积分中值定理

积分中值定理的“中值”研究吕立平（绍兴文理学院 数学系 浙江 绍兴 312000）摘要：本文将积分中值定理中的ξ[]b a ,∈加强为()b a ,∈ξ，并给出了不同的证明方法，最后举例说明其应用．关键词：积分中值定理; 介值定理; 微分中值定理;在数学分析中学习“积分中值定理”这一内容时，常把它与微分中值定理进行比较，提出为什么微分中值定理中的“中值”()b a ,∈ξ，而积分中值定理中的“中值”[]b a ,∈ξ，能不能把积分中值定理的闭区间[]b a ,改进为开区间()b a ,呢？其实这是可以的．本文就是对这一问题进行研究。

作为解决问题的准备，首先证明一个引理．引理 设)(x f 在[]b a ,上连续且)(x f 0≥, 若∫=badx x f 0)(, 则0)(≡x f ．证明 若不然, 存在[]b a x ,0∈使得0)(0>x f , 由连续函数局部保号性，存在0x 的某邻域()δδ+−00,x x ，使∈∀x ()δδ+−00,x x 有02)()(0>≥x f x f ．（当a x =或b x =时，则考虑右邻域或左邻域），又∫∫∫∫−+−+++=ba x a x x bx dx x f dx x f dx x f dx x f δδδδ0000)()()()(，所以≥∫ba dx x f )(∫+−δδ00)(x x dx x f 0)(22)(00>=≥δδx f x f ． 这与∫=badx x f 0)(矛盾, 因此 0)(≡x f ．下面我们给出定理并证明之．定理1 （积分第一中值定理）若)(x f 在()b a ,上连续，则在()b a ,上至少存在一点ξ，使得∫−=baa b f dx x f ))(()(ξ．证明 由于)(x f 在[]b a ,上连续，根据闭区间上连续函数的性质，)(x f 在[]b a ,上存 在最大值M 与最小值m ．即 m M x f ≤≤)(,[]b a x ,∈． 有∫−≤≤−baa b M dx x f a b m )()()(．１ 若 M m =， 则)(x f 为常值函数．显然有()b a ,∈∀ξ，满足∫−=baa b f dx x f ))(()(ξ．2 若 M m < （1） 当 )()()(a b M dx x f a b m ba−<<−∫即 M a b dxx f m ba<−<∫)()(，由闭区间上连续函数的介值定理知，存在()b a ,∈ξ使得)()()(a b dxx f f ba−=∫ξ，即∫−=baa b f dx x f ))(()(ξ．（2） 当∫−=baa b m dx x f )()( 即0])([=−∫dx m x f ba，设m x f x F −=)()(，则)(x F 在 []b a ,上连续且0)(≥x F ，又由∫=badx x F 0)(． 据引理知0)(≡x F ，即m x f ≡)(．所以存在()b a ,∈ξ使得∫−=baa b f dx x f ))(()(ξ成立．（3）当∫−=baa b M dx x f )()(，证明完全类似于（2）．综上所得，在开区间()b a ,内存在ξ使得∫−=baa b f dx x f ))(()(ξ成立．前面我们提出了积分中值定理是否与微分中值定理有关系的思考，其实在一定条件下，他们之间有密切的联系．下面用微分中值定理来简单的证明上述定理．另证 作函数∫=xadt t f x F )()(，则)(x F 在[]b a ,上可导，而且)()('x f x F =，根据拉格朗日中值定理得，在()b a ,内存在一点ξ，有ab dtt f ab dtt f dt t f ab a F b F F babaaa−=−−=−−=∫∫∫)()()()()()('ξ即ab dtt f f ba−=∫)()(ξ，因此()b a ,∈∃ξ ，使得∫−=baa b f dx x f ))(()(ξ成立．对于第一积分中值定理的推广中的[]b a ,∈ξ，我们也可把它改进为()b a ,∈ξ定理2 （推广的积分第一中值定理） 若)(x f 在[]b a ,上连续，且)(x g 在[]b a ,上连续不变号，则在()b a ,内至少存在一点ξ，使得∫∫=babadx x g f dx x g x f )()()()(ξ．证明 由)(x f 在],[b a 上连续，则存在最大值、最小值m M 、．即M x f m ≤≤)(，[]b a x ,∈．又)(x g 在[]b a ,上不变号，不妨设)(x g ≥0，[]b a x ,∈，从而有)()()()(x Mg x g x f x mg ≤≤⇒∫∫∫≤≤b ab abadx x g M dx x g x f dx x g m )()()()(．1．若∫=badx x g 0)( 则由上述不等式得∫=badx x g x f 0)()(，此时显然()b a ,∈∀ξ，∫∫=bab adx x g f dx x g x f )()()()(ξ2．若∫>b adx x g 0)(（1） 当M m =时，结论显然成立． （2） 当M m <时， 如果 ∫∫∫<<bab abadx x g M dx x g x f dx x g m)()()()(， 即M dxx g dxx g x f m baba<<∫∫)()()(．由闭区间上连续函数的介值定理知，存在()b a ,∈ξ使得∫∫=babadxx g dxx g x f f )()()()(ξ，即∫∫=babadx x g f dx x g x f )()()()(ξ．如果 dx x g x f dx x g mbab a∫∫=)()()(，即∫=−badx x g m x f 0)(])([，因为∫>badx x g 0)(，必[]()b a b a ,,11⊂∃使得恒有0)(>x g ，[]11,b a x ∈．(若不然，对于任何闭子区间[]),(,b a ⊂βα上都有],[βαξ∈使0)(=ξg ．使用定积分定义便有∫=badx x g 0)( ．这与∫>b adx x g 0)(矛盾)．对于[]11,b a x ∈∀，[]0)()(≥−x g m x f ．据此必有∫=−110)(])([b a dx x g m x f ．（否则由∫≥−10)(])([a adx x g m x f ,∫>−110)(])([b a dx x g m x f ,∫≥−bb dx x g m x f 1)(])([得∫>−badx x g m x f 0)(])([．这与∫=−badx x g m x f 0)(])([矛盾．）则根据引理知[]0)()(=−x g m x f ，[]11,b a x ∈．又在[]11,b a 上0)(>x g ，所以m x f =)(，[]11,b a x ∈．因此存在[]()b a b a ,,11⊂∈∃ξ，使得∫∫=b abadx x g f dx x g x f )()()()(ξ．如果dx x g x f dx x g Mbaba∫∫=)()()( ，证明类似于前面．总之，存在()b a ,∈ξ使得∫∫=babadx x g f dx x g x f )()()()(ξ．对此同样可以用微分中值定理来证明．另证（此时需假定],[,0)(b a x x g ∈≠） 设∫=xadt t g t f x F )()()(，∫=xadt t g x G )()(．则)(x F 、)(x G 在[]b a ,上可导，且)()()('x g x f x F =，)()('x g x G =，由柯西微分中值定理，在()b a ,内存在ξ使得)()()()()(')('a G b G a F b F G F −−=ξξ，或 ∫∫=babadxx g dxx g x f g g f )()()()()()(ξξξ，即∫∫=babadxx g dxx g x f f )()()()(ξ，也就是∫∫=babadx x g f dx x g x f )()()()(ξ．下面举例应用以上定理． 例1 求∞→n limxdx n ∫2sin π解 ⎟⎠⎞⎜⎝⎛∈∀2,0πε，有ξππnn xdx sin 2sin 02 0 =≤∫，⎟⎠⎞⎜⎝⎛∈2,0πξ．由于0sinlim =∞→ξnn ，所以 ∞→n lim0sin 2=∫xdx n π．例2 证明 ∞→n lim 0110 =+∫dx xx n证明 设 xx f +=11)(,nx x g =)(, 由定理2，()1,0∈∃n ξ，使得 ndx x dx x x n n nn ++=+=+∫∫1111111110 ξξ由于011lim ,1110=+<+<∞→n n nξ，所以∞→n lim 01111lim 110 =++=+∞→∫n dx x x nn n ξ．例3 证明：如果)(x f 在[]π,0上连续，且0cos )( 0=∫πxdx x f , 则存在1ξ，2ξ且21ξξ≠使)()(21ξξf f =．证明 ==∫πcos )(0xdx x f +∫2cos )(πxdx x f ∫ππ2cos )(xdx x f+=∫201cos )(πξxdx f )()(cos )(2122ξξξππf f xdx f −=∫所以)()(21ξξf f =．其中⎟⎠⎞⎜⎝⎛∈2,01πξ，⎟⎠⎞⎜⎝⎛∈ππξ,22，21ξξ≠． 熟知，积分第二中值定理在数学分析中有非常重要的理论价值和应用价值，下面我们将这一定理的特殊情况予以推广并加以证明。

定理3 （积分第二中值定理） 若在[]b a ,上)(x f 可导且0)('≥x f ，)(x g 连续，则存在()b a ,∈ξ，使得∫=badx x g x f )()(+∫ξadx x g a f )()(∫bdx x g b f ξ)()(．证明 由于)(x g 在[]b a ,上连续，令∫=xadt t g x G )()(，则)(x G 在[]b a ,上可导，且)()(x g x G =′．又∫∫∫−==b ab a b abax df x G x G x f x dG x f x g x f )()(|)()()()()()(∫′−=badx x f x G b g b f )()()()(对于dx x f x G ba)()(′∫，使用定理2，()b a ,∈∃ξ，使得dx x f x G ba)()(′∫∫′=badx x f G )()(ξ[])()()(a f b f G −=ξ∫=ξadx x g )([])()(a f b f −所以∫=badx x g x f )()(−∫b adx x g b f )()(+∫ξadx x g b f )()(∫ξadx x g a f )()(∫=ξ )()(adx x g a f ∫+bdx x g b f )()(ξ因此结论成立．例4 证明：∞→n lim0sin =∫+dx xxpn n ()0>p证 取x x g sin )(=，xx f 1)(=，[]p n n x +∈,，据定理3，),(p n n +∈∃ξ，使得=∫+dx x xpn nsin +∫ξ sin 1n xdx n ∫++p n xdx p n sin 1ξpn p n n n ++−+−=)cos(cos cos cos ξξ 而n p n p n n n 4)cos(cos cos cos ≤++−+−ξξ，及∞→n lim 04=n ，所以0sin lim =∫+∞→dx xxpn nn ． 从上面的例子中我们可以看到运用本文的定理，简化了他们的解答过程． 作者衷心感谢汪文珑老师的精心指导．参考文献1．华东师范大学数学系．数学分析[M]．上册．高等教育出版社．291-301．2．B ．II ．吉米多维奇．数学分析习题集题解[M]．三．山东科学技术出版社．464-470．Research of the mean value point for the integral mean value theoremLv liping(Dept ．of Math ．Shaoxing College of Arts and Science ，Shaoxing ，Zhejiang ， 312000 )Abstract: This paper improves[]b a ,∈ξ to ()b a ,∈ξ on the mean value theorem for integraland proves them with different methods. Furthermore, we give some applications.Key words: the mean value theorem for integral ；the mean value theorem ；the mean value theorem for calculus;。