高一数学竞赛培训——三角函数(包括答案)
全国高中数学竞赛专题-三角函数
全国高中数学竞赛专题-三角函数三角函数是数学中的一个重要分支，它与三角学和几何学密切相关，广泛应用于物理、工程、计算机科学等领域。
在全国高中数学竞赛中，三角函数是一个常见的考点，掌握好相关知识对于获得好的成绩至关重要。
首先，我们来介绍一下三角函数的基本概念。
在直角三角形中，定义了三个基本三角函数：正弦函数（sin）、余弦函数（cos）和正切函数（tan）。
这些函数的值与直角三角形的各边长之间的关系密切相关，可以通过三角函数表格或计算器查到具体的数值。
接着，我们来讨论一下三角函数的性质和相关公式。
首先是奇偶性。
正弦函数是奇函数，即sin(-x)=-sin(x)；余弦函数是偶函数，即cos(-x)=cos(x)；正切函数的奇偶性与正弦函数相同，即tan(-x)=-tan(x)。
其次是周期性。
正弦函数和余弦函数的周期都是2π，即sin(x+2π)=sin(x)，cos(x+2π)=cos(x)；正切函数的周期是π，即tan(x+π)=tan(x)。
最后是相关公式。
三角函数之间有一系列的相关公式，如正弦函数和余弦函数之间的勾股定理：sin^2(x) + cos^2(x) = 1；另外还有和差公式、积化和差公式等。
在解题过程中，掌握好三角函数的这些性质和公式，是非常重要的。
很多题目需要在使用相关公式的基础上，灵活运用三角函数的性质，进行合理的转化和变形。
这不仅要求对三角函数的概念有深刻的理解，还需要通过大量的练习和思考，掌握一些解题的技巧和方法。
此外，在解题过程中，还需要掌握一些常见三角函数的特殊值。
例如，sin0=0，sinπ/6=1/2，sinπ/4=√2/2，sinπ/3=√3/2等。
对于这些特殊值的掌握，有助于简化计算和验证答案。
最后，我们来介绍一些常见的三角函数应用题。
在数学竞赛中，三角函数的应用题常常涉及到几何问题、物理问题以及实际生活中的应用问题。
比如，在几何问题中，可以根据角度和边长给出的条件，计算出未知边长或角度的值。
高一数学三角函数试题答案及解析
高一数学三角函数试题答案及解析1.化简 = ;【答案】【解析】【考点】本题主要考查两角和与差的正切公式。
点评：在三角函数的化简与求值时，通常将常数写成角的一个三角函数，再根据有关公式进行变形。
2.若x∈(0，2π)，函数的定义域是A．( ,π］B．( ,π)C．(0,π)D．( ,2π)【答案】A【解析】为使函数有意义须，即，又x∈(0，2π)，所以x∈( ,π］，故选A。
【考点】本题主要考查三角函数的图象和性质。
点评：求三角函数的定义域，应特别注意正切函数本身的定义域。
3.若，试求y＝f(x)的解析式.【答案】y＝【解析】由x＝sinθ＋cosθx2＝1＋2sinθcosθsinθcosθ＝∴y＝f(x)＝sinθcosθ＝【考点】本题主要考查任意角的三角函数、同角公式的应用。
点评：的互求，常常通过平方（开方）实现，这类题属于常考题型。
4.将角α的终边顺时针旋转，则它与单位圆的交点坐标是A．（cosα，sinα）B．（cosα，－sinα）C．（sinα，－cosα）D．（sinα，cosα)【答案】C【解析】α的终边与单位圆的交点坐标为，将角α的终边顺时针旋转，对应角为-，所以它与单位圆的交点坐标是，即（sinα，－cosα），故选C。
【考点】本题主要考查任意角的三角函数、单位圆、诱导公式的应用。
点评：属于常考题型，应用诱导公式转化。
5.使tanx－有意义的x的集合为 .【答案】{x|x∈R且x≠，k∈Z}【解析】为使tanx－有意义，须，即角x终边不能落在坐标轴上，所以x≠，故使tanx－有意义的x的集合为{x|x∈R且x≠，k∈Z}。
【考点】本题主要考查任意角的三角函数定义。
点评：求三角函数的定义域，应特别注意正切函数本身的定义域。
6.已知0°≤θ<360°，θ角的7倍的终边和θ角重合，试求θ角【答案】θ=0°，θ=60°，θ=120°θ=180°，θ=240°，θ=300°【解析】根据终边相同角的关系式7θ=θ+k·360，k∈Z，则θ=k·60°。
高中数学竞赛试题汇编四 《三角函数》
【2013黑龙江】化简2sin 44sin ()tan()44αππαα=+-（ ）(A) cos2α(B) sin 2α (C) cos α (D) sin α 答案：B【2013安徽】化简sin12sin 48sin54⋅⋅=（用数字作答） 答案：18【2013浙江】若tan tan 2x y =，1sin sin 3x y =，则x y -= 答案：()11cos cos ,cos 62x y x y =-=，23x y k ππ-=± 【2013江苏】设[],0,2x y π∈，且12sin cos sin cos 2x y x y ++=-，则()max x y += 答案：()()2sin 12cos 10x y ++=，[]711,,0,266x y πππ=∈，[]24,,0,233y x πππ=∈()max 1126x y ππ+=+. 【2013全国】在ABC ∆中，sin 10sin sin A B C =，cos 10cos cos A B C =，则tan A =答案：()cos sin 10cos 10cos A A B C A -=+=-，tan 11A =. 【2012山西】sin 7.5cos7.5+=答案：()262sin 7.5cos7.51sin1514-+=+=+，462sin 7.5cos 7.52+-+=【2013天津】22cos 75cos 15cos75cos15++⋅=答案：2215cos 75sin 75sin15cos151sin 3024++⋅=+=【2013吉林】()2sin()cos()(0)36f x x x ππωωω=++->的最小正周期为π，则ω=答案：()2sin()sin()3sin()333f x x x x πππωωω=+++=+，2ω=.【2013吉林】()cos()(0)6f x A x A πωω=+>在(0,)8π上是减函数，则max ω=答案：28T ππω=≥，8 【2013山东】4cos cos 2()y x x x R =+∈的值域是答案：[-3,5]【2013湖北】设02x y π<<<，cos 2cos 24cos 4cos P x y x y =--+的取值范围是答案：（-2,0）【2013天津】在ABC ∆中，2sin sin cos 2a A B b A a +=，则ba等于答案：22sin sin (1sin )a a A B b A b =+-=，2 【2013甘肃】在ABC ∆中，2sin sin cos 2a A B b A a +=，则ba等于答案：22sin sin (1sin )a a A B b A b =+-=，2【2013甘肃】在ABC ∆中，222ac c b a +=-，最大边的边长为7，sin 2sin C A =，则ABC ∆最小边的边长为答案：余弦定理得23B π=，正弦定理得2c a =，故最小边为a ， 2221(7)422()2a a a a =+-⋅⋅-，解得1a =.【2012河北】在ABC ∆中，22()ABC S a b c ∆=--，则tan 2A =答案：222(2)ABC S a b bc c ∆=--+2222()22cos bc b c a bc bc A =-+-=-1sin 2bc A =4(1cos )sin A A -=，242sin 2sin cos 222A A A ⨯=，1tan 24A = 【2013湖北】若sin(20)cos(10)cos(10)x x x +=++-，则tan x = 答案：sin cos 20cos sin 202cos cos10x x x +=，同除以cos x 得t a nc o s 20s i n 202c o s (30x +=-，tan 3x = 【2012河北】在ABC ∆中，2sin tan tan ,cos AB C B C+==则 答案：s i n c o s c o s s i n 2s i n B C B C A B +=，2sin cos sin()sin A B B C A =+=，60B =【2012全国】在ABC ∆中，3cos cos 5a B b A c -=，则tan tan AB= 答案：3cos cos 5a B b A c -=，cos cos a B b A c +=得：41cos ,cos 55a B cb Ac ==所以tan sin cos cos 4tan sin cos cos A A B a B B B A b A===.【2012福建】函数2()3sin 22cos ,f x x x a =++在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上最小值1-，则a = 答案：()2sin(2)16f x x a π=+++，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，72,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，当7266x ππ+=，min ()111,1f x a a =-++=-=- 【2012江西】锐角,αβ满足()()sin cos sin cos 2ααββ++=，则α= ，β= 答案：sin sin sin cos cos sin cos cos 2αβαβαβαβ+++=()()sin cos 2αβαβ++-=，()sin 1αβ+=，()cos 1αβ-=，2παβ+=，4παβ==.。
高一数学三角函数试题答案及解析
高一数学三角函数试题答案及解析1.已知角为第二象限角，则点位于哪个象限（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】D【解析】因为角为第二象限角，所以，，即点位于第四象限，故选D.2.已知A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，那么A、B、C关系是（）A. B. C. D. A=B=C【答案】B【解析】锐角必小于 ,故选B.3.已知角的终边过点，且，则的值为A．B．C．D．【答案】C【解析】因为，所以角的终边在第二，三象限，，从而，即，解得，故选C。
4.若，，则角的终边在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】D【解析】本题考查三角函数的性质。
由知角可能在第一、四象限；由知角可能在第三、四象限；综上得角的终边在箱四象限故正确答案为5.已知函数相邻两对称轴间的距离为，若将的图像先向左平移个单位，再向下平移1个单位，所得的函数为奇函数.（1）求的解析式，并求的对称中心；（2）若关于的方程在区间上有两个不相等的实根，求实数的取值范围.【答案】（1），对称中心为：，（2）或.【解析】（1）相邻两对称轴间的距离为半周期,由,可得，按三角函数的平移变换,得表达式,函数为奇函数,得值,且过点得值,求出表达式后由性质可得对称中心；（2）由得的范围,将利用换元法换元,将问题转化为一个一元二次方程根的分布问题,利用判别式得不等式解得取值范围.试题解析：（1）由条件得：，即,则，又为奇函数，令，，，，由，得对称中心为：（2）,又有（1）知：，则，的函数值从0递增到1，又从1递减回0.令则由原命题得：在上仅有一个实根.令，则需或，解得：或.【考点】1. 性质；2.一元二次方程；3.换元法．6.设函数的最小正周期为，且，则（）A．在单调递减B．在单调递减C．在单调递增D．在单调递增【答案】A【解析】由得，，又，则，即．当时，，递减，故选A．【考点】函数的解析式，函数的奇偶性，单调性．7.若，且，则是（）A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角【答案】C【解析】根据且，可得角为第三象限角，故选择C．【考点】三角函数定义．8.已知函数 .（1）求函数的单调递减区间；（2）求函数在区间上的最大值及最小值.【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）取得最大值，取得最小值.【解析】（Ⅰ）先根据两角和余弦公式、二倍角公式、配角公式将函数化为基本三角函数：，再根据正弦函数性质求单调区间：由解得，最后写出区间形式（Ⅱ）先根据自变量范围确定基本三角函数定义区间：，再根据正弦函数在此区间图像确定最值：当时，取得最小值；当时，取得最大值1.试题解析：（Ⅰ）. ……………………………………3分由，，得，.即的单调递减区间为，.……………………6分（Ⅱ）由得，………………………………8分所以. …………………………………………10分所以当时，取得最小值；当时，取得最大值1. ………………………………13分【考点】三角函数性质【思路点睛】应用三角公式解决问题的三个变换角度（1）变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”。
高中数学竞赛历年真题三角函数部分及答案
C
）
A 焦点在x轴上的椭圆
B 焦点在x轴上的双曲线
C 焦点在y轴上的椭圆
D 焦点在y轴上的双曲线
12,(2005年)设, , 满足0 2 ，若对于任意的 x R
4
cosx cosx cosx 0，则 = 3 。
提示：令 f x cosx cosx cosx 0 ，则f f f 0 ，可解得：
解：原不等式变形为 cos2 x 1 acos x a2 0 对任意的 x R 恒成立。运用换元法，令t=cosx,则
g1 0
可得到
gt t2 1 at a2
0
对任意的
t 1,1 恒成立。只需要
g1 0
即可，又因为a为负数，
所以 a 2
6,(2003年)若
x
5 12
,
3
，则
2
所以
AA1 cos
A 2
2sin B
A cos 2
A 2
sin
B
sinA
B
sin
B
sin C
同理 BB1 sin A sin C,CC1 sin A sin B ，所以原式=2
11,(2005年 )方程 sin
x2 2 sin
3 cos
y2 2 cos
3 1 表示的曲线是（
y
tan
x
2 3
tan x cos x 6 6
的最大值是（
C
）
A 12 2
5
B
11 2 6
C 11 3
6
D 12 3
5
解：
y
tan x 2 tan x 3
cost sin t cost sin t cost
高一下学期三角函数部分竞赛题带答案
专题5三角函数部分竞赛题一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在题中横线上)1.如图是五角星，已知AC a =，则五角星外接圆的直径为________(结果用含三角函数的式子表示，必须使用弧度制).2.已知θ为第二象限角，则三角函数()()sin cos cos sin θθ的符号为_______(填写正或负).3.设函数()()f x x R ∈满足()()sin f x f x x π+=+.当0x π≤<时，()0f x =，则236f π⎛⎫ ⎪⎝⎭＝_________.4.如果()2tan sin 5sin cos f x x x x =-，那么()5f ＝___________.5.若角α的终边落在直线0x y +=cos α的值是______.6.函数2log sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的单调递减区间是_______________________.7.已知(]0,x π∈，关于x 的方程2sin 3x a π⎛⎫+= ⎪⎝⎭有两个不同的实数解，则实数a 的取值范围是________.8.若将函数()sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移ϕ个单位长度，所得图象关于y 轴对称，则ϕ的最小正值是______.9.已知函数()()3sin 06f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭和()()3cos 2g x x ϕ=+的图象的对称中心完全相同，若0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则()f x 的值域为__________.10.将函数()()2sin 03f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的图象向左平移3πω个单位得到函数()y g x =的图象.若()y g x =在,64ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为增函数，则ω的最大值为______.11.设函数()()sin f x A x ωϕ=+(A ，ω，ϕ是常数，0A >，0ω>).若()f x 在区间,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上具有单调性，且2236f f f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则()f x 的最小正周期为_______.12.△ABC 是锐角三角形，若角θ终边上一点P 的坐标为()sin cos ,cos sin A B A C --，则sin cos tan sin cos tan θθθθθθ++的值是_____.13.为得到函数sin 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，可将函数sin y x =的图象向左平移m 个单位长度，或向右平移n 个单位长度(m ，n 均为正数)，则m n -的最小值是____________.14.如图所示，函数()()sin f x A x ωϕ=+(其中0A >，0ω>，2πϕ≤)的图象与坐标轴的三个交点P ，Q ，R 满足()2,0P ，4PQR π∠=，M 为QR 的中点，PM =，则A 的值为_______.二、解答题(本大题共6小题，共80分.解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤)15.(本小题12分)已知()tan 0m m α=≠，求sin α和cos α.16.(本小题12分)(1)设2,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，求函数24sin 12sin 1y x x =--的最大值与最小值；(2)求函数3sin 1sin 2x y x +=+的值域.17.(本小题12分)如图，半径为1的半圆O 与等边三角形ABC 夹在两平行线12,l l 之间，1//l l ，l 与半圆相交于F，G 两点，与三角形ABC 两边相交于E，D 两点．设弧FG 的长为x（0＜x＜π），y EB BC CD =++，若l 从1l 平行移动到2l ，求函数()y f x =的解析式，并作出大致图像.18.(本小题14分)已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭在一个周期上的简图如图所示，求：(1)函数()f x 的解析式；(2)方程()lg 0f x x -=的实根的个数.19.(本小题14分)已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的图象在y 轴上的截距为1，它在y 轴右侧的第一个最大值点和最小值点分别为()0,2x 和()03,2x π+-.(1)求()f x 的解析式；(2)将()y f x =图象上所有点的横坐标缩短到原来的13，然后再将所得到的图象向x 轴正方向平移3π个单位长度，得到函数()y g x =的图象，写出()g x 的解析式，并作出在长度为一个周期上的图象.20.(本小题16分)在一昼夜中，钟表的时针和分针有几次重合？几次形成直角？时针、分针和秒针何时重合？请写出理由.1.cos10a π 2.负 3.124.05.06.()5,612k k k Z ππππ⎡⎫++∈⎪⎢⎣⎭7.)28.38π9.3,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦10.211.π12.1-13.23π14.163315.解：由已知得22sin tan cos sin cos 1m ααααα⎧==⎪⎨⎪+=⎩①②，由①得sin cos m αα=，代入②得222cos cos 1m αα+=，解得21cos 1m α=±+.当21cos 1m α=时，21sin cos 1m m αα==；当21cos 1m α=-+时，21sin cos 1m m αα==-+.综上可知，22sin 11cos 1m m αα⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩或22sin 11cos 1m m αα⎧=-⎪⎪+⎨⎪=-⎪+⎩.16.解：(1)令sin x μ=，∵2,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，∴1,12μ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，22341214102y μμμ⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭.∵1,12μ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，且函数单调递减，∴当12μ=-，即6x π=-时，y 有最大值6；当1μ=，即2x π=时，y 有最小值9-.(2)将3sin 1sin 2x y x +=+整理得，()3sin 1sin 2x y x +=+，∴12sin 3yx y -=-.又∵1sin 1x -≤≤，∴12113y y --≤≤-，即1213yy -≤-.∴2244169y y y y -+≤-+，解得423y -≤≤.∴函数3sin 1sin 2x y x +=+的值域为42,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.17.解：由题图知正三角形的高为1，则边长为233，显然当0x =时，233y =，且函数()y f x =是递增函数，由平行线分线段成比例定理可知，1cos 21x BE AB -=，即1cos 32x BE ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，而BE CD =，所以()2032xy EB BC x π=+=<<.大致图像如下：18.解：(1)显然A＝2，由图象过()0,1点，∴()01f =，即1sin 2ϕ=，∵2πϕ<，∴6πϕ=.由图象结合“五点法”可知，11,012π⎛⎫⎪⎝⎭对应函数sin y x =图象的点()2,0π，∴112126ππωπ+=,解得2ω=.所以所求的函数的解析式为：()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.(2)在同一坐标系中作函数()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭和函数lg y x =的大致图象：∵()f x 的最大值是2，令lg 2x =，得100x =，令()1710012k k Z ππ+<∈，得()30k k Z ≤∈，而113110012ππ+>，∴在区间(]0,100上有31个形如()1117,,0301212k k k Z k ππππ⎡⎤++∈≤≤⎢⎥⎣⎦的区间，在每个区间上两函数的图象都有2个交点，故两函数在11,10012π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有2×31＝62个交点，另外在110,12π⎛⎫⎪⎝⎭上还有1个交点，故所给方程共有实根63个.19.解：(1)由已知，易得2A =，()00332T x x ππ=+-=，解得6T π=，∴13ω=.把()0,1代入解析式2sin 3x y ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭中，得2sin 1ϕ=.又2πϕ<，解得6πϕ=.∴2sin 36x y π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.(2)压缩后的函数的解析式为2sin 6y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再平移得()2sin 2sin 366g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎢⎝⎭⎝⎭⎣⎦.列表：图象：20.[解析]时针每分钟走0.5度，分针每分钟走6度，秒针每分钟走360度，本题为追及问题.(1)一昼夜有24×60＝1440分钟，时针和分针每重合一次间隔时间为36060.5-分钟，所以一昼夜时针与分针重合14402236060.5=-次.(2)假设时针不动，分针转一圈与时针两次成直角，但一昼夜时针转了两圈，则少了4次垂直，于是一共有24×2－4＝44次时针与分针垂直.(3)秒针与分针每重合一次间隔时间为3603606-分，而由于36060.5-与3603606-的最小公倍数为720分钟，即12个小时，所以一昼夜只有0:00与12:00这两个时刻三针重合.答案页1._____________2._____________3.________________4._________________5._____________6._____________7.________________8._________________9._____________10._____________11.________________12._________________13.____________14._____________15.16.17.18.19.20.21.。
高一数学奥赛训练试题-三角函数
高一数学奥赛训练试题——三角函数、选择题：1．函数)42sin(log 21π+=x y 的单调减区间为 （ ）A ．(,]()4k k k Z πππ-∈ B ．(,]()88k k k Z ππππ-+∈C ．3(,]()88k k k Z ππππ-+∈ D ．3(,]()88k k k Z ππππ++∈2．设角35,6απ=-则222sin()cos()cos()1sin sin()cos ()παπαπααπαπα+--+++--+的值等于（ ）A ．33 B ．－33C ．3D ．－3 3．已知锐角α终边上一点的坐标为（),3cos 2,3sin 2-则α=（ ） A ．3-π B ．3 C ．3－2π D ．2π－3 4．函数[]sin ,,y x x x ππ=+∈-的大致图象是（ ）5．下列函数中同时具有①最小正周期是π；②图象关于点（6π,0）对称这两个性质的是（ ）A. y ＝cos （2x ＋6π） B ．y ＝sin （2x ＋6π） Ｃ．y ＝sin （2x ＋6π） Ｄ．y ＝tan （x ＋6π）6．已知cos (02)y x x π=≤≤的图象和直线y=1围成一个封闭的平面图形，该图形的面积是（ ）A ．4πB ．2πC ．8D ．47．与正弦曲线x y sin =关于直线34x π=对称的曲线是（ ）A ．x y sin =B ．x y cos =C ．x y sin -=D ．x y cos -=8．已知函数)sin(ϕω+=x A y 在同一周期内，9π=x 时取得最大值21，π94=x 时取得最小值－21，则该函数解析式为 （ ）A ．)63sin(2π-=x yB )63sin(21π+=x yC 、)63sin(21π-=x yD ．)63sin(21π-=x y9．.函数)0(tan )(>=w wx x f 的图象的相邻两支截直线4π=y 所得线段长为4π，则)4(πf 的值是 （ ）A ．0B ．1C ．-1D ．4π 二、填空题：10．设)cos()sin()(21απαπ+++=x n x m x f ，其中m 、n 、1α、2α都是非零实数，若 (2001)1,f =则(2005)f = . 11．设函数()sin()(0,)22f x x ππωϕωϕ=+>-<<，给出以下四个论断：①它的图象关于直线12x π=对称； ②它的图象关于点(,0)3π对称； ③它的周期是π； ④在区间[,0)6π-上是增函数。
全国高中数学竞赛专题-三角函数
全国高中数学竞赛专题-三角函数三角函数是高中数学中的重要内容，也是数学竞赛中常考的考点之一、掌握好三角函数相关的知识，在竞赛中起到事半功倍的效果。
本文将从基本概念、常用公式、性质以及解题方法等几个方面全面介绍三角函数在数学竞赛中的应用。
首先，我们来了解一下基本概念。
在直角三角形中，三角函数是指与一个锐角的对边、邻边和斜边之间的关系。
其中，正弦函数（sin）、余弦函数（cos）、正切函数（tan）是最常用的三种三角函数。
它们分别表示为sinθ、cosθ和tanθ，其中θ是一个锐角。
在解题时，我们常常需要利用这些基本概念进行推导和计算。
其次，我们要掌握一些常用的三角函数公式。
比如，角的加减关系公式：sin(α±β) = sinαcosβ ± cosαsinβcos(α±β) = cosαcosβ ∓ sinαsinβtan(α±β) = (tanα ± tanβ)/(1 ∓ tanαtanβ)这些公式可以帮助我们更方便地计算复杂的三角函数式子。
此外，还有一些特殊角的值，如0°、30°、45°、60°和90°等。
熟记这些特殊角的三角函数值对于解题时的计算非常重要。
然后，我们要了解一些三角函数的性质。
三角函数的定义域是实数集R，值域是[-1,1]。
另外，正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数，正切函数在一个周期内有无穷多个零点。
最后，我们来谈一谈解题方法。
在解三角函数的题目时，我们首先要根据题目给出的条件建立方程，然后进行简化和变形，最终求解出未知量。
常见的解题方法有两角和差的公式、倍角公式、半角公式和三角恒等式等。
我们在解题时要熟练运用这些公式，灵活选择适合题目情况的公式来求解。
除此之外，我们还可以利用三角函数的图像性质来解题。
通过观察函数图像的变化规律，可以快速找到题目中所求的解。
因此，熟悉和掌握基本的函数图像是十分必要的。
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高一数学竞赛培训——三角函数(包括答案)-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN高一数学竞赛辅导——三角函数一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．函数f (x ) ＝ | sin x ＋cos x |的最小正周期是（ ）A ．π4B ．π2C ．πD ．2π 2．若θθθ则角且,02sin ,0cos <>的终边所在象限是（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．若函数)sin()(ϕω+=x x f 的图象（部分）如图所示，则ϕω和的取值是（ ） A ．3,1πϕω== B ．3,1πϕω-==C ．6,21πϕω==D ．6,21πϕω-==4．函数]),0[)(26sin(2ππ∈-=x x y 为增函数的区间是（ ）A ． ]3,0[πB ．]65,3[ππC ．]127,12[ππD ． ],65[ππ5．在△ABC 中，若B b A a cos cos =，则△ABC 的形状是（）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形6．在△ABC 中，8b =，c =ABC S ∆=，则A ∠等于（ ）A 、30B 、60C 、30或150D 、60或1207．函数y ＝－xcosx 的部分图象是 ( )8．在△ABC 中，cos cos cos a b cA B C==，则△ABC 一定是 ( ) A 直角三角形 B 钝角三角形C 等腰三角形D 等边三角形9．为了得到函数)62sin(π-=x y 的图象，可以将函数x y 2cos =的图象（ ）A ．向右平移π6个单位长度B ．向右平移π3个单位长度C ．向左平移π6个单位长度D ．向左平移π3个单位长度10．设)(t f y =是某港口水的深度y （米）关于时间t （时）的函数，其中240≤≤t ．下表是该港口某一天从0时至24时记录的时间t 与水深y 的关t 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y 12 15．1 12．1 9．1 11．9 14．9 11．9 8．9 12．1的图象．下面的函数中，最能近似表示表中数据间对应关系的函数是（]24,0[∈t ）（ ）A ．t y 6sin312π+=B ．)6sin(312ππ++=t yC ．t y 12sin312π+=D ． )212sin(312ππ++=t y二、填空题：本大题共5小题，每小题5分5，共25分．把答案填在横线上． 11．在△ABC 中，A ＝60°，B ＝45°，12=+b a ，则a ＝ ． 12．︒︒-︒︒︒+︒8sin 15sin 7cos 8sin 15cos 7sin 的值是 ．13．在△ABC 中，若2cos B sin A ＝sinC ，则△ABC 的形状一定是 ．14．在△ABC 中，()()()6:5:4::=+++b a a c c b ，则△ABC 的最大内角的度数是15．已知a,b,c 分别是△ABC 的三个内角A,B,C 所对的边，若3A+C=2B,则sinC= .三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（本题满分12分）已知在ABC ∆中，54sin ,135cos =-=B A . （Ⅰ）求C cos 的值； （Ⅱ）设15=BC ，求ABC ∆的面积．17．(本题满分12分)已知在△ABC 中，已知B=45°,D 是BC 边上的一点，AD=10,AC=14,DC=6，求AB 的长.18. （本题满分12分）已知在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，274sin ()cos 222B C A +-=. (1)求角A 的度数； (2)若，b+c=3，求b 和c 的值.19．（本题满分12分）已知1sin cos ,(0,).5βββπ+=∈（1）求tan β的值； （2）求21sin 22cos sin 2βββ++的值．20．(本题满分12分）求函数f (x )=121log cos()34x π+的单调递增区间，21．（本题满分15分）某兴趣小组测量电视塔AE的高度H(单位：m），如示意图，垂直放置的标杆BC的高度h=4m，仰角∠ABE=α，∠ADE=β。
(1)该小组已经测得一组α、β的值，tanα=1.24，tanβ=1.20，请据此算出H 的值；(2)该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离d（单位：m），使α与β之差较大，可以提高测量精确度。
若电视塔的实际高度为125m，试问d为多少时，α-β最大？（提示：基本不等式+≥）a b ab三角函数参考答案一、选择题(5分×10＝50分)题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D C B D C D D B A二、填空题(4分×5＝20分)11．61236- ； 12.23; 13.等腰三角形; 14．120°; 153。
三、解答题(共80分) 16.解：（Ⅰ）由54sin ,135cos =-=B A ，得53cos ,1312sin ==B A ． ∵π=++C B A ，∴)cos()](cos[cos B A B A C +-=+-=π6563)sin sin cos (cos =--=B A B A ． （Ⅱ）由6563cos =C ，得6513sin =C ， 由正弦定理得13sin sin =⨯=ABBC AC ． 所以ABC ∆的面积1sin 2S BC AC C =⨯⨯⨯246516131521=⨯⨯⨯=．17．解：在△ADC 中，AD=10,AC=14,DC=6,由余弦定理得222100361961cos 221062AD DC AC ADC AD DC +-+-∠===•⨯⨯∴∠ADC=120°, ∠ADB=60°在△ABD 中，AD=10, ∠B=45°, ∠ADB=60°，由正弦定理得sin sin AB ADADB B =∠,∴00sin 10sin 6056sin sin 45AD ADB AB B •∠=== 18、27:(1)4sin cos 2180,:22B C A A B C +-=++=︒解由及得22272[1cos()]2cos 1,4(1cos )4cos 5214cos 4cos 10,cos ,20180,60B C A A A A A A A A -+-+=+-=-+=∴=︒<<︒∴=︒即22222222(2):cos211cos()3.2223123: 2 :.221b c aAbcb c aA b c a bcbcb c b ba b c bcbc c c+-=+-=∴=∴+-=+===⎧⎧⎧=+==⎨⎨⎨===⎩⎩⎩由余弦定理得将代入上式得由得或19．解：（Ⅰ）由221sin cos,5sin cos1ββββ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩得225sin5sin120ββ--=解得43sin sin()55βββπ==-∈或者由于（0，），舍去所以134cos sin,tan553βββ=-=-=-于是（Ⅱ）化简原式2222sin cos2sin cos(sin cos)2cos2sin cos2cos(cos sin)sin cos11tan2cos22ββββββββββββββββ+++==+++==+所以21sin21411()2cos sin22326βββ+=⨯-+=-+20．解：∵f (x)=121log cos()34xπ+令431π+=xt,∴y=tcoslog21,t是x的增函数,又∵0<21<1,∴当y=tcoslog21为单调递增时,cost为单调递减且cost>0,∴2kπ≤t<2kπ+2π (k∈Z),∴2kπ≤431π+x<2kπ+2π (k∈Z) ,6kπ-43π≤x<6kπ+43π(k∈Z),∴f (x)=)431cos(log21π+x的单调递减区间是[6kπ-43π,6kπ+43π) (k∈Z)21．解：[解析] 本题主要考查解三角形的知识、两角差的正切及不等式的应用。
（1）tan tan H H AD AD ββ=⇒=，同理：tan H AB α=，tan h BD β=。
AD —AB=DB ，故得tan tan tan H H hβαβ-=，解得：tan 4 1.24124tan tan 1.24 1.20h H αβα⨯===--。
因此，算出的电视塔的高度H 是124m 。
（2）由题设知d AB =，得tan ,tan H H h H hd AD DB d αβ-====， 2tan tan tan()()1tan tan ()1H H h hd h d d H H h H H h d H H h d d d dαβαβαβ----====--+⋅+-+⋅+()H H h d d-+≥d =取等号）故当d =tan()αβ-最大。
因为02πβα<<<，则02παβ<-<，所以当d =时，α-β最大。
故所求的d是。