指数与指数函数
指数函数公式运算法则
指数函数公式运算法则指数函数是一种常见的数学函数，其公式形式为f(x) = a^x，其中a为底数，x为指数。
指数函数在数学中有着广泛的应用，因此掌握指数函数的运算法则对于解决实际问题具有重要意义。
本文将介绍指数函数的运算法则，包括指数函数的加减乘除、指数函数的幂函数、指数函数的对数函数等内容。
一、指数函数的加减乘除1. 指数函数的加法当两个指数函数相加时，如果它们的底数相同，则可以将它们的指数相加，即a^x + a^y = a^(x+y)。
例如，2^3 + 2^4 =2^(3+4) = 2^7。
2. 指数函数的减法同样地，当两个指数函数相减时，如果它们的底数相同，则可以将它们的指数相减，即a^x - a^y = a^(x-y)。
例如，3^5 - 3^3 = 3^(5-3) = 3^2。
3. 指数函数的乘法当两个指数函数相乘时，如果它们的底数相同，则可以将它们的指数相加，即(a^x) * (a^y) = a^(x+y)。
例如，2^3 * 2^4 =2^(3+4) = 2^7。
4. 指数函数的除法当两个指数函数相除时，如果它们的底数相同，则可以将它们的指数相减，即(a^x) / (a^y) = a^(x-y)。
例如，3^5 / 3^3 =3^(5-3) = 3^2。
二、指数函数的幂函数指数函数的幂函数是指数函数的一种特殊形式，其公式为f(x) = (a^x)^n，其中a为底数，x为指数，n为幂次。
当计算指数函数的幂函数时，可以将指数函数的指数与幂次相乘，即(a^x)^n =a^(x*n)。
例如，(2^3)^2 = 2^(3*2) = 2^6。
三、指数函数的对数函数指数函数的对数函数是指数函数的逆运算，其公式为y =log_a(x)，其中a为底数，x为指数，y为对数。
对数函数的作用是求解指数函数的指数，即log_a(x) = y 等价于 a^y = x。
例如，log_2(8) = 3 等价于 2^3 = 8。
指数运算及指数函数
指数与指数函数【知识梳理】1．根式 (1) 根式的概念如果一个数的n 次方等于a (n >1且n ∈N +)，那么这个数叫做a 的n 次方根．也就是，若x n=a ，则x 叫做a 的n 次方根，其中n>l 且n ∈N +根式，这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数．(2) 根式的性质①当n 为奇数时，正数的n 次方根是一个正数，负数的n 次方根是一个负数，这时，a 的n②当n 为偶数时，正数的n 次方根有两个，它们互为相反数，这时，正数a 的正的n 表示，负的n 次方根用符号na 表示．正负两个n a >0）．③na④当n a ；当n (0)(|)|0a a a a a ==≥⎧⎨-<⎩ ⑤负数没有偶次方根． 2. 有理数指数幂 (1)幂的有关概念①正整数指数幂：a n = a ·a · … ·a ．(n ∈N *) n 个 ②零指数幂：a 0=1(a ≠0）． ③负整数指数幂：pa -=1p a(a ≠0，p ∈N *）． ④正分数指数幂：m m nna a （a >0，m 、n ∈N *，且n>1）．⑤负分数指数幂：11(0,mnm nmna am aa 、n ∈N *，且n>1）⑥0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 (2)有理数指数幂的性质 ①(0,r rs sr a a aa 、s ∈Q ）； ②()(0,r r ss a ar a 、s ∈Q ）；③()rr r ab a b (a >0，b>0，r ∈Q).3．指数函数的图象与性质，如右表：【例题解析】题型一 指数式与根式的计算 例1、（1）2325= ； （2）32254-⎛⎫⎪⎝⎭=变式训练：1、（A ）44等于（ ） A 、16aB 、8aC 、4aD 、2a2、（B ）若103,104xy==，则10x y -=例2、(1) 112032170.027()(2)1)79----+-； (2) 211511336622(2)(6)(3)a b a b a b .例3、计算下列各式：(1) 4160.250321648200549-+----）（）（）； (2) 213323121)()1.0()4()41(----⨯b a ab .题型二 指数函数的图象及应用例4、指出下列函数哪些是指数函数(1)y ＝4x ； (2)y ＝x 4； (3)y ＝－4x ； (4)y ＝(－4)x； (5)y ＝4x 2； (6)y ＝x x ； (7)y ＝(2a －1)x(a >12，且a ≠1)．变式体验：若y ＝(a －3)·(a －2)x是指数函数，求a 的值．例5、（1）在同一坐标系中，函数y ＝2x 与y ＝⎝⎛⎭⎫12x的图象之间的关系是( ) A ．关于y 轴对称 B ．关于x 轴对称 C ．关于原点对称D ．关于直线y ＝x 对称（2）如图所示的曲线是指数函数y ＝a x 的图象，已知a ∈{2，43，310，15}，则相应于曲线C 1，C 2，C 3，C 4的a 值依次是________．例6、函数y ＝a x －1a(a >0，且a ≠1)的图象可能是( )变式训练：1、函数()2()1xf x a =-在R 上是减函数，则a 的取值范围是（ ）A 、1>aB 、2<aC 、a <D 、1a <<2、若1a >，那么函数1x y a =-的图像一定不经过（ ） A ．第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3、已知01,1a b <<<-,则函数x y a b =+的图像必定不经过（ ） A 、第一象限 B 、第二象限 C 、第三象限 D 、第四象限 例7、变式训练：例8、比较下列各组数的大小变式训练：已知a ＝0.80.7，b ＝0.80.9，c ＝1.20.8，则a 、b 、c 的大小关系是( ) A ．a >b >c B ．b >a >c C ．c >b >a D ．c >a >b五．课后训练1．下列以x 为自变量的函数中是指数函数的是( )A ．y ＝3x ＋1 B ．y ＝－3x C ．y ＝(13)－x D ．y ＝(2x ＋1)x2．若集合A ＝{y |y ＝2x ，x ∈R}，B ＝{y |y ＝x 2，x ∈R}，则( ) A ．A B B ．A ⊆B C ．A B D ．A ＝BA ．R 、RB ．R 、(0，＋∞)C ．{x ∈R|x ≠0}，{y ∈R|y ≠1}D ．{x ∈R|x ≠0}，{y >0|y ≠1} 4．设y 1＝40.9，y 2＝80.48，y 3＝(12)－1.5，则( )A ．y 3>y 1>y 2B ．y 2>y 1>y 3C ．y 1>y 2>y 3D ．y 1>y 3>y 25．当x >0时，指数函数f (x )＝(a －1)x ，且(a －1)x <1恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．a >2 B ．1<a <2 C ．a >1 D ．a ∈R6．若函数f (x )与g (x )＝(12)x 的图象关于y 轴对称，则满足f (x )>1的x 的范围是________．7．设23－2x<0.53x －4，则x 的取值范围是________．8．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(12)x －7，x <0，x ，x ≥0，若f (a )<1，则实数a 的取值范围是________．9. 已知函数)1,0(≠>=a a a y x在[]2,1上的最大值比最小值多2，求a 的值 。
指数以及指数函数的整理讲义经典-（含答案）
指数以及指数函数的整理讲义经典-（含答案）指数与指数函数⼀、指数（⼀）n 次⽅根：1的3次⽅根是( )A ．2B ．－2C ．±2D ．以上都不对 2、若4a －2＋(a －4)0有意义，则实数a 的取值范围是( )A ．a ≥2B ．a ≥2且a ≠4C ．a ≠2D ．a ≠4（⼆）、 n 为奇数，a a n n = n 为偶数,??<-≥==0,0,a a a a a a n n1．下列各式正确的是( )＝－3 ＝a ＝2 D ．a 0＝12、.(a －b )2＋5(a －b )5的值是( )A ．0B ．2(a －b )C ．0或2(a －b )D ．a －b 3、若xy ≠0，那么等式 4x 2y 2＝－2xy y 成⽴的条件是( )A ．x >0，y >0B ．x >0，y <0C ．x <0，y >0D ．x <0，y <0 4、求下列式⼦(1)．334433)32()23()8(---+-(2)223223--+132811621258---????；；；243的结果为 A 、5B 、5C 、－5D 、－53、把下列根式写成分数指数幂的形式：（1）32ab （2）()42a -（3）3432x x x（四）、实数指数幂的运算性质（1）r a ·s r r a a += ),,0(R s r a ∈>；（2）rs s r a a =)( ),,0(R s r a ∈>；（3）sr r a a ab =)( ),,0(R s r a ∈>．1．对于a >0，b ≠0，m 、n ∈N *，以下运算中正确的是( )A ．a m a n ＝a mnB ．(a m )n ＝am ＋nC ．a m b n ＝(ab )m ＋nD ．(b a )m＝a －m b m2、若0,x >则13111424（2x +3）(2x -3)-4x ＝ .3．计算－13－(－78)0＋[(－2)3]－43＋16－＋|－|12＝________.题型⼀： 1、求值：（1-；（22、已知*N n ∈，化简()()()()=+++++++++----11111233221n n Λ_____。
指数的运算与指数函数
指数的运算与指数函数4.1指数的运算【知识梳理】1. 整数指数幂1）定义：我们把n a 叫做a 的n 次幂，a 叫做幂的底数，n 叫做幂的指数。
在上述定义中，n 为整数时，这样的幂叫做整数指数幂。
2）整数指数幂的运算法则：（1）n m a a = （2）=n m a )(（3）=n maa （4）=m ab )(3)此外，我们作如下规定：零次幂：)0(10≠=a a ； 负整数指数幂：),0(1+-∈≠=N n a a a nn； 2. 根式：1）n 次方根：一般地，如果a x n =，那么x 叫做a 的n 次方根，其中n >1，且n ∈N *。
注：①当n 是偶数时，正数的n 次方根有两个，这两个数互为相反数，分别表示为n a -，n a ；负数的偶次方根在实数范围内不存在；②当n 是奇数时，正数的n 次方根是一个正数；负数的n 次方根是一个负数，都表示为na ；③0的任何次方根都是0，记作00=n。
2）正数a 的正n 次方根叫做a 的n 次算数根。
当na 有意义时，n a 叫做根式，这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数．注：当n 是奇数时，a a nn =；当n 是偶数时，⎩⎨⎧<≥-==)0()0(||a a a a a a nn ；3. 有理指数幂1）我们进行如下规定： n na a=1 （0>a ）那么，我们就将整数指数幂推广到分数指数幂。
此外，下面定义也成立： )1,,,0(*>∈>=n N n m a a a n m nm)1,,,0(11*>∈>==-n N n m a a aanmnm nm注：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义。
2）规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数幂推广到了有理数指数幂。
3)有理指数幂的运算性质：（1）r a ·sr r aa +=),,0(Q s r a ∈>； （2）rs s r a a =)(),,0(Q s r a ∈>；（3）s r r a a ab =)(),0,0(Q r b a ∈>> 题型一 根式与幂的化简与求值 【例1】.求下列各式的值：（1）223223-++ （2）347246625-+--+【例2】.计算下列各式的值： （1）()[]75.0343031162)87(064.0---+-+-- （2）()()()012132232510002.0833-+--+⎪⎭⎫⎝⎛----【例3】.化简下列各式：（1）()0,0332>>b a b a ab ba （2）212121211111a a a a a ++------【过关练习】1.求值：（1）335252-++ （2）3332332313421248a a b a ab b ba a ⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷++-2.化简：（1）111113131313132---+++++-x xx x x x x x（2）()()14214214433332)1()1(1))((----------++-++-++-+a a a a a a a a a a a a a a a a3.下列关系式中，根式与分数指数幂的互化正确的是_____.())0()4)(0()1()3();0()2();0()1(434334316221>=>=<=>-=--a a a a x xxy y y x x x题型二 含附加条件的求值问题 【例1】（1）若3193=⋅ba，则下列等式正确的是（ ） A. 1-=+b a B. 1=+b a C. 12-=+b a D.12=+b a（2）若,123-=++x x x 则2827211227281x x x x x x x x ++⋅⋅⋅++++++⋅⋅⋅++----的值是_____.【例2】（1）已知,32,21==y x 求yx y x y x y x +---+的值； （2）已知b a ,是方程0462=+-x x 的两个根，且0>>b a ，求ba ba +-的值.【过关练习】 1.已知.88(22的值常数），求x x xxa --+=+2.已知32121=+-a a ，求21212323----aa a a 的值.3. 已知122+=xa ，求xx xx aa a a --++33的值题型三 解含幂的方程与等式的证明 【例1】解下列方程 （1）x x )41(212=+ （2）03241=-++x x【例2】已知433cz by ax ==，且1111=++zy x ，求证31313131222)(c b a cz by ax ++=++【过关练习】 1. 解下列方程（1）2291381+⎪⎭⎫⎝⎛=⨯x x （2）0123222=-⨯++x x2.设c b a ,,都是正数，且cb a 643==，求证ba c 122+=.4.2 指数函数及其性质【知识梳理】1. 指数函数 函数 )1,0(≠>=a a a y x叫做指数函数. 2. 指数函数的性质（1）定义域 :实数集合R ； （2）值域 ：0>y ;（3） 奇偶性：指数函数是非奇非偶函数（4）单调性：1>a 时，函数 )1,0(≠>=a a a y x在),(+∞-∞上为增函数；10<<a 时，函数)1,0(≠>=a a a y x 在),(+∞-∞上为减函数；（5）函数值：0=x 时，1=y ,图象恒过点（0，1）；（6）当0,1>>x a 时1>y ；0,1<>x a 时，10<<y .当10<<a ,0>x 时，10<<y ;0,10<<<x a 时，1>y .题型一 指数函数的概念例1 .已知指数函数)3)(2(--+=a a a y x的图像经过点（2,4），求a 的值.【过关练习】.若指数函数)(x f 的图像经过点（2,9），求)(x f 的解析式及)1(-f 的值.题型二 指数型复合函数的定义域和值域 【例1】.求下列函数的定义域和值域 （1） xy 31-= （2）412-=x y（3）xy -=)32( （4）32221--⎪⎭⎫ ⎝⎛=x x y【例2】.求函数[]2,2,221341-∈+⎪⎭⎫⎝⎛⨯-⎪⎭⎫ ⎝⎛=x y xx 的值域.【例3】.如果函数[]1,1-)1,0(122在且≠>-+=a a a a y x x上有最大值14，试求a 的值.【过关练习】1.求函数xy ⎪⎭⎫⎝⎛-=211的定义域和值域.2.已知集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈==+R x y y A x,)21(12,则满足B B A =⋂的集合B 可以是（ ）A. ⎭⎬⎫⎩⎨⎧21,0 B. ⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<210x x C.{}11≤≤-x x D.{}0>x x 3.函数22212+-=+x xy 的定义域为M ，值域[]2,1P ，则下列结论一定正确的个数是（ ）。
指数函数知识点总结
指数函数知识点总结指数函数是高中数学中的重要内容，它在数学和科学领域中都有着广泛的应用。
指数函数的概念和性质对于学生来说是一个比较抽象和难以理解的内容，但只要我们掌握了其中的一些关键知识点，就能够很好地理解和运用指数函数。
本文将对指数函数的知识点进行总结，希望能够帮助学生更好地掌握这一部分内容。
一、指数函数的定义。
指数函数是以指数为自变量的函数，一般写作y=a^x，其中a是底数，x是指数，y是函数值。
当底数a大于1时，函数呈现增长趋势；当底数a在0和1之间时，函数呈现下降趋势。
指数函数的图像一般为一条曲线，随着指数的增大或减小而逐渐增长或减小。
二、指数函数的性质。
1. 指数函数的定义域是实数集，值域是正实数集。
2. 当底数a大于1时，函数呈现增长趋势；当底数a在0和1之间时，函数呈现下降趋势。
3. 指数函数的图像一般为一条曲线，随着指数的增大或减小而逐渐增长或减小。
4. 指数函数的图像经过点(0,1)，并且不过x轴。
三、指数函数的运算。
1. 指数函数的乘法，a^m a^n = a^(m+n)。
2. 指数函数的除法，a^m / a^n = a^(m-n)。
3. 指数函数的幂运算，(a^m)^n = a^(mn)。
四、指数函数的应用。
1. 指数函数在经济学中的应用，例如复利计算、指数增长模型等。
2. 指数函数在生物学中的应用，例如细菌繁殖、人口增长等。
3. 指数函数在物理学中的应用，例如放射性衰变、电路中的电流变化等。
五、指数函数的解析式和图像。
1. 当底数a大于1时，指数函数的解析式为y=a^x，图像为逐渐增长的曲线。
2. 当底数a在0和1之间时，指数函数的解析式为y=a^x，图像为逐渐减小的曲线。
六、指数函数与对数函数的关系。
指数函数和对数函数是互为反函数的函数关系，它们之间有着密切的联系。
指数函数的解析式为y=a^x，对数函数的解析式为y=loga(x)，它们之间的关系可以通过换底公式进行转换。
指数函数知识点
指数函数知识点专题复习一、基础知识 1．指数函数的概念函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)叫做指数函数，其中指数x 是自变量，函数的定义域是R ，a 是底数． 形如y ＝ka x ，y ＝a x ＋k (k ∈R 且k ≠0，a >0且a ≠1)的函数叫做指数型函数，不是指数函数． 2．指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的图象与性质二、常用结论指数函数图象的特点(1)指数函数的图象恒过点(0,1)，(1，a )，⎪⎭⎫⎝⎛-a 1,1，依据这三点的坐标可得到指数函数的大致图象． (2)函数y ＝a x 与y ＝xa ⎪⎭⎫⎝⎛1(a >0，且a ≠1)的图象关于y 轴对称．(3)底数a 与1的大小关系决定了指数函数图象的“升降”：当a >1时，指数函数的图象“上升”；当0<a <1时，指数函数的图象“下降”． 三、考点解析考点一 指数函数的图象及应用例、(1)函数f (x )＝21－x 的大致图象为( )(2)若函数y＝|3x－1|在(－∞，k]上单调递减，则k的取值范围为________．变式练习1.[变条件]本例(1)中的函数f(x)变为：f(x)＝2|x－1|，则f(x)的大致图象为()2.[变条件]本例(2)变为：若函数f(x)＝|3x－1|－k有一个零点，则k的取值范围为________．3．若函数y＝21－x＋m的图象不经过第一象限，求m的取值范围．考点二指数函数的性质及应用考法(一)比较指数式的大小例、已知a＝243，b＝425，c＝2513，则()A．b<a<c B．a<b<c C．b<c<a D．c<a<b考法(二)解简单的指数方程或不等式例、若偶函数f(x)满足f(x)＝2x－4(x≥0)，则不等式f(x－2)>0的解集为________．[解题技法]简单的指数方程或不等式问题的求解策略：(1)a f(x)＝a g(x)⇔f(x)＝g(x)．(2)a f(x)>a g(x)，当a>1时，等价于f(x)>g(x)；当0<a<1时，等价于f(x)<g(x)．(3)解决简单的指数不等式的问题主要利用指数函数的单调性，要特别注意底数a的取值范围，并在必要时进行分类讨论．考法(三)指数型函数性质的综合问题例、已知函数f(x)＝34231+-⎪⎭⎫⎝⎛xax(1)若a＝－1，求f(x)的单调区间；(2)若f(x)有最大值3，求a的值．[解题技法]与指数函数有关的复合函数的单调性：形如函数y＝a f(x)的单调性，它的单调区间与f(x)的单调区间有关：(1)若a>1，函数f(x)的单调增(减)区间即函数y＝a f(x)的单调增(减)区间；(2)若0<a <1，函数f (x )的单调增(减)区间即函数y ＝a f (x )的单调减(增)区间．即“同增异减”． 跟踪训练 1．函数y ＝12221-+⎪⎭⎫ ⎝⎛x x 的值域是( )A ．(－∞，4)B ．(0，＋∞)C ．(0,4]D ．[4，＋∞) 2．设a ＝0.60.6，b ＝0.61.5，c ＝1.50.6，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a <b <cB ．a <c <bC ．b <a <cD ．b <c <a 3．设函数f (x )＝x 2－a与g (x )＝a x (a >1且a ≠2)在区间(0，＋∞)上具有不同的单调性，则M ＝(a －1)0.2与N ＝1.01⎪⎭⎫⎝⎛a 的大小关系是( ) A ．M ＝N B ．M ≤N C ．M <N D ．M >N4．已知实数a ≠1，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4x ，x ≥0，2a －x ，x <0，若f (1－a )＝f (a －1)，则a 的值为________．课后作业1．函数f (x )＝1－e |x |的图象大致是( )2．已知函数f (x )＝4＋2a x－1的图象恒过定点P ，则点P 的坐标是( )A ．(1,6)B ．(1,5)C ．(0,5)D ．(5,0) 3．已知a ＝20.2，b ＝0.40.2，c ＝0.40.6，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a ＞b ＞cB ．a ＞c ＞bC ．c ＞a ＞bD ．b ＞c ＞a 4．函数f (x )＝xx +-⎪⎭⎫⎝⎛221的单调递增区间是( )A.]21,(-∞ B.]21,0[ C.)21[∞+， D.]121[， 5.函数f (x )＝a x－b的图象如图所示，其中a ，b 为常数，则下列结论正确的是( )A ．a >1，b <0B ．a >1，b >0C ．0<a <1，b >0D ．0<a <1，b <06．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－2－x ，x ≥0，2x －1，x <0，则函数f (x )是( )A ．偶函数，在[0，＋∞)上单调递增B ．偶函数，在[0，＋∞)上单调递减C ．奇函数，且单调递增D ．奇函数，且单调递减7．已知a ＝3.331⎪⎭⎫ ⎝⎛，b ＝9.331⎪⎭⎫⎝⎛，则a ________b ．(填“<”或“>”)8．函数y ＝x ⎪⎭⎫ ⎝⎛41－x⎪⎭⎫⎝⎛21＋1在[－3,2]上的值域是________．9．已知函数f (x )＝a x ＋b (a >0，且a ≠1)的定义域和值域都是[－1,0]，则a ＋b ＝________.10．已知函数f (x )＝a |x ＋1|(a ＞0，且a ≠1)的值域为[1，＋∞)，则f (－4)与f (1)的大小关系是________．11．已知函数f (x )＝ax⎪⎭⎫⎝⎛21，a 为常数，且函数的图象过点(－1,2)．(1)求a 的值；(2)若g (x )＝4－x －2，且g (x )＝f (x )，求满足条件的x 的值．12．已知函数f (x )＝ax -⎪⎭⎫⎝⎛32.(1)求f (x )的单调区间；(2)若f (x )的最大值是94，求a 的值．。
指数函数、对数函数、幂函数的图像与性质
指数函数、对数函数、幂函数的图像与性质（一）指数与指数函数1．根式（1）根式的概念（2）．两个重要公式①⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧<-≥==)0()0(||a a a a a aa nn ；②a a n n =)(（注意a 必须使n a 有意义）。
2．有理数指数幂 （1）幂的有关概念 ①正数的正分数指数幂:0,,1)m na a m n N n *=>∈>、且; ②正数的负分数指数幂: 10,,1)mnm naa m n N n a-*==>∈>、且③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义.注：分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的运算。
（2）有理数指数幂的性质 ①a r a s =a r+s (a>0,r 、s ∈Q ); ②(a r )s =a rs (a>0,r 、s ∈Q ); ③(ab)r =a r b s (a>0,b>0,r ∈Q );. 3．指数函数的图象与性质n 为奇数 n 为偶数注：如图所示，是指数函数（1）y=a x ,（2）y=b x,（3）,y=c x （4）,y=d x 的图象，如何确定底数a,b,c,d 与1之间的大小关系？提示：在图中作直线x=1，与它们图象交点的纵坐标即为它们各自底数的值，即c 1>d 1>1>a 1>b 1,∴c>d>1>a>b 。
即无论在轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大。
（二）对数与对数函数 1、对数的概念 （1）对数的定义如果(01)x a N a a =>≠且，那么数x 叫做以a 为底，N 的对数，记作log N a x =，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数。
（2）几种常见对数2、对数的性质与运算法则（1）对数的性质（0,1a a >≠且）：①1log 0a =，②lo g 1aa =，③lo g Na a N =，④lo g N a aN =。
《指数与指数运算》课件
复合指数函数的图像是连 续的
复合指数函数的图像是单 调递增的
复合指数函数的图像是凸 的
复合指数函数的图像是光 滑的
复合指数函数：指数函数与对数函数的复合 单调性：在定义域内，复合指数函数是单调递增：复合指数函数在解决实际问题中具有广泛的应用，如经济学、生物学等领域
指数运算：指数运算是 数学中最基本的运算之 一，其性质广泛应用于 各种数学问题中。
指数函数与对数函数：指 数函数与对数函数是数学 中最重要的函数之一，其 性质广泛应用于各种数学 问题中。
指数函数与三角函数：指 数函数与三角函数是数学 中最重要的函数之一，其 性质广泛应用于各种数学 问题中。
指数函数是一种特殊的函数，其形 式为y=a^x，其中a为底数，x为指 数。
复利：一种计算利息的方法，将利息计入本金，再计算新的利息
复利公式：A = P(1 + r/n)^(nt)，其中A为终值，P为本金，r为利率，n为计息次数，t为 时间
复利在生活中的应用：投资理财、贷款、信用卡还款等
复利与单利：复利比单利更能体现时间的价值，复利效应在长期投资中更为明显
放射性物质的衰 变：放射性物质 随着时间的推移， 其放射性会逐渐 减弱，这个过程
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指数函数的图像在y轴右侧无限接 近于x轴，但不相交
指数函数的图像在x轴下方，且随 着x的增大，图像逐渐靠近x轴
指数函数的单调性 是指函数值随自变 量x的变化而变化 的趋势
指数函数y=a^x 在定义域内是单 调递增的
当a>1时，指数函 数y=a^x在定义 域内是单调递增的
指数的底数可以是负数
指数的底数可以是零
指数的底数可以是分数
指数与指数函数 (1)
函数一轮复习学案五（指数与指数函数）知识梳理一．指数的概念与分数指数幂1、根式的概念：一般地，如果一个数的n 次方等于)1(*N n n a ∈>且,那么这个数叫做a 的n 次方根。
也就是说，若a x n =，则x 叫做a 的n 次方根，其中*1N n n ∈>且。
式子n a 叫做根式，n 叫做根指数，a 叫做被开方数。
2、根式的性质：（1）当n 为奇数时，正数的n 次方根是一个正数，负数的n 次方根是一个负数，这时a 的n 次方根用符号n a 表示。
（2）当n 为偶数时，正数的n 次方根有两个，它们互为相反数，这时正数的正的n 次方根用符号n a 表示，负的n 次方根用符号n a -表示。
正负两个n 次方根能够合写为)0(>±a a n 。
此时，负数没有n 次方根。
（3）()a a nn=；（4）当n 为奇数时，a a n n =；当n 为偶数时，⎩⎨⎧<-≥==)0()0(a a a a a a n n（5）零的任何次方根都是零。
3、分数指数幂的意义： （1）)1,,0(*>∈>=n N n m a a a n m nm 且，；（2）)1,,0(1≥∈>=⨯-n N n m a aanm nm ，且4、指数的运算法则： （1）),,0(Q s Q r a aa a sr sr∈∈>=⋅+；（2））（Q s Q r a a a a sr sr∈∈>=÷-,,0 （3）()),,0(Q s Q r a a a rs sr∈∈>=；（4）()),,0(Q s Q r a a a ab sr r∈∈>⋅=二．指数函数的图像和性质1、指数函数的概念：一般地，函数)10(≠>=a a a y x且叫做指数函数，其中x 是自变量， 的定义域是R 。
3、深化：（1）指数函数的定义必须符合xa y =才能够，如函数xy 32⨯=不是指数函数。
3-1必修一：指数运算与指数函数
b b 3结合课堂,完成笔记: 一、初中指数运算:例：(-2)0=(-1)0 = 0.80 = 110 = 。
例：a 2 ⋅ a 4 = ； 52 ⋅54 ⋅55 =32 ⋅34 ⋅35 ⋅37 = 。
例：a 2 ÷ a 4= 32 ⋅ 7635 ⋅ 75= 。
例：已知a m= 2，a n = 5。
求a 3m +2n 的值。
求a 2m -3n 的值。
例 ：a 12= a 2⨯6 = == a 3⨯4 = = 。
例：(a ⋅ b )3=(a3⋅ b4 )5= 。
⎛ a ⎫5⎛ a 2⎫5例 ： ⎪ ⎝ ⎭= ⎪ = 。
⎝ ⎭怪笔随记—指数运算与指数函数练哈子 不 做 懒 鬼5 a 8 ⎝b 6 5 1 5 a 45 b 36 12 3 ⎢ )2 )2 11 3 例 ： = 。
a -2 = 。
= 。
23a 4例：3 4 = 。
例 ：a = 。
= 。
= 。
((a )3 )4= 。
⎛((a )34 ⎫2 ⎪= 。
例 ：a ⋅ 4 a 2 ⋅ 3 a⎝ ⎭= 。
(注：以上a > 0)三、指数运算—化简求值- 1 ⎛ ⎫2a 2⋅ ⎪ ⋅ 例： a ⋅ 3 a2= 。
例：3m -2n ⎭ = 。
(a 、 b > 0)例：已知10m = 3，10n = 2。
求10 2= 。
例：⎡(- 2 ⎤- 1⎥ = 。
例：2 3 ⨯ 31.5 ⨯ = 。
⎣ ⎦ 2 ⎛ 3 ⎫3- ⎡ 3⎤- 4： -3 ⎝ ⎪ + 0.04 ⎭2 + ⎣(-2) ⎦3 +16-0.75 - 3π 0 = 。
5 234 3a8例 ：x 的取值范围为= 。
x 的取值范围为= 。
例例= 。
= 。
= 。
= 。
= 。
= 。
例 ：a ∈ R ，下列表达式一定有意义的是 。
12A ：a -2B ：a 4C ：a 3D ：a四、指数函数：2 例：下列函数是指数函数的是： 。
(1) y = x 4 (2) y = (-4)x (3) y = 2 ⋅3x (4) y = 3x +1 (5) y = π x例：若f (x ) = (2a +1)x 为增函数，则a 的取值范围为= 。
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指数与指数函数（一）指数函数的定义一般地，函数xy a =（a ＞0且a ≠1）叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R . 提问：在下列的关系式中，哪些不是指数函数，为什么？ （1）22x y += （2）(2)x y =- （3）2x y =- （4）xy π=（5）2y x = （6）24y x = （7）xy x = （8）(1)xy a =- （a ＞1，且2a ≠） 在理解指数函数的概念时，应抓住定义的“形式”，像12223,,3,21xx x y y x y y -=⋅===- 等函数均不符合形式()01xy aa a =>≠且，因此，它们都不是指数函数.（二）指数函数的图像和性质注：指数函数1(01)xxy a y a a a ⎛⎫==>≠ ⎪⎝⎭与且的图像关于y 轴对称。
（三）指数函数的底数与图像的关系指数函数在同一直角坐标系中的图像的相对位置与底数大小的关系 如图所示，则01c d a b <<<<<，在y 轴右侧，图像从下到上相应的底数也由小变大， 在y 轴左侧，图像从上到下相应的底数也由小变大 即无论在y 轴左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大在第一象限内，“底大图高” 考点一：比较数值的大小比较大小常用的方法有：①作差比较法 ②作商比较法 ③函数单调性法 ④中间值法， 在比较两个幂的大小时，除上述一般方法外，还应注意以下情况：1) 对于底数相同，指数不同的两个幂的大小比较，直接利用指数函数的单调性来判断。
2) 对于底数不同，指数相同的两个幂的大小比较 ，可利用指数函数的图像来判断。
3) 对于底数和指数均不同的两个幂的大小比较，可以利用中间值来比较4) 对于三个及以上的数进行大小比较，则应先根据值的大小，（特别是0和1）进行分组，再比较各组的大小。
例1．比较大小（1）31.91.9π--与 （2）330.7.3与0（3）0.33.11.7.9与0 （4）111344333442---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，考点二：指数函数图像过定点问题 例2.函数)10(33≠>+=-a a ay x 且的图象恒过定点____________。
例3．若函数(1)(0,1)xy a b a a =-+>≠的图像经过第一、三、四象限，则一定有（ ） A ．01>>b a 且 B ．010<<<b a 且C ．010><<b a 且D ．11>>b a 且例4．函数b x a x f -=)(的图象如图，其中a 、b 为常数，则下列结论正确的是（ ）A ．0,1<>b aB ．0,1>>b aC ．0,10><<b aD ．0,10<<<b a考点三：与指数函数有关的复合函数的性质 1.与指数函数有关的复合函数的定义域与值域 （1）函数()f x y a =的定义域与()y f x =的定义域相同。
（2）先确定()f x 的值域，再根据指数函数的值域、单调性，可确定()f x y a =的值域2．与指数函数有关的复合函数的单调性的求解步骤 （1）求复合函数的定义域（2）弄清复合函数是由哪些基本函数复合而成的 （3）分层逐一求解函数的单调性。
（4）求出复合函数的单调区间（“同增异减”） 例5.求下列函数的单调区间和值域 （1）23x xy --= （2）221(0,1)xx y aa a a =-->≠【反思归纳】对于简单的复合函数的单调性，应首先弄清所给函数是由哪些基本函数复合而成的，然后再研究各自区域上的单调性，根据“同增异减”的法则作出判断。
考点四：指数方程：指数中含有未知数的方程 主要有()()f x g x aa =型，()()f x g x ⇒=()0x f a =型，xt a ⇒=（换元）()f x a b =型，()l ()a f x og b ⇒=取对数例6.解下列方程 （1）解方程214221216x x --+⎛⎫= ⎪⎝⎭（2）解方程2338xx --=考点五：指数不等式：指数中含有未知数的不等式，通常把它们变为同底，再运用指数函数的单调性来转化为普通不等化。
例7.求不等式的解集 （1）282133x x --⎛⎫>⎪⎝⎭（2）725(01)x xxa a a a +->>≠且考点六：函数的单调性与奇偶性 例8.已知2()()(01)1x xa f x a a a a a -=->≠-且 （1）判断()f x 的奇偶性 （2）讨论()f x 的单调性（3）当[1,1]x ∈-时，()f x b ≥恒成立，求b 的取值范围。
【反思归纳】（1）函数奇偶性与单调性是高考考查的热点问题，常以指数函数为载体考查函数的性质与恒成立问题（2）求参数的范围也是常考内容，难度不大，但极易造成失分，因此对题目进行认真分析，必要的过程不可少，这也是高考阅卷中十分强调的问题。
例9.若直线2y a =与函数1(01)xy a a a =->≠且的图像有两个公共点，则a 的取值范围是 。
例10.已知201,()xa a f x x a >≠=-且，当()1,1x ∈-时，均有1()2f x <，则实数a 的取值范围是 。
对应练习： 1.设函数()f x 定义在实数集上，它的图像关于直线1x =对称，且当1x ≥时，()31x f x =-，则123(),(),()332f f f 的大小关系为 。
2.已知512a -=， 函数()xf x a =，若实数,m n 满足()()f m f n >，则 m n （比较大小）3．比较下列各题中的个值的大小 （1）1.72.5与 1.73( 2 )0.10.8-与0.20.8-( 3 ) 1.70.3与 0.93.14．设0x >，且1xxa b <<（0a >，0b >），则a 与b 的大小关系是（ ） A. 1b a << B. 1a b << C. 1b a << D. 1a b <<5．设5.1344.029.01)21(,8,4-===y y y ，则A 、y 3＞y 1＞y 2B 、y 2＞y 1＞y 3C 、y 1＞y 2＞y 3D 、y 1＞y 3＞y 26.设232555322555a b c ===（）,（），（），则a ，b ，c 的大小关系是 （A ）a ＞c ＞b （B ）a ＞b ＞c （C ）c ＞a ＞b （D ）b ＞c ＞a 7．若(12)2a ＋1<(12)3－2a，则实数a 的取值范围是( ) A ．(1，＋∞) B ．(12，＋∞) C ．(－∞，1) D ．(－∞，12)8．若－1＜x ＜0，则不等式中成立的是（ ）A ．5－x ＜5x ＜0.5xB ．5x ＜0.5x ＜5－xC ．5x ＜5－x ＜0.5xD ．0.5x ＜5－x ＜5x9．如图为指数函数xxxxd y c y b y a y ====)4(,)3(,)2(,)1(，则d c b a ,,,与1的大小关系为（ ）A ．d c b a <<<<1B ．c d a b <<<<1C ．d c b a <<<<1D ．c d b a <<<<110．函数||1()3x y =的值域为____ ;11．不论a 取何正实数，函数12x y a +=-恒过点( )A ．(－1，－1)B ．(－1,0)C ．(0，－1)D ．(－1，－3) 12．若0＜a ＜1，b ＜－2，则函数y ＝xa ＋b 的图象一定不经过（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限 D ．第四象限 13．函数y ＝xa 与y ＝ax －a 的图象大致是下图中的（ ）Oxya dc b12．不等式2(21)1x a -<的解集为(,0)-∞, 则实数a 的取值范围是___________________; 13．若y=(a 2－3a+3)a x是指数函数，则a=_____. 14．下列一定是指数函数的是( )A ．形如y ＝a x 的函数B ．y ＝x a (a >0，且a ≠1)C ．y ＝(|a |＋2)xD ．y ＝(a －2)a x15．函数2221-⎪⎭⎫ ⎝⎛=x y 的值域为____________。
16、函数y ＝ a x－1的定义域是(－∞，0]，则实数a 的取值范围为( )A ．a >0B ．a <1C ．0<a <1D ．a ≠117．当x ∈[－1,1]时，f (x )＝3x－2的值域为________．18．若直线y=2a 与函数y=|a x-1|(a >0,且a ≠1)的图象有两个公共点，则a 的取值范围是__________________. 19．已知函数2()21(0,1)x x f x a a a a =+->≠且在区间[]11-，上的最大值为14，求实数a 的值. 20. 设数()3xf x =，则()f x 在区间[]1,2m m -上不是单调函数的充要条件是 。
21.函数2233x y -=的单调递减区间是 。
22．函数228113x x y --+⎛⎫= ⎪⎝⎭单调递减区间是 。
23．已知[]3,2x ∈-，求11()142x xf x =-+的最小值与最大值。
24．已知225x x-+=，求（1）44x x -+；（2）88x x-+ 25．方程4x＋2x－2＝0的解是________． 21．解下列关于x 的方程：（1）81×x23＝2)91(＋x ；（2）222＋x ＋3×x 2－1＝0．26．设f （x ）＝x)21(，x ∈R ，那么f （x ）是（ ）A ．奇函数且在（0，＋∞）上是增函数B ．偶函数且在（0，＋∞）上是增函数C ．函数且在（0，＋∞）上是减函数D ．偶函数且在（0，＋∞）上是减函数27.定义在R 上的()f x 满足13(0)()(1)(2)(0)x x f x f x f x x -≤=--->⎧⎨⎩则(2010)f = 。
28.若函数()212xxf x k k =-+⋅在定义域上为奇函数，则k = 。
29.若1()103x xf x x <=≥⎧⎪⎪⎨⎛⎫⎪ ⎪⎪⎩⎝⎭ｘ，则不等式1()3f x ≥的解集为 。
30.已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()12xf x -=-，则不等式()12f x <-的解集为 。