第三章 恒定故障率模型
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t0.5 = tmed = θ ( − ln 0.5 )
1
β
= θ ( 0.69315 )
1
β
3.众数 众数
tmod e
θ 1 − 1 β = 0,
(
)
1
β
, β >1
β ≤1
第四章
时间相关的故障模型
4.1 威布尔分布
假设威布尔分布的形状参数为1/3，尺度参数为16000， 例4.2 假设威布尔分布的形状参数为 ，尺度参数为 ， 试着完全刻画故障过程。 试着完全刻画故障过程。 1. 可靠度函数为
IFR或是DFR由β确定
第四章
时间相关的故障模型
当θ增加时，相同时 间点上的可靠度递增。
随着θ增加， 故障率曲线 的斜率减小。
β为多少？
第四章
时间相关的故障模型
4.1 威布尔分布
M T T F ,σ
2
1 MTTF = θ Γ 1 + β
其中Γ ( x ) = ∫ y x−1e− y dy
1
λ
− λt
σ =
2
1
λ2
第三章
恒定故障率模型
3.1 指数型可靠性函数
第三章 特点： 特点：
恒定故障率模型
3.1 指数型可靠性函数
1. 随着可靠性（MTTF）增加，故障前时间的可变性也 随着可靠性（ ）增加， 将增加。 将增加。 1 1
σ= λ
= MTTF
2. CFP部件只有略大于 的机会能够工作到故障前时间 部件只有略大于1/3的机会能够工作到故障前时间 部件只有略大于 的均值。 的均值。 R ( MTTF ) = 0.368 3. CFR部件的设计寿命可以通过求可靠度函数的反函数 部件的设计寿命可以通过求可靠度函数的反函数 得到。 得到。 即
0 ∞
Γ ( x ) = ( x − 1) Γ ( x − 1)
威布尔分布的MTTF与λ(t)没有直接关系 与 威布尔分布的 没有直接关系
2 2 1 2 2 σ = θ Γ 1 + − Γ 1 + β β
MTTF = 1 = 2941h 0.00034
tmed = 0.69315 × 2941 = 2039h
R ( t ) = e −0.00034t
R ( 30 × 24 ) = 0.78286
t0.95 = 150.86h
第三章
恒定故障率模型
3.5 泊松过程
如果故障率为常数λ的部件故障后立即被修理或更换， 如果故障率为常数λ的部件故障后立即被修理或更换， 那么在时间段0~t内发生的故障数服从什么分布？ 0~t内发生的故障数服从什么分布 那么在时间段0~t内发生的故障数服从什么分布？ 泊松分布 在时间段0~t内发生 次故障的概率为 在时间段 内发生n次故障的概率为 内发生
第三章
恒定故障率模型
泊松过程经常在库存分析中用于确定故障间隔时间服从指数 分布这类部件的备件数量。 分布这类部件的备件数量。 例如：如果在时间段0~t内有S个备件可用， 例如：如果在时间段0~t内有S个备件可用，那么在时间 0~t内有 0~t内发生不超过 内发生不超过S 段0~t内发生不超过S次故障的累积概率为
λ (t ) =
βt θ θ
β −1
, θ > 1, β > 1, t ≥ 0
第四章
时间相关的故障模型
4.1 威布尔分布
t − θ
β
R (t ) = e
f (t ) =
β θ
t θ
β −1
e
t − θ
β
β是形状参数， 它取不同值是对分布函数的影响很大； 是形状参数， 它取不同值是对分布函数的影响很大； 是形状参数 θ是尺度参数，它影响分布函数的均值和广度，也称为离 是尺度参数，它影响分布函数的均值和广度， 是尺度参数 散度。 散度。 θ也称为特征寿命，它与故障时间T的单位相同。 也称为特征寿命，它与故障时间 的单位相同。 也称为特征寿命 的单位相同
故障分布理论模型
分布类型 适用的产品
具有恒定故障率的部件， 具有恒定故障率的部件，无冗余的复杂系统， 指数分布 验并进行定期维修的部件无冗余的复杂系统，经老练试 某些电容器、滚珠轴承、继电器、开关、断路器、 威布尔分 某些电容器、滚珠轴承、继电器、开关、断路器、电子 电位计、陀螺、电动机、航空发动机、电缆、 管、电位计、陀螺、电动机、航空发动机、电缆、蓄电 布 池、材料疲劳等
R (T0 + t ) e − λ (T0 +t ) R ( t T0 ) = = − λT0 = e − λt = R ( t ) R (T0 ) e
老练时间（ 老练时间（T0）对可靠度既没有后继效应也不能 提高部件的可靠度。 提高部件的可靠度。故障前时间只与观察的工作时间 长度（ ）有关，而与使用年限（ 无关。 长度（t）有关，而与使用年限（T0）无关。
t 13 R ( t ) = exp − 16000
=1/3，故障率递减表明故障过程具有很好的早期故障。 2. β=1/3，故障率递减表明故障过程具有很好的早期故障。 3. MTTF=96000h,tmed = 5328h，因此次分布具有高倾斜性， 5328h，因此次分布具有高倾斜性， 所以用中指代替均值较为合适，因为β<1,所以众数为零 所以众数为零。 所以用中指代替均值较为合适，因为β<1,所以众数为零。 =418.4× 4. σ=418.4×103h 特征寿命为16000h 16000h， 5. 特征寿命为16000h，因此到这时侯发生的故障数占总故障 数的63% 63%。 数的63%。 B1寿命为0.0162h，表明早期故障所占比例较大。 寿命为0.0162h 6. B1寿命为0.0162h，表明早期故障所占比例较大。
R2 (10 ) = 0.9856
第四章
时间相关故障模型
1. 威布尔分布 2. 正态分布 3. 对数正态分布
第四章
时间相关的故障模型
4.1 威布尔分布
威布尔分布的故障率函数 λ ( t ) = at b
当a > 0, b > 0时，λ ( t ) 是递增的； 当a > 0, b < 0时，λ ( t ) 是递减的；
t R = 100.25h
MTTF = 886.23h
σ = 463.25h
第四章
时间相关的故障模型
4.1 威布尔分布
f (t ) =
t
− x2 2
σ
e
2σ 2
,x ≥0
第四章
时间相关的故障模型
4.1 威布尔分布
1
寿命特征 1. 设计寿命
t R = θ ( − ln R )
β
t0.99称为 寿命，t0.999称为 称为B1寿命 寿命， 称为B.1寿命。 寿命。 寿命 2. 中值
pn ( t ) =
e − λt ( λ t ) n!
n
, n = 0,1, 2,L
与时间轴上的连续故障分布不同，泊松分布是离散的。 与时间轴上的连续故障分布不同，泊松分布是离散的。 内发生故障数的均值或期望值是λt，方差也是λt。 在0~t内发生故障数的均值或期望值是 ，方差也是 。 内发生故障数的均值或期望值是
第三章
恒定故障率模型
3.1 指数型可靠性函数
故障率为常数的分布称为指数概率分布，也称之为 模型。 故障率为常数的分布称为指数概率分布，也称之为CFR模型。 指数概率分布 模型 完全由随机事件或偶然事件引发的故障服从指数概率分布。 完全由随机事件或偶然事件引发的故障服从指数概率分布。
λ (t ) = λ
β −1
, t ≥ t0
其中t 为位置参数。 其中t0为位置参数。
2 2 1 2 2 σ = θ Γ 1 + − Γ 1 + β β
方差和两参 数模型的方 法一样
1 MTTF = t0 + θ Γ 1 + β
RS ( t ) = ∑ pn ( t )
n =0
Swk.baidu.com
RS ( t )是在部件故障后立即进行更换的策略下有 个备件时 是在部件故障后立即进行更换的策略下有S个备件时 的可靠度。 的可靠度。
第三章
恒定故障率模型
某型焊接机装有一台故障率为0.05次/年的不可修发动 例3.9 某型焊接机装有一台故障率为 次 年的不可修发动 为保证正常使用公司购买了两台备用发电机。 机，为保证正常使用公司购买了两台备用发电机。如果焊接 机的设计寿命为10年，那么这两台备用发电机能够提供的保 机的设计寿命为 年 障概率是多少？ 障概率是多少？
第四章
如果β=1时， PDF曲线如 当β<1时，PDF和指数分布 何？ 在形状上十分类似。 当β较大时(β>3)，PDF在一 定程度上是对称的，类似于 正态分布。
时间相关的故障模型
当1<β<3时，PDF是倾斜的。
t = θ ⇒ R (θ ) = e −1 = 0.368
63.2%的故障都 发生在t=θ之前
R ( t ) = e − λt , t ≥ 0
其他相关联的概率函数和可靠性的估量指标， 其他相关联的概率函数和可靠性的估量指标， 表达式是什么? 即 F ( t ) , f ( t ) , MTTF , σ 2 表达式是什么?
F (t ) = 1 − e f ( t ) = λe
− λt
MTTF =
正态分布 飞机轮胎磨损及某些机械产品 对数正态 电机绕阻绝缘、半导体器件、硅晶体管、锗晶体管、直 电机绕阻绝缘、半导体器件、硅晶体管、锗晶体管、 升机旋翼叶片、飞机结构、 升机旋翼叶片、飞机结构、金属疲劳等 分布
第三章
恒定故障率模型
1.指数型可靠性函数（CFR模型） 指数型可靠性函数（ 模型） 指数型可靠性函数 模型 2. 泊松过程
第四章
时间相关的故障模型
4.1 威布尔分布
例4.1 某压缩机经历磨损过程时的线性故障率函数为
2 t λ (t ) = × = 2 ×10−6 t 1000 1000
当要求的可靠度的值为0.99时，设计寿命为多少？求平均故 时 设计寿命为多少？ 当要求的可靠度的值为 障前时间MTTF和标准差 。 和标准差σ。 障前时间 和标准差
一般情况下，通过参数的变换将三参数威布尔分布转化为 一般情况下， 两参数的威布尔分布。 两参数的威布尔分布。
第四章
时间相关的故障模型
4.2 正态分布
不是真正 的可靠度 分布函数
正态分布的PDF 正态分布的
1 ( t − u )2 1 f (t ) = exp − , −∞ < t < ∞ 2 2πσ 2 σ
第四章
时间相关的故障模型
4.1.5 三参数威布尔分布
三参数威布尔分布假设在时间t0之前没有故障发生。 三参数威布尔分布假设在时间 之前没有故障发生。
t − t0 β R ( t ) = exp − , t ≥ t0 θ
β t − t0 λ (t ) = θ θ
第三章
恒定故障率模型
3.1 指数型可靠性函数
一台微波发射机的故障率是常数，为每小时0.00034次， 例3.1 一台微波发射机的故障率是常数，为每小时 次 则MTTF、中值、可靠度函数是什么？连续工作 天的可靠度 、中值、可靠度函数是什么？连续工作30天的可靠度 为多少，可靠度为0.95的设计寿命是多少？ 为多少，可靠度为 的设计寿命是多少？ 的设计寿命是多少
对于大多数µ和 而言， 对于大多数 和σ2而言，随机变量取负值的概率是可以忽 略的，因此用正态分布近似故障过程也是可行的。 略的，因此用正态分布近似故障过程也是可行的。 正态分布的可靠度
R (t ) = ∫
∞
t
1 ( t ′ − µ )2 1 exp − dt ′ 2 2πσ 2 σ
tR = −
1
λ
ln R
第三章
恒定故障率模型
3.1 指数型可靠性函数
1
4. 中值总是小于均值。 tmed = − ln 0.5 = 0.69315MTTF 中值总是小于均值。
λ
5. CFR模型具有无记忆性，即部件的故障前时间与它已 模型具有无记忆性 模型具有无记忆性， 经工作了多长时间是没有关系的。 经工作了多长时间是没有关系的。
可靠度没有封闭形式的解，因此必须采用数值计算的方法。 可靠度没有封闭形式的解，因此必须采用数值计算的方法。
第四章
时间相关的故障模型
4.2 正态分布
同样的，故障率函数也不能写成封闭的形式。 同样的，故障率函数也不能写成封闭的形式。
1
β
= θ ( 0.69315 )
1
β
3.众数 众数
tmod e
θ 1 − 1 β = 0,
(
)
1
β
, β >1
β ≤1
第四章
时间相关的故障模型
4.1 威布尔分布
假设威布尔分布的形状参数为1/3，尺度参数为16000， 例4.2 假设威布尔分布的形状参数为 ，尺度参数为 ， 试着完全刻画故障过程。 试着完全刻画故障过程。 1. 可靠度函数为
IFR或是DFR由β确定
第四章
时间相关的故障模型
当θ增加时，相同时 间点上的可靠度递增。
随着θ增加， 故障率曲线 的斜率减小。
β为多少？
第四章
时间相关的故障模型
4.1 威布尔分布
M T T F ,σ
2
1 MTTF = θ Γ 1 + β
其中Γ ( x ) = ∫ y x−1e− y dy
1
λ
− λt
σ =
2
1
λ2
第三章
恒定故障率模型
3.1 指数型可靠性函数
第三章 特点： 特点：
恒定故障率模型
3.1 指数型可靠性函数
1. 随着可靠性（MTTF）增加，故障前时间的可变性也 随着可靠性（ ）增加， 将增加。 将增加。 1 1
σ= λ
= MTTF
2. CFP部件只有略大于 的机会能够工作到故障前时间 部件只有略大于1/3的机会能够工作到故障前时间 部件只有略大于 的均值。 的均值。 R ( MTTF ) = 0.368 3. CFR部件的设计寿命可以通过求可靠度函数的反函数 部件的设计寿命可以通过求可靠度函数的反函数 得到。 得到。 即
0 ∞
Γ ( x ) = ( x − 1) Γ ( x − 1)
威布尔分布的MTTF与λ(t)没有直接关系 与 威布尔分布的 没有直接关系
2 2 1 2 2 σ = θ Γ 1 + − Γ 1 + β β
MTTF = 1 = 2941h 0.00034
tmed = 0.69315 × 2941 = 2039h
R ( t ) = e −0.00034t
R ( 30 × 24 ) = 0.78286
t0.95 = 150.86h
第三章
恒定故障率模型
3.5 泊松过程
如果故障率为常数λ的部件故障后立即被修理或更换， 如果故障率为常数λ的部件故障后立即被修理或更换， 那么在时间段0~t内发生的故障数服从什么分布？ 0~t内发生的故障数服从什么分布 那么在时间段0~t内发生的故障数服从什么分布？ 泊松分布 在时间段0~t内发生 次故障的概率为 在时间段 内发生n次故障的概率为 内发生
第三章
恒定故障率模型
泊松过程经常在库存分析中用于确定故障间隔时间服从指数 分布这类部件的备件数量。 分布这类部件的备件数量。 例如：如果在时间段0~t内有S个备件可用， 例如：如果在时间段0~t内有S个备件可用，那么在时间 0~t内有 0~t内发生不超过 内发生不超过S 段0~t内发生不超过S次故障的累积概率为
λ (t ) =
βt θ θ
β −1
, θ > 1, β > 1, t ≥ 0
第四章
时间相关的故障模型
4.1 威布尔分布
t − θ
β
R (t ) = e
f (t ) =
β θ
t θ
β −1
e
t − θ
β
β是形状参数， 它取不同值是对分布函数的影响很大； 是形状参数， 它取不同值是对分布函数的影响很大； 是形状参数 θ是尺度参数，它影响分布函数的均值和广度，也称为离 是尺度参数，它影响分布函数的均值和广度， 是尺度参数 散度。 散度。 θ也称为特征寿命，它与故障时间T的单位相同。 也称为特征寿命，它与故障时间 的单位相同。 也称为特征寿命 的单位相同
故障分布理论模型
分布类型 适用的产品
具有恒定故障率的部件， 具有恒定故障率的部件，无冗余的复杂系统， 指数分布 验并进行定期维修的部件无冗余的复杂系统，经老练试 某些电容器、滚珠轴承、继电器、开关、断路器、 威布尔分 某些电容器、滚珠轴承、继电器、开关、断路器、电子 电位计、陀螺、电动机、航空发动机、电缆、 管、电位计、陀螺、电动机、航空发动机、电缆、蓄电 布 池、材料疲劳等
R (T0 + t ) e − λ (T0 +t ) R ( t T0 ) = = − λT0 = e − λt = R ( t ) R (T0 ) e
老练时间（ 老练时间（T0）对可靠度既没有后继效应也不能 提高部件的可靠度。 提高部件的可靠度。故障前时间只与观察的工作时间 长度（ ）有关，而与使用年限（ 无关。 长度（t）有关，而与使用年限（T0）无关。
t 13 R ( t ) = exp − 16000
=1/3，故障率递减表明故障过程具有很好的早期故障。 2. β=1/3，故障率递减表明故障过程具有很好的早期故障。 3. MTTF=96000h,tmed = 5328h，因此次分布具有高倾斜性， 5328h，因此次分布具有高倾斜性， 所以用中指代替均值较为合适，因为β<1,所以众数为零 所以众数为零。 所以用中指代替均值较为合适，因为β<1,所以众数为零。 =418.4× 4. σ=418.4×103h 特征寿命为16000h 16000h， 5. 特征寿命为16000h，因此到这时侯发生的故障数占总故障 数的63% 63%。 数的63%。 B1寿命为0.0162h，表明早期故障所占比例较大。 寿命为0.0162h 6. B1寿命为0.0162h，表明早期故障所占比例较大。
R2 (10 ) = 0.9856
第四章
时间相关故障模型
1. 威布尔分布 2. 正态分布 3. 对数正态分布
第四章
时间相关的故障模型
4.1 威布尔分布
威布尔分布的故障率函数 λ ( t ) = at b
当a > 0, b > 0时，λ ( t ) 是递增的； 当a > 0, b < 0时，λ ( t ) 是递减的；
t R = 100.25h
MTTF = 886.23h
σ = 463.25h
第四章
时间相关的故障模型
4.1 威布尔分布
f (t ) =
t
− x2 2
σ
e
2σ 2
,x ≥0
第四章
时间相关的故障模型
4.1 威布尔分布
1
寿命特征 1. 设计寿命
t R = θ ( − ln R )
β
t0.99称为 寿命，t0.999称为 称为B1寿命 寿命， 称为B.1寿命。 寿命。 寿命 2. 中值
pn ( t ) =
e − λt ( λ t ) n!
n
, n = 0,1, 2,L
与时间轴上的连续故障分布不同，泊松分布是离散的。 与时间轴上的连续故障分布不同，泊松分布是离散的。 内发生故障数的均值或期望值是λt，方差也是λt。 在0~t内发生故障数的均值或期望值是 ，方差也是 。 内发生故障数的均值或期望值是
第三章
恒定故障率模型
3.1 指数型可靠性函数
故障率为常数的分布称为指数概率分布，也称之为 模型。 故障率为常数的分布称为指数概率分布，也称之为CFR模型。 指数概率分布 模型 完全由随机事件或偶然事件引发的故障服从指数概率分布。 完全由随机事件或偶然事件引发的故障服从指数概率分布。
λ (t ) = λ
β −1
, t ≥ t0
其中t 为位置参数。 其中t0为位置参数。
2 2 1 2 2 σ = θ Γ 1 + − Γ 1 + β β
方差和两参 数模型的方 法一样
1 MTTF = t0 + θ Γ 1 + β
RS ( t ) = ∑ pn ( t )
n =0
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RS ( t )是在部件故障后立即进行更换的策略下有 个备件时 是在部件故障后立即进行更换的策略下有S个备件时 的可靠度。 的可靠度。
第三章
恒定故障率模型
某型焊接机装有一台故障率为0.05次/年的不可修发动 例3.9 某型焊接机装有一台故障率为 次 年的不可修发动 为保证正常使用公司购买了两台备用发电机。 机，为保证正常使用公司购买了两台备用发电机。如果焊接 机的设计寿命为10年，那么这两台备用发电机能够提供的保 机的设计寿命为 年 障概率是多少？ 障概率是多少？
第四章
如果β=1时， PDF曲线如 当β<1时，PDF和指数分布 何？ 在形状上十分类似。 当β较大时(β>3)，PDF在一 定程度上是对称的，类似于 正态分布。
时间相关的故障模型
当1<β<3时，PDF是倾斜的。
t = θ ⇒ R (θ ) = e −1 = 0.368
63.2%的故障都 发生在t=θ之前
R ( t ) = e − λt , t ≥ 0
其他相关联的概率函数和可靠性的估量指标， 其他相关联的概率函数和可靠性的估量指标， 表达式是什么? 即 F ( t ) , f ( t ) , MTTF , σ 2 表达式是什么?
F (t ) = 1 − e f ( t ) = λe
− λt
MTTF =
正态分布 飞机轮胎磨损及某些机械产品 对数正态 电机绕阻绝缘、半导体器件、硅晶体管、锗晶体管、直 电机绕阻绝缘、半导体器件、硅晶体管、锗晶体管、 升机旋翼叶片、飞机结构、 升机旋翼叶片、飞机结构、金属疲劳等 分布
第三章
恒定故障率模型
1.指数型可靠性函数（CFR模型） 指数型可靠性函数（ 模型） 指数型可靠性函数 模型 2. 泊松过程
第四章
时间相关的故障模型
4.1 威布尔分布
例4.1 某压缩机经历磨损过程时的线性故障率函数为
2 t λ (t ) = × = 2 ×10−6 t 1000 1000
当要求的可靠度的值为0.99时，设计寿命为多少？求平均故 时 设计寿命为多少？ 当要求的可靠度的值为 障前时间MTTF和标准差 。 和标准差σ。 障前时间 和标准差
一般情况下，通过参数的变换将三参数威布尔分布转化为 一般情况下， 两参数的威布尔分布。 两参数的威布尔分布。
第四章
时间相关的故障模型
4.2 正态分布
不是真正 的可靠度 分布函数
正态分布的PDF 正态分布的
1 ( t − u )2 1 f (t ) = exp − , −∞ < t < ∞ 2 2πσ 2 σ
第四章
时间相关的故障模型
4.1.5 三参数威布尔分布
三参数威布尔分布假设在时间t0之前没有故障发生。 三参数威布尔分布假设在时间 之前没有故障发生。
t − t0 β R ( t ) = exp − , t ≥ t0 θ
β t − t0 λ (t ) = θ θ
第三章
恒定故障率模型
3.1 指数型可靠性函数
一台微波发射机的故障率是常数，为每小时0.00034次， 例3.1 一台微波发射机的故障率是常数，为每小时 次 则MTTF、中值、可靠度函数是什么？连续工作 天的可靠度 、中值、可靠度函数是什么？连续工作30天的可靠度 为多少，可靠度为0.95的设计寿命是多少？ 为多少，可靠度为 的设计寿命是多少？ 的设计寿命是多少
对于大多数µ和 而言， 对于大多数 和σ2而言，随机变量取负值的概率是可以忽 略的，因此用正态分布近似故障过程也是可行的。 略的，因此用正态分布近似故障过程也是可行的。 正态分布的可靠度
R (t ) = ∫
∞
t
1 ( t ′ − µ )2 1 exp − dt ′ 2 2πσ 2 σ
tR = −
1
λ
ln R
第三章
恒定故障率模型
3.1 指数型可靠性函数
1
4. 中值总是小于均值。 tmed = − ln 0.5 = 0.69315MTTF 中值总是小于均值。
λ
5. CFR模型具有无记忆性，即部件的故障前时间与它已 模型具有无记忆性 模型具有无记忆性， 经工作了多长时间是没有关系的。 经工作了多长时间是没有关系的。
可靠度没有封闭形式的解，因此必须采用数值计算的方法。 可靠度没有封闭形式的解，因此必须采用数值计算的方法。
第四章
时间相关的故障模型
4.2 正态分布
同样的，故障率函数也不能写成封闭的形式。 同样的，故障率函数也不能写成封闭的形式。