奇异摄动理论引论

11Ch. 9奇异摄动理论引论9.1 多项式方程的根9.2 常微分方程的边值问题

介绍用于处理有边界层、双尺度问题的匹配法关键：展开式中小参数的幂次、边界层厚度、匹配

29.1 多项式方程的根1. 一个简单问题2. 一个比较复杂的问题

以高次项含小参数的多项式方程为例阐明匹配法中尺度的确定方法2

3忽略小项，得1.一个简单问题另一根？12m≈−2mε

2210, 01mmεε++=<<<

将m 表为ε 的幂级数21112816mεε=−−−+󰀢

原因：方程是二次的，但近似方程是一次的，只有一个根

212

1

2mmmεε=−+++󰀢

代入比较，得

4可得21128mεε=−+++󰀢

(1)(2)2121, , 12

2

2

mmεεε

=−+=−+

−󰀢

()(1)21, 1,2,iimimεε−=−−=󰀢

12mε−≈−

用迭代法，

如m 很大，则第一项不能忽略，但第三项可忽略2121mmmmεεε+=−=−−

2210, 01mmεε++=<<<

也可用级数法3

51.忽略前两项得二重根，少两个根！2. 一个比较复杂的问题高阶修正？211()xxOεε=++

1x≈

432210, 01xxxxεεε+−+−=<<<

代入，得2.如假定这两个重根的高阶近似为20=2231[2()]()0OxOεεεε+−+=

():Oε

问题：

也可作为小参数α

ε

6令，代入，得可见方程的根应展为的幂级数引入，得

431=±+xxxεε

可用于逐次迭代243

(1)−=+xxxεε

2121=+++󰀢xxaxa

1/2ε

22211112(1413)(2)0++++−++=󰀢󰀢axaxaaxxxa

考虑432210, 01+−+−=<<εεε

1/2=aε24232

(1)0+−−=axaxx

23712()2=±++xaaOa

211

1122

20, 2

7720,

2

−==±−==xxxxxx4

7为求出另两个根，考虑x很大时假定有两项数量级相同，其它项可忽略

432210, 01+−+−=<<εεε

4342443233

0,0,20,10,0,2010,

+=−=+=−=−=+=−=

xxxxxxxxxxxx

εεεεεεεε

1/21/31/411/31(/2)−−−−

−

=−=±=−=±==xxxxx

x

εεεε

ε

43211/211/21/32/31/31/41/21/421211/32/31/321()()()()(1)()(1)()()(1)(1)()()()(1)()()()()(1)()(1)()()(1)−−−−−−−−−−−−−

−−−

xxxxOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO

OOOOO

εεεεεεεεεεεεεεεε

εεε

8或迭代方程：零级近似修正项

(1)11/2(1)11/231, 31−−−−=−+=−++pnεεεε

(0)(0)11, ==−pn

εε420−=xxε

432210, 01+−+−=<<εεε

22112−−−=−−xxxxεε

21/21/212−=∓∓xεεεε

(1)(0)1313(), ()22pOnOεε

εε=−+=−−+5

9¾注意多重根¾展开式可能出现分数幂，可用逐次逼近法（迭代法）确定¾没有单一尺度可以表征整个解的特征

109.2 常微分方程的边值问题1. 对一个模型方程精确解的研究2. 用奇异摄动法求近似解3. 匹配4. 进一步的例子最高阶导数项含小参数的二阶常微分方程的近似解6

111. 对一个模型方程精确解的研究2220, 01(0)0, (1)1dydyydxdxyyεε++=<<<

==精确解：

考虑方程

当ε很小时，1212−=−mxmxmmee

y

ee

其中为特征方程的根2210++=mm

ε

1/2/22/(,)(), 01−−≈−<<

ε

εε

12,mm1212,

2≈−≈−mm

ε

可忽略

12附近解的性态：略去二阶导数项，得通解：

近似解

(1)/20 −==xyye或

20+=dyydx

/2−=x

yKe

0x=

2220, (0)0, (1)1, 01dydyyyydxdxεε++===<<<

只能满足一个边界条件!1/2/22/(,)()xxyxeeeεε−−≈−

时括号内两项相等，随x 增大第二项急剧减小当x 增大到ε的几倍后，第二项可以忽略，得(1)/2−≈x

ye

0x=

在附近厚度为区域出现边界层0x=()O

ε

边界层外部的解称为外解：(1)/20−≡xye

满足处

边界条件1=x7

1314两个极限运算不能交换，在区间中并不一致收敛，在中不一致有效

可证但(,)yxε(0,1]

0()yx

(1)/200

lim(,)(), (0,1]−↓==∈xyxeyxx

εε

1/2/22/(,)()−−≈−xxyxeee

ε

ε

(1)/20−=xye

1/2000

limlim(,)(0)↓↓⎡⎤==⎣⎦xyxye

εε

00limlim(,)0↓↓⎡⎤=⎣⎦xyxεε

(0,1]8

15给出了以边界层内固定相对距离表示的近似解边界层厚度为，因此可以用ε作为边界层内的尺度。如令，则给出了自变量在边界层内的相对位置

内部近似=xξε()Oε

0lim[(,)](), =↓≡Ixyxyξεεεξξ固定ξ

ξ定义

0()lim(,)↓≡IyYεξξε

(,)(,)≡Yyξεξεε则内解

于是，

16当时，1212

1, 20, 2 →−→−∞→→−mm

mmεε

0→ε

1/22()(1)−=−Iyee

ξ

ξ

1212−=−mxmxmmee

y

ee12

12, 2≈−≈−mmε

1212(,)−=−mmmmeeY

ee

εξεξξε

0()lim(,)↓≡IyYεξξε9

17

18ε小于0 时

2220, 0, 1(0)0, (1)1++=<<<==dydyydxdx

yy

εεε

精确解：1212−=−mxmxmmee

y

ee

当ε很小时，其中为特征方程的根2210++=mm

ε

2(1)/(,)−≈xyxe

ε

ε

12,mm1212,

2≈−≈−mm

ε

可忽略

20>m