积分中值定理

积分中值定理的“中值”研究

吕立平

（绍兴文理学院 数学系 浙江 绍兴 312000）

摘要：本文将积分中值定理中的ξ[]b a ,∈加强为()b a ,∈ξ，并给出了不同的证明方法，最后举例

说明其应用．

关键词：积分中值定理; 介值定理; 微分中值定理;

在数学分析中学习“积分中值定理”这一内容时，常把它与微分中值定理进行比较，提出为什么微分中值定理中的“中值”()b a ,∈ξ，而积分中值定理中的“中值”[]b a ,∈ξ，能不能把积分中值定理的闭区间[]b a ,改进为开区间()b a ,呢？其实这是可以的．本文就是对这一问题进行研究。

作为解决问题的准备，首先证明一个引理．

引理 设)(x f 在[]b a ,上连续且)(x f 0≥, 若

∫

=b

a

dx x f 0)(, 则0)(≡x f ．

证明 若不然, 存在[]b a x ,0∈使得0)(0>x f , 由连续函数局部保号性，存在0x 的某邻域()δδ+−00,x x ，使∈∀x ()δδ+−00,x x 有02

)

()(0>≥x f x f ．

（当a x =或b x =时，则考虑右邻域或左邻域），又

∫

∫

∫∫

−+−+++=b

a x a x x b

x dx x f dx x f dx x f dx x f δ

δ

δ

δ

0000)()()()(，

所以

≥

∫b

a dx x f )(∫

+−δ

δ

00)(x x dx x f 0)(22

)

(00>=≥

δδx f x f ． 这与

∫

=b

a

dx x f 0)(矛盾, 因此 0)(≡x f ．

下面我们给出定理并证明之．

定理1 （积分第一中值定理）若)(x f 在()b a ,上连续，则在()b a ,上至少存在一点ξ，使得

∫

−=b

a

a b f dx x f ))(()(ξ．

证明 由于)(x f 在[]b a ,上连续，根据闭区间上连续函数的性质，)(x f 在[]b a ,上存 在最大值M 与最小值m ．即 m M x f ≤≤)(,[]b a x ,∈． 有

∫−≤≤−b

a

a b M dx x f a b m )()()(．

１ 若 M m =， 则)(x f 为常值函数．显然有()b a ,∈∀ξ，满足

∫

−=b

a

a b f dx x f ))(()(ξ．

2 若 M m < （1） 当 )()()(a b M dx x f a b m b

a

−<<

−∫

即 M a b dx

x f m b

a

<−<

∫)

()(，

由闭区间上连续函数的介值定理知，存在()b a ,∈ξ使得)

()()(a b dx

x f f b

a

−=

∫ξ，即

∫

−=b

a

a b f dx x f ))(()(ξ．

（2） 当

∫

−=b

a

a b m dx x f )()( 即

0])([=−∫dx m x f b

a

，

设m x f x F −=)()(，则)(x F 在 []b a ,上连续且0)(≥x F ，又由∫

=b

a

dx x F 0)(． 据引理

知0)(≡x F ，即m x f ≡)(．所以存在()b a ,∈ξ使得

∫

−=b

a

a b f dx x f ))(()(ξ成立．

（3）当

∫

−=b

a

a b M dx x f )()(，证明完全类似于（2）．

综上所得，在开区间()b a ,内存在ξ使得

∫

−=b

a

a b f dx x f ))(()(ξ成立．

前面我们提出了积分中值定理是否与微分中值定理有关系的思考，其实在一定条件下，

他们之间有密切的联系．下面用微分中值定理来简单的证明上述定理．

另证 作函数∫

=

x

a

dt t f x F )()(，则)(x F 在[]b a ,上可导，而且)()('x f x F =，根据拉

格朗日中值定理得，在()b a ,内存在一点ξ，有

a

b dt

t f a

b dt

t f dt t f a

b a F b F F b

a

b

a

a

a

−=

−−=

−−=∫∫

∫)()()()

()()('ξ

即a

b dt

t f f b

a

−=

∫)()(ξ，因此()b a ,∈∃ξ ，使得

∫

−=b

a

a b f dx x f ))(()(ξ成立．

对于第一积分中值定理的推广中的[]b a ,∈ξ，我们也可把它改进为()b a ,∈ξ

定理2 （推广的积分第一中值定理） 若)(x f 在[]b a ,上连续，且)(x g 在[]b a ,上连续不变号，则在()b a ,内至少存在一点ξ，使得

∫

∫=b

a

b

a

dx x g f dx x g x f )()()()(ξ．

证明 由)(x f 在],[b a 上连续，则存在最大值、最小值m M 、．即M x f m ≤≤)(，

[]b a x ,∈．又)(x g 在[]b a ,上不变号，不妨设)(x g ≥0，[]b a x ,∈，从而有