矩阵的对角化及其应用

学院2016届

本科毕业论文(设计) 矩阵的对角化及其应用

学生：学号：

专业：数学与应用数学指导老师：

答辩时间：2016.5.22 装订时间：2016.5.25

A Graduation Thesis (Project)

Submitted to School of Science, Hubei University for

Nationalities

In Partial Fulfillment of the Requiring for BS Degree

In the Year of 2016 Diagonalization of the Matrix and its Applications

Student Name Student No.:

Specialty: Mathematics and Applied Mathematics Supervisor:

Date of Thesis Defense:2016.5.22 Date of Bookbinding: 2016.5.25

摘要

矩阵在大学数学中是一个重要工具，在很多方面应用矩阵能简化描述性语言，而且也更容易理解，比如说线性方程组、二次方程等. 矩阵相似是一个等价关系，利用相似可以把矩阵进行分类，其中与对角矩阵相似的一类矩阵尤为重要，这类矩阵有很好的性质，方便我们解决其它的问题. 本文从矩阵的对角化的诸多充要条件及充分条件着手，探讨数域上任意一个n阶矩阵的对角化问题，给出判定方法，研究判定方法间的相互关系，以及某些特殊矩阵的对角化，还给出如幂等矩阵、对合矩阵、幂幺矩阵对角化的应用.

关键词：对角矩阵，实对称矩阵，幂等矩阵，对合矩阵，特征值，特征向量，最小多项式

Abstract

The matrix is an important tool in college mathematics, and can simplify the description language based on the application of matrix in many ways. So it is easier to understand in many fields, for example, linear equations, quadratic equations. In many characteristics, the matrix similarity is an very important aspect. We know that the matrix similarity is an equivalence relation by which we can classify matrix, the diagonal matrix is very important. This kind of matrix has good properties, and it is convenient for us to solve other problems, such as the application of similar matrix in linear space. In this paper, we first discuss many necessary and sufficient conditions of diagonalization of matrix and then give some applications of special matrix diagonalization.

Key words: diagonal matrix，real symmetric matrix，idempotent matrix，involutory matrix，the eigenvaule，the feature vector，minimal

polynomial

目录

摘要......................................................................................................I Abstract................................................................................................II 绪言 (1)

课题背景 (1)

目的和意义 (1)

国外概况 (1)

预备知识 (2)

相关概念 (2)

矩阵的对角化 (4)

特殊矩阵的对角化 (14)

矩阵对角化的应用 (22)

总结 (24)

致谢 (25)

参考文献 (26)

独创声明 (28)

1 绪言

本课题研究与矩阵的对角化相关的问题，从对角化的判定展开论述，结合其它学术期刊的结论加上自己的体会，希望能让读者更好的理解矩阵及其对角化的妙处.

1.1 课题背景

在由大学数学系几何与代数教研室前代数小组编、王萼芳与石生明修订、高等教育出版的《高等代数》一书中，我们为了方便线性方程组的运算引入了矩阵的概念. 在线性方程组的讨论中我们看到，线性方程组的系数矩阵和增广矩阵反应出线性方程组的一些重要性质，并且解方程组的过程也表现为变换这些矩阵的过程.除线性方程组之外，还有大量的各种各样的问题也提出矩阵的概念，并且这些问题的研究常常反应为有关矩阵的某些方面的研究，甚至于有些性质完全不同的、表面上完全没有联系的问题，归结为矩阵问题以后却是相同的. 在二次型中我们用矩阵研究二次型的性质，引入了矩阵合同、正定、负定、半正定、半负定等概念及其判别方法.在向量空间中用矩阵研究线性变换的性质，引入矩阵相似的概念，这是一种等价关系，利用它我们把矩阵分类，其中与对角矩阵相似的矩阵引起的我们的注意，由此我们对线性变换归类，利用简单的矩阵研究复杂的，方便我们看待问题，进而又引入对角型矩阵、λ矩阵及若尔当标准型.本文主要由矩阵定义和向量空间研究矩阵的对角化，从不同角度揭示矩阵对角化的判定及其性质，还给出特殊矩阵的对角化及其相应的应用.

1.2 课题研究的目的和意义

课题研究的意义：

(1) 研究矩阵对角化的判定定理及应用，为其它学术研究提供便捷的工具；

(2) 比较全面的介绍矩阵的对角化，方便读者的整体理解和应用；

1.3 国外概况

实数域、复数域等数域上的矩阵的对角化研究已经很成熟，涉及特征值、最小多