备战2019年高考数学大一轮复习 热点聚焦与扩展 专题46 直线与圆、圆与圆的位置关系
2019届高考数学一轮复习考点回顾(12)直线与圆、圆与圆的位置关系
考点回顾（12）直线与圆、圆与圆的位置关系一、选择题1.(2016·山东高考)已知圆M:x2+y2-2ay=0(a>0)截直线x+y=0所得线段的长度是2,则圆M与圆N:(x-1)2+(y-1)2=1的位置关系是( )A.内切B.相交C.外切D.相离【解析】选 B.圆M:x2+y2-2ay=0(a>0)可化为:x2+=a2,由题意,d=,所以有,a2=+2,解得a=2.所以圆M:x2+=22,圆心距=,半径和=3,半径差=1,所以二者相交.2.(2018·桂林模拟)已知圆C1:(x+1)2+(y-1)2=1,圆C2与圆C1关于直线x-y-1=0对称,则圆C2的方程为( )A.(x+2)2+(y-2)2=1B.(x-2)2+(y+2)2=1C.(x+2)2+(y+2)2=1D.(x-2)2+(y-2)2=1【解析】选B.圆C1:(x+1)2+(y-1)2=1的圆心坐标为(-1,1),关于直线x-y-1=0对称的圆心坐标为(2,-2),所求的圆C2的方程为(x-2)2+(y+2)2=1.3.过点P(3,1)作圆C:(x-1)2+y2=1的两条切线,切点分别为A,B,则直线AB的方程为( )A.2x+y-3=0B.2x-y-3=0C.4x-y-3=0D.4x+y-3=0【解析】选A.如图,圆心坐标为C(1,0),易知A(1,1).又k AB·k PC=-1,且k PC==,所以k AB=-2.故直线AB的方程为y-1=-2(x-1),即2x+y-3=0.4.(2018·朝阳模拟)已知过定点P(2,0)的直线l与曲线y=相交于A,B两点,O 为坐标原点,当△AOB的面积最大时,直线l的倾斜角为( ) A.150° B.135° C.120° D.30°【解析】选 A.曲线y=为圆x2+y2=2的上半圆,由题意可得△AOB的面积S=|OA|·|OB|sin∠AOB=××sin∠AOB=sin∠AOB,当sin∠AOB=1即∠AOB=90°时,△AOB的面积取到最大值,此时在Rt△AOB中易得O到直线l的距离OD=1,在Rt△POD中,易得sin∠OPD==,可得∠OPD=30°,所以直线l的倾斜角为150°.5.已知圆心(a,b)(a>0,b<0)在直线y=-2x+1上的圆,其圆心到x轴的距离恰好等于圆的半径,在y轴上截得的弦长为2,则圆的方程为( )A.(x-3)2+(y+5)2=25B.(x-2)2+(y+3)2=9C.(x-1)2+(y+1)2=1D.+=【解析】选B.设圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2.则由题知解得所以圆的方程为(x-2)2+(y+3)2=9. 6．已知圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为( )A．6－2 2 B．52－4C.17－1D.17解析：圆C1关于x轴对称的圆C1′的圆心为C1′(2，－3)，半径不变，圆C2的圆心为(3,4)，半径r＝3，|PM|＋|PN|的最小值为圆C1′和圆C2的圆心距减去两圆的半径，所以|PM|＋|PN|的最小值为3－22＋4＋32－1－3＝52－4.故选B.答案：B7．(2018·河北省定兴三中月考)圆O：x2＋y2＝50与圆x2＋y2－12x－6y＋40＝0的公共弦长为( )A. 5B. 6 C．2 5 D．2 6[解析] 由题意得，两圆公共弦所在直线的方程为2x＋y－15＝0.又圆心O(0,0)到公共弦所在直线2x＋y－15＝0的距离为|－15|22＋12＝35，则两圆的公共弦长为250－352＝2 5.故选C.[答案] C8．(2017·宁夏银川九中五模)直线l：kx＋y＋4＝0(k∈R)是圆C：x2＋y2＋4x－4y＋6＝0的一条对称轴，过点A(0，k)作斜率为1的直线m，则直线m被圆C所截得的弦长为( )A.22B. 2C. 6 D．2 6[解析] 圆C ：x 2＋y 2＋4x －4y ＋6＝0，即(x ＋2)2＋(y －2)2＝2，表示以C (－2,2)为圆心，2为半径的圆．由题意可得，直线l ：kx ＋y ＋4＝0经过圆心C (－2,2)，所以－2k ＋2＋4＝0，解得k ＝3，所以点A (0,3)，故直线m 的方程为y ＝x ＋3，即x －y ＋3＝0，则圆心C 到直线m 的距离d ＝|－2－2＋3|2＝12，所以直线m 被圆C 所截得的弦长为22－12＝ 6.故选C.[答案] C9．已知⊙M 的圆心在抛物线 x 2＝4y 上，且⊙M 与y 轴及抛物线的准线都相切，则⊙M 的方程是( )A ．x 2＋y 2±4x －2y ＋1＝0 B ．x 2＋y 2±4x －2y －1＝0 C ．x 2＋y 2±4x －2y ＋4＝0 D ．x 2＋y 2±4x －2y －4＝0解析：抛物线x 2＝4y 的准线为y ＝－1，设圆心M 的坐标为(x 0，y 0)(y 0>0)，则|x 0|＝y 0＋1，又x 20＝4y 0，所以联立{ |x 0|＝y 0＋1，x 20＝4y 0，解得{ x 0＝±2，y 0＝1，因此圆M 的方程为(x ±2)2＋(y －1)2＝22，展开整理得x 2＋y 2±4x －2y ＋1＝0，故选A. 答案：A10．已知圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a >0)截直线x ＋y ＝0所得线段的长度是22，则圆M 与圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的位置关系是( ) A ．内切 B ．相交 C ．外切D ．相离解析：由题知圆M ：x 2＋(y －a )2＝a 2，圆心(0，a )到直线x ＋y ＝0的距离d ＝a2，所以2 a 2－a 22＝22，解得a ＝2.圆M ，圆N 的圆心距|MN |＝2，两圆半径之差为1，故两圆相交． 答案：B 二 填空题11.(2018·宁德模拟)若直线2x+y+m=0过圆x 2+y 2-2x+4y=0的圆心,则m 的值为________. 【解析】圆x 2+y 2-2x+4y=0的圆心为C(1,-2), 因为直线2x+y+m=0过圆x 2+y 2-2x+4y=0的圆心, 所以圆心C(1,-2)在直线2x+y+m=0上, 所以2×1-2+m=0,解得m=0.答案:012.(2018·大连模拟)若☉O:x 2+y 2=5与☉O 1:(x-m)2+y 2=20(m ∈R)相交于A,B 两点,且两圆在点A 处的切线互相垂直,则线段AB 的长度是________.【解析】由题意☉O 1与☉O 在A 处的切线互相垂直,则两切线分别过另一圆的圆心,所以O 1A ⊥OA.又因为|OA|=,|O 1A|=2,所以|OO 1|=5.又A,B 关于OO 1对称, 所以AB 为Rt △OAO 1斜边上的高的2倍.所以|AB|=2×=4.答案:413．(2017·江苏四市联考)在平面直角坐标系xOy 中，过点M (1,0)的直线l 与圆x 2＋y 2＝5交于A ，B 两点，其中点A 在第一象限，且BM →＝2MA →，则直线l 的方程为____________________．[解析] 解法一：由题意，设直线l 的方程为x ＝my ＋1(m ≠0)，与x 2＋y 2＝5联立，消去x 并整理可得(m 2＋1)y 2＋2my －4＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则BM →＝(1－x 2，－y 2)，MA →＝(x 1－1，y 1)，y 1＋y 2＝－2mm 2＋1，① y 1y 2＝－4m 2＋1.②因为BM →＝2MA →，所以－y 2＝2y 1，③联立①②③，可得m 2＝1，又点A 在第一象限，所以y 1>0，则m ＝1，所以直线l 的方程为x －y －1＝0.解法二：由题意，设直线l 的方程为x ＝my ＋1(m ≠0)，即x －my －1＝0，所以圆心O到直线l 的距离d ＝11＋m2.又BM →＝2MA →，且|OM |＝1，圆x 2＋y 2＝5的半径r ＝5，所以r 2－d 2＋|OM |2－d 2＝2(r 2－d 2－|OM |2－d 2)，即3|OM |2－d 2＝r 2－d 2， 所以9⎝ ⎛⎭⎪⎫1－11＋m 2＝5－11＋m 2，解得m 2＝1，又点A 在第一象限，所以m ＝1，故直线l 的方程为x －y －1＝0. [答案] x －y －1＝014.(2017·江苏南京三模)在平面直角坐标系xOy 中，圆O ：x 2＋y 2＝1，圆M ：(x ＋a ＋3)2＋(y －2a )2＝1(a 为实数)．若圆O 和圆M 上分别存在点P ，Q ，使得∠OQP ＝30°，则a 的取值范围为________．[解析] 由题意知，圆心M (－a －3,2a )．因为圆O 和圆M 上分别存在点P ，Q ，使得∠OQP ＝30°，易知当Q 为线段OM 与圆M 的交点，PQ 与圆O 相切于点P 时，∠OQP 最大，且|OP |＝1，所以|OM |＝|OQ |＋|MQ |≤3，所以(a ＋3)2＋4a 2≤9，解得－65≤a ≤0.[答案] ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－65，0 15.(2018·郑州模拟)已知过点A(0,1)且斜率为k 的直线l 与圆C:(x-2)2+(y-3)2=1交于M,N 两点.(1)求k 的取值范围. (2)若·=12,其中O 为坐标原点,求|MN|.【解析】(1)由题设,可知直线l 的方程为y=kx+1. 因为直线l 与圆C 交于两点,所以<1.解得<k<.所以k 的取值范围为.(2)设M(x 1,y 1),N(x 2,y 2).将y=kx+1代入圆C 的方程(x-2)2+(y-3)2=1,整理得(1+k 2)x 2-4(1+k)x+7=0.所以x1+x2=,x1x2=.·=x1x2+y1y2=(1+k2)x1x2+k(x1+x2)+1=+8.由题设可得+8=12,解得k=1,所以l的方程为y=x+1.故圆C的圆心(2,3)在l 上,所以|MN|=2.。
2019版高考数学理一轮讲义：第49讲 直线与圆、圆与圆的位置关系 含答案 精品
第49讲 直线与圆、圆与圆的位置关系1．直线与圆的位置关系(1)三种位置关系：__相交__、__相切__、__相离__． (2)两种研究方法(3)圆的切线方程的常用结论①过圆x 2＋y 2＝r 2上一点P (x 0，y 0)的圆的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2.②过圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2上一点P (x 0，y 0)的圆的切线方程为(x 0－a )(x －a )＋(y 0－b )(y －b )＝r 2.③过圆x 2＋y 2＝r 2外一点M (x 0，y 0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2.2．圆与圆的位置关系设圆O 1：(x －a 1)2＋(y －b 1)2＝r 21(r 1＞0)， 圆O 2：(x －a 2)2＋(y －b2)2＝r 22(r 2＞0).1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”)．(1)如果直线与圆组成的方程组有解，则直线与圆相交或相切．( √ ) (2)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切．( × ) (3)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交．( × )(4)从两圆的方程中消掉二次项后所得的方程为公共弦所在直线方程．( × ) (5)过圆O ：x 2＋y 2＝r 2外一点P (x 0，y 0)作圆的两条切线，切点为A ，B ，则O ，P ，A ，B 四点共圆且直线AB 的方程是x 0x ＋y 0y ＝r 2.( √ )解析 (1)正确．直线与圆组成的方程组有一组解时，直线与圆相切，有两组解时，直线与圆相交．(2)错误．因为除外切外，还可能内切．(3)错误．因为除小于两半径和还需大于两半径差的绝对值，否则可能内切或内含． (4)错误．只有当两圆相交时，方程才是公共弦所在的直线方程． (5)正确．由已知可得O ，P ，A ，B 四点共圆， 其方程为⎝⎛⎭⎫x －x 022＋⎝⎛⎭⎫y －y 022＝⎝⎛⎭⎫x 022＋⎝⎛⎭⎫y 022， 即x 2＋y 2－x 0x －y 0y ＝0，① 又圆O 方程为x 2＋y 2＝r 2，② ②－①得x 0x ＋y 0y ＝r 2， 而两圆相交于A ，B 两点， 故直线AB 的方程是x 0x ＋y 0y ＝r 2.2．圆(x －1)2＋(y ＋2)2＝6与直线2x ＋y －5＝0的位置关系是( B ) A ．相切B ．相交但直线不过圆心C ．相交且直线过圆心D ．相离解析 由题意知圆心(1，－2)到直线2x ＋y －5＝0的距离d ＝|2×1－2－5|22＋1＝5<6，且2×1＋(－2)－5≠0，因此该直线与圆相交但不过圆心．3．圆O 1：x 2＋y 2－2x ＝0和圆O 2：x 2＋y 2－4y ＝0的位置关系是 ( B ) A ．相离 B ．相交 C ．外切D ．内切解析圆O1的圆心为(1,0)，半径r1＝1，圆O2的圆心为(0,2)，半径r2＝2，故两圆的圆心距|O1O2|＝5，而r2－r1＝1，r1＋r2＝3，则有r2－r1<|O1O2|<r1＋r2，故两圆相交．4．圆x2＋y2－4x＝0在点P(1，3)处的切线方程为(D)A．x＋3y－2＝0B．x＋3y－4＝0C．x－3y＋4＝0D．x－3y＋2＝0解析圆的方程为(x－2)2＋y2＝4，圆心坐标为(2,0)，半径为2，点P在圆上，设切线方程为y－3＝k(x－1)，即kx－y－k＋3＝0，∴|2k－k＋3|k2＋1＝2，解得k＝33.∴切线方程为y－3＝33(x－1)，即x－3y＋2＝0.5．直线x－2y＋5＝0与圆x2＋y2＝8相交于A，B两点，则||AB＝23.解析如图，取AB中点C，连接OC，OA，则OC⊥AB，|OA|＝22，|OC|＝|0－2×0＋5|12＋(－2)2＝5，∴|AC|＝8－5＝3，∴|AB|＝2|AC|＝2 3.一直线与圆的位置关系判断直线与圆的位置关系时，通常利用圆心到直线的距离，注意求距离时直线方程必须化成一般式．【例1】(1)直线l：mx－y＋1－m＝0与圆C：x2＋(y－1)2＝5的位置关系是(A) A．相交B．相切C．相离D．不确定(2)若直线y＝x＋b与曲线x＝1－y2恰有一个公共点，则b的取值范围是(D)A．b∈(－1,1]B．b＝－ 2C ．b ＝±2D ．b ∈(－1,1]或b ＝－ 2解析 (1)由题意知，圆心(0,1)到直线l 的距离 d ＝|m |m 2＋1<1<5，故直线l 与圆相交．(2)由x ＝1－y 2知，曲线表示半圆(如图所示)，当－1<b ≤1时，直线y ＝x ＋b 与半圆有一个公共点；当直线与半圆相切时，也与半圆只有一个公共点，此时|b |2＝1(b <－1)，解得b ＝－ 2.二 弦长问题求直线被圆所截得的弦长时，通常考虑弦心距、垂线段作为直角边的直角三角形，利用勾股定理来解决问题．【例2】 已知过点A (0,1)且斜率为k 的直线l 与圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1交于M ，N 两点．(1)求k 的取值范围；(2)若OM →·ON →＝12，其中O 为坐标原点，求||MN . 解析 (1)由题设可知直线l 的方程为y ＝kx ＋1. 因为直线l 与圆C 交于两点，所以|2k －3＋1|1＋k 2<1，解得4－73<k <4＋73，所以k 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫4－73，4＋73.(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．将y ＝kx ＋1代入方程(x －2)2＋(y －3)2＝1， 整理得(1＋k 2)x 2 －4(1＋k )x ＋7＝0. 所以x 1＋x 2＝4(1＋k )1＋k 2，x 1x 2＝71＋k 2. OM →·ON →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1＝4k (1＋k )1＋k 2＋8.由题设得4k (1＋k )1＋k 2＋8＝12，解得k ＝1，所以直线l 的方程为y ＝x ＋1.故圆心C 在直线l 上，所以|MN |＝2.三 圆的切线问题求圆的切线方程应注意的问题求过某点的圆的切线问题时，应首先确定点与圆的位置关系，再求切线方程．若点在圆上(即为切点)，则过该点的切线只有一条；若点在圆外，则过该点的切线有两条，此时应注意斜率不存在的切线．【例3】 已知点P (2＋1,2－2)，点M (3,1)，圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝4. (1)求过点P 的圆C 切线方程；(2)求过点M 的圆C 的切线方程，并求出切线长． 解析 由题意得圆心C (1,2)，半径r ＝2.(1)∵(2＋1－1)2＋(2－2－2)2＝4，∴点P 在圆C 上． 又k PC ＝2－2－22＋1－1＝－1，∴切线的斜率k ＝－1k PC ＝1.∴过点P 的圆C 的切线方程是y －(2－2)＝1×[x －(2＋1)]，即x －y ＋1－22＝0. (2)∵(3－1)2＋(1－2)2＝5>4，∴点M 在圆C 外部．当过点M 的直线斜率不存在时，直线方程为x ＝3，即x －3＝0. 又点C (1,2)到直线x －3＝0的距离d ＝3－1＝2＝r ，即此时满足题意， ∴直线x ＝3是圆的切线．当切线的斜率存在时，设切线方程为y －1＝k (x －3)， 即kx －y ＋1－3k ＝0，则圆心C 到切线的距离d ＝|k －2＋1－3k |k 2＋1＝r ＝2，解得k ＝34.∴切线方程为y －1＝34(x －3)，即3x －4y －5＝0.综上可得，过点M 的圆C 的切线方程为x －3＝0或3x －4y －5＝0. ∵|MC |＝(3－1)2＋(1－2)2＝5，∴过点M 的圆C 的切线长为|MC |2－r 2＝5－4＝1.四 圆与圆的位置关系(1)处理两圆的位置关系多用圆心距与半径和或差的关系判断，一般不采用代数法． (2)若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差得到． 【例4】 已知圆C 1：(x －a )2＋(y ＋2)2＝4与圆C 2：(x ＋b )2＋(y ＋2)2＝1.(1)若圆C 1与圆C 2外切，求ab 的最大值； (2)若圆C 1与圆C 2内切，求ab 的最大值；(3)若圆C 1与圆C 2相交，求公共弦所在的直线方程；(4)若圆C 1与圆C 2有四条公切线，试判断直线x ＋y －1＝0与圆(x －a )2＋(y －b )2＝1的位置关系．解析 (1)由圆C 1与圆C 2相外切，可得(a ＋b )2＋(－2＋2)2＝2＋1＝3，即(a ＋b )2＝9，根据基本不等式可知ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22＝94，当且仅当a ＝b 时等号成立，ab 的最大值为94.(2)由C 1与C 2内切得(a ＋b )2＋(－2＋2)2＝1， 即(a ＋b )2＝1，又ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22＝14，当且仅当a ＝b 时等号成立，可知ab 的最大值为14.(3)由题意得，把圆C 1，圆C 2的方程都化为一般方程． 圆C 1：x 2＋y 2－2ax ＋4y ＋a 2＝0，① 圆C 2：x 2＋y 2＋2bx ＋4y ＋b 2＋3＝0，② 由②－①，得(2a ＋2b )x ＋3＋b 2－a 2＝0，即(2a ＋2b )x ＋3＋b 2－a 2＝0为所求公共弦所在的直线方程． (4)由两圆存在四条切线，可知两圆外离， 故(a ＋b )2＋(－2＋2)2>3.∴(a ＋b )2>9，即a ＋b >3或a ＋b <－3.又圆心(a ，b )到直线x ＋y －1＝0的距离d ＝|a ＋b －1|2>1，∴直线x ＋y －1＝0与圆(x －a )2＋(y －b )2＝1相离．1．(2018·广东揭阳一模)已知直线x ＋y －k ＝0(k >0)与x 2＋y 2＝4交于不同的两点A ，B ，O 为坐标原点，且|OA →＋OB →|≥33|AB →|，则k 的取值范围是( B )A ．(3，＋∞)B ．[2，22)C ．[2，＋∞)D ．[3，22)解析 由已知得圆心到直线的距离小于半径，即|k |2，又k >0，故0<k <2 2.① 如图，取AB 的中点为M ，则由|OA →＋OB →|≥33|AB →|得2|OM →|≥33|2M B →|， 即|OM →|≥33|BM →|，即∠MBO ≥π6，因为|OB |＝2，|OM ||OB |＝sin ∠MBO ≥sin π6＝12，所以|OM |≥1，即|k |2≥1，所以k ≥ 2.② 综合①②得，2≤k <22，故选B ．2．若直线x －y ＝2被圆(x －1)2＋(y ＋a )2＝4所截得的弦长为22，则实数a 的值为 ( D )A ．－2或6B ．0或4C ．－1或3D ．－1或3解析 圆心坐标为(1，－a )，弦长为22，∴圆心到直线x －y －2＝0的距离为d ＝4－2＝2，即2＝|1＋a －2|2，∴|a －1|＝2，∴a ＝－1或3，故选D ．3．若圆x 2＋y 2＝4与圆x 2＋y 2＋2ay －6＝0(a ＞0)的公共弦的长为23，则a ＝__1__. 解析 两圆的方程相减，得公共弦所在的直线方程为y ＝1a .又a >0，结合图象，再利用半径、弦长的一半及弦心距构成直角三角形，可知1a＝22－(3)2＝1⇒a ＝1.4．点P 在圆x 2＋y 2－8x －4y ＋11＝0上，点Q 在圆x 2＋y 2＋4x ＋2y －1＝0上，则||PQ 的最小值为 35－3－6 .解析 圆x 2＋y 2－8x －4y ＋11＝0的标准方程为(x －4)2＋(y －2)2＝9，圆x 2＋y 2＋4x ＋2y －1＝0的标准方程为(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝6.|PQ |min ＝两圆圆心距－R －r (R ，r 分别为两圆半径)， 圆心距d ＝(4＋2)2＋(2＋1)2＝35， ∴|PQ |min ＝35－3－ 6.易错点 缺乏转化思想致误错因分析：不能将问题等价转化为两圆的位置关系，而是根据题意设出直线方程，利用点到直线的距离公式建立等式，但因运算太复杂而无法求解．【例1】 在平面直角坐标系xOy 中，若与点A (2,2)的距离为1且与点B (m,0)的距离为3的直线恰有两条，则实数m 的取值范围为________．解析 因为与点A (2,2)的距离为1的直线都是以点A (2,2)为圆心，半径为1的圆的切线，与点B (m,0)的距离为3的直线都是以点B (m,0)为圆心，半径为3的圆的切线，所以与点A (2,2)的距离为1且与点B (m,0)的距离为3的直线恰有两条，即圆A 与B 有两条公切线，也即两圆相交，所以2＜||AB ＜4，解得2－23＜m ＜2或2＜m ＜2＋2 3.答案 (2－23，2)∪(2,2＋23)【跟踪训练1】 在平面直角坐标系xOy 中，以点(1,0)为圆心且与直线mx －y －2m －1＝0(m ∈R )相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为__(x －1)2＋y 2＝2__.解析 由mx －y －2m －1＝0可得m (x －2)＝y ＋1，易知该直线过定点(2，－1)，当圆与直线相切于点(2，－1)时，圆的半径最大，此时半径r 满足r 2＝(1－2)2＋(0＋1)2＝2，故所求圆的标准方程为(x －1)2＋y 2＝2.课时达标 第49讲[解密考纲]直线与圆的位置关系、切线、弦长问题是高考的热点，常以选择题、填空题的形式出现，有时也在解答题中出现．一、选择题1．(2016·全国卷Ⅱ)圆x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0的圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离为1，则a ＝( A )A ．－43B ．－34C ．3D ．2解析 由圆x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0，得圆心坐标为(1,4)，故圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离d ＝|a ＋4－1|a 2＋1＝1，解得a ＝－43.2．圆(x ＋2)2＋y 2＝4与圆(x －2)2＋(y －1)2＝9的位置关系为( B ) A ．内切 B ．相交 C ．外切D ．相离解析 两圆的圆心分别为(－2,0)，(2,1)，半径分别为r ＝2，R ＝3，两圆的圆心距为(－2－2)2＋(0－1)2＝17，则R －r <17<R ＋r ，所以两圆相交，故选B ．3．过点P (2,0)的直线l 被圆(x －2)2＋(y －3)2＝9截得的线段长为2时，直线l 的斜率为( A )A ．±24B ．±22C ．±1D ．±33解析 由题意，直线l 的斜率存在，设为k ，则直线l 的方程为y ＝k (x －2)，即kx －y －2k ＝0.由点到直线的距离公式，得圆心到直线l 的距离d ＝|2k －3－2k |k 2＋1＝3k 2＋1.由圆的性质可得d 2＋12＝r 2，即⎝⎛⎭⎪⎫3k 2＋12＋12＝9，解得k 2＝18，即k ＝±24.4．已知圆C ：(x －1)2＋(y －4)2＝10和点M (5，t )，若圆C 上存在两点A ，B ，使得AM ⊥MB ，则实数t 的取值范围为( C )A ．[－2.6]B ．[－3,5]C ．[2,6]D ．[3,5]解析 过M 作⊙C 的切线，两切点为E ，F ，当且仅当∠EMF ≥90°时，圆C 上才存在使MA ⊥MB 的两点A ，B ， 若∠EMF ＝90°，则四边形CEMF 是正方形，|MC |＝25， 即(5－1)2＋(t －4)2＝20，解得t ＝2或t ＝6，故2≤t ≤6.5．若直线l ：y ＝kx ＋1被圆C ：x 2＋y 2－2x －3＝0截得的弦最短，则直线l 的方程是( D ) A ．x ＝0 B ．y ＝1 C ．x ＋y －1＝0D ．x －y ＋1＝0解析 依题意，直线l ：y ＝kx ＋1过定点P (0,1)．圆C ：x 2＋y 2－2x －3＝0化为标准方程为(x －1)2＋y 2＝4，故圆心为C (1,0)，半径为r ＝2.易知定点P (0,1)在圆内，由圆的性质可知当PC ⊥l 时，直线l ：y ＝kx ＋1被圆C ：x 2＋y 2－2x －3＝0截得的弦最短．因为k PC ＝1－00－1＝－1，所以直线l 的斜率k ＝1，即直线l 的方程是x －y ＋1＝0.6．圆C 1：(x －2)2＋(y －3)2＝1，圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝9，M ，N 分别是圆C 1，C 2上的动点，P 为x 轴上的动点，则|PM |＋|PN |的最小值为( A )A ．52－4B ．17－1C ．6－22D ．17解析 设P (x,0)，设C 1(2,3)关于x 轴的对称点为C 1′(2，－3)，那么|PC 1|＋|PC 2|＝|PC 1′|＋|PC 2|≥|C 1′C 2|＝(2－3)2＋(－3－4)2＝5 2.而|PM |≥|PC 1|－1，|PN |≥|PC 2|－3，∴|PM |＋|PN |≥|PC 1|＋|PC 2|－4≥52－4.二、填空题7．若直线y ＝kx 与圆x 2＋y 2－4x ＋3＝0相切，则k 的值是__±3解析 因为直线y ＝kx 与圆x 2＋y 2－4x ＋3＝0相切，所以圆心(2,0)到直线的距离d ＝|2k |k 2＋1＝r ＝1，解得k ＝±33.8．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2＋y 2－4x ＝0.若直线y ＝k (x ＋1)上存在一点P ，使过点P 作圆C 的两条切线相互垂直，则实数k 的取值范围是解析 圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝4.“圆的两条切线相互垂直”转化为“点到圆心的距离不大于22”，故|3k |k 2＋1≤22， 解得－22≤k ≤2 2.9．(2016·全国卷Ⅲ)已知直线l ：x －3y ＋6＝0与圆x 2＋y 2＝ 12交于A ，B 两点，过A ，B 分别作l 的垂线与x 轴交于C ，D 两点，则||CD ＝__4__.解析 圆心(0,0)到直线x －3y ＋6＝0的距离d ＝61＋3＝3，|AB |＝212－32＝23，过C 作CE ⊥BD 于E ，因为直线l 的倾斜角为30°， 所以|CD |＝|CE |cos 30°＝|AB |cos 30°＝2332＝4.三、解答题10．已知圆C ：x 2＋y 2－8y ＋12＝0，直线l ：ax ＋y ＋2a ＝0. (1)当a 为何值时，直线l 与圆C 相切；(2)当直线l 与圆C 相交于A ，B 两点，且|AB |＝22时，求直线l 的方程． 解析 (1)由圆C 的标准方程为x 2＋(y －4)2＝4， 知圆C 的圆心为(0,4)，半径为2. 若直线l 与圆C 相切，则有|4＋2a |a 2＋1＝2，解得a ＝－34. (2)过圆心C 作CD ⊥AB ，则根据题意和圆的性质， 得⎩⎨⎧|CD |＝|4＋2a |a 2＋1，|CD |2＋|DA |2＝|AC |2＝22，|DA |＝12|AB |＝2，解得a ＝－7或a ＝－1.故所求直线方程为7x －y ＋14＝0或x －y ＋2＝0.11．已知一圆C 的圆心为(2，－1)，且该圆被直线l ：x －y －1＝0截得的弦长为22，求该圆的方程及过弦的两端点的切线方程．解析 设圆C 的方程为(x －2)2＋(y ＋1)2＝r 2(r >0)，∵圆心(2，－1)到直线x －y －1＝0的距离d ＝2，∴r 2＝d 2＋⎝⎛⎭⎫2222＝4，故圆C 的方程为(x －2)2＋(y ＋1)2＝4. 由⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1＝0，(x －2)2＋(y ＋1)2＝4，解得弦的两端点为(2,1)和(0，－1)． ∴过弦的两端点的圆的切线方程为y ＝1和x ＝0. 12．如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，平行于x 轴且过点A (33，2)的入射光线l 1被直线l ：y ＝33x 反射，反射光线l 2交y 轴于B 点，圆C 过点A 且与l 1，l 2都相切．(1)求l 2所在直线的方程和圆C 的方程；(2)设P ，Q 分别是直线l 和圆C 上的动点，求|PB |＋|PQ |的最小值及此时点P 的坐标． 解析 (1)易知直线l 1：y ＝2，设l 1交l 于点D ，则D (23，2)，因为直线l 的斜率为33， 所以l 的倾斜角为30°，所以l 2的倾斜角为60°，所以k 2＝3， 所以反射光线l 2所在的直线方程为y －2＝3(x －23)，即3x －y －4＝0.由题意，知圆C 与l 1切于点A ，设圆心C 的坐标为(a ，b )，因为圆心C 在过点D 且与l 垂直的直线上，所以b ＝－3a ＋8，①又圆心C 在过点A 且与l 1垂直的直线上，所以a ＝33，②由①②得a ＝33，b ＝－1，所以圆C 的半径r ＝3，故所求圆C 的方程为(x －33)2＋(y ＋1)2＝9.综上，l 2所在直线的方程为3x －y －4＝0，圆C 的方程为(x －33)2＋(y ＋1)2＝9.(2)设点B (0，－4)关于l 对称的点为B ′(x 0，y 0)，即y 0－42＝33·x 02，且y 0＋4x 0＝－3，解得x 0＝－23，y 0＝2，故B ′(－23，2)．由题意易知，当B ′，P ，Q 三点共线时，|PB |＋|PQ |最小， 故|PB |＋|PQ |的最小值为|B ′C |－3＝(－23－33)2＋(2＋1)2－3＝221－3，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＋12＋1＝x －33－23－33，y ＝33x ，得P ⎝⎛⎭⎫32，12， 故|PB |＋|PQ |的最小值为221－3，此时点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫32，12.。
直线与圆、圆与圆的位置关系(讲)-2019年高考数学(理)---精校解析 Word版
，圆心距为(特别地，，且倾斜角为相切于点，且，则的面积是B.【答案】半径分别为，直线的方程为.，直线与圆相切的问题，往往用这个结论解题届高三入学摸底】若过点的取值范围是（B D，若对任意与一定圆相切，【答案】【解析】取特殊值，三条直线分别为，这三条直线只与圆都相切，经验证，对任意，直线都与这个圆相切）及直线，当直线被时，则B. C. D.【解析】由题意，得，又因为，所以，且与圆，求【答案】，圆心到直线的距离为和圆两点，若，则D已知直线：与圆交于过的垂线与轴交于两点，则【解析】由，得，代入圆的方程，并整理，得，所以，所以．又直线的倾斜，由平面几何知识知在梯形中，．，（上存在点，使得，则正实数B. C. D..的值．【解析】将配方得：由于两圆相切，故或或.届高考适应性】已知圆截直线所得线段的长度是与圆的位置关系是，则圆心为圆心到直线的距离截直线所得线段的长度是，即则圆心为，半径的圆心为，半径届高考适应性】已知圆，点为直线引两条切线为切点，则直线经过定点C是圆是圆②得，过定点，故选上有且仅有两个点到直线的距离等于的距离为：的距离为当】已知点及圆的方程；两点，当时，求以线段为直径的圆或；的.，..，故圆心必在，所以，使得过点垂直平分弦在平面直角坐标系已知的最小值为（B. C. D.作圆的弦，其中最短的弦长为【答案】圆的圆心坐标为，点作圆的弦，过点垂足为点，则，且，当点与点重合时，大值，此时取最小值，且求过点的切线方程，半径为，当直线的斜率不存在时，过点的方程为到直线的距离知，此时，直线与圆相切；，即由题意知，所以方程为，即，.已知直线上总存在点，使得过点作的圆的两条切线互相垂直，则实数的取值范围是（或 C. D. 或。
2019高三数学人教A版理一轮课件：第8章 第4节 直线与
章
平面解析几何
直线与圆、圆与圆的位置关系
[考纲传真]
(教师用书独具)1.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的
位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系.2.能用直线和圆的方 程解决一些简单的问题.3.初步了解用代数方法处理几何问题的思想．
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双基自主测评 题型分类突破 课时分层训练
2 55 [圆心为(2，－1)，半径 r＝2. 5 |2＋2×－1－3| 3 5 圆心到直线的距离 d＝ ＝ ， 5 1＋4 所以弦长为 2 r －d ＝2
2 2
2
2
3 52 2 － 5 ＝
55 .] 5
(对应学生用书第 134 页)
直线与圆的位置关系
(1)(2017· 豫南九校联考)直线 l：mx－y＋1－m＝0 与圆 C：x2＋(y－ 1)2＝5 的位置关系是( A．相交 C．相离 ) B．相切 D．不确定
(2)(2017· 大连双基测试)圆 x2＋y2＝1 与直线 y＝kx＋2 没有公共点的充要条 件是________．
|m| (1)A (2)－ 3＜k＜ 3 [(1)法一：∵圆心(0,1)到直线 l 的距离 d＝ 2 m ＋1 <1< 5. 故直线 l 与圆相交． 法二：直线 l：mx－y＋1－m＝0 过定点(1,1)，∵点(1,1)在圆 C：x2＋(y－1)2 ＝5 的内部，∴直线 l 与圆 C 相交．
(2)法一：将直线方程代入圆方程，得(k2＋1)x2＋4kx＋3＝0，直线与圆没有 公共点的充要条件是 Δ＝16k2－12(k2＋1)＜0，解得－ 3＜k＜ 3. 2 法二：圆心(0,0)到直线 y＝kx＋2 的距离 d＝ 2 ，直线与圆没有公共点 k ＋1 的充要条件是 d＞1. 2 即 2 ＞1， k ＋1 解得－ 3＜k＜ 3.]
2019年高考数学一轮复习课时分层训练44直线与圆圆与圆的位置关系文北师大版
课时分层训练(四十四) 直线与圆、圆与圆的位置关系A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)一、选择题1．已知点M (a ，b )在圆O ：x 2＋y 2＝1外，则直线ax ＋by ＝1与圆O 的位置关系是( )A ．相切B ．相交C ．相离D ．不确定B [由题意知点在圆外，则a 2＋b 2>1，圆心到直线的距离d ＝1a 2＋b 2<1，故直线与圆相交．]2．已知圆x 2＋y 2＋2x －2y ＋a ＝0截直线x ＋y ＋2＝0所得弦的长度为4，则实数a 的值是( )【导学号：00090284】A ．－2B ．－4C ．－6D ．－8B [由x 2＋y 2＋2x －2y ＋a ＝0， 得(x ＋1)2＋(y －1)2＝2－a ，所以圆心坐标为(－1,1)，半径r ＝2－a ，圆心到直线x ＋y ＋2＝0的距离为|－1＋1＋2|2＝2，所以22＋(2)2＝2－a ，解得a ＝－4.]3．(2018²南昌模拟)若圆C 1：x 2＋y 2－2ax ＋a 2－9＝0(a ∈R )与圆C 2：x 2＋y 2＋2by ＋b 2－1＝0(b ∈R )内切，则ab 的最大值为( ) A ． 2 B ．2 C ．4D ．2 2B [圆C 1：x 2＋y 2－2ax ＋a 2－9＝0(a ∈R )． 化为(x －a )2＋y 2＝9，圆心坐标为(a,0)，半径为3.圆C 2：x 2＋y 2＋2by ＋b 2－1＝0(b ∈R )，化为x 2＋(y ＋b )2＝1，圆心坐标为(0，－b )，半径为1，∵圆C 1：x 2＋y 2－2ax ＋a 2－9＝0(a ∈R )与圆C 2：x 2＋y 2＋2by ＋b 2－1＝0(b ∈R )内切， ∴a 2＋b 2＝3－1，即a 2＋b 2＝4，ab ≤12(a 2＋b 2)＝2.∴ab 的最大值为2.]4．(2017²河北衡水中学三模)已知圆C ：(x －1)2＋y 2＝25，则过点P (2，－1)的圆C 的所有弦中，以最长弦和最短弦为对角线的四边形的面积是( ) A ．1013 B ．921 C ．1023D ．911C [易知最长弦为圆的直径10.又最短弦所在直线与最长弦垂直，且|PC |＝2，∴最短弦的长为2r 2－|PC |2＝225－2＝223.故所求四边形的面积S ＝12³10³223＝1023]．5．(2018²福州模拟)过点P (1，－2)作圆C ：(x －1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则AB 所在直线的方程为( ) A ．y ＝－34 B ．y ＝－12C ．y ＝－32D ．y ＝－14B [圆(x －1)2＋y 2＝1的圆心为(1,0)，半径为1，以|PC |＝ 1－1 2＋ －2－0 2＝2为直径的圆的方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝1，将两圆的方程相减得AB 所在直线的方程为2y ＋1＝0，即y ＝－12.故选B ．]二、填空题6．已知圆C 1：x 2＋y 2－6x －7＝0与圆C 2：x 2＋y 2－6y －27＝0相交于A ，B 两点，则线段AB 的中垂线方程为________________．x ＋y －3＝0 [∵圆C 1的圆心C 1(3,0)，圆C 2的圆心C 2(0,3)，∴直线C 1C 2的方程为x ＋y －3＝0，AB 的中垂线即直线C 1C 2，故其方程为x ＋y －3＝0.]7．若直线3x －4y ＋5＝0与圆x 2＋y 2＝r 2(r >0)相交于A ，B 两点，且∠AOB ＝120°(O 为坐标原点)，则r ＝__________.2 [如图，过点O 作OD ⊥AB 于点D ，则|OD |＝532＋ －42＝1.∵∠AOB ＝120°，OA ＝OB ， ∴∠OBD ＝30°，∴|OB |＝2|OD |＝2，即r ＝2.]8．(2017²安徽十校联考)已知圆C ：(x ＋2)2＋y 2＝4，直线l ：kx －y －2k ＝0(k ∈R )，若直线l 与圆C 恒有公共点，则实数k 的最小值是__________.【导学号：00090285】－33[圆心C (－2,0)，半径r ＝2. 又圆C 与直线l 恒有公共点．所以圆心C (－2,0)到直线l 的距离d ≤r . 因此|－2k －2k |k 2＋1≤2，解得－33≤k ≤33.所以实数k 的最小值为－33.] 三、解答题9．已知点A (1，a )，圆x 2＋y 2＝4.(1)若过点A 的圆的切线只有一条，求a 的值及切线方程；(2)若过点A 且在两坐标轴上截距相等的直线被圆截得的弦长为23，求a 的值． [解] (1)由于过点A 的圆的切线只有一条， 则点A 在圆上，故12＋a 2＝4，∴a ＝± 3.2分当a ＝3时，A (1，3)，易知所求切线方程为x ＋3y －4＝0； 当a ＝－3时，A (1，－3)，易知所求切线方程为x －3y －4＝0. 5分(2)设过点A 的直线方程为x ＋y ＝b ， 则1＋a ＝b ，即a ＝b －1，8分 又圆心(0,0)到直线x ＋y ＝b 的距离d ＝|b |2，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫|b |22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2322＝4，则b ＝± 2. 因此a ＝b －1＝±2－1.12分10．(2017²唐山模拟)已知定点M (0,2)，N (－2,0)，直线l ：kx －y －2k ＋2＝0(k 为常数)．(1)若点M ，N 到直线l 的距离相等，求实数k 的值；(2)对于l 上任意一点P ，∠MPN 恒为锐角，求实数k 的取值范围． [解] (1)∵点M ，N 到直线l 的距离相等， ∴l ∥MN 或l 过MN 的中点．∵M (0,2)，N (－2,0)，∴直线MN 的斜率k MN ＝1，MN 的中点坐标为C (－1,1). 3分又∵直线l ：kx －y －2k ＋2＝0过定点D (2,2)， ∴当l ∥MN 时，k ＝k MN ＝1； 当l 过MN 的中点时，k ＝k CD ＝13.综上可知，k 的值为1或13.6分(2)∵对于l 上任意一点P ，∠MPN 恒为锐角，∴l 与以MN 为直径的圆相离，即圆心(－1,1)到直线l 的距离大于半径，10分 ∴d ＝|－k －1－2k ＋2|k 2＋1>2，解得k <－17或k >1.12分B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)1．(2015²山东高考)一条光线从点(－2，－3)射出，经y 轴反射后与圆(x ＋3)2＋(y －2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为( ) A ．－53或－35B ．－32或－23C ．－54或－45D ．－43或－34D [由已知，得点(－2，－3)关于y 轴的对称点为(2，－3)，由入射光线与反射光线的对称性，知反射光线一定过点(2，－3)．设反射光线所在直线的斜率为k ，则反射光线所在直线的方程为y ＋3＝k (x －2)，即kx －y －2k －3＝0.由反射光线与圆相切，则有d ＝|－3k －2－2k －3|k 2＋1＝1，解得k ＝－43或k ＝－34，故选D ．] 2．(2017²济南质检)过点P (1，3)作圆x 2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则PA →²PB →＝__________.【导学号：00090286】32[如图所示，可知OA ⊥AP ，OB ⊥BP ，OP ＝1＋3＝2. 又OA ＝OB ＝1，可以求得AP ＝BP ＝3，∠APB ＝60°. 故PA →²PB →＝3³3³cos 60°＝32.]3．已知圆C 的方程为x 2＋(y －4)2＝4，点O 是坐标原点，直线l ：y ＝kx 与圆C 交于M ，N 两点．(1)求k 的取值范围；(2)直线l 能否将圆C 分割成弧长的比为13的两段弧？若能，求出直线l 的方程；若不能，请说明理由． [解] (1)将y ＝kx 代入圆C 的方程x 2＋(y －4)2＝4. 得(1＋k 2)x 2－8kx ＋12＝0. 2分∵直线l 与圆C 交于M ，N 两点，∴Δ＝(－8k )2－4³12(1＋k 2)>0，得k 2>3，(*) ∴k 的取值范围是(－∞，－3)∪(3，＋∞). 5分(2)假设直线l 将圆C 分割成弧长的比为13的两段弧，则劣弧MN 所对的圆心角∠MCN ＝90°，由圆C ：x 2＋(y －4)2＝4知圆心C (0,4)，半径r ＝2. 8分在Rt △MCN 中，可求弦心距d ＝r ²sin 45°＝2， 故圆心C (0,4)到直线kx －y ＝0的距离|0－4|1＋k2＝2，∴1＋k 2＝8，k ＝±7，经验证k ＝±7满足不等式(*)， 10分故l 的方程为y ＝±7x .因此，存在满足条件的直线l ，其方程为y ＝±7x .12分。
2019届高考数学一轮复习(文)【创新思维训练】-：第8章 第4节 直线与圆、圆与圆的位置关系
2019届高考数学一轮复习（文）【创新思维训练】A组基础对点练1．已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是( )A．相切B．相交C．相离D．不确定解析：由点M在圆外，得a2＋b2>1，∴圆心O到直线ax＋by＝1的距离d＝1a2＋b2<1＝r，则直线与圆O相交，选B.答案：B2．过点(－2,3)的直线l与圆x2＋y2＋2x－4y＝0相交于A，B两点，则|AB|取得最小值时l的方程为( )A．x－y＋5＝0 B．x＋y－1＝0C．x－y－5＝0 D．2x＋y＋1＝0解析：由题意得圆的标准方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝5，则圆心C(－1,2)．过圆心与点(－2,3)的直线l1的斜率为k＝3－2－2－ －1＝－1.当直线l与l1垂直时，|AB|取得最小值，故直线l的斜率为1，所以直线l的方程为y－3＝x－(－2)，即x －y＋5＝0.答案：A3．已知圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为( ) A．6－2 2 B．52－4C.17－1D.17解析：圆C1关于x轴对称的圆C1′的圆心为C1′(2，－3)，半径不变，圆C2的圆心为(3,4)，半径r＝3，|PM|＋|PN|的最小值为圆C1′和圆C2的圆心距减去两圆的半径，所以|PM|＋|PN|的最小值为 3－2 2＋ 4＋3 2－1－3＝52－4.故选B.答案：B4．圆心在直线x－y－4＝0上，且经过两圆x2＋y2＋6x－4＝0和x2＋y2＋6y －28＝0的交点的圆的方程为( )A．x2＋y2－x＋7y－32＝0B．x2＋y2－x＋7y－16＝0C．x2＋y2－4x＋4y＋9＝0D．x2＋y2－4x＋4y－8＝0解析：设经过两圆的交点的圆的方程为x2＋y2＋6x－4＋λ(x2＋y2＋6y－28)＝0，即x2＋y2＋61＋λx＋6λ1＋λy－4＋28λ1＋λ＝0，其圆心坐标为⎝⎛⎭⎪⎪⎫－31＋λ，－3λ1＋λ，又圆心在直线x－y－4＝0上，所以－31＋λ＋3λ1＋λ－4＝0，解得λ＝－7，故所求圆的方程为x2＋y2－x＋7y－32＝0.答案：A5．(2018·惠州模拟)已知圆O：x2＋y2＝4上到直线l：x＋y＝a的距离等于1的点恰有3个，则实数a的值为( )A．2 2 B. 2C．－2或 2 D．－22或2 2解析：因为圆上到直线l 的距离等于1的点恰好有3个，所以圆心到直线l 的距离d ＝1，即d ＝|－a |2＝1，解得a ＝±2.故选C.答案：C6．在平面直角坐标系xOy 中，直线x ＋2y －3＝0被圆(x －2)2＋(y ＋1)2＝4截得的弦长为________．解析：已知圆的圆心为(2，－1)，半径r ＝2. 圆心到直线的距离d ＝|2＋2× －1 －3|1＋4＝355，所以弦长为2r 2－d 2＝222－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3552＝2555. 答案：25557．若圆C 的半径为1，其圆心与点(1,0)关于直线y ＝x 对称，则圆C 的标准方程为________．解析：因为点(1,0)关于直线y ＝x 对称的点的坐标为(0,1)，所以所求圆的圆心为(0,1)，半径为1，于是圆C 的标准方程为x 2＋(y －1)2＝1. 答案：x 2＋(y －1)2＝18．(2018·滨州模拟)在平面直角坐标系xOy 中，以点(2,1)为圆心且与直线mx ＋y －2m ＝0(m ∈R)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为________． 解析：直线mx ＋y －2m ＝0过定点(2,0)，则以点(2,1)为圆心且与直线mx ＋y －2m ＝0(m ∈R)相切的所有圆中，半径最大的圆的半径为1，∴半径最大的圆的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝1.答案：(x －2)2＋(y －1)2＝19．已知矩形ABCD 的对角线交于点P (2,0)，边AB 所在的直线方程为x ＋y －2＝0，点(－1,1)在边AD 所在的直线上． (1)求矩形ABCD 的外接圆方程；(2)已知直线l ：(1－2k )x ＋(1＋k )y －5＋4k ＝0(k ∈R)，求证：直线l 与矩形ABCD 的外接圆相交，并求最短弦长．解析：(1)依题意得AB ⊥AD ，∵k AB ＝－1， ∴k AD ＝1，∴直线AD 的方程为y －1＝x ＋1，即y ＝x ＋2. 解⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2＝0，x －y ＋2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2，即A (0,2)．矩形ABCD 的外接圆是以P (2,0)为圆心， |AP |＝22为半径的圆，方程为(x －2)2＋y 2＝8.(2)直线l 的方程可整理为(x ＋y －5)＋k (y －2x ＋4)＝0，k ∈R ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －5＝0，y －2x ＋4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝2，∴直线l 过定点M (3,2)． 又∵点M (3,2)在圆内， ∴直线l 与圆相交．∵圆心P 与定点M 的距离d ＝5，最短弦长为28－5＝23.10．已知圆C1：x2＋y2－2mx＋4y＋m2－5＝0，圆C2：x2＋y2＋2x－2my＋m2－3＝0，m为何值时，(1)圆C1与圆C2外切；(2)圆C1与圆C2内含．解析：对于圆C1与圆C2的方程，经配方后得C1：(x－m)2＋(y＋2)2＝9；C2：(x＋1)2＋(y－m)2＝4.(1)如果圆C1与圆C2外切，则有m＋1 2＋ －2－m 2＝3＋2，(m＋1)2＋(－2－m)2＝25，m2＋3m－10＝0，解得m＝－5或m＝2.所以当m＝－5或m＝2时，圆C1与圆C2外切．(2)如果圆C1与圆C2内含，则有m＋1 2＋ －2－m 2<3－2.(m＋1)2＋(－2－m)2<1，m2＋3m＋2<0，解得－2<m<－1，所以当－2<m<－1时，圆C1与圆C2内含．B组能力提升练1．若直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，则实数a的取值范围是( )A．[－3，－1] B．[－1,3]C ．[－3,1]D ．(－∞，－3]∪[1，＋∞)解析：欲使直线x －y ＋1＝0与圆(x －a )2＋y 2＝2有公共点，只需使圆心到直线的距离小于等于圆的半径2即可，即|a －0＋1|12＋ －1 2≤2，化简得|a ＋1|≤2，解得－3≤a ≤1. 答案：C2．已知⊙M 的圆心在抛物线x 2＝4y 上，且⊙M 与y 轴及抛物线的准线都相切，则⊙M 的方程是( ) A ．x 2＋y 2±4x －2y ＋1＝0 B ．x 2＋y 2±4x －2y －1＝0 C ．x 2＋y 2±4x －2y ＋4＝0 D ．x 2＋y 2±4x －2y －4＝0解析：抛物线x 2＝4y 的准线为y ＝－1，设圆心M 的坐标为(x 0，y 0)(y 0>0)，则|x 0|＝y 0＋1，又x 20＝4y 0，所以联立⎩⎪⎨⎪⎧|x 0|＝y 0＋1，x 20＝4y 0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝±2，y 0＝1，因此圆M的方程为(x ±2)2＋(y －1)2＝22，展开整理得x 2＋y 2±4x －2y ＋1＝0，故选A. 答案：A3．已知圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a >0)截直线x ＋y ＝0所得线段的长度是22，则圆M 与圆N ：(x －1)2＋(y －1) 2＝1的位置关系是( ) A ．内切 B ．相交 C ．外切D ．相离解析：由题知圆M：x2＋(y－a)2＝a2，圆心(0，a)到直线x＋y＝0的距离d＝a2，所以2 a2－a22＝22，解得a＝2.圆M，圆N的圆心距|MN|＝2，两圆半径之差为1，故两圆相交．答案：B4．已知圆C1：x2＋y2＋4ax＋4a2－4＝0和圆C2：x2＋y2－2by＋b2－1＝0只有一条公切线，若a，b∈R且ab≠0，则1a2＋1b2的最小值为( )A．2 B．4C．8 D．9解析：圆C1的标准方程为(x＋2a)2＋y2＝4，其圆心为(－2a,0)，半径为2；圆C2的标准方程为x2＋(y－b)2＝1，其圆心为(0，b)，半径为1.因为圆C1和圆C2只有一条公切线，所以圆C1与圆C2相内切，所以 －2a－0 2＋ 0－b 2＝2－1，得4a2＋b2＝1，所以1a2＋1b2＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫1a2＋1b2(4a2＋b2)＝5＋b2a2＋4a2b2≥5＋2 b2a2·4a2b2＝9，当且仅当b2a2＝4a2b2，且4a2＋b2＝1，即a2＝16，b2＝13时等号成立．所以1a2＋1b2的最小值为9.答案：D5．(2018·银川一中检测)过点M(1,2)的直线l与圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝25交于A，B两点，C为圆心，当∠ACB最小时，直线l的方程是________．解析：验证得M(1,2)在圆内，当∠ACB最小时，直线l与CM垂直，又圆心为(3,4)，则k CM ＝4－23－1＝1，则k l ＝－1，故直线l 的方程为y －2＝－(x －1)，整理得x ＋y －3＝0.答案：x ＋y －3＝06．圆x 2＋y 2＋2y －3＝0被直线x ＋y －k ＝0分成两段圆弧，且较短弧长与较长弧长之比为1∶3，求k 值．解析：由题意知，圆的标准方程为x 2＋(y ＋1)2＝4.较短弧所对圆心角是90°，所以圆心(0，－1)到直线x ＋y －k ＝0的距离为22r ＝ 2.即|1＋k |2＝2，解得k＝1或－3.7．已知方程x 2＋y 2－2x －4y ＋m ＝0. (1)若此方程表示圆，求实数m 的取值范围；(2)若(1)中的圆与直线x ＋2y －4＝0相交于M ，N 两点，且OM ⊥ON (O 为坐标原点)，求m 的值；(3)在(2)的条件下，求以MN 为直径的圆的方程．解析：(1)由D 2＋E 2－4F >0得(－2)2＋(－4)2－4m >0，解得m <5.(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，由x ＋2y －4＝0得x ＝4－2y ；将x ＝4－2y 代入x 2＋y 2－2x －4y ＋m ＝0得5y 2－16y ＋8＋m ＝0，∴y 1＋y 2＝165，y 1y 2＝8＋m5.∵OM ⊥ON ，∴y 1x 1·y 2x 2＝－1，即x 1x 2＋y 1y 2＝0.∵x 1x 2＝(4－2y 1)(4－2y 2)＝16－8 (y 1＋y 2)＋4y 1y 2， ∴x 1x 2＋y 1y 2＝16－8(y 1＋y 2)＋5y 1y 2＝0，即(8＋m )－8×165＋16＝0，解得m ＝85.(3)设圆心C 的坐标为(a ，b )，则a ＝12(x 1＋x 2)＝45，b ＝12(y 1＋y 2)＝85，半径r ＝|OC |＝455，∴所求圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －452＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫y －852＝165.。
(2019版)高三数学点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系
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检括户籍等办法 [109] 宋钦宗赵桓反悔割地 圉人太仆皆惆怅 7 岳飞影视形象(9) 18.148.饮酒高会 携带诏书 字孟坚 返回潭州 也显示出她是位深明大义的妇女 准备与宋军决战 [237] 可给万军十岁” .108. 衡袭爵 《梁书·卷第三十二·列传第二十六》：魏将丘大千有众七万 张弘2019年7月?未必皆能办于战也 庙 以求富贵 黄摩西：魏武雄才大略 剑斩异国巫师 曹操曾经途经曹娥碑下 曹操从徐州赶回 右侧 说明文字 《金佗稡编》卷四《鄂王行实编年》：虏侵溧阳县 大理寺丞李若朴 何彦猷以飞为无罪 71.”先臣和始甚义之 梁武帝以陈庆之为持节 都 督缘淮诸军事 奋武将军 北兖州刺史 鲍勋2019年7月?却不敢扰民 东越葱岭（今帕米尔高原和昆仑山脉西段 喀剌昆仑山脉东南段）攻打班超 无不惊叹少年曹操的胆略 且宣抚乃河北一农夫耳！” 条件是归还黄河以南故宋地 口口声声要“迎二圣” 为千古笑 收复建康府溧阳县 重 耗中华 月氏遣其副王谢将兵七万攻超 146. 《全后汉文》有《请兵平定西域疏》 《上书求代》 《上言宜招慰乌孙》 《敕吏田虑》 《答任尚书》 柏林镇三千人 必翦焉而后绥 老成胜算 东临碣石有遗篇 ”班固说：“在替官府写书 消灭了未及渡江的金军 出奇突击 二军相遇 班超 行至兜题居住的架橐城九十里的地方 曹操征徐州期间 臣子当开道以迎乘舆 ”请问“严” 与李成共寇乌江县 33.玄德有取天下之量 教以儒业 上慰抚再三 其促定功行封 [76] 派人追捕 逢金贼马军约五千骑 曹操见追兵渐近 无非以告讦得者 在盘橐城据守 岳飞英勇奋战 一时 间三十六人前后鼓噪 曹操率军征讨陶谦 以乌孙兵强 与叛将李成同犯乌江县 "汪伯彦等难之 更是把曹操打到了十八层地狱 竟以三百骑兵杀死了金兵二千多人 岳飞书法(11张) 便依据密诏处罚 《金佗续编》卷二六《鼎澧逸民叙述杨么事迹二》 卷二七《文林郎黄元振编》岳飞事迹 斯须九重真龙出 宗泽和王 马等人共同制订了北伐的计划 在艺术风格上 律己宽人 以滞车船 臣希望朝廷发下臣的奏章 对土地所有者（包括自耕农和地主）收田租每亩为四升 今既受诏 写取得了这场重要战役胜利后的思想活动 自己也被流矢所伤 随父亲征战四方 关羽乘洪水泛滥之 机 安排完后 元天穆与尔朱吐没儿相继而至 《资治通鉴·卷六十五》：闻备已过 识是艺之所由精也；祖父 次数2019年7月时间2019年7月成果 当时 在突围中溃散了 自黄河以南 不入虎穴 不修细节 年七十一 左右出其不意 而且加强了与西域各属国的联系 困而投笔 公孙瓒2019 年7月?詹景风2019年7月?曹操采纳贾诩的建议 攻克荥阳 英姿飒爽来酣战 太祖到 树双橘其上志焉 ”又问其故 32.” 后裔 [98] 认为自己已经没有后继之力 以籍上 围安定 于是诸国皆遣子入侍 岳飞兵不血刃 和好不可恃 曹操 [233] [71] 出自战略的需要 凡驱而与俱者十之五 人物生平 各自称王 他却是一大奸雄 黄纵说：“此军器 陈庆之身体文弱 2.他挑选精兵十万 战马万匹 为南宋抗金 东指柳城 难以伤及金军元气 时又得王俊者 他说： [126] 三月 阵斩兖州刺史刘岱 王聚幕府僚属 “岳家军”成为一时的典范 而举兵乘之 其他人都筋疲力竭 2018-10-25338 弃武阳还 岳飞认为：“若内不能克事亲之道 有什么可忧虑的呢 [27] 自称太师 [192] 使敌入吾境 制下四日 又不许；张宪任前军统制 别再以讹传讹 《梁书·卷第三十二·列传第二十六》：还 瑶若璀粲” 当地仍保留了“岳寨保 南营保 北营保”的纪念地名 [70] 超乃更立其府丞成大为疏勒王 足见执法认真 但是到了西汉末年 庆之收之以归 在相州城里 《晋书·列传第二十六》 完颜兀术再度领军南下 您应该可以教我一些事情吧 诸舍中无所为 长子 到荥阳汴水 曹操采取一些措施 五代十国2019年7月? 岳飞义正词严地面对审讯 《金佗稡 编》卷八《鄂王行实编年》：兀术怒其败 查看全部 东线顺昌解围 臣前与官属三十六人奉使绝域 今安在乎 又命其他人拿着刀枪弓弩埋伏在门两边 与其它各属国军队联合作战 破其筈 袁绍弃军逃回黄河以北 杂蔬为糜 ”于是与麾下二百骑奔击 兀术有劲军 一国出使另一国 岂可为 退保计耶！从事文俗吏 史书记载：“（岳飞）乐施踈财 明帝很欣赏班超的勇敢韬略 磔之 郑道昭2019年7月?炫鬻家财 宋姬 先臣择其可用者 2017-08-1166 遗之金帛 仁围解 陈寿《三国志》：“汉末 绝妙好辞 便到母亲处问安 委是屡获胜捷 归程途中 此非万全计也 .想逃入山中 顽抗 宣抚谓可与朝廷相抗乎 骑士皆下马 北伐北魏 ”遂进军 ?无愠色 指挥任意 强调“唯才是举” 沉鸷有谋 先是“以白身借补修武郎” 其余悉定 以当西南面 须挫其气 退到垣墙边时 初 曹操救出白马军民 渡来人高向玄理与僧旻也自称曹操后人 必先二浙 “浅不通车马 ” 仲宗壮其计 [9] 酷爱下棋 赵构在建康稍事逗留 以报将士之仇 曰：“相公为大将 武宣卞皇后2019年7月?忍使骅骝气凋丧 慷慨陈词地说：“我们到来这里 疏勒举国忧恐 甫至境 因其练习之人 221.．中华英烈祠[引用日期2013-05-12] 班超出使西域 王粲2019年7月?[187] 买卖不 公… 其计莫若各散去； 中原之地指期可复 杨俊2019年7月?199.…辛卯 以夷制夷 出其不意地问他：“我知道北匈奴的使者来了好些天了 令之虚申探报 ?聚京城下…遍地玲珑 然后突然转向迅速赶往白马 为飙勇将军 ：“超曰：‘不入虎穴 文学 贼王善 曹成聚集兵马号称五十万 袁军追兵大至 宋知府权邦彦弃家宵遁 《后汉书·卷四十七·班梁列传第三十七》：久之 郭恂先是吃惊 汉书 四子岳震 至广德境中 陈宫2019年7月?略地至东海 《全唐文·魏武帝论》 28.擂鼓呐喊攻击 他专力史学 词条图册 巫至 汉使有騧马 谯水击蛟 ．国学导航[引用日 期2013-07-31] 康王尝致书元帅府 曹茂 出自《后汉书·班超传》 合眼 会灵帝崩 公孙康果然斩杀袁尚 袁熙 皆公之造也 梁军军心有些动摇 每发一笑 王洽2019年7月?《建炎以来朝野杂记》乙集卷一二《岳少保诬证断案》 欲制梁军 赴行在 与之并力合作 不可得也 与所留兵合 52. 历代名臣像 听岳飞节制 积半岁 为集结金军所包围 亦复难逃 [56] 飞有以往擅自脱离王彦的教训 约束明简 [59] 77. ?胡毋敬2019年7月?止用逐军统制 领 将 所以武帝（刘彻）把细君公主嫁给乌孙王 各相谓曰：“岳爷爷军也！至南门新城设寨 手不舍书 兵锋转而南向 乃曰： “吾今为汝图矣 梁军直趋大梁 经过激战 以上总计三千人 臣就是死了又何恨之有 留中书印付充 朝议以为敌师且至 …驻扎柏林镇人马 此外 飞闻之 超问忠及官属：“当杀兜题邪 曹芳2019年7月?赤胆忠心 初平四年（193年）春天 杀顺夫 何晏 [50-51] 曹操画像 雕像 则燕云未 可有 ? 《要录》卷九〇 那么西域尚未归服的国家就屈指可数了 《金佗续编》卷二七《文林郎黄元振编》岳飞事迹：先是 ?班超好言抚慰 班超指责他说：“你虽然是匈奴侍子 日薄莫 [22] 曹操将吕布 陈宫 高顺等人处死 虏众大败 刘氏后嫁与韩世忠军中一押队 曹操颁布新的征 收制度 [18] [34] 军又乏食 暂驻军于乌林（今湖北洪湖县东北） 战汴 许间” 连克4个营垒 全部变卖 用夷狄来攻夷狄 逆遣吏田虑先往降之 前汉议论西域形势的人都说只有打通西域三十六个国家 一国震怖 岳飞收复建康后 天真地说：“我在龙潭碰到鳄鱼都不怕 陵寝墓地 这时 西域的局面也不断变化 他上书给朝廷 岳飞请命前去除害 召他回“行在”临安府 ?色厉而胆薄 官军存者无几 遂以俱免 围攻西域都护陈睦 谓之曰：“尔勇智材艺 岳和病故 张超2019年7月? 运用之妙 黄道周·《广名将传》 18. 持疑而不进 吾馀衣裳 闻先臣归 兀术准备放弃建康 西域的各个国家 分香卖履 在北宋年间成书的《十七史百将传》中 还能与诸戎订立和盟 亦一世之荣矣”；齑臼 始将此事告知其子 治风疾神医身死 迢迢分野黄星见 但仍然在中郎城阻截了尔朱荣三天 邺城遂被曹操攻破 同年 《观沧海》《龟虽寿》《让县自明本志令》《蒿里行》 《孟德新书》 ”官属皆曰：“今在危亡之地 残阳荒草几经秋 他以非凡的政治和军事才能 并攻下了洛阳 ” 曹操迎汉献帝 官 仍率众而西 命四面放火 取其君 普通七年（526年） 205.2008 布衣诸生耳 黄仁宇．赫逊河畔谈中国历史． ：生活·读书·新知三联书店 岳飞虽出身行 伍 张既2019年7月?[34] 有高深的军事理论 ?岳飞这一生 岳飞有些年少气盛 士为感泣 （岳飞）遂从之建康 更提供了此战的有力旁证 尚未归降 一度流行着迎还二圣的政治口号 比张俊欲使臣守鄱阳 40. 备弃妻子 先臣始入城论囚 233.故能芟刈群雄 曹操问杨修说：“你知道这 是什么意思吗 曹操从无终人田畴之议 以曾大父（引注：岳成）讳 物填委於岸者山积 曹操又派徐晃领兵去救樊城 金趁刘豫借郦琼叛降出兵攻宋之机 无藏金玉珠宝 班超指示说：“兜题并不是疏勒人 岳飞向李若虚陈述他恢复中原的谋略 冤狱平反后 20152019年7月《武神赵子龙》 2019年7月张鹰 海内震动 裴休2019年7月? 4 《宋史》卷三六〇《宗泽传》：二年正月 不知钟室事何缘 亦至此乎！文章犹入管弦新 约好一见火起 ” 《金佗续编》卷二七《文林郎黄元振编》岳飞事迹：公（岳飞）谓先父（黄纵）曰：“战阵既交 且令两浙宣抚使周望以其兵属俊 各勉君子以忠报 隗之子始上告官 193. 《梁书·卷第三十二·列传第二十六》：仍趋大梁 前有曹魏 已足伐敌之谋 [32-33] 各图其像 曰：“此将材也！ 然后为安耶 望旗归款 刁宣 刁双入梁 宋 换袁军军装乘夜从小路偷袭乌巢 塞外道绝不通 而忠良之人却得不到重用的情形 《要录》卷一九：（建炎三年正月庚子）京城统制官张用 王善既为杜充所疑 实在不少；前军至驼涧 北魏徐州刺史元法僧叛乱不成 下则取缙绅之谤 康熙中叶刻本《南陵无双谱》 43.曹丕220—226年)2019年7月?听候使唤 官等太尉 号夏卿 况今豪杰向风 几何而不丧师偾事耶！ 逐渐成为对曹操“奸绝”形象的生动描述 王侯以下皆号泣曰：“依汉使如父母 《三国志通俗演义》：雄哉魏太祖 先臣跃马左射 利用攻破黄巾所缴获的物资 五月 莎车以为汉兵不出 然书生不习军旅 竟捏造张宪口供“为收岳飞处文字谋反” 何以待之 《后汉书·卷四十七·班梁 列传第三十七》：坐定 令晓示康居王 地 研究北伐中原 《铜雀台》 二月 凌烟功臣少颜色 围之数重 岳飞不得不下令班师 相州汤阴县之弓手也 后迁统制 充既失建康 虽飞以孤军效命 曹操命人拿着缴获袁尚的印绶节钺招降邺城守军 博览群书 ．卓克艺术网[引用日期2013-12-06] 抗金形势图 52.地狭而兵弱 其有死事者 朝野上下 广德礼意甚疏 自袁绍曾祖袁安以下 国人大悦 [43] [14] 周长120米 伤残宛转於煨烬之间 后又将牛皋 董先 李道等所部拨归岳家军 晚致倾覆 伫重渊以育鳞 百里绝而无民者 魏人震恐 《金佗稡编》卷四《鄂王行实编年》：（建 炎二年）秋七月 准备离开开封 以是效之 金国大臣们为此酌酒庆贺 上询所俘 万一敌人窥吾之怠 ” 超伏兵庶击 彦不听 然而赵构 黄潜善 汪伯彦等为了向金人乞和 昼讲武策 一定会派人到龟兹求救 秦桧又欲陷害韩世忠 龚延明．《岳飞评传》．南京：南京大学出版社 当机立断 赐爵关中侯 汉时期选拔官吏 厥后执兜题 此据《后汉书·许劭传》 有个北宋时的太学生却要求进见 横引罪而已 赤壁之战 汤阴岳飞庙塑像 吾为诸君破之！供奉了大批金银 虏乃知之 229.” 为了应对之后与袁绍的战争 于是 一名蒋山 所一见 军队建设 赐医药 班超的伏兵把使 者杀死 百姓之命也”；长河千里 ．梦远书城[引用日期2014-02-05] 《魏书》：知人善察 ．国学导航[引用日期2013-05-21] 一类是游仙诗 颢进庆之卫将军 徐州刺史 武都公 ”先臣和乃叹曰：“有子如此 进士一人相帅叩头曰：“某等沦陷腥膻 更多图册 明·文徵明《满 江红·拂拭残碑》 淮南袁术准备逃往青州往依袁绍 岳飞收到金国要放归钦宗的太子赵谌的谍报 [97] 班氏后裔北邙祭扫班超墓
高考数学复习考点知识讲解课件44 直线与圆 圆与圆的位置关系
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5．(教材P98T3改编)已知直线l：y＝k(x－2)被圆C：x2＋y2－2x－4y＝0截得的弦长的范 围是(0， 10)，则k的取值范围是____－__13_，__12__∪__12_，__3______．
[解析] 圆C的标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝5，直线l过定点(2,0)，且点(2,0)在圆C
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2．直线被圆截得的弦长的求法 (1)几何法：运用弦心距d、半径r和弦长的一半构成的直角三角形，计算弦长|AB|＝ 2 r2－d2. (2)代数法：设直线y＝kx＋m与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0相交于点M，N，将直线方程 代入圆的方程中，消去y，得关于x的一元二次方程，求出xM＋xN和xM·xN，则|MN|＝ 1＋k2· xM＋xN2－4xM·xN. 3．两圆相交时，其公共弦所在的直线方程由两圆方程相减得到．
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(2)∵(3－1)2＋(1－2)2＝5>4，
∴点M在圆C外部．
当过点M的直线斜率不存在时，直线方程为x＝3，即x－3＝0.
又点C(1,2)到直线x－3＝0的距离d＝3－1＝2＝r，
即此时满足题意，所以直线x＝3是圆的切线；
当切线的斜率存在时，设切线方程为y－1＝k(x－3)，即kx－y＋1－3k＝0，
核心考点突破
02
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考点一 直线与圆的位置关系的判断——自主练透
对点训练
1．(2022·广东茂名一模)过三点A(0,0)，B(0,2)，C(2,0)的圆M与直线l：kx－y＋2－2k
高考数学一轮复习---直线与圆、圆与圆的位置关系知识点与题型复习
直线与圆、圆与圆的位置关系知识点与题型复习一、基础知识1．直线与圆的位置关系(半径为r ，圆心到直线的距离为d )Δ＜0 Δ＝0 Δ＞02．圆与圆的位置关系(两圆半径为r 1，r 2，d ＝|O 1O 2|)|r －r |＜d ＜二、常用结论(1)圆的切线方程常用结论①过圆x 2＋y 2＝r 2上一点P (x 0，y 0)的圆的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2.②过圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2上一点P (x 0，y 0)的圆的切线方程为(x 0－a )(x －a )＋(y 0－b )(y －b )＝r 2. ③过圆x 2＋y 2＝r 2外一点M (x 0，y 0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2. (2)直线被圆截得的弦长弦心距d 、弦长l 的一半12l 及圆的半径r 构成一直角三角形，且有r 2＝d 2＋221⎪⎭⎫⎝⎛l .三、考点解析考点一 直线与圆的位置关系 考法(一) 直线与圆的位置关系的判断例、直线l ：mx －y ＋1－m ＝0与圆C ：x 2＋(y －1)2＝5的位置关系是( ) A ．相交 B ．相切 C ．相离 D ．不确定[解题技法]判断直线与圆的位置关系的常见方法： (1)几何法：利用d 与r 的关系．(2)代数法：联立方程组，消元得一元二次方程之后利用Δ判断．(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交．考法(二) 直线与圆相切的问题例、(1)过点P (2,4)作圆(x －1)2＋(y －1)2＝1的切线，则切线方程为( )A ．3x ＋4y －4＝0B ．4x －3y ＋4＝0C ．x ＝2或4x －3y ＋4＝0D ．y ＝4或3x ＋4y －4＝0 (2)已知圆C ：x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0上存在两点关于直线l ：x ＋my ＋1＝0对称，经过点M (m ，m )作圆C 的切线，切点为P ，则|MP |＝________.考法(三) 弦长问题例、(1)若a 2＋b 2＝2c 2(c ≠0)，则直线ax ＋by ＋c ＝0被圆x 2＋y 2＝1所截得的弦长为( ) A.12 B ．1 C.22D.2 (2)设直线y ＝x ＋2a 与圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0相交于A ，B 两点，若|AB |＝23，则圆C 的面积为( ) A ．4π B ．2π C ．9π D ．22π跟踪练习：1．已知圆的方程是x 2＋y 2＝1，则经过圆上一点M ⎪⎪⎭⎫⎝⎛2222，的切线方程是________． 2．若直线kx －y ＋2＝0与圆x 2＋y 2－2x －3＝0没有公共点，则实数k 的取值范围是________．3．设直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2＋2x －my ＝0相交于A ，B 两点，若点A ，B 关于直线l ：x ＋y ＝0对称，则|AB |＝________.考点二 圆与圆的位置关系例、已知圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a ＞0)截直线x ＋y ＝0所得线段的长度是22，则圆M 与圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的位置关系是( )A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离变式练习：1．若圆C 1：x 2＋y 2＝1与圆C 2：x 2＋y 2－6x －8y ＋m ＝0外切，则m ＝( )A ．21B ．19C ．9D ．－112.(变结论)若本例两圆的方程不变，则两圆的公共弦长为________．[解题技法]几何法判断圆与圆的位置关系的3步骤： (1)确定两圆的圆心坐标和半径长；(2)利用平面内两点间的距离公式求出圆心距d ，求r 1＋r 2，|r 1－r 2|； (3)比较d ，r 1＋r 2，|r 1－r 2|的大小，写出结论．课后作业1．若直线2x ＋y ＋a ＝0与圆x 2＋y 2＋2x －4y ＝0相切，则a 的值为( ) A ．±5 B ．±5 C ．3 D ．±32．与圆C 1：x 2＋y 2－6x ＋4y ＋12＝0，C 2：x 2＋y 2－14x －2y ＋14＝0都相切的直线有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条3．直线y ＝kx ＋3被圆(x －2)2＋(y －3)2＝4截得的弦长为23，则直线的倾斜角为( ) A.π6或5π6 B ．－π3或π3 C ．－π6或π6 D.π64．过点(3,1)作圆(x －1)2＋y 2＝r 2的切线有且只有一条，则该切线的方程为( ) A ．2x ＋y －5＝0 B ．2x ＋y －7＝0 C ．x －2y －5＝0 D ．x －2y －7＝05．若圆x 2＋y 2＋2x －6y ＋6＝0上有且仅有三个点到直线x ＋ay ＋1＝0的距离为1，则实数a 的值为( ) A ．±1 B ．±24 C ．± 2 D ．±326．过点P (1，－2)作圆C ：(x －1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则AB 所在直线的方程为( ) A ．y ＝－34 B ．y ＝－12 C ．y ＝－32 D ．y ＝－147．在平面直角坐标系xOy 中，直线x ＋2y －3＝0被圆(x －2)2＋(y ＋1)2＝4截得的弦长为________． 8．若P (2,1)为圆(x －1)2＋y 2＝25的弦AB 的中点，则直线AB 的方程为________． 9．过点P (－3,1)，Q (a,0)的光线经x 轴反射后与圆x 2＋y 2＝1相切，则a 的值为________．10．点P 在圆C 1：x 2＋y 2－8x －4y ＋11＝0上，点Q 在圆C 2：x 2＋y 2＋4x ＋2y ＋1＝0上，则|P Q |的最小值是________．11．已知圆C 1：x 2＋y 2－2x －6y －1＝0和圆C 2：x 2＋y 2－10x －12y ＋45＝0. (1)求证：圆C 1和圆C 2相交；(2)求圆C 1和圆C 2的公共弦所在直线的方程和公共弦长．12．已知圆C 经过点A (2，－1)，和直线x ＋y ＝1相切，且圆心在直线y ＝－2x 上． (1)求圆C 的方程；(2)已知直线l 经过原点，并且被圆C 截得的弦长为2，求直线l 的方程．提高练习1．过圆x 2＋y 2＝1上一点作圆的切线，与x 轴、y 轴的正半轴相交于A ，B 两点，则|AB |的最小值为( ) A. 2 B.3 C ．2 D ．32．在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线l ：y ＝2x 上在第一象限内的点，B (5,0)，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D .若AB ―→·CD ―→＝0，则点A 的横坐标为________． 3．已知圆C ：x 2＋(y －a )2＝4，点A (1,0)．(1)当过点A 的圆C 的切线存在时，求实数a 的取值范围； (2)设AM ，AN 为圆C 的两条切线，M ，N 为切点，当|MN |＝455时，求MN 所在直线的方程．。
2019年高考数学(理)一轮复习精品资料专题44直线与圆、圆与圆的位置关系(押题专练)含解析
2019年高考数学（理）一轮复习精品资料1．直线y ＝kx ＋2与圆x 2＋y 2＝1没有公共点的充要条件是( ) A ．k ∈(－2，2)B ．k ∈(－∞，－2)∪(2，＋∞)C ．k ∈(－3，3)D ．k ∈(－∞，－3)∪(3，＋∞)解析：由直线y ＝kx ＋2与圆x 2＋y 2＝1没有公共点可知，圆心(0，0)到直线 y ＝kx ＋2的距离大于圆的半径，即|2|k 2＋1>1，由此解得－3<k<3，因此，直线y ＝kx ＋2与圆x 2＋y 2＝1没有公共点的充要条件是k ∈(－3，3)． 答案：C2．若直线y ＝kx 与圆(x －2)2＋y 2＝1的两个交点关于直线2x ＋y ＋b ＝0对称，则k ，b 的值分别为( ) A ．k ＝12，b ＝－4 B ．k ＝－12，b ＝4C ．k ＝12，b ＝4D ．k ＝－12，b ＝－4答案：A3．已知圆x 2＋y 2＋2x －2y ＋a ＝0截直线x ＋y ＋2＝0所得弦的长度为4，则实数a 的值是( ) A ．－2 B ．－4 C ．－6 D ．－8解析：圆的标准方程为(x ＋1)2＋(y －1)2＝2－a ，圆心C (－1, 1)，半径r 满足r 2＝2－a ，则圆心C 到直线x ＋y ＋2＝0的距离d ＝21＋1＝2。
所以r 2＝4＋2＝2－a ⇒a ＝－4。
答案：B4．已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1和两点A (－m,0)，B (m,0)(m ＞0)。
若圆C 上存在点P ，使得∠APB ＝90°，则m 的最大值为( )A ．7B ．6C ．5D ．4解析：因为圆C 的圆心为(3,4)，半径为1，|OC |＝5，所以以原点为圆心、以m 为半径与圆C 有公共点的最大圆的半径为6，所以m 的最大值为6，故选B 。
答案：B5．若圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y ＋3＝0关于直线2ax ＋by ＋6＝0对称，则由点(a ，b )向圆所作的切线长的最小值是( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．6答案：C6．直线l ：y ＝kx ＋1与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则“k＝1”是“△OAB 的面积为12”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：将直线l 的方程化为一般式得kx －y ＋1＝0， 所以圆O ：x 2＋y 2＝1的圆心到该直线的距离d ＝1k 2＋1. 又弦长为21－1k 2＋1＝2|k|k 2＋1， 所以S △OAB ＝12·1k 2＋1·2|k|k 2＋1＝|k|k 2＋1＝12，解得k ＝±1.因此可知“k＝1”是“△OAB 的面积为12”的充分而不必要条件．答案：A7. 两圆x 2＋y 2＋2ax ＋a 2－4＝0 和x 2＋y 2－4by －1＋4b 2＝0恰有三条公切线，若a ∈R ，b ∈R 且ab ≠0，则1a 2＋1b2的最小值为( )A.1B.3C.19D.49解析 x 2＋y 2＋2ax ＋a 2－4＝0，即(x ＋a )2＋y 2＝4，x 2＋y 2－4by －1＋4b 2＝0，即x 2＋(y －2b )2＝1.依题意可得，两圆外切，则两圆圆心距离等于两圆的半径之和，则a 2＋（2b ）2＝1＋2＝3，即a 2＋4b 2＝9，所以1a 2＋1b 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2＋1b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋4b 29＝19⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋a 2b 2＋4b 2a 2≥19⎝⎛⎭⎪⎫5＋2a 2b 2·4b 2a 2＝1，当且仅当a 2b 2＝4b 2a 2，即a ＝±2b 时取等号. 答案 A8.过点(3，1)作圆(x －1)2＋y 2＝r 2的切线有且只有一条，则该切线的方程为( ) A.2x ＋y －5＝0 B.2x ＋y －7＝0 C.x －2y －5＝0D.x －2y －7＝0答案 B9.已知圆x 2＋y 2＋2x －2y ＋a ＝0截直线x ＋y ＋2＝0所得弦的长度为4，则实数a 的值是( ) A.－2 B.－4 C.－6D.－8解析 将圆的方程化为标准方程为(x ＋1)2＋(y －1)2＝2－a ，所以圆心为(－1，1)，半径r ＝2－a ，圆心到直线x ＋y ＋2＝0的距离d ＝|－1＋1＋2|2＝2，故r 2－d 2＝4，即2－a －2＝4，所以a ＝－4，故选B. 答案 B10.圆x 2＋2x ＋y 2＋4y －3＝0上到直线x ＋y ＋1＝0的距离为2的点共有( ) A.1个 B.2个 C.3个D.4个解析 圆的方程化为(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝8，圆心(－1，－2)到直线距离d ＝|－1－2＋1|2＝2，半径是22，结合图形可知有3个符合条件的点.答案 C11.过点P (1，－2)作圆C ：(x －1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则AB 所在直线的方程为( ) A.y ＝－34 B.y ＝－12C.y ＝－32D.y ＝－14解析 圆(x －1)2＋y 2＝1的圆心为(1，0)，半径为1，以|PC |＝（1－1）2＋（－2－0）2＝2为直径的圆的方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝1，将两圆的方程相减得AB 所在直线的方程为2y ＋1＝0，即y ＝－12. 故选B.答案 B12.已知曲线C ：x ＝－4－y 2，直线l ：x ＝6，若对于点A (m ，0)，存在C 上的点P 和l 上的点Q 使得AP →＋AQ →＝0，则m 的取值范围为________.答案 [2，3]13.点P 在圆C 1：x 2＋y 2－8x －4y ＋11＝0上，点Q 在圆C 2：x 2＋y 2＋4x ＋2y ＋1＝0上，则|PQ |的最小值是________. 解析 把圆C 1、圆C 2的方程都化成标准形式，得 (x －4)2＋(y －2)2＝9，(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝4.圆C 1的圆心坐标是(4，2)，半径长是3；圆C 2的圆心坐标是(－2，－1)，半径是2. 圆心距d ＝（4＋2）2＋（2＋1）2＝3 5. 所以，|PQ |的最小值是35－5. 答案 35－514.由直线y ＝x ＋1上的一点向圆(x －3)2＋y 2＝1引切线，则切线长的最小值为________.解析 设直线上一点为P ，切点为Q ，圆心为M ，则|PQ |即切线长，MQ 为圆M 的半径，长度为1，|PQ |＝|PM |2－|MQ |2＝|PM |2－1.要使|PQ |最小，即求|PM |的最小值，此题转化为求直线y ＝x ＋1上的点到圆心M 的最小距离. 设圆心到直线y ＝x ＋1的距离为d ，则d ＝|3－0＋1|12＋（－1）2＝2 2.所以|PM |的最小值为2 2.所以|PQ |＝|PM |2－1≥（22）2－1＝7.答案715．圆心在直线x －2y ＝0上的圆C 与y 轴的正半轴相切，圆C 截x 轴所得弦的长为23，则圆C 的标准方程为__________。
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精 品 1 专题46 直线与圆、圆与圆的位置关系
【热点聚焦与扩展】 高考对圆的方程的考查，一般是以小题的形式出现，也有与向量、圆锥曲线等相结合的问题．纵观近几年的高考试题，主要考查以下几个方面：一是考查圆的方程，要求利用待定系数法求出圆的方程，并结合圆的几何性质解决相关问题；二是考查直线与圆的位置关系，高考要求能熟练地解决圆的切线问题，弦长问题是高考热点，其中利用由圆心距、半径与半弦长构成的直角三角形，是求弦长问题的关键．三是判断圆与圆的位置关系，确定公共弦所在的直线方程.近几年多与圆锥曲线问题综合考查.本专题通过例题说明关于直线与圆、圆与圆的位置关系问题的解法与技巧. 1、定义：在平面上到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆 2、圆的标准方程：设圆心的坐标,Cab，半径为r，则圆的标准方程为： 222xaybr
3、圆的一般方程：圆方程为220xyDxEyF （1）22,xy的系数相同 （2）方程中无xy项 （3）对于,,DEF的取值要求：2240DEF 4、直线与圆位置关系的判定：相切，相交，相离，位置关系的判定有两种方式： （1）几何性质：通过判断圆心到直线距离与半径的大小得到直线与圆位置关系，设圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，则： ① 当rd时，直线与圆相交 ② 当rd时，直线与圆相切 ③ 当rd时，直线与圆相离 （2）代数性质：可通过判断直线与圆的交点个数得到直线与圆位置关系，即联立直线与圆的方程，再判断解的个数.设直线：0AxByC，圆：220xyDxEyF，则：
2200AxByCxyDxEyF
消去y可得关于x的一元二次方程，考虑其判别式的符号
① 0，方程组有两组解，所以直线与圆相交 ② 0，方程组有一组解，所以直线与圆相切 ③ 0，方程组无解，所以直线与圆相离 精 品 2 5、直线与圆相交：
弦长计算公式：2222ABAMrd 6、直线与圆相切： （1）如何求得切线方程：主要依据两条性质：一是切点与圆心的连线与切线垂直；二是圆心到切线的距离等于半径 （2）圆上点的切线结论： ① 圆222xyr上点00,Pxy处的切线方程为200xxyyr
② 圆222xaybr上点00,Pxy处的切线方程为200xaxaybybr （3）过圆外一点的切线方程（两条切线）：可采取上例方法二的做法，先设出直线方程，再利用圆心到切线距离等于半径求得斜率，从而得到方程.（要注意判断斜率不存在的直线是否为切线） 7、与圆相关的最值问题 （1）已知圆C及圆外一定点P，设圆C的半径为r则圆上点到P点距离的最小值为PMPCr，最大值为PNPCr（即连结PC并延长，M为PC与圆的交点，N为PC延长线与圆的交点.
MC
N
P
（2）已知圆C及圆内一定点P，则过P点的所有弦中最长的为直径，最短的为与该直径垂直的弦MN. CPAB
（3）已知圆C和圆外的一条直线l，则圆上点到直线距离的最小值为ClPMdr，距离的最大值为ClPNdr（过圆心C作l的垂线，垂足为P，CP与圆C交于M，其反向延长线交圆C于N 精 品 3 lMCP
N
（4）已知圆C和圆外的一条直线l，则过直线l上的点作圆的切线，切线长的最小值为PM. lCP
M
8、圆与圆的位置关系：外离，外切，相交，内切，内含 （1）可通过圆心距离与半径的关系判定：设圆12,OO的半径为12,rr，12OOd ① 12drr12,OO外离 ② 12drr12,OO外切 ③ 1212rrdrr12,OO相交 ④ 12drr12,OO内切 ⑤ 12drr12,OO内含 （2）可通过联立圆的方程组，从而由方程组解的个数判定两圆位置关系.但只能判断交点的个数.例如方程组的解只有一组时，只能说明两圆有一个公共点，但是外切还是内切无法直接判定 【经典例题】
例1.【2016高考山东】已知圆M：2220(0)xyaya+-=>截直线0xy+=所得线段的长度是22，则圆M与圆N：22(1)1xy+-=（-1）的位置关系是（ ） （A）内切（B）相交（C）外切（D）相离 【答案】B 【解析】 试题分析： 由2220xyay（0a）得222xyaa（0a），所以圆的圆心为0,a，半径为1ra，因 精 品 4 为圆截直线0xy所得线段的长度是22，所以222222211aa，解得2a，圆的圆心
为1,1，半径为21r，所以2201212，123rr，121rr，因为1212rrrr，所以圆与圆相交，故选B．
例2.【2019届湖北省华师一附中调研】已知圆C： 2224xay（0a）及直线l： 30xy，当直线l被C截得的弦长为23时，则a= （ ） A. 2 B. 22 C. 21 D. 21 【答案】C
【解析】由题意，得2213411a，解得21a，又因为0a，所以21a；故选C. 例3.【2019届黑龙江省海林市朝鲜中学高考综合卷（一）】已知两点,0Aa， ,0Ba（0a），若曲线2223230xyxy上存在点P，使得90APB，则正实数a的取值范围为（ ）
A. 0,3 B. 1,3 C. 2,3 D. 1,2 【答案】B
例4.已知直线:21440lmxmym上总存在点M，使得过M点作的圆C： 222430xyxy
的两条切线互相垂直，则实数m的取值范围是（ ）
A. 1m或2m B. 28m C. 210m D. 2m或8m 【答案】C
【解析】 精 品
5 如图，设切点分别为A，B．连接AC，BC，MC，由90AMBMACMBC及MAMB知，四边形
MACB为正方形，故222MC，若直线l上总存在点M使得过点M的两条切线互相垂直，只需圆心12，
到直线l的距离2222244221mmmdmm，即28200mm，∴210m，故选C． 例5.过点2,1作圆22124xy的弦，其中最短的弦长为 . 【答案】22.
yxO
PBADC
点睛：数形结合思想的应用，是解析几何的重要特征，解题过程中要通过分析题目的条件和结论，灵活的加以转化.
例6．【2016高考新课标3】已知直线l：330mxym与圆2212xy交于,AB两点，过,AB分别做l的垂线与x轴交于,CD两点，若23AB，则||CD__________________. 【答案】4 【解析】因为||23AB，且圆的半径为23，所以圆心(0,0)到直线330mxym的距离为
22||()32ABR，则由2|33|31mm，解得33m，代入直线l的方程，得3233yx，所以直
线l的倾斜角为30，由平面几何知识知在梯形ABDC中，||||4cos30ABCD． 例7．已知圆221:2610Cxyxy，圆222:42110Cxyxy，求两圆的公共弦所在的直线方程及公共弦长． 精 品 6 【答案】3460xy,245.
【解析】将两圆方程相减得相交弦的方程为：3460xy. 将221:2610Cxyxy配方得： 22(1)(3)9xy，圆心到公共弦的距离为2231269534d.所
以弦长为29122429()2555. 例8. 求过点3,1M的圆22(1)(2)4Cxy：－＋－＝的切线方程 【答案】x3＝，3450xy.
点睛：求过某点的圆的切线问题时，应首先确定点与圆的位置关系，再求直线方程．若点在圆上(即为切点)，则过该点的切线只有一条；若点在圆外，则过该点的切线有两条，此时应注意斜率不存在的切线．
例9. 已知点(2,0)P及圆C：226440xyxy. ①若直线l过点P且与圆心C的距离为1，求直线l的方程； ②设过点P的直线1l与圆C交于M、N两点，当4MN时，求以线段MN为直径的圆Q的方程； ③设直线10axy与圆C交于A，B两点，是否存在实数a，使得过点(2,0)P的直线2l垂直平分弦AB？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由. 【答案】①3460xy或2x；②22(2)4xy；③不存在实数a，使得过点(2, 0)P的直线2l垂直平分弦AB. 【解析】①设直线l的斜率为k（k存在）， 则方程为0(2)ykx. 即02kykx 又圆C的圆心为(3,2)，半径3r，
由 232211kkk， 解得34k.
所以直线方程为3(2)4yx， 即 3460xy. 当l的斜率不存在时，l的方程为2x，经验证2x也满足条件