中考数学压轴题专题复习——平行四边形的综合附答案

中考数学压轴题专题复习——平行四边形的综合附答案

一、平行四边形

1．（问题情景）利用三角形的面积相等来求解的方法是一种常见的等积法，此方法是我们解决几何问题的途径之一．

例如：张老师给小聪提出这样一个问题：

如图1，在△ABC中，AB=3，AD=6，问△ABC的高AD与CE的比是多少？

小聪的计算思路是：

根据题意得：S△ABC=1

2

BC?AD=

1

2

AB?CE．

从而得2AD=CE，∴

1

2 AD CE

请运用上述材料中所积累的经验和方法解决下列问题：

（1）（类比探究）

如图2，在?ABCD中，点E、F分别在AD，CD上，且AF=CE，并相交于点O，连接BE、BF，

求证：BO平分角AOC．

（2）（探究延伸）

如图3，已知直线m∥n，点A、C是直线m上两点，点B、D是直线n上两点，点P是线段CD中点，且∠APB=90°，两平行线m、n间的距离为4．求证：PA?PB=2AB．

（3）（迁移应用）

如图4，E为AB边上一点，ED⊥AD，CE⊥CB，垂足分别为D，C，∠DAB=∠B，

AB=34，BC=2，AC=26，又已知M、N分别为AE、BE的中点，连接DM、CN．求

△DEM与△CEN的周长之和．

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）34

【解析】

分析：(1)、根据平行四边形的性质得出△ABF和△BCE的面积相等，过点B作OG⊥AF于

G，OH⊥CE于H，从而得出AF=CE，然后证明△BOG和△BOH全等，从而得出

∠BOG=∠BOH，即角平分线；(2)、过点P作PG⊥n于G，交m于F，根据平行线的性质得出△CPF和△DPG全等，延长BP交AC于E，证明△CPE和△DPB全等，根据等积法得出

AB=AP×PB，从而得出答案；(3)、，延长AD，BC交于点G，过点A作AF⊥BC于F，设CF=x，根据Rt△ABF和Rt△ACF的勾股定理得出x的值，根据等积法得出AE=2DM=2EM，BE=2CN=2EN， DM+CN=AB，从而得出两个三角形的周长之和．

同理：EM+EN=AB

详解：证明：（1）如图2，∵四边形ABCD是平行四边形，

∴S△ABF=S?ABCD，S△BCE=S?ABCD，∴S△ABF=S△BCE，

过点B作OG⊥AF于G，OH⊥CE于H，∴S△ABF=AF×BG，S△BCE=CE×BH，

∴AF×BG=CE×BH，即：AF×BG=CE×BH，∵AF=CE，∴BG=BH，

在Rt△BOG和Rt△BOH中，，∴Rt△BOG≌Rt△BOH，∴∠BOG=∠BOH，

∴OB平分∠AOC，

（2）如图3，过点P作PG⊥n于G，交m于F，∵m∥n，∴PF⊥AC，

∴∠CFP=∠BGP=90°，∵点P是CD中点，

在△CPF和△DPG中，，∴△CPF≌△DPG，∴PF=PG=FG=2，

延长BP交AC于E，∵m∥n，∴∠ECP=∠BDP，∴CP=DP，

在△CPE和△DPB中，，∴△CPE≌△DPB，∴PE=PB，

∵∠APB=90°，∴AE=AB，∴S△APE=S△APB，

∵S△APE=AE×PF=AE=AB，S△APB=AP×PB，

∴AB=AP×PB，即：PA?PB=2AB；

（3）如图4，延长AD，BC交于点G，∵∠BAD=∠B，

∴AG=BG，过点A作AF⊥BC于F，

设CF=x（x＞0），∴BF=BC+CF=x+2，在Rt△ABF中，AB=，

根据勾股定理得，AF2=AB2﹣BF2=34﹣（x+2）2，在Rt△ACF中，AC=，

根据勾股定理得，AF2=AC2﹣CF2=26﹣x2，

∴34﹣（x+2）2=26﹣x2，∴x=﹣1（舍）或x=1，∴AF==5，

连接EG，∵S△ABG=BG×AF=S△AEG+S△BEG=AG×DE+BG×CE=BG（DE+CE），

∴DE+CE=AF=5，在Rt△ADE中，点M是AE的中点，∴AE=2DM=2EM，

同理：BE=2CN=2EN，∵AB=AE+BE，∴2DM+2CN=AB，∴DM+CN=AB，

同理：EM+EN=AB ∴△DEM与△CEN的周长之和=DE+DM+EM+CE+CN+EN=（DE+CE）

+[（DM+CN）+（EM+EN）]

=（DE+CN）+AB=5+．

点睛：本题主要考查的就是三角形全等的判定与性质以及三角形的等积法，综合性非常强，难度较大．在解决这个问题的关键就是作出辅助线，然后根据勾股定理和三角形全等得出各个线段之间的关系．

2．四边形ABCD是正方形，AC与BD，相交于点O，点E、F是直线AD上两动点，且

AE=DF，CF所在直线与对角线BD所在直线交于点G，连接AG，直线AG交BE于点H．（1）如图1，当点E、F在线段AD上时，①求证：∠DAG=∠DCG；②猜想AG与BE的位置关系，并加以证明；

（2）如图2，在（1）条件下，连接HO，试说明HO平分∠BHG；

（3）当点E、F运动到如图3所示的位置时，其它条件不变，请将图形补充完整，并直接写出∠BHO的度数．

【答案】（1）①证明见解析；②AG⊥BE．理由见解析；（2）证明见解析；（3）

∠BHO=45°．

【解析】

试题分析：（1）①根据正方形的性质得DA=DC，∠ADB=∠CDB=45°，则可根据“SAS”证明△ADG≌△CDG，所以∠DAG=∠DCG；②根据正方形的性质得AB=DC，

∠BAD=∠CDA=90°，根据“SAS”证明△ABE≌△DCF，则∠ABE=∠DCF，由于∠DAG=∠DCG，所以∠DAG=∠ABE，然后利用∠DAG+∠BAG=90°得到∠ABE+∠BAG=90°，于是可判断

AG⊥BE；

（2）如答图1所示，过点O作OM⊥BE于点M，ON⊥AG于点N，证明△AON≌△BOM，可得四边形OMHN为正方形，因此HO平分∠BHG结论成立；

（3）如答图2所示，与（1）同理，可以证明AG⊥BE；过点O作OM⊥BE于点M，

ON⊥AG于点N，构造全等三角形△AON≌△BOM，从而证明OMHN为正方形，所以HO 平分∠BHG，即∠BHO=45°．

试题解析：（1）①∵四边形ABCD为正方形，

∴DA=DC，∠ADB=∠CDB=45°，

在△ADG和△CDG中

，

∴△ADG≌△CDG（SAS），

∴∠DAG=∠DCG；

②AG⊥BE．理由如下：

∵四边形ABCD为正方形，

∴AB=DC，∠BAD=∠CDA=90°，

在△ABE和△DCF中

，

∴△ABE≌△DCF（SAS），

∴∠ABE=∠DCF，

∵∠DAG=∠DCG，

∴∠DAG=∠ABE，

∵∠DAG+∠BAG=90°，

∴∠ABE+∠BAG=90°，

∴∠AHB=90°，

∴AG⊥BE；

（2）由（1）可知AG⊥BE．

如答图1所示，过点O作OM⊥BE于点M，ON⊥AG于点N，则四边形OMHN为矩形．

∴∠MON=90°，

又∵OA⊥OB，

∴∠AON=∠BOM．

∵∠AON+∠OAN=90°，∠BOM+∠OBM=90°，