C03【数学】2010年高考数学计算试题分类汇编——函数
2010年高考数学试题分类汇编——函数
(2010上海文数)22.(本题满分16分)本题共有3个小题,第1小题满分3分,第2小题满分5分,第3小题满分8分。
若实数x 、y 、m 满足x m y m -<-,则称x 比y 接近m . (1)若2
1x -比3接近0,求x 的取值范围;
(2)对任意两个不相等的正数a 、b ,证明:22a b ab +比33
a b +接近2ab ab ;
(3)已知函数()f x 的定义域{}
,,D x x k k Z x R π≠∈∈.任取x D ∈,()f x 等于1sin x +和1sin x -中接近0的那个值.写出函数()f x 的解析式,并指出它的奇偶性、最小正周期、最小值和单调性(结论不要求证明). 解析:(1) x ∈(-2,2);
(2) 对任意两个不相等的正数a 、b ,有222a b ab ab ab +>,332a b ab ab +>, 因为22332|2||2|()()0a b ab ab ab a b ab ab a b a b +--+-=-+-<,
所以2233|2||2|a b ab ab ab a b ab ab +-<+-,即a 2b +ab 2比a 3+b 3接近2ab ab ; (3) 1sin ,(2,2)
()1|sin |,1sin ,(2,2)x x k k f x x x k x x k k πππππππ+∈-?==-≠?
-∈+?
,k ∈Z , f (x )是偶函数,f (x )是周期函数,最小正周期T =π,函数f (x )的最小值为0, 函数f (x )在区间[,)2k k π
ππ-单调递增,在区间(,]2
k k π
ππ+单调递减,k ∈Z .
(2010湖南文数)21.(本小题满分13分) 已知函数()(1)ln 15,a
f x x a x a x
=
++-+其中a<0,且a ≠-1. (Ⅰ)讨论函数()f x 的单调性;
(Ⅱ)设函数
332(23646),1
(),1
(){x x ax ax a a e x e f x x g x -++--≤?>=(e 是自然数的底数)。是
否存在a ,使()g x 在[a,-a]上为减函数?若存在,求a 的取值范围;若不存在,请说明理由。
(2010浙江理数) (22)(本题满分14分)已知a 是给定的实常数,设函数
22()()()f x x a x b e =-+,b R ∈, x a =是()f x 的一个极大值点.
(Ⅰ)求b 的取值范围;
(Ⅱ)设123,,x x x 是()f x 的3个极值点,问是否存在实数b ,可找到4x R ∈,使得
1234,,,x x x x 的某种排列1234,,,i i i i x x x x (其中{}1234,,,i i i i ={}1,2,3,4)依次成等差数列?若存
在,求所有的b 及相应的4x ;若不存在,说明理由.
解析:本题主要考查函数极值的概念、导数运算法则、导数应用及等差数列等基础知识,同时考查推理论证能力、分类讨论等综合解题能力和创新意识。
(Ⅰ)解:f ’(x)=e x (x-a) 2
(3)2,x a b x b ab a ??+-++--??
令
22
2
()(3)2,
=(3-a+b)4(2)(1)80,
g x x a b x b ab a b ab a a b =+-++--?---=+-+>则
于是,假设1212,()0.x x g x x x =<是的两个实根,且
(1) 当x 1=a 或x 2=a 时,则x=a 不是f(x)的极值点,此时不合题意。 (2) 当x 1≠a 且x 2≠a 时,由于x=a 是f(x)的极大值点,故x 1 即2 (3)20a a b a b ab a +-++--< 所以b <-a 所以b 的取值范围是(-∞,-a ) 此时4223x x a a b =-=--+ 2(1)826a b a a +-+-=+ 或4223x x a a b =-=--2 (1)826a b a a -+-+-=- (2)当21x a a x -=-时,则212()x a a x -=-或12()2()a x x a -=- 于是1a b +-= 913 2 -- 此时42(3)3(3)113 3242 a x a a b a b x b a ++---++-= ==--=+ 综上所述,存在b 满足题意, 当b=-a-3时,426x a =± 7132b a +=-- 时,4113 2x a +=+ 7132b a -=-- 时,4113 2 x a -=+ (2010全国卷2理数)(22)(本小题满分12分) 设函数()1x f x e -=-. (Ⅰ)证明:当x >-1时,()1 x f x x ≥ +; (Ⅱ)设当0x ≥时,()1 x f x ax ≤ +,求a 的取值范围. 【命题意图】本题主要考查导数的应用和利用导数证明不等式,考查考生综合运用知识的能力及分类讨论的思想,考查考生的计算能力及分析问题、解决问题的能力. 【参考答案】 【点评】导数常作为高考的压轴题,对考生的能力要求非常高,它不仅要求考生牢固掌握基础知识、基本技能,还要求考生具有较强的分析能力和计算能力.估计以后对导数的考查力度不会减弱。作为压轴题,主要是涉及利用导数求最值解决恒成立问题,利用导数证明不等式等,常伴随对参数的讨论,这也是难点之所在. (2010陕西文数)21、(本小题满分14分) 已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R。 (1)若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值及该切线的方程; (2)设函数h(x)=f(x)- g(x),当h(x)存在最小之时,求其最小值?(a)的解析式;(3)对(2)中的?(a),证明:当a∈(0,+∞)时,?(a)≤1. 解(1)f’(x)= 1 2x ,g’(x)= a x (x>0), 由已知得x=alnx, 1 2x = a x ,解德a= 2 e ,x=e2, 两条曲线交点的坐标为(e2,e)切线的斜率为k=f’(e2)= 1 2e, 切线的方程为y-e=1 2e(x- e2). (2)由条件知 Ⅰ 当a.>0时,令h '(x)=0,解得x=2 4a , 所以当0 < x< 24a 时 h '(x)<0,h(x)在(0,2 4a )上递减; 当x >24a 时,h '(x)>0,h(x)在(0,2 4a )上递增。 所以x >2 4a 是h(x )在(0, +∞ )上的唯一极致点,且是极小值点,从而也是h(x)的最小值点。 所以Φ (a )=h(24a )= 2a-aln 2 4a =2 Ⅱ当a ≤ 0时,h(x)=(1/2-2a) /2x>0,h(x)在(0,+∞)递增,无最小值。 故 h(x) 的最小值Φ (a )的解析式为2a(1-ln2a) (a>o) (3)由(2)知Φ (a )=2a(1-ln2a) 则 Φ 1(a )=-2ln2a ,令Φ 1 (a )=0 解得 a =1/2 当 0 (a )>0,所以Φ (a ) 在(0,1/2) 上递增 当 a>1/2 时, Φ 1 (a )<0,所以Φ(a ) 在 (1/2, +∞)上递减。 所以Φ(a )在(0, +∞)处取得极大值Φ(1/2 )=1 因为Φ(a )在(0, +∞)上有且只有一个极致点,所以Φ(1/2)=1也是Φ(a )的最大值 所当a 属于 (0, +∞)时,总有Φ(a ) ≤ 1 (2010辽宁文数)(21)(本小题满分12分) 已知函数2 ()(1)ln 1f x a x ax =+++. (Ⅰ)讨论函数()f x 的单调性; (Ⅱ)设2a ≤-,证明:对任意12,(0,)x x ∈+∞,1212|()()|4||f x f x x x -≥-. 解:(Ⅰ) f (x )的定义域为(0,+∞),2121 ()2a ax a f x ax x x +++'=+=. 当a ≥0时,()f x '>0,故f (x )在(0,+∞)单调增加; 当a ≤-1时,()f x '<0, 故f (x )在(0,+∞)单调减少; 当-1<a <0时,令()f x '=0,解得x =1 2a a +- .当x ∈(0, 1 2a a +- )时, ()f x '>0; x ∈(1 2a a +- ,+∞)时,()f x '<0, 故f (x )在(0, 12a a +- )单调增加,在(1 2a a +-,+∞)单调减少. (Ⅱ)不妨假设x 1≥x 2.由于a ≤-2,故f (x )在(0,+∞)单调减少. 所以1212()()4f x f x x x -≥-等价于 12()()f x f x -≥4x 1-4x 2, 即f (x 2)+ 4x 2≥f (x 1)+ 4x 1. 令g (x )=f (x )+4x ,则 1 ()2a g x ax x +'= ++4 =2241ax x a x +++. 于是()g x '≤2441x x x -+-=2 (21)x x --≤0. 从而g (x )在(0,+∞)单调减少,故g (x 1) ≤g (x 2), 即 f (x 1)+ 4x 1≤f (x 2)+ 4x 2,故对任意x 1,x 2∈(0,+∞) ,1212()()4f x f x x x -≥-. (2010辽宁理数)(21)(本小题满分12分) 已知函数1ln )1()(2 +++=ax x a x f (I )讨论函数)(x f 的单调性; (II )设1- (Ⅰ)()f x 的定义域为(0,+∞). 2121 '()2a ax a f x ax x x +++=+=. 当0a ≥时,'()f x >0,故()f x 在(0,+∞)单调增加; 当1a ≤-时,'()f x <0,故()f x 在(0,+∞)单调减少; 当-1<a <0时,令'()f x =0,解得12a x a +=- . 则当1(0,)2a x a +∈- 时,'()f x >0;1 (,)2a x a +∈-+∞时,'()f x <0. 故()f x 在1(0,)2a a +- 单调增加,在1 (,)2a a +-+∞单调减少. (Ⅱ)不妨假设12x x ≥,而a <-1,由(Ⅰ)知在(0,+∞)单调减少,从而 12,(0,)x x ?∈+∞,1212()()4f x f x x x -≥- 等价于 12,(0,)x x ?∈+∞,2211()4()4f x x f x x +≥+ ① 令()()4g x f x x =+,则1 '()24a g x ax x += ++ ①等价于()g x 在(0,+∞)单调减少,即 1 240a ax x +++≤. 从而222 222 41(21)42(21)2212121 x x x x a x x x ------≤==-+++ 故a 的取值范围为(-∞,-2]. ……12分 (2010全国卷2文数)(21)(本小题满分12分) 已知函数f (x )=x 3-3ax 2+3x+1。 (Ⅰ)设a=2,求f (x )的单调期间; (Ⅱ)设f (x )在区间(2,3)中至少有一个极值点,求a 的取值范围。 【解析】本题考查了导数在函数性质中的应用,主要考查了用导数研究函数的单调区间、极值及函数与方程的知识。 (1)求出函数的导数,由导数大于0,可求得增区间,由导数小于0,可求得减区间。 (2)求出函数的导数()f x ',在(2,3)内有极值,即为()f x '在(2,3)内有一个零点,即可根据(2)(3)0f f ''<,即可求出A 的取值范围。 (2010江西理数)19. (本小题满分12分) 设函数()()ln ln 2(0)f x x x ax a =+-+>。 (1)当a=1时,求()f x 的单调区间。 (2)若()f x 在(]01,上的最大值为 1 2 ,求a 的值。 【解析】考查函数导数运算、利用导数处理函数最值等知识。 解:对函数求导得:11()2f x a x x '= -+-,定义域为(0,2) (1) 单调性的处理,通过导数的零点进行穿线判别符号完成。 当a=1时,令2112 ()0+1=0022x f x x x x x -+'=- ?=--得() 当(0,2),()0,x f x '∈>为增区间;当(22),()0,x f x '∈<, 为减函数。 (2) 区间(]01,上的最值问题,通过导数得到单调性,结合极值点和端点的比较得到,确定 待定量a 的值。 当(]01x ∈,有最大值,则必不为减函数,且11 ()2f x a x x '=-+->0,为单调递增区间。 最大值在右端点取到。max 1(1)2 f f a ===。 (2010安徽文数)20.(本小题满分12分) 设函数()sin cos 1f x x x x =-++,02 x π << ,求函数()f x 的单调区间与极值。 【命题意图】本题考查导数的运算,利用导数研究函数的单调性与极值的方法,考查综合应用数学知识解决问题的能力. 【解题指导】(1)对函数()sin cos 1f x x x x =-++求导,对导函数用辅助角公式变形,利用导数等于0得极值点,通过列表的方法考查极值点的两侧导数的正负,判断区间的单调性,求极值. ,,,()12(). 4 23()0()422 ()x x x x x x x x π πππ π=++=+===解:由f(x)=sinx-cosx+x+1,0 当变化时,f ,f(x)变化情况如下表: 322 3332 222 ππππππ πππ+因此,由上表知f(x)的单调递增区间是(0,)与( ,),单调递增区间是(,),极小值为f()=,极大值为f()= 【思维总结】对于函数解答题,一般情况下都是利用导数来研究单调性或极值,利用导数为 0得可能的极值点,通过列表得每个区间导数的正负判断函数的单调性,进而得出极值点. (2010重庆文数)(19) (本小题满分12分), (Ⅰ)小问5分,(Ⅱ)小问7分.) 已知函数32 ()f x ax x bx =++(其中常数a,b ∈R),()()()g x f x f x '=+是奇函数. (Ⅰ)求()f x 的表达式; (Ⅱ)讨论()g x 的单调性,并求()g x 在区间[1,2]上的最大值和最小值. (2010浙江文数)(21)(本题满分15分)已知函数2 ()()f x x a =-(a-b )(,,a b R a ∈ (2010重庆理数)(18)(本小题满分13分,(I )小问5分,(II )小问8分) 已知函数()()1 ln 1,x f x x x a -=+++其中实数1a ≠。 (I ) 若a=-2,求曲线()y f x =在点()() 0,0f 处的切线方程; (II ) 若()f x 在x=1处取得极值,试讨论()f x 的单调性。 (2010山东文数)(21)(本小题满分12分) 已知函数1()ln 1()a f x x ax a R x -=-+ -∈ (I )当1a =-时,求曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程; (II )当1 2 a ≤ 时,讨论()f x 的单调性. (2010北京文数)(20)(本小题共13分) 已知集合 121{|(,,),{0,1},1,2,,}(2)n n S X X x x x x i n n ==∈=≥…,…对于 12(,,,)n A a a a =…,12(,,,)n n B b b b S =∈…,定义A 与B 的差为 1122(||,||,||);n n A B a b a b a b -=---… A 与 B 之间的距离为111 (,)||i d A B a b -= -∑ (Ⅰ)当n=5时,设(0,1,0,0,1),(1,1,1,0,0)A B ==,求A B -,(,)d A B ; (Ⅱ)证明:,,,n n A B C S A B S ?∈-∈有,且(,)(,)d A C B C d A B --=; (Ⅲ) 证明:,,,(,),(,),(,)n A B C S d A B d A C d B C ?∈三个数中至少有一个是偶数 (Ⅰ)解:(01,11,01,00,10)A B -=-----=(1,0,1,0,1) (,)0111010010d A B =-+-+-+-+-=3 (Ⅱ)证明:设121212(,,,),(,,,),(,,,)n n n n A a a a B b b b C c c c S =???=???=???∈ 因为11,{0,1}a b ∈,所以11{0,1}(1,2,,)a b i n -∈=??? 从而1122(,,)n n n A B a b a b a b S -=--???-∈ 由题意知,,{0,1}(1,2,,)i i i a b c i n ∈=??? 当0i c =时,i i i i i i a c b c a b ---=- 当1i c =时,(1)(1)i i i i i i i i a c b c a b a b ---=---=- 所以1 (,)(,)n i i i d A C B C a b d A B =--= -=∑ (Ⅲ)证明:设121212(,,,),(,,,),(,,,)n n n n A a a a B b b b C c c c S =???=???=???∈ (,),(,),(,)d A B k d A C l d B C h === 记0(0,0,0)n S =???∈由(Ⅱ)可知 (,)(,)(0,)(,)(,)(0,)(,)(,)d A B d A A B A d B A k d A C d A A C A d C A l d B C d B A C A h =--=-==--=-==--= 所以(1,2,,)i i b a i n -=???中1的个数为k,(1,2,,)i i c a i n -=???中1的个数为l 设t 是使1i i i i b a c a -=-=成立的i 的个数。则2h l k t =+- 由此可知,,,k l h 三个数不可能都是奇数 即(,),(,),(,)d A B d A C d B C 三个数中至少有一个是偶数。 (2010北京理数)(18)(本小题共13分) 已知函数f (x )=In(1+x )-x + 2 2 x x (k ≥0)。 (Ⅰ)当k =2时,求曲线y =f (x )在点(1,f (1))处的切线方程; (Ⅱ)求f (x )的单调区间。 解:(I )当2k =时,2 ()ln(1)f x x x x =+-+,1 '()121f x x x =-++ 由于(1)ln 2f =,3'(1)2 f = , 所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为 3 ln 2(1)2 y x -= - 即 322l n 230 x y -+-= (II )(1) '()1x kx k f x x +-= +,(1,)x ∈-+∞. 当0k =时,'()1x f x x =-+. 所以,在区间(1,0)-上,'()0f x >;在区间(0,)+∞上,'()0f x <. 故()f x 得单调递增区间是(1,0)-,单调递减区间是(0,)+∞. 当01k <<时,由(1)'()01x kx k f x x +-= =+,得10x =,210k x k -=> 所以,在区间(1,0)-和1(,)k k -+∞上,'()0f x >;在区间1(0,)k k -上, '()0f x < 故()f x 得单调递增区间是(1,0)-和1( ,)k k -+∞,单调递减区间是1(0,)k k -. 当1k =时,2 '()1x f x x =+ 故()f x 得单调递增区间是(1,)-+∞. 当1k >时,(1)'()01x kx k f x x +-= =+,得11(1,0)k x k -=∈-,20x =. 所以没在区间1(1,)k k --和(0,)+∞上,'()0f x >;在区间1(,0)k k -上, '()0f x < 故()f x 得单调递增区间是1(1, )k k --和(0,)+∞,单调递减区间是1(,0)k k - (2010四川理数)(22)(本小题满分14分) 设11x x a f (x )a +=-(0a >且1a ≠),g (x )是f (x )的反函数. (Ⅰ)设关于x 的方程求2 17a t log g(x )(x )(x ) =--在区间[2,6]上有实数解,求t 的取值范围; (Ⅱ)当a =e (e 为自然对数的底数)时,证明:2 2 221n k n n g(k )n(n )=-->+∑; (Ⅲ)当0<a ≤1 2时,试比较1 n k f (k )n =∣-∣∑ 与4的大小,并说明理由. 本小题考产函数、反函数、方程、不等式、导数及其应用等基础知识,考察化归、分类整合 等数学思想方法,以及推理论证、分析与解决问题的能力. 解:(1)由题意,得a x = 1 1 y y -+>0 故g (x )=1 log 1 a x x -+,x ∈(-∞,-1)∪(1,+∞) 由21 log log (1)(7)1 a a t x x x x -=--+得 t =(x -1)2(7-x ),x ∈[2,6] 则t '=-3x 2+18x -15=-3(x -1)(x -5) 列表如下: x 2 (2,5) 5 (5,6) 6 t ' + 0 - t 5 ↗ 极大值32 ↘ 25 所以t 最小值=5,t 最大值=32 所以t 的取值范围为[5,32]……………………………………………………5分 (2) 2 123 1 ()ln ln ln ln 3451 n k n g k n =-=+++++∑ =ln (1231 3451 n n -??? ? +) =-ln (1) 2 n n + 令u (z )=-lnz 2 -21z z -=-2lnz +z -1 z ,z >0 则u '(z )=- 2211z z ++=(1-1 z )2≥0 所以u (z )在(0,+∞)上是增函数 又因为 (1)2n n +>1>0,所以u ((1) 2 n n +)>u (1)=0 即ln (1)12 2(1) (1)2 n n n n n n +- - ++>0 即2 2 2()2(1)n k n n g k n n =-->+∑………………………………………………………………9分 (3)设a = 11p +,则p ≥1,1<f (1)= 12 11a a p +=+-≤3 当n =1时,|f (1)-1|=2 p ≤2<4 当n ≥2时 设k ≥2,k ∈N * 时,则f (k )=(1)12 1(1)1(1)1 k k k p p p ++=++-+- =1+ 1222 k k k k k C p C p C p ++ + 所以1<f (k )≤1+ 1 22444 11(1)1 k k C C k k k k =+=+-+++ 从而n -1< 2 ()n k f k =∑ ≤n -1+4421n -+=n +1-41 n +<n +1 所以n < 1 ()n k f k =∑<f (1)+n +1≤n +4 综上所述,总有| 1 ()n k f k =∑-n |<4 (2010天津文数)(20)(本小题满分12分) 已知函数f (x )=3 2 31()2 ax x x R - +∈,其中a>0. (Ⅰ)若a=1,求曲线y=f (x )在点(2,f (2))处的切线方程; (Ⅱ)若在区间11,22?? - ??? ?上,f (x )>0恒成立,求a 的取值范围. 【解析】本小题主要考查曲线的切线方程、利用导数研究函数的单调性与极值、解不等式等 基础知识,考查运算能力及分类讨论的思想方法.满分12分. (Ⅰ)解:当a=1时,f (x )=3 2 3x x 12 - +,f (2)=3;f ’(x)=233x x -, f ’(2)=6.所以曲线y=f (x )在点(2,f (2))处的切线方程为y-3=6(x-2),即y=6x-9. (Ⅱ)解:f ’(x)=2 333(1)ax x x ax -=-.令f ’(x)=0,解得x=0或x=1a . 以下分两种情况讨论: (1) 若11 0a 2a 2 <≤≥,则 ,当x 变化时,f ’(x),f (x )的变化情况如下表: X 102?? - ??? , 0 12?? ??? 0, f ’(x) + 0 - f(x) 极大值 当11x f x 22??∈-????,时,()>0等价于5a 10,()0,8215a ()0,0.28 f f -?? >->??????+??>>????即 解不等式组得-5 (2) 若a>2,则11 0a 2 < <.当x 变化时,f ’(x),f (x )的变化情况如下表: X 102?? - ??? , 0 1a ?? ??? 0, 1a 11a 2?? ??? , f ’(x) + 0 - 0 + f(x) 极大值 极小值 当11x 22?? ∈-????,时,f (x )>0等价于1 f(-)21f()>0,a ???????>0,即2 5811->0.2a a -???????>0, 解不等式组得 2 52 a <<或22a <-.因此2