大学课件_弹性力学_第二章(8,9,10)

弹性力学_第二章__应力状态分析

弹性⼒学_第⼆章__应⼒状态分析第⼆章应⼒状态分析⼀、内容介绍弹性⼒学的研究对象为三维弹性体，因此分析从微分单元体⼊⼿，本章的任务就是从静⼒学观点出发，讨论⼀点的应⼒状态，建⽴平衡微分⽅程和⾯⼒边界条件。

应⼒状态是本章讨论的⾸要问题。

由于应⼒⽮量与内⼒和作⽤截⾯⽅位均有关。

因此，⼀点各个截⾯的应⼒是不同的。

确定⼀点不同截⾯的应⼒变化规律称为应⼒状态分析。

⾸先是确定应⼒状态的描述⽅法，这包括应⼒⽮量定义，及其分解为主应⼒、切应⼒和应⼒分量；其次是任意截⾯的应⼒分量的确定—转轴公式；最后是⼀点的特殊应⼒确定，主应⼒和主平⾯、最⼤切应⼒和应⼒圆等。

应⼒状态分析表明应⼒分量为⼆阶对称张量。

本课程分析中使⽤张量符号描述物理量和基本⽅程，如果你没有学习过张量概念，请进⼊附录⼀，或者查阅参考资料。

本章的另⼀个任务是讨论弹性体内⼀点－微分单元体的平衡。

弹性体内部单元体的平衡条件为平衡微分⽅程和切应⼒互等定理；边界单元体的平衡条件为⾯⼒边界条件。

⼆、重点1、应⼒状态的定义：应⼒⽮量；正应⼒与切应⼒；应⼒分量；2、平衡微分⽅程与切应⼒互等定理；3、⾯⼒边界条件；4、应⼒分量的转轴公式；5、应⼒状态特征⽅程和应⼒不变量；知识点：体⼒；⾯⼒；应⼒⽮量；正应⼒与切应⼒；应⼒分量；应⼒⽮量与应⼒分量；平衡微分⽅程；⾯⼒边界条件；主平⾯与主应⼒；主应⼒性质；截⾯正应⼒与切应⼒；三向应⼒圆；⼋⾯体单元；偏应⼒张量不变量；切应⼒互等定理；应⼒分量转轴公式；平⾯问题的转轴公式；应⼒状态特征⽅程；应⼒不变量；最⼤切应⼒；球应⼒张量和偏应⼒张量§2.1 体⼒和⾯⼒学习思路:本节介绍弹性⼒学的基本概念——体⼒和⾯⼒，体⼒F b和⾯⼒F s的概念均不难理解。

应该注意的问题是，在弹性⼒学中，虽然体⼒和⾯⼒都是⽮量，但是它们均为作⽤于⼀点的⼒，⽽且体⼒是指单位体积的⼒；⾯⼒为单位⾯积的作⽤⼒。

体⼒⽮量⽤F b表⽰，其沿三个坐标轴的分量⽤F b i（i=1，2，3）或者F b x、F b y和F b z表⽰，称为体⼒分量。

第二章弹性力学基础

+
¶ 2 x ¶ z2
材料力学 — 区别与联系 — 弹性力学
y

y
q
q
sx
Í¼ 1-1a
x 0
sx x
X方向应力情况对比
Í¼ 1-1b
材料力学 — 区别与联系 — 弹性力学
y q
y q
sx sy
Í¼ 1-2a
平面截面假设
sx
sy
x
x
Í¼ 1-2b
q
sy =q Í¼ 1-2c
sx
Y方向应力情况对比
材料力学 — 区别与联系 — 弹性力学
v
A
B u + ¶u dx
dx
¶x
0 Í¼ 1-5
由于变形是微小的，所以上式可将比单位值小得多的 ¶u 略去，得
¶x
a = ¶v
¶x
同理，Y向线素AD的转角
b = ¶u
¶y
因此，剪应变为：
x

xy
=
a
+
b
=
¶v ¶x
+
¶u ¶y
应变分量与位移分量的关系
以上是考察了体素在XOY一个平面内的变形情况，
相反，如果某一个面上的外法线是沿着坐标轴的负方向，这个面上的应力就以沿坐标轴的负方向为正，沿坐标轴正方向为负。
二、应力的概念
剪应力互等定律
作用在两个互相垂直的面上并且垂直于该两面交线的剪应力是互等的。(大小相等，正负号也相同)。因此剪应力记号的两个角码可以对调。
由力矩平衡得出简化得
2 yz dXdZ
sz
xy
yz
zx
T
(1 - 2)

9第2章弹性力学平面问题及空间问题有限元

v u v 2 ， y 6 ， xy 3 5 都是常量，即线性位移模式反映 x y y x
假定的位移函数是多项式，它是连续函数，可以肯定，在单元内部位移函数是单值连续的。由于单元的位移函数 u 、 v 都是坐标 x 、 y 的线性函数，在单元边界上位移也是线性变化的，两个相邻单元在公共节点上具有相同的节点位移，因而相邻单元在公共边界上位移连续，即协调条件得到满足。由上面分析可以看出，三角形常应变单元的位移模式可以保证计算结果的收敛。
px
py
px
py ]
T
（2-1-7b）
（2 ）若在 jm 边上受线性分布的水平方向的面力，它在 j 点的集度为 q ，在 m 点的集度为零（如图 2-5）。可预计由该面力求得的等效节点载荷只有 R xj 、
R xm ，其余节点载荷分量必为零。
将 jm 边上的分布面力写成 s 的函数，为
s { p} [ (1 ) q 0]T l 在 jm 边上的形函数也需用变量 s 表示，根据形函数的含义，
Ve
[k ii ] [k ij ] [ k im ] [k ji ] [k ij ] [k jm ] [k mi ] [ k mj ] [k mm ]
式中， t 为单元的厚度，当单元划分得足够小时，可以认为每个单元的厚度 t 为常值。子阵为
(2-1-5)
[k rs ] [ Br ]T [ D][B s ]tA
101
二、单元刚度矩阵 1、单元几何矩阵 [ B ] 有了单元的位移模式，利用平面问题的几何方程求得应变分量
0 x x u e e 0 { } [ L][ N ]{} [B ]{} y y v xy y x

第二章弹性力学

x , y , xy x , y , xy T u, vT
T
3个应力分量 3个应变分量 2个位移分量
但是其余的非独立未知分量却不完全相同： z 0; z x y ; xz 0; 平平 xz 0; 面面 yz 0; yz 0; 应应 z 0 力 z E x y 变 xz 0; 问问 xz 0; 题题 yz 0; yz 0; w0 w0
0
xy yx
§2.2 平衡微分方程
第二章弹性平面问题的基本理论
故平面应力问题的平衡方程为： x yx X 0 x y y xy Y 0 y x 注：1. 在平面应力问题的平衡方程中，包含三个基本未知量 x , y , xy yx ,但平衡方程只有两个，故还必须要考虑形变和位移，才能求解此问题。 2. 对于平面应变问题，在微元体上还有作用于前后面的正应力 z ，但由于它们自成平衡，不影响面内的平衡方程，故平面应力问题和平面应变问题具有相同的平衡微分方程。 3.平面问题的平衡方程是一阶微分方程，求解需要给出相应的应力边界条件。

第二章弹性平面问题的基本理论
§2.2
平衡微分方程
弹性力学中，分析问题一般从静力学、几何学和物理学三方面来考虑；本节首先考虑平面问题的静力学方面。根据微元体的平衡条件，可以导出应力分量和体力分量之间的关系，此即为平面问题的平衡微分方程。首先考虑平面应力问题: y
D B dy A P dx
§2.3 几何方程、刚体位移
ox y
P
x
y 弹性体在外力作用下，一般其内部各点都会产生位移，位移主要是由弹性体的变形引起的，本节从几何学方面考虑弹性力学平面问题中任意一点的位移和变形之间的关系。表示位移和应变之间关系的方程被称作几何方程。

[精华]弹性力学课件02第二章平面题目标基础实际

l
2
v
x
略去二阶小量后
1
2 r
l 2 (1 2
u ) x
2lm
u y
m2 (1
2
v ) y
2lm
v x
简化后
r l 2 x m2 y lm xy
应用：电测时应变花
六、物理方程
物理方程也称：本构方程、本构关系、物性方程。
简单胡克定律+泊松比效应+基本假设=广义胡克定律：
x
1 E
x
(
x
v v dx x
v v dy y
B u u dy
y
u u dx
A
x
v v dx x
u u dy
B
B y v v dy
y
注：略去了二阶以上高阶无穷小量。
PA的正应变：
x
u
u x
dx
u
dx
u x
PB的正应变：
y
v
v y
dy
v
dy
v y
P点的剪应变：
P点两直角线段夹角的变化
O
P
v
y v v dy y
fy 0
应力边界条件
图(b)： f x 0
应力边界条件
vs v 0 位移边界条件
例1、图示水坝，试写出其边界条件。
解、由应力边界条件公式，有
l( x )s m( xy )s fx
m( y )s l( xy )s f y
左侧面： l cos , m sin
x y tan
uN
u
du
u
u x
dx
u y
dy
vN

7第七讲、第二章弹性力学平面问题(9~10)

ZS《Rock Mass Mechanics》
2020/8/12
6
ZS《Rock Mass Mechanics》
2020/8/12
ZS
1. 平衡微分方程
平面问题的基本方程
3. 物理方程
2. 几何方程
（2-2）
（2-15）
（2-9）
4. 边界条件位移：
（平面应力问题）（2-17）
应力：
ZS《Rock Mass Mechanics》
注意：面力变换公式：
与坐标系的选取有关，
因此，适当选取坐标系，可使面力表达式简单。
2. 平面问题的基本方程：（1）平衡方程：
（3）物理方程：
（2）几何方程：
（2-2）
（2-15）
——平面应力问题（2-9）（4）边界条件：
（1） ——位移边界条件
（2）
——应力边界条件
3. 平面问题一点的应力、应变分析 (a) 任意斜面上应力或
（2）然后将
代入式（2-26）求出应力分量：
(2-27)
(2-26)
(2-28)
（无体力情形）
（3）再让
满足应力边界条件和位移单值条件（多连体问题）。
3. 应力函数 (x求, y解) 方法
3. 应力函数 (x求, y解) 方法
（1）逆解法
（1）根据问题的条件（几何形状、受力特点、边界条件等），
式(a)为非齐次方程，其解：
全解 = 齐次方程通解 +非齐次方程的特解。
的通解。
(2) 通解
式(a) 的齐次方程：
(d)
的通解。将式(d)第一式改写为
由微分方程理论，必存在一函数 A(x,y)，使得

第2章_1 弹性力学基础与地震波—弹性力学基础PPT课件

受力后线段长度的相对变化—正应变正交角度的变形—剪应变
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5
分析：
介质中某一点Ａ的正应变与剪应变的定义还与ＡＢ线的取向有关
在三维空间中，介质中任意一点的正应变有３个取值，分别记为： e11,e22,e33
介质中任意一点的剪应变有６个取值，分别记为： e12,e13,e21,e23,e31,e32
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10
设ｘ处质元ｔ时刻的位移为u(x,t)，运动速度则为（考虑小形变）ｘ处质元ｔ时刻的加速度为
设均匀杆的密度为ρ，则长度为ｄｘ的小质元的运动方程为
即
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11
一维均匀弹性杆的波动方程
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12
一维均匀弹性杆的波动方程
波动方程的一般解形式为
ｆ可以是任意的连续函数。以上形式的解称为达朗伯（D’Alembert）解，即波动方程的行波解。
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9
四、波动方程
弹性介质中，任一处质点产生一个扰动，即该处质点发生一个小位移，由于介质的弹性性质，该处的运动会影响相邻点，扰动就会向周围传播。波动方程就是对弹性介质中扰动激发和传播规律的数学表达。
均匀弹性杆的一维波动方程
忽略体力，一维均匀杆中质点受力运动描述
分析截面积为Ｓ的均匀弹性杆上、长度为dx的小质元受力运动情况，暂忽略体力的作用。
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三维均匀介质中的波动方程
由赫姆霍茨定理，任意一个矢量场ｕ都可以表达为一个无旋度的矢量场和一个无散度的矢量场之和，并略去体力
即有
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17
三维均匀介质中的波动方程
* 三维弹性介质中可以存在两种以不同速度传播的波，一种是以较快
的速度α传播的无旋波ｕ１，在地球内部传播的这种波通常称为Ｐ波（Primary wave），因为它首先到达记录台站；

同济大学弹性力学第二章-修改20140226

第二章应力状态理论
2.1 体力和面力 2.2 应力和一点的应力状态 2.3 与坐标倾斜的微分面上的应力 2.4 平衡微分方程应力边界条件 2.5 转轴时应力分量的变换 2.6 主应力应力张量不变量 2.7 最大切应力
第二章应力状态理论
弹性力学研究的都是超静定问题，故而必须从静力学、几何学和物理学三个方面一起考虑。
2.4 平衡微分方程应力边界条件
B
B A
A
物体受外力作用处于平衡状态也保证了单元体的平衡分别在物体内取任意一个平行六面体和四面体分析其平衡
z
考虑 Fx 0 ，有
z z dz
z zy zy dz
z
(x x dx)dydz xdydz (yx yx dy)dxdz
x
y
yx
y
zx zx dz
fz xzl yzm zn
2.5 转轴时应力分量的变换
z
c
f xz
x’
M
f xy
O
f xx
b
y’ a
z’
x
ij yxx
xy y
xz yz
zx zy z
y
？
x xy xz
ij yx
y
yz
zx zy z
x
xl12
ym12
zn12
2
yzm1n1
Fz 0
Mx 0
My 0
Mz 0
z
z z dz z
zy zy dz z
yx
zx zx dz z
xy
x yz yz dy
y
xz xz dx
y
x xz
xy xy dx x
y y dy

弹性力学第二章：应力分析

p x N l, p y N m, pz N n
py
yz M p x zy
B
根据斜截面应力状态
p x x l xy m xz n p y yx l y m yz n p z zx l zy m z n
已知一点的六个应力分量，可以确定该点任意斜截面上的应力
C z
y
cos( N , x) l cos( N , y ) m
pz px
xy x
yx
pN
py
N
cos( N , z ) n
SABC dA
yz
M
zx
z
xz
B
SABM ndA
SAMC mdA
zy
x
yz x
xz xy
yz
y
xy
xz
zy
zx
z
yx
o x
y
各应力分量的符号规定正面负面
单元体截面的外法线方向沿着坐标轴正方向
单元体截面的外法线方向沿坐标负方向者为负
正面正向，负面负向
正面上的应力分量以沿坐标轴正方向者为正，沿坐标负方向者为负负面上的应力分量以沿坐标轴负方向者为正，沿坐标轴正方向者为负
x X x l1 Yx m1 Z x n1 1 T p x xy X x l 2 Yx m2 Z x n2 2
T
xz X x l 3 Yx m3 Z x n3 3 T
p x p x
3、应力边界条件 x xy m xz n p x