C03【数学】2010年高考数学计算试题分类汇编——函数

2010年高考数学试题分类汇编——函数 （2010上海文数）22.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分5分，第3小题满分8分。

若实数x、y、m满足xmym，则称x比y接近m.

（1）若21x比3接近0，求x的取值范围； （2）对任意两个不相等的正数a、b，证明：22abab比33ab接近2abab； （3）已知函数()fx的定义域,,DxxkkZxR.任取xD，()fx等于1sinx和1sinx中接近0的那个值.写出函数()fx的解析式，并指出它的奇偶性、最小正周期、最小值和单调性（结论不要求证明）. 解析：(1) x(2,2)；

(2) 对任意两个不相等的正数a、b，有222abababab，332ababab，

因为22332|2||2|()()0ababababababababab， 所以2233|2||2|ababababababab，即a2bab2比a3b3接近2abab；

(3) 1sin,(2,2)()1|sin|,1sin,(2,2)xxkkfxxxkxxkk,kZ， f(x)是偶函数，f(x)是周期函数，最小正周期T，函数f(x)的最小值为0， 函数f(x)在区间[,)2kk单调递增，在区间(,]2kk单调递减，kZ．

（2010湖南文数）21．（本小题满分13分） 已知函数()(1)ln15,afxxaxax其中a<0,且a≠-1.

（Ⅰ）讨论函数()fx的单调性；

（Ⅱ）设函数332(23646),1(),1(){xxaxaxaaexefxxgx



（e是自然数的底数）。是

否存在a，使()gx在[a,-a]上为减函数？若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由。 （2010浙江理数） (22)(本题满分14分)已知a是给定的实常数，设函数22()()()fxxaxbe，bR，

xa是()fx的一个极大值点．

(Ⅰ)求b的取值范围； (Ⅱ)设123,,xxx是()fx的3个极值点，问是否存在实数b，可找到4xR，使得

1234,,,xxxx的某种排列1234,,,iiiixxxx(其中1234,,,iiii=1,2,3,4)依次成等差数列?若存

在，求所有的b及相应的4x；若不存在，说明理由． 解析：本题主要考查函数极值的概念、导数运算法则、导数应用及等差数列等基础知识，同时考查推理论证能力、分类讨论等综合解题能力和创新意识。 （Ⅰ）解：f’(x)=ex(x-a) 2(3)2,xabxbaba

令222()(3)2,=(3-a+b)4(2)(1)80,gxxabxbabababaab则 于是，假设1212,()0.xxgxxx是的两个实根，且 （1） 当x1=a 或x2=a时，则x=a不是f(x)的极值点，此时不合题意。 （2） 当x1a且x2a时，由于x=a是f(x)的极大值点，故x1即()0gx

即2(3)20aabababa 所以b＜-a 所以b的取值范围是（-∞，-a）

此时4223xxaab2(1)826abaa 或4223xxaab2(1)826abaa （2）当21xaax时，则212()xaax或12()2()axxa 于是1ab9132 此时42(3)3(3)1133242axaababxba 综上所述，存在b满足题意， 当b=-a-3时，426xa

7132ba时，41132xa

7132ba时，41132xa

（2010全国卷2理数）（22）（本小题满分12分） 设函数1xfxe． （Ⅰ）证明：当x＞-1时，1xfxx； （Ⅱ）设当0x时，1xfxax，求a的取值范围． 【命题意图】本题主要考查导数的应用和利用导数证明不等式，考查考生综合运用知识的能力及分类讨论的思想，考查考生的计算能力及分析问题、解决问题的能力. 【参考答案】 【点评】导数常作为高考的压轴题，对考生的能力要求非常高，它不仅要求考生牢固掌握基础知识、基本技能，还要求考生具有较强的分析能力和计算能力.估计以后对导数的考查力度不会减弱。作为压轴题，主要是涉及利用导数求最值解决恒成立问题，利用导数证明不等式等，常伴随对参数的讨论，这也是难点之所在.

（2010陕西文数）21、(本小题满分14分) 已知函数f（x）=x，g（x）=alnx，aR。 （1） 若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交，且在交点处有相同的切线，求a的值及该切线的方程； （2） 设函数h(x)=f(x)- g(x),当h(x)存在最小之时，求其最小值（a）的解析式； （3） 对（2）中的（a），证明：当a（0，+）时， （a）1.

解 （1）f’(x)=12x,g’(x)=ax(x>0),

由已知得 x=alnx， 12x=ax， 解德a=2e,x=e2,

两条曲线交点的坐标为（e2,e） 切线的斜率为k=f’(e2)= 12e, 切线的方程为y-e=12e(x- e2).

（2）由条件知 Ⅰ 当a.>0时，令h '(x)=0,解得x=24a, 所以当0 < x< 24a时 h '(x)<0，h(x)在（0，24a）上递减； 当x>24a时，h '(x)>0，h(x)在（0，24a）上递增。 所以x>24a是h(x)在（0， +∞ ）上的唯一极致点，且是极小值点，从而也是h(x)的最小值点。 所以Φ （a）=h(24a)= 2a-aln24a=2 Ⅱ当a ≤ 0时，h(x)=(1/2-2a) /2x>0,h(x)在（0，+∞）递增，无最小值。 故 h(x) 的最小值Φ （a）的解析式为2a(1-ln2a) (a>o) （3）由（2）知Φ （a）=2a(1-ln2a) 则 Φ 1（a ）=-2ln2a，令Φ 1（a ）=0 解得 a =1/2 当 00，所以Φ （a ） 在(0,1/2) 上递增 当 a>1/2 时， Φ 1（a ）<0，所以Φ（a ） 在 (1/2, +∞)上递减。 所以Φ（a ）在(0, +∞)处取得极大值Φ（1/2 ）=1 因为Φ（a ）在(0, +∞)上有且只有一个极致点，所以Φ（1/2）=1也是Φ（a）的最大值 所当a属于 (0, +∞)时，总有Φ（a） ≤ 1

（2010辽宁文数）（21）（本小题满分12分） 已知函数2()(1)ln1fxaxax.

（Ⅰ）讨论函数()fx的单调性； （Ⅱ）设2a，证明：对任意12,(0,)xx，1212|()()|4||fxfxxx.

解：(Ⅰ) f(x)的定义域为(0,+)，2121()2aaxafxaxxx. 当a≥0时，()fx＞0，故f(x)在(0,+)单调增加； 当a≤－1时，()fx＜0, 故f(x)在(0,+)单调减少；

当－1＜a＜0时，令()fx＝0,解得x=12aa.当x∈(0, 12aa)时, ()fx＞0； x∈(12aa，+)时，()fx＜0, 故f(x)在（0, 12aa）单调增加，在（12aa，+）单调减少. (Ⅱ)不妨假设x1≥x2.由于a≤－2,故f(x)在（0，+）单调减少. 所以1212()()4fxfxxx等价于 12()()fxfx≥4x1－4x2,

即f(x2)+ 4x2≥f(x1)+ 4x1. 令g(x)=f(x)+4x,则 1()2agxaxx

+4

＝2241axxax. 于是()gx≤2441xxx＝2(21)xx≤0. 从而g(x)在（0，+）单调减少，故g(x1) ≤g(x2)， 即 f(x1)+ 4x1≤f(x2)+ 4x2，故对任意x1,x2∈(0,+) ，1212()()4fxfxxx.

（2010辽宁理数）（21）（本小题满分12分） 已知函数1ln)1()(2axxaxf

（I）讨论函数)(xf的单调性； （II）设1a.如果对任意),0(,21xx，||4)()(|2121xxxfxf，求a的取值范围。 解：

（Ⅰ）()fx的定义域为（0，+∞）. 2121'()2aaxafxaxxx. 当0a时，'()fx＞0，故()fx在（0，+∞）单调增加； 当1a时，'()fx＜0，故()fx在（0，+∞）单调减少；

当-1＜a＜0时，令'()fx=0，解得12axa. 则当1(0,)2axa时，'()fx＞0；1(,)2axa时，'()fx＜0. 故()fx在1(0,)2aa单调增加，在1(,)2aa单调减少. （Ⅱ）不妨假设12xx，而a＜-1，由（Ⅰ）知在（0，+∞）单调减少，从而