+=交于点A ,与椭圆C 交于点D .连结AF 1并延长交圆F 2于点B ,连结BF 2交椭圆C 于点E ,连结DF 1． 已知DF 1=52． （1）求椭圆C 的标准方程； （2）求点E 的坐标．【典例11】（2019年高考全国Ⅲ卷理）已知曲线C ：y =22x ,D 为直线y =12-上的动点,过D 作C 的两条切线,切点分别为A ,B .（1）证明：直线AB 过定点： （2）若以E (0,52)为圆心的圆与直线AB 相切,且切点为线段AB 的中点,求四边形ADBE 的面积.【总结提升】直线、圆及圆锥曲线的交汇问题,要认真审题,学会将问题拆分成基本问题,然后综合利用数形结合思想、化归与转化思想、方程的思想等来解决问题,这样可以渐渐增强自己解决综合问题的能力．巩固提升1．（2019·江苏启东中学高一月考）设P 是椭圆22195x y +=上一点,,M N 分别是两圆()221:21C x y ++=和()222:21C x y -+=上的点,则PM PN +的最小值和最大值分别为（ ）A ．4,8B ．2,6C ．6,8D ．8,122．（2019·四川石室中学高二月考（理））已知椭圆和双曲线有共同焦点12,F F ,P 是它们的一个交点,1260F PF ∠=︒,记椭圆和双曲线的离心率分别12,e e ,则2212e e +的最小值是（ ）A ．1BCD ．33．（2019·北京高考真题（理））数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线,曲线C ：221||x y x y +=+就是其中之一（如图）.给出下列三个结论：①曲线C 恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）； ②曲线C 2 ③曲线C 所围成的“心形”区域的面积小于3. 其中,所有正确结论的序号是（ ） A ．①B ．②C ．①②D ．①②③4．（2019·广西高三（理））已知双曲线()2222:10,0x y E a b a b -=>>的右顶点为A ,抛物线2:8C y ax =的焦点为F ．若在E 的渐近线上存在点P ,使得AP FP ⊥u u u r u u u r,则E 的离心率的取值范围是 （ ）A ．()1,2B ．32⎛ ⎝⎦C ．32⎫+∞⎪⎪⎣⎭D ．()2,+?5. （2019·江苏高二月考）在平面直角坐标系xOy 中,设点A 是抛物线22(0)y px p =>上的一点,以抛物线的焦点F 为圆心、以FA 为半径的圆交抛物线的准线于B ,C 两点,记BFC θ∠=,若22sin sin 23cos sin θθθθ-=-,且ABC ∆的面积为1283,则实数p 的值为（ ） A ．8B ．4C ．42D ．826. （2019·上海市七宝中学高二开学考试）已知椭圆2221x y a+=（0a >）的焦点1F 、2F ,抛物线22y x=的焦点为F ,若123F F FF =u u u v u u u u v,则a =________ 7．（2019·江苏高二月考）椭圆22:143x y C +=的左、右焦点分别为12,F F ,A 为C 上的动点,点P 在线段1F A 的延长线上,且()220AP AF F P +•=u u u r u u u u r u u u u r,则P 到y 轴距离的最大值为__________．8.（2019·江西高考模拟（文））设1F ,2F 为椭圆1C ：221122111(0)x y a b a b +=＞＞与双曲线2C 的公共左、右焦点,椭圆1C 与双曲线2C 在第一象限内交于点M,12MF F ∆是以线段1MF 为底边的等腰三角形,且1=2MF 。
高考数学总复习_热点专题突破系列(五-六)圆锥曲线方程与概率与统计的综合问题
1 2(y0 1) (2 x 0 ) y 0 1 2 定值 . 2y0 x 0 2 2
则直线BP的方程为
1 解得 y k(x 2)(k 0, k ) 2 2 2 直线AD的方程为： 8k 2 4k ②. x 2 P( 2 , 2 ). y 1 ， 4k 1 4k 1 4 1 y x 1 2
①，
将①代入
联立①②解得 M( 4k 2 , 4k ). 4k 2k 1 2k 1 由D(0,1), 8k 2 2 N(x,0)三点共线可知 4k 2 1 1 0 1 4k , P( 2 , 2 ), 2 8k 2 x 0 4k 1 4k 1 即 0 2
【加固训练】(2015·保定模拟)设椭圆E： x y 1(a b 0) a 2 b2 的离心率为 2 且过点 6
2 . (1)求椭圆E的方程 e , (1, 2 ).
2
2
(2)设椭圆E的左顶点是A，若直线l:x-my-t=0与椭圆E相交于不同的两 点M，N(M，N与A均不重合)，若以MN为直径的圆过点A，试判定直线l 是否过定点，若过定点，求出该定点的坐标.
解得 x 18t , y 6 x 2 54 2t , 2 2 2 27 t 2 t 27 t 2 所以 18t 54 27m (2 m)t 2
2
27 t 因为 QM ∥ QN, 所以
QN (
2
,
27 t
2
),
6t 54 27m (2 m)t 2 18t (2 m)t 2 6 3m 2)=0,所以 0, 所以(1-m)(9+t 3 t2 27 t 2 m=1, 27 t 2 3 t2
高考数学圆锥曲线知识点总结
高考数学圆锥曲线知识点总结高考数学里啊，圆锥曲线可是个让不少同学头疼的“大怪兽”。
但别怕，咱们今天就来好好把它“解剖”一下，把它的知识点都理清楚！先来说说椭圆。
椭圆就像是被压扁了的圆，它的定义是平面内到两个定点的距离之和等于常数（大于两定点间的距离）的动点的轨迹。
打个比方，想象一下你在操场上跑步，有两个固定的杆子，你跑的路线使得你到这两个杆子的距离加起来总是不变的，这跑出来的轨迹可能就是个椭圆。
椭圆的标准方程有两种形式，焦点在 x 轴上时是\（＼frac{x^2}｛a^2} ＋＼frac{y^2}｛b^2} ＝ 1\），焦点在 y 轴上时则是\（＼frac{y^2}｛a^2} ＋＼frac{x^2}｛b^2} ＝ 1\）。
这里的 a 和 b 都有特别的含义，a 表示椭圆长半轴的长度，b 表示短半轴的长度。
而且还有个关键的关系\（c^2 ＝ a^2 b^2\），其中 c 是椭圆的半焦距。
再来说说双曲线。
双曲线长得有点像两个背靠背的抛物线，它的定义是平面内到两个定点的距离之差的绝对值等于常数（小于两定点间的距离）的动点的轨迹。
比如说，你想象有两个机器人，一个在前面跑，一个在后面追，它们之间的距离差始终不变，那它们跑的轨迹可能就是双曲线。
双曲线的标准方程也有两种，焦点在 x 轴上时是\（＼frac{x^2}｛a^2} ＼frac{y^2}｛b^2} ＝ 1\），焦点在 y 轴上时是\（＼frac{y^2}｛a^2} ＼frac{x^2}｛b^2} ＝ 1\）。
同样有\（c^2 ＝ a^2 ＋ b^2\）。
然后是抛物线。
抛物线就像一个抛出去的物体的轨迹。
它的定义是平面内到一个定点和一条定直线的距离相等的动点的轨迹。
比如你拿着喷壶浇水，水喷出来形成的曲线就可能是抛物线。
抛物线的标准方程也有多种，比如\（y^2 ＝ 2px\）、＼（y^2 ＝－2px\）、＼（x^2 ＝ 2py\）、＼（x^2 ＝－2py\），这里的 p 表示焦点到准线的距离。
圆锥曲线高考知识点
圆锥曲线高考知识点圆锥曲线是数学中的一门重要的几何学分支，也是高考数学中的重中之重。
掌握圆锥曲线的知识点，对于高中数学的学习以及高考的顺利通过具有重要的意义。
本文将从圆锥曲线的基本概念到不同类型的圆锥曲线的性质和应用进行论述，希望能够帮助同学们更好地理解和掌握这一知识点。
一、圆锥曲线的基本概念圆锥曲线是由一个固定点F（焦点）和一条固定直线L（准线）确定的曲线。
根据焦点和准线的相对位置可以得到不同类型的圆锥曲线，包括椭圆、双曲线和抛物线。
椭圆：焦点到椭圆上任意一点的距离之和等于两倍的焦准距离。
椭圆是一种封闭的曲线，具有对称性和周期性。
在实际生活中，椭圆的应用非常广泛，例如卫星轨道和地球公转等。
双曲线：焦点到双曲线上任意一点的距离之差等于两倍的焦准距离。
双曲线是开放的曲线，具有两支且无对称轴。
它在数学、物理和工程等领域中有广泛的应用，例如电磁场分布和天体运动等。
抛物线：焦点到抛物线上任意一点的距离等于焦准距离。
抛物线是一种非常常见的曲线，具有对称性和方向性。
它在日常生活中有很多实际应用，例如抛物物体的运动轨迹和反射焦点原理等。
二、圆锥曲线的性质1. 集中性：椭圆和抛物线的焦点在曲线内部，而双曲线的焦点在曲线外部。
这是圆锥曲线与其他曲线（如直线和旋转曲面）的重要区别。
2. 对称性：椭圆和抛物线具有对称轴，对称轴是通过焦点且垂直于准线的直线；双曲线则没有对称轴。
这一性质对于曲线的研究和应用具有重要的帮助。
3. 参数方程：圆锥曲线可以使用参数方程描述。
参数方程给出了曲线上任意一点的坐标与参数之间的关系，简化了计算和分析过程。
4. 弦：圆锥曲线上的任意两点可以确定一条弦，弦与准线的交点称为弦的准线截距。
弦的性质是圆锥曲线研究的重要内容之一。
三、圆锥曲线的应用圆锥曲线在科学和工程领域有广泛的应用，以下是其中几个重要的应用：1. 卫星轨道：圆锥曲线可以用来描述卫星在地球上空运行的轨道。
椭圆轨道、圆轨道和双曲线轨道分别对应不同的卫星运行状态，这对于航天技术的发展和应用非常重要。
高考数学圆锥曲线中的仿射变换、非对称韦达、光学性质问题(解析版)
圆锥曲线中的仿射变换、非对称韦达、光学性质问题【题型归纳目录】题型一：仿射变换问题题型二：非对称韦达问题题型三：椭圆的光学性质题型四：双曲线的光学性质题型五：抛物线的光学性质【方法技巧与总结】一、仿射变换问题仿射变换有如下性质：1、同素性：在经过变换之后，点仍然是点，线仍然是线；2、结合性：在经过变换之后，在直线上的点仍然在直线上；3、其它不变关系．我们以椭圆为例阐述上述性质．椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0，经过仿射变换x′=xy′=a b y，则椭圆变为了圆x 2+y′2=a2，并且变换过程有如下对应关系：(1)点P x0,y0变为P′x0,a b y0；(2)直线斜率k变为k′=a b k，对应直线的斜率比不变；(3)图形面积S变为S′=a b S，对应图形面积比不变；(4)点、线、面位置不变(平⾏直线还是平⾏直线，相交直线还是相交直线，中点依然是中点，相切依然是相切等)；(5)弦长关系满足A′B′AB=1+k′21+k2，因此同一条直线上线段比值不变，三点共线的比不变总结可得下表：变换前变换后方程x2a2+y2b2=1a>b>0x 2+y′2=a2横坐标x x纵坐标y y =ab y斜率k=ΔyΔx k =ΔyΔx =abΔyΔx=ab k面积S=12Δx⋅Δy S =12Δx ⋅Δy =ab S弦长l=1+k2Δxl =1+k 2Δx =1+a2b2k2Δx=1+a2b2k21+k2l不变量平行关系；共线线段比例关系；点分线段的比二、非对称韦达问题在一元二次方程ax 2+bx +c =0中，若Δ>0，设它的两个根分别为x 1,x 2，则有根与系数关系：x 1+x 2=-b a ,x 1x 2=c a ，借此我们往往能够利用韦达定理来快速处理x 1-x 2 ,x 21+x 22,1x 1+1x 2之类的结构，但在有些问题时，我们会遇到涉及x 1,x 2的不同系数的代数式的应算，比如求x 1x 2,3x 1x 2+2x 1-x 22x 1x 2-x 1+x 2或λx 1+μx 2之类的结构，就相对较难地转化到应用韦达定理来处理了．特别是在圆锥曲线问题中，我们联立直线和圆锥曲线方程，消去x 或y ，也得到一个一元二次方程，我们就会面临着同样的困难，我们把这种形如x 1+2x 2,λx 1y 2+μx 2y 1,x 1x 2或3x 1x 2+2x 1-x 22x 1x 2-x 1+x 2之类中x 1,x 2的系数不对等的情况，这些式子是非对称结构，称为“非对称韦达”．三、光学性质问题1.椭圆的光学性质从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点(如图1)．【引理1】若点A ,B 在直线L 的同侧，设点是直线L 上到A ,B 两点距离之和最小的点，当且仅当点P 是点A 关于直线L 的对称点A 与点B 连线A B 和直线L 的交点．【引理2】若点A ,B 在直线L 的两侧，且点A ,B 到直线的距离不相等，设点P 是直线L 上到点A ,B 距离之差最大的点，即PA -PB 最大，当且仅当点P 是点A 关于直线L 的对称点A 与点B 连线A B 的延长线和直线L 的交点．【引理3】设椭圆方程为x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 ，F 1,F 2分别是其左、右焦点，若点D 在椭圆外，则DF 1+DF 2>2a ．2.双曲线的光学性质从双曲线的一个焦点发出的光从双曲线的一个焦点发出的光线经过双曲线的另一个焦点(如图)．【引理4】若点A ,B 在直线L 的同侧，设点是直线L 上到A ,B 两点距离之和最小的点，当且仅当点P 是点A 关于直线L 的对称点A 与点B 连线A B 和直线L 的交点．【引理5】若点A ,B 在直线L 的两侧，且点A ,B 到直线的距离不相等，设点P 是直线L 上到点A ,B 距离之差最大的点，即PA -PB 最大，当且仅当点P 是点A 关于直线L 的对称点A 与点B 连线A B 的延长线和直线L 的交点．【引理6】设双曲线方程为x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 ，F 1,F 2分别是其左、右焦点，若点D 在双曲线外(左、右两支中间部分，如图)，则DF 1-DF 2<2a ．3.抛物线的光学性质从抛物线的焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线与抛物线的轴平行(或重合)．反之，平行于抛物线的轴的光线照射到抛物线上，经反射后都通过焦点．【结论1】已知：如图，抛物线C :x 2=2py p >0 ，F 0,p2为其焦点，j 是过抛物线上一点D x 0,y 0 的切线，A ,B 是直线j 上的两点(不同于点D )，直线DC 平行于y 轴．求证：∠FDA =∠CDB ．(入射角等于反射角)【结论2】已知：如图，抛物线C :y 2=2px p >0 ，F 是抛物线的焦点，入射光线从F 点发出射到抛物线上的点M ，求证：反射光线平行于x 轴．【典例例题】题型一：仿射变换问题例1.(2022·全国·高三专题练习)MN 是椭圆x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 上一条不过原点且不垂直于坐标轴的弦，P 是MN 的中点，则k MN ⋅k OP =_________，A ，B 是该椭圆的左右顶点，Q 是椭圆上不与A ，B 重合的点，则k AQ ⋅k BQ =_________．CD 是该椭圆过原点O 的一条弦，直线CQ ，DQ 斜率均存在，则k CQ ⋅k DQ =_________．【答案】 -b 2a 2 -b 2a 2 -b 2a 2【解析】作变换x ′=xy ′=a by，那么椭圆变为圆，方程为：x 2+y 2=a 2，P ′是M ′N ′中点，那么k M ′N ′⋅k OP ′=-1，∴k MN ⋅k OP =b a k M ′N ′ ⋅b a k OP ′ =b 2a 2k M ′N ′⋅k OP ′=-b 2a 2，A ′B ′是圆的左右顶点即直径，那么A ′Q '⊥B ′Q ′⇒k A ′Q '⋅k B ′Q ′=-1，∴k AQ ⋅k BQ =b a k A ′Q ′ ⋅bak B ′Q ′ =b 2a 2k A ′Q ′⋅k B ′Q ′=-b 2a2，C ′D ′是过圆心O 的一条弦即直径，那么C ′Q '⊥D ′Q '⇒k C ′Q ′⋅k D ′Q ′=-1，∴k CQ ⋅k DQ =b a k C ′Q ′ ⋅b a k D ′Q ′ =b 2a 2k C ′Q ′⋅k D ′Q ′=-b 2a2．例2.(2022·全国·高三专题练习)如图，作斜率为12的直线l 与椭圆x 24+y 2=1交于P ,Q 两点，且M 2,22 在直线l 的上方，则△MPQ 内切圆的圆心所在的定直线方程为__________________________．【答案】x =2【解析】如图，作仿射变换：x =2xy =y ，椭圆变为x 2+y 2=1，直线PQ 的斜率12变为直线P Q 的斜率1，M 2,22 变为M22,22 ∴kONk PQ=-1,∴O N ⊥P Q ，由垂径定理M N 平分∠P M Q ，其方程为x =1，∴MN 平分∠PMQ ，∴△MPQ 内切圆的圆心所在的定直线方程为x =2．故答案为：x =2例3.(2022·全国·高三专题练习)Р是椭圆x 24+y 23=1上任意一点，O 为坐标原点，PO =2OQ ，过点Q 的直线交椭圆于A ，B 两点，并且QA =QB ，则△PAB 面积为______________．【答案】92【解析】作变换x '=xy '=32y之后椭圆变为圆，方程为x ′2+y ′2=4，∵P 'O =2OQ 'A 'Q '=B 'Q ' ,∴O 是△P ′A ′B ′的重心，又O 是△P ′A ′B ′的外心∴△P ′A ′B ′′是等边三角形，∴S △P ′A ′B ′=343R 2=33．∴S △PAB =32S △P 'A 'B '=92故答案为：92变式1.(2022·全国·高三专题练习)已知直线l 与椭圆x 24+y 22=1交于M ，N 两点，当k OM ⋅k ON =______，△MON 面积最大，并且最大值为______.记M (x 1,y 1),N (x 2,y 2)，当△MON 面积最大时，x 21+x 22=_____﹐y 21+y 22=_______.Р是椭圆上一点，OP =λOM +μON ，当△MON 面积最大时，λ2+μ2=______.【答案】 -122 4 2 1【解析】作变换x '=xy '=2x此时椭圆变为圆，方程为x ′2+y ′2=4，当OM ′⊥ON ′时，S △M ′ON ′=12OM ′ ON ′ sin ∠M ′ON ′最大，并且最大为12×22=2，此时k OM ⋅k ON =12k OM ′ ⋅12k ON ′ =12k OM ′⋅k ON ′=-12，S △MON =12S △M ′ON ′=2.由于OM ′⊥ON ′，OM '=ON ',∴x 1'=y 2'y 1'=x 2' ，∴x 21+x 22=x ′21+x ′22=x ′21+y ′21=4，y 21+y 22=y ′12 2+y ′22 2=y ′21+y ′222=x ′22+y ′222=2，因为OP =λOM +μON ，所以OP 2=λ2OM 2+μ2ON 2+2λμOM ⋅ON∴4=4λ2+μ2 ,∴λ2+μ2=1.故答案为：-12；2；4；2；1.变式2.(2022·全国·高三专题练习)已知椭圆C :x 22+y 2=1左顶点为A ，P ,Q 为椭圆C 上两动点，直线PO 交AQ 于E ，直线QO 交AP 于D ，直线OP ,OQ 的斜率分别为k 1,k 2且k 1k 2=-12，AD=λDF ,AE =μEQ(λ,μ是非零实数)，求λ2+μ2=______________.【答案】1【解析】解法1：可得点A -2,0 ，设P x 1,y 1 ,D x 0,y 0 ，则y 1=k 1x 1,y 0=k 2x 0，由AD =λDP 可得x 0+2=λx 1-x 0 ,y 0=λy 1-y 0 ，即有x 0=λx 1-21+λ,y 1=1+λλy 0，∵k 1x 1=y 1，∴1+λλy 0=1+λλk 2x 0=k 2x 1-2λ ，两边同乘以k 1，可得k 21x 1=k 1k 2x 1-2λ=-12x 1-2λ ，解得x 1=2λ1+2k 21 ,y 1=2λ1+2k 21k 1，将P x 1,y 1 代入椭圆方程可得λ2=11+2k 21，由AE =μEQ 可得μ2=11+2k 22=2k 1+2k 21，可得λ2+μ2=1；故答案为：1．解法2：作变换x '=xy '=2y之后椭圆变为圆，方程为x ′2+y ′2=2，k QP ′⋅k OQ ′=2k OP ⋅2k OQ =2k OP ⋅k OQ =-1⇒OP ′⊥OQ ′，设∠P ′A ′O =α,∠Q ′A ′O =β，则α+β=∠P ′A ′Q ′=12∠P ′A ′Q ′=π4，D ′P ′=R cos α,E ′Q ′=Rcos β,A ′P ′=2R cos α,A ′Q ′=2R cos β，∴λ=AD DP =A ′D ′D ′P ′=A ′P ′-D ′P ′D ′P ′=2cos 2α-1=cos2α，μ=AE EQ =A ′E ′E ′Q ′=A ′Q ′-E ′Q ′E ′Q ′=2cos 2β-1=cos2β，∴λ2+μ2=cos 22α+cos 2β=cos 22α+cos 2π2-2α =cos 22α+sin 22α=1.故答案为：1．题型二：非对称韦达问题例4.(2022·全国·高三专题练习)已知椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右焦点是F 1、F 2，左右顶点是A 1、A 2，离心率是22，过F 2的直线与椭圆交于两点P 、Q (不是左、右顶点)，且ΔF 1PQ 的周长是42，直线A 1P 与A 2Q 交于点M .(1)求椭圆的方程；(2)(ⅰ)求证直线A 1P 与A 2Q 交点M 在一条定直线l 上；(ⅱ)N 是定直线l 上的一点，且PN 平行于x 轴，证明：PF 2PN是定值．【解析】(1)设椭圆的焦距是2c ，据题意有：c a =224a =42，a =2，c =1，则b =1，所以椭圆的方程是x 22+y 2=1.(2)(ⅰ)由(1)知A 1-2,0 ，A 22,0 ，F 21,0 ，设直线PQ 的方程是x =my +1，代入椭圆方程得：m 2+2 y 2+2my -1=0，易知Δ=4m 2+4m 2+2 =8m 2+8>0，设P x 1,y 1 ，Q x 2,y 2 ，y 1>y 2，则y 1+y 2=-2m m 2+2y 1y 2=-1m 2+1y 2-y 1=-y 1+y 2 2-4y 1y 2=-22m 2+2m 2+2，直线A1P的方程是：y=y1x1+2x+2①，直线A2P的方程是：y=y2x2-2x-2②，设M x,y，既满足①也满足②，则x=2⋅x2y1+x1y2+2y2-y1x1y2-x2y1+2y2+y1=2⋅2my1y2+y1+y2+2y2-y12y1+y2+y2-y1=2⋅-2mm2+2-2mm2+2-222m2+2m2+2-22mm2+2-22m2+2m2+2=2⋅4m+22⋅2m2+222m+22m2+2=2，故直线A1P与A2P交点M在一条定直线l：x=2上. (ⅱ)设N2,t，P x1,y1，x1∈-2,2，则PN=2-x1，∴PF2PN=x1-12+y212-x1=x1-12+1-x222-x1=12x1-222-x1=22.例5.(2022·全国·高三专题练习)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的离心率为12，短轴长为23．(1)求椭圆C的方程；(2)设A，B分别为椭圆C的左、右顶点，若过点P4,0且斜率不为0的直线l与椭圆C交于M、N两点，直线AM与BN相交于点Q．证明：点Q在定直线上．【解析】(1)因为椭圆的离心率12，∴ca=12，∴a=2c，又2b=23，∴b=3．因为b2=a2-c2=3c2=3，所以c=1，a=2，所以椭圆C的方程为x24+y23=1．(2)解法一：设直线MN:x=ty+4，M x1,y1，N x2,y2，x=ty+4x2 4+y23=1，可得3t2+4y2+24ty+36=0，所以y1+y2=-24t3t2+4y1y2=363t2+4 ．直线AM的方程：y=y1x1+2x+2①直线BN的方程：y=y2x2-2x-2②由对称性可知：点Q在垂直于x轴的直线上，联立①②可得x=2ty1y2+6y2+2y13y2-y1．因为y1+y2y1y2=-23t，所以x=2ty1y2+6y2+2y13y2-y1=-3y1+y2+6y2+2y13y2-y1=1所以点Q在直线x=1上．解法二：设M x1,y1，N x2,y2，Q x3,y3，x1,x2,x3两两不等，因为P ，M ，N 三点共线，所以y 1x 1-4=y 2x 2-4⇒y 21x 1-4 2=y 22x 2-4 2⇒31-x 214 x 1-4 2=31-x 224x 2-4 2，整理得：2x 1x 2-5x 1+x 2 +8=0．又A ，M ，Q 三点共线，有：y 3x 3+2=y 1x 1+2①又B ，N ，Q 三点共线，有y 3x 3-2=y 2x 2-2②将①与②两式相除得：x 3+2x 3-2=y 2x 1+2 y 1x 2-2 ⇒x 3+2x 3-2 2=y 22x 1+2 2y 21x 2-2 2=31-x 224 x 1+2 231-x 214x 2-2 2=x 2+2 x 1+2x 1-2 x 2-2 即x 3+2x 3-2 2=x 2+2 x 1+2x 1-2 x 2-2=x 1x 2+2x 1+x 2 +4x 1x 2-2x 1+x 2 +4，将2x 1x 2-5x 1+x 2 +8=0即x 1x 2=52x 1+x 2 -4=0代入得：x 3+2x 3-2 2=9解得x 3=4(舍去)或x 3=1，(因为直线BQ 与椭圆相交故x 3≠4)所以Q 在定直线x =1上．【点晴】求解直线与圆锥曲线定点定值问题：关键在于运用设而不求思想、联立方程和韦达定理，构造坐标点方程从而解决相关问题.例6.(2022·全国·高三专题练习)点A ,B 是椭圆E :x 24+y 23=1的左右顶点若直线l :y =k (x -1)与椭圆E 交于M ，N 两点，求证：直线AM 与直线BN 的交点在一条定直线上．【解析】由题意得，A -2,0 ，B 2,0 ，设M x 1,y 1 ,N x 2,y 2 ，联立x 24+y 23=1y =k (x -1)，化简得(3+4k 2)x 2-8k 2x +4k 2-12=0，所以x 1+x 2=8k 23+4k 2，x 1x 2=4k 2-123+4k 2，直线AM 的方程为y =y 1x 1+2x +2 ，直线BN 的方程为y =y 2x 2-2(x -2)，联立y =y 1x 1+2x +2y =y 2x 2-2(x -2) ，即y =k (x 1-1)x 1+2x +2y =k (x 2-1)x 2-2(x -2)，解得x =2(2x 1x 2-3x 1+x 2)x 1+3x 2-4原式=22x 1x 2-3x 1+x 2 +4x 2 x 1+x 2 +2x 2-4=22⋅4k 2-123+4k 2-3⋅8k 23+4k 2+4x 2 8k 23+4k 2+2x 2-4=2-16k 2-243+4k 2+4x 2 -8k 2-123+4k 2+2x 2=4-8k 2-123+4k 2+2x 2 -8k 2-123+4k 2+2x2=4，故直线AM 与直线BN 交点在定直线x =4上．变式3.(2022·全国·高三专题练习)已知A 1、A 2分别是离心率e =22的椭圆E :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左右项点，P 是椭圆E 的上顶点，且PA 1 ⋅PA 2=-1.(1)求椭圆E 的方程；(2)若动直线l 过点0,-4 ，且与椭圆E 交于A 、B 两点，点M 与点B 关于y 轴对称，求证：直线AM 恒过定点.【解析】(1)由题意得A 1-a ,0 ，A 2a ,0 ，P 0,b ，则PA 1 ⋅PA 2=(-a ,-b )⋅(a ,-b )=-a 2+b 2=-c 2=-1，所以c =1，又e =c a =22a 2=b 2+c 2，所以a =2，b =1，所以椭圆E 的方程为x 22+y 2=1.(2)当直线l 的斜率存在时，设直线l :y =kx -4，A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，则M -x 2,y 2 ，由x 22+y 2=1y =kx -4，消去y 得1+2k 2 x 2-16kx +30=0.由Δ=(-16k )2-1201+2k 2 >0，得k 2>152，所以x 1+x 2=16k 1+2k 2，x 1x 2=301+2k 2.k AM =y 1-y 2x 1+x 2=kx 1-4-kx 2+4x 1+x 2=k x 1-x 2 x 1+x 2，直线AM 的方程为y -y 1=k x 1-x 2x 1+x 2x -x 1 ，即y =y 1+k x 1-x 2 x 1+x 2x -x 1 =kx 1-4+k x 1-x 2 x 1+x 2x -x 1 =kx 1-4 x 1+x 2 +k x 1-x 2 x -x 1x 1+x 2=2kx 1x 2-4x 1+x 2 +kx x 1-x 2 x 1+x 2=k x 1-x 2 x 1+x 2x +2kx 1x 2x 1+x 2-4，因为x 1+x 2=16k 1+2k 2，x 1x 2=301+2k2，所以2kx 1x 2x 1+x 2-4=2k 301+2k216k 1+2k2-4=-14，直线AM 的方程为可化为y =k x 1-x 2 x 1+x 2x -14，则直线AM 恒过定点0,-14.当直线l 的斜率不存在时，直线AM 也过点0,-14 ，综上知直线AM 恒过定点0,-14 .变式4.(2022·全国·高三专题练习)已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)过点P 2,2 ，且离心率为22．(1)求椭圆C 的方程；(2)记椭圆C 的上下顶点分别为A ,B ，过点0,4 斜率为k 的直线与椭圆C 交于M ,N 两点，证明：直线BM 与AN 的交点G 在定直线上，并求出该定直线的方程．【解析】(1)由椭圆过点P 2,2 ，且离心率为22，所以4a 2+2b 2=1c a=22a 2=b 2+c 2 ，解得a 2=8b 2=4 故所求的椭圆方程为x 28+y 24=1．(2)由题意得A 0,2 ，B 0,-2 ，直线MN 的方程y =kx +4，设M x 1,y 1 ,N x 2,y 2 ，联立y =kx +4x 28+y 24=1，整理得1+2k 2 x 2+16kx +24=0，∴x 1+x 2=-16k 1+2k 2，x 1x 2=241+2k 2．由求根公式可知，不妨设x 1=-8k -24k 2-61+2k 2，x 2=-8k +24k 2-61+2k 2，直线AN 的方程为y -2=y 2-2x 2x ，直线BM 的方程为y +2=y 1+2x 1x ，联立y -2=y 2-2x 2x y +2=y 1+2x 1x，得y -2y +2=y 2-2 x 1y 1+2 x 2=kx 2+2 x 1kx 1+6 x 2=kx 1x 2+2x 1kx 1x 2+6x 2代入x 1,x 2，得y -2y +2=24k 1+2k 2+-16k -44k 2-61+2k 224k 1+2k 2+-48k +124k 2-61+2k 2=8k -44k 2-6-24k +124k 2-6=-13，解得y =1，即直线BM 与AN 的交点G 在定直线y =1上．题型三：椭圆的光学性质例7.(2022·全国·高三专题练习)如图①，椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点.如图②，双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.如图③，一个光学装置由有公共焦点F 1,F 2的椭圆C 1与双曲线C 2构成，已知C 1与C 2的离心率之比为2:5.现一光线从右焦点F 2发出，依次经C 1与C 2的反射，又回到了点F 2，历时3×10-8秒.将装置中的C 2去掉，如图④，此光线从点F 2发出，经C 1两次反射后又回到了点F 2，历时___________.秒【答案】10-7【解析】设F 1F 2 =2c ，椭圆的长轴长为2a 1，双曲线的实轴长为2a 2，光速为v ，而C 1与C 2的离心率之比为2:5，即c a 1c a 2=25，即a 2=25a 1，在图③BF 1 +BF 2 =2a 1,AF 1 -AF 2 =2a 2，两式相减得：BF 1 +BF 2 +AF 2 -AF 1 =2a 1-2a 2，即BF 2 +AB +AF 2 =2a 1-2a 2.在图④中，BF 1 +DF 1 +DF 2 +BF 2 =4a 1，设图④，光线从点F 2发出，经C 1两次反射后又回到了点F 2，历时t 秒，由题意可知：3×10-8×v =2a 1-2a 2,tv =4a 1，则3×10-8t =2a 1-2a 24a 1=310，故t =10-7(秒)，故答案为：10-7例8.(2022·全国·高三专题练习)如图所示，椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点.根据椭圆的光学性质解决下题：已知曲线C 的方程为x 2+4y 2=4，其左、右焦点分别是F 1，F 2，直线l 与椭圆C 切于点P ，且|PF 1|=1，过点P 且与直线l 垂直的直线l '与椭圆长轴交于点M ，则|F 1M |:|F 2M |=()A.2:3B.1:2C.1:3D.1:3【答案】C【解析】由椭圆的光学性质得到直线l '平分角F 1PF 2，因为S △PMF1S △PMF2=F 1M F 2M =12F 1P PMsin ∠F 1PM12F 2P PM sin ∠F 2PM =PF 1 PF 2 由PF 1 =1，PF 1 +PF 2 =4得到PF 2 =3，故F 1M : F 2M =1:3.故答案为C .例9.(2022·全国·高三专题练习)圆锥曲线具有丰富的光学性质，从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点．直线l ：x +2y -8=0与椭圆C ：x 216+y 212=1相切于点P ，椭圆C的焦点为F 1，F 2，由光学性质知直线PF 1，PF 2与l 的夹角相等，则∠F 1PF 2的角平分线所在的直线的方程为( )A.2x -y -1=0B.x -y +1=0C.2x -y +1=0D.x -y -1=0【答案】A【解析】x +2y -8=0x 216+y 212=1⇒x =2y =3 ⇒P 2,3 ，直线l 的斜率为-12，由于直线PF 1，PF 2与l 的夹角相等，则∠F 1PF 2的角平分线所在的直线的斜率为2，所以所求直线方程为y -3=2x -2 ,2x -y -1=0.故选：A 题型四：双曲线的光学性质例10.(2022·全国·高三专题练习)双曲线的光学性质是：从双曲线一个焦点发出的光，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线都汇聚到双曲线的另一个焦点上.已知双曲线C ：x 216-y 29=1的左、右焦点分别为F 1，F 2，从F 2发出的光线射向C 上的点P 8,y 0 后，被C 反射出去，则入射光线与反射光线夹角的余弦值是( )A.1314B.-1114C.1114D.-1314【答案】C【解析】设P (8,y 0)在第一象限，6416-y 029=1⇒y 0=33，PF 2=(8-5)2+(33)2=6PF 1=6+8=14，F 1F 2=10，cos ∠F 1PF 2=142+62-1022×14×6=1114故选：C例11.(2022·全国·高三专题练习)根据圆锥曲线的光学性质，从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线过双曲线的另一个焦点.由此可得，连双曲线上任意一点的切线，平分该点与两焦点连线的夹角．请解决下列问题：已知F 1、F 2分别是双曲线C ：x 2-y 2=1的左.右焦点，若从F 2发出的光线经双曲线右支上的点A x 0,1 反射后，反射光线为射线AM ，则∠F 2AM 的角平分线所在的直线的斜率为( )A.-3 B.-2 C.-1 D.-22【答案】D【解析】由已知可得A x 0,1 在第一象限，将点A 的坐标代入双曲线方程可得：x 20-1=1，解得x 0=2，所以A 2,1 ，又由双曲线的方程可得a =1，b =1，所以c =2，则F 2(2,0)，所以|AF 2|=1，且点A ，F 2都在直线x =2上，又|OF 1|=|OF 2|=2，设过点A 与双曲线相切的直线方程为y =k x -2 +1，代入x 2-y 2=1所以tan ∠F 1AF 2=|F 1F 2||AF 2|=221=22，设∠F 2AM 的角平分线为AN ，则∠F 2AN =(180°-∠F 1AF 2)×12，所以直线AN 的倾斜角为90°+∠F 2AN =180°-12∠F 1AF 2，所以直线AN 的斜率为tan 180°-12∠F 1AF 2 =-tan 12∠F 1AF 2，因为tan ∠F 1AF 2=2tan 12∠F 1AF 21-tan 12∠F 1AF 2=22，解得tan 12∠F 1AF 2=22所以直线AN 的斜率为-22故选：D ．题型五：抛物线的光学性质例12.(2022·全国·高三专题练习)抛物线有如下光学性质：由焦点射出的光线经抛物线反射后平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必经过抛物线的焦点．已知抛物线y 2=4x 的焦点为F ，一平行于x 轴的光线从点M (3，1)射入，经过抛物线上的点A 反射后，再经抛物线上的另一点B 射出，则直线AB 的斜率为( )A.43B.-43C.±43D.-169【答案】B【解析】由题意可知点A 的纵坐标为1．将y =1代入y 2=4x ，得x =14，则A 14,1 ，由抛物线的光学性质可知，直线AB 经过焦点F (1,0)，所以直线AB 的斜率k =1-014-1=-43．故选：B ．例13.(2022·全国·高三专题练习)抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线y 2=4x 的焦点为F ，一条平行于x 轴的光线从点M (3,1)射出，经过抛物线上的点A 反射后，再经抛物线上的另一点B 射出，则△ABM 的周长为( )A.9+10 B.9+26C.7112+26 D.8312+26【答案】B【解析】如下图所示：因为M3,1，所以y A=y M=1，所以x A=y2A4=14，所以A14,1 ，又因为F1,0，所以l AB:y-0=1-014-1x-1，即l AB:y=-43x-1，又y=-43x-1y2=4x，所以y2+3y-4=0，所以y=1或y=-4，所以y B=-4，所以x B=y2B4=4，所以B4,-4，又因为AB=AF+BF=x A+x B+p=14+4+2=254，AM=x M-x A=3-14=114，BM=4-32+-4-12=26，所以△ABM的周长为：AB+AM+BM=254+114+26=9+26，故选：B.例14.(2022·全国·高三专题练习)已知：如图，抛物线C:x2=2py p>0，F0,p 2为其焦点，j是过抛物线上一点D x0,y0的切线，A,B是直线j上的两点(不同于点D)，直线DC平行于y轴．求证：∠FDA=∠CDB．(入射角等于反射角)【解析】作抛物线的准线m:y=-p2，延长CD交m于点D x0,-p2，则DF=DD ；由C:x2=2py p>0得C:y=x22p，因此y =1p x ，当x0≠0时直线j的斜率k j=x0p，直线FD 的斜率k FD =-p2-p2x0=-px0，两条直线斜率乘积为-1，所以直线j垂直平分线段FD ，则∠FDA=∠D DA=∠CDB．当x0=0时，点D(0,0),此时直线j为x轴，结论显然成立．综上所述，结论成立．变式5.(2022·全国·高三专题练习)已知：如图，抛物线C:y2=2px p>0，F是抛物线的焦点，入射光线从F点发出射到抛物线上的点M，求证：反射光线平行于x轴．【解析】证明：设My202p,y0，过点M的抛物线的切线为l，且x=t y-y0+y202p，入射光线FM经抛物线壁反射后的反射光线为MN，由y2=2pxx=t y-y0+y202p得y2-2pty+2pty0-y2=0，故Δ=4p2t2-8pt+4y20=0即t=y0p，故切线l的斜率k=py0．设直线l到直线FM的角为α，直线MN到直线l的角为β，则由tanα=tanβ得k FM-k1+k FM⋅k=k-k MN1+k⋅k MN，即y 0x -p 2-py 01+y 0x -p 2⋅py 0=py 0-k MN 1+p y 0⋅k MN ，解得k MN =0,∴反射光线平行于x 轴．【过关测试】一、单选题1.(2022·全国·高三专题练习)椭圆满足这样的光学性质：从椭圆的一个焦点发射光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点．现在设有一个水平放置的椭圆形台球盘，满足方程：x 216+y 29=1，点A 、B是它的两个焦点，当静止的小球放在点A 处，从A 点沿直线出发，经椭圆壁反弹后，再回到点A 时，小球经过的最长路程是A.20 B.18C.16D.14【答案】C【解析】由题知，椭圆长半轴长a =4依题意可知小球经两次椭圆壁反弹后回到A 点，根据椭圆的定义可知所走的路程正好是4a =4×4=16故选：C2.(2022·全国·高三专题练习)双曲线的光学性质为：从双曲线一个焦点发出的光，经过反射后，反射光线的反向延长线都汇聚到双曲线的另一个焦点上，若双曲线E 的焦点分别为F 1，F 2，经过F 2且与F 1F 2垂直的光线经双曲线E 反射后，与F 1F 2成45°角，则双曲线E 的离心率为( )A.2B.2+1C.22D.22-1【答案】B【解析】由题意得：∠AF 1F 2=π4，则AF 2=F 1F 2=2c ，将x =c 代入到x 2a 2-y 2b2=1，y =b 2a ，即AF 2=b 2a ，故2c =b 2a ，即c 2-2ac -a 2=0，同除以a 2得：e 2-2e -1=0，解得：e =2+1或e =1-2<0(舍去)故选：B二、多选题3.(2022·全国·高三专题练习)椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点F 1，F 2是它的焦点，长轴长为2a ，焦距为2c ，静放在点F 1的小球(小球的半径不计)，从点F 1沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点F 1时，小球经过的路程可以是( )A.4a B.4cC.2a +cD.2a -c【答案】ACD【解析】由题意，不妨令椭圆的焦点在x 轴上，以下分为三种情况：(1)球从F 1沿x 轴向左直线运动，碰到左顶点必然原路反弹，这时第一次回到F 1路程是2a -c ；(2)球从F 1沿x 轴向右直线运动，碰到右顶点必然原路反弹，这时第一次回到F 1路程是2a +c ；(3)球从F 1不沿x 轴，斜向上(或向下)运动，碰到椭圆上的点C ，反弹后经过椭圆的另一个焦点F 2，再弹到椭圆上一点D ，经D 反弹后经过点F 1．此时小球经过的路程是CF 1 +CF 2 +DF 2 +DF 1 =4a ．综上所述，从点F 1沿直线出发，经椭圆壁反射后第一次回到点F 1时，小球经过的路程是4a 或2a +c 或2a -c ．故选：ACD .4.(2022·全国·高三专题练习)圆锥曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线过双曲线的另一个焦点.由此可得，过双曲线上任意一点的切线，平分该点与两焦点连线的夹角.请解决下面问题：已知F 1、F 2分别是双曲线C :x 2-y 22=1的左、右焦点，点P 为C 在第一象限上的点，点M 在F 1P 延长线上，点Q 的坐标为33,0，且PQ 为∠F 1PF 2的平分线，则下列正确的是( )A.PF 1 PF 2=2B.PF 1 +PF 2=23C.点P 到x 轴的距离为3D.∠F 2PM 的角平分线所在直线的倾斜角为150∘【答案】AD【解析】先证明结论双曲线C :x 2-y 22=1在其上一点P x 0,y 0 的切线的方程为x 0x -y 0y 2=1，由已知x 20-y 202=1，联立x 0x -y 0y 2=1x 2-y 22=1可得x 2-2x 0x +x 20=0，即x -x 0 2=0，解得x =x 0，所以，双曲线C :x 2-y 22=1在其上一点P x 0,y 0 的切线的方程为x 0x -y 0y 2=1.本题中，设点P x 0,y 0 ，则直线PQ 的方程为x 0x -y 0y2=1，将点Q 33,0代入切线方程可得x 0=3，所以P 3,2 ，即点P 到x 轴的距离为2，C 错；在双曲线C 中，a =1，b =2，则c =a 2+b 2=3，则F 1-3,0 、F 23,0 ，所以，PF 1 =23 2+22=4，PF 2 =02+22=2，所以，PF 1 PF 2=2，A 对；PF 1 =-23,-2 ，PF 2 =0,-2 ，所以，PF 1 +PF 2 =-23,-4 ，则PF 1 +PF 2=-23 2+-4 2=27，B 错；因为∠F 2PM 的角平分线交x 轴于点N ，则∠QPF 2+∠NPF 2=12∠F 1PF 2+∠F 2PM =90∘，所以，PN ⊥PQ ，∵k PQ =23-33=3，则k PN =-1k PQ =-33，故∠F 2PM 的角平分线所在直线的倾斜角为150∘，D 对.故选：AD .三、填空题5.(2022·全国·高三专题练习)过椭圆x 24+y 23=1的右焦点F 的直线与椭圆交于A ，B 两点，则△AOB 面积最大值为_______.【答案】32【解析】作变换x =xy =23y之后椭圆变为圆，方程为x 2+y 2=4，F 1,0 ，由于OF =1<22r =2，因此A B ⊥OF 时面积最大，此时S △A OB=12⋅OF ⋅A B =12×1×23=3，那么S △AOB =32S △A OB=32，故答案为：326.(2022·全国·高三专题练习)已知A ，B ，C 分别是椭圆x 24+y 23=1上的三个动点，则△ABC 面积最大值为_____________.【答案】92【解析】作变换x '=xy '=y '=23y之后椭圆变为圆，方程为x 2+y ′2=4，△A ′B ′C ′是圆的内接三角形，设△A ′B ′C ′的半径为R ，设A ,B ,C 所对应边长为a ,b ,c ，所以S △ABC=12a b sin C =12⋅2R sin A ⋅2R sin B ⋅sin C =2R 2sin A ⋅sin B ⋅sin C≤2R 2sin A +sin B +sin C 3 3，当且仅当A =B =C =π3时取等，因为y =sin x 在0,π 上为凸函数，则sin A +sin B +sin C 3≤sin A +B +C3，S △ABC=2R 2sin A +sin B +sin C 3 3≤2R 2sin A +B +C 33=2R 2sin π3 3=334R 2，当且仅当A =B =C =π3时取等，所以圆的内接三角形面积最大时为等边三角形，因此S △A ′B ′C ′=334R 2=334×4=33，又因为S △ABCS △ABC=b a，∴S △ABC =b a S △A ′B ′C ′=32×33=92.故答案为：92.7.(2022·全国·高三专题练习)已知椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)，F 1、F 2分别为椭圆左右焦点，过F 1、F 2作两条互相平行的弦，分别与椭圆交于M 、N 、P 、Q 四点，若当两条弦垂直于x 轴时，点M 、N 、P 、Q 所形成的平行四边形面积最大，则椭圆离心率的取值范围为______________.【答案】0，22【解析】作仿射变换，令x =x ,y =aby ，可得仿射坐标系x O y ，在此坐标系中，上述椭圆变换为圆x 2+y 2=a 2，点F 1、F 2坐标分别为(-c ,0)、(c ,0)，过F 1、F 2作两条平行的弦分别与圆交于M 、N 、P 、Q 四点.由平行四边形性质易知，三角形O P Q 的面积为M 、N 、P 、Q 四点所形成的平行四边形面积的14，故只需令三角形O P Q 面积的最大值在弦P Q 与x 轴垂直时取到即可.当c ∈0,22a时，三角形O P Q面积的最大值在弦P Q 与x 轴垂直时取到.故此题离心率的取值范围为0，22.故答案为：0，22.8.(2022·全国·高三专题练习)古希腊数学家阿波罗尼奥斯在研究圆锥曲线时发现了它们的光学性质．比如椭圆，他发现如果把椭圆焦点F 一侧做成镜面，并在F 处放置光源，那么经过椭圆镜面反射的光线全部都会经过另一个焦点．设椭圆方程x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0),F 1,F 2为其左、右焦点，若从右焦点F 2发出的光线经椭圆上的点A 和点B 反射后，满足∠BAD =90°,tan ∠ABC =34，则该椭圆的离心率为_________．【答案】22【解析】由椭圆的光学性质可知，BC ,AD 都经过F 1，且在△ABF 1中∠BAF 1=90°，tan ∠ABF 1=34，如图，所以|AF1|=3k ,|AB |=4k ,|BF 1|=5k ，由椭圆的定义可知3k +4k +5k =4a ，即a =3k ，又|AF 1|+|AF 2|=2a ，可得|AF 2|=6k -3k =3k ，在Rt △AF 1F 2中，|AF 1|2+|AF 2|2=|F 1F 2|2，所以|F 1F 2|=2c =32k ，所以e =2c 2a =32k 6k=22.故答案为：22四、解答题9.(2022·全国·高三专题练习)设椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左焦点为F ，过点F 的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，直线l 的倾斜角为60o,AF =2FB .(1)求椭圆C 的离心率；(2)如果|AB |=154，求椭圆C 的方程.【解析】(1)设A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，由题意知y 1>0，y 2<0.直线l 的方程为y =3x +c ，其中c =a 2-b 2.联立y =3x +c x 2a 2+y 2b2=1得3a 2+b 2 y 2-23b 2cy -3b 4=0，解得y 1=3b 2c +2a 3a 2+b 2，y 2=3b 2c -2a3a 2+b 2.因为AF =2FB ，所以-y 1=2y 2.即-3b 2c +2a 3a 2+b 2=23b 2c -2a3a 2+b 2，得离心率e =c a =23.(2)因为|AB |=1+13|y 2-y 1|，所以23·43ab 23a 2+b 2=154.由c a =23得b =53a .所以54a =154，得a =3，b =5.椭圆C 的方程为x 29+y 25=110.(2022·全国·高三专题练习)椭圆有两个顶点A (-1,0),B (1,0),过其焦点F (0,1)的直线l 与椭圆交于C ,D 两点，并与x 轴交于点P ，直线AC 与BD 交于点Q ．(1)当CD =322时，求直线l 的方程；(2)当P 点异于A ,B 两点时，证明：OP ⋅OQ为定值．【解析】(1)由题意，椭圆的方程为y 22+x 2=1易得直线l 不与两坐标轴垂直，故可设l 的方程为y =kx +1k ≠0,k ≠±1 ，设C x 1,y 1 ,D x 2,y 2 ，由y =kx +1,y 22+x 2=1,消去y 整理得k 2+2 x 2+2kx -1=0，判别式Δ=8k 2+1 >0.由韦达定理得x 1+x 2=-2k k 2+2,x 1x 2=-1k 2+2，①故CD =1+k 2⋅x 1-x 2 =1+k 2⋅8k 2+1 k 2+2=322，解得k =±2，即直线l 的方程为y =±2x +1．(2)证明：直线AC 的斜率为k AC =y 1x 1+1，故其方程为y =y 1x 1+1x +1 ，直线BD 的斜率为k BD =y 2x 2-1，故其方程为y =y 2x 2-1x -1 ，由y =y 1x 1+1x +1 ,y =y 2x 2-1x -1,两式相除得x +1x -1=y 2x 1+1 y 1x 2-1 =kx 2+1 x 1+1 kx 1+1 x 2-1 =kx 1x 2+kx 2+x 1+1kx 1x 2-kx 1+x 2-1即x Q +1x Q -1=kx 1x 2+kx 2+x 1+1kx 1x 2-kx 1+x 2-1.由(1)知x 1=-2kk 2+2-x 2，故x Q +1x Q -1=-k k 2+2+kx 2-2k k 2+2-x 2+1-k k 2+2-k -2k k 2+2-x 2 +x 2-1=k -1 k -2 k 2+2+k -1 x 2k -2 k +1 k 2+2+k +1 x 2=k -1k +1解得x Q =-k ．易得P -1k ,0 ，故OP ⋅OQ =x P x Q =-1k⋅-k =1，所以OP ⋅OQ为定值111.(2022·全国·高三专题练习)已知A 、B 分别是椭圆x 22+y 2=1的右顶点和上顶点，C 、D 在椭圆上，且CD ⎳AB ，设直线AC 、BD 的斜率分别为k 1、k 2，证明：k 1k 2为定值．【解析】证明：由题意得A 2,0 ，B 0,1 ，则k AB =-22，设直线CD 的方程为y =-22x +t ，设点C x 1,y 1 、D x 2,y 2 ．由y =-22x +tx 22+y 2=1，消去y 得x 2-2tx +t 2-1=0，Δ=2t 2-4t 2-1 =4-2t 2>0，可得-2<t <2，且有t ≠1，由韦达定理可得x 1+x 2=2t ，x 1x 2=t 2-1，y 1y 2=-22x 1+t -22x 2+t =12x 1x 2-22t x 1+x 2 +t 2=12t 2-1 ，∴k 1k 2=y 1x 1-2⋅y 2-1x 2=y 1y 2-y 1x 1x 2-2x 2=12t 2-12+22x 1-tt 2-1-2x 2，又由x 1+x 2=2t 得x 1=2t -x 2，代入上式得：k 1k 2=12t 2-12+222t -x 2 -t t 2-1-2x 2=12t 2-12-22x2t 2-1-2x 2=12，所以，k 1k 2为定值12.12.(2022·全国·高三专题练习)已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左右焦点分别为F 1-c ,0 ，F 2c ,0 ，M ,N 分别为左右顶点，直线l ：x =ty +1与椭圆C 交于A ,B 两点，当t =-33时，A 是椭圆的上顶点，且△AF 1F 2的周长为6．(1)求椭圆C 的方程；(2)设直线AM ,BN 交于点Q ，证明：点Q 在定直线上．(3)设直线AM ,BN 的斜率分别为k 1,k 2，证明：k1k 2为定值．【解析】(1)当t =-33时，直线l ：x =-33y +1，令x =0，得y =3，即椭圆的上顶点为0,3 ，则b =3，又△AF 1F 2的周长为6，即2a +2c =6，a +c =3，又a 2-c 2=b 2=3，解得a =2,c =1，所以椭圆C 的方程为x 24+y 23=1.(2)由(1)知，M -2,0 ,N 2,0 ，设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，依题意，点A ，B 不在x 轴上，由x =ty +1x 24+y 23=1消去x 并整理得：3t 2+4 y 2+6ty -9=0，y 1+y 2=-6t 3t 2+4y 1y 2=-93t 2+4，直线AM 的方程为y =y 1x 1+2x +2 ，直线BN 的方程为y =y 2x 2-2x -2 ，联立直线AM 、BN 的方程得x +2x -2=y 2x 1+2 y 1x 2-2 =y 2ty 1+3 y 1ty 2-1=ty 1y 2+3y 2ty 1y 2-y 1，由y 1+y 2=-6t 3t 2+4得y 1=-6t3t 2+4-y 2代入上式，得x +2x -2=ty 1y 2+3y 2ty 1y 2-y 1=-9t 3t 2+4+3y 2-9t 3t 2+4+6t 3t 2+4+y 2=-9t 3t 2+4+3y2-3t 3t 2+4+y2=3，于是得x =4，所以直线AM ,BN 交点Q 在定直线x =4上．(3)由(2)知，k 1k 2=y 1x 2-2 y 2x 1+2 =y 1ty 2-1 y 2ty 1+3 =ty 1y 2-y 1ty 1y 2+3y 2，由y 1+y 2=-6t 3t 2+4,y 1y 2=-93t 2+4得：ty 1y 2=32y 1+y 2 ，所以k 1k 2=ty 1y 2-y 1ty 1y 2+3y 2=12y 1+32y232y 1+92y 2=13为定值．13.(2022·全国·高三专题练习)在平面直角坐标系xOy 中，如图，已知x 29+y 25=1的左、右顶点为A 、B ，右焦点为F ，设过点T t ,m 的直线TA 、TB 与椭圆分别交于点M x 1,y 1 、N x 2,y 2 ，其中m >0，y 1>0，y 2<0．(1)设动点P 满足PF 2-PB 2=4，求点P 的轨迹；(2)设x 1=2，x 2=13，求点T 的坐标；(3)设t =9，求证：直线MN 必过x 轴上的一定点(其坐标与m 无关)．【解析】(1)设点P x ,y ，则F 2,0，B 3,0 ，A -3,0 ，由PF 2-PB 2=4，得x -2 2+y 2-x -3 2+y 2 =4，化简得x =92，故所求点P 的轨迹为直线x =92．(2)将x 1=2，x 2=13分别代入椭圆方程，以及y 1>0，y 2<0，得M 2,53 ，N 13,-209，直线MA 方程为y -053-0=x +32+3，即y =13x +1，直线MB 方程为y -0-209-0=x -313-3，即y =56x -52，联立方程组，解得x =7y =103，所以点T 的坐标为7,103．(3)点T 的坐标为9,m ，直线MA 的方程为y -0m -0=x +39+3，即y =m12x +3 ，直线MB 的方程为y -0m -0=x -39-3，即y =m6x -3 ，分别与椭圆x 29+y 25=1联立方程组，同时考虑到x 1≠-3，x 2≠-3，解得M 380-m 2 80+m 2,40m 80+m 2 、N 3m 2-20 20+m 2,-20m20+m 2，若x 1=x 2，240-3m 280+m 2=3m 2-6020+m 2且m >0,得m =210，此时直线MN 的方程为x =1，过点D 1,0 ；若x 1≠x 2，则m ≠210，直线MD 的斜率k MD =40m 80+m 2÷240-3m 280+m 2-1 =10m40-m 2，直线ND 的斜率k ND =-20m 20+m 2÷3m 2-6020+m 2-1 =10m40-m 2，所以k MD =k ND ,所以直线MN 过点D 1,0 ，因此直线MN 必过x 轴上一定点D 1,0 .14.(2022·全国·高三专题练习)如图，椭圆C 0：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0，a ，b 为常数)，动圆C 1:x 2+y 2=t 21，b <t 1<a ．点A 1,A 2分别为C 0的左，右顶点，C 1与C 0相交于A ，B ，C ，D 四点．(1)求直线AA 1与直线A 2B 交点M 的轨迹方程;(2)设动圆C 2:x 2+y 2=t 22与C 0相交于A /,B /,C /,D /四点，其中b <t 2<a ，t 1≠t 2．若矩形ABCD 与矩形A /B /C /D /的面积相等，证明：t 21+t 22为定值．【答案】(1)x 2a 2-y 2b2=1(2)证明见解析【解析】(1)设A (x 1,y 1),B (x 1,-y 1)，又知A 1(-a ,0),A 2(a ,0)，则直线A 1A 的方程为y =y 1x 1+a (x +a ) ①直线A 2B 的方程为y =-y 1x 1-a(x -a ) ②由①②得y 2=-y 12x 12-a2(x 2-a 2) ③由点A (x 1,y 1)在椭圆C 0上，故x 21a 2+y 21b 2=1，从而y 21=b 21-x 12a2代入③得x 2a 2-y 2b2=1(2)证明：设A (x 2,y 2)，由矩形ABCD 与矩形A B C D 的面积相等，得4x 1 y 1=4 x 2 y 2 故x 21y 21=x 22y 22因为点A ，A均在椭圆上，所以，b 2x 211-x 21a 2 =b 2x 221-x 22a2由t 1≠t 2，知x 1≠x 2，所以x 12+x 22=a 2.从而y 12+y 22=b 2因此t 12+t 22=a 2+b 2为定值考点定位：本大题主要考查椭圆、圆、直线的标准方程的求法以及直线与椭圆、圆的位置关系，突出解析几何的基本思想和方法的考查：如数形结合思想、坐标化方法等15.(2022·全国·高三专题练习)已知椭圆C :x 22+y 2=1左顶点为A ，O 为原点，M ，N 是直线x =t 上的两个动点，且MO ⊥ON ，直线AM 和AN 分别与椭圆C 交于E ，D 两点(1)若t =-1，求ΔMON 的面积的最小值；(2)若E ，O ，D 三点共线，求实数t 的值.【解析】(1)由勾股定理、三角形面积可得：MN2=OM 2+ON 2≥2OM •ON ，MN =OM •ON ,当且仅当OM =ON 等号成立∴MN ≥2．S ΔMON =12MN •1≥12×2=1，即ΔMON 的面积的最小值为1．(2)设E 2cos θ,sin θ ，则AE 方程为：y =sin θ2cos θ+2x +2 ，则M 为t ,t +2 sin θ2cos θ+1，同理N 为t ，-t +2 sin θ21-cos θt ,-t +2 sin θ21-cos θ，∵MO ⊥ON ，∴OM •ON =t 2-t +2 22=0，得t =2±2．16.(2022·全国·高三专题练习)已知椭圆W :x 24m +y 2m=1的长轴长为4，左、右顶点分别为A ,B ，经过点P (1,0)的动直线与椭圆W 相交于不同的两点C ,D (不与点A ,B 重合).(1)求椭圆W 的方程及离心率；(2)求四边形ACBD 面积的最大值；(3)若直线CB 与直线AD 相交于点M ，判断点M 是否位于一条定直线上？若是，写出该直线的方程. (结论不要求证明)【解析】(Ⅰ)由题意，得a 2=4m =4 , 解得m =1.所以椭圆W 方程为x 24+y 2=1.故a =2，b =1，c =a 2-b 2=3.所以椭圆W 的离心率e =c a =32.(Ⅱ)当直线CD 的斜率k 不存在时，由题意，得CD 的方程为x =1，代入椭圆W 的方程，得C 1,32 ，D 1,-32 ，又因为AB =2a =4，AB ⊥CD ，所以四边形ACBD 的面积S =12AB ×CD =23.当直线CD 的斜率k 存在时，设CD 的方程为y =k x -1 k ≠0 ，C x 1,y 1 ，D x 2,y 2 ，联立方程y =k x -1 ,x 24+y 2=1,消去y ，得4k 2+1 x 2-8k 2x +4k 2-4=0. 由题意，可知Δ>0恒成立，则x 1+x 2=8k 24k 2+1，x 1x 2=4k 2-44k 2+1四边形ACBD 的面积S =S ΔABC +S ΔABD =12AB ×y 1+12AB × y 2 =12AB ×y 1-y 2 =2k x 1-x 2=2k 2x 1+x 2 2-4x 1x 2 =8k 23k 2+1 4k 2+12， 设4k 2+1=t ，则四边形ACBD 的面积S =2-1t2-2t +3，1t ∈0,1 ，所以S =2-1t+1 2+4<23.综上，四边形ACBD 面积的最大值为23.(Ⅲ)结论：点M 在一条定直线上，且该直线的方程为x =4.17.(2022·全国·高三专题练习)已知F 1(-3,0),F 2(3,0)分别是椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右焦点，P 是椭圆C 上的一点，当PF 1⊥F 1F 2时，|PF 2|=2|PF 1|．(1)求椭圆C 的标准方程：(2)过点Q (-4，0)的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，点M 关于x 轴的对称点为点M ′，证明：直线NM ′过。
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高考数学核心考点深度解析圆锥曲线篇
在高考数学中，圆锥曲线一直是一个重要的考点，其涉及的知识点较为深奥，对学生的数学能力和逻辑思维能力都有很高的要求。
本文将从圆锥曲线的基本概念出发，深度解析其在高考数学中的应用，并对其中的核心考点进行逐一剖析。
一、基本概念
1. 圆锥曲线的定义：圆锥曲线是平面上的点到两个定点的距离之比等于到一个定点到一个定直线的距离的性质的点的轨迹。
2. 圆锥曲线的分类：圆锥曲线包括椭圆、双曲线和抛物线三种类型，它们分别对应着不同的几何特征和数学表达式。
二、椭圆
1. 椭圆的定义：椭圆是平面上到两个定点的距离之和等于常数的点的轨迹。
2. 椭圆的性质：椭圆具有对称性、焦点、长轴和短轴等几何特征，并且在数学上有严格的表达式和性质。
三、双曲线
1. 双曲线的定义：双曲线是平面上到两个定点的距离之差等于常数的
点的轨迹。
2. 双曲线的性质：双曲线同样具有对称性、焦点、渐近线等独特的几
何特征，其数学性质和表达式也有着明确定义。
四、抛物线
1. 抛物线的定义：抛物线是平面上到一个定点到一个定直线的距离相
等的点的轨迹。
2. 抛物线的性质：抛物线是所有圆锥曲线中最简单的一种，其几何性
质和数学表达式都具有很强的规律性和特殊性。
五、高考数学中的应用
圆锥曲线在高考数学中有着举足轻重的地位，它涉及到的知识点既有
几何直观又有严谨的数学表达，考查的内容也涵盖了平面几何、解析
几何和代数方程等多个方面。
六、核心考点解析
1. 圆锥曲线方程：掌握圆锥曲线的一般方程及标准方程是解题的基础，要熟练掌握各种类型圆锥曲线的方程形式和性质。
2. 圆锥曲线的性质：了解椭圆、双曲线和抛物线各自的特点和性质，
对其焦点、渐近线、参数方程等知识要有深入的理解。
3. 圆锥曲线的应用：掌握圆锥曲线在现实生活和工程技术中的实际应用，能够将数学知识与实际问题相结合。
七、个人观点
圆锥曲线作为高考数学的重要内容，不仅考查学生对数学知识的掌握
和运用能力，更重要的是培养学生的逻辑思维和数学素养。
通过深入
学习圆锥曲线这一高深的数学概念，可以提高学生的数学抽象思维能
力和解决实际问题的能力，对于培养学生的综合素质有着重要的意义。
总结
圆锥曲线作为高考数学的核心考点，对于考生来说是一个不可忽视的
重要内容。
通过深度解析椭圆、双曲线和抛物线的定义、性质和应用，并掌握其方程和实际问题的模型转化，可以为高考数学的成功应试提
供有力的保障。
对于学生数学素养的提高和逻辑思维能力的锻炼也有
着重要的意义。
通过本文的学习和分析，相信读者对圆锥曲线这一高考数学的重点内
容有了更深入的了解和掌握，希望各位考生能够在备战高考的道路上
取得优异的成绩！八、圆锥曲线的解题方法
在高考数学中，圆锥曲线的解题方法是考查学生对数学知识的理解和
运用能力的重要环节。
在解题过程中，可以采用以下几种方法来进行
分析和求解：
1. 代数方法：通过代数方程解析圆锥曲线的交点、切线和焦点等相关
性质，利用代数方法进行计算和推理。
2. 几何方法：通过几何图形和特殊性质来解析圆锥曲线的特点和性质，用几何直观的方式进行推理和论证。
3. 参数方程方法：通过引入参数的方法，将圆锥曲线的方程化简成参
数方程，从而更好地研究其性质和应用相关问题。
4. 实际问题转化方法：将实际问题转化为圆锥曲线的模型，并利用相
应的数学知识和方法进行分析和求解。
九、圆锥曲线的综合应用
除了在高考数学中的应用以外，圆锥曲线在实际生活和工程技术中也
有着广泛的应用。
比如在天文学中，行星轨道的形状就是椭圆或双曲线；在工程中，抛物面、抛物线、双曲曲线等都有着重要的应用价值。
了解圆锥曲线的性质和应用，有助于学生将数学知识与实际问题相结合，提高数学的实际运用能力。
十、对学生的启发
通过学习圆锥曲线这一高深的数学知识，可以培养学生的数学抽象思
维能力和解决实际问题的能力。
也可以激发学生对数学的兴趣和热爱，提高学生对数学学科的认识和理解，在培养学生的综合素质方面起到
积极的作用。
十一、教学方法和建议
针对圆锥曲线这一高深的数学概念，在教学中可以采取多种方法和手
段来提高学生的学习兴趣和情感投入，比如引导学生自主发现、启发
与引导、数学实践和游戏应用等方式。
也可以利用多媒体技术和互动
式教学手段来提高教学效果和学生的学习兴趣。
十二、结语
通过对圆锥曲线的深度解析和应用，相信学生对这一高考数学的重点
内容会有更深入的了解和掌握。
在备战高考的过程中，希望学生能够
充分利用所学知识，不断提高自身的数学素养和解题能力，取得优异
的成绩。
也希望学生能够在数学学科中保持对知识的好奇心和求知欲，不断探索和发现数学的美丽和魅力。
祝愿所有的学生在高考中取得理
想的成绩，未来的道路上茁壮成长！。