课时46-随机事件概率和概率模型

变式训练 1．(2020·南昌市第一次模拟测试)2021 年广东新高考将实行 3＋1＋2 模式，即语
文、数学、英语必选，物理、历史二选一，政治、地理、化学、生物四选二，共有 12 种选
课模式．今年高一的小明与小芳都准备选历史与政治，假若他们都对后面三科没有偏好，
则他们选课相同的概率为
( )A.12 B.13 C.16 D.19
根据互斥事件与对立事件的意义作答，A∩B＝{出现点数 1 或 3}，事件 A，B 不互斥也不对立；B∩C＝∅，B∪ C＝Ω，故事件 B，C 是对立事件．
例 2(随机事件的频率与概率)从存放的号码分别为 1,2,3，…，10 的卡片的盒 子中，有放回地取 100 次，每次取一张卡片并记下号码，统计结果如下：
(2)几何概型的两个基本特点
2．几何概型的概率公式 P(A)＝试验的构全成部事结件果A所的构区成域的长区度域（长面度积（或面体积积或）体积）.
例 1（与长度有关的几何概型） (2020·福建五校第二次联考)在区间[0，2]上随机取一个
数 x，使 sin π2x≥ 23的概率为()ຫໍສະໝຸດ 1 A.31 B.2
(1)P(A)＝1 0100，P(B)＝1 10000＝1100，
P(C)＝1 50000＝210.
(2)因为事件
A，B，C
两两互斥，所以
P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝1
0100＋1100＋210＝1
61 000.
故
1
张奖券的中奖概率为1
61 000.
二 古典概型
古典概型 (1)特点 ①试验中所有可能出现的基本事件只有__有__限______个，即_有__限__性_____； ②每个基本事件出现的可能性__相__等______，即等 __可 ___能__性___． (2)概率公式 P(A)＝A包含基的本基事本件事的件总的数个数.
交(积)事件 互斥事件 对立事件
A 发生且 B 发生
A∩B 为 不可能
事件
A∩B 为 不可能
事件，A∪B 为必然事 件
事件 A 与事件 B 的交事件 (或积事件)
事件 A 与事件 B 互斥
A∩B(或AB)
_____________
A∩B＝∅
事件 A 与事件 B 互为对立事 A∩B＝∅，P(A∪B)＝1
例 1(简单的古典概型) (2019·高考天津卷)2019 年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继
续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除．某单位老、中、青员工分别
有 72，108，120 人，现采用分层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取 25 人调查专项附加扣除的享受情况．
件
4.概率的几个基本性质
(1)概率的取值范围： 0≤P(A)≤1
.
(2)必然事件的概率为 1 .
(3)不可能事件的概率为 0 . (4)概率的加法公式：如果事件 A 与事件 B 互斥，则 P(A∪B)＝ P(A)＋P(B) ．
(5)对立事件的概率：若事件 A 与事件 B 互为对立事件，则 A∪B 为必然事件，
P(A∪B)＝ 1 ，P(A)＝ 1－P(B)
．
例 1(随机事件的关系)(2017·临沂模拟)一枚均匀的正方体玩具的各个面上分别标 以数字 1,2,3,4,5,6.将这个玩具向上抛掷 1 次，设事件 A 表示向上的一面出现奇数点，事件 B 表示 向上的一面出现的点数不超过 3，事件 C 表示向上的一面出现的点数不小于 4，则( D ) A．A 与 B 是互斥而非对立事件 B．A 与 B 是对立事件 C．B 与 C 是互斥而非对立事件 D．B 与 C 是对立事件
内随机取一点，则该点取自阴影区域内(阴影部分由四条四分之一圆弧围
成)的概率是( )
A.12
B.13
C.π4－1 D.2－π4
设圆的半径为 1，则该点取自阴影区域内的概率 P＝SS阴圆影＝π×12－814×ππ××112 2－12×1×1 ＝π4－1，故选 C.
例 3（与线性规划知识交汇命题的几何概型 ） (2020·广州综合测试)在平面区域{(x，
例 3（古典概型与函数(方程)的交汇） (2020·益阳、湘潭调研试卷)已知 a∈{－2，0，1， 2，3}，b∈{3，5}，则函数 f(x)＝(a2－2)ex＋b 为减函数的概率是 ( ) A.130 B.35 C.25 D.15
解：函数 f(x)＝(a2－2)ex＋b 为减函数，则 a2－2＜0，又 a∈{－2，0，1，2，3}，故只有 a＝0，a＝1 满足题意，又 b∈{3，5}，所以函数 f(x)＝(a2－2)ex＋b 为减函数的概率是25× ×22 ＝25.故选 C.
y)|0≤x≤1，1≤y≤2}内随机投入一点 P，则点 P 的坐标(x，y)满足 y≤2x 的概率为( )
1
1
2
3
A.4 B.2 C.3 D.4
解：依题意作出图象如图，则 P(y≤2x)＝SS正阴方影形＝12×1122×1＝14.
例 4（与体积有关的几何概型）一个多面体的直观图和三视图如图所示，点 M 是 AB 的
2 C.3
D.34
解：当 x∈[0，2]时，0≤π2x≤π，所以 sinπ2x≥ 23⇔π3≤π2x≤23π⇔23≤x≤43.故由几何概型的 知识可知所求概率 P＝43－2 23＝13.故选 A.
例 2(与平面图形面积有关的几何概型)(2020·江西七校第一次联考)图中的
图案是我国古代建筑中的一种装饰图案，形若铜钱，寓意富贵吉祥，在圆
卡片号码 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 取到次数 13 8 5 7 6 13 18 10 11 9 则取到号码为奇数的卡片的频率是( A ) A．0.53 B．0.5 C．0.47 D．0.37
取到号码为奇数的卡片的次数为：13＋5＋6＋18＋11＝53，则所求的频率为15030＝0.53.故选 A.
随机事件概率和模型
《零起点考大学》
一 随机事件的频率与概率
知识梳理：1．事件的相关概念 (1)必然事件：在一定条件下， 一定 发生的事件； (2)不可能事件：在一定条件下，一定不 发生的事件； (3)随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
2．频率和概率(1)频数、频率：在相同的条件 S 下重复 n 次试验，观察某一事件 A
（1）应从老、中、青员工中分别抽取多少人？
(2)抽取的 25 人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有 6 人，分别记为 A，B，C，D，E，F.享受情况如下表，
其中“○”表示享受，“×”表示不享受．现从这 6 人中随机抽取 2 人接受采访．
员工 项目
A
B
C
D
E
F
子女教育
○
○
×
○
×
○
继续教育 大病医疗 住房贷款利息
例 4（古典概型与解析几何的交汇）将一颗骰子先后抛掷 2 次，观察向上的点数，将第
一次向上的点数记为 m，第二次向上的点数记为 n，曲线 C：mx22＋ny22＝1.则曲线 C 的焦
点在 x 轴上且离心率 e≤ 23的概率等于 (
)
5
131
A.6 B.6 C.4 D.4
解：因为离心率 e≤ 23，所以
解：记地理、化学、生物分别为 D，H，S，则小明与小芳的选课方案可能是(D，D)，(D， H)，(D，S)，(H，D)，(H，H)，(H，S)，(S，D)，(S，H)，(S，S)，共 9 种，小明与小芳 选课方案相同的可能是(D，D)，(H，H)，(S，S)，共有 3 种情况，所以他们选课相同的概 率为39＝13，故选 B.
例 2（古典概型与平面向量的交汇）从集合{2，3，4，5}中随机抽取一个数 a，从集合{1，
3，5}中随机抽取一个数 b，则向量 m＝(a，b)与向量 n＝(1，－1)垂直的概率为 ( )
1
1
1
1
A.6 B.3 C.4 D.2
解：由题意可知 m＝(a，b)有：(2，1)，(2，3)，(2，5)，(3，1)，(3，3)，(3，5)，(4，1)， (4，3)，(4，5)，(5，1)，(5，3)，(5，5)，共 12 种情况． 因为 m⊥n，即 m·n＝0， 所以 a×1＋b×(－1)＝0，即 a＝b， 满足条件的有(3，3)，(5，5)共 2 种， 故所求的概率为16.选：A
是否出现，称 n 次试验中事件 A 出现的 次数nA 为事件 A 出现的频数，称事件 A
nA
出现的比例 fn(A)＝ n
为事件 A 出现的频率．
(2)概率：对于给定的随机事件 A，如果随着试验次数的增加，事件 A 发生的频率 fn(A)
稳定在某个常数上，把这个常数记作 P(A) ，称为事件 A 的概率．
A1B1A2B2，A1B2A2B1，A2B1A1B2，A2B2A1B1， B1A1A2B2，B1A2A1B2，B2A1A2B1，B2A2A1B1， A1B1B2A2，A1B2B1A2，A2B1B2A1，A2B2B1A1， B1B2A1A2，B1B2A2A1，B2B1A1A2，B2B1A2A1， B1A1B2A2，B1A2B2A1，B2A1B1A2，B2A2B1A1， 共有 24 种，其中 2 名女同学相邻的有 12 种，所以所求概率 P＝12，故选 D.
例 3（互斥事件、对立事件的概率）某商场有奖销售中，购满 100 元商品得 1
张奖券，多购多得.1 000 张奖券为一个开奖单位，设特等奖 1 个，一等奖 10 个，二等奖 50 个．设
1 张考奖点券中三特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为 A，B，C.求：(1)P(A)，P(B)，P(C)；
(2)1 张奖券的中奖概率；
1－mn22≤ 23，解得mn ≥12.由列举法得，当 m＝6 时，n＝
5，4，3；当 m＝5 时，n＝4，3；当 m＝4 时，n＝3，2；当 m＝3 时，n＝2；当 m＝2