第1讲集合与常用逻辑用语(学生)

专题 1 函数与导数、不等式
第1讲 集合与常用逻辑用语
一．瞄准高考
1．集合的基本概念
(1)集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性．
(2)集合的表示方法：列举法、描述法、图示法．
(3)子集、真子集、空集、集合相等的概念．
2．集合的基本运算
(1)交集：A∩B＝{x|x∈A,且x∈B}．
(2)并集：A∪B＝{x|x∈A,或x∈B}．
(3)补集：∁UA＝{x|x∈U,且x∉A}．
3．四种命题及其关系
两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性；
两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性
没有关系；
一个命题的逆命题与它的否命题同真同假．
4．充要条件
用集合的关系理解充分、必要条件：设命题p对应集合A，命题q对应集合B，则
p⇒q等价于A⊆B，p⇔q等价于A＝B.
5．简单的逻辑联结词
逻辑联结词有“且”,“或”,“非”等.用逻辑联结词“且”,“或”把命题p和命题q
联结起来,就得到一个新命题,记作“p∧q” ,“p∨q”；对一个命题p全盘否定,就得到一个
新命题,记作“┐p”.
6.全称量词与存在量词
(1)全称命题p：∀x∈M,p(x), 它的否定┐p：∃x0∈M,┐p(x0)．
(2)存在性命题p：∃x0∈M,p(x0), 它的否定┐p：∀x∈M,┐p(x)．
二．解析高考

题型一 集合的运算
例1 设全集是实数集R,A＝{x|2x2－7x＋3≤0},B＝{x|x2＋a<0}．
(1)当a＝－4时,分别求A∩B和A∪B； (2)若(∁RA)∩B＝B,求实数a的取值范围．
题型二 命题与逻辑联结词
例2 给出下列命题：
①命题：∃x∈R,x2－3x≤0的否定是：∀x∈R,x2－3x>0；
②命题“若一个数是负数,则它的平方是正数”的否定是“若一个数不是负数,则它的
平方不是正数”；
③若ac2④若命题p∧q与┐p∨q均为假命题,则命题p真,命题q假；
⑤命题“若f(x)是奇函数,则f(－x)是奇函数”的否命题是“若f(x)不是奇函数,则f(－x)
不是奇函数”．
请判断以上命题的真假．

题型三 充分必要条件
例3 已知p：x2－8x－20≤0,q：x2－2x＋1－m2≤0 (m>0),且┐p是┐q的必要不充分条件,
求实数m的取值范围．

【变式】已知命题p：2x2－9x＋a<0,命题q： x2－4x＋3<0，x2－6x＋8<0，且┐p是┐q的充分条件,求实
数a的取值范围．

题型四 量词、含有量词的命题的否定
例4 命题“对任意的x∈R,x3－x2＋1≤0”的否定是 .
【变式】 (2010·辽宁)已知a>0,函数f(x)＝ax2＋bx＋c.若x0满足关于x的方程2ax＋b＝0,则
下列选项的命题中①∃x∈R,f(x)≤f(x0);②∃x∈R,f(x)≥f(x0);③∀x∈R,f(x)≤f(x0);④∀x∈R,
f(x)≥f(x0).其中为假命题的是 .

三．感悟高考
1．解答集合有关问题时,正确理解集合的意义,准确地化简集合是关键,其次要注意
元素的互异性,空集是任何集合的子集等问题,对于复杂问题,要借助数轴和韦恩图加以
解决,尤其注意转化和化归、数形结合等数学思想的运用．
2．充分、必要、充要、既非充分也非必要条件的判断必须坚持“双向”的原则,也可
转化为等价命题来判断．
3．解决有关逻辑题时,细微之处要谨慎,稍有不慎就会出错,要树立简化意识、逆否
命题意识、特例反驳意识．
四．备战高考
1. 若集合M＝{(x,y)|x＋y＝0,x∈R,y∈R)},N＝{(x,y)|x2＋y2＝1,x∈R,y∈R},则M∩N
＝ .
2. 集合A＝{0,2,a2},B＝{1,a},若A∩B＝{1},则a的值为 .

3. “m<14”是“一元二次方程x2＋x＋m＝0”有实数解的 条件.
4. 已知命题p：“∀x∈[1,2],x2－a≥0”,命题q：“∃x∈R,x2＋2ax＋2－a＝0”．若命题“┐p且q”
是真命题,则实数a的取值范围为 .

5. 已知集合S＝{x|x－2x<0},T＝{x|x2－(2a＋1)x＋a2＋a≥0}(a∈R),若S∪T＝R,则实数a的取
值范围是 .
6. 已知全集U＝{－2,－1,0,1,2},集合A＝{－1,0,1},B＝{－2,－1,0},则A∩(∁UB)＝______.
7. 设U＝R,集合A＝{x|x2＋3x＋2＝0},B＝{x|x2＋(m＋1)x＋m＝0},若(∁UA)∩B＝,则m的值
是________________．
8. 设p：方程x2＋2mx＋1＝0有两个不相等的正根；q：方程x2＋2(m－2)x－3m＋10＝0
无实根,则使p∨q为真,p∧q为假的实数m的取值范围是_________________________．
9. 已知命题p：方程a2x2＋ax－2＝0在[－1,1]上有解；命题q：只有一个实数x满足不等
式x2＋2ax＋2a≤0,若命题“p或q”是假命题,求a的取值范围．
10. 已知函数y＝lg(－x2＋x＋2)的定义域为A,指数函数y＝ax(a＞0且a≠1)(x∈A)的值域
为B.
(1)若a＝2,求A∪B；

(2)若A∩B＝{12,2},求a的值