初中数学竞赛专题：三角函数

初中数学竞赛专题：三角函数

§7．1锐角三角函数

7．1．1★比较下列各组三角函数值的大小：

（1）sin19︒与cos70︒；

（2）cot65︒与cos40︒；

（3）cos1︒,tan46︒,sin88︒和cot38︒．

解析（1）利用互余角的三角函数关系式,将cos70︒化sin20︒,再与sin19︒比大小．

因为()

︒=︒-︒=︒,而

cos70cos9020sin20

︒<︒,

sin19sin20

所以sin19cos70

︒<︒．

（2）余切函数与余弦函数无法化为同名函数,但是可以利用某些特殊的三角函数值,间接比较它们

的大小．cot60cos45

︒=<︒=,再将cot65︒,cos40︒分别与cot60︒,cos45︒比大小．

因为

︒>︒>,

︒<︒=,cos40cos45

cot65cot60

所以cot60cos45

︒<︒,

所以cot65cos40

︒<︒．

（3）tan451

︒=,显然cos1︒,sin88︒均小于1,而tan46︒,cot38︒均大于1．再分别比较cos1︒与sin88︒,以及tan46︒与cot38︒的大小即可．

因为()

cos38cot9052tan52

︒=︒-︒=︒,所以

︒>︒>︒=．

tan52tan46tan451

因为()

︒=︒-︒=︒,

cos1cos9089sin89

所以sin88sin891

︒<︒<,

所以cot38tan46cos1sin88

︒>︒>︒>︒．

评注比较三角函数值的大小,一般分为三种类型：

（1）同名的两个锐角三角函数值,可直接利用三角函数值随角变化的规律,通过比较角的大小来确定三角函数值的大小．

（2）互为余函数的两锐角三角函数值,可利用互余角的三角函数关系式化为同名三角函数,比较

其大小．

（3）不能化为同名的两个三角函数,可通过与某

些“标准量”比大小,间接判断它们的大小关系,常选择的标准量有：0,1以及其他一些特殊角如

30︒,45︒,60︒的三角函数值．

7．1．2 ★化简求值：

（1）tan1tan2tan3tan89︒⋅︒⋅︒⋅⋅︒； （2

sin83︒；

（3）2222tan sin tan sin αα

αα

⋅-；

（4

cos 79sin 79︒-︒；

（5）若tan 3α=求2sin sin 13sin cos αα

αα

-+的值．

解析（1）

原式=tan1tan2tan3tan44tan45cot 44cot 43cot3cot 2cot1︒⋅︒⋅︒⋅⋅︒⋅︒⋅︒⋅︒⋅⋅︒⋅︒⋅︒

()()()tan1cot1tan 2cot 2tan 44cot 44tan 45=︒⋅︒⋅︒⋅︒⋅

⋅︒⋅︒⋅︒

1111=⋅⋅

⋅=．

（2

）原式1

cos7cos71cos7=︒=⋅︒=︒

． （3）原式()224422

422

22sin sin sin sin cos 1sin sin sin 1cos sin cos α

αααααααααα

⋅====--． （4）原式

sin11cos11sin11cos11sin11cos110︒-︒=︒-︒-︒-︒=．

（5）原式222

2sin cos sin sin cos sin 13sin cos sin cos 3sin cos αααααα

αααααα

--==+++ 2222tan tan 336

tan 13tan 313319

αααα--===-

++++⨯． 评注 同角三角函数关系式以及互余两角三角函数关系式,在三角式变形、化简、求值及证明

中是重要的依据．

7．1．3★试证明在锐角三角形中,任何一个角的正弦大于其他两个角的余弦． 解析

在锐角三角形里,显然有90A B ∠+∠=︒,所以有9090A B ︒>∠>︒-∠．

由于在0︒~90︒范围内,当A ∠增加时,其正弦值是增加的,于是我们知道()sin sin 90cos A B B >︒-=．

同理可以证明其他的五组． 7．1．4★下列四个数中哪个最大： A ．tan48cot 48︒+︒ B ．sin48cos48︒+︒ C ．tan48cos48︒+︒

D ．cot 48sin48︒+︒

解析

显然0sin481<︒<,0cos481<︒<0

sin 48sin 48tan 48cos48︒

︒<=︒︒

, cos48cos48cot 48sin 48︒

︒<

=︒︒

所以A 最大．

7．1．5★设x 为锐角,且满足sin 3cos x x =,求sin cos x x ． 解析 我们将sin 3cos x x =代入22sin cos 1x x +=,得到210cos 1x =,并且x 是锐角,

因此cos x =

所

以sin x =

因此3sin cos 10

x x =

． 7．1．6★★在ABC △中,3C A ∠=∠,27BC =,48AB =．证明：2A ∠是锐角,并计算cos2A 的值． 解析

若290A ∠︒≥,则45A ∠︒≥,3135C A ∠=∠︒≥,于是180A B C ∠+∠+∠>︒,矛盾．

为计算cos2A ,必须构造出一个以2A ∠为其一锐角的直角三角形．如图,过C 作CD 交AB 于D ,使

ACD A ∠=∠,则32BCD A A A ∠=∠-∠=∠．

A

B

C D

E

又CDB A ACD ∠=∠+∠ =2A BCD ∠=∠ 所以27BD BC ==,

21AD AB BD =-=, 21DC AD ==．

作BE CD 丄于E ,则212CE DE ==

,故217cos2cos 5418

CE A BCE BC =∠===． 7．1．7

★已知sin cos αα+,求sin cos αα的值．