高考数学试卷(文科)
高考文科数学(3卷)：答案详细解析(最新,word版)
2020年普通高等学校招生全国统一考试文科数学（III 卷）答案详解一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（集合）已知集合{}1235711=，，，，，A ，{}315|=<<B x x ，则A ∩B 中元素的个数为 A ．2B ．3C ．4D ．5【解析】∵{5,7,11}=A B ，∴A ∩B 中元素的个数为3. 【答案】B2．（复数）若)(11+=-z i i ，则z = A ．1–iB ．1+iC ．–iD ．i【解析】∵)(11+=-z i i ，∴1212--===-+i iz i i ，∴=z i . 【答案】D3．（概率统计）设一组样本数据x 1，x 2，…，x n 的方差为0.01，则数据10x 1，10x 2，…，10x n 的方差为 A ．0.01B ．0.1C ．1D ．10【解析】原数据的方差20.01=s ，由方差的性质可知，新数据的方差为21001000.011=⨯=s .【答案】C4．（函数）Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I (t )(t 的单位：天)的Logistic 模型：0.23(53)()1--=+t I K t e ，其中K 为最大确诊病例数．当*()0.95=I t K时，标志着已初步遏制疫情，则*t 约为（ln19≈3） A ．60B ．63C ．66D ．69【解析】**0.23(53)()0.951--==+t K I t K e，化简得*0.23(53)19-=te ，两边取对数得，*0.23(53)In19-=t ，解得*In1935353660.230.23=+=+≈t . 【答案】C5．（三角函数）已知πsin sin 13θθ++=（），则πsin =6θ+（） A ．12B ．33C ．23D ．22【解析】∵π13sin sin cos 322θθθ+=+（）， ∴π3331sin sin sin 3cos 1322θθθθθθ⎫++==+=+=⎪⎪⎭（）， 31πcos sin 26θθθ+=+（）， π316θ+=（），故π3sin 63θ+==（）.【答案】B6．（解析几何）在平面内，A ，B 是两个定点，C 是动点，若1⋅=AC BC ，则点C 的轨迹为 A ．圆B ．椭圆C ．抛物线D ．直线【解析】以AB 所在直线为x 轴，中垂线为y 轴，建立平面直角坐标系，设(,0)-A a ，(,0)B a ，(,)C x y ，则(,)=+AC x a y ，(,)=-BC x a y ，2221⋅=-+=AC BC x a y ，即2221+=+x y a ，故点C 的轨迹为圆.【答案】A7．（解析几何）设O 为坐标原点，直线x =2与抛物线C ：()220=>y px p 交于D ，E 两点，若OD ⊥OE ，则C 的焦点坐标为A ．1(,0)4B ．1(,0)2C ．(1,0)D ．(2,0)【解析】解法一：如图A7所示，由题意可知，(2,2)D p ，(2,2)-E p ，(2,2)=OD p ，(2,2)=-OE p ，⊥OD ⊥OE ，⊥⊥OD OE ， 即22220⨯-=p p ，解得1=p ，⊥C 的焦点坐标为1(,0)2. 解法二：4=DE p 44==+OD OE p⊥OD ⊥OE ，⊥222+=OD OE DE ，即2(44)16+=p p ，解得1=p ，⊥C 的焦点坐标为1(,0)2.图A7【答案】B8．（解析几何）点(0)1-，到直线()1=+y k x 距离的最大值为 A ．1B ．2C ．3D ．2【解析】解法一：点(0)1-，到直线()1=+y k x 的距离211+=+k d k ，则有222222(1)122=12111+++==+≤+++k k k kd k k k ，故2≤d . 解法二：已知点()01-，A ，直线()1=+yk x 过定点()10-，B ，由几何性质可知，当直线()1=+y k x 垂直直线AB 时，点()01-，A 到直线()1=+y k x 距离最大，最大值为线段AB 的长度，即max 2=d 【答案】B9．（立体几何）如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是A ．642+B ．442+C ．623+D ．423+【解析】由三视图可知，该几何体为一个四面体，如图A8所示. 其表面积(2332226234=⨯+⨯=+S图A9【答案】C10．（函数）设3log 2a =，5log 3b =，23c =，则 A ．a <c <bB ．a <b <cC ．b <c <aD ．c <a <b【解析】∵233332log 3=log 93==c ，33log 2log 8==a a <c .∵233552log 5log 253===c 355log 3log 27==b c <b .故a <c <b.【答案】A11．（三角函数）在ABC ∆中，2cos 3C =，4=AC ，3=BC ，则tan B = A 5B ．25C ．45D ．85【解析】解法一：由余弦定理得，2222cos 9=+-⋅⋅=AB AC BC AC BC C ，即3=AB ，∴22299161cos 22339+-+-===⋅⨯⨯AB BC AC B AB BC ， ∵(0,π)∈B ，∴245sin 1cos =-=B B ，sin tan 45cos ==BB B. 解法二：3=AB ，所以△ABC 是以B 为顶角的等腰三角形.过B 作BD ⊥AC ，易得tan 25=B 22tan2tan 451tan 2==-BB B . 【答案】C12．（三角函数）已知函数1()sin sin f x x x=+，则 A ．f (x )的最小值为2B ．f (x )的图像关于y 轴对称C ．f (x )的图像关于直线π=x 对称D ．f (x )的图像关于直线π2=x 对称 【解析】A ：1sin 1(sin 0)-≤≤≠x x ，当1sin 0-≤<x ，()0<f x ，故A 错误.B ：1()sin ()sin -=--=-f x x f x x，f (x )为奇函数，故B 错误. C ：1(2π)sin ()()sin -=--=-≠f x x f x f x x，故C 错误.D ：11(π)sin(π)sin ()sin(π)sin -=-+=+=-f x x x f x x x，故D 正确.【答案】D二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2022年全国统一高考数学试卷(文科)(全国一卷)
全国统一高考数学试卷（文科）（新课标）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）已知集合M={0，1，2，3，4}，N={1，3，5}，P=M∩N，则P的子集共有（）A．2个B．4个C．6个D．8个2．（5分）复数=（）A．2﹣i B．1﹣2i C．﹣2+i D．﹣1+2i3．（5分）下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）上单调递增的函数是（）A．y=2x3B．y=|x|+1C．y=﹣x2+4D．y=2﹣|x|4．（5分）椭圆=1的离心率为（）A．B．C．D．5．（5分）执行如图的程序框图，如果输入的N是6，那么输出的p是（）A．120B．720C．1440D．50406．（5分）有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（）A．B．C．D．7．（5分）已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y=2x上，则cos2θ=（）A．﹣B．﹣C．D．8．（5分）在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的侧视图可以为（）A．B．C．D．9．（5分）已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直．l与C交于A，B两点，|AB|=12，P为C的准线上一点，则△ABP的面积为（）A．18B．24C．36D．4810．（5分）在下列区间中，函数f（x）=e x+4x﹣3的零点所在的区间为（）A．（，）B．（﹣，0）C．（0，）D．（，）11．（5分）设函数，则f（x）=sin（2x+）+cos（2x+），则（）A．y=f（x）在（0，）单调递增，其图象关于直线x=对称B．y=f（x）在（0，）单调递增，其图象关于直线x=对称C．y=f（x）在（0，）单调递减，其图象关于直线x=对称D．y=f（x）在（0，）单调递减，其图象关于直线x=对称12．（5分）已知函数y=f（x）的周期为2，当x∈[﹣1，1]时f（x）=x2，那么函数y=f（x）的图象与函数y=|lgx|的图象的交点共有（）A．10个B．9个C．8个D．1个二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）已知a与b为两个垂直的单位向量，k为实数，若向量+与向量k ﹣垂直，则k=．14．（5分）若变量x，y满足约束条件，则z=x+2y的最小值为．15．（5分）△ABC中，∠B=120°，AC=7，AB=5，则△ABC的面积为．16．（5分）已知两个圆锥有公共底面，且两个圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上，若圆锥底面面积是这个球面面积的，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为．三、解答题（共8小题，满分70分）17．（12分）已知等比数列{a n}中，a1=，公比q=．（Ⅰ）S n为{a n}的前n项和，证明：S n=（Ⅱ）设b n=log3a1+log3a2+…+log3a n，求数列{b n}的通项公式．18．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形．∠DAB=60°，AB=2AD，PD⊥底面ABCD．（Ⅰ）证明：PA⊥BD（Ⅱ）设PD=AD=1，求棱锥D﹣PBC的高．19．（12分）某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品，现用两种新配方（分别称为A配方和B配方）做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：A配方的频数分布表指标值分组[90，94）[94，98）[98，102）[102，106）[106，110]频数82042228B配方的频数分布表指标值分组[90，94）[94，98）[98，102）[102，106）[106，110]频数412423210（Ⅰ）分别估计用A配方，B配方生产的产品的优质品率；（Ⅱ）已知用B配方生成的一件产品的利润y（单位：元）与其质量指标值t的关系式为y=从用B配方生产的产品中任取一件，其利润记为X（单位：元），求X的分布列及数学期望．（以试验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的概率）20．（12分）在平面直角坐标系xOy中，曲线y=x2﹣6x+1与坐标轴的交点都在圆C上．（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）若圆C与直线x﹣y+a=0交与A，B两点，且OA⊥OB，求a的值．21．（12分）已知函数f（x）=+，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为x+2y﹣3=0．（Ⅰ）求a、b的值；（Ⅱ）证明：当x＞0，且x≠1时，f（x）＞．22．（10分）如图，D，E分别为△ABC的边AB，AC上的点，且不与△ABC的顶点重合．已知AE的长为m，AC的长为n，AD，AB的长是关于x的方程x2﹣14x+mn=0的两个根．（Ⅰ）证明：C，B，D，E四点共圆；（Ⅱ）若∠A=90°，且m=4，n=6，求C，B，D，E所在圆的半径．23．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数）M是C1上的动点，P点满足=2，P点的轨迹为曲线C2（Ⅰ）求C2的方程；（Ⅱ）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ=与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求|AB|．24．设函数f（x）=|x﹣a|+3x，其中a＞0．（Ⅰ）当a=1时，求不等式f（x）≥3x+2的解集（Ⅱ）若不等式f（x）≤0的解集为{x|x≤﹣1}，求a的值．。
2023年全国乙卷文科高考数学试卷附详解
2023年高考数学试卷(全国乙卷文科）一、选择题1. 232i 2i ++=（ ）A. 1B. 2C.D. 52. 设全集{}0,1,2,4,6,8U =.集合{}{}0,4,6,0,1,6M N ==.则N C M U （ ） A. {}0,2,4,6,8B. {}0,1,4,6,8C. {}1,2,4,6,8D. U3. 如图.网格纸上绘制的一个零件的三视图.网格小正方形的边长为1.则该零件的表面积为（ ）A. 24B. 26C. 28D. 304. 在ABC ∆中,内角,,A B C 的对边分别是,,a b c .若cos cos a B b A c -=.且5C π=.则B ∠=（ ）A.10π B.5π C.310π D.25π 5. 已知e ()e 1xax x f x =-是偶函数.则=a （ ）A. 2-B. 1-C. 1D. 26. 正方形ABCD 的边长是2.E 是AB 的中点.则EC ED ⋅=（ ）A.B. 3C. D. 57. 设O 为平面坐标系的坐标原点.在区域(){}22,14x y xy ≤+≤内随机取一点A .则直线OA 的倾斜角不大于π4的概率为（ ）A.18B.16C.14D.128. 函数()32f x x ax =++存在3个零点,则a 的取值范围是（ ）A. (),2-∞-B. (),3-∞-C. ()4,1--D. ()3,0-9. 某学校举办作文比赛.共6个主题,每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文,则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题概率为（ ） A.56B.23C.12D.1310. 已知函数()sin()f x x ωϕ=+在区间π2π,63⎛⎫⎪⎝⎭单调递增.直线π6x =和2π3x =为函数()y f x =的图像的两条对称轴,则5π12f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A. B. 12-C.12D.211. 已知实数,x y 满足224240x y x y +---=.则x y -的最大值是（ ）A. 12+B. 4C. 1+D. 712. 设A .B 为双曲线2219y x -=上两点.下列四个点中,可为线段AB 中点的是（ ）A. ()1,1B.1,2 C. ()1,3 D. ()1,4--二、填空题13.已知点(A 在抛物线C ：22y px =上,则A 到C 的准线的距离为______. 14. 若π10,,tan 22⎛⎫∈= ⎪⎝⎭θθ.则sin cos θθ-=________．15. 若x .y 满足约束条件312937x y x y x y -≤-⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩.则2z x y =-的最大值为______.16. 已知点,,,S A B C 均在半径为2的球面上.ABC ∆是边长为3的等边三角形.SA ⊥平面ABC .则SA =________．三、解答题17. 某厂为比较甲乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应.进行10次配对试验.每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品.随机地选其中一个用甲工艺处理.另一个用乙工艺处理.测量处理后的橡胶产品的伸缩率．甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为i x .()1,2,,10i y i =⋅⋅⋅．试验结果如下：记()1,2,,10i i i z x y i =-=⋅⋅⋅.记1210,,,z z z ⋅⋅⋅的样本平均数为z .样本方差为2s ． （1）求z .2s ；（2）判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高（如果z ≥则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高.否则不认为有显著提高）18. 记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.已知21011,40a S ==． （1）求{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n a 的前n 项和n T ．19. 如图.在三棱锥-P ABC 中,AB BC ⊥.2AB =.BC =PB PC ==,,BP AP BC 的中点分别为,,D E O ,点F 在AC 上,BF AO ⊥．（1）求证：EF //平面ADO ；（2）若120POF ∠=︒.求三棱锥-P ABC 的体积． 20. 已知函数()()1ln 1f x a x x ⎛⎫=++⎪⎝⎭． （1）当1a =-时.求曲线()y f x =在点()()1,f x 处的切线方程． （2）若函数()f x 在()0,∞+单调递增.求a 的取值范围．21. 已知椭圆2222:1(0)C b b x a a y +>>=点()2,0A -在C 上．（1）求C 的方程； （2）过点()2,3-的直线交C 于,P Q 两点,直线,AP AQ 与y 轴的交点分别为,M N .证明：线段MN 的中点为定点．【选修4-4】（10分）22. 在直角坐标系xOy 中.以坐标原点O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.曲线1C 的极坐标方程为2sin 42ππρθθ⎛⎫=≤≤⎪⎝⎭.曲线2C ：2cos 2sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数,2απ<<π）. （1）写出1C 的直角坐标方程；（2）若直线y x m =+既与1C 没有公共点.也与2C 没有公共点.求m 的取值范围．【选修4-5】（10分）23.已知()22f x x x =+-（1）求不等式()6x f x ≤-的解集；（2）在直角坐标系xOy 中.求不等式组()60f x yx y ⎧≤⎨+-≤⎩所确定的平面区域的面积．2023年高考数学试卷年全国乙年文科年解析一、选择题1. C2. A3. D解：如图所示.在长方体1111ABCD A B C D -中.2AB BC ==.13AA =点,,,H I J K 为所在棱上靠近点1111,,,B C D A 的三等分点.,,,O L M N 为所在棱的中点. 则三视图所对应的几何体为长方体1111ABCD A B C D -去掉长方体11ONIC LMHB -之后所得的几何体.该几何体的表面积和原来的长方体的表面积相比少2个边长为1的正方形. 其表面积为：()()()22242321130⨯⨯+⨯⨯-⨯⨯=. 故选：D. 4. C解：由题意结合正弦定理可得sin cos sin cos sin A B B A C -=. 即()sin cos sin cos sin sin cos sin cos A B B A A B A B B A -=+=+. 整理可得sin cos 0B A =.由于()0,πB ∈.故sin 0B >. 据此可得πcos 0,2A A ==. 则ππ3πππ2510B AC =--=--=.故选：C. 5. D解：因为()e e 1xax x f x =-为偶函数.则()()()()1e e e e 0e 1e 1e 1a x x x x ax ax ax x x x f x f x ---⎡⎤--⎣⎦--=-==---. 又因为x 不恒为0.可得()1e e 0a x x --=.即()1e e a x x -=. 则()1x a x =-.即11a =-.解得2a =. 故选：D. 6. B解：由题意可得：2ED EC CD ===.在CDE ∆中.由余弦定理可得2223cos 25DE CE DC DEC DE CE +-∠===⋅. 所以35355cos =⨯⨯=∠⋅=⋅→→→→DEC ED EC ED EC . 故选：B.7. C 解：因为区域(){}22,|14x y xy ≤+≤表示以()0,0O 圆心.外圆半径2R =.内圆半径1r =的圆环.则直线OA 的倾斜角不大于π4的部分如阴影所示.在第一象限部分对应的圆心角π4MON ∠=. 结合对称性可得所求概率π2142π4P ⨯==. 故选：C.8. B解：3()2f x x ax =++.则2()3f x x a '=+.若()f x 要存在3个零点.则()f x 要存在极大值和极小值.则a<0. 令2()30f x x a '=+=.解得x =且当,,3ax ⎛⎛⎫-∈-∞+∞⎪ ⎪⎝⎝⎭时.()0f x '>.当x ⎛∈ ⎝.()0f x '<.故()f x 的极大值为f ⎛ ⎝.极小值为f. 若()f x 要存在3个零点.则00f f ⎧⎛>⎪⎪⎝⎨⎪<⎪⎩.即2020><.解得3a <-.故选：B. 9. A解：甲有6种选择.乙也有6种选择.故总数共有6636⨯=种.若甲、乙抽到的主题不同.则共有26A 30=种.则其概率为305366=. 故选：A. 10. D解：因为()sin()f x x ωϕ=+在区间π2π,63⎛⎫⎪⎝⎭单调递增. 所以2πππ2362T =-=.且0ω>.则πT =.2π2w T==. 当π6x =时.()f x 取得最小值.则ππ22π62k ϕ⋅+=-.Z k ∈.则5π2π6k ϕ=-.Z k ∈.不妨取0k =.则()5πsin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.则5π5πsin 123f ⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 故选：D. 11. C解：令x y k -=.则x k y =+.代入原式化简得()22226440y k y k k +-+--=.因为存在实数y .则0∆≥.即()()222642440k k k --⨯--≥.化简得22170k k --≤.解得11k -≤+ 故x y -的最大值是1. 故选：C. 12. D解：设()()1122,,,A x y B x y .则AB 的中点1212,22x x y y M ++⎛⎫⎪⎝⎭. 可得1212121212122,2ABy y y y y y k k x x x x x x +-+===+-+.因为,A B 在双曲线上.则221122221919y x y x ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩.两式相减得()2222121209y y x x ---=. 所以221222129AB y y k k x x -⋅==-. 对于选项A ： 可得1,9AB k k ==.则:98AB y x =-.联立方程229819y x y x =-⎧⎪⎨-=⎪⎩.消去y 得272272730x x -⨯+=.此时()2272472732880∆=-⨯-⨯⨯=-<. 所以直线AB 与双曲线没有交点.故A 错误； 对于选项B ：可得92,2AB k k =-=-.则95:22AB y x =--. 联立方程22952219y x y x ⎧=--⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩.消去y 得245245610x x +⨯+=. 此时()224544561445160∆=⨯-⨯⨯=-⨯⨯<. 所以直线AB 与双曲线没有交点.故B 错误； 对于选项C ：可得3,3AB k k ==.则:3AB y x =由双曲线方程可得1,3a b ==.则:3AB y x =为双曲线的渐近线. 所以直线AB 与双曲线没有交点.故C 错误； 对于选项D ：94,4AB k k ==.则97:44AB y x =-. 联立方程22974419y x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩.消去y 得2631261930x x +-=. 此时21264631930∆=+⨯⨯>.故直线AB 与双曲线有交两个交点.故D 正确； 故选：D.二、填空题13.94解：由题意可得：221p =⨯.则25p =.抛物线的方程为25y x =.准线方程为54x =-.点A 到C 的准线的距离为59144⎛⎫--= ⎪⎝⎭. 故答案为：94.14.解：因为π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.则sin 0,cos 0θθ>>. 又因为sin 1tan cos 2θθθ==.则cos 2sin θθ=.且22222cos sin 4sin sin 5sin 1+=+==θθθθθ.解得sin θ=或sin θ=（舍去）.所以sin cos sin 2sin sin 5-=-=-=-θθθθθ故答案为：5- 15. 8解：作出可行域如下图所示：2z x y =-.移项得2y x z =-.联立有3129x y x y -=-⎧⎨+=⎩.解得52x y =⎧⎨=⎩.设()5,2A .显然平移直线2y x =使其经过点A .此时截距z -最小.则z 最大. 代入得8z =. 故答案为：8. 16. 2解：如图.将三棱锥S ABC -转化为直三棱柱SMN ABC .设ABC ∆的外接圆圆心为1O ,半径为r .则2sin AB r ACB ===∠可得r =. 设三棱锥S ABC -的外接球球心为O .连接1,OA OO .则112,2OA OO SA ==. 因为22211OA OO O A =+.即21434SA =+.解得2SA =. 故答案为：2.三、解答题17.（1）11z =.261s =；（2）认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高.【小问1详解】545533551522575544541568596548552.310x +++++++++==.536527543530560533522550576536541.310y +++++++++==.552.3541.311z x y =-=-=.i i i z x y =- 的值分别为: 9,6,8,8,15,11,19,18,20,12-.故2222222222(911)(611)(811)(811)(1511)0(1911)(1811)(2011)(1211)6110s -+-+-+--+-++-+-+-+-==【小问2详解】由（1）知:11z =.==故有z ≥ 所以认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高.18.（1）152n a n =-（2）2214,71498,8n n n n T n n n ⎧-≤=⎨-+≥⎩【小问1详解】 设等差数列的公差为d .由题意可得211011110910402a a d S a d =+=⎧⎪⎨⨯=+=⎪⎩.即1111298a d a d +=⎧⎨+=⎩.解得1132a d =⎧⎨=-⎩. 所以()1321152n a n n =--=-. 【小问2详解】 因为()213152142n n n S n n +-==-.令1520n a n =->.解得152n <.且*n ∈N . 当7n ≤时.则0n a >.可得2121214n n n n T a a a a a a S n n =++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+==-；当8n ≥时.则0n a <.可得()()121278n n n T a a a a a a a a =++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅+()()()222777221477141498n n S S S S S n n n n =--=-=⨯---=-+；综上所述：2214,71498,8n n n n T n n n ⎧-≤=⎨-+≥⎩. 19. （1）证明见解析（2）3【小问1详解】连接,DE OF .设AF tAC =.则(1)BF BA AF t BA tBC =+=-+.12AO BA BC =-+.BF AO ⊥. 则2211[(1)]()(1)4(1)4022BF AO t BA tBC BA BC t BA tBC t t ⋅=-+⋅-+=-+=-+=.解得12t =.则F 为AC 的中点.由,,,D E O F 分别为,,,PB PA BC AC 的中点. 于是11//,,//,22DE AB DE AB OF AB OF AB ==.即,//DE OF DE OF =.则四边形ODEF 为平行四边形.//,EF DO EF DO =.又EF ⊄平面,ADO DO ⊂平面ADO .所以//EF 平面ADO . 【小问2详解】过P 作PM 垂直FO 的延长线交于点M . 因为,PB PC O =是BC 中点.所以PO BC ⊥.在Rt PBO △中.12PB BO BC ===所以2PO ==.因为,//AB BC OF AB ⊥.所以OF BC ⊥.又PO OF O ⋂=.,PO OF ⊂平面POF . 所以BC ⊥平面POF .又PM ⊂平面POF . 所以BC PM ⊥.又BC FM O =.,BC FM ⊂平面ABC .所以PM ⊥平面ABC .即三棱锥-P ABC 的高为PM .因为120POF ∠=︒.所以60POM ∠=︒.所以sin 6022PM PO =︒=⨯=又11222ABC S AB BC =⋅=⨯⨯=△所以11333P ABC ABC V S PM -=⋅=⨯=△.20. （1）()ln 2ln 20x y +-=； （2）1|2a a ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭. 【小问1详解】 当1a =-时.()()()11ln 11f x x x x ⎛⎫=-+>-⎪⎝⎭. 则()()2111ln 111x f x x x x ⎛⎫'=-⨯++-⨯ ⎪+⎝⎭. 据此可得()()10,1ln 2f f '==-.所以函数在()()1,1f 处的切线方程为()0ln 21y x -=--. 即()ln 2ln 20x y +-=. 【小问2详解】由函数的解析式可得()()()2111=ln 111f x x a x x x x ⎛⎫⎛⎫'-+++⨯>- ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭. 满足题意时()0f x '≥在区间()0,∞+上恒成立.令()2111ln 101x a x x x ⎛⎫⎛⎫-+++≥ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭.则()()()21ln 10x x x ax -++++≥. 令()()()2=1ln 1g x ax x x x +-++.原问题等价于()0g x ≥在区间()0,∞+上恒成立. 则()()2ln 1g x ax x '=-+.当0a ≤时.由于()20,ln 10ax x ≤+>. 故()0g x '<.()g x 在区间()0,∞+上单调递减.此时()()00g x g <=.不合题意; 令()()()2ln 1h x g x ax x '==-+. 则()121h x a x -'=+. 当12a ≥.21a ≥时.由于111x <+. 所以()()0,h x h x '>在区间()0,∞+上单调递增. 即()g x '在区间()0,∞+上单调递增.所以()()>00g x g ''=.()g x 在区间()0,∞+上单调递增.()()00g x g >=.满足题意.当102a <<时.由()1201h x a x =-=+'可得1=12x a-. 当10,12x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时.()()0,h x h x '<在区间10,12a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减.即()g x '单调递减. 注意到()00g '=.故当10,12x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时.()()00g x g ''<=.()g x 单调递减.由于()00g =.故当10,12x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时.()()00g x g <=.不合题意. 综上可知：实数a 得取值范围是1|2a a ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭.21.（1）22194y x +=（2）证明见详解 【小问1详解】由题意可得2222b a b c c e a ⎧⎪=⎪⎪=+⎨⎪⎪==⎪⎩.解得32a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩. 所以椭圆方程为22194y x +=.【小问2详解】由题意可知：直线PQ 的斜率存在.设()()()1122:23,,,,PQ y k x P x y Q x y =++.联立方程()2223194y k x y x ⎧=++⎪⎨+=⎪⎩.消去y 得：()()()222498231630k x k k x k k +++++=.则()()()2222Δ64236449317280kk k k k k =+-++=->.解得0k <.可得()()2121222163823,4949k k k k x x x x k k +++=-=++. 因为()2,0A -.则直线()11:22y AP y x x =++. 令0x =.解得1122y y x =+. 即1120,2y M x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭.同理可得2220,2y N x ⎛⎫⎪+⎝⎭.则()()1212121222232322222y y k x k x x x x x +++++⎡⎤⎡⎤++⎣⎦⎣⎦=+++()()()()()()12211223223222kx k x kx k x x x +++++++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦=++()()()()1212121224342324kx x k x x k x x x x +++++=+++()()()()()()222222323843234231084949336163162344949k k k k k k k k k k k k k k k +++-++++===++-+++. 所以线段PQ 的中点是定点()0,3.【选修4-4】（10分）22.（1）()[][]2211,0,1,1,2x y x y +-=∈∈（2）()(),022,-∞+∞【小问1详解】因为2sin ρθ=.即22sin ρρθ=.可得222x y y +=. 整理得()2211x y +-=.表示以()0,1为圆心.半径为1的圆.又因为2cos 2sin cos sin 2,sin 2sin 1cos 2x y ======-ρθθθθρθθθ.且ππ42θ≤≤.则π2π2≤≤θ. 则[][]sin 20,1,1cos21,2x y =∈=-∈θθ.故()[][]221:11,0,1,1,2C x y x y +-=∈∈. 【小问2详解】 因为22cos :2sin x C y αα=⎧⎨=⎩（α为参数.ππ2α<<）.整理得224x y +=.表示圆心为()0,0O ,半径为2.且位于第二象限的圆弧. 如图所示.若直线y x m =+过()1,1.则11m =+. 解得0m =；若直线y x m =+.即0x y m -+=与2C 相切.则20m =>⎩.解得m =.若直线y x m =+与12,C C 均没有公共点.则m >0m <. 即实数m 的取值范围()(),022,-∞+∞.【选修4-5】（10分）23. （1）[2,2]-； （2）6. 【小问1详解】依题意.32,2()2,0232,0x x f x x x x x ->⎧⎪=+≤≤⎨⎪-+<⎩.不等式()6f x x ≤-化为：2326x x x >⎧⎨-≤-⎩或0226x x x ≤≤⎧⎨+≤-⎩或0326x x x <⎧⎨-+≤-⎩.解2326x x x>⎧⎨-≤-⎩.得无解；解0226x x x ≤≤⎧⎨+≤-⎩.得02x ≤≤.解0326x x x<⎧⎨-+≤-⎩.得20x -≤<.因此22x -≤≤.所以原不等式的解集为：[2,2]- 【小问2详解】 作出不等式组()60f x yx y ≤⎧⎨+-≤⎩表示的平面区域.如图中阴影ABC ∆.由326y x x y =-+⎧⎨+=⎩.解得(2,8)A -.由26y x x y =+⎧⎨+=⎩. 解得(2,4)C . 又(0,2),(0,6)B D所以ABC ∆的面积11|||62||2(2)|822ABCC A S BD x x =⨯-=-⨯--=.。
2022年全国统一高考数学试卷(文科)(甲卷)【含解析】
2022年全国统一高考数学试卷（文科）（甲卷）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合{2A =-，1-，0，1，2}，5{|0}2B x x =< ，则(AB =)A．{0，1，2}B．{2-，1-，0}C．{0，1}D．{1，2}2．某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识．为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如图：则()A．讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70%B．讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%C．讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差D．讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差3．若1z i =+，则|3|(iz z +=)A．45B．42C．25D．224．如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的边长为1，则该多面体的体积为()A．8B．12C．16D．205．将函数()sin(0)3f x x πωω=+>的图像向左平移2π个单位长度后得到曲线C ，若C 关于y 轴对称，则ω的最小值是()A．16B．14C．13D．126．从分别写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为()A．15B．13C．25D．237．函数()(33)cos x x f x x -=-在区间[2π-，2π的图像大致为()A．B．C．D．8．当1x =时，函数()bf x alnx x =+取得最大值2-，则f '（2）(=)A．1-B．12-C．12D．19．在长方体1111ABCD A B C D -中，已知1B D 与平面ABCD 和平面11AA B B 所成的角均为30︒，则()A．2AB AD=B．AB 与平面11AB C D 所成的角为30︒C．1AC CB =D．1B D 与平面11BB C C 所成的角为45︒10．甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为2π，侧面积分别为S 甲和S 乙，体积分别为V 甲和V 乙．若2S S =甲乙，则(VV =甲乙)B．D．411．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为13，1A ，2A 分别为C 的左、右顶点，B 为C 的上顶点．若121BA BA ⋅=-，则C 的方程为()A．2211816x y +=B．22198x y +=C．22132x y +=D．2212x y +=12．已知910m =，1011m a =-，89m b =-，则()A．0a b>>B．0a b >>C．0b a >>D．0b a>>二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2003年高考全国卷文科数学真题及答案
2003年高考全国卷文科数学真题及答案一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）直线y＝2x关于x轴对称的直线方程为（ ）A．B．C．y＝﹣2x D．y＝2x2．（5分）已知x∈（，0），cos x，则tan2x等于（ ）A．B．C．D．3．（5分）抛物线y＝ax2的准线方程是y＝2，则a的值为（ ）A．B．C．8 D．﹣84．（5分）等差数列{a n}中，已知a1，a2+a5＝4，a n＝33，则n为（ ）A．48 B．49 C．50 D．515．（5分）双曲线虚轴的一个端点为M，两个焦点为F1、F2，∠F1MF2＝120°，则双曲线的离心率为（ ）A．B．C．D．6．（5分）设函数若f（x0）＞1，则x0的取值范围是（ ）A．（﹣1，1）B．（﹣1，+∞）C．（﹣∞，﹣2）∪（0，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）7．（5分）已知f（x5）＝lgx，则f（2）＝（ ）A．lg2 B．lg32 C．D．8．（5分）函数y＝sin（x+φ）（0≤φ≤π）是R上的偶函数，则φ＝（ ）A．0 B．C．D．π9．（5分）已知点（a，2）（a＞0）到直线l：x﹣y+3＝0的距离为1，则a＝（ ）A．B．C．D．10．（5分）已知圆锥的底面半径为R，高为3R，它的内接圆柱的底面半径为，该圆柱的全面积为（ ）A．2πR2B．C．D．11．（5分）已知长方形的四个顶点A（0，0），B（2，0），C（2，1）和D（0，1），一质点从AB的中点P0沿与AB夹角为θ的方向射到BC上的点P1后，依次反射到CD、DA和AB 上的点P2、P3和P4（入射角等于反射角）若P4与P0重合，则tgθ＝（ ）A．B．C．D．112．（5分）棱长都为的四面体的四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（ ）A．3πB．4πC．3D．6π二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）13．（4分）不等式的解集是 ．14．（4分）在的展开式中，x3的系数是 （用数字作答）15．（4分）在平面几何里，有勾股定理“设△ABC的两边AB，AC互相垂直，则AB2+AC2＝BC2”，拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得出正确的结论是：“设三棱锥A﹣BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB两两互相垂直，则 ．”16．（4分）如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色．现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有 种．（以数字作答）三、解答题（共6小题，满分74分）17．（12分）已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1．AB＝1，AA1＝2，点E为CC1中点，点F为BD1中点．（1）证明EF为BD1与CC1的公垂线；（2）求点D1到面BDE的距离．18．（12分）已知复数z的辐角为60°，且|z﹣1|是|z|和|z﹣2|的等比中项．求|z|．19．（12分）已知数列{a n}满足a1＝1，a n＝3n﹣1+a n﹣1（n≥2）．（Ⅰ）求a2，a3；（Ⅱ）证明．20．（12分）已知函数f（x）＝2sin x（sin x+cos x）．（1）求函数f（x）的最小正周期和最大值；（2）在给出的直角坐标系中，画出函数y＝f（x）在区间上的图象．21．（12分）在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O（如图）的东偏南方向300km的海面P处，并以20km/h的速度向西偏北45°方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km，并以10km/h的速度不断增大，问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？22．（14分）已知常数a＞0，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝4a，O为AB的中点，点E、F、G分别在BC、CD、DA上移动，且，P为GE与OF的交点（如图），问是否存在两个定点，使P到这两点的距离的和为定值？若存在，求出这两点的坐标及此定值；若不存在，请说明理由．2003年全国统一高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）直线y＝2x关于x轴对称的直线方程为（ ）A．B．C．y＝﹣2x D．y＝2x 【解答】解：∵直线y＝f（x）关于x对称的直线方程为y＝﹣f（x），∴直线y＝2x关于x对称的直线方程为：y＝﹣2x．故选：C．2．（5分）已知x∈（，0），cos x，则tan2x等于（ ）A．B．C．D．【解答】解：∵cos x，x∈（，0），∴sin x．∴tan x．∴tan2x．故选：D．3．（5分）抛物线y＝ax2的准线方程是y＝2，则a的值为（ ）A．B．C．8 D．﹣8 【解答】解：抛物线y＝ax2的标准方程是x2y，则其准线方程为y2，所以a．故选：B．4．（5分）等差数列{a n}中，已知a1，a2+a5＝4，a n＝33，则n为（ ）A．48 B．49 C．50 D．51【解答】解：设{a n}的公差为d，∵，a2+a5＝4，∴d4d＝4，即5d＝4，解得d．∴an（n﹣1），令a n＝33，即33，解得n＝50．故选：C．5．（5分）双曲线虚轴的一个端点为M，两个焦点为F1、F2，∠F1MF2＝120°，则双曲线的离心率为（ ）A．B．C．D．【解答】解：根据双曲线对称性可知∠OMF2＝60°，∴tan∠OMF2，即c b，∴a b，∴e．故选：B．6．（5分）设函数若f（x0）＞1，则x0的取值范围是（ ）A．（﹣1，1）B．（﹣1，+∞）C．（﹣∞，﹣2）∪（0，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）【解答】解：当x0≤0时，，则x0＜﹣1，当x0＞0时，则x0＞1，故x0的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），故选：D．7．（5分）已知f（x5）＝lgx，则f（2）＝（ ）A．lg2 B．lg32 C．D．【解答】解：令x5＝2，∴得x，∵f（x5）＝lgx，∴f（2）＝lg lg2．故选：D．8．（5分）函数y＝sin（x+φ）（0≤φ≤π）是R上的偶函数，则φ＝（ ）A．0 B．C．D．π【解答】解：当φ＝0时，y＝sin（x+φ）＝sin x为奇函数不满足题意，排除A；当φ时，y＝sin（x+φ）＝sin（x）为非奇非偶函数，排除B；当φ时，y＝sin（x+φ）＝cos x，为偶函数，满足条件．当φ＝π时，y＝sin（x+φ）＝﹣sin x，为奇函数，故选：C．9．（5分）已知点（a，2）（a＞0）到直线l：x﹣y+3＝0的距离为1，则a＝（ ）A．B．C．D．【解答】解：由点到直线的距离公式得：，∵a＞0，∴a．故选：C．10．（5分）已知圆锥的底面半径为R，高为3R，它的内接圆柱的底面半径为，该圆柱的全面积为（ ）A．2πR2B．C．D．【解答】解：设圆锥内接圆柱的高为h，则，解得，所以圆柱的全面积为：s＝2．故选：B．11．（5分）已知长方形的四个顶点A（0，0），B（2，0），C（2，1）和D（0，1），一质点从AB的中点P0沿与AB夹角为θ的方向射到BC上的点P1后，依次反射到CD、DA和AB 上的点P2、P3和P4（入射角等于反射角）若P4与P0重合，则tgθ＝（ ）A．B．C．D．1【解答】解：由于若P4与P0重合，故P2、P3也都是所在边的中点，因为ABCD是长方形，根据对称性可知P0P1的斜率是，则tgθ．故选：C．12．（5分）棱长都为的四面体的四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（ ）A．3πB．4πC．3D．6π【解答】解：借助立体几何的两个熟知的结论：（1）一个正方体可以内接一个正四面体；（2）若正方体的顶点都在一个球面上，则正方体的体对角线就是球的直径．则球的半径R，∴球的表面积为3π，故选：A．二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）13．（4分）不等式的解集是 （2，4] ．【解答】解：∵x0，∴x＞0，∵不等式，两边平方得，4x﹣x2＜x2，∴2x2﹣4x＞0，解得，x＞2，x＜0（舍去），∵4x﹣x2≥0，∴0≤x≤4，∴综上得：不等式的解集为：（2，4]，故答案为（2，4]．14．（4分）在的展开式中，x3的系数是 （用数字作答）【解答】解：根据题意，对于，有T r+1＝C99﹣r•x9﹣r•（）r＝（）r•C99﹣r•x9﹣2r，令9﹣2r＝3，可得r＝3，当r＝3时，有T4x3，故答案．15．（4分）在平面几何里，有勾股定理“设△ABC的两边AB，AC互相垂直，则AB2+AC2＝BC2”，拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得出正确的结论是：“设三棱锥A﹣BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB两两互相垂直，则 S△ABC2+S△ACD2+S△ADB2＝S△BCD2 ．”【解答】解：建立从平面图形到空间图形的类比，于是作出猜想：S△ABC2+S△ACD2+S△ADB2＝S△BCD2．故答案为：S△ABC2+S△ACD2+S△ADB2＝S△BCD2．16．（4分）如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色．现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有 72 种．（以数字作答）【解答】解：由题意，选用3种颜色时：涂色方法C43•A33＝24种4色全用时涂色方法：C21•A44＝48种所以不同的着色方法共有72种．故答案为：72三、解答题（共6小题，满分74分）17．（12分）已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1．AB＝1，AA1＝2，点E为CC1中点，点F为BD1中点．（1）证明EF为BD1与CC1的公垂线；（2）求点D1到面BDE的距离．【解答】解：（1）取BD中点M．连接MC，FM．∵F为BD1中点，∴FM∥D1D且FM D1D．又EC CC1且EC⊥MC，∴四边形EFMC是矩形∴EF⊥CC1．又FM⊥面DBD1．∴EF⊥面DBD1．∵BD1⊂面DBD1．∴EF⊥BD1．故EF为BD1与CC1的公垂线．（Ⅱ）解：连接ED1，有V E﹣DBD1＝V D1﹣DBE．由（Ⅰ）知EF⊥面DBD1，设点D1到面BDE的距离为d．则．∵AA1＝2，AB＝1．∴，，∴．∴故点D1到平面DBE的距离为．18．（12分）已知复数z的辐角为60°，且|z﹣1|是|z|和|z﹣2|的等比中项．求|z|．【解答】解：设z＝（r cos60°+r sin60°i），则复数z的实部为．由题设|z﹣1|2＝|z|•|z﹣2|，即：（z﹣1）（1）＝|z|∴r2﹣r+1＝r，整理得r2+2r﹣1＝0．解得r1，r1（舍去）．即|z|1．19．（12分）已知数列{a n}满足a1＝1，a n＝3n﹣1+a n﹣1（n≥2）．（Ⅰ）求a2，a3；（Ⅱ）证明．【解答】解：（Ⅰ）∵a1＝1，∴a2＝3+1＝4，∴a3＝32+4＝13；（Ⅱ）证明：由已知a n﹣a n﹣1＝3n﹣1，n≥2故a n＝（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1．n≥2当n＝1时，也满足上式．所以．20．（12分）已知函数f（x）＝2sin x（sin x+cos x）．（1）求函数f（x）的最小正周期和最大值；（2）在给出的直角坐标系中，画出函数y＝f（x）在区间上的图象．【解答】解：（1）f（x）＝2sin2x+2sin x cos x＝1﹣cos2x+sin2x所以函数的最小正周期为π，最大值为；（2）由（1）列表得：xy 11111故函数y＝f（x）在区间上的图象是：21．（12分）在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O（如图）的东偏南方向300km的海面P处，并以20km/h的速度向西偏北45°方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km，并以10km/h的速度不断增大，问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？【解答】解：如图建立坐标系：以O为原点，正东方向为x轴正向．在时刻：t（h）台风中心P（x，y）的坐标为令（x′，y′）是台风边缘线上一点，则此时台风侵袭的区域是（x′﹣x）2+（y′﹣y）2≤[r（t）]2，其中r（t）＝10t+60，若在t时，该城市受到台风的侵袭，则有（0﹣x）2+（0﹣y）2≤（10t+60）2，即，即t2﹣36t+288≤0，解得12≤t≤24．答：12小时后该城市开始受到台风侵袭．22．（14分）已知常数a＞0，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝4a，O为AB的中点，点E、F、G分别在BC、CD、DA上移动，且，P为GE与OF的交点（如图），问是否存在两个定点，使P到这两点的距离的和为定值？若存在，求出这两点的坐标及此定值；若不存在，请说明理由．【解答】解：根据题设条件，首先求出点P坐标满足的方程，据此再判断是否存在两定点，使得点P到定点距离的和为定值．按题意有A（﹣2，0），B（2，0），C（2，4a），D（﹣2，4a）设k（0≤k≤1），由此有E（2，4ak），F（2﹣4k，4a），G（﹣2，4a﹣4ak）．直线OF的方程为：2ax+（2k﹣1）y＝0，①直线GE的方程为：﹣a（2k﹣1）x+y﹣2a＝0．②从①，②消去参数k，得点P（x，y）坐标满足方程2a2x2+y2﹣2ay＝0，整理得．当时，点P的轨迹为圆弧，所以不存在符合题意的两点；当时，点P轨迹为椭圆的一部分，点P到该椭圆焦点的距离的和为定长；当时，点P到椭圆两个焦点的距离之和为定值；当时，点P到椭圆两个焦点的距离之和为定值2a．。
2023年江西高考数学(文科)试卷及答案完整版
2023年江西高考数学(文科)试卷及答案_完整版高中数学（文科）教学指南高中数学(文)包含5本必修、2本选修，(理)包含5本必修、3本选修，每学期学____两本书。
必修一：1、集合与函数的概念 (这部分知识抽象，较难理解)2、基本的初等函数(指数函数、对数函数)3、函数的性质及应用 (比较抽象，较难理解) 必修二：1、立体几何(1)、证明：垂直(多考查面面垂直)、平行(2)、求解：主要是夹角问题，包括线面角和面面角这部分知识是高一学生的难点，比如：一个角实际上是一个锐角，但是在图中显示的钝角等等一些问题，需要学生的立体意识较强。
这部分知识高考占22---27分2、直线方程：高考时不单独命题，易和圆锥曲线结合命题3、圆方程：必修三：1、算法初步：高考必考内容，5分(选择或填空)2、统计：3、概率：高考必考内容，09年理科占到15分，文科数学占到5分必修四：1、三角函数：(图像、性质、高中重难点，)必考大题：15---20分，并且经常和其他函数混合起来考查2、平面向量：高考不单独命题，易和三角函数、圆锥曲线结合命题。
09年理科占到5分，文科占到13分必修五：1、解三角形：(正、余弦定理、三角恒等变换)高考中理科占到22分左右，文科数学占到13分左右2、数列：高考必考，17---22分3、不等式：(线性规划，听课时易理解，但做题较复杂，应掌握技巧。
高考必考5分)不等式不单独命题，一般和函数结合求最值、解集。
文科：选修1—1、1—2选修1--1：重点：高考占30分1、逻辑用语：一般不考，若考也是和集合放一块考2、圆锥曲线：3、导数、导数的应用(高考必考)选修1--2：1、统计：2、推理证明：一般不考，若考会是填空题3、复数：(新课标比老课本难的多，高考必考内容)理科：选修2—1、2—2、2—3选修2--1：1、逻辑用语2、圆锥曲线3、空间向量：(利用空间向量可以把立体几何做题简便化)选修2--2：1、导数与微积分2、推理证明：一般不考3、复数选修2--3：1、计数原理：(排列组合、二项式定理)掌握这部分知识点需要大量做题找规律，无技巧。
2022年全国统一高考数学试卷和答案(文科)(甲卷)
2022年全国统一高考数学试卷（文科）（甲卷）和答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）设集合A＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，B＝{x|0≤x＜}，则A ∩B＝（）A．{0，1，2}B．{﹣2，﹣1，0}C．{0，1}D．{1，2}2．（5分）某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识．为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如图：则（）A．讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70%B．讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%C．讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差D．讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差3．（5分）若z＝1+i，则|iz+3|＝（）A．4B．4C．2D．24．（5分）如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的边长为1，则该多面体的体积为（）A．8B．12C．16D．205．（5分）将函数f（x）＝sin（ωx+）（ω＞0）的图像向左平移个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则ω的最小值是（）A．B．C．D．6．（5分）从分别写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为（）A．B．C．D．7．（5分）函数f（x）＝（3x﹣3﹣x）cosx在区间[﹣，]的图像大致为（）A．B．C．D．8．（5分）当x＝1时，函数f（x）＝alnx+取得最大值﹣2，则f′（2）＝（）A．﹣1B．﹣C．D．19．（5分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，已知B1D与平面ABCD 和平面AA1B1B所成的角均为30°，则（）A．AB＝2ADB．AB与平面AB1C1D所成的角为30°C．AC＝CB1D．B1D与平面BB1C1C所成的角为45°10．（5分）甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为2π，侧面积分别为S甲和S乙，体积分别为V甲和V乙．若＝2，则＝（）A．B．2C．D．11．（5分）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的离心率为，A1，A2分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若•＝﹣1，则C的方程为（）A．+＝1B．+＝1C．+＝1D．+y2＝112．（5分）已知9m＝10，a＝10m﹣11，b＝8m﹣9，则（）A．a＞0＞b B．a＞b＞0C．b＞a＞0D．b＞0＞a 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2023高考全国甲卷数学真题及答案(文数)
2023高考全国甲卷数学真题及答案(文数)2023年普通高等学校招生全国统一考试文科数学试题2023年普通高等学校招生全国统一考试文科数学参考答案学好高考数学的技巧高考数学题目的总结比较。
建立自己的题库。
多做。
主要是指做高考数学习题，学数学一定要做习题，并且应该适当地多做些。
养成好的学习习惯，做好预习，把预习没看懂的东西，第二天上课着重听。
抓住课堂。
高考数学理科学习重在平日功夫，不适于突击复习。
高质量完成作业。
所谓高质量是指高正确率和高速度。
翻译：把中文翻译成为数学语言，包括：字母表示未知数、图像表示函数式或几何题目、概率语言等等。
该方法常用于函数，几何以及不等式等题目。
特殊化：在面对抽象或者难以理解的题目的时候，我们尝试用最极端最特殊的数字来代替变量，帮助我们理解题目。
该方法常用于在选择题目中排除选项，在解大题的过程中也经常会用到特殊化的结论。
盯住目标：把高考数学目标和已知结合，联想相关的定理、定义、方法。
在压轴题目中，往往需要不断转化目标，即盯住目标需要反复使用!各省高考用卷情况1、新高考一卷(8个省份)适用省份：山东、河北、湖北、福建、湖南、广东、江苏，浙江考试科目：语文、数学、外语、物理、化学、生物、政治、历史、地理、信息技术等。
特点：语文、数学、外语三门考试由教育部考试中心统一命题;物理、历史、化学、政治、生物、地理由各省自行命题。
其中广东、福建、江苏、湖南、湖北、河北6个省是3+1+2模式的高考省份，山东省是综合改革3+3省份。
2、新高考二卷(3个省份)适用省份：海南、辽宁、重庆考试科目：语文、数学、外语、物理、化学、生物、政治、历史、地理等。
特点：语文、数学、外语三门考试由教育部考试中心统一命题;物理、历史、化学、政治、生物、地理由各省自行命题。
其中辽宁、重庆两省市是3+1+2省份，海南是综合改革3+3省份。
3、全国甲卷(5个省份)适用省份：云南、贵州、四川、西藏、广西考试科目：语文、数学、外语、文综、理综特点：语文、数学、外语、文科综合、理科综合均由教育部考试中心统一命题。
新高考数学试卷文科
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1. 已知函数f(x) = x^3 - 3x，则f'(1)的值为（）A. 0B. 1C. -1D. -32. 在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=5，b=7，且sinA=sinB，则△ABC的面积为（）A. 14B. 21C. 35D. 493. 已知等差数列{an}的公差为d，若a1=2，a5=12，则d的值为（）A. 2B. 3C. 4D. 54. 下列函数中，在定义域内为奇函数的是（）A. f(x) = x^2B. f(x) = x^3C. f(x) = |x|D. f(x) = e^x5. 若复数z满足|z-1|=|z+1|，则z在复平面上的几何位置是（）A. 实轴上B. 虚轴上C. 第一象限D. 第二象限6. 已知数列{an}的前n项和为Sn，若a1=3，an+1-an=2n，则S5的值为（）A. 25B. 30C. 35D. 407. 已知等比数列{bn}的公比为q，若b1=2，b4=16，则q的值为（）A. 1B. 2C. 4D. 88. 若函数f(x) = x^2 + kx + 1在x=2时取得极小值，则k的值为（）A. -2B. -1C. 0D. 19. 在平面直角坐标系中，若点P(2,3)关于直线y=x的对称点为P'，则P'的坐标为（）A. (2,3)B. (3,2)C. (3,-2)D. (-2,3)10. 已知函数f(x) = log2(x+1)，则f(x)的单调递增区间是（）A. (-1, +∞)B. [0, +∞)C. (-∞, -1)D. (-1, 0)二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分。
把答案填写在题目的横线上。
）11. 已知函数f(x) = (x-1)^2 + 2，则f(x)的最小值为______。
12. 若等差数列{an}的公差为d，且a1=1，a5=13，则d=______。
高考文科数学导数真题汇编(带答案)
高考文科数学导数真题汇编(带答案)高考数学文科导数真题汇编答案一、客观题组4.设函数f(x)在R上可导，其导函数f'(x)，且函数f(x)在x=-2处取得极小值，则函数y=xf'(x)的图象可能是。
5.设函数f(x)=x^2-2x，则f(x)的单调递减区间为。
7.设函数f(x)在R上可导，其导函数f'(x)，且函数f(x)在x=2处取得极大值，则函数y=xf'(x)的图象可能是。
8.设函数f(x)=1/(2x-lnx)，则x=2为f(x)的极小值点。
9.函数y=1/(2x-lnx)的单调递减区间为(0,1]。
11.已知函数f(x)=x^2+bx+c的图象经过点(1,2)，且在点(2,3)处的切线斜率为4，则b=3.12.已知函数f(x)=ax^2+bx+c的图象过点(1,1)，且在点(2,3)处的切线斜率为5，则a=2.二、大题组2011新课标】21.已知函数f(x)=aln(x/b)+2，曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为x+2y-3=0.(1) 求a、b的值；(2) 证明：当x>1，且x≠b时，f(x)>2ln(x/b)。
解析】1) f'(x)=a/(xlnb)+2/x，由于直线x+2y-3=0的斜率为-1/2，且过点(1,f(1))，解得a=1，b=1.2) 由(1)知f(x)=ln(x)+1，所以f(x)-2ln(x/b)=ln(x/b)+1>0，当x>1，且x≠b时，f(x)>2ln(x/b)成立。
2012新课标】21.设函数f(x)=ex-ax-2.(1) 求f(x)的单调区间；(2) 若a=1，k为整数，且当x>0时，(x-k)f'(x)+x+1>0，求k的最大值。
解析】1) f(x)的定义域为(-∞,+∞)，f'(x)=ex-a，若a≤0，则f'(x)>0，所以f(x)在(-∞,+∞)单调递增。
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第1页（共21页） 辽宁省高考数学试卷（文科） 一、选择题（共12小题, 每小题5分, 满分60分） 1．（5分）已知集合A={0, 1, 2, 3, 4}, B={x||x|＜2}, 则A∩B=（ ） A．{0} B．{0, 1} C．{0, 2} D．{0, 1, 2} 2．（5分）复数的模长为（ ）
A． B． C． D．2 3．（5分）已知点A（1, 3）, B（4, ﹣1）, 则与向量同方向的单位向量为（ ） A． B． C． D． 4．（5分）下列关于公差d＞0的等差数列{an}的四个命题： p1：数列{an}是递增数列； p2：数列{nan}是递增数列； p3：数列是递增数列； p4：数列{an+3nd}是递增数列； 其中真命题是（ ） A．p1, p2 B．p3, p4 C．p2, p3 D．p1, p4
5．（5分）某学校组织学生参加英语测试, 成绩的频率分布直方图如图, 数
据的分组一次为[20, 40）, [40, 60）, [60, 80）, [80, 100）．若低于60分的人数是15人, 则该班的学生人数是（ ）
A．45 B．50 C．55 D．60 第2页（共21页）
6．（5分）在△ABC, 内角A, B, C所对的边长分别为a, b, c．asinBcosC+csinBcosA=b, 且a＞b, 则∠B=（ ）
A． B． C． D． 7．（5分）已知函数f（x）=ln（﹣3x）+1, 则f（lg2）+f（lg）=（ ） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 8．（5分）执行如图所示的程序框图, 若输入n=8, 则输出S=（ ）
A． B． C． D． 9．（5分）已知点O（0, 0）, A（0, b）, B（a, a3）, 若△OAB为直角三角形, 则必有（ ） A．b=a3 B．
C． D． 10．（5分）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上, 若AB=3, AC=4, AB⊥AC, AA1=12, 则球O的半径为（ ） A． B． C． D．
11．（5分）已知椭圆C：的左焦点F, C与过原点的直线相交于A, B两点, 连结AF, BF, 若|AB|=10, |AF|=6, 第3页（共21页）
, 则C的离心率为（ ） A． B． C． D． 12．（5分）已知函数f（x）满足f（x）=x2﹣2（a+2）x+a2, g（x）=﹣x2+2（a﹣2）x﹣a2+8．设H1（x）=max{f（x）, g（x）}, H2（x）=min{f（x）, g（x）}（max（p, q）表示p, q中的较大值, min（p, q）表示p, q中的较小值）, 记H1（x）的最小值为A, H2（x）的最大值为B, 则A﹣B=（ ） A．a2﹣2a﹣16 B．a2+2a﹣16 C．﹣16 D．16
二、填空题 13．（5分）某几何体的三视图如图所示, 则该几何体的体积是 ．
14．（5分）已知等比数列{an}是递增数列, Sn是{an}的前n项和．若a1, a3
是方程x2﹣5x+4=0的两个根, 则S6= ．
15．（5分）已知F为双曲线C：的左焦点, P, Q为C上的点, 若PQ的长等于虚轴长的2倍, 点A（5, 0）在线段PQ上, 则△PQF的周长为 ． 16．（5分）为了考察某校各班参加课外小组的人数, 从全校随机抽取5个班级, 把每个班级参加该小组的人数作为样本数据, 已知样本平均数为7, 样本方差为4, 且样本数据互不相同, 则样本数据中的最大值为 ． 第4页（共21页）
三、解答题 17．（12分）设向量, , ．
（1）若, 求x的值； （2）设函数, 求f（x）的最大值． 18．（12分）如图, AB是圆O的直径, PA⊥圆O所在的平面, C是圆O上的点． （1）求证：BC⊥平面PAC； （2）若Q为PA的中点, G为△AOC的重心, 求证：QG∥平面PBC．
19．（12分）现有6道题, 其中4道甲类题, 2道乙类题, 张同学从中任取2道题解答． （1）所取的2道题都是甲类题的概率； （2）所取的2道题不是同一类题的概率． 20．（12分）如图, 抛物线C1：x2=4y, C2：x2=﹣2py（p＞0）, 点M（x0, y0）在抛物线C2上, 过M作C1的切线, 切点为A, B（M为原点O时, A, B重合于O）, 当x0=1﹣时, 切线MA的斜率为﹣． （Ⅰ）求P的值； （Ⅱ）当M在C2上运动时, 求线段AB中点N的轨迹方程（A, B重合于O时, 中点为O）． 第5页（共21页）
21．（12分）（1）证明：当x∈[0, 1]时, ； （2）若不等式对x∈[0, 1]恒成立, 求实数a的取值范围．
请考生在22、23、24题中任选一题作答, 如果多做, 则按所做的第一题计分。 22．（10分）（选修4﹣1几何证明选讲） 如图, AB为⊙O的直径, 直线CD与⊙O相切于E, AD垂直CD于D, BC垂直CD于C, EF垂直于AB于F, 连接AE, BE, 证明： （1）∠FEB=∠CEB； （2）EF2=AD•BC．
23．在直角坐标系xOy中以O为极点, x轴正半轴为极轴建立坐标系．圆C1, 直线C2的极坐标方程分别为ρ=4sinθ, ρcos（）=2． （Ⅰ）求C1与C2交点的极坐标； （Ⅱ）设P为C1的圆心, Q为C1与C2交点连线的中点, 已知直线PQ的参
数方程为（t∈R为参数）, 求a, b的值． 24．已知函数f（x）=|x﹣a|, 其中a＞1 （1）当a=2时, 求不等式f（x）≥4﹣|x﹣4|的解集； （2）已知关于x的不等式|f（2x+a）﹣2f（x）|≤2的解集{x|1≤x≤2}, 求a的值． 第6页（共21页）
辽宁省高考数学试卷（文科） 参考答案与试题解析
一、选择题（共12小题, 每小题5分, 满分60分） 1．（5分）已知集合A={0, 1, 2, 3, 4}, B={x||x|＜2}, 则A∩B=（ ） A．{0} B．{0, 1} C．{0, 2} D．{0, 1, 2} 【解答】解：由B中的不等式|x|＜2, 解得：﹣2＜x＜2, 即B=（﹣2, 2）, ∵A={0, 1, 2, 3, 4}, ∴A∩B={0, 1}． 故选B
2．（5分）复数的模长为（ ） A． B． C． D．2 【解答】解：复数, 所以===． 故选B．
3．（5分）已知点A（1, 3）, B（4, ﹣1）, 则与向量同方向的单位向量为（ ） A． B． C． D．
【解答】解：∵已知点A（1, 3）, B（4, ﹣1）, ∴=（4, ﹣1）﹣（1, 3）=（3, ﹣4）, ||==5, 则与向量同方向的单位向量为 =, 第7页（共21页）
故选A． 4．（5分）下列关于公差d＞0的等差数列{an}的四个命题： p1：数列{an}是递增数列； p2：数列{nan}是递增数列； p3：数列是递增数列； p4：数列{an+3nd}是递增数列； 其中真命题是（ ） A．p1, p2 B．p3, p4 C．p2, p3 D．p1, p4
【解答】解：∵对于公差d＞0的等差数列{an}, an+1﹣an=d＞0, ∴命题p1：
数列{an}是递增数列成立, 是真命题． 对于数列{nan}, 第n+1项与第n项的差等于 （n+1）an+1﹣nan=（n+1）d+an, 不一定是正实数, 故p2不正确, 是假命题． 对于数列, 第n+1项与第n项的差等于 ﹣==, 不一定是正实数, 故p3不正确, 是假命题． 对于数列{an+3nd}, 第n+1项与第n项的差等于 an+1+3（n+1）d﹣an﹣3nd=4d＞0, 故命题p4：数列{an+3nd}是递增数列成立, 是真命题． 故选D．
5．（5分）某学校组织学生参加英语测试, 成绩的频率分布直方图如图, 数据的分组一次为[20, 40）, [40, 60）, [60, 80）, [80, 100）．若低于60分的人数是15人, 则该班的学生人数是（ ） 第8页（共21页）
A．45 B．50 C．55 D．60 【解答】解：∵成绩低于60分有第一、二组数据, 在频率分布直方图中, 对应矩形的高分别为0.005, 0.01, 每组数据的组距为20, 则成绩低于60分的频率P=（0.005+0.010）×20=0.3, 又∵低于60分的人数是15人, 则该班的学生人数是=50． 故选：B．
6．（5分）在△ABC, 内角A, B, C所对的边长分别为a, b, c．asinBcosC+csinBcosA=b, 且a＞b, 则∠B=（ ）
A． B． C． D． 【解答】解：利用正弦定理化简已知等式得：sinAsinBcosC+sinCsinBcosA=sinB, ∵sinB≠0, ∴sinAcosC+sinCcosA=sin（A+C）=sinB=, ∵a＞b, ∴∠A＞∠B, 即∠B为锐角, 则∠B=． 故选A
7．（5分）已知函数f（x）=ln（﹣3x）+1, 则f（lg2）+f（lg）=（ ） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 【解答】解：函数的定义域为（﹣∞, +∞）, ∵f（x）=ln（﹣3x）+1,