2019北京市西城区高二(上)期末数学
北京市西城区2022-2023学年高二上学期数学期末考试试卷(含答案)
，
又 // ，
，故②正确；
，故①错误；
对于③，三棱锥 体 的体积
体
方
体，
又 体 max 对于④，连接
所以三棱锥的体积的最大值为 ，故③正确；
，方 ，则 与平面 方体体 方 所成角
方 ，则 ౘ
方，
又方
，所以 ౘ 的取值范围是 ，
故正确结论的序号是①③④，
故答案为：②③④
，故④正确；
【分析】利用线线平行能证明平面 //平面
.
三、解答题
16．从 4 男 3 女共 7 名志愿者中，选出 3 人参加社区义务劳动.
（1）共有多少种不同的选择方法？
（2）若要求选中的 3 人性别不能都相同，求共有多少种不同的选择方法？
17．如图，在四棱锥
方体 中， 平面 方体，底 方体 为正方形， 为线段 的中点，
.
2
（1）求证： 方 ； （2）求平面 与平面
，
的一个焦点为 ， ， ，其长轴长是短轴长的 2 倍.
（1）求椭圆 方 的方程；
（2）记斜率为 1 且过点 的直线为 ，判断椭圆 方 上是否存在关于直线 对称的两点 ， ？若存在，求直
线 的方程；若不存在，说明理由.
20．如图，在四棱柱 方体
方 体 中，
平面 方体，
3
方体， 体 方体 ，
，为
线段 的中点，再从下列两个条件中选择一个作为已知. 条件①： 体 ；条件②： 方 .
9
为线段 的中点， 平面 ， 所以， 方 （2）解：根据题意可知，以 A 点为坐标原点，分别以 AB、AD、AP 所在直线为 轴、೦ 轴、䁪 轴建立空间直 角坐标系，如下图所示：
则 ， ， ， ， ， ， ， ，体， ， ， ， ， ， ， ；
北京市西城区2018-2019学年第二学期高二期末数学试题及答案
二数学本试卷共5页,共150分.测试时长120分钟.考生务必将答案写在做题纸上,在 试卷上作答无效.、选择题：本大题共 10小题,每题4分,共40分.在每题给出的四个选项中,只有2 ......... . 一一1.复数一的共轲复数是〔〕1 —i3.用0, 1, 2, 3, 4, 5这6个数字,可以组成没有重复数字的四位数的个数是〔〕(A) 360(B) 300(C) 240(D) 180........3> ................................ -(A) f '⑻ <f'(b) <f (c) (B) f \b) < f \c) < f \a) (C) f(a)Mf(c)<f(b)(D) f'(c) < f (a) < f'(b)6.某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区效劳,要求必须有女生,那么不 同的选派方案种数为〔〕一项为哪一项符合要求的.(A) 14 (B) 24(C) 28 (D) 482021.710.算筹是在珠算创造以前我国独创并且有效的计算工具,很大奉献.在算筹计数法中,以“纵式〞和“横式〞两种方式来表示数字,如以下图:表示多位数时,个位用纵式,十位用横式,百位用纵式,千位用横式,以此类推,遇 零那么置空,如以下图:J； - JI 6728 J. T67087.甲、乙、丙、丁 4个人进行网球比赛,首先甲、乙 一组,丙、丁一组进行比赛,两组的胜者进入决赛,决赛的胜者为冠军、败者为亚军 . 4个人相互比赛的胜率如右表所示,表中的数字表示所在行选手击败其 所在列选手的概率.(A) 0.15(B) 0.105 (C) 0.045 (D) 0.21那么,当p 在(0,1)内增大时,D (与的变化是( (A)减小(B)增大(C)先减小后增大(D)先增大后减小9.函数f(x)=x 2—1, g(x) =ln x ,以下说法中正确的选项是( (A) f (x),g(x)在点(1,0)处有相同的切线 (B)对于任意x >0 f (x)至g(x)恒成立 (C) f (x),g(x)的图象有且只有一个交点(D) f (x), g(x)的图象有且只有两个交点为我国古代数学的开展做出了那么甲得冠军且丙得亚军的概率是(8.设0 cp <1 ,随机变量-的分布列为如果把5根算筹以适当的方式全部 放入右面的表格中,那么 可以表示的三位数的个数为〔〕(A) 46(B) 44 (C) 42 (D) 40二、填空题：本大题共 6小题,每题5分,共30分.x e 一.11 .函数y = J ,那么f '〔1〕 =. x112 .二项式〔2x 2--〕6的展开式中的常数项是 .〔用数字作答〕 x13 .假设复数z 满足i z =1 +2i ,那么|z|=.14 .能说明“假设f'〔0〕=0 ,那么x=0是函数y = f 〔x 〕极值点〞为假命题的一个函数是15 .北京市某银行营业点在银行大厅悬挂着不同营业时间段效劳窗 口个数的提示牌,如下图.设某人到达银行的时间是随机的,记其到达银行时效劳窗口的 个数为X ,那么E 〔X 〕 =.16 .容器中有A, B,C 3种粒子,假设相同种类的两颗粒子发生碰撞,那么变成一颗 B 粒子；不同种类的两颗粒子发生碰撞,会变成另外一种粒子 .例如,一颗 A 粒子和一颗B 粒子发生 碰撞那么变成一颗 C 粒子.现有A 粒子10颗,B 粒子8颗,C 粒子9颗,如果经过各种两两碰撞后,只剩 1颗粒子.给出以下结论：①最后一颗粒子可能是 A 粒子 ②最后一颗粒子一定是 C 粒子 ③最后一颗粒子一定不是 B 粒子 ④以上都不正确其中正确结论的序号是 .〔写出所有正确结论的序号〕三、解做题：本大题共 6小题,共80分.解容许写出文字说明,证实过程或演算步骤 17 .(本小题总分值13分)132效劳窗口提示函数f(x)= —x -x +bx ,且f'(2) =—3. 3(i)求b ;(n)求f (x)的单调区间.18.(本小题总分值13分)某工厂生产一种汽车的元件, 该元件是经过A、B、C三道工序加工而成的, A、B、1 2 3C三道工序加工的元件合格率分别为—、—、—•每道工序的加工都相互独立,二道2 3 4工序加工都合格的元件为一等品；恰有两道工序加工合格的元件为二等品；其它的为废品, 不进入市场.(I)生产一个元件,求该元件为二等品的概率；(n)假设从该工厂生产的这种元件中任意取出3个元件进行检测,求至少有2个元件是一等品的概率.19 .(本小题总分值13分)函数f(x) =(x a)e x.(I )求f (x)的单调区间；(n)求f (x)在区间［0, 4］上的最小值.20 .〔本小题总分值13分〕某校在学年期末举行“我最喜欢的文化课〞评选活动,投票规那么是一人一票, 高一〔1〕班44名学生和高一〔7〕班45名学生的投票结果如下表〔无废票〕：该校把上表的数据作为样本,把两个班同一学科的得票之和定义为该年级该学科的“好感指数〞.〔I〕如果数学学科的“好感指数〞比高一年级其他文化课都高,求a的所有取值；〔n〕从高一〔1〕班投票给政治、历史、地理的学生中任意选取3位同学,设随机变量X为投票给地理学科的人数,求X的分布列和期望；〔出〕当a为何值时,高一年级的语文、数学、外语三科的“好感指数〞的方差最小？〔结论不要求证实〕21 .〔本小题总分值14分〕函数 f (x) =e x-aln x-x.〔I〕当a = —1时,求曲线y = f〔x〕在点〔1,f〔1〕〕处的切线方程;〔n〕假设f 〔x〕在区间〔0,1〕上存在极值点,求a的取值范围.22 .〔本小题总分值14分〕ln x函数f 〔x〕a〔x -1〕.x〔I 〕假设a =0 ,求f 〔x〕的极值；〔n 〕假设在区间〔1,十g 〕上f 〔x〕<0恒成立,求a的取值范围；〔出〕判断函数f〔x〕的零点个数.〔直接写出结论〕一、选择题：本大题共 I. B 2. D 3. 二、填空题：本大题共 II. 012. 60 13. 、,5 15 . 3.562516.①③注：16题选对一个正确结论得 3分,错选不得分 三、解做题：本大题共 6小题,共80分. 17 .(本小题总分值13分)解：(I)由 f'(x) =x 2 —2x+b , 所以 f (2) =4 -4 b =所以b =-3.(n)由(I )知 f (x) =x 2 -2x -3, 解 f (x) >0 ,得 x c —1 或 x >3 , 解 f (x) <0 ,得-1 <x <3.所以函数f(x)的单调递增区间为(g,T), (3,也C),单调递减区间为(—1,3).18 .(本小题总分值13分)解：(I )不妨设元件经A,B,C 三道工序加工合格的事件分别为A,B,C .1 2 3 - 1 1 - 1所以 P(A) =一 ,P(B) =一 , P(C) =— . P(A) =一 , P(B)=一 , P(C)=—..............2 3 4 2 3 4 设事件D 为“生产一个元件,该 元件为二等品〞. 由A,B,C 是相互独立事件.根据事件的独立性、互斥事件的概率运算公式,高二数学参考答案2021.710小题,每题4分,共40分. B 4. D 5. A 6. A 7. C 8. B 9. D 10. B 6小题,每题5分,共30分...314.f(x)=x 或f(x)=1等,答案不唯一3分5分 9分13分2分P(D) =P(ABC ABC ABC) = P(ABC) P(ABC) P(ABC) =(1」2 3 1 (i_2) 3 1 22 3 4 2 3 4 2 31124所以生产一个元件,该元件为二等品的概率为11.24(n)生产一个元件,该元件为一等品的概率为12 3 1p = - x —x — =— . .......................... 9 %2 3 4 4设事件E为“任意取出3个元件进行检测,至少有2个元件是一等品",那么P(E) nC{1)2—+(1)3 .......................... 12 分4 4 4_10 _ 5.64 32所以至少有2个元件是一等品的概率为 A. .......................... 13分3219.(本小题总分值13分)解：([)f (x) =e x+(x+a)e x =(x+a+1)e x. .......................... 2 分由 f (x) >0 ,解得x >-a -1 ;由 f (x) <0 ,解得x <-a -1.所以函数f(x)的单调减区间为(g,y —1),单调增区间为(f_1,"). ......... 4分(n)①当f —1至4,即a E-5时,f (x)在［0,4］上单调递减,所以f(x)min = f (4) =(a 4)e4.②当「a—1 E0,即a至T时,f (x)在［0,4］上单调递增,所以f (x)min =f (0) =a③当-5 < a < -1时,(1-3)410分所以f(i ...................................................................................................................... 13分 综上,当 a M-5 时,f (x)min =(a +4)e 4;当 a 之 一1 时,f (x)min =a ;当 一5 <a < —1 时,20.〔本小题总分值13分〕 解：(I )由 a +b =14 ,所以b =14 -a.即 F 6 >6 a , 解得 6 a <9 ,又 a w N, 9 6 7 (14 -a), 所以 a =7 , a =8 .〔n 〕由,随机变量 X 是高一〔1〕班同学中投票给地理学科的人数,所以 X =0,1,2 .f(x) min依题意,9 6 6 a, 9 6 7 b,P(X =0)C 83 -14 'P(X-2 _1 C 6c 215 T=28,P(X =2)入1入2_C6c 2 _ 3一 C 3 -285153 3 E(X) =0 — 12 —=— 1428 28 410分 (出)a =7 或 a =8.13分21.(本小题总分值14分) (I) 当 a=_1 时,f (x) =e x +ln x -x , x >0 .1 .所以 f (x) =e +- -1 ,.......................... 2 分x所以 f(1)=e —1, f'(1)=e,曲线y = f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为 y —(e —1) = e(x_1), 整理得 ............ ex - y -1 = 0.4分)由于 f (x) =e x —aln x —x , x>0 .x所以 f (x)=e x —亘―1=xe —x —a ,............ 6 分x x依题意,f'(x)在区间(0,1)上存在变号零点............... 7分由于XA 0,设g(x) =xe x —x —a ,所以g(x)在区间(0,1)上存在变号零点. ... 8分由于 g (x) =e x (x+1)-1 ,.......................... 9 分所以,当 xW(0,1)时,e x >1 , x+1 >1 ,所以 e x (x+1) >1 ,即 g'(x) >0 , 所以g(x)在区间(0,1)上为单调递增函数, .............. 12分 依题意,［g(0) <0,即 1T <0, .......................... 13 分 g(1) 0, e-1 -a 0. 解得 0 <a <e -1 ........................... 14 分所以,假设f (x)在区间(0,1)上存在极值点,a 的取值范围是(0, e -1).(本小题总分值14分) (I)当a=0时,定义域为{x|x 〉0}. 由于f(x)=叱,所以f '(x)=上詈............... 1分x x 2 令 f (x) =0 ,解得 x =e,所以f (x)在区间(0,e)上单调递增,在区间(e,+8)上单调递减......... 3分1所以f (x)有极大值,极大值为f(e)=-;没有极小值. e解:22. 解:(n)由于x >0 ,所以在(1,士⑹上f(x)<0恒成立,即lnx + ax2_ax<0在(1,也c)恒成........................... 5分设g(x) =ln x ax2 - ax.①当a之0时,g(2) =ln2+2a>0,不符合题意. .............. 7分②当a <0时,2 .1 2ax -ax 1g (x) =- 2ax -a = ------------------------x x令g (x) =0,即2ax2 -ax +1 =0 ,由于方程2ax2—ax+1 =0的判另1J式A=a2—8aA0,两根之积—<0 .所以g'(x)=0有2a两个异号根.设两根为x1, x,,且x1 <0 <x2 , ........................... 9分i)当x2 >1 时,所以g(x)在区间(1此)上单调递增,在区间(x2,+°°)上单调递减,所以g(“)>g(1)=0,不符合题意；.............. 10分ii)当旭E1 时,g (1) <0 ,即a <-1 时,g(x)在(1,收)单调递减,所以当x W(1,-)时,g(x)<g(1) = 0,符合题意.综上,a E —1. ........................... 11分(出)当a >0或a = —1时,f(x)有1个零点；当a<0且a#—1时,函数f(x)有2个零点............................ 14分16题提示：1、最后剩下的可能是A粒子10颗A粒子两两碰撞,形成5颗B粒子；9颗C粒子中的8个两两碰撞,形成4颗B粒子；所有的17颗B粒子两两碰撞,剩下一颗B粒子；这个B粒子与剩下的一颗C粒子碰撞形成A粒子.2、最后剩下的可能是C粒子10颗A粒子中的9颗与9颗C粒子两两碰撞,形成9颗B粒子;所有的17颗B粒子两两碰撞,最后剩一颗B粒子；这个B粒子与剩下的一颗A粒子碰撞形成C粒子.3、最后剩下的不可能是B粒子A、B、C三种粒子每一次碰撞有以下6种可能的情况：A与A碰撞, B与B碰撞, C与C碰撞, A与B碰撞, A与C碰撞, B与C碰撞, 会产生一颗会产生一颗会产生一颗会产生一颗会产生一颗会产生一颗B粒子,B粒子,B粒子,C粒子,B粒子,A粒子,减少两颗减少两颗减少两颗减少减少减少A、A、B、可以发现如下规律：〔1〕从B粒子的角度看：每碰撞一次,A粒子；〔B多1个, B粒子；〔B少1个, C粒子；〔B多1个,B各一颗粒子.AC共减少两个〕AC总数不变〕AC共减少两个〕〔8少1个,AC总数不变〕C各一颗粒子.〔B多1个,AC共减少两个〕C各一颗粒子.〔8少1个,AC总数不变〕B粒子的数量增多一个或减少一个.题目中共有27颗粒子,经过26次碰撞剩一颗粒子,整个过程变化了偶数次,由于开始B粒子共有8颗,所以26次碰撞之后,剩余的B粒子个数必为偶数,不可能是1个.所以,最后剩下的不可能是B粒子.〔2〕从A、C粒子的角度看：每次碰撞之后, 题目中A、C粒子之和为19个,无论碰撞多少次, 下的最后一颗粒子一定是A或C.A、C粒子总数或者不变、或者减少两个.A C粒子都没了是不可能的.所以,剩。
2024-2025学年高二上学期数学期末模拟卷B卷(含解析)
高二上学期数学人教A 版（2019）期末模拟测试卷B 卷【满分：150分】一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知圆C ：，P 为直线上一点，过点P 作圆C 的两条切线，切点分别为A 和B ，当四边形PACB 的面积最小时，直线AB 的方程为( )A. B. C. D.2.如图，已知点P 在正方体的对角线上，.设，则的值为( )D.3.已知椭圆E （）的左焦点为F ，过焦点F 作圆的一条切线l 交椭圆E 的一个交点为A ，切点为Q ，且（O 为坐标原点），则椭圆E 的离心率为( )4.牛顿在《流数法》一书中，给出了高次代数方程的一种数值解法——牛顿法．设是的根，选取作为的初始近似值，过点做曲线的切线l ，l 与x 轴的交点的横坐标为，称是r 的一次近似值；过点做曲线的切线，则该切线与x 轴的交点的横坐标为，称是r 的二次近似值．则222440x y x y +---=:20l x y ++=5530x y ++=5530x y -+=5530x y +-=5530x y --=ABCD A B C D -''''BD '60PDC ∠=︒D P D B λ''=λ1-3-221y b+=0a b >>222x y b +=2OA OF OQ +=r ()2f x x =+()100x x -=>01x =r ()()00,x f x ()y f x =1x 1x ()()11,x f x ()y f x =2x 2x( )的右顶点为圆心，焦点到渐近线的距离为半径的圆交抛物线6.数列的前n 项和为，，，设，则数列的前51项之和为()A.-149B.-49C.49D.1497.已知函数的定义域为R ，其导函数为，且满足，，则不等式A. B. C. D.8.设曲线的直线l 与C 交于A ，B 两点，线段的垂直平分线分别交直线二、选择题：本题共3小题.每小题6分.共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分.部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知实数x ，y 满足圆C 的方程，则下列说法正确的是( )A.圆心，半径为1B.过点作圆C 的切线，则切线方程为2x =219y =22y px=()0p >{}n a n S 11a =-*(1)()n n na S n n n =+-∈N (1)nn n b a =-{}n b ()f x ()f x '()()e xf x f x -+'=()00f =()()2e 1e xf x -<11,e ⎛⎫- ⎪⎝⎭1e ,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭()1,1-()1,e -:C x =)AB x =+2220x y x +-=()1,0-()2,02x =D.的最大值是410.已知等差数列的前n 项和为，，，则下列说法正确的是( )A. B.C.为递减数列 D.11.已知函数，对于任意实数a ，b ，下列结论成立的有( )A.B.函数在定义域上单调递增C.曲线在点处的切线方程是D.若，则三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知等比数列中，，，公比，则__________.13.在正方体中，点P 、Q 分别在、上，且，，则异面直线与所成角的余弦值为___________.14.已知定点，动点P满足方程为__________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或者演算步骤.15.已知圆心为的圆经过点，直线.（1）求圆M 的方程；（2）写出直线l 恒过定点Q 的坐标，并求直线l 被圆M 所截得的弦长最短时m 的值及最短弦长.16.如图，四棱锥中，底面为正方形，平面，E 为的中点.22x y +{}n a n S 24a =742S =54a =21522n S n n =+n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭11n n a a +⎧⎨⎩e ()x x f x =-min ()1f x =e ()x x f x =-e ()x x f x =-(0,1)1y =0a b =->()()f a f b >{}n a 47512a a ⋅=-38124a a +=q ∈Z 10a =1111ABCD A B C D -11A B 11C D 112A P PB =112C Q QD =BP DQ ()()4,0,1,0M N MN MP ⋅ ()2,1M --()1,3:0l x my m ++=P ABCD -ABCD PA ⊥ABCD PD(1)证明：平面；(2)若，，求平面与平面夹角的余弦值.17.已知函数(a 为实常数)．(1)若，求证：在上是增函数；(2)当时，求函数在上的最大值与最小值及相应的x 值；(3)若存在，使得成立，求实数a 的取值范围．18.已知数列的前项和为，且．(1)求的通项公式；(2)求数列的前项和．19.已知双曲线C 的中心为坐标原点，左焦点为（1）求双曲线C的方程：（2）记双曲线C 的右顶点为A ，过点A 作直线，与C 的左支分别交于M ，N 两点，且，，为垂足.（i ）证明：直线恒过定点P ，并求出点P 坐标[1,e]()(2)f x a x ≤+n 24n n S a =-{}n nS n T //PB AEC 2AB AD ==4AP =ADE ACE 2()ln f x a x x =+2a =-()f x (1,)+∞4a =-()f x [1,e]x ∈{}n a n S {}n a n (-MA NA MA NA ⊥AD MN ⊥D MN答案以及解析1.答案：A解析：由，得圆C 的圆心，半径.因.故PC 的方程为，即.联立，，解得.所以直线AB 的方程为，化简，得.2.答案：C解析：以D 为原点，以，，的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系.不妨设，则，，，，所以，，，所以，因为，解得，由题可知，所以.故选：C3.答案：A解析：由题意可知：圆的圆心为点O ，半径为b ，，设椭圆E 的右焦点为，连接，因为，可知点Q 为的中点，且点O 为的中点，则()()22222440129x y x y x y +---=⇒-+-=()1,2C 3r =122S AP AC =⨯⋅=l ⊥21y x -=-10x y -+=1020x y x y -+=⎧⎨++=⎩x =y =31,22P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭()()311122922x y ⎛⎫⎛⎫---+---= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭5530x y ++=DA DC DD '1AD =()0,0,0D ()1,1,0B ()0,0,1D '()0,1,0C ()0,0,1DD '=()1,1,1D B =-' ()0,1,0DC = ()()0,0,11,1,1DP DD D P DD D B λλ'''=+=+=+-='(),,1λλλ-60PDC ∠=cos 60=︒=2210λλ+-=1λ=-1=-01λ≤≤1λ=-222x y b +=c b >2F 2AF 2OA OF OQ +=AF 2FF，因为Q为切点，可知，则，解得4.答案：C解析：由题意可得，，由导数的几何意义得过点做曲线的切线的斜率，所以，整理得，所以做曲线的切线的斜率该切线为，则，整理得5.答案：A的右顶点坐标为，焦点为，渐近线方程为，即，焦点到渐近线，所以题中圆的方程为，因为圆和抛物线的图象都关于轴对称，所以A，B两点关于x轴对称，不妨设点A，在第一象限，设，则，上，所以，//OQ AF222AF OQ==2222a AF a b-=-OQ AF⊥2AF AF⊥2222AF AF F+=()()2222242244b a bc a b+-==-23a==cea====()1f x=()21f x x'=+()1,1()y f x=l()113k f='=():131l y x-=-:32l y x=-1x=()2122133f x⎛⎫=+-=⎪⎝⎭21,39⎫⎪⎭()y f x=223k f⎛⎫'==⎪⎝⎭2l2172:933l y x⎛⎫-=-⎪⎝⎭73y x=2x=219y-=()2,0()32y x=±320x y±=)32x y+=3()2229x y-+=()2229x y-+=()220y px p=>x()()1111,0,0A x y x y>>()11,B x y-12y=1y=)2229x y-+=()21289x-+=解得或3，所以或，当，则，解得，当，则，解得故选：A.6.答案：B解析：因为，当时，，即，所以是以-1为首项，1，则，当时，所以，当时也成立，所以，可得数列的前51项之和为.故选：B.7.答案：C解析：由得，即，可设，当时，因得，所以，，因为，故为偶函数，，当时，因，，故，所以在区间上单调递增，因为，所以当时，又因为11x =(1,A (3,A (1,A 82p =4p =(3,A 86p =p =*(1)()n n na S n n n =+-∈N 2n ≥1()(1)n n n n na n S S S n n -=-=+-1(1)(1)n n n S nS n n ---=-11n S n --=-11a ==-n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭112n n =-+-=-(2)n S n n =-2n ≥()11(3)n S n n -=--()()121(3)23n n n a S S n n n n n -==----=--1n =23n a n =-()()()1123nnn n b a n =-=--{}n b (11)(35)...(9597)99++-+++-+-2259949=⨯-=-()()e x f x f x -+'=()()e e 1x x x f x f +'=()e 1x f x '⎡⎤=⎣⎦()e xf x x m =+0x =()00f =0m =()e xf x x -=()()2e 1e x f x -<-()2e e 1e x x x --<-e e e x x x x --<()e e x xg x x x -=-()()e e x x g x x x g x --=-+=()g x ()e e e e x x x x g x x x --'=++-0x ≥e e 0x x x x -+≥e e 0x x --≥()e e e x x xg x x x -'=++e 0x --≥()g x [)0,+∞()11e e g -=-0x ≥()e x g x x =-e e xx -<-)0,1为偶函数，故.故选：C8.答案：D解析：因为曲线，，所以C是双曲线的右支，其焦点为，渐近线为.由题意，设（故A选项可排除），联立得，，所以，，解得.故选：D.9.答案：BD解析：对选项A：，即，圆心为，半径为，A错误；对选项B：在圆上，则和圆心均在x轴上，故切线与x轴垂直，为，B正确；对选项C：表示圆上的点到点的斜率，如图所示：:1C x=≥()2211x y x-=≥221x y-=)F y x=±(:l y k x=(,y k xx⎧=-⎪⎨⎪=⎩()22221210k x x k--++=()2Δ410k=+>A Bx x+=A Bx x=Bx-==()g x()eg x<)1,1-=2A BNx x+==NMN x=-==(2k=±+2220x y x+-=22(1)1x y-+=(1,0)1r=(2,0)(2,0)2x=1yx+(,)x y(1,0)A-当与圆相切时，斜率最大，此时，，故，故此时斜率最大为C 错误；对选项D ：表示圆上的点到原点距离的平方，故最大值为，D 正确.故选：BD.10.答案：BC解析：等差数列中，，解得，而，因此公差，通项，对于A ，，A 错误；对于B ，，B 正确；为递减数列，C 正确；的前5项和为11.答案：ACD解析：对A ，对求导，，令，即，解得.当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增.所以函数在处取得最小值，即，所以，A 选项正确.AB ||2AC =||1BC =AB BC ⊥tan 30︒=22x y +(,)x y 2(1)4r +={}n a ()177477422a a S a +===46a =24a =42142a a d -==-2(2)2n a a n d n =+-=+57a =2(32)15222n n n S n n ++==+1=n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭11(2)(3)2n n n ==-+++11n n a a +⎫⎬⎭1111134457-+-++ 111838-=-=e ()x x f x =-)1(e x f x =-'()0f x '=e x -１=00x =0x <()0f x '<()f x 0x >()0f x '>()f x ()f x 0x =(0)1f =()min 1f x =对B ，由上述分析可知，上函数单调递减，上函数单调递增，B 选项错误.对C ，由于切线斜率为0，在点，切线方程为，C 选项正确.对D ，因为，则.则.令，则，则在单调递增.故.即，即.D 选项正确.故选：ACD 12.答案：512解析：，，，，则得，或者，，公比q 为整数，，，，解得，即，故答案为：512.解析：设正方体中棱长为3，以D 为原点，为x 轴，为y 轴，为z 轴，建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，，，设异面直线(,0)-∞()f x (0,)+∞()f x ()()000e 010e 10.f f '=-==-=，()0,11y =0,0a b b a =->=-<()e ,()()e a a f a a f b f a a -=-=-=+()()f a f b -=e (e )e e 2a a a a a a a ----+=--()e e 2x x g x x -=--()e e 220x x g x -=+-'≥-=()g x (0,)+∞()(0)0g x g >=()()0f a f b ->()()f a f b >47512a a ⋅=- 38124a a +=3847512a a a a ∴⋅=⋅=-38124a a +=34a =-8128a =3128a =44a =- 34a ∴=-8128a =54128q ∴-=2q =-22108128(2)1284512a a q ==⨯-=⨯=1111ABCD A B C D -DA DC 1DD ()0,0,0D ()0,1,3Q ()3,3,0B ()3,2,3P ()0,1,3BP =- ()0,1,3DQ =与所成角为，则与所成角的余解析：设动点，则.又.化简得，动点P 的轨迹E的方.15.答案：（1）（2）最小值为.解析：（1）圆M的半径，圆M 的方程为.（2）直线l 的方程为，，令解得：，定点Q 的坐标为.，点Q 在圆M 的内部，故直线l 恒与圆M 相交.又圆心M 到直线l 的距离l 被圆M 截得的弦长为当d 取得最大值2时，弦长有最小值，最小值为.16.答案：(1)证明见解析；BP DQ θcos BP DQ BP DQθ⋅===⋅ BP DQ 213y =(),P x y ()()()4,,3,0,1,MP x y MN PN x y =-=-=-- MN MP ⋅ ()34x ∴--=2234x y +=213y +=∴23y +=213y =()()222125x y +++=0= 5r ==∴()()222125x y +++= 0x my m ++=(1)0x m y ∴++=010x y =⎧⎨+=⎩01x y =⎧⎨=-⎩∴()0,1-()()220211425++-+=< ∴2d ≤∴=0=解析：（1）证明：如图所示，连接，设，连接，因为四边形为正方形，则O 为的中点，因为E 是的中点，所以.又因为平面，平面，所以平面.（2）因为平面，四边形为正方形，以A 为坐标原点，分别以、、所在直线为x 、y 、z 轴建立如图所示空间直角坐标系，因为，，则、、、、、，设平面的法向量为，，，则，取，可得，又为平面的一个法向量，则所以，平面与平面BD AC BD O = OE ABCD BD PD //EO PB EO ⊂AEC PB ⊄AEC //PB AEC PA ⊥ABCD ABCD AB AD AP 2AB AD ==4AP =()0,0,0A ()2,0,0B ()0,0,4P ()0,2,0D ()0,1,2E ()2,2,0C AEC (),,m x y z = ()0,1,2AE = ()2,2,0AC = 20220m AE y z m AC x y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ 1z =()2,2,1m =- ()1,0,0n =ADE 2cos ,31m n m n m n ⋅===⋅⨯ ADE17.答案：(1)答案见解析(2)当有最小值为，当时，函数有最大值为(3)解析：(1)由题可知函数的定义域，因为，所以，所以令解得，所以在上是增函数(2)因为，所以，所以令解得解得所以在上单调递减，在上单调递增，所以在上单调递减，在上单调递增，所以当时，函数有最小值为，因为，所以当时，函数有最大值为.(3)由得，即，因为，所以，所以，且当时，所以在恒成立，所以即存在时，令()0f x'>()0f x'<()f x)+∞⎡⎣x=22ln2f=-2(e)e41f=->()f x()(2)f x a x≤+x=()f x22ln2f=-ex=()f x2(e)e4f=-[)1,-+∞(0,)+∞2a=-2()2lnf x x x=-+2()2f x xx'=-+=()0f x'>1x>()f x(1,)+∞4a=-2()4lnf x x x=-+4()2f x xx'=-+=x>0x<()f x⎤⎦()f x(1)1f=ex=2(e)e4f=-2(ln2)a x x a x≤++()2ln2a x x x x-≤-[1,e]x∈1,ln ln e1x x≥≤=lne lnx x≥≥1x=ln0x= lnx x>[1,e]x∈a≥[1,e]x∈a≥()g x=()g x'=令，令，解得，令，解得，所以在单调递减，单调递增，所以，所以时，恒成立，所以，所以实数a 的取值范围是.18.答案：(1)(2)答案见解析解析：(1)，当时，，两式相减，得，整理得，即时，，又当时，，解得，数列是以4为首项，2为公比的等比数列，．(2)由(1)知，，令，易知，，设数列的前n 项和为，则，，n K 456321222322n n K n +=⨯+⨯+⨯++⋅ ②()22ln h x x x =+-22()1x h x x x-'=-=2()0x h x x -'=>2e x <≤2()0x h x x-'=<12x ≤<()h x [)1,2(]2,e ()(2)2(2ln 2)0h x h ≥=->[1,e]x ∈()2(1)(22ln )()0ln x x x g x x x -+-'=≥-min ()(1)1g x g ==-[)1,-+∞12n +24n n S a =- ∴2n ≥1124n n S a --=-()112424n n n n S S a a ---=---12n n a a -=2n ≥12n n a a -=1n =11124S a a ==-14a =∴{}n a 11422n n n a -+∴=⨯=1222424n n n S ++=⨯-=-224n n nS n n +∴=⋅-22,4n n n b n c n +=⋅=-()()1214212n n n c c c n n ++++=-⨯=-+ {}n b 34521222322n n K n +=⨯+⨯+⨯++⋅ ①由，得，即．（2）见解析解析：（1）由题意，双曲线C 的中心为坐标原点，左焦点为可得，解得，.（2）证明：（i ）由（1）知，当直线斜率存在时，设直线方程为，联立方程组，整理得，，即，3456231222222n n n K n ++-=⨯+++++-⋅ ()()413332122212812n n n n K n n -++-∴=+-⋅=-⋅+--①②()4133332122222812n n n n n K n n -+++--=+-⋅=-⋅--()()()32112218n n n T K n n n n n +∴=-+=-⋅-++2116y =(-222c c e a b c a ⎧=⎪⎪==⎨⎪=-⎪⎩2,4a b ==2116y -=()2,0A MN MN y kx m =+221416y kx m x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩()22242160k x kmx m ----=()()2222444160k m k m ∆=+-+>22416k m -<设，，由韦达定理可得.因为，可得，即，即，整理得，即，即，可得，解得将代入直线，此时直线过定点，不合题意；将，此时直线过定点，当直线的斜率不存在时，不妨设直线方程为，因为，所以为等腰直角三角形，此时M 点坐标为，所以（舍）或此时过定点，综上可知，直线恒过定点（ii ）因为，此时存在以为斜边的直角三角形，()11,M x y ()22,N x y 122212224,164km x x k m x x k ⎧+=⎪⎪-⎨+⎪=⎪-⎩MA ⊥2212y x =--()()1212220y y x x +--=()121212240y y x x x x +-++=()()()121212240kx m kx m x x x x +++-++=()()()2212121240k x x mk x x m ++-+++=()()22222162124044m km k mk m k k +++-++=--2234200m km k --=()()23100m k m k +-=2m km =-=2m k =-()2y kx m y k x =+⇒=-MN ()2,0A m =103y kx m y k x ⎛⎫=+⇒=+ ⎪⎝⎭MN 10,03P ⎛⎫-⎪⎝⎭MN x t =MA NA ⊥AMN (,t 22342002t t t t =-⇒+-=⇒=t =MN 10,03P ⎛⎫- ⎪⎝⎭MN 10,0,3P ⎛⎫- ⎪⎝⎭AD MN ⊥AP1 2AP=2,03⎛⎫-⎪⎝⎭所以存在定点Q为.AP。
高二上学期数学北师大版(2019)期末模拟测试卷A卷(含解析)
高二上学期数学北师大版（2019）期末模拟测试卷A 卷【满分：150分】一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若直线与相离，则点与圆O 的位置关系为( )A.点P 在圆O 内 B.点P 在圆O 上C.点P 在圆O 外D.无法确定2.若空间向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标是( )A. B. C. D.3.设a 为实数，若直线与平行，则它们之间的距离为( )4.第33届夏季奥运会预计2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举办，这届奥运会将新增2个竞赛项目和3个表演项目.现有三个场地A ，B ，C 分别承担这5个新增项目的比赛，且每个场地至少承办其中一个项目，则不同的安排方法有( )A.150种B.300种C.720种D.1008种5.已知椭圆（是C 上一点，，分別是两个焦点，则的面积为( )A.6.的展开式中只有第四项的二项式系数最大，则展开式中的常数项为( )A. B. C.20D.1607.一条光线从点射出，经直线反射后，与圆相切于点M ，则光线从P 到M 经过的路程为( )A.4B.5C.1ax by +=22:1O x y +=(),P a b (2,1,1)a =- (1,0,1)b = ab ⎛ ⎝11,0,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭11,0,22⎛⎫⎪⎝⎭430ax y -+=210x y -+=2222:1x y C a b+=a b >>(1F 2F 12MF F △()*2nx n x ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭N 160-20-()0,4P 30x y +-=()22:51C x y -+=8.在正四棱柱中，，E 为棱的中点，F 为线段上的一点，且，则直线与直线所成角的余弦值为( )二、选择题：本题共3小题.每小题6分.共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分.部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知直线，则下列结论正确的是( )A.直线l 的倾斜角是B.过C.点到直线l 的距离是2D.若直线，则10.现有3位歌手和4名粉丝站成一排，要求任意两位歌手都不相邻，则不同的排法种数可以表示为( )A. B.C. D.11.同时投掷甲、乙两枚质地均匀的硬币，记“甲正面向上”为事件A ，“乙正面向上”为事件B ，“甲、乙至少一枚正面向上”为事件C ，则下列判断正确的是( )A.A 与B相互对立 B.A 与B 相互独立C.D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知随机变量X 服从正态分布，若，则________.13.已知点在抛物线上，则A 到C 的准线的距离为________.14.已知，分别是平面，的法向量，若，则________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或者演算步骤.1111ABCD A B C D -12AA AB =AB 1CC 1A C EF ⊥BF 1A C 10l y -+=60︒20y --=):10m x +=l m⊥731424735454A A A A A A --4343A A 7314222473543254A A A A C A A A --4345A A 1()2P C =2(|)3P B C =()23,N σ(8)02P X >=.()23P X -≤≤=(A 2:2C y px =)1,2n x =(2n =--αβ//αβx =15.（13分）如图，四棱锥中，底面为正方形，平面，E为的中点.(1)证明：平面；(2)若，，求平面与平面夹角的余弦值.16.（15分）已知圆心为的圆经过点，直线.（1）求圆M的方程；（2）写出直线l恒过定点Q的坐标，并求直线l被圆M所截得的弦长最短时m的值及最短弦长.17.（15分）某自助餐厅为了鼓励消费，设置了一个抽奖箱，箱中放有8折、8.5折、9折的奖券各2张，每张奖券的形状都相同，每位顾客可以从中任取2张奖券，最终餐厅将在结账时按照2张奖券中最优惠的折扣进行结算.(1)求一位顾客抽到的2张奖券的折扣均不相同的概率；(2)若自助餐的原价为100元/位，记一位顾客最终结算时的价格为X，求X的分布列及数学期望.18.（17分）已知直线与关于抛物线的准线对称.（1）求C的方程；，求l的斜率.19.（17分）已知的二项展开式中，前三项的二项式系数的和为46.(1)求展开式中所有项的系数的和：(2)求展开式中的常数项.P ABCD-ABCD PA⊥ABCD PD //PB AEC2AB AD==4AP=ADE ACE()2,1M--()1,3:0l x my m++=()E X1y=-5y=-2:2C x py=242nx⎛⎝答案以及解析1.答案：A解析：由题设与直线的距离，即，所以点在圆O 内.故选：A.2.答案：C解析：由于空间向量，，则向量在向量上的投影向量为：，故选：.3.答案：A，解得，所以直线，即与直线4.答案：A种安排，若三个场地分别承种安排，综上，不同的安排方法有种.故选：A 5.答案：A解析：由题意可得，解得，(1,0,1)b = (0,0)O 1ax by +=1d =>221a b +<(),P a b (2,1,1)a =- ab ()111||cos ,(1,0,1),0,222||||||b a b b a a b b b b ⎛⎫<>==-=-- ⎪⎝⎭ C 4321-=≠-2a =2430x y -+=3202x y -+=210x y -+=33A 60=33A 90=6090150+=22222239151c e a a b c a b⎧==⎪⎪⎪+=⎨⎪=-⎪⎪⎩224a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩28F =12112MF F S F ==△故选：A.6.答案：A解析：因为的展开式中只有第四项的二项式系数最大，则由二项式系数性质知：展开式共有7项，则，则展开式的通项为，展开式中常数项，必有，即，所以展开式中常数项为.故选：A.7.答案：C解析：设P 关于直线的对称点为，则光线反射后经过的路径所在的直线即为直线.根据Q 的定义，有P ，Q 到直线的距离相等，且其连线与其垂直，，，即或.但P ，Q 不重合，故，所以，从而，即.而，.根据对称性，光线经过的路程即为8.答案：B解析：如图，以点D 为原点建立空间直角坐标系，不妨设，则，，设，则，因为，所以，解得，则，所()*2nx n x ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭N 6n =62x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭6621662C (2)C rr r r r rr T x xx --+⎛⎫=⋅-=- ⎪⎝⎭620r -=3r =3346(2)C 820160T =-=-⨯=-30x y +-=(),Q m n QM ()1-=-31n +-=m n =-71-=3n =4n =4n ≠3n =1m =-()1,3Q -()5,0C CM =QM ==QM =2AB =()()12,0,4,2,2,0A B ()()0,2,0,2,1,0C E ()[]0,2,,0,4F a a ∈()()12,2,4,2,1,A C EF a =--=-1A C EF ⊥14240AC EF a ⋅=+-= a =30,2,2⎛⎫ ⎪⎝⎭32,0,2BF ⎛⎫=- ⎪⎝⎭与直线故选：B9.答案：ABC解析：A选项：直线B选项：过与直线l平行的直线方程为，故B 正确；C选项：点(到直线l的距离，故C正确；D选项：直线的斜率为，故l与m不垂直，故D不正确故选：ABC.10.答案：CD解析：第一种排法：分2步进行：①将4名粉丝站成一排，有种排法；②4人排好后，有5个空位可选，在其中任选3个，安排三名歌手，有种情况，则有种排法.第二种排法：先计算3位歌手站一起，此时3位歌手看作一个整体，有种排法，再计算恰好有2位歌手站一起，此时2位歌手看作一个整体，与另外一个歌手不相邻，有种排法，则歌手不相邻有种排法.故选：CD.11.答案：BD解析：对于A，由题意可知，事件A与事件B有可能同时发生，例如“甲正面向上且乙正面111,AC BFAC BFAC BF⋅===1A C1l y-+=)1y x-=-20y--=2d:10m x-+=k=11=≠-44A35A4345A A314354A A A22243254C A A A3142224354773254A A A C A AA A--向上”，故事件A 与事件B 不是互斥事件，当然也不是对立事件，故A 错误；对于B ，依题意，所以事件A 与事件B 相互独立，故B 正确；对于C 、D ，12.答案：0.3解析：解法一：，.解法二：，故答案为：0.3.14.答案：解析：因为，分别是平面，的法向量，且，所以.15.答案：(1)证明见解析；解析：（1）证明：如图所示，连接，设，连接，因为四边形为正方形，则O 为的中点，因为E 是的中点，所以.()P A =()B =()()()11224AB P A P B ===⨯()1P C =)()P B ==()1()2|3()4P BC P B C P C ==()80.2(2)P X P X >==<-()123(2)0.32P X P X -≤≤=-<-=()()()3838P X P X P X ≤≤=≥->()0.323P X ==-≤≤2y x =1-1,2)n x = 2(n =--αβ//αβ12//n n ==1x =-BD AC BD O = OE ABCD BD PD //EO PB又因为平面，平面，所以平面.（2）因为平面，四边形为正方形，以A 为坐标原点，分别以、、所在直线为x 、y 、z 轴建立如图所示空间直角坐标系，因为，，则、、、、、，设平面的法向量为，，，则，取，可得，又为平面的一个法向量，则所以，平面与平面.16.答案：（1）（2）最小值为.解析：（1）圆M 的半径，圆M 的方程为.（2）直线l 的方程为，，令解得：，定点Q 的坐标为.，点Q 在圆M 的内部，故直线l 恒与圆M 相交.又圆心M 到直线l 的距离，l 被圆M 截得的弦长为∴EO ⊂AEC PB ⊄AEC //PB AEC PA ⊥ABCD ABCDAB AD AP 2AB AD==4AP =()0,0,0A ()2,0,0B ()0,0,4P ()0,2,0D ()0,1,2E ()2,2,0C AEC (),,m x y z =()0,1,2AE = ()2,2,0AC = 20220m AE y z m AC x y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ 1z =()2,2,1m =- ()1,0,0n = ADE 2cos ,31m n m n m n ⋅===⋅⨯ADE ACE ()()222125x y +++=0= 5r ==∴()()222125x y +++= 0x my m ++=(1)0x m y ∴++=010x y =⎧⎨+=⎩01x y =⎧⎨=-⎩∴()0,1-()()220211425++-+=< ∴2d ≤.(2)答案见答案解析：(1)从6张奖券中，任取2张奖券共有种选法，抽到的两张奖券相同的有3种选法，所以一位顾客抽到的2张奖券的折扣均不相同的概率为.(2)的所有可能取值为80，85，90，，的分布列为：18.答案：（1）（2）..（2）易得l的斜率存在，C的焦点为.设，，，联立得，得=0=26C15=1534155P-==X()1122261C C280CP X+⋅⨯===()1122261C C85CX+⋅===()261190C15P X===X∴()3118085905315E X∴=⨯+⨯+⨯=212x y=1±1532--=-212y=()0,3:3l y kx=+()11,A x y()22,B x y212,3,x yy kx⎧=⎨=+⎩212360x kx--=212Δ1441440,12,kx x k⎧=+>⎨+=⎩，得，即l 的斜率为.19.答案：(1)-1 (2)2304解析：(1)因为的二项展开式中前三项的二项式系数的和为46，所以，即，，解得或（舍）.令，则，所以展开式中所有项的系数的和为-1.(2)由(1)知二项式为，所以二项展开式的通项为，，令，得，所以展开式中的常数项为.()21212123333612121224y y kx kx k x x k +++=++++=++=+=1k =±1±2nx⎛⎝012C C C 46n n n ++=()11462n n n -++=2900n n +-=9n =10n =-1x =()99211x ⎛-=-=- ⎝92x ⎛⎝()()918924199C C 2rr rr rrr T xx --+⎛=⋅=- ⎝0,1,2,,9r = 91804r -=8r =()8899C 22304T =⋅-=。
2019-2020学年北京市清华附中高二(上)期末数学试卷
2019-2020学年北京市清华附中高二（上）期末数学试卷1.（单选题，5分）若两条直线ax+2y-1=0与x-2y-1=0垂直，则a的值为（）A.1B.-1C.4D.-42.（单选题，5分）若双曲线x2a2−y2b2=1的离心率为√3，则其渐近线方程为（）A.y=±2xB. y=±√2xC. y=±12xD. y=±√22x3.（单选题，5分）已知抛物线C：y2=x的焦点为F，A（x0，y0）是C上一点，若|AF|= 54x0，则x0等于（）A.1B.2C.4D.84.（单选题，5分）在空间中，“直线a，b没有公共点”是“直线a，b互为异面直线”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件5.（单选题，5分）已知正方体的棱长为2．它的8个顶点都在一个球面上，则此球的表面积是（）A.8πB.12πC.16πD.20π6.（单选题，5分）某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为（）A.1B.2C.3D.47.（单选题，5分）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出下列命题：① 若m⊥α，n⊥β，且m⊥n，则α⊥β ② 若m || α，n || β．且m || n，则α || β③ 若m⊥α，n || β，且m⊥n，则α⊥β ④ 若m⊥α，n || β，且m || n，则α || β其中正确的命题是（）A. ① ③B. ② ④C. ③ ④D. ①8.（单选题，5分）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为对角线BD1的三等分点，P到各顶点的距离的不同取值有（）A.3个B.4个C.5个D.6个9.（填空题，5分）直线y=x被圆x2+（y-2）2=4截得的弦长为___ ．10.（填空题，5分）设抛物线y2=8x的焦点为F，准线为1，则以F为圆心，且与1相切的圆的方程为___ ．11.（填空题，5分）已知点P是圆x2+y2=2上的动点，Q是直线l：3x-4y+15=0上的动点，则|PQ|的最小值为___ ．12.（填空题，5分）若正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为√3，D为BC的中点，则三棱锥A-B1DC1的体积为___ ．13.（填空题，5分）已知椭圆C 1： x 2a 2 + y 2b 2 =1及双曲线C 2： x 2m 2 - y 2n 2 =1，均以（2，0）为右焦点且都经过点（2，3），则椭圆C 1与双曲线C 2的离心率之比为___ ．14.（填空题，5分）如图，在棱长为1的正四面体ABCD 中，M ，N 分别为棱AB 和CD 的中点，一个平面分别与棱BC ，BD ，AD ，AC 交于E ，F ，G ，H ，且MN⊥平面EFGH ．给出下列六个结论：① AC⊥BD ， ② AB || 平面EFGH ， ③ 平面ABC⊥平面EFGH ， ④ 四边形EFGH 的周长为定值； ⑤ 四边形EFGH 的面积有最大值； ⑥ 四边形EFGH 一定是矩形，其中，所有正确结论的序号是___ ． 15.（问答题，13分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sinA= √6 sinC ，c= √3 ．（Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）如果cosA= √33 ，求b 的值及△ABC 的面积．16.（问答题，13分）已知椭圆C ： x 216 + y 24 =1的右顶点为A ．上顶点为B ．点E 在椭圆C 上，点E 不在直线AB 上．（1）求椭圆C 的离心率和直线AB 的方程；（2）若以AE 为直径的圆经过点B ，求点E 的坐标．17.（问答题，14分）如图，在四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，底面四边形ABCD 是矩形，平面DCC 1D 1⊥平面ABCD ．AD=3，CD=DD 1=5，∠D 1DC=120°，M ，N 分别是线段AD 1，BD 的中点．（1）求证：MN || 平面DCC 1D 1；（2）求证：MN⊥平面ADC 1；（3）求三棱锥D 1-ADC 1的体积．18.（问答题，13分）已知函数f （x ）=lnx-x+1．（1）求曲线y=f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程：（2）若非零实数a 使得f （x ）≥ax - 12 ax 2- 12a 对x∈[1，+∞）恒成立，求a 的取值范围．19.（问答题，14分）已知A ，B ，C 是抛物线W ：y 2=4x 上的三个点，D 是x 轴上一点．（1）当点B 是W 的顶点，且四边形ABCD 为正方形时，求此正方形的面积；（2）当点B 不是W 的顶点时，判断四边形ABCD 是否可能为正方形，并说明理由．20.（问答题，13分）已知数列{a n }满足：a 1∈N*，且a n+1= {√a n ，若√a n 是整数，a n +4，若√a n 不是整数（n=1，2…）集合M={a n |n∈N*}中的最小元素记为m ．（1）若a 1=20，写出m 和a 10的值：（2）若m 为偶数，证明：集合M 的所有元素都是偶数；（3）证明：当且仅当m=l 时，集合M 是有限集．。
2022-2023学年北京市西城区高二(上)期末数学试卷(含答案解析)
2022-2023学年北京市西城区高二（上）期末数学试卷1. 直线x+y−√3=0的倾斜角等于( )A. 45∘B. 90∘C. 120∘D. 135∘2. 抛物线x2=4y的准线方程为( )A. x=1B. x=−1C. y=1D. y=−13. 在空间直角坐标系O−xyz中，点A(1,3,0)，B(0,3,−1)，则( )A. 直线AB//坐标平面xOyB. 直线AB⊥坐标平面xOyC. 直线AB//坐标平面xOzD. 直线AB⊥坐标平面xOz4. 在(2x+1)4的展开式中，x2的系数为( )A. 6B. 12C. 24D. 365. 在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=3，BC=2，AA1=1，则二面角D1−BC−D的余弦值为( )A. √55B. 2√55C. √1010D. 3√10106. 若直线3x+4y+m=0与圆(x+1)2+y2=1相离，则实数m的取值范围是( )A. (−∞,−8)∪(2,+∞)B. (−∞,−2)∪(8,+∞)C. (−∞,−2)∪(2,+∞)D. (−∞,−8)∪(8,+∞)7. 2名辅导教师与3名获奖学生站成一排照相，要求2名教师分别站在两侧，则不同的站法共有( )A. A33种B. 2A33种C. A55−A33种D. A53种8. 设a∈R，则“a=1”是“直线l1：ax+2y=0与直线l2：x+(a+1)y+4=0平行”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分又不必要条件9. 如图是一个椭圆形拱桥，当水面在l处时，在如图所示的截面里，桥洞与其倒影恰好构成一个椭圆．此时拱顶离水面2m，水面宽6m，那么当水位上升1m时，水面宽度为( )A. 3√3mB. 3√32m C. 4√2m D. 4√23m10. 设点A(1,0)，N(−2,3)，直线l：x+ay+2a−1=0，AM⊥l于点M，则|MN|的最大值为( )A. √34B. 6C. 4D. 3√2+111. 设A(−3,2)，B(1,−4)，则过线段AB的中点，且与AB垂直的直线方程为______.12. 在(x+1√x)6的展开式中，常数项等于______.13. 设F为抛物线C：y2=4x的焦点，点A在抛物线C上，点B(3,0)，且|AF|=|BF|，则|AB|=______.14. 记双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为e，写出满足条件“直线y=2x与C无公共点”的e的一个值______.15. 如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=2，E为棱DD1的中点，F是正方形CDD1C1内部(含边界)的一个动点，且B1F//平面A1BE.给出下列四个结论：①动点F的轨迹是一段圆弧；②存在符合条件的点F，使得B1F⊥A1B；③三棱锥B1−D1EF的体积的最大值为23；④设直线B1F与平面CDD1C1所成角为θ，则tanθ的取值范围是[2,2√2].其中所有正确结论的序号是______.16. 从4男3女共7名志愿者中，选出3人参加社区义务劳动．(Ⅰ)共有多少种不同的选择方法？(Ⅰ)若要求选中的3人性别不能都相同，求共有多少种不同的选择方法？17. 如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为正方形，E为线段AB的中点，PA=AB=2.(Ⅰ)求证：BC⊥PE；(Ⅰ)求平面PAB与平面PBD夹角的余弦值．18. 在平面直角坐标系中，A(−1,0)，B(1,0)，曲线C是由满足直线PA与PB的斜率之积等于定值λ(λ∈R)的点P组成的集合．(Ⅰ)若曲线C是一个圆(或圆的一部分)，求λ的值；(Ⅰ)若曲线C是一个双曲线(或双曲线的一部分)，且该双曲线的离心率e≥√2，求λ的取值范围．19. 已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一个焦点为F(√3,0)，其长轴长是短轴长的2倍．(Ⅰ)求椭圆C的方程；(Ⅰ)记斜率为1且过点F的直线为l，判断椭圆C上是否存在关于直线l对称的两点A，B？若存在，求直线AB的方程；若不存在，说明理由．20. 如图，在四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，AB//CD，AD=CD=1，AA1= AB=2，E为线段AA1的中点，再从下列两个条件中选择一个作为已知．条件①：AD⊥BE；条件②：BC=√2.(Ⅰ)求直线CE与B1D1所成角的余弦值；(Ⅰ)求点C1到平面BCE的距离；(Ⅰ)已知点M在线段CC1上，直线EM与平面BCC1B1所成角的正弦值为2√23，求线段CM的长．21. 已知椭圆C：x2t+1+y26−t=1的焦点在x轴上，且离心率为12.(Ⅰ)求实数t的值；(Ⅰ)若过点P(m,n)可作两条互相垂直的直线l1，l2，且l1，l2均与椭圆C相切．证明：动点P 组成的集合是一个圆．答案和解析1.【答案】D【解析】解：由直线x +y −√3=0，可得直线的斜率为k =−1，设其倾斜角为α，(0∘≤α<180∘)，则tanα=−1，∴α=135∘，即直线x +y −√3=0的倾斜角的大小为135∘.故选：D.由直线方程求出直线的斜率，再由倾斜角的正切值等于斜率求得直线的倾斜角．本题考查直线倾斜角的求法，考查倾斜角与斜率的关系，是基础题．2.【答案】D【解析】解：因为抛物线的标准方程为：x 2=4y ，焦点在y 轴上；所以：2p =4，即p =2，所以：p 2=1，∴准线方程y =−1，故选：D.先根据抛物线的标准方程得到焦点在y 轴上以及2p =4，再直接代入即可求出其准线方程． 本题主要考查抛物线的基本性质．解决抛物线的题目时，一定要先判断焦点所在位置． 3.【答案】C【解析】解：由A(1,3,0)，B(0,3,−1)，知AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,0,−1)，因为平面xOz 的一个法向量为n ⃗ =(0,1,0)，所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =0，即AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥n ⃗ ，又AB ⊄平面xOz ，所以直线AB//坐标平面xOz.故选：C.平面xOz 的一个法向量为n ⃗ =(0,1,0)，易得AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥n ⃗ ，再由线面平行的判定定理，得解．本题考查空间中线面的位置关系，熟练掌握利用空间向量判断线面平行或垂直的方法是解题的关键，考查运算求解能力，属于基础题．4.【答案】C【解析】解：(2x+1)4的展开式通项为T r+1=C4r(2x)4−r1r=C4r×24−r x4−r，令4−r=2，解得r=2，故x2的系数为C42×22=24.故选：C.在二项展开式的通项中，令x的指数为2，求出参数值，然后代入通项，即可求解．本题主要考查二项式定理，属于基础题．5.【答案】D【解析】解：如图所示，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，BC⊥平面CC1D1D，CD1⊂平面CC1D1D，所以BC⊥CD1，又CD⊥BC，所以∠DCD1为二面角D1−BC−D的平面角，因为DD1=AA1=1，CD=AB=3，所以CD1=√10，所以cos∠DCD1=CDCD1=3√10=3√1010，即二面角D1−BC−D的余弦值为3√1010.故选：D.根据条件，可知二面角D1−BC−D的平面角为∠DCD1，然后求出cos∠DCD1即可．本题主要考查二面角的求法，考查运算求解能力，属于中档题．6.【答案】B【解析】解：圆(x+1)2+y2=1的圆心为(−1,0)，半径为1，因为直线3x+4y+m=0与圆(x+1)2+y2=1相离，所以|−3+m|√32+42>1，即得m<−2或m>8，故选：B.根据题意可得圆心到直线的距离大于半径，由此建立关于m的不等式，解出即可．本题考查直线与圆的位置关系，考查运算求解能力，属于基础题．7.【答案】B【解析】解：先安排两位老师有A22=2种排法，三位获奖学生有A33种排法，共有站法2A33，故选：B.先将两位老师安排，再将学生全排列，即可解出．本题考查了统计与概率，学生的数学运算能力，属于基础题．8.【答案】A【解析】解：因为“a =1”时，“直线l 1：ax +2y =0与l 2：x +(a +1)y +4=0”化为l 1：x +2y =0与l 2：x +2y +4=0，显然两条直线平行；如果“直线l 1：ax +2y =0与l 2：x +(a +1)y +4=0平行”必有a(a +1)=2，解得a =1或a =−2，所以“a =1”是“直线l 1：ax +2y =0与l 2：x +(a +1)y +4=0平行”的充分不必要条件． 故选：A.利用a =1判断两条直线是否平行；通过两条直线平行是否推出a =1，即可得到答案．本题考查充要条件的判断，能够正确判断两个命题之间的条件与结论的推出关系是解题的关键．9.【答案】A【解析】解：如图所示，建立平面直角坐标系，由题意可知，椭圆的长半轴长a =3，短半轴长b =2，所以椭圆方程为：x 29+y 24=1，令y =1得，x =±3√32，故水面的宽度为：3√3，故选：A.根据题意建立平面直角坐标系，得出椭圆的方程，即可解出．本题考查了椭圆的性质，学生的数学运算能力，属于基础题．10.【答案】B【解析】解：直线l ：x +ay +2a −1=0，则x −1+a(y +2)=0，则{x −1=0y +2=0，解得x =1，y =−2，即直线l 恒过点P(1,−2)， 设M(x,y)，∴PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x −1,y +2)，AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x −1,y)，∴PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x −1)(x −1)+y(y +2)=0，即(x −1)2+(y +1)2=1故点M 的轨迹为(x −1)2+(y +1)2=1，该轨迹是以(1,−1)为圆心，半径为1的圆，∴|MN|max =√(1+2)2+(−1−3)2+1=6.故选：B.先求出直线l 过定点(1,−2)，再根据条件求出点M 的轨迹方程，再结合轨迹方程求出|MN|的最大值．本题考查的知识要点：定点的直线系，圆的方程，向量的数量积，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．11.【答案】2x −3y −1=0【解析】解：A(−3,2)，B(1,−4)，则k AB =2+4−3−1=−32，则与AB 垂直的直线方程的斜率k =23，线段AB 的中点坐标为(−1,−1)，故过线段AB 的中点，且与AB 垂直的直线方程为y +1=23(x +1)，即2x −3y −1=0. 故答案为：2x −3y −1=0.求出中点坐标公式，直线与直线垂直，点斜式方程即可求出．本题考查了中点坐标和直线与直线的垂直，属于基础题．12.【答案】15【解析】解：(x √x )6展开式的通项为T r+1=C 6r ⋅x 6−r ⋅x −r 2=C 6r ⋅x 6−3r 2，6−3r2=0，得r =4， 故展开式的常数项为第5项：C 64=15. 故答案为：15.利用二项展开式的通项公式求出第r +1项，令x 的指数为0得常数项．本题考查二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具．13.【答案】2√2【解析】解：F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点(1,0)，点A 在C 上，点B(3,0)，|AF|=|BF|=2， 由抛物线的定义可知A(1,2)(A 不妨在第一象限)，所以|AB|=√(3−1)2+(−2)2=2√2. 故答案为：2√2.利用已知条件，结合抛物线的定义，求解A的坐标，然后求解即可．本题考查抛物线的简单性质的应用，距离公式的应用，是基础题．14.【答案】2(e∈(1,√5]内的任意一个值都满足题意)【解析】解：双曲线C：x 2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为e，e=ca，双曲线的渐近线方程为y=±bax，直线y=2x与C无公共点，可得ba ≤2，即b2a2≤4，即c2−a2a2≤4，可得1<e≤√5，满足条件“直线y=2x与C无公共点”的e的一个值可以为：2.故答案为：2(e∈(1,√5]内的任意一个值都满足题意).求出双曲线渐近线方程，利用直线y=2x与C无公共点，推出a，b的不等式，即可得到离心率的范围．本题考查双曲线的简单性质的应用，离心率的求法，是中档题．15.【答案】②③④【解析】解：对于①，分别取CC1和D1C1的中点N，M，连接MN，MB1，NB1，由正方体的性质知MN//A1B，NB1//EA1，NB1⊄平面A1BE，A1B、EA1⊂平面A1BE，∴MN，NB1//平面A1BE，又MN，NB1⊂平面MNB1，MN∩NB1=N，∴平面A1BE//平面MNB1，当F在MN上运动时，有B1F//平面A1BE，∴动点F的轨迹是线段MN，故①错误；对于②，当F为线段MN中点时，∵MB1=NB1，∴B1F⊥MN，又MN//A1B，∴B1F⊥A1B，故②正确；对于③，三棱锥B1−D1EF的体积V=13S△D1EF⋅B1C1=23S△D1EF，又(S△D1EF )max=12×2×1=1，∴三棱锥的体积最大值为23，故③正确；对于④，连接B1F，C1F，则B1F与平面CDD1C1所成角θ=∠B1FC1，则tanθ=2C1F，∵√22≤C1F≤1，∴tanθ的范围是[2,2√2]，故④正确．故答案为：②③④．对于①，利用线线平行能证明平面A1BE//平面MNB1，由此能求出点F的轨迹；对于②，利用线线垂直的判定与性质直接求解；对于③，利用三棱锥体积公式直接求解；对于④，利用线面角的定义结合三角形性质直接求解．本题考查线面平行、线线垂直的判定与性质、三棱锥体积公式、线面角定义等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．16.【答案】解：(Ⅰ)由题意可知选取的方法共有C73=35种选法，(Ⅰ)由题意选取的人为1女2男，2女1男，共有C31C42+C32C41=18+12=30种选法．【解析】利用排列，组合的简单计数原理对各个问题逐个求解即可．本题考查了排列，组合的简单计数原理的应用，属于基础题．17.【答案】解：(Ⅰ)证明：因为PA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，所以PA⊥BC，又底面ABCD为正方形，所以AB⊥BC，又PA∩BA=A，且PA，BA⊂平面PAB，所以BC⊥平面PAB，因为PE⊂平面PAB，所以BC⊥PE.(Ⅰ)以A点为坐标原点，分别以AB、AD、AP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如下图所示：则A(0,0,0)，B(2,0,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)， 则PB⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0,−2)，PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,−2)， 设平面PBD 的一个法向量为n ⃗ =(x,y,z)，则{n ⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ ⋅PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{2x −2z =02y −2z =0，令z =1，可得n ⃗ =(1,1,1)，易知AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,0)是平面PAB 的一个法向量， 所以cos <n ⃗ ，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=n ⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |n⃗ ||AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=√3×2=√33，所以平面PAB 与平面PBD 夹角的余弦值为√33.【解析】(Ⅰ)根据线面垂直的性质定理，可得PA ⊥BC ，再根据底面是正方形可证明线面垂直，由线面垂直的性质，即可得BC ⊥PE ；(Ⅰ)建立空间直角坐标系，利用空间向量求得平面PAB 与平面PBD 的法向量，由向量的夹角公式，即可求得二面角的余弦值．本题主要考查直线与平面垂直的证明，平面与平面所成角的求法，考查转化思想、逻辑推理能力与运算求解能力，属于中档题．18.【答案】解：(Ⅰ)设点P 的坐标为(x,y)，A(−1,0)，B(1,0)，∴k PA ⋅k PB =y x+1⋅yx−1=λ，则λx 2−y 2=λ，其中(x ≠±1)，当曲线C 是一个圆(或圆的一部分)时，则λ=−1，此时圆的方程为x 2+y 2=1，(x ≠±1)； (2)曲线C 是一个双曲线(或双曲线的一部分)，由(Ⅰ)可得x 2−y 2λ=1， ∴焦点在x 轴上，此时a 2=1，b 2=λ， 则c =√a 2+b 2=√1+λ，则e =c a=√1+λ≥√2，解得λ≥1，故λ的取值范围为[1,+∞).【解析】(Ⅰ)根据斜率公式即可求出点的轨迹方程，根据轨迹方程，即可求出λ=−1，此时圆的方程为x 2+y 2=1，(x ≠±1)；(Ⅰ)由轨迹方程可得焦点在x 轴上，此时a 2=1，b 2=λ，根据离心率公式即可求出． 本题考查了点的轨迹方程，双曲线的性质和圆的性质，属于基础题．19.【答案】解：(Ⅰ)由题意可得c =√3=√a 2−b 2，a =2b ，解得a 2=4，b 2=1，所以椭圆C 的方程为：x 24+y 2=1；(Ⅰ)由题意可得直线l 的方程为y =x −√3，假设存在A ，B 满足条件，则可得直线l 为线段AB 的中垂线，所以直线AB 的斜率为−1， 设直线AB 的方程为y =−x +t ，设A(x 1,y 1,B(x 2,y 2),则AB 的中点D(x 1+x 22,y 1+y 22)，由题意可得D 在直线l 上，联立{y =−x +t x 2+4y 2=4，整理可得：5x 2−8tx +4t 2−4=0， 可得Δ=64t 2−4×5×(4t 2−4)>0，即t 2<5，即−√5<t <√5， x 1+x 2=8t5，y 1+y 2=−(x 1+x 2)+2t =−8t5+2t =2t5， 所以D(4t 5,t5)，将D 的坐标代入直线l 上，可得：t 5=4t5−√3，可得t =5√33>√5，不符合Δ>0，所以椭圆上不存在关于直线l 的对称A ，B 两点．【解析】(Ⅰ)由离心率可得a ，b 的关系，再由长轴长是短轴长的2倍，可得a ，b 的关系，两式联立求出a ，b 的值，进而求出椭圆的方程；(Ⅰ)由题意可得直线l 的方程，假设存在满足题中的条件，可得直线l 为线段AB 的中垂线，设直线AB 的方程，与椭圆的方程联立，可得两根之和，进而求出AB 的中点D 的坐标，可得D 点在直线l 上，可得参数的值，不符合Δ>0的条件．本题考查求椭圆的方程及直线与椭圆的综合应用，点关于直线的对称的性质的应用，属于中档题．20.【答案】解：(Ⅰ)选择条件①：AD ⊥BE ，由AA 1⊥平面ABCD ，且AD ⊂平面ABCD ，知AA 1⊥AD ，因为AD ⊥BE ，AA 1∩BE =E ，AA 1，BE ⊂平面ABB 1A 1，所以AD ⊥平面ABB 1A 1， 所以AD ⊥AB ，故以A 为坐标原点，AD ，AB ，AA 1所在直线分别为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则C(1,1,0)，E(0,0,1)，B 1(0,2,2)，D 1(1,0,2)， 所以CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,−1,1)，B 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−2,0)， 设直线CE 与B 1D 1所成角为θ，则cosθ=|cos <CE ⃗⃗⃗⃗⃗ ，B 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >|=|CE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅B 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |CE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|B 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||=−1+2√3×√5=√1515，所以直线CE 与B 1D 1所成角的余弦值为√1515.选择条件②：BC =√2，过点C 作CF//DA ，交AB 于点F ，因为AB//CD ，所以四边形ADCF 为平行四边形，所以CF =AD =1，AF =CD =1， 所以BF =AB −AF =1，因为BC =√2，所以BF 2+CF 2=BC 2，即CF ⊥AB ，所以AD ⊥AB ，故以A 为坐标原点，AD ，AB ，AA 1所在直线分别为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则C(1,1,0)，E(0,0,1)，B 1(0,2,2)，D 1(1,0,2)， 所以CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,−1,1)，B 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−2,0)， 设直线CE 与B 1D 1所成角为θ，则cosθ=|cos <CE ⃗⃗⃗⃗⃗ ，B 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >|=|CE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅B 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |CE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|B 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||=√3×√5=√1515，所以直线CE 与B 1D 1所成角的余弦值为√1515.(Ⅰ)C 1(1,1,2)，B(0,2,0)，所以BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−1,0)，CC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,2)，设平面BCE 的法向量为n ⃗ =(x,y,z)，则{n ⃗ ⋅CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{−x −y +z =0x −y =0，令x =1，则y =1，z =2，所以n ⃗ =(1,1,2)， 所以点C 1到平面BCE 的距离d =|CC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ ||n⃗ |=√6=2√63.(Ⅰ)设CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λCC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，λ∈[0,1]，则M(1,1,2λ)，EM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,2λ−1)，设平面BCC 1B 1的法向量为m ⃗⃗⃗ =(a,b,c)，则{m ⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0m ⃗⃗⃗ ⋅CC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{a −b =02c =0，令a =1，则b =1，c =0，所以m ⃗⃗⃗ =(1,1,0)， 因为直线EM 与平面BCC 1B 1所成角的正弦值为2√23， 所以|cos <EM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，m ⃗⃗⃗ >|=2√23，即|EM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ ||EM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|m⃗⃗⃗ |=2√23， 所以√2+(2λ−1)×√2=2√23，化简得16λ2−16λ+3=0，解得λ=14或34，所以CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =14CC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 或CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =34CC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 故线段CM 的长为12或32.【解析】(Ⅰ)选择条件①：由AA 1⊥AD ，AD ⊥BE ，可证AD ⊥平面ABB 1A 1，从而有AD ⊥AB ，故以A 为坐标原点建立空间直角坐标系，设直线CE 与B 1D 1所成角为θ，由cosθ=|cos <CE ⃗⃗⃗⃗⃗ ，B 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >|，得解；选择条件②：过点C 作CF//DA ，交AB 于点F ，可证四边形ADCF 为平行四边形，再结合勾股定理证明CF ⊥AB ，从而知AD ⊥AB ，故以A 为坐标原点建立空间直角坐标系，设直线CE 与B 1D 1所成角为θ，由cosθ=|cos <CE ⃗⃗⃗⃗⃗ ，B 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >|，得解； (Ⅰ)求得平面BCE 的法向量n ⃗ ，由d =|CC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ ||n⃗ |，即可得解； (Ⅰ)设CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λCC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，λ∈[0,1]，求得平面BCC 1B 1的法向量m⃗⃗⃗ ，由|cos <EM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，m ⃗⃗⃗ >|=2√23，可得关于λ的方程，解之即可．本题考查立体几何的综合应用，熟练掌握利用空间向量求异面直线夹角、线面角以及点到面的距离的方法是解题的关键，考查空间立体感，推理论证能力和运算能力，属于中档题．21.【答案】解：(Ⅰ)由已知得t +1>6−t >0，解得52<t <6，且a 2=t +1，b 2=6−t ，故c =√a 2−b 2=√2t −5， 故e =ca =√2t−5√t+1=12，解得t =3；(Ⅰ)证明：由(Ⅰ)知椭圆方程为x 24+y 23=1，当一条切线的斜率存在且不为0时，设其方程为y =kx +d ，(k ≠0)，代入椭圆的标准方程化简后得：(3+4k 2)x 2+8kdx +4d 2−12=0，因为是切线，故Δ=(8kd)2−4(3+4k 2)(4d 2−12)=0，化简得4k 2−d 2+3=0①， 设该切线过点P(m,n)，故n =km +d ，得d =n −km ，代入①式化简得4k 2−n 2+2kmn −k 2m 2+3=0②，再将−1代入上式整理得4−k2n2−2kmn−m2+3k2=0③，k②+③得7(1+k2)=(1+k2)(m2+n2)，故m2+n2=7④，当k=0或不存在时，两切线只能是x=±2，且y=±√3，它们的交点为(±2,±√3)，显然满足方程④，故动点P组成的集合是以原点为圆心，半径为√7的圆．【解析】(Ⅰ)利用离心率的计算公式直接求解；(Ⅰ)根据写出l1，l2的点斜式方程y=kx+d，与椭圆的方程联立，利用Δ=0得到，k，d的关系式是另一①，再将(m,n)代入切线方程，整理后代入①式，找到m，n的一个关系式②，再利用−1k条切线的斜率，替换②式中的t，得到另一个m，n的关系式③，最后结合②③两式不难得到结论，最后验证斜率不存在的情况．本题考查椭圆的标准方程和离心率的求法，同时考查了直线与椭圆的位置关系问题的解题思路，属于难题．。
2019届北京市西城区高三上学期期末考试理科数学试卷【含答案及解析】
13. 现有 5 名教师要带 3 个兴趣小组外出学习考察，要求每个兴趣小组的带队教师至 多 2 人，但其中甲教师和乙教师均不能单独带队，则不同的带队方案有 _________________________________ 种．（用数字作答）
14. 某食品的保鲜时间 t （单位：小时）与储藏温度 x （单位： ℃ ）满足函数关系 且该食品在 4 ℃ 的保鲜时间是 16 小时．
A ．（﹣ ∞ ，﹣ 1 ] B
．（﹣ ∞ ， 1 ] C
． [ ﹣ 1 ， +∞ ）
D ． [1 ， +∞ ）
2. 下列函数中，值域为 R 的偶函数是（
）
A ． y=x 2 +1 ________ B ． y=e x ﹣ e ﹣ x ________ C
D．
． y=lg|x| ________
3. 设命题 p ： “ 若
（ Ⅰ ）求证： EF ⊥ 平面 PAC ； （ Ⅱ ）若 M 为 PD 的中点，求证： ME∥ 平面 PAB ； （ Ⅲ ）如果直线 ME 与平面 PBC 所成的角和直线 ME 与平面 ABCD 所成的角相等，求
17. ly: 宋体 ; font-size:10.5pt">
甲 6699 乙 79xy
（ Ⅰ ）若从甲的 4 局比赛中，随机选取 2 局，求这 2 局的得分恰好相等的概率；
（ Ⅱ ）如果 x=y=7 ，从甲、乙两人的 4 局比赛中随机各选取 1 局，记这 2 局的得
分和为 X ，求 X 的分布列和数学期望；
元）为所收费用，用 [x ] 表示不大于 x 的最大整数，则图中 ① 处应填（
）
A． B． C． D．
8. 如图，正方形 ABCD 的边长为 6 ，点 E ， F 分别在边 AD ， BC 上，且 DE=2AE ，
北京市西城区2021-2022学年高二上学期期末考试数学试卷(word版,含答案)
北京市西城区2021-2022学年高二上学期期末考试数学试卷数 学2022.1本试卷共5页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知直线l 的一个方向向量为(1,1)=-a ，则直线l 的倾斜角为（A ）45︒（B ）90︒ （C ）120︒ （D ）135︒（2）在空间直角坐标系Oxyz 中，点(1,5,2)关于xOy 坐标平面的对称点为（A ）(1,5,2)-（B ）(1,5,2)- （C ）(1,5,2)- （D ）(1,5,2)---（3）抛物线22x p y =的焦点坐标为(0,1)，则其准线方程为（A ）1x =-（B ）1x = （C ）1y =- （D ）1y =（4）圆221:1O x y +=与圆222:(2)9O x y -+=的位置关系为（A ）外离（B ）外切 （C ）相交（D ）内切（5）在5(2)x -的展开式中，4x 的系数为（A ）5-（B ）10- （C ）5 （D ）10（6）在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB BC ==，1AA =，则直线1AC 与平面11BB C C 所成角的大小为（A ）30︒（B ）45︒ （C ）60︒ （D ）90︒（7）已知椭圆22122:1x y C a b+=，双曲线22222:1x y C a b -=，其中0a b >>．若1C 与2C 的焦距之比为1:3，则2C 的渐近线方程为（A ）20x ±=（B 20y ±=（C ）0x ±= （D 0y ±=（8）将4名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑和冰球3个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（A ）48种（B ）36种 （C ）24种 （D ）12种（9）设抛物线的顶点为原点，焦点F 在x 轴上．过F 的直线交抛物线于点A ，则以AF 为直径的圆（A ）必过原点（B ）必与x 轴相切 （C ）必与y 轴相切 （D ）必与抛物线的准线相切（10）如图，某市规划在两条道路边沿,PM PN 之间建造一个半椭圆形状的主题公园，其中12B B 为椭圆的短轴，OA 为椭圆的半长轴．已知3km OP =，122km B B =，45MPN ︒∠=．为使OA 尽可能大，其取值应为（精确到0.1km ）（A ）2.9km（B ）2.8km（C ）2.7km（D ）2.6km第二部分（非选择题 共110 分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
2022-2023学年北京市西城区高二上学期期末考试数学试题(解析版)
2022-2023学年北京市西城区高二上学期期末考试数学试题一、单选题1．直线0x y +=的倾斜角等于（ ）A ．45B ．90C ．120D ．135【答案】D【分析】由0x y +-=得=-+y x .【详解】由0x y +-=得=-+y x 1-，则倾斜角为135. 故选：D2．抛物线24x y =的准线方程为（ ） A ．1x = B ．=1x - C ．1y = D ．1y =-【答案】D【分析】根据抛物线方程求出2p =，进而可得焦点坐标以及准线方程. 【详解】由24x y =可得2p =，所以焦点坐标为()0,1，准线方程为：1y =-， 故选：D.3．在空间直角坐标系O xyz -中，点()()1,3,0,0,3,1A B -，则（ ） A ．直线AB 坐标平面xOy B ．直线AB ⊥坐标平面xOy C ．直线AB 坐标平面xOzD ．直线AB ⊥坐标平面xOz【答案】C【分析】求出AB 及三个坐标平面的法向量，根据AB 与法向量的关系判断．【详解】(1,0,1)AB =--，坐标平面xOy 的一个法向量是(0,0,1)，坐标平面xOz 的一个法向量是(0,1,0)，坐标平面yOz 的一个法向量是(1,0,0)，这三个法向量与AB 都不平行，但(0,1,0)0AB ⋅=，点,A B 均不在坐标平面xOz 上，因此AB 与坐标平面xOz 平行， 故选：C ．4．在4(21)x +的展开式中，2x 的系数为（ ） A ．6 B ．12C ．24D ．36【答案】C【分析】先求二项式展开式的通项公式，然后根据通项公式计算求解即可.【详解】4(21)x +展开式的通项公式444144C (2)12C k kk k k kk T x x---+=⋅=， 令42k -=，得2k =，所以在4(21)x +的展开式中，2x 的系数为42242C 4624-=⨯=，故选：C5．在长方体1111ABCD A B C D -中，13,2,1AB BC AA ===，则二面角1D BC D --的余弦值为（ ） A ．55B ．255C ．1010D ．31010【答案】D【分析】画出长方体1111ABCD A B C D -，1D CD ∠为二面角1D BC D --所成的平面角，求出1cos D CD ∠的值即可得出答案.【详解】长方体1111ABCD A B C D -中，13,2,1AB BC AA ===，110CD ∴=，BC CD ∴⊥，BC ⊥平面11DCC D ,1CD ⊂平面11DCC D ,1BC CD ∴⊥,又平面1D BC平面BCD BC =，∴1D CD ∠为二面角1D BC D --所成的平面角，113310cos 1010CD D CD CD ∠===， 所以二面角1D BC D --的余弦值为31010. 故选：D.6．若直线340x y m ++=与圆22(1)1x y ++=相离，则实数m 的取值范围是（ ） A ．()(),82,∞∞--⋃+ B ．()(),28,∞∞--⋃+ C ．()(),22,∞∞--⋃+ D ．()(),88,∞∞--⋃+【答案】B【分析】根据直线与圆相离则圆心到直线的距离大于圆的半径即可求解. 【详解】因为直线与圆相离，所以圆心(1,0)-到直线340x y m ++=的距离223134m d r -+=>=+，解得2m <-或8m >， 故选:B.7．2名辅导教师与3名获奖学生站成一排照相，要求2名教师分别站在两侧，则不同的站法共有（ ） A ．33A 种 B ．332A 种C ．5353A A -种 D ．35A 种【答案】B【分析】先排好教师再排学生即可.【详解】2名教师排在两边有22A 2=种排法，3名学生排在中间有 33A 种排法，所以共有332A 种排法； 故选：B.8．设a R ∈，则“1a =”是“直线1:20l ax y +=与直线()2140+++=：l x a y 平行”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】计算直线平行等价于1a =或2a =-，根据范围大小关系得到答案.【详解】直线1:20l ax y +=与直线()2140+++=：l x a y 平行，则()12a a +=，1a =或2a =-， 验证均不重合，满足.故“1a =”是“直线1:20l ax y +=与直线()2140+++=：l x a y 平行”的充分不必要条件. 故选：A.【点睛】本题考查了充分不必要条件，意在考查学生的计算能力和推断能力.9．如图是一个椭圆形拱桥，当水面在l 处时，在如图所示的截面里，桥洞与其倒影恰好构成一个椭圆.此时拱顶离水面2m ，水面宽6m ，那么当水位上升1m 时，水面宽度为（ ）A ．33mB 33C ．42mD 42【答案】A【分析】根据题意可得桥洞与其倒影恰好构成的椭圆方程为：22194x y +=，求直线1y =被椭圆所截得的弦长，代入椭圆方程即可求解.【详解】以图中水面所在的直线为x 轴，水面的垂直平分线所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系，根据已知条件可知：桥洞与其倒影恰好构成的椭圆方程为：22194x y +=，当水位上升1m 时，水面的宽度也即当1y =时，直线1y =被椭圆所截的弦长.把1y =代入椭圆方程可得：x =所以当水位上升1m 时，水面的宽度为， 故选：A .10．设点1,0A ，()2,3N -，直线:210l x ay a ++-=，AM l ⊥于点M ，则MN 的最大值为（ ）A B ．6C ．4D ．1【答案】B【分析】依题意可得直线AM 的方程，再联立直线l 的方程，消a 后可得到M 的轨迹方程为()()22111x y -++=，则所求MN 的最大值为圆心到点()2,3N -的距离加上半径，由此即可求解．【详解】依题意可得直线AM 的方程为()1y a x =-，联立()2101x ay a y a x ++-=⎧⎨=-⎩，消a 整理得()()22111x y -++=，所以点M 的轨迹是以1,1为圆心，1为半径的圆，故MN 16=，故选：B ．二、填空题11．设()()3,2,1,4A B --，则过线段AB 的中点，且与AB 垂直的直线方程为__________. 【答案】2310x y --=【分析】求出线段AB 的中点坐标和斜率，利用点斜式写出直线方程.【详解】因为()()3,2,1,4A B --，所以线段AB 的中点()1,1C --，且()423132AB k --==---.所以与AB 垂直的直线的斜率为112332ABk k =-=-=-， 所以过线段AB 的中点，与AB 垂直的直线方程为()2113y x +=+，即2310x y --=. 故答案为：2310x y --=12．在61x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，常数项为_____． 【答案】20【分析】根据展开式的通项公式求解即可.【详解】在61x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的通项公式为6621661kk k k kk T C x C x x --+⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以令620k -=，解得3k =，所以常数项为3620C =故答案为：20．13．设F 为抛物线2:4C y x =的焦点，点A 在抛物线C 上，点()3,0B ，且AF BF =，则AB =__________.【答案】【分析】由题意可设(),A x y ，且满足24y x =，因为=2AF BF =，由两点间的距离公式代入可求出()1,2A ±，即可求出AB .【详解】由题意可得，()1,0F ，2BF =，设(),A x y ， 且满足24y x =，此时0x >，则2AF ===，解得：1x =，此时2y =±，所以()1,2A ±，故AB =故答案为：14．记双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的离心率为e ，写出满足条件“直线2y x =与C 无公共点”的e 的一个值______________．【答案】2（满足1e <≤【分析】根据题干信息，只需双曲线渐近线by x a =±中02b a<≤即可求得满足要求的e 值. 【详解】解：2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>，所以C 的渐近线方程为b y x a=±,结合渐近线的特点，只需02b a <≤，即224b a≤，可满足条件“直线2y x =与C 无公共点”所以221145==+≤+=c b e a a ，又因为1e >，所以15e <≤， 故答案为：2（满足15e <≤皆可）15．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，2,AB E =为棱1DD 的中点，F 是正方形11CDD C 内部（含边界）的一个动点，且1//B F 平面1A BE .给出下列四个结论：①动点F 的轨迹是一段圆弧；②存在符合条件的点F ，使得11B F A B ⊥； ③三棱锥11B D EF -的体积的最大值为23；④设直线1B F 与平面11CDD C 所成角为θ，则tan θ的取值范围是2,22⎡⎤⎣⎦. 其中所有正确结论的序号是__________. 【答案】②③④【分析】对于①，利用线线平行可证得平面1//A BE 平面1MNB ，进而知动点F 的轨迹； 对于②，利用垂直的性质的可判断； 对于③，利用三棱锥的体积公式可求得； 对于④，利用线面角的定义结合三角形可求解；【详解】对于①，分别取1CC 和11D C 的中点,N M ，连接MN ，1MB ，1NB ，由正方体性质知1//MN A B ，11//NB EA ，1,MN NB ⊂/平面1A BE ，11,A B EA ⊂平面1A BE ，所以1,//MN NB 平面1A BE ,又1,MN NB ⊂平面1MNB ，1MNNB N =，所以平面1//A BE 平面1MNB ，当F 在MN 上运动时，有1//B F 平面1A BE ，故动点F 的轨迹是线段MN ，故①错误； 对于②，当F 为线段MN 中点时，11MB NB =，1B F MN ∴⊥， 又1//MN A B ，11B F A B ∴⊥，故②正确；对于③，三棱锥11B D EF -的体积11111233D EF D EF V S B C S =⋅=，又1max 12112D EF S =⨯⨯=所以三棱锥的体积的最大值为23，故③正确；对于④，连接11,B F C F ，则1B F 与平面11CDD C 所成角11FC B θ=∠，则12tan C Fθ=， 又1212C F ≤≤，所以tan θ的取值范围是2,22⎡⎤⎣⎦，故④正确； 故正确结论的序号是①③④， 故答案为：②③④三、解答题16．从4男3女共7名志愿者中，选出3人参加社区义务劳动. (1)共有多少种不同的选择方法？(2)若要求选中的3人性别不能都相同，求共有多少种不同的选择方法？ 【答案】(1)35 (2)30【分析】（1）7名志愿者中选出3人共有37C 种；（2）选中的3人性别不能都相同，即为1男2女或2男1女，即12214343C C C C .【详解】（1）7名志愿者中选出3人共有37765C353！种；（2）选中的3人性别不能都相同，即为1男2女或2男1女，则有12214343C C C C436330种. 17．如图，在四棱锥P ABCD-中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为正方形，E为线段AB的中点，2PA AB==.(1)求证：BC PE⊥；(2)求平面PAB与平面PBD夹角的余弦值.【答案】(1)证明见解析3【分析】（1）根据线面垂直的性质定理可得PA BC⊥,再根据底面是正方形可证明线面垂直，即可得BC PE⊥；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求得平面PAB与平面PBD的法向量，即可求得二面角的余弦值【详解】（1）由PA⊥平面ABCD，根据线面垂直的性质定理可知，PA BC⊥又因为底面ABCD为正方形，所以AB BC⊥，又因为PA BA A=，且P A,BA含于平面P AB,所以BC⊥平面PAB；E为线段AB的中点，PE⊂平面PAB，所以，BC PE⊥（2）根据题意可知，以A点为坐标原点，分别以AB、AD、AP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如下图所示：则(0,0,0),(2,0,0),(0,2,0),(0,0,2)A B D P ； 则(2,0,2),(0,2,2)PB PD =-=-， 设平面PBD 的一个法向量为(,,)n x y z =，得·220·220n PB x z n PD y z ⎧=-=⎪⎨=-=⎪⎩，令1z =可得，1,1x y ==，即(1,1,1)n =；易知，(0,2,0)AD =是平面PAB 的一个法向量， 设平面PAB 与平面PBD 的夹角为θ， 则23cos cos ,32n AD n AD n ADθ===⨯所以，平面PAB 与平面PBD 318．在平面直角坐标系中，()()1,0,1,0A B -，曲线C 是由满足直线PA 与PB 的斜率之积等于定值()λλ∈R 的点P 组成的集合.(1)若曲线C 是一个圆（或圆的一部分），求λ的值；(2)若曲线C 是一个双曲线（或双曲线的一部分），且该双曲线的离心率2e ≥λ的取值范围. 【答案】(1)1-(2)[)1+∞，【分析】（1）由题意知，,PA PB 的斜率存在，设(),P x y 代入斜率公式，再由斜率之积为定值，化简满足圆的条件即可求得λ的值.（2）由题意知，,PA PB 的斜率存在，设(),P x y 代入斜率公式，再由斜率之积为定值，化简满足双曲线的条件及离心率2e ≥λ的取值范围.【详解】（1）设(),P x y 且1x ≠±，()()1,0,1,0A B -，由题意知，,PA PB 的斜率存在， 则()0011PA PBy y k k x x λ--⋅=⋅=---即()()211y x x λ=-+， 可化为()()2211y x x x λλλ=+-=-()1x ≠±，因为曲线C 是一个圆（或圆的一部分），所以()()2211y x x x λλλ=+-=-，可化为220x y λλ-++=，所以140λλ-=⎧⎨->⎩解得1λ=-.（2）设(),P x y 且1x ≠±，()()1,0,1,0A B -，由题意知，,PA PB 的斜率存在， 则()0011PA PBy y k k x x λ--⋅=⋅=---即()()211y x x λ=-+， 可化为()()2211y x x x λλλ=+-=-()1x ≠±，因为曲线C 是一个双曲线（或双曲线的一部分），所以()()2211y x x x λλλ=+-=-，可化为()210yx λλ-=≠，所以222221,,1a b c a b λλ===+=+，因为ce a=≥所以22211c e a λ+==≥1λ≥， 所以λ的取值范围为[)1+∞，.19．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的一个焦点为)F，其长轴长是短轴长的2倍.(1)求椭圆C 的方程；(2)记斜率为1且过点F 的直线为l ，判断椭圆C 上是否存在关于直线l 对称的两点,A B 若存在，求直线AB 的方程；若不存在，说明理由. 【答案】(1)2214x y +=(2)不存在【分析】（1）由c 及2a b =，根据222a b c =+，解得,a b ，写出方程.（2）先假设存在，设出直线AB 的方程，与椭圆方程联立，求得中点坐标，代入l ，求得m ，验证Δ0<，得结论不存在关于直线l 对称的两点.【详解】（1）22223,244()c a b a b a c ==∴==- 24,2,1a a b ∴===椭圆C 的方程2214x y +=（2）假设存在关于l 对称的两点,A B :3l y x =-，设AB 的方程为y x m =-+直线AB 与椭圆C 的方程联立2214y x m x y =-+⎧⎪⎨+=⎪⎩得2258440x mx m -+-= 设1122(,),(,)A x y B x y 则12121282,()255m m x x y y x x m +=+=-++=， AB 的中点4(,)55m m代入y x 3=- 解得533m =此时216800m ∆=-+<，所以椭圆C 上不存在关于直线l 对称的两点,A B .20．如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，1AA ⊥平面1，，ABCD AB CD AD CD ==∥，12，AA AB E ==为线段1AA 的中点，再从下列两个条件中选择一个作为已知.条件①：AD BE ⊥；条件②：2BC =.(1)求直线CE 与11B D 所成角的余弦值； (2)求点1C 到平面BCE 的距离；(3)已知点M 在线段1CC 上，直线EM 与平面11BCC B 22，求线段CM 的长. 【答案】15(3)CM 的长为12或32.【分析】选①或②，都能得到，DA AB ⊥，后如图以A 为原点建立空间直角坐标系.则可利用向量方法求线线角，点面距离，面面角解决问题.【详解】（1）若选择①，因1AA ⊥平面ABCD ，DA ⊂平面ABCD ，则1DA AA ⊥， 又AD BE ⊥，1AA ⊂平面11ABB A ，EB ⊂平面11ABB A ，1∩AA EB E =，则DA ⊥ 平面11ABB A ，又AB ⊂平面11ABB A ，则DA AB ⊥； 若选择②，做CF AD ∥，交AB 于F ，又ABCD ，则四边形DCF A 是平行四边形，则1CD CF AD AF ====，又2AB =，则1FB =.则在CFB 中，222CF FB BC +=，得CF AB ⊥，又CF AD ∥，则AD AB ⊥. 故11，，DA AA DA AB AA AB ⊥⊥⊥，则如图建立以A 为原点的空间直角坐标系. 则()()()()11110001102022,,，,,，,,，,,C E D B ，得()()11111120,,，,,CE B D =--=-，则直线CE 与11B D 所成角的余弦值为：1111CE B D CE B D ⋅==⋅（2）因()()()()1020110001112,,，,,，,,，,,B C E C ， 则()()()1110111002,,，,,，,,CB CE CC =-=--=. 设平面BCE 的法向量为()111,,x n y z =，则111110000x y z n CE x y n CB ⎧--+=⋅=⎧⎪⇒⎨⎨-+=⋅=⎩⎪⎩，取()1,1,2n =，则求点1C 到平面BCE 的距离14CC n d n⋅===（3）因点M 在线段1CC 上，则设()11,,M t ，其中[]0,2t ∈.又()0,0,1E ，则()111,,EM t =-.又()()11,1,00,0,2CB CC =-=，， 设平面11BCC B 法向量为()222,,m x y z =，则222100200x y m CB z m CC ⎧-+=⎧⋅=⎪⇒⎨⎨=⋅=⎪⎩⎩， 取()1,1,0m =，则直线EM 与平面11BCC B 所成角的正弦值为：()2222132221EM m t EM mt ⋅==⇒=⋅⨯+-或32t =. 得线段CM 的长为12或32.21．已知椭圆22:116x y C t t+=+-的焦点在x 轴上，且离心率为12.(1)求实数t 的值；(2)若过点(),P m n 可作两条互相垂直的直线12,l l ，且12,l l 均与椭圆C 相切.证明：动点P 组成的集合是一个圆. 【答案】(1)3t = (2)见解析【分析】（1）根据椭圆的离心率即可求解，（2）联立直线与椭圆的方程，根据相切得判别式为0，进而代入切线中的k k ,km n b ，化简即可求解.【详解】（1）椭圆22:116x y C t t+=+-的焦点在x 轴上，且离心率为12，所以216114t t e t ，解得3t =，（2）当3t =时，椭圆方程为22143x y +=， 设与椭圆相切，且斜率存在的直线方程为y k x b '=+，所以()222223484120143y k x bk x k bx b x y ''=+⎧⎪⇒+++-=⎨+=⎪⎩'， 由于相切，所以222=84344120k bkb ，化简得22430kb —①，设过点(),P m n 且斜率为0k '≠的直线方程为y k x m n ，即y kx km n =-+，所以将kk ,km n b 代入①得22430k km n，化简得22224230k n kmn k m —②， 将1k-代入②得22221114230n mn m k k k，化简得22224230n k kmn m k ---+=—③， 由②③相加得2222227117k k m n m n ，当12,l l 其中一条切线无斜率时，此时23P ,,也满足227m n +=，综上可知：动点(),P m n 组成的集合是一个圆，且圆的方程为227m n +=【点睛】根据直线与曲线相切，转化成判别式为0，进而得到等量关系式，可将关系式进行适当的变形，根据弦长公式，或者利用向量共线等方式，化简运算即可求解.。
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林老师编辑整理 林老师编辑整理 2019北京市西城区高二（上）期末
数 学 2019.1
试卷满分：150分 考试时间：120分钟 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.
1. 椭圆22143xy的离心率为（ ） （A）14 （B）12 （C）34
（D）32
2. 命题“对任意的xR，210x”的否定是（ ） （A）不存在xR，210x （B）存在xR，210x
（C）存在xR，210x （D）对任意的xR，210x
3. 数列{}na的前n项和为nS，且13a，*12()nnaanN，则5S等于（ ） （A）32 （B）48 （C）62 （D）93 4. 已知点(2,0,1)A，(4,2,3)B，P是AB中点，则点P的坐标为（ ） （A）(3,1,2)P （B）(3,1,4)P （C）(0,2,1)P （D）(6,4,5)P 5. 平面经过三点(0,0,0)O，(2,2,0)A，(0,0,2)B，则平面的法向量可以是（ ） （A）(1,0,1) （B）(1,0,1) （C）(0,1,1) （D）(1,1,0)
6. 如果0ab，那么下列不等式中正确的是（ ） （A）2bab （B）2aba （C）22ab （D）ab 7. 已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab的一条渐近线方程为3yx，一个焦点坐标为 (2,0)，则双曲线C的方程为（ ）
（A）22126xy （B）22162xy （C）2213yx （D）2213xy 8. 设数列{}na是等比数列，则“21aa”是“{}na为递增数列”的（ ） （A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件
9. 某采摘园的樱桃前n年的总产量nS与n之间的关系如图所示，从图中记录的结果看， 前x年的平均产量最高，第y年的年产量最高，则x和y的值分别为（ ）
（A）7和4 林老师编辑整理 林老师编辑整理 （B）7和8 （C）10和4 （D）10和10 10. 已知0xy. 将四个数22,,,xxyxyxy按照一定顺序排列成一个数列，则（ ）
（A）当0x时，存在满足已知条件的,xy，四个数构成等比数列 （B）当0x时，存在满足已知条件的,xy，四个数构成等差数列 （C）当0x时，存在满足已知条件的,xy，四个数构成等比数列 （D）当0x时，存在满足已知条件的,xy，四个数构成等差数列 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.
11. 抛物线24yx的焦点坐标为_____.
12. 在数列11310,,,,,,4382nn中，37是它的第_____项. 13. 不等式111x的解集为______. 14. 如图，在正方体1111ABCDABCD中，E为1CC中点,则1CD与平面11ADDA所成角的大小为______；CD与AE所成角的余弦值为______.
15. 设函数()(0)afxxax. ① 当1a时，()fx在区间(0,)上的最小值为______； ② 若()fx在区间(2,)上存在最小值，则满足条件的一个a的值为______. 16. 已知椭圆1C，抛物线2C的焦点均在x轴上，1C的中心和2C的顶点均为坐标原点. 右表 给出坐标的五个点中，有两个点在1C 上，另有两个点在2C上. 则椭圆1C的 方程为_______，1C的左焦点到2C的 准线之间的距离为_______. 三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
x 1 3 2 4 2
y 3 23 0 4
2
2 林老师编辑整理 林老师编辑整理 17．（本小题满分13分） 已知等差数列{}na的公差为2，且134,,aaa成等比数列. （Ⅰ）求{}na的通项公式； （Ⅱ）设{}na的前n项和为nS，求20S的值.
18．（本小题满分13分） 已知函数2()2fxxax，aR. （Ⅰ）当1a时，求满足()0fx的x的取值范围； （Ⅱ）解关于x的不等式2()3fxa； （Ⅲ）若对于任意的(2,)x，()0fx均成立，求a的取值范围．
19．（本小题满分13分） 已知椭圆2222:1(0)xyCabab长轴是短轴的2倍，且右焦点为(1,0)F. （Ⅰ）求椭圆C的标准方程； （Ⅱ）直线:(2)lykx交椭圆C于,AB两点，若线段AB中点的横坐标为23，求直线l的方程及FAB△的面积.
20．（本小题满分14分） 如图，四棱锥SABCD的底面是直角梯形，//ABCD，90BADADC. SDABCD平面，M是SA的中点，22ADSDCDAB. （Ⅰ）证明：DM⊥平面SAB； （Ⅱ）求二面角ASBC的大小； MD
BA
SC林老师编辑整理 林老师编辑整理 （Ⅲ）线段SC上是否存在一点E，使得直线//SA平面BDE. 若存在，确定E点的位置；若不存在，说明理由.
21．（本小题满分14分） 已知椭圆2222:1xyCab（0ab）的离心率为12，左顶点B与右焦点2F之间的距离为3． （Ⅰ）求椭圆C的标准方程； （Ⅱ）设直线()xtta交x轴于点S，过2F且斜率不为0的直线l与椭圆C相交于两点,MN，连接,BMBN并延长分别与直线xt交于两点,PQ. 若22PFSFQS，求点S的坐标．
22．（本小题满分13分） 已知a为实数，数列{}na满足1aa，*133, 3 ()4, nnnnnaaanaaN≤. （Ⅰ）当0.2a和7a时，分别写出数列{}na的前5项； （Ⅱ）证明：当3a时，存在正整数m，使得20ma≤； （Ⅲ）当10a≤≤时，是否存在实数a及正整数n，使得数列{}na的前n项和2019nS？若存在，求出实数a及正整数n的值；若不存在，请说明理由. 林老师编辑整理
林老师编辑整理 数学试题答案 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分. 1.B 2.C 3. D 4.A 5.D 6. C 7. C 8. B 9. A 10.D . 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 11. (1,0) 12. 7 13. {12}xx 14. 245,3 15. 2，4a即可 16. 2214xy，31 注：第14、15、16题第一个空2分，第二个空3分. 三、解答题：本大题共6小题，共80分.
17．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）因为134,,aaa成等比数列，所以2314aaa. …………………2分 所以2111(2)(3)adaad， …………………4分 又{}na的公差为2，所以2111(4)(6)aaa， 解得18a. …………………7分 所以{}na的通项公式为210nan. …………………9分 （Ⅱ）2012020()2Saa …………………11分
1110(19)aad 10(16192)220. …………………13分 所以，20S的值为220. 林老师编辑整理 林老师编辑整理 18．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）当1a时，2()2fxxx，所以()0fx，即220xx， …………………1分 解得02x. 所以()0fx的解集为(0,2). …………………4分 （Ⅱ） 由2()3fxa，得 22230xaxa， 所以 (3)()0xaxa， …………………6分 当0a时，解集为(,3)aa；当 0a 时，解集为空集；当0a时，解集为(3,)aa. …………………9分 （Ⅲ）()0fx，即 220xax，所以 22axx. 因为对于任意的(2,)x，()0fx均成立. 所以对于任意的(2,)x，2xa均成立. …………………11分
所以 1a. 即a的取值范围是(,1]. …………………13分 19．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）因为长轴是短轴的2倍，所以2ab. …………………1分 因为焦点F的坐标为(1,0)，所以1c. 结合222abc， …………………2分 得2,1ab. 所以椭圆方程为2212xy. …………………4分 （Ⅱ）设11(,)Axy，22(,)Bxy.
由221,2(2)xyykx得2222(21)8820kxkxk.
则 22121222882,2121kkxxxxkk. …………………6分 林老师编辑整理 林老师编辑整理 yx
zMS
AB
DC
E
因为线段AB中点的横坐标为23， 所以 212242=2321xxkk. …………………7分 解得 214k，即12k（符合题意）. …………………8分 所以直线l的方程为1(2)2yx， …………………9分 因为 2212122(1)[()4]53ABkxxxx. …………………11分 点F到直线l的距离233551kdk. …………………12分 所以FAB△的面积 125351235AFBS△. 即FAB△的面积等于1. …………………13分 20．（本小题满分14分）
（Ⅰ）证明：因为SDABCD平面 ,DADC平面ABCD. 所以SDDA，SDDC，又DADC. 如图，以D为原点建立空间直角坐标系． …………………1分 由题意得(0,0,0),(2,0,0),(2,1,0),(0,2,0),(0,0,2),(1,0,1)DABCSM， …………………3分 所以(1,0,1)DM,(2,0,2)SA,(0,1,0)AB. 所以0DMSA,0DMAB, …………………4分 所以DMSA,DMAB, 所以DM平面SAB. …………………5分 （Ⅱ）设平面SBC的法向量为1(,,)xyzn， 因为(0,2,2),(2,1,0)SCBC. 所以1100SCBCnn，即22020yzxy， ……………6分
令1x，则2,2yz.