数列在实际中的应用
高考数学专题复习：数列在日常生活中的应用
高考数学专题复习：数列在日常生活中的应用一、单选题1．某房屋开发商出售一套50万元的住宅，可以首付5万元，以后每过一年付5万元，9年后共10次付清，也可以一次付清（此后一年定期存款税后利率设为2%，按复利计算）并优惠%a ，为鼓励购房者一次付款，问优惠率应不低于多少？（ ）（a 取整数，计算过程中参考以下数据：910111.02 1.195,1.02 1.219,1.02 1.243===） A ．8%B ．9%C ．11%D ．19%2．某顾客在2020年1月1日采用分期付款的方式购买一辆价值2万元的家电，在购买一个月后2月1日第一次还款，且以后每个月1日等额还款一次，如果一年内还清全部贷款（12月1日最后一次还款），月利率为0.5％.按复利计算，则该顾客每个月应还款多少元？（精确到1元，参考值101.005 1.05=，111.005 1.06=）（ ） A ．1767B ．1818C ．1923D ．19463．假设一个蜂巢里只有1只蜜蜂，第1天它飞出去找回了2个伙伴：第2天，3只蜜蜂飞出去，各自找回了2个伙伴……如果这个找伙伴的过程继续下去，则到第4天所有蜜蜂都归巢后，蜂巢中全部蜜蜂的只数是（ ）． A ．1B ．3C ．9D ．814．某车间王师傅、张师傅因工种不同上班规律如下，王师傅休息一天后连续两天上班，再休息一天，张师傅休息一天后连续四天上班，再休息一天，在第一天，王师傅、张师傅都休息，从第1个星期到第15个星期内，记第n 个星期王师傅上班天数为()f n ，张师傅上班天数为()g n ，用a ，b ，c ，d 分别表示()()g n f n -等于2，1，0，1-的个数，则(a ，b ，c ，d )=（ ）A ．(4,7,4,0)B ．(3,7,4,1)C ．(3,7,5,0)D ．(3,8,4,0)5．某人从2015年起，每年1月1日到银行新存入a 元（一年定期），若年利率为r 保持不变，且每年到期存款均自动转为新的一年定期，到2020年1月1日将之前所有存款及利息全部取回，他可取回的钱数（单位为元）（ ） A ．5(1)a r + B ．5(1)(1)ar r r⎡⎤+-+⎣⎦ C ．6(1)a r +D ．6(1)(1)a r r r ⎡⎤+-+⎣⎦6．某家庭打算为子女储备“教育基金”，计划从2021年开始，每年年初存入一笔专用存款，使这笔款到2027年底连本带息共有40万元收益．如果每年的存款数额相同，依年利息2%并按复利计算（复利是一种计算利息的方法，即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息），则每年应该存入约（ ）万元．（参考数据：781.02 1.149, 1.02 1.172≈≈） A ．5.3B ．4.6C ．7.8D ．67．某养猪场2021年年初猪的存栏数1200，预计以后每年存栏数的增长率为8%，且在每年年底卖出100头．设该养猪场从今年起每年年初的计划存栏数依次为123,,,a a a ．则2035年年底存栏头数为（参考数据：1415161.08 2.9,1.08 3.2,1.08 3.4≈≈≈）（ ） A ．1005 B ．1080C ．1090D ．1105二、双空题8．某公司为一个高科技项目投入启动资金2000万元，已知每年可获利20%，但由于竞争激烈，每年年底需从利润中取出200万元资金进行科研、技术改造，方能保持原有利润的增长率，则第三年年初该项目的资金为________万元，该公司经过________年该项目的资金可以达到或超过翻一番（即原来的2倍）的目标．（lg 20.30≈，lg30.48≈）9．某校数学课外小组在坐标纸上，为学校的一块空地设计植树方案如下第k 棵树种植在点()k k k P x y ，处，其中11x =，11y =，当2k ≥时，11121555{1255k k k k k k x x T T k k y y T T --⎡⎤--⎛⎫⎛⎫=+-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦--⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，．()T a 表示非负实数a 的整数部分，例如(26)2T .=，(02)0T .=．按此方案，第6棵树种植点的坐标应为________．第2008棵树种植点的坐标应为________． 10．已知桶0A 中盛有2升水，桶0B 中盛有1升水．现将桶0A 中的水的34和桶0B 中的水的14倒入桶1A 中，再将桶0A 与桶0B 中剩余的水倒入桶1B 中；然后将桶1A 中的水的34和桶1B 中的水的14倒入桶2A 中，再将桶1A 与桶1B 中剩余的水倒入桶2B 中；若如此继续操作下去，则桶n A ()n *∈N 中的水比桶n B ()n *∈N 中的水多________升．11．从2017年到2020年期间，某人每年6月1日都到银行存入1万元的一年定期储蓄．若年利率为20%保持不变，且每年到期的存款本息均自动转为新的一年定期储蓄，到2020年6月1日，该人去银行不再存款，而是将所有存款的本息全部取回，则取回的金额为________万元．四、解答题12．银行按规定每经过一定的时间结算存（货）款的利息一次，结算后即将利息并入本金，这种计算利息的方法叫做复利，现在有某企业进行技术改造，有两种方案：甲方案：一次性货款10万元，第一年便可获得利润1万元，以后每年比上年增加30%的利润；乙方案：每年货款1万元，第一年可获得利润1万元，以后每年比前一年多获利5000元．两种方案的期限都是10年，到期一次行归还本息．若银行货款利息均以年息10%的复利计算，试比较两个方案哪个获得纯利润更多？计算精确到千元，参考数据：101.12.594=，101.313.796=）13．某企业2020年的纯利润为500万元，因设备老化等原因，企业的生产能力将逐年下降.若不能进行技术改造，预测从2021年起每年比上一年纯利润减少20万元，今年初该企业一次性投入资金600万元进行技术改造，预测在未扣除技术改造资金的情况下，第n年（2021为第1年）的利润为150012n⎛⎫+⎪⎝⎭万元（n为正整数）.（1）设从2021起的前n年，若该企业不进行技术改造的累计纯利润为n A万元，进行技术改造后的累计纯利润为n B万元（须扣除技术改造资金），求n A、n B的表达式；（2）依上述预测，从2021起该企业至少经过多少年，进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润？14．小明的父母为了准备小明将来考入大学的学费，于2017年元旦在某银行存入10000元，并在后续每一年的元旦都在该银行存入1200元，直到2022年存入最后一笔钱为止．如果银行的存款年利率为2．75%，且以复利计息，那么小明的父母在2022年底将存款连本带利全部取出时，能取到多少钱？15．放射性元素在t =0时的原子核总数为0N ，经过一年原子核总数衰变为0N q ，常数1q -称为年衰变率．考古学中常利用死亡的生物体中碳14元素稳定持续衰变的现象测定遗址的年代．已知碳14的半衰期为5730年． （1）碳14的年衰变率为多少（精确到610-）（2）某动物标本中碳14含量为正常大气中碳14含量的60%（即衰变了40%），该动物的死亡时间大约距今多少年？16．某牛奶厂2015年初有资金1000万元，由于引进了先进生产设备，资金年平均增长率可达到50%．每年年底扣除下一年的消费基金后，剩余资金投入再生产，这家牛奶厂每年应扣除多少消费基金，才能实现经过5年资金达到2000万元的目标（精确到1万元）？17．假设某银行的活期存款年利率为0.35%某人存10万元后，既不加进存款也不取款，每年到期利息连同本金自动转存，如果不考虑利息税及利率的变化，用n a 表示第n 年到期时的存款余额，求1a 、2a 、3a 及n a .18．某市准备投入资金进行生态环境建设，促进旅游业的发展.计划本年度投入1200万元，以后每年投入均比上年减少20%，本年度旅游业收入估计为400万元，预计今后旅游业收入的年增长率相同. 设本年度为第一年，已知前三年旅游业总收入为1525万元. （Ⅰ）设第n 年的投入为a n 万元，旅游业收入为b n 万元，写出a n ，b n 的表达式； （Ⅱ）至少经过几年，旅游业的总收入才能超过总投入？ （参考数据：lg2 ≈0.301，lg3≈ 0.477）参考答案1．B 【分析】设优惠率应不低于%a ，由已知可得，()()()998501%12%5 1.02 1.02 1.021a -+≤⨯++⋅⋅⋅⋅⋅⋅++，解不等式可得答案. 【详解】设优惠率应不低于%a ，由题意可得，()()()998501%12%5 1.02 1.02 1.021a -+≤⨯++⋅⋅⋅⋅⋅⋅++，即1091.0211%0.91610 1.020.02a --≤≈⨯⨯， 解得%8.4%a ≥， 又∵a 取整数， ∴优惠率应不低于9%， 故选：B ． 2．A 【分析】设每月还款x 元，每月还款按得利计算，11次还款的本利和等于银行贷款按复利计算的本利和，由此可得． 【详解】设每月还款x 元，共还款11个月， 所以10911(1.005 1.005 1.0051)20000 1.005x ⨯++++=⨯，1111111020000 1.00520000 1.00520000 1.0617671 1.061 1.0051 1.005 1.0050.0051 1.005x ⨯⨯⨯===≈--+++--． 故选：A ． 3．D 【分析】先由前几天结束时，蜂巢中的蜜蜂数量观察出其组成了首项为3，公比为3的等比数列，求出通项公式，把4直接代入即可.【详解】 由题意知，第一天所有蜜蜂归巢后，蜂巢中一共有1+2=3只蜜蜂， 第二天所有蜜蜂归巢后，蜂巢中一共有339⨯=只蜜蜂， 第三天所有蜜蜂归巢后，蜂巢中一共有39=27⨯只蜜蜂，第n 天所有蜜蜂归巢后，蜂巢中一共有133=3n n -⨯只蜜蜂， 所以归巢后的蜜蜂数列组成了首项为3，公比为3的等比数列， 所以其通项公式为：3n ， 所以，第四天共有4381=只蜜蜂. 故选：D 4．D 【分析】由已知得出每个星期王师傅上班天数和每个星期张师傅上班天数，由此可得出选项. 【详解】每个星期王师傅上班天数依次为4,5,5,4,5,5,…，每个星期张师傅上班天数依次为5,6,5,6,6,5,6,5,6,6,…，因此()()g n f n -依次为1,1,0,2,1,0,2,0,1,2,0,1,1,1,1所以()(3840)a b c d =，，，，，，， 故选：D. 5．D 【分析】根据题意分析得到:到2020年1月1日将之前所有存款为5432(1)(1)(1)(1)(1)a r a r a r a r a r +++++++++，最后根据等比数列求和即可. 【详解】根据题意可得：自2015年1月1日到银行新存入a 元，则到2016年1月1日之前银行存款共(1)a r +，2016年1月1日再存入a 元， 到2017年1月1日之前银行存款2(1)(1)a r a r +++，2017年1月1日再存入a 元， 到2018年1月1日之前银行存款32(1)(1)(1)a r a r a r +++++，2018年1月1日再存入a 元，到2019年1月1日之前银行存款432(1)(1)(1)(1)a r a r a r a r +++++++，2019年1月1日再存入a 元，到2020年1月1日之前银行存款共计5432(1)(1)(1)(1)(1)a r a r a r a r a r +++++++++， 因为5432(1)(1)(1)(1)(1)a r a r a r a r a r +++++++++5432(1)(1)(1)(1)(1)a r r r r r ⎡⎤=+++++++++⎣⎦56(1)1(1)(1)(1)1(1)a r r ar r r r⎡⎤+-+⎣⎦⎡⎤==+-+⎣⎦-+， 故选：D. 6．A 【分析】设每年存入x 万元，分别求出2021年初至2027年初到2027年底的所有本利和，求和即可求解. 【详解】设每年存入x 万元，则2021年初存入的钱到2027年底本利和为()712%x +， 2022年初存入的钱到2027年底本利和为()612%x +， ……2027年初存入的钱到2027年底本利和为()12%x +， 则()()()2712%12%12%40x x x ++++++=，即()71.021 1.02401 1.02x -=-，解得 5.3x ≈.故选：A. 7．C 【分析】依据题意可得每年年初存栏数满足()118%100n n a a -=⨯+-，构造等比数列{}1250n a -，利用等比数列通项公式求得()15018%1250n n a -=-⨯++，问题得解.【详解】由题可得11200a =，()2120018%100a =⨯+-，()3218%100a a =⨯+-，…… 由此下去可得：()118%100n n a a -=⨯+- 令()()118%n n a x a x -+=++ 整理可得()118%0.08n n a a x -=⨯++ 令0.08100x =-，解得1250x =-∴数列{}1250n a -是以50-为首项，公比为18%+的等比数列 ∴()112505018%n n a --=-⨯+∴()15018%1250n n a -=-⨯++则2035年年底存栏头数为()()()1511518%1005018%125018%100a -⎡⎤⨯+-=-⨯++⨯+-⎣⎦50 3.21250 1.081001090≈-⨯+⨯-=故选：C8．2440 6 【分析】设n a 是经过n 年后该项目的资金，则1(120%)200n n a a +=+-，从而可求出经过两年后该项目的资金，构造等比数列{}1000-n a ，求出n a ，根据翻一番（即原来的2倍）的目标建立不等式，解指数不等式，即可求出所求． 【详解】设n a 是经过n 年后该项目的资金，则1(120%)200n n a a +=+-， 所以12000(120%)2002200a =+-=， 22200(120%)2002440a =+-=，所以经过两年后该项目的资金为2440万元； 因为1(120%)200n n a a +=+-，设1(120%)()n n a p a p ++=++，则1000p =-， 即11000(120%)(1000)n n a a +-=+-，所以{}1000-n a 是以1.2为公比，1200为首项的等比数列， 所以11200 1.210001000 1.21000n n n a -=⨯+=⨯+， 由已知得1000 1.210004000n ⨯+≥，lg3lg36lg 6lg5lg312lg 2n=≈--+，即该公司经过6年该项目的资金可以达到或超过翻一番（即原来的2倍）的目标． 故答案为：①2440；②6． 9． (1,2) (3, 402) 【详解】 T组成的数列为1,0,0,0,0,1, 0,0,0,0,1, 0,0,0,0,1……(k =1,2,3,4……)．一一代入计算得数列为1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5……；数列为1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4…….因此，第6棵树种在 (1,2)，第2008棵树种在(3, 402)． 10．12n． 【分析】根据题意，得到n A ，n B 之间的关系，然后用数列知识求解． 【详解】根据题意可得，11313,44n n n n n A B A A B --+==+， ∴1113113(3)4424n n n n A A A A ---=+-=+， ∴1313()222n n A A --=-，即数列32n A ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以1003313124424A A B -=+-=为首项，12为公比的等比数列，∴1131112422n n n A -+-=⋅=⇒13122n n A +=+， ∴131322n n n B A +=-=-，∴*1112()22n n n n A B n N +-=⨯=∈．故答案为：12n11．4.368【分析】分别求出2017年、2018年、2019年这三年每一年存入的1万元取出时的本息，再计算他们的和即可求解. 【详解】2017年存入1万元到2020年取回的本息为()33120% 1.2+=万元， 2018年存入1万元到2020年取回的本息为()22120% 1.2+=万元， 2019年存入1万元到2020年取回的本息为()1120% 1.2+=万元，所以取回的金额为3321.2(1 1.2)1.2 1.2 1.2 4.3681 1.2-++==-万元，故答案为：4.368. 12．答案见解析. 【分析】由题意可知，甲方案中增长利率是定值，所以每年利润数是以1为首项，以1.3为公比的等比数列，再由等比数列的前n 项和公式求出10年利润总数；乙方案中每年增长的利润是一定值，所以每年利润数是以1为首项，以0.5为公差的等差数列，再由等差数列的前n 项和公式求出10年利润总数，然后比较两种情况的数值． 【详解】解：甲方案10年获利润是每年利润数组成的数列的前10项的和：10291.311(130%)(130%)(130%)42.621.31-+++++++==-（元）， 到期时银行的本息和为()10110%1010 2.59425.94⨯+=⨯=（万元）， ∴甲方案扣除本息后的净获利为：42.6225.9416.7-≈（万元）， 乙方案：逐年获利成等差数列，前10年共获利：10(1 5.5)1(10.5)(120.5)(190.5)32.502+++++⨯+++⨯==（万元） 贷款的本利和为：1091.111.11(110%)(110%) 1.117.531.11-⎡⎤+++++=⨯=⎣⎦-（万元）， ∴乙方案扣除本利后的净获利为：32.5017.5315.0-=（万元）， 所以，甲方穿的获利较多． 13．（1）249010n A n n =-，n B =5005001002nn --；（2）至少经过4年. 【分析】（1）利用等差数列的求和公式可求得n A ，利用分组求和法可求得n B ； （2）作差得出25010102n n n B A n n ⎛⎫-=+-- ⎪⎝⎭，令25010102n n c n n ⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭，分析数列{}n c 的单调性，可得出340c c <<，由此可得出结论.【详解】（1）依题设，()()()()2201500205004050020500490102n n n A n n n n +=-+-+⋅⋅⋅+-=-=-， 2111111500225001116005005001001222212n n n n B n n ⎡⎤⎛⎫- ⎪⎢⎥⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭⎢⎥=++++⋅⋅⋅++-=+=-- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦-⎢⎥⎣⎦； （2）()225005050010049010101022n n n n B A n n n n n ⎛⎫-=----=+-- ⎪⎝⎭， 令25010102n n c n n ⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭，则数列{}n c 为单调递增数列， 且32510204c ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，425101608c ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，所以，当且仅当4n ≥时，n n B A >.至少经过4年，该企业进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润. 14．18281.21元 【分析】根据复利计算即可得出答案. 【详解】由题意得，小明的父母在2022年底将存款连本带利全部取出的钱数为： ()()()()65411000010.027*******.027*******.027*******.0275++++++++()()()()()56120010.0275110.027********.0275110.0275+-+=++-+18281.21≈（元）即能取到18281.21元.15．（1）0.999879；（2）4221.【分析】（1）根据题意，生物体死亡n 年后，体内每克组织中的碳14的残留量为n a ，则可判断出{}n a 是一个等比数列，由题意列出通项公式，解出q 即可； （2）由题意，利用等比数列的通项公式列方程，解出n. 【详解】(1)设生物体死亡时，体内每克组织中的碳14的含量为1，每年的衰变率为q ，n 年后的残留量为n a ，则{}n a 是一个等比数列．由碳14的半衰期为5730，则 57305730112n a a qq===，解得：157301()0.9998792q =≈． 即碳14的年衰变率为0.999879；(2)设动物约在距今n 年前死亡，由0.6n a =，得10.9998790.6n n n a a q ===，解得4221n ≈，所以动物约在距今4221年前死亡． 16．424万元 【分析】设这家牛奶厂每年应扣除x 万元消费基金，则由规律可得第五年剩余资金为：5234333331000()[1()()()]22222x ⨯-++++，由题意知，5234333331000()[1()()()]200022222x ⨯-++++=，即可求得x 的值． 【详解】解：设这家牛奶厂每年应扣除x 万元消费基金，则： 第一年剩余资金为：31000(150%)10002x x +-=⨯-，第二年剩余资金为：23333(1000)1000()(1)2222x x x ⨯-⨯-=⨯-+， ⋯⋯以此类推，第五年剩余资金为：5234333331000()[1()()()]22222x ⨯-++++，由题意知，5234333331000()[1()()()]200022222x ⨯-++++=，即553()132[]1000()20003212x -=⨯--，解得：424x ≈，故这家牛奶厂每年应扣除424万元消费基金．17．110.035a ，210.070a ，310.105a ，1010.35%nn a . 【分析】本题可根据活期存款年利率的计算方式得出结果. 【详解】11010.35%10.035a ，221010.35%10.070a ，331010.35%10.105a ，1010.35%nna .18．（Ⅰ）1412005n n a -⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭，154004n n b -⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭；（Ⅱ）6年.【分析】（Ⅰ）由题意知{a n }，{b n }均为等比数列，根据条件中的数列{a n }的首项和公比直接写出通项公式，设数列{b n }的公比为 q ，根据三年内旅游业总收入求得q ，从而求得{b n }的通项公式；（Ⅱ）设至少经过 n 年，旅游业的总收入才能超过总投入.分别计算出经过 n 年，总投入和旅游业总收入，根据不等关系列出表达式，解得n 的最小值即可. 【详解】解：（Ⅰ）由题意知{a n }，{b n }均为等比数列，数列{a n }的首项为1200，公比为4120%5-=，所以1412005n n a -⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭，设数列{b n }的公比为 q ，显然 q > 0 ， q ≠ 1. 所以三年内旅游业总收入为()3400115251q q-=-，即261116q q ++=， 所以21616450q q +-=，解得 54q =或49q =-（舍去）， 所以 154004n n b -⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭.（Ⅱ）设至少经过 n 年，旅游业的总收入才能超过总投入.则经过 n 年，总投入为 41200154600014515n n⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-，经过n 年，旅游业总收入为5400145160015414nn⎡⎤⎛⎫-⎢⎥⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=-⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-，所以54160016000145n n⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫->-⎢⎥⎢⎥⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，化简得4515419054n n⎛⎫⎛⎫+->⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭设4(01)5nt t⎛⎫=<<⎪⎝⎭，代入上式得2151940t t-+>，解此不等式，得t >1（舍去）或t <415，即44515n⎛⎫<⎪⎝⎭，解得454lg42lg2(lg3lg5)3lg2lg3115log 5.94152lg2lg53lg21lg5n-+-->===≈--由此得n≥6 .所以至少经过6 年，旅游业的总收入才能超过总投入.。
数列在解答实际问题中的应用
探索探索与与研研究究数学来源于生活,我们生活中有很多的实际问题需要运用数列知识来求解.在解答实际问题时,我们要借助等差数列或等比数列模型，利用数列的定义、公式、性质等来分析与解答问题.运用数列知识解答实际问题的常规步骤是：1.仔细阅读材料，认真理解题意;2.将题目中的信息转化成数学语言，将实际问题转化成数列问题，并分清数列模型是等差数列还是等比数列;3.利用等差或等比数列的定义、公式、性质等来求解该数列问题;4.将所求的结果还原到实际问题中进行检验.下面举例说明.例1.如图1，方格蜘蛛网是由一组正方形环绕而成的图形.每个正方形的四个顶点都在其外接正方形的四边上，并将边长分为3∶4.现用13米长的铁丝制作一个方格蜘蛛网，若最外边的正方形边长为1米，按照由外到内的顺序制作，则完整的正方形的个数最多为（）个.（参考数据：lg75≈0.15）分析：由等比数列的定义可知由外到内的正方形的周长组成一个等比数列，利用等比数列的前n项和公式即可建立关系式,求得结果.解：设外层正方形的边长为a，其内接小正方形的边长为b，则b==57a，故每个小正方形的周长为其外接正方形周长的57，即由外到内的正方形的周长组成一个以4为首项，以57为公比的等比数列，则数列的前n项和S n=4[1-(57)n]1-57≤13，整理可得（57）n≥114，解得n≤7.67，即完整的正方形的个数最多为7个.本题中n只能为正整数,所以n只能取7.很多同学在解题时经常忽略了最后一步：将所求的结果还原到实际问题中进行检验,导致解题出错.例2.若某小微企业的资金每一年都比上一年分红后的资金增加一倍，且每年年底固定给股东们分红50万元.假设该企业2015年年底分红后的资金为100万元，则该企业年底分红后的资金超过3250万元的开始年份是______年.分析：该问题要考查了数列模型的应用.我们需结合题意寻找每年年底分红后的资金数量之间的规律,建立数列模型,在求得数列的通项公式后建立相应的不等关系式，便可求出资金超过3250万元的开始年份.解：设a n为2015+n年年底分红后的资金，其中n∈N*，则a1=2×100-50=150，a2=2×150-50=250，…，a n=2a n-1-50（n≥2），可得a n-50=2（a n-1-50）（n≥2），即数列{a n-50}是首项为a1-50=100，公比为2的等比数列，则a n-50=100×2n-1，即a n=100×2n-1+50，由题意可得a n>3250，即2n-1>32，解得n>6，即n=7.所以该企业年底分红后的资金超过3250万元的开始年份是2022年.例3.如图2，为某校数学兴趣小组用数学软件制作的“螺旋蚊香”，画法如下：在水平直线l上取长度为1的线段AB，作一个等边三角形ABC，然后以点B为圆心，AB为半径逆时针画圆弧，交线段CB的延长线于点D，再以点C为圆心，CD为半径逆时针画圆弧，交线段AC的延长线于点E，以此类推，当得到的“螺旋蚊香”与直线l恰有5个交点时，“螺旋蚊香”的总长度的最大值为（）.分析：“螺旋蚊香”呈现出了一定的规律,我们可根据等差数列的定义来建立等差数列模型,利用等差数列的前n项和公式来确定“螺旋蚊香”的总长度的最大值.解：由题意得，恰好有6段圆弧或有7段圆弧与直线l相交时，才恰有5个交点，每段圆弧的圆心角都为23π，且第1段圆弧到第n段圆弧的半径长构成等差数列：1，2，…，n，当得到的“螺旋蚊香”与直线l恰有5个交点时，“螺旋蚊香”的总长度的最大值为23π×(1+7)×72=563π.以生活实际为背景的问题有很多.同学们需要仔细读题,建立合理的数列模型,灵活运用数列的定义、性质、公式等来解题.（作者单位：广东省清远市第三中学）图2图154Copyright©博看网 . All Rights Reserved.。
浅谈斐波那契数列在生活中的应用
浅谈斐波那契数列在生活中的应用摘要：数学是一门来自生活又高于生活的科学，数学研究是人类社会进步的动力。
数列知识在生活中也有着广泛的应用，例如生物种群数量的变化，银行的利息计算，人口增长，粮食增长、住房建设等，都会用到数学知识。
本文介绍斐波那契数列的简单情况，可以帮助学生提高对数列的知识。
数列是数学学习中一个非常重要的分支，并且因为数列的研究和计算与社会经济和资源生活紧密相关，加上灵活多变的计算，有趣的问题等，都使得对于数列的研究受到越来越多人的关注。
关键词：斐波那契数列应用黄金分割1 引言数列在我们的生活中具有广泛的应用，例如资源计算等问题，并且在解决诸如投资分配，汇率计算和资源利用分配等问题方面具有无可比拟的优势。
本文将简要介绍数列广泛应用，分析斐波那契数在上述几个生活领域中的应用。
斐波那契数列在现实生活中被广泛使用，研究它以使其服务于我们的生活具有很大的意义。
人类很早就看到了大自然的数学特征：蜜蜂的繁殖规律，树枝、钢琴音阶的排列以及花瓣在花托边缘的对称分布、整个花朵几乎完美无缺地呈现出辐射对称性……，所有这一切向我们展示了许多美丽的数学模式。
对自然、社会和生活中的许多现象的解释，通常可归因于斐波那契数列上来。
斐波那契数列在数学理论中有许多有趣的特性，似乎在自然界中也存在着这个性质，都被斐波那契数列支持。
2 斐波那契数列的应用（1）斐波那契数列和花瓣数花瓣数是极有特征的。
多数情况下，花瓣的数目都是3，5，8，13，21，34，55，…这些数恰好是斐波那契数列的某些项，例如，海棠2瓣花瓣，铁栏、百合花和兰花以及茉莉花都有3瓣花瓣，洋紫荆、黄蝉和蝴蝶兰是5瓣花瓣。
万寿菊的花瓣有13瓣；至良属的植物有5瓣花瓣；许多翠雀属植物有8瓣花瓣；雏菊属植物有89、55或者34个瓣花瓣。
（2）斐波那契数列和仙人掌的结构在仙人掌的结构中有这一数列的特征。
研究人员分析了仙人掌的形状、叶片的厚度以及控制仙人掌情况的其他因素，并将数据输入计算机，结果发现仙人掌的斐波那契序列结构使仙人掌能够最大限度地减少能量消耗并适应干旱沙漠中的生长环境。
(全面版)等差数列的应用举例和实际问题总结
(全面版)等差数列的应用举例和实际问题总结等差数列是数学中常见且重要的数列之一。
它在实际生活和各个领域中有着广泛的应用。
本文将通过举例和问题总结，介绍等差数列在实际中的应用。
1. 等差数列的应用举例1.1. 购物优惠某商场推出了一种特殊的购物优惠活动：购买第一个商品60% off，第二个商品50% off，第三个商品40% off，以此类推。
假设小明购买了5个商品，依次为 A、B、C、D、E。
A 商品原价为100元。
我们可以通过等差数列来计算小明购买这5个商品的总价格。
设第 n 个商品的价格为 An，其中 n 表示商品的顺序。
已知 A1 = 100，公差 d = -10%（每个商品的折扣比例递减10%）。
则 An 可以表示为 An = A1 + (n-1)d。
我们将这个等差数列列出来：A1 = 100A2 = 100 + (2-1)(-10) = 90A3 = 100 + (3-1)(-10) = 80A4 = 100 + (4-1)(-10) = 70A5 = 100 + (5-1)(-10) = 60小明购买的5个商品的总价格为 100 + 90 + 80 + 70 + 60 = 400 元。
1.2. 运动训练假设一个人每天进行跑步训练，每天的距离比上一天增加相同的固定值。
设这个人第一天跑了1公里，而第n（n>1）天跑的距离为An。
假设固定增加的距离为d = 0.5公里。
我们可以通过等差数列来计算这个人连续7天的训练距离。
A1 = 1A2 = 1 + (2-1)(0.5) = 1.5A3 = 1 + (3-1)(0.5) = 2A4 = 1 + (4-1)(0.5) = 2.5A5 = 1 + (5-1)(0.5) = 3A6 = 1 + (6-1)(0.5) = 3.5A7 = 1 + (7-1)(0.5) = 4这个人连续7天的训练距离分别为 1公里，1.5公里，2公里，2.5公里，3公里，3.5公里和4公里。
《数列在日常经济生活中的应用》
100×12 + 0.5×12×13×0.165%×100
= 1212.87（元 ） 答：他可取出1212.87元。
一般地,设每月月初存入银行金额A,连存 n 次,每月的利率 都是 p , 那么到第 n 个月月末
本金共有：
各月的利息是
___ 差 数 列
期 次
1 2 …
0.36% 则日利率： 0.001% 360
计息公式：利息=本金×存期×日利率
整存整取定期储蓄
这是指一次存入本金,完成约定存期后一次取出本金 及其利息的一种储蓄。中国邮政银行在近期内规定的这 种储蓄的年利率如下.
存
期
1年
2.25
2年
2.79
3年
3.33
5年
3.6
年利率(%)
计息公式：利息=本金×存期×年利率
整存整取 年利率
分期储蓄
这是指一种分期存入相同金额一次取出的 储蓄方式（即零存整取的储蓄）。现在的 分期储蓄通常指按月存入相同金额。
-----------------------------------------------------------------
例1、某人从一月起，每月第一天存入银行 100元，到12月最后一天取出全部本金及其利 息。已知月利率是0.165%，他可取得多少钱? 解：实际取出 ：
数 列 在日常经济生活中的应用
储 蓄 问 题
计息公式：利息=本金×存期×利率
月利率=年利率/12 日利率=年利率/360
本 利 和= 本 金 + 利 息
活期储蓄
这是指存期不定,可以随时存取的一种储蓄。计息时, 按日利率算存期为天数（一年按360天，一个月按30天 计算）。 若活期年利率：0.36 %
斐波那契数列生活现象
斐波那契数列生活现象
斐波那契数列是一个非常有趣的数学问题，它不仅仅只是存在于纯数学的领域中，它也在我们的生活中存在着许多实际应用。
1.植物的分枝。
斐波那契数列在植物的生长和分枝中也有着重要的作用。
在植物的分枝中，很多植物都能够发现斐波那契数列的规律。
植物的分枝规律一般是在每个枝节上，会形成两个新的枝条，这两个新的枝条的长度比例大致为黄金比例1：0.618。
2.建筑设计。
建筑设计也是斐波那契数列的运用领域之一。
建筑师经常利用黄金比例来设计建筑物的比例和外观，以达到美的效果。
同样，在建筑设计中常常使用的一些比例，例如长宽比例和高度宽度比例等都和斐波那契数列有关。
3.金融投资。
斐波那契数列在金融投资中也有着广泛的应用。
斐波那契数列可以用来预测股市和外汇市场的走势。
投资者可以利用斐波那契数列根据市场波动情况来判断股市和外汇市场的趋势，从而做出最优的投资决策。
4.生活美学。
生活中的美学也可以应用斐波那契数列。
人们在日常生活中常常会遇到一些美的事物，例如画作、音乐、雕塑等。
这些事物通常都具有某种斐波那契数列的特点，它们的尺寸、比例和形状都符合黄金比例。
因此，人们对这些事物也会有着一种美好的感觉。
总之，斐波那契数列在我们的日常生活中存在着许多实际应用，我们不仅可以在数学领域中发现它的规律，也能够在生活中找到它的身影。
求“数列在生活中的应用”的论文
求“数列在生活中的应用”的论文数列在生活中的应用在实际生活和经济活动中，很多问题都与数列密切相关。
如分期付款、个人投资理财以及人口问题、资源问题等都可运用所学数列知识进行分析，从而予以解决。
与此同时,数列在艺术创作上也有突出的作用!数学家华罗庚曾经说过：宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，日用之繁，无处不用数学。
这是对数学与生活关系的精彩描述。
首先,我重点分析等差数列、等比数列在实际生活和经济活动中的应用。
（一）按揭货款中的数列问题随着中央推行积极的财政政策，购置房地产按揭货款（公积金贷款）制度的推出，极大地刺激了人们的消费欲望，扩大了内需，有效地拉动了经济增长。
众所周知，按揭货款（公积金贷款）中都实行按月等额还本付息。
这个等额数是如何得来的，此外若干月后，还应归还银行多少本金，这些人们往往很难做到心中有数。
下面就来寻求这一问题的解决办法。
若贷款数额a0元,贷款月利率为p,还款方式每月等额还本付息a元.设第n月还款后的本金为an,那么有:a1=a0(1+p)-a,a2=a1(1+p)-a,a3=a2(1+p)-a,......an+1=an(1+p)-a,.........................(*)将（*）变形，得（an+1-a/p）/（an-a/p）=1+p.由此可见，{an-a/p}是一个以a1-a/p为首项，1+p为公比的等比数列。
日常生活中一切有关按揭货款的问题，均可根据此式计算。
（二）有关数列的其他经济应用问题数列知识除在个人投资理财方面有较为广泛的应用外，在企业经营管理上也是不可或缺的。
一定做过大量的应用题吧！虽然这些应用题是从实际生活中抽象出的略高于生活的问题，但他们是数学习题中最能反映数学知识与实际生活密切关系的一类问题。
因此，解答应用问题有助于我们对数学在日常生活中广泛应用的理解和认识。
(三)数列在艺术中的广泛应用把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比。
新教材2023版高中数学北师大版选择性必修第二册：数列在日常经济生活中的应用课件
新知初探·课前预习
题型探究·课堂解透
新知初探·课前预习
[教材要点] 要点一 三种常见的应用模型 (1)零存整取：每月定时收入一笔相同数目的现金，这是零存；到约 定日期，可以取出全部__本__利_和___，这是整取，规定每次存入的钱不计 复利(暂不考虑利息税)． (2)定期自动转存：银行有另一种储蓄业务为定期存款自动转存．例 如，储户某日存入一笔1年期定期存款，1年后，如果储户不取出本利 和，则银行按存款到期时的1年定期存款利率自动办理转存业务，第2 年的本金就是第1年的_本__利__和___． (3)分期付款：分期付款是购物的一种付款方式．即将所购物的款数
[基础自测] 1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)银行储蓄中，本金与月利率均相同，存期1年，则使用复利计算 应大于使用单利计算所得的本利和．( √ ) (2)某工厂生产总值连续两年的年平均增长率依次为p%，q%，则这
两年的平均增长率是 1 + p% 1 + q% －1.( √ )
3．某产品计划每年成本降低q%，若三年后成本为a元，则现在的成
本是( )
A．a(1＋q%)3
B．a(1－q%)3
C．
a 1−q%
3
D．
a 1+q%
3
答案：C
解析：设现在的成本为x元，则有x(1－q%)3＝a.
∴x＝
a 1−q%
3.故选C.
4．李明存入5万元定期存款，存期1年，年利率为2.25%，那么10年 后共得本息和为__6_._2_46___万元．(精确到0.001)
解析：10年后的本息：a10＝5×(1＋0.022 5)10≈6.246(万元)．
题型探究·课堂解透
如何利用数列求解实际问题
如何利用数列求解实际问题在数学中，数列是一组按照特定规律排列的数。
而利用数列求解实际问题是数学中的一个重要应用领域。
本文将介绍如何利用数列的方法来解决实际问题。
一、斐波那契数列在兔子繁殖问题中的应用斐波那契数列是一个经典的数列，其规律是每个数字都是前两个数字的和。
在实际问题中，斐波那契数列的应用在兔子繁殖问题中十分常见。
兔子繁殖问题是这样一个假设：一对刚出生的兔子在一个月后就可以成熟并开始繁殖，每对成年兔子每个月可以繁殖一对小兔子。
如果一开始只有一对刚出生的兔子，请问经过n个月后，会有多少对兔子？我们可以利用斐波那契数列来解决这个问题。
假设f(n)表示经过n个月后的兔子对数，显然有f(0)=1，f(1)=1。
根据斐波那契数列的规律，我们可以得到递推关系式：f(n)=f(n-1)+f(n-2)。
利用递推关系式，我们可以依次计算出f(2)、f(3)、f(4)等等的值，直到计算到f(n)。
这样就可以得到经过n个月后的兔子对数。
二、等差数列在数学建模中的应用等差数列是指一个数列中的每个数与它的前一个数之差都相等的数列。
在数学建模中，等差数列常常用来描述连续变量之间的变化规律。
例如，在城市的人口统计中，我们经常可以观察到年龄与人数之间存在一种规律。
假设某城市0岁婴儿的数量为a，每增加一个年龄段，婴儿的数量都会增加一个固定值d。
那么，通过观察可以发现，婴儿的数量随年龄的增长呈现出等差数列的规律。
利用等差数列的性质，我们可以通过已知的数据来预测未来的结果。
例如，如果知道某个城市的0岁婴儿数量为1000人，每增加1岁婴儿的数量增加100人，那么我们可以计算出在未来10年，该城市0-10岁年龄段的人口数量。
三、等比数列在财务管理中的应用等比数列是指一个数列中的每个数与它的前一个数之比都相等的数列。
在财务管理中，等比数列经常被用来描述利润的变化规律。
假设某公司今年的利润为P，而公司每年的利润增长率为r（r>1）。
等比数列应用等比数列解决实际问题
等比数列应用等比数列解决实际问题等比数列是指一个数列中的每一项与它的前一项的比值都相等的数列。
在实际生活中，等比数列的应用非常广泛，可以用于解决各种实际问题。
本文将探讨等比数列在解决实际问题中的应用。
一、人口增长问题人口增长常常可以用等比数列来描述。
假设某城市的人口从初始值为A开始，每年增长的比例为r，那么该城市的人口变化可以用等比数列来表示。
具体计算方法如下：年份：0 1 2 3 ...人口：A Ar Ar^2 Ar^3 ...其中，Ar^n表示第n年的人口。
通过等比数列的求和公式，我们可以得到该城市在第n年的总人口数。
这个结果对于人口规划和城市规划非常有用。
二、投资收益问题等比数列也可以用于描述投资收益的增长。
假设某人将初始金额P 投资到某个项目中，每年的收益率为r，那么他在每年的收益可以用等比数列来表示。
具体计算方法如下：年份：0 1 2 3 ...收益：P Pr Pr^2 Pr^3 ...其中，Pr^n表示第n年的收益。
通过等比数列的求和公式，我们可以得到该投资在第n年的总收益数。
这个结果对于投资者来说非常重要，可以帮助他们做出更好的投资决策。
三、物体的衰减问题某些物体随着时间的推移可能会发生衰减，而衰减的速度常常可以用等比数列来描述。
假设某物体的初始质量为M，每年衰减的比例为r，那么该物体的质量变化可以用等比数列来表示。
具体计算方法如下：年份：0 1 2 3 ...质量：M Mr Mr^2 Mr^3 ...其中，Mr^n表示第n年的质量。
通过等比数列的求和公式，我们可以得到该物体在第n年的总质量。
这个结果对于研究物体衰减规律和保护环境非常有意义。
综上所述，等比数列在解决实际问题中有着广泛的应用。
无论是人口增长、投资收益还是物体衰减，等比数列都能为我们提供有用的信息，帮助我们更好地理解和处理各种实际情况。
因此，在解决实际问题时，我们可以充分利用等比数列的特性和求和公式，来提高问题的分析和解决效率。