山东大学《高等数学》期末复习参考题 (5)
山东理工大学高等数学期末试题
05-06学年第二学期高等数学考试试题一、 选择题（每小题2分，共20分）1 二元函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=00),(222222y x y x yx xy y x f 在点（0，0）处（ ）。
A. 不连续、偏导数存在B. 连续、偏导数存在C. 连续、偏导数不存在D. 不连续、偏导数不存在 2 设yzx z x z y ∂∂∂∂=,,则依次为（ ）。
A. 1,ln -y y yx x x B. x x yx y y ln ,1- C. x x yx y y ln ,1- D. 1,ln -y y yx x x 3 点)3,3,3(a a a 是函数xyz u =在条件az y x 1111=++(x>0,y>0,z>0,a>0)下的（ ）。
A. 非驻点B. 仅是驻点,不取得极值C. 极小值点D. 极大值点 4 若21D D ⊇,则必有( ). A.⎰⎰⎰⎰≥12),(),(D D dxdy y x f dxdy y x f B.⎰⎰⎰⎰≥12),(),(D D dxdy y x f dxdy y x fC.⎰⎰⎰⎰≥12),(),(D D dxdy y x f dxdyy x f D. 以上结论都不对5 两个底圆半径都等于R 的直交圆柱体公共部分的表面积等于（）。
A. ⎰⎰--Rx R dy xR R dx 0022224 B. ⎰⎰--Rx R dy xR R dx 022228C. ⎰⎰----R x R xR dy xR R dx 02222224 D. ⎰⎰----Rx R x R dy xR R dx 022222286 设L 为连接点（1,0）及（0,1）的直线段，则曲线积分：⎰=+Lds y x )()(A. 1B. 2C. 2-D. –17设L 是平面上不经过原点的简单封闭曲线正向，则曲线积分：=+-⎰L y x ydxxdy 22（ ）A. 0B. π2C. 0或π2D. 以上结论都不对 8 级数∑∞=+-12)1(n nnkn （k>0是常数）（ ） A. 发散 B. 绝对收敛 C. 条件收敛 D. 收敛性与K 的取值有关 9 若∑∞=-1)1(n n n x a 在1-=x 处收敛，则此级数在x=2处（ ）。
高等数学(下册)期末复习试题及答案
一、填空题（共21分 每小题3分）1．曲线⎩⎨⎧=+=012x y z 绕z 轴旋转一周生成的旋转曲面方程为122++=y x z ．2．直线35422:1z y x L =--=-+与直线⎪⎩⎪⎨⎧+=+-==tz t y tx L 72313:2的夹角为2π． 3．设函数22232),,(z y x z y x f ++=，则=)1,1,1(grad f }6,4,2{．4．设级数∑∞=1n n u 收敛，则=∞→n n u lim 0．5．设周期函数在一个周期内的表达式为⎩⎨⎧≤<+≤<-=,0,10,0)(ππx x x x f 则它的傅里叶级数在π=x 处收敛于21π+．6．全微分方程0d d =+y x x y 的通解为 Cxy =．7．写出微分方程xe y y y =-'+''2的特解的形式xaxe y =*．二、解答题（共18分 每小题6分）1．求过点)1,2,1(-且垂直于直线⎩⎨⎧=+-+=-+-02032z y x z y x 的平面方程．解：设所求平面的法向量为n，则{}3,2,1111121=--=k j i n(4分)所求平面方程为 032=++z y x (6分) 2．将积分⎰⎰⎰Ωv z y x f d ),,(化为柱面坐标系下的三次积分，其中Ω是曲面)(222y x z +-=及22y x z +=所围成的区域．解： πθ20 ,10 ,2 :2≤≤≤≤-≤≤Ωr r z r (3分)⎰⎰⎰Ωv z y x f d ),,(⎰⎰⎰-=221020d ),sin ,cos (d d r rz z r r f r r θθθπ (6分)3．计算二重积分⎰⎰+-=Dy x y x eI d d )(22，其中闭区域.4:22≤+y x D解 ⎰⎰-=2020d d 2r r eI r πθ⎰⎰--=-20220)(d d 212r e r πθ⎰-⋅-=202d 221r e π)1(4--=e π 三、解答题（共35分 每题7分）1．设vue z =，而22y x u +=，xy v =，求z d ．解：)2(232y y x x e y ue x e xv v z x u u z x z xy v v ++=⋅+⋅=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂ (3分))2(223xy x y e x ue y e yv v z y u u z y z xy v v ++=⋅+⋅=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂ (6分) y xy x y e x y y x x e z xy xy d )2(d )2(d 2332+++++= (7分)2．函数),(y x z z =由方程0=-xyz e z所确定，求yzx z ∂∂∂∂,．解：令xyz e z y x F z-=),,(， (2分)则 ,yz F x -= ,xz F y -= ,xy e F zz -= (5分)xye yzF F x z zz x -=-=∂∂， xy e xz F F y z z z y -=-=∂∂． (7分) 3．计算曲线积分⎰+-Ly x x y d d ，其中L 是在圆周22x x y -=上由)0,2(A 到点)0,0(O 的有向弧段．解：添加有向辅助线段OA ，有向辅助线段OA 与有向弧段OA 围成的闭区域记为D ，根据格林公式⎰⎰⎰⎰+--=+-OA DL y x x y y x y x x y d d d d 2d d (5分)ππ=-⋅=022 (7分)4．设曲线积分⎰++Lx y x f x y x f e d )(d )]([与路径无关，其中)(x f 是连续可微函数且满足1)0(=f ，求)(x f ．解： 由xQ y P ∂∂=∂∂ 得 )()(x f x f e x'=+， 即xe xf x f =-')()( (3分)所以 )d ()(d d )1(C x e e e x f x x x+⋅=⎰⎰---⎰)(C x e x +=， (6分) 代入初始条件，解得1=C ，所以)1()(+=x e x f x ． (7分)5．判断级数∑∞=12)!2()!(n n n 的敛散性．解： 因为 )!2()!()!22(])!1[(lim lim221n n n n u u n nn n ++=∞→+∞→ (3分) )12)(22()1(lim2+++=∞→n n n n 141<= (6分) 故该级数收敛． (7分)四、（7分）计算曲面积分⎰⎰∑++y x z x z y z y x d d d d d d ，其中∑是上半球面221z y x --=的上侧．解：添加辅助曲面1,0:221≤+=∑y x z ，取下侧，则在由1∑和∑所围成的空间闭区域Ω上应用高斯公式得⎰⎰∑++y x z x z y z y x d d d d d d ⎰⎰∑+∑++=1d d d d d d y x z x z y z y x⎰⎰∑++-1d d d d d d y x z x z y z y x (4分)0d 3-=⎰⎰⎰Ωv (6分)34213π⋅⋅=π2=． (7分)五、（6分）在半径为R 的圆的内接三角形中，求其面积为最大的三角形．解：设三角形各边所对圆心角分别为z y x ,,，则π2=++z y x ，且面积为)sin sin (sin 212z y x R A ++=， 令)2(sin sin sin πλ-+++++=z y x z y x F (3分)由 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=+==+==+=πλλλ20cos 0cos 0cos z y x z F y F x F z yx (4分)得32π===z y x ．此时，其边长为R R 3232=⋅． 由于实际问题存在最大值且驻点唯一，故当内接三角形为等边三角形时其面积最大． (6分)六、（8分）求级数∑∞=1n nnx 的收敛域，并求其和函数．解： 1)1(lim lim1=+==∞→+∞→n n a a R n n n n ，故收敛半径为1=R ． (2分) 当1-=x 时，根据莱布尼茨判别法，级数收敛； 当1=x 时， 级数为调和级数，发散．故原级数的收敛域为)1,1[-． (5分)设和为)(x S ，即∑∞==1)(n nnx x S ，求导得∑∞=-='11)(n n x x S x-=11， (6分) 再积分得 ⎰'=xx x S x S 0d )()(x xxd 110⎰-=)1ln(x --=，)11(<≤-x (8分) 七、（5分）设函数)(x f 在正实轴上连续，且等式⎰⎰⎰+=yx x yt t f x t t f y t t f 111d )(d )(d )(对任何0,0>>y x 成立．如果3)1(=f ，求)(x f ． 解：等式两边对y 求偏导得)(d )()(1y f x t t f y x f x x+=⎰ (2分)上式对任何0,0>>y x 仍成立．令1=y ，且因3)1(=f ，故有⎰+=xx t t f x xf 13d )()(． (3分)由于上式右边可导，所以左边也可导．两边求导，得3)()()(+=+'x f x f x f x 即)0(3)(>='x xx f ．故通解为 C x x f +=ln 3)(．当1=x 时，3)1(=f ，故3=C ． 因此所求的函数为 )1(l n 3)(+=x x f ． (5分)八． （5分）已知x x e xe y 21+=，x x e xe y -+=2，x x x e e xe y --+=23是某二阶线性非齐次微分方程的三个解，求此微分方程． 解1：由线性微分方程解的结构定理知xe2与xe-是对应齐次方程的两个线性无关的解，xxe 是非齐次方程的一个特解，故可设此方程为 )(2x f y y y =-'-''将x xe y=代入上式，得x x xe e x f 2)(-=，因此所求的微分方程为x x xe e y y y 22-=-'-''解2：由线性微分方程解的结构定理知xe2与xe-是对应齐次方程的两个线性无关的解，xxe 是非齐次方程的一个特解，故x x x e C e C xe y -++=221是所求微分方程的通解，从而有 x x x x e C e C xe e y --++='2212，x x x x e C e C xe e y -+++=''22142消去21,C C ，得所求的微分方程为x x xe e y y y 22-=-'-''06高数B一、填空题（共30分 每小题3分）1．xoy 坐标面上的双曲线369422=-y x 绕x 轴旋转一周所生成的旋转曲面方程为36)(94222=+-z y x ．2．设函数22),,(z yz x z y x f ++=，则=-)1,0,1(grad f )2,1,2(--．3．直线35422:1z y x L =--=-+与直线⎪⎩⎪⎨⎧+=+-==tz t y tx L 72313:2的夹角为2π． 4. 设Ω是曲面222y x z --=及22y x z +=所围成的区域积分，则⎰⎰⎰Ωv z y x f d ),,(化为柱面坐标系下的三次积分形式是⎰⎰⎰-22120d ),sin ,cos (d d r rz z r r f r r θθθπ．5. 设L 是圆周22x x y -=，取正向，则曲线积分=+-⎰Ly x x y d dπ2．6. 幂级数∑∞=--11)1(n nn n x 的收敛半径1=R ．7．设级数∑∞=1n n u 收敛，则=∞→n n u lim 0．8．设周期函数在一个周期内的表达式为⎩⎨⎧≤<≤<-=,0,0,0)(ππx x x x f 则它的傅里叶级数在π=x 处收敛于2π．9．全微分方程0d d =+y y x x 的通解为Cxy =．10．写出微分方程xe y y y =-'+''2的特解的形式xaxe y =*．二、解答题（共42分 每小题６分）1．求过点)1,2,1(且垂直于直线⎩⎨⎧=+-+=-+-03202z y x z y x 的平面方程．解：设所求平面的法向量为n ，则{}3,2,1111121=--=kj i n(4分) 所求平面方程为 032=++z y x (2分)2．函数),(y x z z =由方程z y x z y x 32)32sin(-+=-+所确定，求xz ∂∂． 解：令z y x z y x z y x F 32)32sin(),,(+---+=， (2分)则,1)32cos(--+=z y x F x 3)32cos(3+-+-=z y x F z ． (2分))32c o s (33)32c o s (1z y x z y x F F x z z x -+--+-=-=∂∂ ． (2分) 3．计算⎰⎰Dxy σd ，其中D 是由直线2 ,1==x y 及x y =所围成的闭区域．解法一： 原式⎰⎰=211d ]d [xx y xy (2分)x y x x d ]2[2112⎰⋅=x xx d )22(213⎰-= 811]48[2124=-=x x . (4分)解法二： 原式⎰⎰=212d ]d [y y x xy 811]8[2142=-=y y .(同上类似分)4．计算⎰⎰--Dy x y x d d 122，其中D 是由122=+y x 即坐标轴所围成的在第一象限内的闭区域．解： 选极坐标系原式⎰⎰-=2012d 1πθr r r d (3分))1(1)21(22102r d r ---⋅=⎰π6π= (3分) 5．计算⎰Γ-+-z x y yz x z y d d 2d )(222，其中Γ是曲线,t x =,2t y =3t z =上由01=t 到12=t 的一段弧．解：原式⎰⋅-⋅+-=122564d ]322)[(t t t t t t t (3分)⎰-=146d )23(t t t 1057]5273[t t -=351= (3分)6．判断级数∑∞=-1212n n n 的敛散性． 解： 因为 n n n nn n n n u u 2122)12(lim lim11-+=+∞→+∞→ (3分) 121<=， (2分) 故该级数收敛． (1分) 7．求微分方程043=-'-''y y y 满足初始条件,00==x y 50-='=x y 的特解． 解：特征方程 0432=--r r ，特征根 1,421-==r r通解为 x xe C e C y -+=241， (3分)x xe C e C y --='2414，代入初始条件得 1,121=-=C C ，所以特解x x e e y -+-=4．(3分)三、（8分）计算曲面积分⎰⎰∑++y x z x z y z y x d d d d d d ，其中∑是上半球面221z y x --=的上侧．解：添加辅助曲面1,0:221≤+=∑y x z ，取下侧，则在由1∑和∑所围成的 空间闭区域Ω上应用高斯公式得⎰⎰∑++y x z x z y z y x d d d d d d ⎰⎰∑+∑++=1d d d d d d y x z x z y z y x ⎰⎰∑++-1d d d d d d y x z x z y z y x (4分)0d 3-=⎰⎰⎰Ωv (2分)34213π⋅⋅=π2=． (2分) 四、（8分）设曲线积分⎰-+Ly x x xf x x yf d ])(2[d )(2在右半平面)0(>x 内与路径无关，其中)(x f 可导，且满足1)1(=f ，求)(x f ．解：由xQy P ∂∂=∂∂， 得x x f x x f x f 2)(2)(2)(-'+=，即1)(21)(=+'x f xx f ， (3分) 所以)d ()(d 21d 21C xeex f x x x x +=⎰⎰-⎰)(2121C dx x x+=⎰-)32(2321C x x+=-， (3分)代入初始条件，解得31=C ，所以xx x f 3132)(+=． (2分)五、（6分）求函数xy y x y x f 3),(33-+=的极值． 解：⎪⎩⎪⎨⎧=-==-=033),(033),(22x y y x f y x y x f y x 得驻点 )1,1(),0,0( (3分),6),(x y x f xx = ,3),(-=y x f xy y y x f yy 6),(=在点)0,0(处，,092>=-AC B 故)0,0(f 非极值；在点)1,1(处，,0272<-=-AC B 故1)1,1(-=f 是极小值． (3分)六、（6分）试证：曲面)(xyxf z =上任一点处的切平面都过原点．证：因),()(xyf x y x y f x z '-=∂∂ )(1)(x y f x x y f x y z '=⋅'=∂∂ (3分) 则取任意点),,(0000z y x M ，有)(0000x y f x z =，得切平面方程为))(())](()([)(00000000000000y y x yf x x x y f x y x y f x y f x z -'+-'-=- 即 0)()]()([0000000=-'+'-z y x y f x x y f x y x y f 故切平面过原点． (3分)07A一、 填空题（每小题3分，共21分）.1．设向量}5,1,{},1,3,2{-==λb a ，已知a 与b垂直，则=λ1-2．设3),(,2,3π===b a b a ，则=-b a 6-3．yoz 坐标面上的曲线12222=+bz a y 绕z 轴旋转一周生成的旋转曲面方程为122222=++bz a y x4．过点)0,4,2(且与直线⎩⎨⎧=--=-+023012z y z x 垂直的平面方程0832=+--z y x5．二元函数)ln(y x x z +=的定义域为}0,0,({>+≥=y x x y x D6．函数)ln(),,(222z y x z y x f ++=，则=)1,0,1(gradf }1,0,1{7．设xy e z=，则=dz )(xdy ydx e xy +8．设),(x y x xf u =，f 具有连续偏导数，则=∂∂x u21f xyxf f -+ 9．曲线32,,t z t y t x ===上点)1,1,1(处的切向量=T}3,2,1{10．交换积分顺序：⎰⎰=ydx y x f dy 010),(⎰⎰110),(xdyy x f dx11．闭区域Ω由曲面222y x z+=及平面1=z 所围成，将三重积分⎰⎰⎰Ωdv z y x f ),,(化为柱面坐标系下的三次积分为⎰⎰⎰πθθθ20101),sin ,cos (r dz z r r f rdr d12．设L 为下半圆周21x y--=，则=+⎰ds y xL )(22π13．设L 为取正向圆周922=+y x，则=-+-⎰dy x x dx y xy L )4()22(2π18-14．设周期函数在一个周期内的表达式为⎩⎨⎧<≤≤<-=ππx xx x f 000)(则它的傅里叶级数在π=x 处收敛于2π15．若0lim ≠∞→nn u ，则级数∑∞=1n n u 的敛散性是 发散16．级数∑∞=1!2n n n nn 的敛散性是 收敛17．设一般项级数∑∞=1n n u ，已知∑∞=1n n u 收敛，则∑∞=1n n u 的敛散性是 绝对收敛18．微分方程05)(23=+'-''xy y y x 是 2 阶微分方程19．微分方程044=+'+''y y y 的通解=y xx xe C e C 2221--+20．微分方程x xe y y y 223=+'-''的特解形式为xe b ax x 2)(+二、（共5分）设xy v y x u v u z ===,,ln 2，求yz x z ∂∂∂∂,解：]1)ln(2[1ln 2222+=⋅+⋅=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂xy y x y v u y v u x v v z x u u z x z]1)ln(2[)(ln 23222--=⋅+-⋅=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂xy yx x v u y x v u y v v z y u u z y z 三、（共5分） 设022=-++xyz z y x ，求xz∂∂ 解：令xyz z y x z y x F 22),,(-++=x y zyzxyz F x -=xyzxyxyz F z -=xyxyz xyz yz F F x zz x --=-=∂∂ 四、（共5分）计算⎰⎰⎰Ωxdxdydz ，其中Ω为三个坐标面及平面1=++z y x 所围成的闭区域解：y x z x y x --≤≤-≤≤≤≤Ω10,10,10:⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰----Ω--==xyx xdy y x x dx xdz dy dx xdxdydz 1010101010)1(241)2(21)1(213102102=+-=-=⎰⎰dx x x x dx x x 五、（共6分）计算⎰-+-Lx x dy y e dx y y e )1cos ()sin (，其中L 为由点)0,(a A 到点)0,0(O 的上半圆周ax y x =+22解：添加有向辅助线段OA ,则有向辅助线段OA 和有向弧段OA 围成闭区域记为D ，根据格林 公式⎰-+-Lxx dy y e dx y y e )1cos ()sin ( ⎰⎰⎰-+--=DOAx x dy y e dx y y e dxdy )1cos ()sin (0)2(212-=a π 381a π= 六、（共6分）求幂级数∑∞=-13)3(n nn n x 的收敛域 解：对绝对值级数，用比值判敛法3313131lim 333)1(3lim lim 111-=-⋅+=-+-=∞→++∞→+∞→x x n n n x n x u u n n nn n n n n n 当1331<-x 时，即60<<x ，原级数绝对收敛 当1331>-x 时，即60><x x 或，原级数发散 当0=x 时，根据莱布尼兹判别法，级数∑∞=-1)1(n nn收敛当6=x时，级数∑∞=11n n发散，故收敛域为)6,0[七、（共5分） 计算dxdy z⎰⎰∑2，其中∑为球面1222=++z y x 在第一卦限的外侧解：∑在xoy 面的投影xy D ：0,0,122≥≥≤+y x y xdxdy z ⎰⎰∑2dxdy y x xyD )1(22--+=⎰⎰rdr r d )1(20102⎰⎰-=πθ412⋅=π8π=八、（共7分）设0)1(=f ，求)(x f 使dy x f ydx x f x x )()](1[ln ++为某二元函数),(y x u 的全微分，并求),(y x u解：由x Q y P ∂∂=∂∂，得)()(1ln x f x f x x '=+，即x x f xx f ln )(1)(=-' 所以)ln 21()1ln ()ln ()(211C x x C dx x x x C ex ex f dxx dxx+=+⋅=+=⎰⎰⎰⎰---带入初始条件，解得0=C,所以x x x f 2ln 21)(=⎰++=),()0,0(22ln 21)ln 21(ln ),(y x xdy x ydx x x y x u⎰⎰+=xyxdy x 002ln 210x xy 2ln 21=07高数B一、（共60分 每题3分）1. 设向量}4 ,2 ,6{-=a ，}2 ,1 ,{-=λb ，已知a 与b平行,则=λ3-．2. yoz 坐标面上的曲线12222=-c z a y 绕z 轴旋转一周生成的旋转曲面方程为122222=-+bz a y x ． 3.设3),(,1,2π===∧b a b a ,则a b -=3．4. 设一平面经过点)1,1,1(，且与直线⎩⎨⎧=+=--03042z y y x 垂直，则此平面方程为032=-+z y x ．5. 二元函数12ln2+-=x y z 的定义域为{}012|),(2>+-x y y x ．6. 设xye z =，则=z d )d d (y x x y e xy +．7. 函数)ln(),,(222z y x z y x f ++=，则=)1,0,1(grad f )1,0,1(．8.设(,)y u xf x x =，f 具有连续导数，则u x ∂=∂12yf xf f x''+-．9. 曲面1222=++z y x 在点)2,0,1(-处的法向量=n{}4,0,2-． 10. 交换积分顺序：⎰⎰=1d ),(d x y y x f x ⎰⎰101d ),(d yx y x f y ．11.闭区域Ω由曲面22y x z +=及平面1=z 所围成，将三重积⎰⎰⎰Ωv z y x f d ),,(化为柱面坐标系下的三次积分为⎰⎰⎰11202d ),sin ,cos (d d rz z r r f r r θθθπ．12. 设∑是闭区域Ω的整个边界曲面的外侧,V 是Ω的体积，则 ⎰⎰∑++y x z x z y x y x d d d d d d =V 3．13. 设L 为上半圆周21x y -=，则=+⎰Ls y x d )(22π．14. 设周期函数在一个周期内的表达式为⎩⎨⎧≤<≤<-=,0,0,0)(ππx x x x f 则它的傅里叶级数在π=x 处收敛于2π．15. 若lim 0n n u →∞≠，则级数∑∞=1n n u 的敛散性是 发散 ． 16. 级数∑∞=1!5n n nn n 的敛散性是 收敛 ．17.级数∑∞=12sin n nn的敛散性是 收敛 ． 18. 微分方程06)(542=+'+''y y y x 是 2 阶微分方程． 19. 微分方程02=+'-''y y y 的通解为)(21x C C e x +．20.微分方程x xe y y y 2365-=+'+''的特解的形式xe bx ax y 22*)(-+=．三、（共5分）函数),(y x z z =由方程04222=-++z z y x 所确定，求xz∂∂． 解：令=),,(z y x F z z y x 4222-++， (1分)则 ,2x F x = ,42-=z F z (2分)zxF F x z z x -=-=∂∂2 (2分) 五、（共6分）计算曲线积分⎰+--Ly y x x y x d )sin (d )2(22，其中L 为由点)0,2(A 到点)0,0(O 的上半圆周x y x 222=+．解：添加有向辅助线段，它与上半圆周围成的闭区域记为D ，根据格林公式⎰+--Ly y x x y x d )sin (d )2(22⎰⎰⎰+---+-=OADy y x x y x y x d )sin (d )2(d d )21(22 (3分)⎰⎰=Dy x d d ⎰-22d x x 3823212132-=-⋅⋅=ππ (3分)七、（共6设0)1(=f ，确定)(x f 使y x f x xyx f x d )(d )]([sin +-为某二元函数(,)u x y 的全微分．解： 由xQy P ∂∂=∂∂ 得 )()(sin x f x x f x '=-， 即 xxx f x x f s i n )(1)(=+' (2分) 所以 )d sin ()(d x 1d 1C xe xx ex f x x x+⋅=⎰⎰⎰-)d sin (ln ln C x e xx e xx +⋅=⎰- (2分) )cos (1C x x+-=， (1分) 代入初始条件，解得1cos =C ，所以)cos 1(cos 1)(x xx f -=． (1分) 八、(共6分) 计算⎰⎰∑y x z d d 2，其中∑是球面1222=++z y x 外侧在,0≥x 0≥y 的部分．解：⎰⎰∑y x z d d ⎰⎰∑=1d d y x z ⎰⎰∑+2d d y x (2分)⎰⎰--=xyD y x y x d d )1(22⎰⎰----xyD y x y x d )d 1()1(22 (2分) ⎰⎰--=xyD y x y x d )d 1(222r r r d )1(d 21220⋅-=⎰⎰πθ 4π=(2分)08高数A一、选择题（共24分 每小题3分）1．设{}1111,,p n m s =，{}2221,,p n m s =分别为直线1L ，2L 的方向向量，则1L 与2L 垂直的充要条件是 （A ）（A ）0212121=++p p n n m m （B ）212121p p n n m m ==（C ）1212121=++p p n n m m （D ）1212121=++p pn n m m 2．Yoz 平面上曲线12+=y z 绕z 轴旋转一周生成的旋转曲面方程为 ( C )（A ）12+=y z （B ）22x y z +=（C ）122++=x y z （D ）x y z +=23．二元函数12ln2+-=x y z 的定义域为 （B ）（A ）{}02|),(2>-x y y x （B ）{}012|),(2>+-x y y x （C ）{}012|),(2≤+-x y y x （D ）{}0,0|),(≥>y x y x4．交换积分顺序：1d (,)d yy f x y x =⎰⎰ （ A ）（A ）dy y x f dx x ⎰⎰110),(（B ）dx y x f dy y ⎰⎰110),(（C ）dx y x f dy y⎰⎰110),(（D ）dy y x f dx x⎰⎰110),(5．空间闭区域Ω由曲面1=r 所围成，则三重积分⎰⎰⎰Ωv d 2= （ C ） （A ）2 （B ）2π （C ）38π （D ）34π 6．函数),(y x z z =由方程04222=-++z z y x 所确定，则xz∂∂= （ D ） （A ）zy -2 （B ）y x-2 （C ）zz-2 （D ）zx-27．幂级数∑∞=13n n nn x 的收敛域是 （ C ）（A ）][3,3- （B ）](3,0（C ） [)3,3- （D ）()3,3-8．已知微分方程xe y y y =-'+''2的一个特解为x xe y =*，则它的通解是（ B ）（A ）x xe x C x C ++221（B ）x x x xe e C e C ++-221（C ）x e x C x C ++221（D ）x x x xe e C e C ++-21二、填空题（共15分 每小题3分）1．曲面z y x =+22在点)1,0,1(处的切平面的方程是012=--z x ． 2．若lim 0n n u →∞≠，则级数∑∞=1n n u 的敛散性是 发散 ． 3．级数∑∞=12cos n nn的敛散性是 绝对收敛 ． 4．二元函数2221sin)(),(xy x y x f +=，当()()0,0,→y x 时的极限等于 0 。
高等数学期末试题(含答案)
高等数学检测试题一 .选择题 （每题4分，共20分） 1.=⎰-dx x 11（ ）A. 2B. 1C. 0D. -1 （B ）2，极限242(,)(0,0)2limx y x yx y →=+ A ，0 B ，1 C,0.5 D ，不存在 （D ） 3.积分=-⎰dx x11( )A.c x x +--1lnB. c x x +--)1ln (2C.c x x +-+1lnD. -c x x +-+)1ln (2 （D ）4.设f(x)的导数在x=a 处连续，又x a()lim2f x x a→'=-，则 （ ） A.x=a 是f(x)的极小值点 B.x=a 是f(x)的极大值点 C.(a,f(a))是曲线y=f(x)的拐点 D.x=a 不是f(x)的极值点 (A)5.已知F(x)的一阶导数(x)F'在Ｒ上连续，且0F(0)=， 则⎰=0x (t)dt x F'd （ ）A. (x)dx xF'-B. (x)dx xF'C. (x)dx]xF'[F(x)+-D. (x)]dx xF'[F(x)+-（D ）二．填空：（每题4分，共20分）1. 若D 是平面区域(){}e y x y x ≤≤≤≤1 ,10|,，则二重积分=⎰⎰dxdy y x D （ 21） 2、2lim()01x x ax b x →∞--=+，则a = 1 ，b = -1 ；3．设由方程0=-xyz e z确定的隐函数()=∂∂=x zy x f z 则,,（ ()1-z x z ）4，设{}222(,)|D x y x y a =+≤（a ＞0，常数），若23Dπ=，则a= (-1)5 数列极限lim(cos cos cos )→∞-+++=22221n n nnnn ππππ .2π三．解答题 （每题5分，共20分）1. 设)(x f 在[a ，b ]上连续，且],[)()()(b a x dtt f t x x F xa∈-=⎰，试求出)(x F ''解：⎰⎰-=xaxadtt tf dt t f x x F )()()(⎰⎰=-+='xaxadtt f x xf x xf dt t f x F )()()()()()()(x f x F =''2. 求不定积分=+⎰dx x x1593．求极限420sin 1lim2x tdt t x x ⎰+→（5分）解：21sin 21lim 42sin 1lim sin 1lim224032404202=+=⋅+=+→→→⎰xx x x x x x x tdt t x x x x -------（5分）4．求表面积为a 2而体积为最大的长方体的体积.解 设长方体的三棱的长为x , y , z , 则问题就是在条件2(xy +yz +xz )=a 2下求函数V =xyz 的最大值. 构成辅助函数F (x , y , z )=xyz +λ(2xy +2yz +2xz -a 2),解方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=++==++==++=22220)(2),,(0)(2),,(0)(2),,(a xz yz xy x y xy z y x F z x xz z y x F z y yz z y x F zy x λλλ,得az y x 66===, 这是唯一可能的极值点. 因为由问题本身可知最大值一定存在,所以最大值就在这个可能的值点处取得. 此时3366a V =.四．计算题．（共20分）1．求由曲线xx e y e y -==,与直线1=x 所围成的平面图形面积及这个平面图形绕x 轴旋转所成旋转体体积．（10分）解：曲线xe y =与x e y -=的交点为（0，1），曲线x e y =与xe y -=和直线1=x 的交点分别为（1，e ）和（1，1-e ）,所围平面图形如图阴影部分， 取x 为积分变量，其变化范围为[0，1]，所求面积为dxe e S x x )(1--=⎰-----2(|)(110-+=+=--e e e e x x ）------------- 所求旋转体体积为))21102dx e dx e V x x -⎰⎰-=ππ---2(2|)2121(221022-+=+=--e e e e x x ππ）-2.计算⎰∞+- 1101x x dx（10分）解：⎰∞+- 1101x x dx⎰-=1104t 1dt t⎰-=1 0 105t1)d(t51 +=1 05)]arcsin(t 51[10π=五．证明题：（共20分）1．．试证：⎰⎰ππ=2020)(cos )(sin dx x f dx x f （8分） 证明： 令x=u -2π则⎰⎰⎰⎰==-=2020202)(cos )(cos )(cos )(sin ππππdx x f du u f du u f dx x f2．设函数)(x f 在[]π,0上连续，且)(0=⎰πx d x f ，cos )(0=⎰πdx x x f .证明：在()π,0内方程f(x)=0至少存在两个根。
大学高数三期末复习题(答案)
10级高数（3）期末复习题(答案)一、单项选择题：1、若lim 0n n u →∞=，则级数∑∞=1n nu（ D ）A 、条件收敛B 、收敛C 、发散D 、可能收敛也可能发散2、 lim 0n n u →∞=是级数∑∞=1n nu收敛的（ B ）A 、充分条件B 、必要条件C 、充要条件D 、既非充分也非必要3、下面曲面为柱面的是（ C ）A 、22z x y =+ B 、 22214z x y +-= C 、222x y -= D 、2222x y z r ++=4、在空间直角坐标系下，方程()()22212(3)1x y z -+-+-=表示的图形是（ B ）A 、圆B 、球面C 、平面D 、柱面 5、下列级数中条件收敛的是（B ）A 、1(1)nn ∞=-∑ B 、1(1)nn ∞=-∑ C 、 211(1)nn n ∞=-∑ D 、1(1)(1)n n n q q ∞=->∑ 6、下列级数中绝对收敛的是（D ）A 、21cosn n π∞=∑ B 、1(1)nn ∞=-∑ C 、11(1)sin n n n π∞-=-∑ D 、1(1)(1)nn n q q∞=->∑7、下列级数中收敛的是（B ）A、n ∞= B 、 121(1)ln n n n∞-=-∑C 、 05()3n n ∞=-∑ D、n ∞=8、微分方程0)(43='-''y y y x 的阶数是( B )A 、1B 、2C 、3D 、49、 =+⋅+∞→∞→22223sin)(lim yx y x y x （ B ） A 、0 B 、3 C 、31D 、∞10、 微分方程xey -=''的通解是( C )A 、xCe y -= B 、xCe y =C 、21C x C ey x++=- D 、21C x C e y x ++-=-11、下列方程中（ C ）是线性微分方程微分方程 A、y '= B 、(ln ln )dy yy x dx x=- C 、tan sec dyy x x dx-= D 、(76)()0x y dx x y dy -++= 12、下列方程中（ A ）是可分离变量的微分方程A 、tan 0dy y x dx -= B 、 (ln ln )dy y y x dx x =- C 、tan sec dy y x x dx-= D 、(76)()0x y dx x y dy -++=二、填空题：1、 幂级数∑∞=+122n n nx n 的收敛半径R = ，收敛域为 2、幂级数21(2)n n x n ∞=-∑的收敛半径R = ，收敛域为 3、幂级数2121n n x n ∞=-∑的收敛域为 4、改变二次积分1(,)y eeI dy f x y dx =⎰⎰的积分次序，则I =；21)21,21[-1]1,1[-)1,1(-⎰⎰e xdyy x f dx 1ln 0),(5、改变二次积分11(,)xI dx f x y dy =⎰⎰的积分次序，则I = ；6、设f是连续函数，D 是由22, 0x y x y +≤≥确定的区域，则在极坐标系下，二重积分(,)Df x y d σ⎰⎰先r 后θ的二次积分是 7、设f是连续函数，D 由曲线222 ,x y y +=围成则在极坐标下，化二重积分D f d σ⎰⎰为先r 后θ的二次积分是 ； 8、11(1)n n n ∞=+∑＝ ，1123n n -∞=⎛⎫- ⎪⎝⎭∑＝9、设级数111p n n∞-=∑，则当p 时级数收敛，当p 时级数发散；10、设 ln(ln ),z x y =+则(1,)e dz ＝11、xoy 平面上的双曲线22236x y -=绕y 轴旋转所得曲面方程是____________________12用某种材料做一个开口的长方体容器，其外形长5m ，宽3m ，高为8m,厚20cm ，则所需材料的近似值为 __________________三、计算题：1、方程222238x y z ++=确定函数(,)z z x y =，求,z z x y∂∂∂∂， ⎰⎰100),(ydxy x f dy ⎰⎰2cos 0)sin ,cos (πθθθθrdrr r f d 112>2≤63)(2222=-+y z x ]2.08,4.05,4.03:[6.28||6.28)2.0(53)4.0(83)4.0(852.0,4.0,4.0,8,5,3,:(3---=∆=∆∴-=-**+-**+-**=∆+∆+∆=≈∆-=∆-=∆-=∆====内高为内长为内宽为注外高外长外宽设解m u V z xy y xz x yz du u z y z y x xyz u ⎰⎰πθθ0sin 20)(rdr r f d dy e dx 2121+36.28mzyz y F F y z z x z x F F x z zF yF x F z y x z y x F ：z y z x z y x 3264,362642832),,(222-=-=-=∂∂-=-=-=∂∂===∴-++=则设解2、设z =z x ∂∂和zy∂∂， 2322'2122232222221222222)(])([)(2)(21y x xy y x x yzy x y yx xy x x y x xz y x xz ：y +-=+=∂∂∴+=+⋅+-+=∂∂∴+=--已知解3、设2yz x ye =，求2z x y ∂∂∂和22zy ∂∂)2()1()1()1(222,22222222222y e x e x y e x yz y e x ye x e x yz y xe xye xe yx z xye x z ye x z ：yy y yy y y y y y y+=++=∂∂+=+=∂∂+=+=∂∂∂=∂∂∴=已知解 4、设222(,,)f x y z xy yz zx =++，求(0,0,1),(1,0,1),(2,0,1)xx xy xxz f f f -2)1,0,2(2),,(0)1,0,1(2),,(2)1,0,0(2),,(2),,(),,(2222=∴==-∴==∴=+=++=xxz xxz xy xy xx xx x f z y x f f y z y x f f z z y x f xz y z y x f zx yz xy z y x f ：已知解5、 设 22(,)z f x y xy =+，f 为可微函数，求,z z x y∂∂∂∂212122222222),(,),(),(xf yf x f y f yv v f y u u f y z yf xf y f x f x vv f x u u f x z xyy x v y x y x u ，xy y x f z ：v u v u +=⋅+⋅=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂∴+=⋅+⋅=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂∴=+=+=设已知解 6、 设22,3,42,vz u x y v x y u==+=+求y z x z ∂∂∂∂,22222222222222222222222222)3()43(2)3()24(2)3(222'')3()33(4)3()24(6)3(464''24,3y x y xy x y x y x y y x u yv u u v u u v y z y x xy x y y x y x x y x u xv u u v u u v x z yx v y x u ，uvz ：y y x x +--=++-+=-=-=∂∂∴+--=++-+=-=-=∂∂∴+=+==设已知解 7、求2Dx ydxdy ⎰⎰，D 为抛物线22y x =和直线12x =所围成的区域 0)243(]3[0]2[:0]22[,),(0),(,),(),(:7111211311122222102221022222102222222212222222=-=======∴=-===⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰--------dy yy dy yx ydx x dy dx yx ydy x dx ydxdy x ydy x dx ydxdy x ydy x ，x ，y y x ydy x dx dxdy y x f dxdyy x f D y x f ，x D ，y y x y x f y y x xDxxDx x x x Dx xD或解二则由定积分性质可知轴对称的区间时为关于的奇函为关于由于本题必有上连续时在则当轴对称关于若积分区域的奇函数关于解一8、 求2(),Dx y dxdy +⎰⎰ 其中D 是由曲线1y x=和直线 ,2y x y ==围成的区域。
高等数学期末试题及答案(很详细)
高等数学期末试题及答案(很详细) 一、高等数学选择题
1．设，则．
A、正确
B、不正确
【答案】A
2．（）．
A、
B、
C、
D、
【答案】B
3．不定积分，其中为任意常数．
A、正确
B、不正确
【答案】B
4．设函数，，则函数．
A、正确
B、不正确
【答案】A
5．函数的单调增加区间是（）．
A、
B、
C、
D、
【答案】B
6．函数在点处连续．
A、正确
B、不正确
【答案】A
7．是微分方程．
A、正确
B、不正确
【答案】A
8．设，则微分．
A、正确
B、不正确
【答案】B
二、二选择题
9．函数的图形如图示，则是函数的( )．
A、极小值点也是最小值点
B、极小值点但非最小值点
C、最大值点
D、极大值点
【答案】A
10．极限．
A、正确
B、不正确
【答案】A
11．（）．A、
B、
C、
D、
【答案】B
12．不定积分 ( )．A、
B、
C、
D、
【答案】A
13．是偶函数. A、正确
B、不正确
【答案】A
14．函数的图形如图示，则函数 ( )．
A、有四个极大值
B、有两个极大值
C、有一个极大值
D、没有极大值
【答案】C
15．定积分．
A、正确
B、不正确
【答案】A。
高等数学基础期末复习
《高等数学基础》课程期末考试复习资料册 一、单项选择题 1.设函数f(x)的定义域为，则函数f(x)+f(-x)的图形关于(C)对称. A.y=x B.x轴 C.y轴 D.坐标原点
2.函数在x=0处连续，则k=(C）. A.1 B.5
D.0 3.下列等式中正确的是(C).
4.若F(x)是4.f(x)的一个原函数，则下列等式成立的是(A). 5.下列无穷限积分收敛的是(D). 6.设函数f (x)的定义域为，则函数f(x)- f(-x)的图形关于( D)对称. A.y=x B.x轴 C.y轴 D.坐标原点 7.当时，下列变量中( A)是无穷大量.
8.设f (x)在点x=1处可导，则 =(B). 9.函数在区间(2,4)内满足(A). A.先单调下降再单调上升 B.单调上升 C.先单调上升再单调下降 D.单调下降
10.=(B). A.0 B. П C.2П D. П/2 11.下列各函数对中，(B)中的两个函数相等. 12.当，变量(C)是无穷小量.
13.设f(x)在点x=0处可导，则=(A). 14.若f(x)的一个原函数是，则=（D）. 15.下列无穷限积分收敛的是(C).
16.设函数f(x)的定义域为，则函数的图形关于(A)对称. A.坐标原点 B.x轴 C.y轴 D. y=x 17.当时，变量(D)是无穷小量.
18.设f(x)在x。可导，则=（C）. 19.若则=（B）. 20. =（A）. 21.下列各函数对中，(B)中的两个函数相等. 22.当k=（C）时，在点x=0处连续. A. -1 B. 0 c.1 D.2 23. 函数在区间(2,4)内满足(B). A. 先单调下降再单调上升 B.单调上升 C. 先单调上升再单调下降 D.单调下降 24 若,则= (D). A. sinx十C B. -sinx十c
C. -cosx+c D. cosx 十C 25. 下列无穷积分收敛的是(A). 26.设函数f(x) 的定义域为，则函数f(x)- f（-x)的图形关于(D)对称. A.y=x B.x轴 C.y轴 D.坐标原点 27. 当x→0时，变量(C)是无穷小量.
高等数学上期末复习题
三、计算下列各题（每小题7分，共49分）：1．求极限01lim sin x x x e xe x x→-+.解：2001(1)lim limsin ()x x x x x x e xe e xe x x x →→'-+-+='0lim 2x x x x e e xe x →-++=1.2= 2. 已知arccos ,0(),0≥⎧⎪=⎨+<⎪⎩x x f x ax b x 在x = 0处可导，求常数b a ,.解：因为f (x )在x = 0处可导必连续，所以0lim ()lim ()(0)x x f x f x f -+→→== 2b π=得又因为f (x )在x = 0处可导，所以0()(0)limx f x f x→-存在000arccos 2lim lim 1()2lim , 1(0).x x x x x ax b a a f xππ→→→-=-=-+-'=∴=-=＋＋－3.arctan'"yxe y x y y =确定是的函数,求与.解：arctan222'1'1()y xx yy y x yey x x y x+-=⋅⋅++ arctan((')'y xx yy e y x y x yy x y+=-+∴=-化简得22222(1')()()(1')2(')"()()2()'"()y x y x y y xy y y x y x y x y y y x y +--+--==--+=-又将代入上式化简得4. dx t A dy t A t f y ex t f t f t f )()()(cos 0)()(2)(=⎪⎩⎪⎨⎧==≠'使试求若可微且设. 解：22()()sin ()2()'()2()sin ()()'()f t f t dy f t f t f t f t f t A t dx e f t e --==＝ 2()2()sin ()f t f t f t dy dx e -∴=5. 求⎰+dx xxx 2ln . 解： 22ln ln ln x x xdx x dx x x +=+⎰⎰ 1ln ln x xd x -⎰＝2ln 1ln x x dx x x -+⎰＝ln 1ln x x x x--＝＋C6. 22(),(1)();(2)()x t F x e dt F x y F x -==⎰设试求：的极值曲线的拐点的横坐标22444(1)'()[]'200"()2(14),"(0)200()()(0)0.x t x x F x e dt e x x F x x e F x F x F x F ---==⋅⇒==-=>∴==⎰解： 令是的极小值点,的极小值为4412 (2)"()2(14)0 "()0,"()0,"()0,()x F x x e x x x F x x F x x F x y F x x -=-⇒==∞<<<<<><<+∞<∴==又令当-时, 当, 当时,曲线拐点的横坐标为7．计算2121sin 1-++⎰x xdx x . 解：22112211sin 1111--++-=++⎰⎰x xx dx dx x x 1211(1)1dx x -=-+⎰ 1022arctan 22x π=-=-四、应用题（每小题8分，共16分）：1. 某地区防空洞的截面积拟建成矩形加半圆截面的面积为5m2. 问底宽x 为多少时才能使截面的周长最小，从而使建造时所用的材料最省？解：设截面的周长为 l , 已知22xl x y π=++1分截面的面积为2()522xxy π+=,即 58xy x π=-3分 故10,4x l x x xπ=++∈ 4分因为221020'1,"4l l x xπ=+-=， 令'0l =得驻点x =分又因为"0l >，驻点唯一，故极小值点就是最小值点. 7分所以截面积的底宽为x =从而使建造时所用的材料最省. 8分2. 求抛物线243y x x =--及其在点(0,3)-和(3,0)处的切线所围成的图形的面积 .解：3'(42)4,'2x x x y x y ====-==- 2分所以抛物线243y x x =--在点(0,3)-和(3,0)处的切线方程分别为43,26y x y x =-=-+ 2分且这两条切线的交点为3(,3)2，则所求图形的面积为332223029(4343)(2643)4S x x x dx x x x dx =--+++-+-++=⎰⎰ 8分 五、证明题（5分）：证明：当x > 1时，xxx x +>+1ln )1ln(. 证明 令()ln f t t t =， 1分()f t 在区间]1,[x x +上满足拉格朗日中值定理，于是在)1,(x x +中存在至少一点ξ，使得 xx xx x x f -+-++=+='1ln )1ln()1(1ln )(ξξ即 1ln ln )1ln()1(+=-++ξx x x x 2分 而x x +<<<11ξ，又因为01ln >+ξ，所以x x x x ln )1ln()1(>++， 即xxx x +>+1ln )1ln(.（ x > 1） 2分或x x x x y ln )1ln()1(-++=令，则)1(01lnln )1ln('>>+=-+=x xxx x y 三．计算题（每小题7分，共42分）１. 求极限 011lim 1xx x e x →+⎛⎫- ⎪-⎝⎭. 2．求极限[]20lim 1ln(1)x x x →++. 3. 设方程2cos xy e y x +=确定y 为x 的函数，求d d yx. 4. 设函数()f x 在(),-∞+∞内可导，并且ln 1()d xd f t t x dx=⎰，求()f x '。
2020年6月山东农业大学高等数学（微积分）期末考试试题及参考答案
2020年6月山东农业大学高等数学（微积分）期末考试试题及参考答案第一学期《高等数学（微积分）》（专）复习题一、单选题（每题5分，共10道小题，总分值50分）1.image.png（5分）Aimage.pngB不存在C1D0纠错正确答案C2.image.png（5分）Aimage.pngB1C1/3D-1正确答案B3.image.png（5分）Aimage.pngBimage.pngCimage.pngDimage.png正确答案C4.下列函数中，有界的是（）。
（5分）Aimage.pngBimage.pngCimage.pngDimage.png正确答案A5.image.png（5分）Aimage.pngBimage.pngCimage.pngD6正确答案B6.image.png（5分）Aimage.pngBimage.pngCimage.pngDimage.png正确答案C7.下列变量在给定的变化过程中是无穷大量的有（）。
（5分）Aimage.pngBimage.pngCimage.pngDimage.png正确答案A8.image.png（5分）Bimage.pngCimage.pngDimage.png正确答案B9.image.png（5分）Aimage.pngBimage.pngCimage.pngDimage.png正确答案C10.image.png（5分）Aimage.pngBimage.pngC0D1/2正确答案A二、简答题（每题5分，共10道小题，总分值50分）1.image.png ____（5分）正确答案1正确答案2.image.png ____（5分）正确答案R正确答案3.image.png ____（5分）正确答案image.png正确答案4.image.png ____（5分）正确答案x=1正确答案5.image.png（5分）正确答案-3正确答案6.image.png（5分）正确答案2正确答案7.image.png ____（5分）正确答案-6正确答案8.image.png ____（5分）正确答案（-5,2）正确答案9.image.png（5分）正确答案y=2x正确答案10.image.png ____（5分）正确答案-3/2正确答案第一学期《高等数学（微积分）》（专）在线作业练习题一、单选题（每题5分，共10道小题，总分值50分）1.image.png（5分）B1C1/3D-1纠错正确答案B2.image.png（5分）Aimage.pngCimage.pngDimage.png正确答案C3.image.png（5分）Aimage.pngB不存在C1D0正确答案C4.image.png（5分）Aimage.pngBimage.pngC0D1/2正确答案A5.image.png（5分）Aimage.pngBimage.pngCimage.pngDimage.png正确答案C6.image.png（5分）Aimage.pngBimage.pngCimage.pngD6正确答案B7.下列函数中，有界的是（）。
大一高数期末复习题
大一高数期末复习题一、选择题（每题2分，共20分）1. 函数f(x) = x^2 + 3x + 2 在区间(-∞, -1)上是：A. 增函数B. 减函数C. 常数函数D. 非单调函数2. 极限lim (n→∞) (1 + 1/n)^n 的值是：A. 0B. 1C. eD. 23. 函数y = sin(x) 的导数是：A. cos(x)B. -cos(x)C. x cos(x)D. -x sin(x)4. 曲线y = x^3 - 6x^2 + 9x 在点(3,0)处的切线斜率是：A. 0B. 3C. -9D. 95. 函数f(x) = ln(x) 的不定积分是：A. x ln(x)B. x ln(x) + xC. x ln(x) + 1D. x ln(x) + x^26. 定积分∫(0 到 1) x^2 dx 的值是：A. 1/3B. 1/4C. 1/6D. 1/27. 利用定积分求曲边梯形的面积，其几何意义是：A. 曲线下的面积B. 曲线上的面积C. 曲线与x轴之间的面积D. 曲线与y轴之间的面积8. 微分方程dy/dx + 2y = x^2 的解是：A. y = x^2/2 + CB. y = x^2 + CC. y = x^2 - CD. y = x^2 + Cx9. 函数f(x) = x^3 - 2x^2 + x - 2 在x=1处的泰勒展开式是：A. x^3 - 3x^2 + 3x - 3B. x^3 - 2x^2 + x - 2C. x^3 - 3x^2 + 3x - 1D. x^3 - 2x^2 + x10. 函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x + 1 在区间[0, 2]上的最大值是：A. 1B. 3C. 5D. 7二、填空题（每空2分，共20分）1. 函数f(x) = x^3 的导数是 ________ 。
2. 极限lim (x→0) sin(x)/x 的值是 ________ 。
高等数学期末复习题答案
《高等数学》期末练习题答案一、填空题：一、填空题：1、点10918M (,,)到点21715M (,,)之间的距离12M M =14 ，2、()345x xy x ¶+=¶2125x y +， 3、342dy x y y,dx +==23324x y - ，4、微分方程58dy y x dx+=分离变量,得5(8)ydy x dx =-，5、微分方程7120y y y ¢¢¢-+=的特征方程的根为123,4r r ==，6、()11A --= A ， 7、EA = A ，8、若幂级数n n n a x ¥=å的系数满足条件1lim2n n n a a +®¥=,则收敛半径R =12，9、当l= 1 时，齐次方程12120x x x x l +=ìí+=î有非零解有非零解1010、若、若()517A =,253013B æöç÷=-ç÷ç÷-èø，则AB =()046， 1111、掷一枚骰子，出现点数大于、掷一枚骰子，出现点数大于4的概率是13，1212、对甲、乙两厂检查，设、对甲、乙两厂检查，设A ={={甲厂合格甲厂合格甲厂合格}}，B ={={乙厂合格乙厂合格乙厂合格}}，则事件，则事件{{甲、乙两厂至少一个不合格}用A B 、的运算关系表示为：A B A B + 或 ，，1313、已知、已知()0.5,()0.8,()0.4p A p B p AB ===,则()p A B += 0.9 ，，1414、设、设()0.5,()0.3,p B p A B ==则 ()p AB = 0.15 ，，1515、设、设x 是连续性随机变量，密度函数()51p x x =-,则{5}P x == 0 。