江苏省数学竞赛提优教案：第71讲_三角问题选讲

第十一讲 三角问题选讲三角既是一个数学分支，同时也是一种数学方法．三角函数是沟通形与数的联系的有力工具，在各数学分支中有着广泛的应用．三角方法是指主动地、有意识地实施三角代换，将一些代数、几何问题迁移到三角函数情境中来，利用三角体系完整的公式去简化、解决问题．同时，借助于三角公式，也可将三角问题转化为代数或其他问题进行求解．另外，三角原于测量与解三角形，三角函数理论在解决生产、科研和日常生活中的实际问题中也有着广泛的应用．A 类例题例1 函数 |cos ||cos 2|(y x x x =+∈R ) 的最小值是 .（2005年江苏省数学竞赛） 分析 题中函数含x 与2x 的三角函数，可考虑先用三角公式化为x 的三角函数，再寻求解题方法．解 令 |cos |[0,1]t x =∈，则 2|21|y t t =+-．当1t ≤≤ 时， 2219212()48y t t t =+-=+-，得2y ≤≤；当 0t ≤<时， 2219212()48y t t t =-++=--+，得98y ≤≤又 y 可取到, 故填． 说明 三角函数的问题有时也可通过变量代换的方法将其转化为代数问题进行求解，实施转化的前提是熟练掌握和深刻理解三角的公式，如本题抓住二倍角的余弦可表示为单角余弦的二次式这一特征，从而作出相应的变量代换．例2 求方程xy +=的实数解．分析 这是一个具有对称性的无理方程，可考虑用三角代换去掉根号，化有三角方程求解，由于根号里面为x -1与y -1，故联想公式sec 2α-1=tan 2α，可进行如下变换：x =sec 2α，y =sec 2β．解 由题意知x >1，y >1，可设x =sec 2α，y =sec 2β，其中0,2παβ<<，从而x -1= sec 2α-1=tan 2α，y -1= sec 2β-1=tan 2β，原方程可化为： sec 2α²tan β+ sec 2β²tan α=sec 2α²sec 2β， 即2222sin sin 1cos cos cos cos cos cos βααββααβ+=，因此有sin β²cos β+sin α²cos α=1，即sin2β+sin2α=2，从而sin2β=1，sin2α=1，4παβ==，因此x =y =2，经检验，x =2，y =2是原方程的解．说明 施行适当的三角代换，将代数式或方程转化为三角式或方程求解，这是三角代换应用的一个重要方面，充分体现了三角与代数之间的内在联系．例3 已知正三角形ABC 内有一条动线段，长为a ，它在△ABC 三边AB 、BC 、AC 上的射影长分别为l 、m 、n ．求证：222232l m n a ++=． 分析 动线段在三角形各边上的射影可由动线段的长a和动线段与各边所成角表示出来，因此问题的关键是如何表示出动线段与各边所成角．解 设动线段为PQ ，长为a ，设PQ 与BC 所成角为θ（0°≤θ≤90°），则PQ 与AC 所成角为60°-θ，PQ 与AB 所成角为60°+θ，于是有l =a cos(60°+θ)，m =a cos θ，n =a cos(60°-θ)，因此有l 2+m 2+n 2=a 2[cos 2(60°+θ)+ cos 2θ+ cos 2(60°-θ)]， 而cos 2(60°+θ)+ cos 2θ+ cos 2(60°-θ) =1cos(1202)1cos 21cos(1202)222θθθ+︒+++︒-++=313(cos120cos 2cos 2cos120cos 2)222θθθ+︒++︒=，∴222232l m n a ++=． 说明 本题也可以利用向量知识求解，读者不妨一试．情景再现1．若sin sin 1x y +=，则cos cos x y +的取值范围是 A ． [2, 2]- B ． [1, 1]- C ．D ．[（2005年浙江省数学竞赛）2．求所有的实数x ∈[0,2π],使(2sin 2)sin()14x x π-+=,并证明你的结论．3．△ABC 的三条边长分别为a 、b 、c ．求证：222222||||||a b b c c a c a b ---+≥．（2005年江西省数学竞赛）B 类例题例4 △ABC 的内角满足222cos sin 1,cos sin 1,cos sin 1a A b A a B b B a C b C +=+=+=试判断△ABC 的形状．分析 所给三式结构相同，可将222(cos ,sin ),(cos ,sin ),(cos ,sin )A A B B C C 视为1ax by +=的三组解，而1ax by +=又可看作直线方程，222(cos ,sin ),(cos ,sin ),(cos ,sin )A A B B C C 又可看作曲线21x y +=上的三个点，因此本题可考虑用解析几何的方法去求解．证明 由题意，222(cos ,sin ),(cos ,sin ),(cos ,sin )A A B B C C 为方程1ax by +=的三组解，因此以其为坐标的三点M 、N 、P 都在直线1ax by +=上，又222(cos ,sin ),(cos ,sin ),(cos ,sin )A A B B C C 都满足方程21x y +=，因此三点M 、N 、P 又都在曲线21x y +=上，所以三点M 、N 、P 都为曲线21x y +=与直线1ax by +=的交点，而直线与抛物线至多有两个交点，因此M 、N 、P 至少有两个点重合，不妨设M 与N 重合，则由22cos cos ,sin sin A B A B ==得A =B ，故三角形ABC 是等腰三角形．例5已知三个锐角,,αβγ满足222cos cos cos 2αβγ++=．求tan tan tan αβγ的最大值． 分析 注意到条件222cos cos cos 2αβγ++=，联想长方体的性质，构造长方体来求解．解 构造长方体，使,,αβγ分别为对角线与三个面所成角，则222cos cos cos 2αβγ++=，设长方体长、宽、高、对角线分别为a 、b 、c 、l ，则cosα，cos β=cos γ=， tan α=tan β，tan γ=，从而tan tan tan αβγ=≤=，当且仅当a b c ==时取等号，因此tan tan tan αβγ． 说明 构造几何模型，使三角关系形象化、具体化，构造法是用几何方法解决三角问题的常用方法．例6 给定正整数n 和正数M ，对于满足条件a 12+a n +12≤M 的所有等差数列{a n }，求S =a n +1+a n +2+…+ a 2n +1的最大值．（1999年全国联赛一试）分析 本题有多种解法，由条件a 12+a n +12≤M ，也可考虑作三角代换，利用三角函数的有界性求解．解设11cos ,sin (01,02)n a a r θθθπ+==<≤≤<，则 12111111111()(2)(3)222n n n n n n n n S a a a a a a a ++++++++=+=+-=-(3sin cos )θθ=-≤≤．例7 设△ABC 内有一点P ，满足∠PAB =∠PBC =∠PCA =θ． 求证：cot θ=cot A +cot B +cotC.分析 设三边为a 、b 、c ，PA 、PB 、PC 分别为x 、y 、z ，可考虑利用正弦定理、余弦定理来表示出边角关系，进而证明本题．解 对三个小三有形分别使用余弦定理得：y 2=x 2+c 2-2xc cos θ，z 2=y 2+a 2-2ya cos θ，x 2=z 2+b 2-2zb cos θ，三式相加得：2(ay +bz +cx )cos θ=a 2+b 2+c 2，又由正弦定理知，S △ABC = S △ABP +S △PBC +S △PAC =12(xc +ay +bz )sin θ，两式相除得：222cot 4ABCa b c S θ∆++=，又在△ABC 中，由余弦定理有a 2=b 2+c 2-2bc cos A ，b 2=c 2+a 2-2ca cos B ，c 2=a 2+b 2-2ab cos C ，相加得，a 2+b 2+c 2=2ab cos C +2bc cos A +2ac cos B ，从而2cos 2cos 2cos cot 444ABC ABC ABCab C bc A ca BS S S θ∆∆∆=++， 又4S △ABC =2ab sin C =2bc sin A =2ac sin B ，分别代入上式右边的三个分母即得：cot θ=cot A +cot B +cotC.说明 合理利用正弦定理、余弦定理可解决平面几何中的一些边角关系式的证明．情景再现4．如图，一块边长为20cm 的正方形铁片ABCD 已截去了一个半径为r cm （r ∈（0，20]）的扇形AEF （四分之一个圆），用剩下部分截成一个矩形PMCN ，怎样截可使此矩形面积最大？最大面积为多少？CMFDBA5．求满足下式的锐角x 4=6．P 是△ABC 的内心，R 、r 分别为△ABC 外接圆和内切圆的半径．求证：6r ≤PA +PB +PC ≤3R .C 类例题例8 给定曲线族22(2sin cos 3)(8sin cos 1)0x y θθθθ-+-++=，θ为参数，求该曲线在直线2y x =上所截得的弦长的最大值．（1995年全国联赛二试）分析 显然，该曲线族恒过原点，而直线2y x =也过原点，所以曲线在直线2y x =上所截得的弦长仅取决于曲线族与2y x =的另一交点的坐标．解法一 把2y x =代入曲线族方程得：2(2sin cos 3)(8sin cos 1)0x x θθθθ-+-++=，又2sin cos 330θθ-+≥>，故x ≠0时，就有8sin cos 12sin cos 3x θθθθ++=-+，令22221sin ,cos 11u u u u θθ-==++，则281221u x u u +=++，得2xu 2+2(x -4)u +(x -1)=0，由u ∈R 知，当x ≠0时，△=[2(x -4)]2-8x (x -1)=4(-x 2-6x +16)≥0，从而-8≤x ≤2且x ≠0，因此|x |max =8，由2y x =0|x ，=解法二 曲线族与直线2y x =相交于（0，0）及另一点00(,)x y ，且0x 满足000(28)sin (1)cos 13x x x θθ--+=-，故存在ϕ，使得00(28)sin (1)cos )x x θθθϕ--+=-0|13|x ≥-，解得082x -≤≤，0|x ，从而弦长的最大值=说明 方法一主要是应用万能公式，将三角问题转化成代数问题求解，方法二利用sin cos a x b x +的有界性求解，方法更为巧妙．例9 求证：sin n 2x +(sin n x -cos n x )2≤1，其中n ∈N*.(2000年俄罗斯数学竞赛题) 分析：即证2nsin nx cos nx +sin 2nx +cos 2nx -2 sin n x cos n x ≤1，即证sin 2n x +cos 2n x +(2n-2)sin n x cos n x ≤1，显然可考虑将右边的1代换成(sin 2x +cos 2x )n，并展开进行证明．证 1=(sin 2x +cos 2x )n=0212222244sin sin cos sin cos n n n n n n C x C x x C x x --++326612222sin cos sin cos cos n n n n n n n n C x x C x x C x ---++++，同理1=( cos 2x +sin 2x )n=021*******cos cos sin cos sin n n n n n n C x C x x C x x --++326612222cos sin cos sin sin n n n n n n n n C x x C x x C x ---++++，两式对应项相加得：2=022(sin cos )n n n C x x +1222222(sin cos cos sin )n n n C x x x x --++2244244(sin cos cos sin )n n n C x x x x --++22(cos sin )n n n n C x x +++，保留第一个括号与最后一个括号内的式子不动，由基本不等式得 22sin cos cos sin 2sin cos n k k n k k n n x x x x x x --+≥，其中k 为偶数．因此其它各个括号内的式子均不小于2sin cos n n x x ，从而有2≥222(sin cos )n n x x ++2sin cos n n x x 121()n nn n C C C -+++，即1≥22(sin cos )n n x x ++sin cos (22)n n n x x ⋅-，即有2n sin nx cos nx +sin 2nx +cos 2nx -2 sin n x cos nx ≤1，即sin n2x +(sin nx -cos nx )2≤1．情景再现7．三棱锥V -ABC 的三条棱VA 、VB 、VC 两两垂直，三个侧面与底面所成的二面角大小分别为,,αβγ．求证：222111cos cos cos ()cos cos cos αβγαβγ++≥8．设a 、b 、c 为△ABC 的三条边，a ≤b ≤c ，R 和r 分别为△ABC 的外接圆半径和内切圆半径．令f =a +b -2R -2r ，试用C 的大小来判定f 的符号．习题1．若,,a b c 均是整数（其中090c <<）sin a b c =+︒，则a bc+的值是Ａ． Ｂ．12 Ｃ．23 Ｄ．132．设n ∈N ，n sin1>5cos1+1，则n 的最小值是（ ）A ．4B ．5C ．6D ．73．求证：|sin ||sin |nx n x ≤，*n N ∈4．设凸四边形ABCD 之对角线交于点P ，∠APB =θ，求证：2222cos 2AD BC AB CD AC BD θ+--=⋅（四边形的余弦定理）5．在直角三角形ABC 中，c 为斜边长，,S r 分别表示该三角形的面积和内切圆的半径，求crS的取值范围．6．若x 、y 、z 中的每个数恰好等于其余两数和的余弦．求证：x =y =z ．7．已知集合T 222{(,)|,,(7)}x y x y R x y r =∈+-≤且，集合{(,)|,,,cos 2cos 0}S x y x y R R x y θθθ=∈∈++≥且对任何都有，试求最大正数r ，使得集合T 为集合S 的子集．8．已知ABC ∆中，,,x y z 为任意非零实数，求证：2222cos 2cos 2cos x y z xy C yz A zx B ++≥++，其中当且仅当::sin :sin :sin x y z A B C =时等号成立．9．求函数y =的值域．10．已知0a b >>，用三角方法证明：22ab a ba b +<<<+ 11．点P 在△ABC 内．求证：a cos A +b cos B +c cos C ≤PA ²sin A +PB ²sin B +PC ²sin C ． 12．设0,,2παβγ≤≤，222cos cos cos 1αβγ++=．求证：2242(1cos )sin αα≤+224224(1cos )sin (1cos )sin ββγγ++++222(1cos )(1cos )(1cos )αβγ≤+++本节“情景再现”解答：1．解：设 cos cos x y t +=， ∴ 222cos 2cos cos cos x x y y t ++=． 又由 sin sin 1x y +=，故 22sin 2sin sin sin 1x x y y ++=． 因此有 22(cos cos sin sin )1x y x y t +=+，即 22cos()1x y t -=+ 由于1cos()1x y -≤-≤，所以有 23t ≤，即t ≤≤ ∴选D ．2．解：令sin()4x t π+=，即sin cos x x +=，于是2sin 221x t =-从而有2(32)1t t -=，即32310t t -+=，注意1t =是上述方程的解，故2(1)(221)0t t t -+-=，由于02x π≤≤1t ≤≤，于是2122122112t t +-≥⨯+->．从而，方程有唯一解1t = 故原方程有唯一解4x π=．3． 证明：即证：222222222|sin sin ||sin sin ||sin sin |sin sin sin A B B C C A C A B ---+≥，注意到：22sin sin sin()sin()sin sin()A B A B A B C A B -=+-=-，故只要证|sin()||sin()||sin()|A B B C C A -+-≥- 而|sin()||sin[()()]|C A A B B C -=-+-|sin()cos()cos()sin()||sin()||sin()|A B B C A B B C A B B C =--+--≤-+-当且仅当A =B =C 时等号成立．4．解 以A 为原点，射线AB 为x 轴正半轴，建立直角坐标系，设∠PAE =θ，则C (20，20)，P (r cos θ，r sin θ)，θ∈[0，2π]．令矩形PMCN 面积为S ，则S =（20-r cos θ）(20-r sin θ)=400-20r (cos θ+sin θ)+r 2sin θcos θ，令cos θ+sin θ=a ，则sin θcos θ=212a -，a ∈，则S =2220[()1]2002r a r --+，（1）当20r ∈即40,20]r ∈-时，若S 取得最大值，则4a πθ==，222max20)1]20040022r r S r =--+=-+． CMFDBA（2）当20r =，即40r =-时，若S 取得最大值，则222max1]2002002r S =-+=+． （3）当20)r ∈+∞，即(0,40)r ∈-时，若S 取得最大值，则22max20[(1)1]200400202r S r r=--+=-． 5．解：将原式变为余弦定理的形式：4=据此，可作共边的两个三角形△ACD 、△BCD ，（如图），使ACCD，BC =2，∠ACD =x ，∠BCD =2x π-，依题意有AD +BD =4，连AB ，在Rt △ABC 中，AB4=，故点D 在AB 上，有面积等式S △ACD +S △BCD =S △ABC ，即2sin()2x x π-=1cos 12x x +=，即sin()16x π+=，又 x 为锐角，故3x π=．6．证明：∠APB =()222AB C ππ+-+=，由正弦定理得：2sin 4sin sin 2sin cos cos 222AP AB AB R C CR B C C APB ====∠，于是4sin sin 22B C AP R =， 同理可得4sin sin 22A C BP R =，4sin sin 22A BCP R =， 故PA +PB +PC =4R (sin sin 22B C +sin sin 22A C +sin sin 22A B ) ≤4R (sinsin sin 222A B C ++)2≤4R 2=3R ．再作PH ⊥AB 于H ，则PH =r ，PA =sin2r A ，同理：PB =sin2r B ，PC =sin2r C从而PA +PB +PC =sin2r A +sin 2r B +sin2r C ≥r ²36r ≥=． 综上所述，6r ≤PA +PB +PC ≤3R .7．证明：可先证222cos cos cos 1αβγ++=，作VO ⊥平面ABC 于O ，OD ⊥AB 于D ，则∠VDO =α．令VA =a ，VB =b ，VC =c ，DC B则2222222222211cos 1tan 1()a b c a b b c c a VDαα===++++，同理可得222222222cos b c a b b c c a β=++，222222222cos c a a b b c c a γ=++，所以222cos cos cos 1αβγ++=≥8．解：由三角形相关知识有：2sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ===，4sinsin sin 222A B C r R =，因此f =2R (sin sin 14sin sin sin )222A B CA B +-- 2[2sin cos 12(cos cos )sin ]22222B A B A B A B A CR +-+-=-+- 24cos (cos sin )24sin 2222B A C C C R R R -=--+ 224cos (cos sin )2(cos sin )22222B A C C C CR R -=--- 2(cossin )(2cos cos sin )22222C C B A C C R -=--- ∵A B C ≤≤，∴0B A B C ≤-<≤，又0B A B A ≤-<+，因此coscos ,cos cos sin 22222B AC B A B A C --+>>=，故2coscos sin 222B A C C->+，则()0cos sin 222C C f x C π>⇔>⇔<；()0cossin 222C C f x C π=⇔=⇔=，()0cossin 222C C f x C π<⇔<⇔>． “习题”解答：1．解：选B ．98sin 5098sin108sin108sin 50-︒=+︒-︒-︒ 98sin108[sin(3020)sin(3020)]=+︒-︒-︒+︒+︒ 298sin108cos 2098sin108(12sin 10)=+︒-︒=+︒--︒ 2216sin 108sin101(4sin101)=︒+︒+=︒+ 所以1,4,10a b c ===，12a b c +=． 2．解：由sin3π>sin1,cos1>cos3π得，n ²sin3π>n ²sin1>5cos1+1>1+5cos3π，因此n4=>，因此n 的最小值是5，选B ． 3．解：这是与自然数有关的命题，可以考虑用数学归纳法来证明．当1n k =+时，证明如下：|sin(1)||sin cos cos sin ||sin cos ||cos sin |k x kx x kx x kx x kx x +=+≤+ |sin ||sin |(1)|sin |kx x k x ≤+≤+4．证明：不妨设PA 、PB 、PC 、PD 的长分别为a 、b 、c 、d ，则有AD 2=a 2+d 2+2ad cos θ，BC 2=b 2+c 2+2bc cos θ， AB 2=a 2+b 2-2ab cos θ，CD 2=c 2+d 2-2cd cos θ，前两式之和减去后两式之和得：AD 2+BC 2-AB 2-CD 2=2(ad +bc +ab +cd )cos θ，又凸四边形ABCD 中， AC ²BD =ad +bc +ab +cd ，因此AD 2+BC 2-AB 2-CD 2=2 AC ²BD cos θ，∴2222cos 2AD BC AB CD AC BDθ+--=⋅．5．解：22()(sin cos 1)sin cos 1sin cos sin cos cr c a b c c A A A A S ab c A A A A +-+-+-===2sin cos 1A A ==++(0,)2A π∈知crS 的取值范围是1),1)．6．证明：依题意有x =cos(y +z )，y =cos(z +x )，z =cos(x +y )，则x -y =cos(y +z )-cos(z +x )=22sin sin22x y z x y++- ① ∵2|||sin |1,|sin |()222x y z x y x y x y ++--≤<≠∴当x y ≠时，由①式有||2|sin |||2x yx y x y --≤<-，产生矛盾．因此x =y ，同理可证y =z ，于是x =y =z ．7．解法一：S 集即为由直线cos cos 2y x θθ=--确定的上半平面的交集（θ不同，相对应的上半平面一般也不同，但所有的这种上半平面有公共部分即交集；另外，可以规定上半平面也包含这条直线），而半径为r 的圆的圆心（0，7）到直线cos cos 2y x θθ=--的距离为r 应满足r r 的最小=≥，当且仅当cos 1θ=±时，r 的最大值为解法二：（二次函数方法）把cos2θ+x cos θ+y ≥0改写为2cos2θ+x cos θ+y -1≥0，令t =cos θ问题等价转换为2t 2+xt +y -1≥0(-1≤t ≤1)恒成立，求x ,y 的关系．可按对称轴位置分两种情况讨论： ①若对称轴t =4x -<-1或t =4x->1（即x >4或x <-4）时，只须t =cos θ=±1时，恒有2t 2+xt +y -1≥0即可，从而可得：10(44)10x y x x x y ++≥⎧><-⎨-++≥⎩或；②若对称轴t =4x -∈[-1，1]，即-4≤x ≤4时，只须判别式△≤0即x 2≤8(y -1), (-4≤x ≤4)．综上可得：S 对应的平面点集为10(44)10x y x x x y ++≥⎧><-⎨-++≥⎩或或x 2≤8(y -1), (-4≤x ≤4)，设圆x 2+(y -7)2=r 2与抛物线x 2=8(y -1)相切，消去x 得8(y -1)+(y -7)2-r 2=0，即y 2-6y +41-r 2=0，令△=0得r =x =±4, y =3，而点（0，7）到直线y +x +1=0的距离为r 最大值为．8．证：作差，222(2cos 2cos 2cos )x y z xy C yz A zx B ++-++ =222(2cos 2cos )2cos()x y z xy C zx B yz B C ++-+++=222(2cos 2cos )2(cos cos sin sin )x y z xy C zx B yz B C B C ++-++-（配方） =22(cos sin )(sin sin )0x y C z B y C z B --+-≥．等号成立的充要条件是cos cos 0sin sin 0x y C z B y C z B --=⎧⎨-=⎩，易得:sin :sin y z B C =，则y =k sin B ，z =k sin C ，代入得x =k sin(B +C )=k sin A ，∴::sin :sin :sin x y z A B C =．9．解：函数的定义域为[4，5]，可设24sin (0)2x πθθ=+≤≤，则有sin 2sin()3y πθθθ==+=+，又02πθ≤≤，因此值域为[1，2]．10．证明 引进平均值三角变换，222cos ,2sin ,(045,0)a b λθλθθλ==<<︒>，则2a bλ+=，sin 2λθ==，2222sin 2sin 2ab a b λθλθλ==+，==21sin 2sin 2θθ>>>得22ab a ba b +<<<+．11．证明：过P 作三边垂线，分别交BC 、AC 、AB 于D 、E 、F ，设AP =x ，BP =y ，CP =z ，∠PAE =α，则cos α=AE x ，cos(A -α)= AFx， 则cos cos cos cos cos()cos AE AFB C B A C x xαα+=+-， 下证cos cos cos()cos sin B A C A αα+-≤，即cos cos sin AE B AF C x A ⋅+⋅≤． cos cos cos()cos cos cos()(cos cos sin sin )cos B A C A C A A Cααααα+-=-+++=sin sin cos cos cos cos cos cos cos sin cos sin A C A C A C A C αααα-++=sin (sin cos cos sin )sin sin()sin A C C A C A ααα+=+≤． ∴cos cos cos()cos sin B A C A αα+-≤， 即cos cos sin AE B AF C x A ⋅+⋅≤成立． 同理，cos cos sin BE C BD A y B ⋅+⋅≤，cos cos sin CD A CE B z C ⋅+⋅≤，三式相加即得所证不等式成立．12．证明 设222cos ,cos ,cos a b c αβγ===，则0,,1a b c ≤≤，且1a b c ++=，从而原不等式等价于44422202()1a b c a b c ab bc ca abc ≤++-+++≤+++ ①令 ,ab bc ca u abc v ++==，则22212a b c u ++=-，44422441a b c u u v ++=-++， 于是①等价于2024u v u v ≤+≤+2024u v ≤+显然成立，等号当,,αβγ中两个取2π，一个取0时成立．224u v u v +≤+等价于223u u v -≥，由2222()33a b c a b ca b c ++++++≥=， ∴22222(12)()()u u u u ab bc ca a b c -=-=++++()333a b cab bc ca abc v ++≥++≥== 故原不等式成立．。