几何概型常见题型归纳
几何概型的典型题型
几何概型的典型题型一、长度比（包括弧长比）１、Ａ、Ｐ分别是一圆上的定点和一动点，求ＡＰ线段长超过此圆内接正三角形的边长的概率。
作圆内接等边三角形ＡＢＣ，可知满足条件的点落在劣弧ＢＣ上，故概率等于弧长比，等于1/3。
２、Ｐ为三角形ＡＢＣ的边ＢＣ上任一点，求使三角形ＡＰＣ的面积大于三角形ＡＢＣ的面积的三分之一的概率。
取ＢＣ边靠近Ｃ点的三等分点Ｍ，则满足条件的Ｐ点组成线段ＡＭ，故概率等于长度比，等于2/3。
二、角度比（转化为角所在区间长度比）3、一被三等分成三个相等的扇形的质地均匀的圆盘，被过圆心的轴固定。
现用力转动圆盘，求从圆心指向外的一固定指针落在其中指定的一个扇形内的概率。
这个题中可设指针与圆中的某个扇形的一边所在的半径为始边，指针所在的射线为终边形成一个角。
将圆盘转动的整圈数去掉，只考虑最后不大于一圈的情况，指针可能落在这最后一周角内的任意位置，其角度分布区间为[０，３６０]（单位为度），但要指针落在其中一个扇形中，其对应角范围如[１２０，２４０]（单位为度），则所求的概率为（２４０－１２０）/（３６０－０）＝１/３。
三、面积比4、一组平行线，任两相邻的两条相距３cm，现向其所在平面任投一枚半径为１cm 的硬币，求硬币与平行线不接触的概率。
先简化为只有两条平行线，投的硬币所在圆心落在这两条线围成的条形区域中。
现要求不与两线接触，则圆心到两线的距离应试大于1cm，故圆心应落在两线中间的条形区域中加两条与它们平等行的直线且将已知和区域等分成三等份的中间的一个区域中，故所求概率等于面积比，等于1/3。
5、向一三角形ＡＢＣ内任意投一点Ｐ，求三角形ＰＢＣ的面积小于等于三角形ＡＢＣ面积一半的概率。
由于两三角形同底ＢＣ，故只要求三角形ＰＢＣ的高小于等于三角形ＡＢＣ的相应高的一半，即Ｐ点到ＢＣ的距离小于等于原高的一半，故Ｐ点组成三角形ＡＢＣ内与ＢＣ平行的一条中位线与ＢＣ边之间的部分。
故概率等于面积比，等于3/4。
考点五十 几何概型学生
考点五十 几何概型知识梳理1．几何概型如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型．2．几何概型的概率公式P (A )＝构成事件A 的区域长度（面积或体积）试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）3．几何概型的两个特点几何概型有两个特点：一是无限性；二是等可能性．4．几何概型与古典概型的区别古典概型与几何概型中基本事件发生的可能性都是相等的，但古典概型要求基本事件有有限个，而几何概型则是无限个．典例剖析题型一 与长度有关的几何概型例1 (2014·高考湖南卷)在区间[－2，3]上随机选取一个数X ，则X ≤1的概率为( ) A. 45 B. 35 C. 25 D. 15变式训练 (2015山东文)在区间[0,2]上随机地取一个数x ，则事件“－1≤log 12⎝⎛⎭⎫x ＋12≤1”发生的概率为( )A. 34B. 23C. 13D. 14解题要点 基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，但它们所占据的区域都是有限的，因此可用“比例解法”求解几何概型的概率．题型二 与面积有关的几何概型例2 (2014·高考辽宁卷) 若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD 中，其中AB ＝2，BC ＝1，则质点落在以AB 为直径的半圆内的概率是( )A. π2B. π4C. π6D. π8变式训练 (2015福建文)如图，矩形ABCD 中，点A 在x 轴上，点B 的坐标为(1,0)，且点C与点D 在函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≥0，－12x ＋1，x ＜0的图象上．若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于( )A. 16B. 14C. 38D. 12解题要点 求解与面积有关的几何概型的注意点：求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积以求面积，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到试验全部结果构成的平面图形，以便求解． 题型三 与体积有关的几何概型例3 在棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点O 为底面ABCD 的中心，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为( )A. π12 B ．1－π12 C. π6 D ．1－π6变式训练 有一个底面圆的半径为1、高为2的圆柱，点O 为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为________．解题要点 对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间)，对于某些较复杂的也可利用其对立事件去求．当堂练习1．(2015陕西文)设复数z ＝(x －1)＋y i(x ，y ∈R )，若|z |≤1，则y ≥x 的概率为( ) A. 34＋12π B. 12＋1π C. 14－12π D. 12－1π2．一只蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为( )A. 4π81B. 81－4π81C. 127D. 8273. 在区间⎣⎡⎦⎤－π2，π2上随机取一个x ，sin x 的值介于－12与12之间的概率为( ) A. 13 B. 2π C. 12 D. 234．在[－2,3]上随机取一个数x ，则(x ＋1)(x －3)≤0的概率为( )A. 25B. 14C. 35D. 455．利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a ，则事件“3a －1＞0”发生的概率为__________．课后作业一、 选择题1．在长为10cm 的线段AB 上任取一点P ，并以线段AP 为边作正方形，这个正方形的面积介于25cm 2与49cm 2之间的概率为( )A. 25 B ．15、 C. 45 D ．3102．在区间(10,20]内的所有实数中，随机取一个实数a ，则这个实数a <13的概率是( ) A. 13 B ．17 C. 310 D ．7103．在长为12cm 的线段AB 上任取一点C ，现作一矩形，邻边长分别等于线段AC ，CB 的长，则该矩形面积小于32cm 2的概率为( )A. 16 B ．13 C. 23 D ．454．如图，一个矩形的长为5，宽为2，在矩形内随机的撒300颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为138颗，则我们可以估计出阴影部分的面积约为( )A. 235 B ．215 C. 195 D ．1655．假设△ABC 为圆的内接正三角形，向该圆内投一点，则点落在△ABC 内的概率( )A. 334π B ．2π C. 4π D ．33π46．一只蚂蚁在一直角边长为1cm 的等腰直角三角形ABC (∠B ＝90°)的边上爬行，则蚂蚁距A 点不超过1cm 的概率为( )A ．22B ．23C ．2－ 3D ．2－ 2 7．(2015湖北文)在区间[0,1]上随机取两个数x ，y ，记p 1为事件“x ＋y ≤12”的概率，p 2为事件“xy ≤12”的概率，则( ) A ．p 1<p 2<12 B ．p 2<12<p 1 C.12<p 2<p 1 D ．p 1<12<p 2 二、填空题8．在区间[20,80]内任取一个实数m ，则实数m 落在区间[50,75]内的概率为________．9．(2013·湖北卷)在区间[－2,4]上随机地取一个数x ，若x 满足|x |≤m 的概率为56，则m ＝________.10． (2014·福建文)如图所示，在边长为1的正方形中随机撒1 000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为________．11．取一个边长为2a 的正方形及其内切圆如图，随机向正方形内丢一粒豆子，豆子落入圆内的概率为______________________．三、解答题12．已知关于x 的一元二次方程x 2－2(a －2)x －b 2＋16＝0.(1)若a ，b 是一枚骰子掷两次所得到的点数，求方程有两正根的概率；(2)若a ∈[2,6]，b ∈[0,4]，求方程没有实根的概率．13．已知集合A ＝[－2，2]，B ＝[－1，1]，设M ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈B }，在集合M 内随机取出一个元素(x ，y )．(1)求以(x ，y )为坐标的点落在圆x 2＋y 2＝1内的概率；(2)求以(x ，y )为坐标的点到直线x ＋y ＝0的距离不大于22的概率．。
高一 几何概型知识点+例题+练习 含答案
1．几何概型的概念设D是一个可度量的区域(例如线段、平面图形、立体图形等)，每个基本事件可以视为从区域D内随机地取一点，区域D内的每一点被取到的机会都一样；随机事件A的发生可以视为恰好取到区域D内的某个指定区域d中的点．这时，事件A发生的概率与d的测度(长度、面积、体积等)成正比，与d的形状和位置无关．我们把满足这样条件的概率模型称为几何概型．2．几何概型的概率计算公式一般地，在几何区域D中随机地取一点，记事件“该点落在其内部一个区域d内”为事件A，则事件A发生的概率P(A)＝d的测度D的测度.3．要切实理解并掌握几何概型试验的两个基本特点(1)无限性：在一次试验中，可能出现的结果有无限多个；(2)等可能性：每个结果的发生具有等可能性．4．随机模拟方法(1)使用计算机或者其他方式进行的模拟试验，以便通过这个试验求出随机事件的概率的近似值的方法就是模拟方法．(2)用计算机或计算器模拟试验的方法为随机模拟方法．这个方法的基本步骤是①用计算器或计算机产生某个范围内的随机数，并赋予每个随机数一定的意义；②统计代表某意义的随机数的个数M和总的随机数个数N；③计算频率f n(A)＝MN作为所求概率的近似值．【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)在一个正方形区域内任取一点的概率是零．(√)(2)几何概型中，每一个基本事件就是从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中的每一点被取到的机会相等．( √ )(3)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形．( √ ) (4)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率．( √ ) (5)与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关．( × ) (6)从区间[1,10]内任取一个数，取到1的概率是P ＝19.( × )1．(教材改编)在线段[0,3]上任投一点，则此点坐标小于1的概率为________． 答案 13解析 坐标小于1的区间为[0,1]，长度为1，[0,3]区间长度为3，故所求概率为13.2．(2015·山东改编)在区间[0,2]上随机地取一个数x ，则事件“－1≤12log ⎝⎛⎭⎫x ＋12≤1”发生的概率为________． 答案 34解析 ∵由－1≤12log ⎝⎛⎭⎫x ＋12≤1，得12≤x ＋12≤2， ∴0≤x ≤32.∴由几何概型的概率计算公式得所求概率 P ＝32－02－0＝34.3．(2014·辽宁改编)若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD 中，其中AB ＝2，BC ＝1，则质点落在以AB 为直径的半圆内的概率是________． 答案 π4解析 设质点落在以AB 为直径的半圆内为事件A ， 则P (A )＝阴影面积长方形面积＝12π·121×2＝π4.4．(2014·福建)如图，在边长为1的正方形中随机撒1 000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为________．答案 0.18解析 由题意知，这是个几何概型问题， S 阴S 正＝1801 000＝0.18， ∵S 正＝1，∴S 阴＝0.18.5．(教材改编)如图，圆中有一内接等腰三角形．假设你在图中随机撒一把黄豆，则它落在阴影部分的概率为________． 答案 1π解析 设圆的半径为R ，由题意知圆内接三角形为等腰直角三角形，其直角边长为2R ，则所求事件的概率为： P ＝S 阴S 圆＝12×2R ×2R πR 2＝1π.题型一 与长度、角度有关的几何概型例1 (1)(2015·重庆)在区间[0,5]上随机地选择一个数p ，则方程x 2＋2px ＋3p －2＝0有两个负根的概率为________．(2)(2015·烟台模拟)在区间[－π2，π2]上随机取一个数x ，则cos x 的值介于0到12之间的概率为________． 答案 (1)23 (2)13解析 (1)方程x 2＋2px ＋3p －2＝0有两个负根，则有⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，x 1＋x 2＜0，x 1·x 2＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧4p 2－4(3p －2)≥0，－2p ＜0，3p －2＞0，解得p ≥2或23＜p ≤1，又p ∈[0,5]，则所求概率为P ＝3＋135＝1035＝23.(2)当－π2≤x ≤π2时，由0≤cos x ≤12，得－π2≤x ≤－π3或π3≤x ≤π2，根据几何概型概率公式得所求概率为13.(3)如图所示，在△ABC 中，∠B ＝60°，∠C ＝45°，高AD ＝3，在∠BAC 内作射线AM 交BC 于点M ，求BM <1的概率． 解 因为∠B ＝60°，∠C ＝45°，所以∠BAC ＝75°. 在Rt △ABD 中，AD ＝3，∠B ＝60°， 所以BD ＝AD tan 60°＝1，∠BAD ＝30°.记事件N 为“在∠BAC 内作射线AM 交BC 于点M ，使BM <1”，则可得∠BAM <∠BAD 时事件N 发生．由几何概型的概率公式，得：P (N )＝30°75°＝25.引申探究1．本例(2)中，若将“cos x 的值介于0到12”改为“cos x 的值介于0到32”，则概率如何？解 当－π2≤x ≤π2时，由0≤cos x ≤32，得－π2≤x ≤－π6或π6≤x ≤π2，根据几何概型概率公式得所求概率为23.2．若本例(3)中“在∠BAC 内作射线AM 交BC 于点M ”改为“在线段BC 上找一点M ”，求BM <1的概率．解 依题意知BC ＝BD ＋DC ＝1＋3，P (BM <1)＝11＋3＝3－12.思维升华 求解与长度、角度有关的几何概型的方法求与长度(角度)有关的几何概型的概率的方法是把题中所表示的几何模型转化为长度(角度)，然后求解．要特别注意“长度型”与“角度型”的不同．解题的关键是构建事件的区域(长度或角度)．(1)如图，在直角坐标系内，射线OT 落在30°角的终边上，任作一条射线OA ，则射线OA 落在∠yOT 内的概率为________．(2)已知集合A ＝{x |－1<x <5}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x －23－x >0，在集合A 中任取一个元素x ，则事件“x ∈(A ∩B )”的概率是________． 答案 (1)16 (2)16解析 (1)如题图，因为射线OA 在坐标系内是等可能分布的，所以OA 落在∠yOT 内的概率为60°360°＝16. (2)由题意得A ＝{x |－1<x <5}，B ＝{}x | 2<x <3，故A ∩B ＝{x |2<x <3}．由几何概型知，在集合A 中任取一个元素x ，则x ∈(A ∩B )的概率为P ＝16.题型二 与面积有关的几何概型命题点1 与平面图形面积有关的问题例2 (2015·福建改编)如图，矩形ABCD 中，点A 在x 轴上，点B 的坐标为(1,0)，且点C 与点D 在函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≥0，－12x ＋1，x ＜0的图象上．若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于________． 答案 14解析 由图形知C (1,2)，D (－2,2)，∵S 四边形ABCD ＝6，S 阴＝12×3×1＝32.∴P ＝326＝14.命题点2 与线性规划知识交汇命题的问题例3 (2014·重庆)某校早上8：00开始上课，假设该校学生小张与小王在早上7：30～7：50之间到校，且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的，则小张比小王至少早5分钟到校的概率为________． 答案932解析 设小张与小王的到校时间分别为7：00后第x 分钟，第y 分钟，根据题意可画出图形，如图所示，则总事件所占的面积为(50－30)2＝400.小张比小王至少早5分钟到校表示的事件A ＝{(x ，y )|y －x ≥5,30≤x ≤50,30≤y ≤50}，如图中阴影部分所示，阴影部分所占的面积为12×15×15＝2252，所以小张比小王至少早5分钟到校的概率为P (A )＝2252400＝932.思维升华 求解与面积有关的几何概型的注意点求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到全部试验结果构成的平面图形，以便求解．(1)在区间[－π，π]内随机取出两个数分别记为a ，b ，则函数f (x )＝x 2＋2ax －b 2＋π2有零点的概率为________．(2)(2014·湖北改编)由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，y ≥0，y －x －2≤0确定的平面区域记为Ω1，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤1，x ＋y ≥－2确定的平面区域为Ω2，在Ω1中随机取一点，则该点恰好在Ω2内的概率为________． 答案 (1)1－π4 (2)78解析 (1)由函数f (x )＝x 2＋2ax －b 2＋π2有零点， 可得Δ＝(2a )2－4(－b 2＋π2)≥0，整理得a 2＋b 2≥π2， 如图所示，(a ，b )可看成坐标平面上的点，试验的全部结果构成的区域为 Ω＝{(a ，b )|－π≤a ≤π，－π≤b ≤π}， 其面积S Ω＝(2π)2＝4π2. 事件A 表示函数f (x )有零点，所构成的区域为M ＝{(a ，b )|a 2＋b 2≥π2}， 即图中阴影部分，其面积为S M ＝4π2－π3，故P (A )＝S M S Ω＝4π2－π34π2＝1－π4.(2)如图，平面区域Ω1就是三角形区域OAB ，平面区域Ω2与平面区域Ω1的重叠部分就是区域OACD ，易知C (－12，32)，故由几何概型的概率公式，得所求概率P ＝S 四边形OACD S △OAB ＝2－142＝78.题型三 与体积有关的几何概型例4 在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点O 为底面ABCD 的中心，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1 内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为________． 答案 1－π12解析 V 正＝23＝8，V 半球＝12×43π×13＝23π，V 半球V 正＝2π8×3＝π12， 故点P 到O 的距离大于1的概率为1－π12.思维升华 求解与体积有关问题的注意点对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间)，对于某些较复杂的也可利用其对立事件去求．如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，有一动点在此长方体内随机运动，则此动点在三棱锥A －A 1BD 内的概率为________．答案 16解析 因为11A A BD A ABD V V －－＝＝13·S △ABD ·AA 1＝16·S矩形ABCD ·AA 1＝16V 长方体，故所求概率为1A A BD V V －长方体＝16.12．混淆长度型与面积型几何概型致误典例 (14分)在长度为1的线段上任取两点，将线段分成三段，试求这三条线段能构成三角形的概率．易错分析 不能正确理解题意，无法找出准确的几何度量来计算概率． 规范解答解 设x 、y 表示三段长度中的任意两个． 因为是长度，所以应有0<x <1,0<y <1,0<x ＋y <1，即(x ，y )对应着坐标系中以(0,1)、(1,0)和(0,0)为顶点的三角形内的点，如图所示．[6分]要形成三角形，由构成三角形的条件知 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y >1－x －y ，1－x －y >x －y ，1－x －y >y －x ，所以x <12，y <12，且x ＋y >12，故图中阴影部分符合构成三角形的条件．[10分] 因为阴影部分的三角形的面积占大三角形面积的14，故这三条线段能构成三角形的概率为14.[14分]温馨提醒 解决几何概型问题的易误点：(1)不能正确判断事件是古典概型还是几何概型，导致错误．(2)利用几何概型的概率公式时，忽视验证事件是否具有等可能性，导致错误．[方法与技巧]1．区分古典概型和几何概型最重要的是看基本事件的个数是有限个还是无限个． 2．转化思想的应用对一个具体问题，可以将其几何化，如建立坐标系将试验结果和点对应，然后利用几何概型概率公式．(1)一般地，一个连续变量可建立与长度有关的几何概型，只需把这个变量放在坐标轴上即可； (2)若一个随机事件需要用两个变量来描述，则可用这两个变量的有序实数对来表示它的基本事件，然后利用平面直角坐标系就能顺利地建立与面积有关的几何概型；(3)若一个随机事件需要用三个连续变量来描述，则可用这三个变量组成的有序数组来表示基本事件，利用空间直角坐标系建立与体积有关的几何概型． [失误与防范]1．准确把握几何概型的“测度”是解题关键；2．几何概型中，线段的端点、图形的边框是否包含在事件之内不影响所求结果．A 组 专项基础训练 (时间：40分钟)1．(2014·湖南改编)在区间[－2,3]上随机选取一个数X ，则X ≤1的概率为________． 答案 35解析 在区间[－2,3]上随机选取一个数X ，则X ≤1，即－2≤X ≤1的概率为P ＝35.2．在区间[－1,4]内取一个数x ，则2x －x 2≥14的概率是________．答案 35解析 不等式22x x －≥14，可化为x 2－x －2≤0， 则－1≤x ≤2，故所求概率为2－(－1)4－(－1)＝35.3．已知△ABC 中，∠ABC ＝60°，AB ＝2，BC ＝6，在BC 上任取一点D ，则使△ABD 为钝角三角形的概率为__________． 答案 12解析 如图，当BE ＝1时，∠AEB 为直角，则点D 在线段BE (不包含B 、E 点)上时，△ABD 为钝角三角形；当BF ＝4时，∠BAF 为直角，则点D在线段CF (不包含C 、F 点)上时，△ABD 为钝角三角形．所以△ABD 为钝角三角形的概率为1＋26＝12. 4．设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2，0≤y ≤2表示的平面区域为D ，在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是__________．答案 1－π4解析 如图所示，正方形OABC 及其内部为不等式组表示的区域D ，且区域D 的面积为4，而阴影部分表示的是区域D 内到坐标原点的距离大于2的区域．易知该阴影部分的面积为4－π.因此满足条件的概率是1－π4. 5．已知一只蚂蚁在边长分别为5,12,13的三角形的边上随机爬行，则其恰在离三个顶点的距离都大于1的地方的概率为________．答案 45解析 由题意可知，三角形的三条边长的和为5＋12＋13＝30，而蚂蚁要在离三个顶点的距离都大于1的地方爬行，则它爬行的区域长度为3＋10＋11＝24，根据几何概型的概率计算公式可得所求概率为2430＝45. 6．有一个底面圆的半径为1、高为2的圆柱，点O 为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为________．答案 23解析 V 圆柱＝2π，V 半球＝12×43π×13＝23π， V 半球V 圆柱＝13， 故点P 到O 的距离大于1的概率为23.7．在区间[1,5]和[2,4]上分别各取一个数，记为m 和n ，则方程x 2m 2＋y 2n 2＝1表示焦点在x 轴上的椭圆的概率是________． 答案 12 解析 ∵方程x 2m 2＋y 2n2＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，∴m >n . 如图，由题意知，在矩形ABCD 内任取一点Q (m ，n )，点Q 落在阴影部分的概率即为所求的概率，易知直线m ＝n 恰好将矩形平分，∴所求的概率为P ＝12. 8．随机地向半圆0<y <2ax －x 2(a 为正常数)内掷一点，点落在圆内任何区域的概率与区域的面积成正比，则原点与该点的连线与x 轴的夹角小于π4的概率为______． 答案 12＋1π解析 半圆域如图所示：设A 表示事件“原点与该点的连线与x 轴的夹角小于π4，由几何概型的概率计算公式得P (A )＝A 的面积半圆的面积＝14πa 2＋12a 212πa 2＝12＋1π. 9．随机向边长为5,5,6的三角形中投一点P ，则点P 到三个顶点的距离都不小于1的概率是________．答案 24－π24解析 由题意作图，如图则点P 应落在深色阴影部分，S 三角形＝12×6×52－32＝12，三个小扇形可合并成一个半圆，故其面积为π2，故点P 到三个顶点的距离都不小于1的概率为12－π212＝24－π24. 10．已知向量a ＝(－2,1)，b ＝(x ，y )．(1)若x ，y 分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6)先后抛掷两次时第一次、第二次出现的点数，求满足a ·b ＝－1的概率；(2)若x ，y 在连续区间[1,6]上取值，求满足a ·b <0的概率．解 (1)将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次，所包含的基本事件总数为6×6＝36(个)； 由a ·b ＝－1有－2x ＋y ＝－1，所以满足a ·b ＝－1的基本事件为(1,1)，(2,3)，(3,5)，共3个；故满足a ·b ＝－1的概率为336＝112. (2)若x ，y 在连续区间[1,6]上取值，则全部基本事件的结果为Ω＝{(x ，y )|1≤x ≤6,1≤y ≤6}；满足a ·b <0的基本事件的结果为A ＝{(x ，y )|1≤x ≤6,1≤y ≤6且－2x ＋y <0}；画出图形如图，矩形的面积为S 矩形＝25，阴影部分的面积为S 阴影＝25－12×2×4＝21， 故满足a ·b <0的概率为2125. B 组 专项能力提升(时间：30分钟)11．一个长方体空屋子，长，宽，高分别为5米，4米，3米，地面三个角上各装有一个捕蝇器(大小忽略不计)，可捕捉距其一米空间内的苍蝇，若一只苍蝇从位于另外一角处的门口飞入，并在房间内盘旋，则苍蝇被捕捉的概率是________．答案 π120解析 屋子的体积为5×4×3＝60立方米，捕蝇器能捕捉到的空间体积为18×43π×13×3＝π2立方米．故苍蝇被捕捉的概率是π260＝π120. 12．(2015·湖北改编)在区间[0,1]上随机取两个数x ，y ，记p 1为事件“x ＋y ≤12”的概率，p 2为事件“xy ≤12”的概率，则下列正确的是________． ①p 1<p 2<12 ②p 2<12<p 1③12<p 2<p 1 ④p 1<12<p 2 答案 ④ 解析 在直角坐标系中，依次作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤1，0≤y ≤1，x ＋y ≤12，⎩⎪⎨⎪⎧ 0≤x ≤1，0≤y ≤1，xy ≤12的可行域如图所示：依题意，p 1＝S △ABOS 四边形OCDE ，p 2＝S 曲边多边形OEGFC S 四边形OCDE ， 而12＝S △OEC S 四边形OCDE ，所以p 1<12<p 2. 13.如图，已知点A 在坐标原点，点B 在直线y ＝1上，点C (3,4)，若AB ≤10，则△ABC 的面积大于5的概率是________．答案 524解析 设B (x,1)，根据题意知点D (34，1)，若△ABC 的面积小于或等于5，则12×DB ×4≤5，即DB ≤52，此时点B 的横坐标x ∈[－74，134]，而AB ≤10， 所以点B 的横坐标x ∈[－3,3]，所以△ABC 的面积小于或等于5的概率为P ＝3－(－74)6＝1924， 所以△ABC 的面积大于5的概率是1－P ＝524. 14．已知集合A ＝[－2,2]，B ＝[－1,1]，设M ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈B }，在集合M 内随机取出一个元素(x ，y )．(1)求以(x ，y )为坐标的点落在圆x 2＋y 2＝1内的概率；(2)求以(x ，y )为坐标的点到直线x ＋y ＝0的距离不大于22的概率．解 (1)集合M 内的点形成的区域面积S ＝8.因圆x 2＋y 2＝1的面积S 1＝π，故所求概率为S 1S ＝π8. (2)由题意|x ＋y |2≤22，即－1≤x ＋y ≤1，形成的区域如图中阴影部分，阴影部分面积S 2＝4， 所求概率为S 2S ＝12.15．甲、乙两船驶向一个不能同时停泊两艘船的码头，它们在一昼夜内到达该码头的时刻是等可能的．如果甲船停泊时间为1 h ，乙船停泊时间为2 h ，求它们中的任意一艘都不需要等待码头空出的概率．解 设甲、乙两艘船到达码头的时刻分别为x 与y ，记事件A 为“两船都不需要等待码头空出”，则0≤x ≤24,0≤y ≤24，要使两船都不需要等待码头空出，当且仅当甲比乙早到达1 h 以上或乙比甲早到达2 h 以上，即y －x ≥1或x －y ≥2.故所求事件构成集合A ＝{(x ，y )|y －x ≥1或x －y ≥2，x ∈[0,24]，y ∈[0,24]}．A 为图中阴影部分，全部结果构成集合Ω为边长是24的正方形及其内部．所求概率为P (A )＝A 的面积Ω的面积＝(24－1)2×12＋(24－2)2×12242 ＝506.5576＝1 0131 152.。
几何概型主要题型例析
ʏ葛 辉1 汪亚运2如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型,简称几何概型㊂几何概型的特点是:基本事件的个数无限,基本事件出现的可能性相同㊂题型一:与长度有关的几何概型例1 取一根长度为30c m 的绳子,拉直后在任意位置剪断,那么剪得两段绳长都不小于10c m 的概率有多大解:记 剪得两段绳长都不小于10c m 为事件A ㊂把绳子三等分,当剪断位置处在中间一段上时,事件A 发生㊂由于中间一段的长度为绳长的13,所以所求概率为P (A )=13㊂题型二:与面积有关的几何概型例2 在矩形A B C D 中,点E 为边C D 的中点,若在矩形A B C D 内部随机取一个点Q ,则点Q 取自әA B E 内部的概率等于( )㊂A.14 B .13 C .12 D .23解:记 点Q 取自әA B E 内部为事件M ,事件的全部结果构成的是矩形A B C D 的面积㊂显然,әA B E 的面积是矩形A B C D的面积的12,所以所求概率为P (M )=12㊂应选C ㊂题型三:与角度和长度有关的几何概型 图1例3 如图1,在等腰直角三角形A B C 中,过直角顶点C 在øA C B 内任作一条射线C E ,与边A B 交于点E ,使A E <A C 的概率为;在斜边A B 上任取一点E ,使A E <A C 的概率为㊂解:如图1,在A B 上取点D ,使A D =A C ,则øA C D =67.5ʎ㊂当射线C E 在øA C D 内时,满足|A E |<|A C |,故满足|A E |<|A C |的概率P =67.5ʎ90ʎ=34㊂设直角边A C 的长为1,则斜边A B 的长为2㊂在斜边A B 上取点D ,使A D =1㊂当点E 在线段A D 上时,满足|A E |<|A C |㊂因为A D =1,A B =2,所以满足|A E |<|A C |的概率P =22㊂题型四:与体积有关的几何概型例4 在棱长为a 的正方体A B C D -A 1B 1C 1D 1内任取一点P ,则点P 到点A 的距离小于或等于a 的概率为㊂解:记事件E 为 点P 到点A 的距离小于或等于a ㊂在正方体A B C D -A 1B 1C 1D 1中,若点P 到点A 的距离小于或等于a ,则点P 构成半径为a 的18球体㊂故所求概率为P (E )=18ˑ43πa 3a3=π6㊂1.公司的班车在7:00,8:00,8:30发车,小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车,且到达发车站的时刻是随机的,则小明等车时间不超过10m i n 的概率是㊂提示:事件的全部结果构成的长度为40m i n ㊂记 等车时间不超过10m i n 为事件A ㊂构成事件A 的长度为20m i n ,则P (A )=12㊂2.取一个边长为2a 的正方形及其内切圆,随机地向正方形内丢一粒豆子,求豆子落入圆内的概率㊂提示:记 豆子落入圆内 为事件A ,则P (A )=πa 24a2=π4㊂作者单位:1.安徽省阜阳市阜阳第一中学2.深圳市坪山区坪山高级中学(责任编辑 郭正华)31数学部分㊃知识结构与拓展高一使用 2021年3月。
高中数学几何概型经典考点及例题讲解
几何概型考纲解读 1.根据随机数的意义，用模拟方法估计生活中的概率问题；2.根据几何概型的意义，运用几何度量求概率；3.根据几何概型，估计几何度量．[基础梳理]1．几何概型的定义如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型．2．几何概型的特点(1)无限性：试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个． (2)等可能性：试验结果在每一个区域内均匀分布． 3．几何概型的概率公式 P (A )＝构成事件A 的区域长度(面积或体积)试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积).[三基自测]1．有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是( )答案：A2．已知A ＝{(x ，y )|－1≤x ≤1，0≤y ≤2}，B ＝{}(x ，y )|1－x 2≤y .若在区域A 中随机地扔一粒豆子，则该豆子落在区域B 中的概率为( )A ．1－π8B.π4C.π4－1 D.π8答案：A3．在区间[－2,3]上随机选取一个数X ，则 X ≤1的概率为( ) A.45 B.35 C.25 D.15 答案：B4．(必修3·3.3例1改编)在[0,60]上任取一个数，则x ≥50的概率为________． 答案：165．(2017·高考全国卷Ⅰ改编)求在半径为r 的圆内随机撒一粒黄豆，它落在圆内接等腰直角三角形内的概率．答案：1π考点一 与长度型有关的几何概型|方法突破命题点1 与线段长度有关的几何概型[例1] (2018·长春模拟)已知线段AC ＝16 cm ，先截取AB ＝4 cm 作为长方体的高，再将线段BC 任意分成两段作为长方体的长和宽，则长方体的体积超过128 cm 3的概率为________．[解析] 设长方体的长为x ，宽为(12－x )， 由4x (12－x )>128，得x 2－12x ＋32<0， ∴4<x <8，即在线段BC 内，截取点D ， 满足BD ∈(4,8)，其概率为8－412＝13.[答案] 13命题点2 与角度有关的几何概型[例2] 如图所示，在直角坐标系内，射线OT 落在30°角的终边上，任作一条射线OA ，则射线OA 落在∠yOT 内的概率为________．[解析] 如题图，因为射线OA 在坐标系内是等可能分布的，所以OA 落在∠yOT 内的概率为60360＝16.[答案] 16命题点3 与时间有关的几何概型[例3] (2016·高考全国卷Ⅰ改编)某公司的班车在7：30，8：00，8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是________．[解析] 由题意得图：由图得等车时间不超过10分钟的概率为12.[答案] 12命题点4 与不等式有关的几何概型[例4] 在区间[0,5]上随机地选择一个数p ，则方程x 2＋2px ＋3p －2＝0有两个负根的概率为________．[解析] 方程x 2＋2px ＋3p －2＝0有两个负根x 1，x 2，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4p 2－4(3p －2)>0，x 1＋x 2＝－2p <0，x 1x 2＝3p －2>0，解得23<p <1或p >2.又因为p ∈[0,5]，根据几何概型的概率计算公式可知 方程x 2＋2px ＋3p －2＝0有两个负根的概率为 P ＝1－23＋5－25＝23.[答案]23[方法提升][母题变式]1．将例1改为在长为12 cm 的线段AB 上任取一点C .现作一矩形，邻边长分别等于线段AC ，CB 的长，则该矩形面积大于20 cm 2的概率为( )A.16B.13C.23D.45[解析] 设AC ＝x ，则BC ＝12－x (0<x <12)，又矩形面积S ＝x (12－x )>20，∴x 2－12x ＋20<0，解得2<x <10，∴所求概率为10－212＝23.[答案] C2．将例2改为：如图，M 是半径为R 的圆周上一个定点，在圆周上等可能的任取一点N ，连接MN ，则弦MN 的长度超过2R 的概率是( )A.15 B.14 C.13D.12解析：由题意知，当MN ＝2R 时，∠MON ＝π2，所以所求概率为2×π22×π＝12.答案：D3．将例3改为：一个路口的红绿灯，红灯的时间为30 s ，黄灯的时间为5 s ，绿灯的时间为40 s ，当某人到达路口时看见的是红灯的概率是( )A.15 B.25 C.35D.45解析：设事件A 表示“某人到达路口时看见的是红灯”，则事件A 对应30 s 的时间长度，而路口红绿灯亮的一个周期为30＋5＋40＝75(s)的时间长度．根据几何概型的概率公式可得，事件A 发生的概率P (A )＝3075＝25.答案：B4．若例4的条件“两个负根”变为“无实根”，则结果如何？ 解析：由条件知Δ＝4p 2－4(3p －2)<0，解得：1<p <2， 所以没有实根的概率为P ＝2－15＝15.答案：15考点二 与面积有关的几何概型及模拟试验|模型突破[例5] (1)已知函数f (x )＝x 2＋bx ＋c ，其中0≤b ≤4,0≤c ≤4.记函数f (x )满足条件⎩⎪⎨⎪⎧f (2)≤12，f (－2)≤4为事件A ，则事件A 发生的概率为( )A.14 B.58C.12 D.38(2)(2018·石家庄模拟)在区间[0,1]上任取两个数，则这两个数之和小于65的概率是() A.1225 B.1625C.1725 D.1825(3)在边长为2的正方形ABCD内部任取一点M，则满足∠AMB>90°的概率为________．[解析](1)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧4＋2b＋c≤12，4－2b＋c≤4，0≤b≤4，0≤c≤4，即⎩⎪⎨⎪⎧2b＋c－8≤0，2b－c≥0，0≤b≤4，0≤c≤4表示的区域如图阴影部分所示，可知阴影部分的面积为8，所以所求概率为12.(2)设这两个数分别是x，y，则总的基本事件构成的区域是⎩⎪⎨⎪⎧0≤x≤1，0≤y≤1确定的平面区域，所求事件包含的基本事件构成的区域是⎩⎪⎨⎪⎧0≤x≤1，0≤y≤1，x＋y<65，如图所示，阴影部分的面积是1－12×⎝⎛⎭⎫45 2＝1725，所以这两个数之和小于65的概率是1725.(3)如图，如果M 点位于以AB 为直径的半圆内部，则∠AMB >90°，否则，M 点位于半圆上及空白部分，则∠AMB ≤90°，所以∠AMB >90°的概率P ＝12×π×1222＝π8.[答案] (1)C (2)C (3)π8[模型解法]对于面积型的几何概型，关键是求其面积．(1)定型，根据题意判断是否为面积型，一般涉及区域或二元变量问题都是面积型的． (2)定量，根据条件画出图形，确定区域、求其面积． (3)求概率，利用几何概型公式求概率． [高考类题](2017·高考全国卷Ⅰ)如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图. 正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是( )A.14 B.π8 C.12D.π4解析：不妨设正方形的边长为2，则正方形的面积为4，正方形的内切圆的半径为1，面积为π.由于正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，所以黑色部分的面积为π2，故此点取自黑色部分的概率为π24＝π8，故选B.答案：B考点三 与体积有关的几何概型|易错突破[例6] (1)(2018·唐山模拟)已知正三棱锥S ABC 的底面边长为4，高为3，在正三棱锥内任取一点P ，使得V P ABC <12V S ABC 的概率是( )A.78B.34C.12D.14(2)(2018·长沙模拟)在棱长为2的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，点O 为底面ABCD 的中心，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为________．[解析] (1)当点P 到底面ABC 的距离小于32时，V P ABC <12V S ABC .由几何概型知，所求概率为P ＝1－⎝⎛⎭⎫123＝78. (2)V 正＝23＝8，V 半球＝12×43π×13＝23π.V 半球V 正＝2π8×3＝π12，∴P ＝1－π12.[答案] (1)A (2)1－π12[易错提醒][纠错训练](2018·福州模拟)如图为某个四面体的三视图，若在该四面体的外接球内任取一点，则点落在四面体内的概率为( )A.913πB.113πC.913169πD.13169π解析：由三视图可知该立体图形为三棱锥，其底面是一个直角边长为32的等腰直角三角形，高为4，所以该三棱锥的体积为12，又外接球的直径2r 为以三棱锥的三个两两垂直的棱为长方体的对角线，即2r ＝42＋(32)2＋(32)2＝213，所以球的体积为5213π3，所以点落在四面体内的概率为125213π3＝913169π.答案：C1.[考点二](2016·高考全国卷Ⅱ)从区间[0,1]随机抽取2n 个数x 1，x 2，…，x n ，y 1，y 2，…，y n ，构成n 个数对(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为( )A.4nm B.2n m C.4m nD.2m n解析：设由⎩⎪⎨⎪⎧0≤x n ≤10≤y n ≤1构成的正方形的面积为S ，x 2n ＋y 2n <1构成的图形的面积为S ′，所以S ′S ＝14π1＝m n ，所以π＝4mn，故选C.答案：C2.[考点一](2016·高考全国卷Ⅱ)某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒．若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为( )A.710B.58C.38D.310解析：记“至少需要等待15秒才出现绿灯”为事件A ，则P (A )＝2540＝58.答案：B3.[考点二](2013·高考四川卷)节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯．这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮．那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是( )A.14 B.12 C.34D.78解析：设通电x 秒后第一串彩灯闪亮，y 秒后第二串彩灯闪亮．依题意得0≤x ≤4,0≤y ≤4，其对应区域的面积为S ＝4×4＝16.又两串彩灯闪亮的时刻相差不超过2秒，即|x －y |≤2，如图，易知阴影区域的面积为S ′＝16－12×2×2－12×2×2＝12，∴P ＝S ′S ＝1216＝34.答案：C4.[考点一](2017·高考江苏卷)记函数f (x )＝6＋x －x 2的定义域为D .在区间[－4,5]上随机取一个数x ，则x ∈D 的概率是________．解析：由6＋x －x 2≥0，得－2≤x ≤3，即D ＝[－2,3]， ∴P (x ∈D )＝3－(－2)5－(－4)＝59.答案：595.[考点二](2014·高考福建卷)如图，在边长为e(e 为自然对数的底数)的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为________．解析：∵y ＝e x 与y ＝ln x 互为反函数，故直线y ＝x 两侧的阴影部分面积相等，只需计算其中一部分即可．如图，S 1＝⎠⎛01e x d x ＝e x| 1＝e 1－e 0＝e －1.∴S 总阴影＝2S 阴影＝2(e ×1－S 1)＝2[e －(e －1)]＝2，故所求概率为P ＝2e2.答案：2e 2。
高二数学几何概型知识与常见题型梳理
几何概型知识与常见题型梳理何概型则是在试验中出现无限多个结果，且与事件的区域长度（或面积、体积等）有关，即 试验结果具有无限性，是不可数的。
这是二者的不同之处；另一方面，古典概型与几何概型的试验结果都具有等可能性，这是二者的共性。
通过以上对于几何概型的基本知识点的梳理， 我们不难看出其要核是： 要抓住几何概型具有无限性和等可能性 两个特点，无限性是指在一次试验中， 基本事件的个数可以是无限的， 这是区分几何概型与古典概型的关键所在；等可能性是指每一个基本事件发生的可能性是均等的，这是解题的基本前提。
因此，用几何概型求解的概率问题和古典概型的基本思路是相 同的，同属于“比例法”，即随机事件 A 的概率可以用“事件A 包含的基本事件所占的图形的 长度、面积（体积）和角度等”与“试验的基本事件所占总长度、面积（体积）和角度等”之 比来表示。
下面就几何概型常见类型题作一归纳梳理。
二常见题型梳理 1. 长度之比类型例1.小欲在国庆六十周年之后从某车站乘车外出考察，已知该站发往各站的客车均每小时 一班，求小等车时间不多于 10分钟的概率.例2在长为12cm 的线段AB 上任取一点 M ,并以线段AM 为边作正方形，求这个正方形的 面积介于36cm 2与81cm 2之间的概率.2. 面积、体积之比类型几何概型和古典概型是随机概率中两类主要模型， 是概率考查中的重点， 下面就几何概型的知识与常见题型做一梳理，以期能使读者对于这一知识点做到脉络清晰，条理分明。
一基本知识剖析1. 几何概型的定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成 比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型。
2. 几何概型的概率公式：构成事件A 的区域长度（面积或体 积） P （A ） = —-~————-试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体3. 几何概型的特点：1）试验中所有可能出现的结果（基本事件） 事件出现的可能性相等.4. 几何概型与古典概型的比较 ：一方面，古典概型具有有限性，积）’有无限多个; 2）每个基本 即试验结果是可数的；而几例3. （08高考6）.在平面直角坐标系xoy中，设D是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D中随意投一点，则落入E中的概率&AB C 中，过直角顶点C 在 ACB 部做一条射线CM ,与线段 AC 的概率。
归纳与技巧：几何概型(含解析)
归纳与技巧：几何概型基础知识归纳1．几何概型的定义如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型．2．几何概型的概率公式在几何概型中，事件A 的概率的计算公式如下： P (A )＝构成事件A 的区域长度(面积或体积)试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积).基础题必做1．(教材习题改编)设A (0,0)，B (4,0)，在线段AB 上任投一点P ，则|P A |＜1的概率为( ) A.12 B.13 C.14D.15解析：选C 满足|P A |＜1的区间长度为1，故所求其概率为14.2． 有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是( )解析：选A 中奖的概率依次为P (A )＝38，P (B )＝28，P (C )＝26，P (D )＝13.3.分别以正方形ABCD 的四条边为直径画半圆，重叠部分如图中阴影区域所示，若向该正方形内随机投一点，则该点落在阴影区域的概率为( )A.4－π2B.π－22C.4－π4D.π－24解析：选B 设正方形边长为2，阴影区域的面积的一半等于半径为1的圆减去圆内接正方形的面积，即为π－2，则阴影区域的面积为2π－4，所以所求概率为P ＝2π－44＝π－22.4．有一杯2升的水，其中含一个细菌，用一个小杯从水中取0.1升水，则此小杯中含有这个细菌的概率是________．解析：试验的全部结果构成的区域体积为2升，所求事件的区域体积为0.1升，故P ＝0.05.答案：0.055.如图所示，在直角坐标系内，射线OT 落在30°角的终边上，任作一条射线OA ，则射线OA 落在∠yOT 内的概率为________．解析：如题图，因为射线OA 在坐标系内是等可能分布的，则OA 落在∠yOT 内的概率为60360＝16.答案：16解题方法归纳1.几何概型的特点：几何概型与古典概型的区别是几何概型试验中的可能结果不是有限个，它的特点是试验结果在一个区域内均匀分布，故随机事件的概率大小与随机事件所在区域的形状位置无关，只与该区域的大小有关．2．几何概型中，线段的端点、图形的边界是否包含在事件之内不影响所求结果．与长度、角度有关的几何概型典题导入[例1] 已知圆C ：x 2＋y 2＝12，直线l ：4x ＋3y ＝25. (1)圆C 的圆心到直线l 的距离为________；(2)圆C 上任意一点A 到直线l 的距离小于2的概率为________． [自主解答] (1)根据点到直线的距离公式得d ＝255＝5；(2)设直线4x ＋3y ＝c 到圆心的距离为3，则|c |5＝3，取c ＝15，则直线4x ＋3y ＝15把圆所截得的劣弧的长度和整个圆的周长的比值即是所求的概率，由于圆半径是23，则可得直线4x ＋3y ＝15截得的圆弧所对的圆心角为60°，故所求的概率是16.[答案] 5 16本例条件变为：“已知圆C ：x 2＋y 2＝12，设M 为此圆周上一定点，在圆周上等可能地任取一点N ，连接MN .”求弦MN 的长超过26的概率．解：如图，在图上过圆心O 作OM ⊥直径CD .则MD ＝MC ＝2 6. 当N 点不在半圆弧CM D 上时，MN ＞2 6. 所以P (A )＝π×232π×23＝12.解题方法归纳求与长度(角度)有关的几何概型的概率的方法是把题中所表示的几何模型转化为长度(角度)，然后求解．确定点的边界位置是解题的关键．以题试法1．(1) 已知A 是圆上固定的一点，在圆上其他位置上任取一点A ′，则AA ′的长度小于半径的概率为________．(2)在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝1，BC ＝2.在BC 边上任取一点M ，则∠AMB ≥90°的概率为________．解析：(1)如图，满足AA ′的长度小于半径的点A ′位于劣弧BA C 上，其中△ABO 和△ACO 为等边三角形，可知∠BOC ＝2π3，故所求事件的概率P＝2π32π＝13. (2)如图，在Rt △ABC 中，作AD ⊥BC ，D 为垂足，由题意可得BD ＝12，且点M 在BD 上时，满足∠AMB ≥90°，故所求概率P ＝BD BC ＝122＝14. 答案：(1)13 (2)14与面积有关的几何概型典题导入[例2] (1) 如图，在圆心角为直角的扇形OAB 中，分别以OA ，OB 为直径作两个半圆．在扇形OAB 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是( )A ．1－2πB.12－1πC.2πD.1π(2)已知不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y ≥0，x ≤a (a ＞0)表示平面区域M ，若点P (x ，y )在所给的平面区域M 内，则点P 落在M 的内切圆内的概率为( )A.(2－1)4πB ．(3－22)πC ．(22－2)πD.2－12π [自主解答] (1)法一：设分别以OA ，OB 为直径的两个半圆交于点C ，OA 的中点为D ，如图，连接OC ，DC .不妨令OA ＝OB ＝2，则OD ＝DA ＝DC ＝1.在以OA 为直径的半圆中，空白部分面积S 1＝π4＋12×1×1－⎝⎛⎭⎫π4－12×1×1＝1，所以整体图形中空白部分面积S 2＝2.又因为S 扇形OAB＝14×π×22＝π，所以阴影部分面积为S 3＝π－2. 所以P ＝π－2π＝1－2π.法二：连接AB ，设分别以OA ，OB 为直径的两个半圆交于点C ，令OA ＝2. 由题意知C ∈AB 且S 弓形AC ＝S 弓形B C ＝S 弓形O C ， 所以S 空白＝S △OAB ＝12×2×2＝2.又因为S 扇形OAB ＝14×π×22＝π，所以S 阴影＝π－2.所以P ＝S 阴影S 扇形OAB＝π－2π＝1－2π.(2)由题知平面区域M 为一个三角形，且其面积为S ＝a 2.设M 的内切圆的半径为r ，则12(2a ＋22a )r ＝a 2，解得r ＝(2－1)a .所以内切圆的面积S 内切圆＝πr 2＝π[(2－1)·a ]2＝(3－22)πa 2.故所求概率P ＝S 内切圆S＝(3－22)π.[答案] (1)A (2)B解题方法归纳求解与面积有关的几何概型首先要确定试验的全部结果和构成事件的全部结果形成的平面图形，然后再利用面积的比值来计算事件发生的概率．这类问题常与线性规划[(理)定积分]知识联系在一起．以题试法2． 点P 在边长为1的正方形ABCD 内运动，则动点P 到顶点A 的距离|P A |≤1的概率为( )A.14B.12C.π4D ．π解析：选C 如图，满足|P A |≤1的点P 在如图所示阴影部分运动，则动点P 到顶点A 的距离|P A |≤1的概率为S 阴影S 正方形＝14×π×121×1＝π4.与体积有关的几何概型典题导入[例3] (1) 在棱长为2的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，点O 为底面ABCD 的中心，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为( )A.π12 B ．1－π12C.π6D ．1－π6(2)一只蜜蜂在一个棱长为30的正方体玻璃容器内随机飞行．若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体玻璃容器的6个表面的距离均大于10，则飞行是安全的，假设蜜蜂在正方体玻璃容器内飞行到每一个位置的可能性相同，那么蜜蜂飞行是安全的概率为( )A.18B.116C.127D.38[自主解答] (1)点P 到点O 的距离大于1的点位于以O 为球心，以1为半径的半球的外部．记点P 到点O 的距离大于1为事件A ，则P (A )＝23－12×4π3×1323＝1－π12. (2)由题意，可知当蜜蜂在棱长为10的正方体区域内飞行时才是安全的，所以由几何概型的概率计算公式，知蜜蜂飞行是安全的概率为103303＝127.[答案] (1)B (2)C解题方法归纳与体积有关的几何概型是与面积有关的几何概型类似的，只是将题中的几何概型转化为立体模式，至此，我们可以总结如下：对于一个具体问题能否应用几何概型概率公式，关键在于能否将问题几何化；也可根据实际问题的具体情况，选取合适的参数，建立适当的坐标系，在此基础上，将试验的每一个结果一一对应于该坐标系中的一个点，使得全体结果构成一个可度量区域．以题试法3． 在体积为V 的三棱锥S —ABC 的棱AB 上任取一点P ，则三棱锥S —APC 的体积大于V3的概率是________． 解析：如图，三棱锥S —ABC 的高与三棱锥S —APC 的高相同．作PM ⊥AC 于M ，BN ⊥AC 于N ，则PM 、BN 分别为△APC 与△ABC 的高，所以V S —APC V S —ABC ＝S △APC S △ABC ＝PM BN ，又PM BN ＝AP AB ，所以AP AB ＞13时，满足条件．设AD AB ＝13，则P 在BD 上，所求的概率P ＝BD BA ＝23. 答案：231． 在区间⎣⎡⎦⎤－π2，π2上随机取一个x ，sin x 的值介于－12与12之间的概率为( ) A.13 B.2π C.12D.23解析：选A 由－12＜sin x ＜12，x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2， 得－π6＜x ＜π6.所求概率为π6－⎝⎛⎭⎫－π6π2－⎝⎛⎭⎫－π2＝13.2． 在长为12 cm 的线段AB 上任取一点C .现作一矩形，邻边长分别等于线段AC ，CB 的长，则该矩形面积小于32 cm 2的概率为( )A.16B.13C.23D.45解析：选C 设AC ＝x cm ，CB ＝(12－x )cm,0<x <12，所以矩形面积小于32 cm 2即为x (12－x )<32⇒0<x <4或8<x <12，故所求概率为812＝23.3． 在区间[0,1]上任取两个数a ，b ，则函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 2无零点的概率为( ) A.12 B.23 C.34D.14解析：选C 要使该函数无零点，只需a 2－4b 2＜0，即(a ＋2b )(a －2b )＜0. ∵a ，b ∈[0,1]，a ＋2b ＞0， ∴a －2b ＜0. 作出⎩⎪⎨⎪⎧0≤a ≤1，0≤b ≤1，a －2b ＜0的可行域，易得该函数无零点的概率P ＝1－12×1×121×1＝34.4． 已知函数f (x )＝kx ＋1，其中实数k 随机选自区间[－2,1]．∀x ∈[0,1]，f (x )≥0的概率是( )A.13 B.12 C.23D.34解析：选C 由∀x ∈[0,1]，f (x )≥0得⎩⎪⎨⎪⎧f (0)≥0，f (1)≥0，有－1≤k ≤1，所以所求概率为1－(－1)1－(－2)＝23. 5． 在水平放置的长为5米的木杆上挂一盏灯，则悬挂点与木杆两端的距离都大于2米的概率为( )A.15B.25C.35D.12解析：选A 如图，线段AB 长为5米，线段AC 、BD 长均为2米，线段CD 长为1米，满足题意的悬挂点E 在线段CD 上，故所求事件的概率P ＝15.6． 一只昆虫在边长分别为6,8,10的三角形区域内随机爬行，则其到三角形任一顶点的距离小于2的概率为( )A.π12 B.π10 C.π6D.π24解析：选A 记昆虫所在三角形区域为△ABC ，且AB ＝6，BC ＝8，CA ＝10，则有AB 2＋BC 2＝CA 2，AB ⊥BC ，该三角形是一个直角三角形，其面积等于12×6×8＝24.在该三角形区域内，到三角形任一顶点的距离小于2的区域的面积等于A ＋B ＋C 2π×π×22＝π2×22＝2π，因此所求的概率等于2π24＝π12.7． 若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，y ≥－x ，2x －y －3≤0表示的平面区域为M ，x 2＋y 2≤1所表示的平面区域为N ，现随机向区域M 内抛一粒豆子，则豆子落在区域N 内的概率为________．解析：∵y ＝x 与y ＝－x 互相垂直，∴M 的面积为3，而N 的面积为π4，所以概率为π43＝π12.答案：π128． 如图所示，图2中实线围成的部分是长方体(图1)的平面展开图，其中四边形ABCD 是边长为1的正方形．若向图2中虚线围成的矩形内任意抛掷一质点，它落在长方体的平面展开图内的概率是14，则此长方体的体积是________．解析：设题图1长方体的高为h ，由几何概型的概率计算公式可知，质点落在长方体的平面展开图内的概率P ＝2＋4h(2h ＋2)(2h ＋1)＝14，解得h ＝3或h ＝－12(舍去)，故长方体的体积为1×1×3＝3. 答案：39. 投镖游戏中的靶子由边长为1米的四方板构成，并将此板分成四个边长为12米的小方块．试验是向板中投镖，事件A 表示投中阴影部分，则事件A 发生的概率为________．解析：∵事件A 所包含的基本事件与阴影正方形中的点一一对应，事件组中每一个基本事件与大正方形区域中的每一个点一一对应．∴由几何概型的概率公式得P (A )＝⎝⎛⎭⎫12212＝14. 答案：1410．已知|x |≤2，|y |≤2，点P 的坐标为(x ，y )，求当x ，y ∈R 时，P 满足(x －2)2＋(y －2)2≤4的概率．解：如图，点P 所在的区域为正方形ABCD 的内部(含边界)，满足(x －2)2＋(y －2)2≤4的点的区域为以(2,2)为圆心，2为半径的圆面(含边界)．故所求的概率P 1＝14π×224×4＝π16.11．已知集合A ＝[－2,2]，B ＝[－1,1]，设M ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈B }，在集合M 内随机取出一个元素(x ，y )．(1)求以(x ，y )为坐标的点落在圆x 2＋y 2＝1内的概率； (2)求以(x ，y )为坐标的点到直线x ＋y ＝0的距离不大于22的概率． 解：(1)集合M 内的点形成的区域面积S ＝8.因x 2＋y 2＝1的面积S 1＝π，故所求概率为P 1＝S 1S ＝π8.(2)由题意|x ＋y |2≤22即－1≤x ＋y ≤1，形成的区域如图中阴影部分，面积S 2＝4，所求概率为P ＝S 2S ＝12.12． 已知向量a ＝(－2,1)，b ＝(x ，y )．(1)若x ，y 分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6)先后抛掷两次时第一次、第二次出现的点数，求满足a·b ＝－1的概率；(2)若x ，y 在连续区间[1,6]上取值，求满足a·b ＜0的概率．解：(1)将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次，所包含的基本事件总数为6×6＝36个；由a·b ＝－1有－2x ＋y ＝－1，所以满足a·b ＝－1的基本事件为(1,1)，(2,3)，(3,5)共3个．故满足a·b ＝－1的概率为336＝112.(2)若x ，y 在连续区间[1,6]上取值，则全部基本事件的结果为Ω＝{(x ，y )|1≤x ≤6,1≤y ≤6}；满足a·b ＜0的基本事件的结果为A ＝{(x ，y )|1≤x ≤6,1≤y ≤6，且－2x ＋y ＜0}； 画出图形， 矩形的面积为S 矩形＝25，阴影部分的面积为S 阴影＝25－12×2×4＝21，故满足a·b ＜0的概率为2125.1．在区间[0，π]上随机取一个数x ，则事件“sin x ＋3cos x ≤1”发生的概率为( ) A.14 B.13 C.12D.23解析：选C 由sin x ＋3cos x ≤1得2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3≤1， 即sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3≤12. 由于x ∈[0，π]，故x ＋π3∈⎣⎡⎦⎤π3，4π3，因此当sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3≤12时，x ＋π3∈⎣⎡⎦⎤5π6，4π3，于是x ∈⎣⎡⎦⎤π2，π. 由几何概型公式知事件“sin x ＋3cos x ≤1”发生的概率为P ＝π－π2π－0＝12.2．有一个底面圆的半径为1、高为2的圆柱，点O 为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为________．解析：先求点P 到点O 的距离小于或等于1的概率，圆柱的体积V 圆柱＝π×12×2＝2π，以O 为球心，1为半径且在圆柱内部的半球的体积V 半球＝12×43π×13＝2π3.则点P 到点O 的距离小于或等于1的概率为2π32π＝13，故点P 到点O 的距离大于1的概率为1－13＝23.答案：233． 设AB ＝6，在线段AB 上任取两点(端点A 、B 除外)，将线段AB 分成了三条线段． (1)若分成的三条线段的长度均为正整数，求这三条线段可以构成三角形的概率； (2)若分成的三条线段的长度均为正实数，求这三条线段可以构成三角形的概率． 解：(1)若分成的三条线段的长度均为正整数，则三条线段的长度的所有可能情况是1,1,4；1,2,3；2,2,2共3种情况，其中只有三条线段长为2,2,2时，能构成三角形，故构成三角形的概率为P ＝13.(2)设其中两条线段长度分别为x ，y ，则第三条线段长度为6－x －y ，故全部试验结果所构成的区域为⎩⎪⎨⎪⎧0＜x ＜6，0＜y ＜6，0＜6－x －y ＜6，即⎩⎪⎨⎪⎧0＜x ＜6，0＜y ＜6，0＜x ＋y ＜6所表示的平面区域为△OAB .若三条线段x ，y,6－x －y 能构成三角形， 则还要满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＞6－x －y ，x ＋6－x －y ＞y ，y ＋6－x －y ＞x ，即为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＞3，y ＜3，x ＜3所表示的平面区域为△DEF ，由几何概型知，所求概率为P ＝S △DEF S △AOB ＝14.1.如图，矩形ABCD 中，点E 为边CD 的中点，若在矩形ABCD 内部随机取一个点Q ，则点Q 取自△ABE 内部的概率等于( )A.14B.13C.12D.23解析：选C 由题意知，可设事件A 为“点Q 落在△ABE 内”，构成试验的全部结果为矩形ABCD 内所有点，事件A 为△ABE 内的所有点，又因为E 是CD 的中点，所以S △ABE ＝12AD ×AB ，S 矩形ABCD ＝AD ×AB ，所以P (A )＝12.2．在区间[0,1]上任取两个数a ，b ，则关于x 的方程x 2＋2ax ＋b 2＝0有实数根的概率为________．解析：由题意得Δ＝4a 2－4b 2≥0， ∵a ，b ∈[0,1]，∴a ≥b . ∴⎩⎪⎨⎪⎧0≤a ≤1，0≤b ≤1，a ≥b ，画出该不等式组表示的可行域(如图中阴影部分所示)．故所求概率等于三角形面积与正方形面积之比，即所求概率为12.答案：123． 设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2，0≤y ≤2表示的平面区域为D .在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是( )A.π4 B.π－22C.π6D.4－π4解析：选D 不等式组⎩⎨⎧0≤x ≤2，0≤y ≤2表示坐标平面内的一个正方形区域，设区域内点的坐标为(x ，y )，则随机事件：在区域D 内取点，此点到坐标原点的距离大于2表示的区域就是圆x 2＋y 2＝4的外部，即图中的阴影部分，故所求的概率为4－π4.为( )A.14 B.34 C.964D.2764解析：选C 设事件A 在每次试验中发生的概率为x ，由题意有1－C 33(1－x )3＝6364，得x ＝34，则事件A 恰好发生一次的概率为C 13×34×⎝⎛⎭⎫1－342＝964.。
12种几何题型
12种几何题型
1. 直线与角度问题：求两条直线的夹角，或者已知夹角求另一角度。
2. 三角形问题：计算三角形的周长、面积，判断是否为等边、等腰或直角三角形。
3. 圆问题：计算圆的周长、面积，求圆心角、弧长等相关量。
4. 多边形问题：计算多边形的周长、面积，判断是否为正多边形。
5. 平行线问题：判断两条直线是否平行，或者通过已知平行线的情况推导其他性质。
6. 垂直线问题：判断两条直线是否垂直，或者通过已知垂直线的情况推导其他性质。
7. 相似与全等问题：判断两个图形是否相似或全等，根据已知情况推导其他长度比例或角度关系。
8. 空间几何问题：涉及立体几何，如计算立方体、圆柱体、锥体、球体等的表面积和体积。
9. 平移与旋转问题：涉及图形的平移和旋转变换，根据已知条件计算新位置或角度。
10. 镜像问题：涉及图形的镜像变换，计算镜像后的位置或角度。
11. 三视图问题：给出物体的正视图、侧视图和俯视图，根据已知情况绘制其他视图或确定物体形状。
12. 空间投影问题：涉及物体在不同平面上的投影，求投影的长度或角度。
这些是常见的几何题型，通过掌握基本几何概念和定理，结合具体问题进行分析和计算，可以解决各种几何问题。
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几何概型常见题型归纳
如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型。
求解几何概型的概率问题，一定要正确确定试验的全部结果构成的区域，正确选择合理的测度，进而利用概率公式求解。
^_^天体运动，万有引力定律核心考点研读■安徽
张北春（特级教师）
《天体运动、万有引力定律》是高中物理的重要章节。
主要考点有：开普勒定律、天体运动、万有引力定律、估算天体的质量和密度、揭示天体运行规律等。
近几年高考试题中的天体运动问题多为匀速圆周运动模型，大多数试题可直接运用开普勒第三定律进行分析或计算，有些试题则需运用牛顿第二定律与万有引力定律、“黄金代换”等分析计算。
下面通过典型例题解读这些核心考点，希望对同学们的学习有所帮助。
考点1：开普勒定律
【考点研读】开普勒行星运动定律具体表述如下。
第一定律：所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上。
第二定律：对任意一个行星来说，它与太阳
的连线在相等时间内扫过相等的面积。
第三定律：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等。
温馨提示：古人把天体的运动看得十分神圣，他们认为天体的运动不同于地面物体的运动，天体做的是最完美、最和谐的匀速圆周运动。
开普勒则认为行星做椭圆运动。
他发现假设行星做匀速圆周运动，计算所得的数据与观测数据不符，只有认为行星做椭圆运动，才能解释这一差别。
温馨提示：我们预期太阳对行星的引力与太阳到行星的距离有关，希望通过行星绕太阳做匀速圆周运动需要的向心力求出这个引力，通过两次数学代换得到了太阳对行星的引力与太阳到行星的距离相关的数学表达式；通过类比得到了行星对太阳的引力与太阳到行星的距离相关的数学表达式；综合概括得到了太阳与行星间引力的数学表达式。
例2（2014年新课标全国卷I）太阳系各行星几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动。
对于地球恰好运行到某地外行星和太阳之间，且三者几乎排成一条直线的现象，天文学称为“行星冲日”。
据报道，2014年各行星冲日时间分别是：1月6日木星冲日；4月9日火星冲日；5月11日土星冲日；8月29日海王星冲日；10月8日天王星冲日。
已知地球及各地外行星绕太阳运动的轨道半径如下表所示，则下列判断正确的是（
）。
本题考查万有引力知识，开普勒行星第三定律，天体追及问题。
分析时应把行星绕太阳的椭圆运动简化为匀速圆周运动，抓住行星绕太阳做匀速圆周运动需要向心力，这个向心力是由太阳对行星的引力提供的。
例3 如图1所示，在火星与木星轨道之间有一小行星带。
假设该带中的小行星只受到太阳的引力，并绕太阳做匀速圆周运动。
下列说法正确的是（
）。
A.太阳对小行星的引力相同
B.各小行星绕太阳运动的周期小于一年
C.小行星带内侧小行星的向心加速度值大于小行星带外侧小行星的向心加速度值
D.小行星带内各小行星圆周运动的线速度值大于地球
公转的线速度值
温馨提示：圆周运动是天体主要的运行方式，天体做圆周运动是万有引力提供向心力，地球绕太阳运动如此，其他行星绕母星运动也是如此。
例6 （2014年北京卷）万有引力定律揭示了天体运行规律与地上物体运动规律具有内在的一致性。
（1）用弹簧秤称量一个相对于地球静止的小物体的重量，随称量位置的变化可能会有不同的结果。
已知地球质量
为M，自转周期为T，万有引力常量为G。
将地球视为半径为R、质量均匀分布的球体，不考虑空气的影响。
设在地球北极地面称量时，弹簧秤的读数是F0。