第一部分-《静力学》训练题

高三物理竞赛练习静力学（A）

2010-08-11 学号 ____ 姓名 __________

1、重量分别为P和Q的两个小环A和B ，都套在一个处在竖直平面内的、光滑的固定大环上。

A、B用长为L的细线系住，然后挂在环的正上方的光滑钉子C上。试求系统静止平衡后AC部分线段的长度。

2、质量为m的均匀细棒，A端用细线悬挂于定点，B端浸没在水中，静止平衡时，水中部分长度为全长的3/5 ，求此棒的密度和悬线的张力。

3、长为1m的均匀直杆AB重10N ，用细绳AO、BO悬挂起来，绳与直杆的角度如图所示。为了使杆保持水平，另需在杆上挂一个重量为20N的砝码，试求这个砝码的悬挂点C应距杆的A 端多远。

4、半径为R的空心圆筒，内表光滑，盛有两个同样光滑的、半径为r的、重量为G的球，试求B与圆筒壁的作用力大小。

5、为了将一个长为2m的储液箱中的水和水银分开，在箱内放置一块质量可不计的隔热板AB ，板在A处有铰链，求要使板AB和水平面夹53°角，所需的的水银深度。已知水的深度为1m 、水和水银的密度分别为ρ水= 1.0×103kg/m3和ρ汞= 13.57×103kg/m3。

6、六个完全相同的刚性长条薄片依次架在一个水平碗上，一端搁在碗口，另一端架在另一个薄片的正中点。现将质量为m的质点置于A1A6的中点处，忽略各薄片的自重，试求A1B1薄片对A6B6的压力。

静力学（A ） 提示与答案：

1、提示：本题应用共点力平衡知识，正确画出两个小环的受力，做出力的矢量三角形，利用力三角形和空间几何三角形相似求解。 答案：Q P Q

+L 。

2、提示：本题利用力矩平衡知识求解，列方程注意转动点（或转动轴）应根据所求问题正确选取，另注意浮力的作用点在浸没段的中心点。 答案：2521ρ水 ；72

mg 。

3、提示：本题利用刚体平衡条件求解，列出力的平衡方程和力矩平衡方程求解，列力矩平衡方程注意转动点（或转动轴）应根据所求问题正确选取。 答案：0.125m 。

4、提示：隔离A 较佳，右图中的受力三角形和（虚线）空间几何三角形相似。根据系统水平方向平衡关系可知，N 即为题意所求。 答案：2R Rr 2r R --G 。

5、提示：液体的压力垂直容器壁，且作用点在深度的一半处。 答案：0.24m 。

6、提示：设A 1B 1对A 6B 6的作用力为N ，则由A 1B 1对支点A 2的平衡可得B 1对碗口的作用力为N ，由此类推，可得各薄片在碗口受的支持力可以推知如下图；但是，在求B 6处的支持力N ′时，N ′≠32N ，而应隔离如右图—— 以m 所放置的点为转轴，列力矩平衡方程，易得 N ′= 11N 答案：421

mg 。

高三物理竞赛练习静力学（B）

2010/8/11 学号 ____ 姓名 __________

7、已知横杆长为L ，自重W0（均质），与墙壁的摩擦系数为μ，绳与杆夹角为θ。试求：（1）平衡时μ与θ应满足的条件；（2）在杆上找到这样一点P ，使PB区域内加载任意重量的重物，系统的平衡均不会被破坏。

8、课桌面与水平面夹角α= 40°，桌面放一只六棱形铅笔，设铅笔相对课桌面不滑动，试求(1)铅笔与课桌面之间的静摩擦因素至少为多大？(2)平衡时铅笔与水平方向所成的最小角度φm？

。

9、不计摩擦，图示均质杆能平衡吗？若计摩擦，再回答前问题。不能平衡的请画出正确的平衡位置。

10、质量为m ，自然长度为2πa ，弹性系数为k的弹性圈，水平置于半径为R的固定刚性球上，不计摩擦。而且a = R/2 。（1）设平衡时圈长为2πb ，且b = 2a ，试求k值；（2）若k =

R

2

mg

2

，求弹性圈的平衡位置及长度。

11、半径为r的薄壁圆柱烧杯，质量为m ，重心离杯底H 。将水慢慢注入烧杯，设水的密度为ρ，试问：烧杯连同杯内水的共同重心最低时，水面离杯底多高？为什么？

12、四个半径相同的均质球放在光滑的水平面上，堆成锥形，下面三个球用细绳捆住，绳子与这三个求的球心共面。已知各球均重P ，试求绳子的张力。

静力学（B）提示与答案：

提示与答案

7、提示：第（1）问甚简； 第（2）问以“加载重物”W →∞讨论临界条件（W 未趋于∞时，A 处摩擦角必小于最大摩擦角）。 答案：（1）θ≤ arctg μ；（2）AP = 1

+θμctg L

。 8、提示： (2)

方法一：选取过O 点的棱为转轴（如图1），当铅笔与水平方向所成的最小角度φm ，桌面对铅笔的弹力对该转轴的力矩为零，把重力分别沿垂直桌面和平行桌面分解为F 1,F 2，再对平行桌面分量F 2沿垂直棱和平行棱分解为F 3,F 4；以过O 点的棱为转轴，有M F2+ M F3=0。

方法二：将铅笔用垂直“水平线”（原图中虚线）的平面去截，得图1阴影所示的截面，参见图

2 ，有 tg α= ?

φ30cos a cos 2

/a m

，可解φm 。此法甚简。

方法三：将铅笔看成在倾角为θ的“新斜面”上滚动（新斜面方向垂直铅笔的轴线），参见图3 ，显然有 sin θ= sin αcos φm 。 ①

但重力作用线与铅笔纵剖面夹角不再是30°，而为θ。参见图3 ，引进铅笔轴线和和铅直线的夹角Θ ，可知

cos Θ= m

m m

sin l sin )cos l cos l φθφ-φ（ = tg φm sin θ ②

又观4图，可得 sin Θ=

θ

sin 2/a a

= 2sin θ ③ 解①②③式，最后成 sin 2α( 4cos 2φm + sin 2φm ) = 1 。此法太繁，不可取。

答案：(1) φm ≥46.5°（2）μ≥tg α。

9、提示：略。

答案：不能；不能。光滑时的情形如图5所示；有摩擦时位置不唯一。

10、提示——

（1）参看图6 ，将圈分成n 段，且令n → ∞ ，每小段对应圆

心角θ，θ→ 0 ，对于这一小段，受力 ∑x F = 0

即 Gtg φ= 2Tsin 2θ 而 G = m ′g = π

θ

2m ·g 计算时应用极限 x

x

sin lim

x → = 1 （2）设长度2πb ′，代入第（1）问的一般关系可得 b ′= R 答案：（1）

R

2mg

122

π+）（ ；（2）不能在球上平衡。 11、提示：参看图7 ，令水深h ，杯子重心C 1 ，水的重心C 2 ，它们的共同重心C ，先据力矩平衡表达出x ，在表达出C 的高度y

y =

)

m h r (2h r mH 222

2+ρπρπ+ ，变形后成

ρπr 2h 2 － 2ρπr 2yh + ( H － y ) = 0

这是一个关于h 的一元二次方程，应用△≥0求y 的极小值…（这个过程仍然比较繁复）

答案：高度为2

22r H

r m 2m m ρπρπ++- 。

12、提示：连接四球体的球心，得图8所示的正四面形（三维图），并可求得

tg θ= 3

2r 3)3

2

r 3()r 22

2?

?-（ =

2

再参见图9（竖直平面图），可得上球对下球的压力的水平分量 N ′=

3P ctg θ= 6

2

P 最后参见图10（水平平面图），有3T = N ′ 答案：18

6

P 。

高二物理竞赛练习 静 力 学（C ）

编题：范传东 学号 ____ 姓名 __________

13、在竖直墙面上有两根相距为2a 的水平木桩A 和B ，另有一细木棒置于A 之上、B 之下，与竖直方向成θ角静止。棒与A 、B 的摩擦系数均为μ，现由于A 、B 的摩擦力恰好能使木棒不下坠，求此时棒的重心与A 桩的距离。 14、在均质木棒AB 两端各系一根轻绳，A 端的绳固定在天花板上，B 端的绳用力F 拉成水平，A 端的绳、棒和水平方向的夹角分别为α 、β 。试证明：tg α = 2tg β 。 15、半径为r 的均质球，受重力为G ，靠在竖直墙边，球跟墙面和水平地面间的摩擦系数均为μ。如果加一个竖直向下的力F ，试问：F 到球心的水平距离S 应为多大时，方能使球逆时针转动？ 16、如图所示，有一木板可绕其下端的水平轴转动，转轴位于一竖直墙面上。开始时木板与墙面的夹角15°，在夹角中放一正圆柱形木棍，截面半径为r ，在木板外侧加一力F 使其保持平衡。在木棍端面上画一竖直向上的箭头。已知木棍与墙面之间、木棍与木版之间的静摩擦系数分别为μ1 = 1.00, μ2 ≈ 0.577。若极缓慢地减小所加的力F ，使角慢慢张开，木棍下落。问当夹角张到

17、质量为m 、长为l 的均质细棒AB ，一端A 置于粗糙地面，另一端B 斜靠在粗糙的墙上。

自A 端向墙壁引垂线AO ，已知∠OAB = α ，棒与墙面间的摩擦系数为μ，地面足够粗糙。试求：（1

）棒不至于滑下时AOB 平面与铅垂面间的最大夹角θ；（2）上问情况下墙对棒的支持力。

18、截面为正方形的木棒水平地浮在水面上，为使木棒对垂直木棒的水平扰动呈稳定平衡，木棒的密度σ应为多大？ 静力学（C ） 提示与答案： 13、提示—— 方法一：利用刚体平衡条件求解。列出力的平衡方程和力矩平衡方程求解，列力矩平衡方程时

可分别选取A,B 为转动点求解。

方法二：利用“摩擦角”知识求解。

“恰好”不下坠时， A 、B 两处均达到最大运动趋势，这时两处的全反力R A 、R B 和重力G 必共点，受力分析如右图（其中C 为重心，φm 为最大摩擦角）

对△AOC ，有 )cos(AC

m φ+θ = θsin AO

对△AOB ，有

m 2sin a 2φ = m

cos AO

φ 针对两式消AO 解AC 即可（注意：φm = arctg μ） 答案：（

μ

1

ctg θ－1）a 。 14、提示：此题甚简，用三力共点处理即可。 答案：略

15、提示：力矩平衡的简单应用。

答案：F

)1()

G F 22+μ+μ+μ）（（r 。

16、提示——

由最大摩擦角φ1 m = 45°、φ2 m = 30°可以判断：

当θ<300时，假设φ1 = 45°，由三力交汇一点，必有φ2 >30°，故木棍必相对木板滑动,而实际φ1 <45°, 木棍相对墙滚动；

当θ>300时，若φ1 = 45°，由三力交汇一点，必有φ2 <30°，故木棍必相对木板不滑动而是滚动；由于实际φ2 <30°，由三力交汇一点，必有φ1 > 45°，故木棍相对墙滑动。

综上可知，棍先相对墙滚动，后相对板滚动。它们的分界处在板与墙夹角30°处（见右图）

棍转过圆心角 θ= r l ? ，而Δl = rctg 21α － rctg 2

2α

注意：棍后段相对板转动θ2时，板自身顺时针转动了30°，故总结果

应为

（θ1 － θ2）

π

?

2360 + 30° 答案：顺时针转过136.8°。

17、提示——

（1）A 不动，B 的运动趋势是yOz 平面的圆弧（图1和图3中虚线），据此可以判断f 的方向；同时，作为AB 整体，应将x ．轴视为．．．转动（趋势）的转轴．．。 但AB 的每一状态均为平衡态，而重力G 又在ABCD 平面内，故墙壁的全反力R 必然也在ABCD 平面！画出xOy 平面内的二维图（图2），可得

tg β= N

f y =

N

cos f θ

= μcos θ 而 tg β=

OA OC = α

θ

?αcos l sin sin l = tg α·sin θ 从这两式即可解出θ。

（2）求N 须先求f ，看yOz 平面内二维图（图3），以x 为轴 ΣM = 0 ，即 f ·BO = mg ·

2

BO

sin θ 解f 后，再求N 即可。 答案：（1）arctg （μctg α）；（2）

2

2

tg 21μ

+αmg 。

18、提示：参见右图，设以O 为轴扰动θ角（θ极小），

求“新浮力”可用填补法：F 浮′= F 0 + F 1 － F 2 （F 1 、F 2的作用点在两边三角形的重心，由于θ极小，这两处重心到O 点的距离约为3

22

a ? =

3

a ），故扰动后—— M 顺 ≈ Gh 1θ+ F 0h 2θ= G θ（h 1 + h 2）= G θ（2

a － h 2）

M 逆 ≈ 2·F 1·3a = 3a 2·ρ水g 8a 3θ = 12

1ρ水g a 4θ= G

θ

2

2

h 24a 要达成稳定平衡，须满足 M 顺＞M 逆 ，可以解出：h 2 ＞ 1233+ a ，h 2′＜ 12

3

3- a 再不难推出密度关系：σ= a

h 22

ρ水 ，即得答案。 答案：0＜σ＜

6

33-ρ水 或者

6

33+ρ水＜σ＜ρ水 均可。

（商榷：若不以O 为轴转动，答案是否变化？）

高二物理竞赛测验 静 力 学

编题：范传东 学号 ____ 姓名 __________

1、三根长度相同的，质量均为m的均质刚性细杆，用光滑且质量可以忽略的铰链两两相连而成一个等边三角形框架，然后将其一个顶点悬挂起来，（1）试求平衡时水平杆两端所受力的大小；（2）能否在水平杆之中点悬挂一重物，使此杆两端所受力的方向恰好与左右两侧杆方向平行？

2、长为2 L的均质棒AB，一端抵在光滑墙上，棒身又斜靠在与墙相距d的光滑直角上（d ＜Lcosθ）。当棒处于平衡时，求它与水平面夹角θ。

3、光滑无底圆筒重W，内放两个各重为G的光滑球，已知球半径为r ，圆筒半径为R（r ＜R ＜2r），试求圆筒发生倾斜的条件。

4、边长为a 、质量为10m的立方块置于倾斜角为30°的固定斜面上。半径为a/2 、质量为m 的圆柱依次搁置成一排。物块与柱体、柱体之间、柱体与斜面均为光滑接触，但物块与斜面之间的摩擦系数μ= 22/3。试求：系统保持静止时，最多可依次放置多少个圆柱体？

5、均质轮轴重量为P ，半径为R ，轮轴上轮毂半径为r，在轮毂上缠绕轻质绳经过定滑轮系以重物，各处摩擦系数均为μ，α角已知，试求平衡时重物的最大重量W 。

《静力学考试》提示与答案

1、提示——

参见右图，隔离左边杆，以C 为轴可定R 大致方位，再以B 为轴ΣM = 0

即 G =

2

L

sin30°= RLsin θ ① 再隔离下杆， ΣF y = 0 有2Rsin （60°－θ）= G ② 解①②得 tg θ= 3/5

再代入①求R 即可。

答案：（1）0.764mg （即21G/6）；（2）不能，侧杆无法维持对B 点的转动平衡

2、提示：此题甚简，用三力共点处理即可。

答案：arccos 3

l

d 。

3、提示——

参见右图，看圆筒、球的整体，可避免寻求筒与球的横向作用力。显然，要翻倒，应满足：

N （2R －r ）＞ (W + 2G)R ①

求N 时隔离两球，得 N = 2G ② 解①②即可。

答案：

W

G ＞)r R 2R -（。

4、提示——

参见右图，若考虑质心平衡，滑动临界状态，φ = φm = 43.3°。因N 、G 过O 点，全反力R 要过O 点，其作用点Q 必在A 之右（因为43.3°＜45°），故可判断——立方块尚未转动！

（这段论证的意义在于：．．．．．．．．．．N ．逐渐增大时，．．．．．．方块是先滑后转，而非先转后滑，这点很重．．．．．．．．．．．．．．．．．．．要．

） 常规计算可得，此时N = 3.165 mg ,合6.33个球的累积。

（若常规计算转动临界条件，N = 3.66 mg ,合7.32个球体之累积） 答案：6个。（商榷：此题是可以改成翻转趋势在前——φm ＞ 45°？）

5、提示——

此题解法基本，且不宜引入摩擦角。 参见右图，张力T 过Q 点之上，轮必右滚；

T 张力过Q 点，无转动趋势，M 点无作用，即可三力共点（引入Q 点接触反力）解； T 过Q 点之下，轮有逆时针转动趋势，

以O 为轴，f R + f ′R = Tr ①

ΣF y = 0 ，即 f + Tcosα + μ

'

f = P ② ΣF x = 0 ，即 f ′=

μ

f

+ Tsinα ③ 解①②③式即可。 答案：若sinα ＞

R r ，W = 0 ；若sinα = R r ，W = α+αμμsin cos P ；若sinα ＜R

r

，W =

[

]

r

)1(R )sin (cos )sin (cos PR

222μ++α+αμ+α+αμμ+μ）（。

补充习题：

1、半径为R、质量为M1的均匀圆球与一质量为M2的重物分别用细绳AD和ACE悬挂于同一点A，并处于平衡，如图所示。已知悬点A到球心O的距离为L，不考虑绳的质

量和绳与球心的摩擦，试求悬挂圆球的绳AD与竖直方向AB的夹角θ。（第

十届预赛）

2、半径为r、质量为m的三个相同的刚性球放在光滑的水平桌面上，两两互相接触。用一个高为1.5r的圆柱形刚性园筒（上下均无底）将此三球套在筒内，园筒的半径取适当值，使得各球间以及球与筒壁之间均保持无形变接触。现取一质量亦为m、半径为R的第四个球，放在三球上方的正中。

设四个球的表面、园筒的内壁表面均由相同物质构成，其相互之间的最大静摩擦系数均为μ=

15

3

（约等于0.775），问R取何值时，用手轻轻竖直向上提起园筒即能将四个球一起提起来？（第八届预赛）

3、一个质量为m，管口截面为S的薄壁长玻璃管内灌满密度为的水银，

现把它竖直倒插在水银槽中，再慢慢与槽中的水银面接触。这时，玻璃管

内水银的高度为h。现将管的封闭端挂在天平的一个盘的挂钩上，而在天

平另一个盘中放砝码，如图所示。要使天平平衡，则所加砝码的质量等于

______________。（第十五届预赛）

4、如图所示，方桌重100N，前后腿与地面的动摩擦因数为0.20，桌

的宽与高相等。求：（1）拉力F、地面对前、后腿的支持力和摩擦

力。（2）设前、后腿与地面间的静摩擦因数为0.60。在方桌的前

端用多大水平力拉桌可使桌子以前腿为轴向前翻倒？5、三根重均为G、长均为a的相同均匀木杆（其直径d?a）如图对称地靠在一起，三木杆底端间

均相距a，求：（1）A杆顶端所受作用力的大小和方向，（2）若有一重为G的人坐在A杆中点处，则A杆顶端所受作用力的大小和方向又如何？

答案：（1） 2 ／4， 3 G／3，tg－1 2 /2.。

6、小木块和水平地面之间的动摩擦因素为μ，用一个与水平方向成多大角度的力F拉着小木块做匀速直线运动最省力？