解三角形应用举例学案1
解三角形应用举例
1.2│ 新课感知 新课感知
在日常生活和工农业生产中，为了达到某种目的，常常 想测得一个点与另一个不可到达的点间的距离或在远处的 两个物体之间的距离，这样的想法能实现吗？如何实现呢？
测量距离的问题
例1、设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离。 测量者在A的同测，在所在的河岸边选定一点C，测出 75 ， C 60 AC的距离是55cm， A＝ ＝ ，求A、B 6 2.449 ). 两点间的距离(精确到0.1m ，
10 A
50 40
B
BC 28
∴我舰的追击速度为14n mile/h
又在△ABC中由正弦定理得：
AC BC sin B sin A
即 B=38.2° 故我舰行的方向为北偏东
AC sin A 5 3 故 sin B BC 14
50°- 38.2°=11.8°
课堂小结 1、本节课通过举例说明了解斜三角形在实际中的一些应用。 掌握利用正弦定理及余弦定理解任意三角形的方法。 2、在分析问题解决问题的过程中关键要分析题意，分清已知 与所求，根据题意画出示意图，并正确运用正弦定理和余 弦定理解题。 3、在解实际问题的过程中，贯穿了数学建模的思想，其流程 图可表示为： 实际问题
15 45
解：在⊿ABC中， ∠A=15°, ∠C=45°-15°=30°. 根据正弦定理，
15 45
BC AB sin A sin C
AB sin A 5sin15 5( 6 2) BC 2.5875(km). sቤተ መጻሕፍቲ ባይዱn C sin 30 2
CD=BC×tan∠DBC=BC×tan15°≈693(m) 答：山的高度约为693米。
28 cos30 sin 60 sin(60 30 ) 42( m)
高三复习专题学案--解三角形
高三复习专题学案系列——解三角形考点：1．正、余弦定理： ⑴正弦定理：R CcB b A a 2sin sin sin === （R 2是ABC ∆外接圆直径 ） 注：①C B A c b a sin :sin :sin ::=；②C R c B R b A R a sin 2,sin 2,sin 2===；③CB A cb a Cc B b A a sin sin sin sin sin sin ++++===。
⑵余弦定理：A bc c b a cos 2222-+=等三个；注：bca cb A 2cos 222-+=等三个。
2。
几个公式: ⑴三角形面积公式：))(21(,))()((sin 2121c b a p c p b p a p p C ab ah S ABC ++=---===∆； ⑵内切圆半径r=cb a S ABC ++∆2；外接圆直径2R=;sin sin sin CcB b A a == 3．已知A b a ,,时三角形解的个数的判定：真题再现：1.(广东卷文)已知ABC ∆中，C B A ∠∠∠,,的对边分别为,,a b c若a c ==且75A ∠=o ，则b =( )A.2 B ．4＋ C ．4— D2.（全国卷Ⅱ文）已知△ABC 中，12cot 5A =-，则cos A =( )A ．1213 B.513 C. 513- D. 1213-A其中h=bsinA,⑴A 为锐角时：①a<h 时，无解； ②a=h 时，一解（直角）；③h<a<b 时，两解（一锐角，一钝角）；④a ≥b 时，一解（一锐角）。
⑵A 为直角或钝角时：①a ≤b 时，无解；②a>b 时，一解（锐角）。
3.（湖南卷文）在锐角ABC ∆中，1,2,BC B A ==则cos ACA 的值等于 ，AC 的取值范围为 .4.（全国卷Ⅰ理）在ABC ∆中，内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，已知222a c b -=，且sin cos 3cos sin ,A C A C = 求b5.（浙江理）（本题满分14分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足cos2A =，3AB AC ⋅= ．（I ）求ABC ∆的面积； （II ）若6b c +=，求a 的值．6.（浙江文）（本题满分14分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c，且满足cos2A =，3AB AC ⋅= ．（I ）求ABC ∆的面积； （II ）若1c =，求a 的值．7.（北京理） 在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,,3a b c B π=，4cos ,5A b ==（Ⅰ）求sin C 的值； （Ⅱ）求ABC ∆的面积.8.(山东卷理)(本小题满分12分)设函数f(x)=cos(2x+3π)+sin 2x.求函数f(x)的最大值和最小正周期.9.(山东卷文)(本小题满分12分)设函数f(x)=2)0(sin sin cos 2cos sin 2πϕϕϕ<<-+x x x 在π=x 处取最小值. （1）求ϕ.的值;（2）在∆ABC 中,c b a ,,分别是角A,B,C 的对边,已知,2,1==b a 23)(=A f ,求角C.10.（全国卷Ⅱ文）（本小题满分12分）设△ABC 的内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，23cos )cos(=+-B C A ,ac b =2，求B.11.（安徽卷理）在∆ABC 中，sin()1C A -=, sinB=13.（I ）求sinA 的值；(II)设∆ABC 的面积.12.（安徽卷文）（本小题满分12分） 在ABC 中，C-A=， sinB=。
2、学案：应用举例
正、余弦定理及解斜三角形的方法。
二：新课讲解： 1、基本概念①坡角： 。
②仰角： 。
③俯角： 。
④方向角： 。
⑤视角： 。
2：例题选讲例1、设A 、B 在河的两岸，测量者在与A 同侧的河岸边选取测点C ，测得AC 的距离是50m ，007551=∠=∠ACB ，BAC ，求A 、B 两点间的距离。
练习：为了测定对岸两点A 、B 的距离，在岸边选定1km 长的基线CD ，并测得00030756090=∠=∠=∠=∠ADC ，BDC ，BCD ，ACD 求A 、B 两点间的距离。
例2、设A 、B 是两个不能到达的海岛，如何测量它们之间的距离。
练习：如图，在河对岸可以看到两个目标M 、N ，但不能到达，在河岸边选取相距40m 的P 、Q 两点，并测得000045304575=∠=∠=∠=∠MQN ，MQP ，NPQ ，MPN ，试求两个目标M 、N 之间的距离。
总结；解决距离问题的一般思路：例3：测量一个底部不能到达的建筑物的高度。
练习：课本114A P 三、1. 2《应用举例》当堂检测姓名： 分数：1、两灯塔A 、B 与海洋观察站C 的距离都等于akm ，灯塔A 在观察站C 的北偏东030，灯塔B 在观察站C 的南偏东060，求A 、B 、两灯塔的距离。
2、在某次军事演习中，红方为了准确分析战场形势，在两个相距为a 23的军事基地C 和D 测得蓝方两支精锐部队分别在A 处和B 处，且000045603030=∠=∠=∠=∠ACB ，DCA ，BDC ，ADB ，求蓝方这两支精锐部队的距离。
1、解斜三角形实际应用举例常见几种题型2、解斜三角形实际应用题的基本思路。
二：例题选讲例1、 （见课本例1）练习：课本19p 巩固与提高12T例2、在海岸A 处，发现北偏东045方向，距A 处n )13( mile 的B 处有一艘走私船，在A 处北偏西075的方向，距离A 处2n mile 的C 处的缉私船奉命以310n mile/h 的速度追截走私船。
解三角形 正弦定理和余弦定理复习学案教师版
第 1 页解三角形正弦定理和余弦定理复习学案一、正、余弦定理解三角形的基本问题例1 在△ABC 中，(1)已知a ＝3，b ＝2，B ＝45°，求A 、C 、c ；(2)已知sin A ∶sin B ∶sin C ＝(3＋1)∶(3－1)∶10，求最大角．点拨 (1)已知两边及其中一边对角，先利用正弦定理求出角A ，再求其余的量． (2)先由sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ，求出a ∶b ∶c ，再由余弦定理求出最大角．解 (1)由正弦定理及已知条件有3sin A ＝2sin 45°，得sin A ＝32，∵a >b ，∴A >B ＝45°，∴A ＝60°或120°.当A ＝60°时，C ＝180°－45°－60°＝75°，c ＝b sin C sin B ＝2sin 75°sin 45°＝6＋22，当A ＝120°时，C ＝180°－45°－120°＝15°，c ＝b sin C sin B ＝2sin 15°sin 45°＝6－22(2)根据正弦定理可知a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ＝(3＋1)∶(3－1)∶10， ∴边c 最大，即角C 最大．设a ＝(3＋1)k ，b ＝(3－1)k ，c ＝10k ，则cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝(3＋1)2＋(3－1)2－(10)22(3＋1)(3－1)＝－12.∵C ∈(0，π)，∴C ＝2π3回顾归纳 已知三角形的两边和其中一边的对角，应用正弦定理解三角形时，有时可能出现一解、两解或无解情况，应结合图形并根据“三角形中大边对大角”来判断解的情况，作出正确取舍．►变式训练1 (1)△ABC 中，AB ＝1，AC ＝3，∠C ＝30°，求△ABC 的面积；(2)已知a 、b 、c 是△ABC 中∠A 、∠B 、∠C 的对边，S 是△ABC 的面积．若a ＝4，b ＝5，S ＝53，求c 的长度．解 (1)1sin 30°＝3sin B ，∴sin B ＝32，∴B ＝60°或120°，当B ＝60°时，A ＝90°，∴BC ＝2，此时，S △ABC ＝32.当B ＝120°时，A ＝30°，∴S △ABC ＝12×3×1×sin 30°＝34.综上，△ABC 的面积为32或34.(2)∵S ＝12ab sin C ，∴sin C ＝32，于是C ＝60°或C ＝120°.当C ＝60°时，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝a 2＋b 2－ab ＝21，∴c ＝21；当C ＝120°时，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝a 2＋b 2＋ab ＝61， ∴c ＝61.∴c 的长度为21或61. 二、正、余弦定理在三角形中的应用例2 在△ABC 中，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边长．已知b 2＝ac 且a 2－c 2＝ac －bc .第 2 页(1)求∠A 的大；(2)求b sin Bc 的值．点拨 (1)利用cos A ＝b 2＋c 2－a22bc 求解；(2)利用正弦定理对代数式b sin Bc进行转化．解 (1)∵b 2＝ac 且a 2－c 2＝ac －bc ，∴a 2－c 2＝b 2－bc ，∴b 2＋c 2－a 2＝bc ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12，∴A ＝60°.(2)方法一 在△ABC 中，由正弦定理得：sin B ＝b sin A a ，∵b 2＝ac ，∴b a ＝cb.∴sin B ＝b sin A a ＝c ·sin A b ，∴b sin B c ＝sin A ＝sin 60°＝32.方法二 在△ABC 中，由面积公式得：12bc sin A ＝12ac sin B∵b 2＝ac ，∴bc sin A ＝b 2sin B ，∴b sin B c ＝sin A ＝sin 60°＝32.回顾归纳 (1)在三角形的三角变换中，正、余弦定理及勾股定理是解题的基础．如果题目中同时出现角及边的关系，往往要利用正、余弦定理化成仅含边或仅含角的关系．(2)要注意利用△ABC 中A ＋B ＋C ＝π，以及由此推得的一些基本关系式：sin(B ＋C )＝sinA ，cos(B ＋C )＝－cos A ，tan(B ＋C )＝－tan A ，sin B ＋C 2＝cos A2等，进行三角变换的运算．►变式训练2 在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，4sin 2B ＋C 2－cos 2A ＝72.(1)求∠A 的度数；(2)若a ＝3，b ＋c ＝3，求b 、c 的值．解 (1)∵B ＋C ＝180°－A ，∴B ＋C 2＝90°－A2.由4sin 2B ＋C 2－cos 2A ＝72，得4cos 2A 2－cos 2A ＝72，即2(1＋cos A )－(2cos 2 A －1)＝72.整理得4cos 2A －4cos A ＋1＝0.∴cos A ＝120°<A <180°，∴A ＝60°.(2)由A ＝60°，根据余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，即b 2＋c 2－a 22bc ＝12.∴b 2＋c 2－a 2＝bc ，∵a ＝3，∴b 2＋c 2－bc ＝3.又b ＋c ＝3，∴b 2＋c 2＋2bc ＝9，∴bc ＝2.由⎩⎪⎨⎪⎧ b ＋c ＝3bc ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝1c ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2c ＝1. 三、正、余弦定理在实际问题中的应用例3 A 、B 、C 是一条直路上的三点，AB ＝BC ＝1 km ，从这三点分别遥望一座电视发射塔P ，A 见塔在东北方向，B 见塔在正东方向，C 见塔在南偏东60°方向．求塔到直路的距离．解如图所示，过C、B、P分别作CM⊥l，BN⊥l，PQ⊥l，垂足分别为M、N 、Q.设BN=x，则PQ=x，PA=2x.∵AB=BC，∴CM=2BN=2x，PC=2x.在△PAC中，由余弦定理得AC2=PA2+PC2-2PA·PC·cos 75°，即4=2x2+4x2-42x2·624-，解得x2=2(43)13+，过P作PD⊥AC，垂足为D，则线段PD的长为塔到直路的距离．在△PAC中，由于12AC·PD=12PA·PC·sin 75°，得PD020sin7522sin752P A P C xAC⋅⋅⋅==，=2(43)62753213413+++⋅⋅=(km)．答塔到直路的距离为75313+km.回顾归纳(1)解斜三角形应用题的程序是：①准确地理解题意；②正确地作出图形(或准确地理解图形)；③把已知和要求的量尽量集中在有关三角形中，利用正弦定理和余弦定理有顺序地解这些三角形；④根据实际意义和精确度的要求给出答案．(2)利用解斜三角形解决有关测量的问题时，其关键在于透彻理解题目中的有关测量术语．►变式训练3如图所示，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救，甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30°，相距10海里C处的乙船，设乙船按方位角为θ的方向沿直线前往B处救援，求sin θ的值．解在△ABC中，AB=20，AC=10，∠BAC=120°，由余弦定理知：BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos 120°=202+102-2×20×10×12⎛⎫-⎪⎝⎭=700.∴BC=107第3 页第 4 页由正弦定理得sin sin A B B C A C B B A C=∠∠，∴sin ∠ACB=A B B C·sin ∠BAC=·sin 120°=7.∴cos ∠ACB=7.∴sin θ=sin(∠ACB+30°)=sin ∠ACB ·cos 30°+cos ∠ACB ·sin 30°=7×2+7×12=14，.课堂小结：1．正弦定理揭示了三角形的两边和对角的关系，因此，可解决两类问题： (1)已知两角和其中任一边，求其他两边和一角，此时有一组解． (2)已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，从而进一步求出其他解，其解不确定． 2．余弦定理揭示了三角形中两边及其夹角与对应边的关系，是勾股定理的推广，它能解决以下两个问题：(1)已知三边，求其他三角，其解是唯一的．(2)已知两边及它们的夹角，求第三边及其他两角，此时也只有一解．3．正、余弦定理将三角形的边和角有机地联系起来，从而使三角形与几何产生了联系，为求与三角形有关的量(如面积、外接圆、内切圆)提供了理论基础，也是判断三角形形状、证明三角形中有关等式的重要依据．课后作业一、选择题1．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝43，b ＝42，则B 等于( ) A ．45°或135° B ．135° C ．45° D ．以上答案都不对答案 C 解析 sin B ＝b ·sin A a ＝22，且b <a ，∴B ＝45°.2．在△ABC 中，已知cos A cos B >sin A sin B ，则△ABC 是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形 答案 C 解析 cos A cos B >sin A sin B ⇔cos(A ＋B )>0，∴A ＋B <90°，∴C >90°，C 为钝角．3．(2008·福建)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，则角B 的值为( )A.π6B.π3C.π6或5π6D.π3或2π3答案 D 解析 ∵(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ， ∴a 2＋c 2－b 22ac ·tan B ＝32，即cos B ·tan B ＝sin B ＝32.∵0<B <π，∴角B 的值为π3或2π3.4．在△ABC 中，A ＝60°，AC ＝16，面积为2203，那么BC 的长度为( ) A ．25 B ．51 C ．49 3 D ．49第 5 页答案 D 解析 S △ABC ＝12AC ×AB ×sin 60°＝12×16×AB ×32＝2203，∴AB ＝55.∴BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ×AC cos 60°＝552＋162－2×16×55×12＝2 401∴BC ＝49.5．(2012·广东东莞模拟)△ABC 中，下列结论：①a 2>b 2＋c 2，则△ABC 为钝角三角形；②a 2＝b 2＋c 2＋bc ，则A 为60°；③a 2＋b 2>c 2，则△ABC 为锐角三角形；④若A ∶B ∶C ＝1∶2∶3，则a ∶b ∶c ＝1∶2∶3.其中正确的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案 A 解析 ①由a 2>b 2＋c 2知A 为钝角，①正确；②由a 2＝b 2＋c 2＋bc 知A ＝120°，②错；③由a 2＋b 2>c 2，仅能判断C 为锐角，A 、B 未知，③错；④由A ∶B ∶C ＝1∶2∶3，知A ＝π6，B ＝π3，C ＝π2，∴sin A ∶sin B ∶sin C ＝12∶32∶1＝1∶3∶2，④错．所以仅①正确．二、填空题6．三角形两条边长分别为3 cm,5 cm ，其夹角的余弦是方程5x 2－7x －6＝0的根，则此三角形的面积是________．答案 6 cm 2解析 由5x 2－7x －6＝0，解得x 1＝－35，x 2＝2.∵x 2＝2>1，不合题意．∴设夹角为θ，则cos θ＝－35得sin θ＝45，∴S ＝12×3×5×45＝6 (cm 2)．7．在△ABC 中，A ＝60°，b ＝1，S △ABC ＝3，则asin A＝______.答案 2393.解析 由S ＝12sin A ＝121×c ×32＝3，∴c ＝4.∴a ＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝12＋42－2×1×4cos 60°＝13.∴a sin A ＝13sin 60°＝2393. 8．一艘船以20 km/h 的速度向正北航行，船在A 处看见灯塔B 在船的东北方向，1 h 后船在C 处看见灯塔B 在船的北偏东75°的方向上，这时船与灯塔的距离BC 等于________．解析 如图所示，sin 45sin 30BCAC =，∴BC=sin 30A C ×sin 45°=20122⨯， (km)．9．(2012·广东广州一模)已知△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＝2，第 6 页cos B ＝35.(1)若b ＝4，求sin A 的值；(2)若△ABC 的面积S △ABC ＝4，求b ，c 的值．解 (1)∵cos B ＝35>0，且0<B <π，∴sin B ＝1－cos 2B ＝45由正弦定理得a sin A ＝b sin B ，sin A ＝a sin B b ＝2×454＝25.(2)∵S △ABC ＝12ac sin B ＝4，∴12×2×c ×45＝4，∴c ＝5.由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝22＋52－2×2×5×3517，∴b ＝17.10．在△ABC 中，已知AB ＝463，cos B ＝66，AC 上的中线BD ＝5，求sin A 的值．解 设E 为BC 的中点．连接DE ，则DE ∥AB ，且DE ＝12AB ＝263，设BE ＝x .在△BDE 中利用余弦定理可得：BD 2＝BE 2＋ED 2－2BE ·ED cos ∠BED ，5＝x 2＋83＋2×263×66x ，解得x ＝1，x ＝－73(舍去)．故BC ＝2，从而AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B ＝283AC ＝2213.又sin B ＝306，故2sin A ＝2213306，sin A ＝7014.11．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知a ＋b ＝5，c ＝7，且4sin 2A ＋B2－cos 2C ＝72.(1)求角C 的大小； (2)求△ABC 的面积．解 (1)∵A ＋B ＋C ＝180°，由4sin 2A ＋B 2－cos 2C ＝72，得4cos 2C 2－cos 2C ＝72， ∴4·1＋cos C 2－(2cos 2C －1)＝72，整理，得4cos 2C －4cos C ＋1＝0，解得cos C ＝12，∵0°<C <180°，∴C ＝60°.(2)由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ， 即7＝a 2＋b 2－ab ，∴7＝(a ＋b )2－3ab ， 由条件a ＋b ＝5，得7＝25－3ab ，ab ＝6，∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×6×32＝332.。
数学复习解斜三角形教案和学案(尤其适合学生自学)人教版
由余弦定理得AC2=AB2+BC22ABBCcosB=12+4=8 =4，∴AC=2．
例3．在△ABC中，∠A=120º，a=7，b+c=8，求b、c、∠B．
∵a2=b2+c22bccosA=(b+c)22bc(1+cosA)，
∴49=642bc(1 )，解得bc=15．
数学复习解斜三角形教案和学案(尤其适合学生自学)
一、基础知识
1．正弦定理
在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，都等于三角形的外接圆直径．即
=2R．
基本应用
①已知两角和任一边，求其他两边和一角(一解)；
②已知两边和其中一边的对角，求其他两角和一边(一解或两解)．
2．余弦定理
三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，即
3．常用结论
设△ABC的三边分别为a、b、c，则
①sinC=sin(A+B)，cosC=cos(A+B)
②sin =cos ，cos =sin ；
③∠A、∠B、∠C成等差数列B= ；
④a、b、c成等差数列2b=a+c2sinB=sinA+sinC；
⑤a、b、c成等比数列b2=acsin2B=sinAsinC；
即sin220º+cos280º+ sin20ºcos80º= ．
a2=b2+c22bccosA；b2=c2+a22cacosB；c2=a2+b22abcosC．
基本应用
①已知三边，求三个角(一解)；
②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角(一解)．
1.2.3解斜三角形应用举例-----测量角度问题(3)
沈丘三高高二数学学案编制 王立1.2.3解斜三角形应用举例-----测量角度问题（3）【学习目标】能够运用正、余弦定理和解三角形的知识解决测量角度的问题．【典型例题】例1.如图，一艘海轮从 A 出发，沿北偏东 075的 方向航行 67.5 n mile 后到达海岛 B ，然后从 B 出发， 沿北偏东 032的方向航行 54.0 n mile 后达到海岛 C. 如果下次航行直接从 A 出发到达 C ，此船应该沿怎 样的方向航行，需要航行多少距离?( 角度精确到01.0 ，距离精确到 0.01n mile)例2.在△ABC 中，求证：（1）;sin sin sin 222222CB A c b a +=+（2）).cos cos cos (2222C ab B ca A bc c b a ++=++【目标检测】1.△ABC 中，若A ＝60°，b ＝16，此三角形的面积S ＝2203，则a 的值为( )A ．20 6B ．25C ．55D ．492.已知△ABC 中，AB ＝4，AC ＝5，A 为锐角，△ABC 的面积为6，则AB →·BC →的值为( )A ．16B ．－6C ．9D ．03.△ABC 周长为20，面积为103，A ＝60°，则BC 边长为( )A ．5B ．6C ．7D ．84.在△ABC 中，A ＝30°，a ＝2，b ＝2，则此三角形解的情况是( )A ．一解B ．两解C ．无数个解D ．不存在5.在△ABC 中，求证：a －c cos B b －c cos A ＝sin B sin A.。
高三数学学案《解三角形》
高三数学学案《解三角形》2010.10.12一．【课标要求】（1）通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题；（2）能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。
二 【知识梳理】1．直角三角形中各元素间的关系：如图，在△ABC 中，C ＝90°，AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a 。
（1）三边之间的关系：a 2＋b 2＝c 2。
（勾股定理） （2）锐角之间的关系：A ＋B ＝90°； （3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义） sin A ＝cos B ＝ca ，cos A ＝sin B ＝cb ，tan A ＝ba 。
2．斜三角形中各元素间的关系：如图，在△ABC 中，A 、B 、C 为其内角，a 、b 、c 分别表示A 、B 、C 的对边。
（1）三角形内角和：A ＋B ＋C ＝π。
（2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等R Cc Bb Aa 2sin sin sin ===。
（R 为外接圆半径）（3）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。
a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ；b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ；c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 。
3．三角形的面积公式： （1）△＝21ah a ＝21bh b ＝21ch c （h a 、h b 、h c 分别表示a 、b 、c 上的高）；（2）△＝21ab sin C ＝21bc sin A ＝21ac sin B ；（3）△＝)sin(2sin sin 2C B C B a +＝)sin(2sin sin 2A C A C b +＝)sin(2sin sin 2B A B A c +；（4）△＝2R 2sinAsinBsinC 。
（R 为外接圆半径） （5）△＝))()((c s b s a s s ---；⎪⎭⎫⎝⎛++=)(21c b a s ； 4．解三角形：由三角形的六个元素（即三条边和三个内角）中的三个元素（其中至少有一个是边）求其他未知元素的问题叫做解三角形．这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面积等等．解三角形的问题一般可分为下面两种情形：若给出的三角形是直角三角形，则称为解直角三角形；若给出的三角形是斜三角形，则称为解斜三角形解斜三角形的主要依据是：设△ABC 的三边为a 、b 、c ，对应的三个角为A 、B 、C 。
新人教A版必修5高中数学第一章解三角形学案
高中数学 第一章 解三角形学案新人教A 版必修5学习目标能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题．学法重难点测量距离的实际应用一：知识链接（本课时的主要知识展示）问题1：正弦定理和余弦定理（1）用正弦定理：①知两角及一边解三角形； ②知两边及其中一边所对的角解三角形（要讨论解的个数）．（2）用余弦定理：①知三边求三角； ②知道两边及这两边的夹角解三角形．问题2：应用举例① 距离问题，②高度问题，③ 角度问题，④计算问题．二：试一试（课前演练）练：有一长为2公里的斜坡，它的倾斜角为30°，现要将倾斜角改为45°，且高度不变.则斜坡长变为___ ．新课探究探究1 在ABC ∆中tan()1A B +=，且最长边为1，tan tan A B >，1tan 2B =，求角C 的大小 及△ABC 最短边的长．探究2 如图，当甲船位于A 处时获悉，在其正东方向相距20海里的B 处有一艘渔船遇险等待营救．甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30， 相距10海里C 处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往 B 处救援（角度精确到1）？探究3 在∆ABC 中，设tan 2,tan A c b B b-= 求A 的值．※ 模仿练习 练1. 练1. 如图，某海轮以60 n mile/h 的速度航行，在A 点测得海面上油井P 在南偏东60°，向北航行40 min 后到达B 点，测得油井P 在南偏东30°，北 20 10 A B • •C 30°60°B C 北海轮改为北偏东60°的航向再行驶80 min 到达C 点，求P 、C 间的距离．练2. 在△ABC 中，b ＝10，A ＝30°，问a 取何值时，此三角形有一个解？两个解？无解？三、总结提升※ 学习小结1. 应用正、余弦定理解三角形；2. 利用正、余弦定理解决实际问题（测量距离、高度、角度等）；3．在现实生活中灵活运用正、余弦定理解决问题. （边角转化）．※ 知识拓展设在ABC ∆中，已知三边a ，b ，c ，那么用已知边表示外接圆半径R 的公式是： =()()()abcR p p a p b p c --- ( 内切圆半径 ()()()S p a p b p c r p p---==) 当堂检测A 级：1. 已知△ABC 中，AB ＝6，∠A ＝30°，∠B ＝120︒，则△ABC 的面积为（ ）. A ．9 B ．18 C ．93 D ．1832.在△ABC 中，若222c a b ab =++，则∠C =（ ）.A ． 60°B ． 90°C ．150°D ．120°3. 在∆ABC 中，80a =，100b =，A =30°，则B 的解的个数是（ ）.A ．0个B ．1个C ．2个D ．不确定的B 级：4. 在△ABC 中，32a =，23b =，1cos 3C =，求ABC S ∆；5. 在∆ABC 中，a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边，若2222sin a b c bc A =+-，求A 。
解直角三角形学案
九年级数学问题解决自学指导书【课题】解直角三角形【课型】复习课【学习目标】1.知道30°，45°，60°角的三角函数值；2.能用锐角三角函数解直角三角形，能用相关知识解决一些的简单的实际问题；3.能从实际问题中抽象出数学模型，体会建模思想。
【学习过程】☞探究活动1:如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°,请问再添加哪些条件，就可以解这个直角三角形？☞探究活动2:如图，已知在Rt△ABD和Rt△CEF中，∠D=∠F= 90°, ∠B=31°,∠C=39°,(AC=EF).1.右图中，你可以添加哪些线段解这个直角三角形？2.你能根据解法，将添加的线段进行分类吗？◎如图，∠D=90°∠B=31°,∠ACD=39°,BC=80,求AD。
（参考数据：tan31°≈，sin31°≈，tan39°≈，sin39°≈）知者加速：求AC长。
（精确到个位）☞中考链接:CBA39°31°C DAB39°31°C DA B某区域平面示意图如图，点O在河的一侧，AC和BC表示两条互相垂直的公路．甲勘测员在A处测得点O位于北偏东45°，乙勘测员在B处测得点O位于南偏西73.7°，测得AC=840m，BC=500m．请求出点O到BC的距离．（参考数据：sin73.7°≈，cos73.7°≈，tan73.7°≈）知者加速：你还能通过其他方法求解吗？☞自主建网：1.本节课你有哪些收获？2.你还有哪些疑惑？☞因人作业：1.基础性：（1）如图，AB是长为10m，倾斜角为37°的自动扶梯，平台BD与大楼CE垂直，且与扶梯AB的长度相等，在B处测得大楼顶部C的仰角为65°，求大楼CE的高度（结果保留整数）．（参考数据：sin37°≈35，tan37°≈34，sin65°≈910，tan65°≈157（2）在一次数学活动课上，老师带领同学们去测量一条两岸平行的河流的宽度. 如图所示，在河岸的一边有两棵相距8m的树A , D, 某同学在河岸另一边点B处观测树A, 测得∠ABC=21.3°，他又沿河岸前行20m到达C处,在C处观测树D，测得∠BCD=63.5°。
12解斜三角形应用举例1
夏至时，用一长为h的 竿子，在城南测得太阳的影
(太阳) A
子长为a，在相距d的城北
x
测得太阳的影子长为 D d C B
b(b > a)，就可计
b
h
算出太阳的高度。 F E
aO
如图，设AB为x，则太阳高度为x + h,
且△ACD ∽ △DEF．则
x d . h ba
由上式可求得x，从而可测得太阳高度.
中至少有一条边；解三角形的依据是正、
余弦定理.
11
B
80
A0
A
B0
C
由条件可知，不能直接求AC，应先求A:
sin A BC sin C 0.246 2, AB
又BC AB,C 90 , A 1415, B 8545.
怎样求AC?用正弦定理还是余弦定理? 都行
= 340 + 85 = 425 = A0C. 而A0A = A0C－AC = 425－AC.
——问题转化为求AC的长.
10
B
A0
A
80
B0
C
而AC又在△ABC中，要求BC，只须
问题.
——完成了建模！
如何解△ABC呢？我们知道，解一个
三角形必须且只须三个条件，且三个条件
但正弦定理计算较方便，用正弦定理：
AC AB sin B 344 3(mm), sin C
A0 A A0C AC 425 344.3 81(mm). 12
注意：
例2也可用余弦定理，通过解二次方 程求得AC.
解后回顾：
通过以上两题，大家要掌握： 1、解实际应用问题的一般方法；
7
解后回顾：
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§1.2应用举例—①测量距离与高度
一、课前准备
复习1：在△ABC 中，∠C ＝60°，a ＋b ＝2，c ＝A 为 . 复习2：在△ABC 中，sin A ＝
sin sin cos cos B C B C ++，判断三角形的形状. 复习3：在∆ABC 中，cos 5cos 3
A b
B a ==，则∆AB
C 的形状是怎样？
复习4：在∆ABC 中，a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边，若::a b c 求A:B:C 的值.
二、新课导学
①测量距离
例1. 如图，设A 、B 两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，
测量者在A 的同侧，在所在的河岸边选定一点C ，测出AC 的距
离是55m ，∠BAC =51︒，∠ACB =75︒. 求A 、B 两点的距离(精确
到0.1m ).
提问1：∆ABC 中，根据已知的边和对应角，运用哪个定理比较适当？
提问2：运用该定理解题还需要那些边和角呢？
分析：这是一道关于测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离的问题 题目条件告诉了边AB 的对角，AC 为已知边，
再根据三角形的内角和定理很容易根据两个已知角算出AC 的对角，
应用正弦定理算出AB 边.
新知1：基线在测量上，根据测量需要适当确定的 叫基线.
例2. 如图，A 、B 两点都在河的对岸（不可到达），设计一种
测量A 、B 两点间距离的方法.
分析：这是例1的变式题，研究的是两个 的点之间的
距离测量问题.
首先需要构造三角形，所以需要确定C 、D 两点.
根据正弦定理中已知三角形的任意两个内角与一边既可求出另两边的方法，分别求出AC和BC，
再利用余弦定理可以计算出AB的距离.
变式：若在河岸选取相距40米的C、D两点，测得∠BCA=60°，∠ACD=30°，
∠CDB=45°，∠BDA =60°.
练：两灯塔A、B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在观察站C的北偏东30°，灯塔B在观察站C南偏东60°，则A、B之间的距离为多少？
②测量高度
新知：坡度、仰角、俯角、方位角
方位角---从指北方向顺时针转到目标方向线的水平转角；
坡度---沿余坡向上的方向与水平方向的夹角；
仰角与俯角---视线与水平线的夹角当视线在水平线之上时，称为仰角；当视线在水平线之下时，称为俯角.
探究：AB是底部B不可到达的一个建筑物，A为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB的方法.
分析：选择基线HG，使H、G、B三点共线，
要求AB，先求AE
在ACE
∆中，可测得角，关键求AC
在ACD
∆中，可测得角，线段，又有α
故可求得AC
例3. 如图，在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角
α=5440'
︒，在塔底C处测得A处的俯角β=501'︒. 已知铁塔BC
部分的高为27.3 m，求出山高CD(精确到1 m)
例4. 如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶，到A处时测得公路南侧远处一山顶D在东偏南15︒的方向上，行驶5km后到达B处，测得此山顶在东偏南25︒
的方向上，仰角为8︒，求此山的高度CD.
问题1：
欲求出CD ，思考在哪个三角形中研究比较适合呢？
问题2：
在∆BCD 中，已知BD 或BC 都可求出CD ，根据条件，易计算出哪条边的长？
变式：某人在山顶观察到地面上有相距2500米的A 、B 两个目标，测得目标A 在南偏西57°，俯角是60°，测得目标B 在南偏东78°，俯角是45°，试求山高.
三、总结提升
1. 解斜三角形应用题的一般步骤：
（1）分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图
（2）建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型；
（3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解
（4）检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解.
2．基线的选取：
测量过程中，要根据需要选取合适的基线长度，使测量具有较高的精确度.
3.利用正弦定理和余弦定理来解题时，要学会审题及根据题意画方位图，要懂得从所给的背景资料中进行加工、抽取主要因素，进行适当的简化.
4.在湖面上高h 处，测得云之仰角为α，湖中云之影的俯角为β，则云高为sin()sin()
h αβαβ+- .
1. 水平地面上有一个球，现用如下方法测量球的大小，用锐角45︒的等腰直角三角板的斜边紧靠球面，P 为切点，一条直角边AC 紧靠
地面，并使三角板与地面垂直，如果测得P A =5cm ，
则球的半径等于（ ）.
A ．5cm
B ．
C
．1)cm D ．6cm 2. 台风中心从A 地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B 在A 的正东40千米处，B 城市处于危险区内的时间为（ ）.
A ．0.5小时
B ．1小时
C ．1.5小时
D ．2小时
3. 在ABC
∆的形状（）.
∆中，已知2222
+-=-+，则ABC
a b A B a b A B
()sin()()sin()
A.等腰三角形
B.直角三角形
C.等腰直角三角形
D.等腰三角形或直角三角形
4. 在∆ABC中，下列关系中一定成立的是（）.
A．sin
<D．sin
≥
a b A
a b A
a b A
=C．sin
>B．sin
a b A
5. 在∆ABC中，AB=3，BC AC=4，则边AC上的高为（）.
D．
A B．C．3
2
6. D、C、B在地面同一直线上，DC=100米，从D、C两地测得A的仰角分别为30 和45 ，则A点离地面的高AB等于（）米．
A．100 B．C．501)D．501)
7.在ABC
C= ，则sin A的值是．∆中，已知4
b=，120
a=，6
8. 一船以每小时15km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔B在北偏东60 ，行驶４h后，船到达C处，看到这个灯塔在北偏东15 ，这时船与灯塔的距离为km．
9. 在地面上C点，测得一塔塔顶A和塔基B的仰角分别是60︒和30︒，已知塔基B高出地面20m，则塔身AB的高为_________m．
10. 在∆ABC中，b=2
a=，且三角形有两解，则A的取值范围是．
11. 的C、D两点，并测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°，A、B、C、D在同一个平面，求两目标A、B间的距离.
12. 某船在海面A处测得灯塔C与A相距海里，且在北偏东30︒方向；测得灯
塔B与A相距75︒方向. 船由A向正北方向航行到D处，测得灯塔B在南偏西60︒方向. 这时灯塔C与D相距多少海里？
13. 为测某塔AB的高度，在一幢与塔AB相距20m的楼的楼顶处测得塔顶A的仰角为30°，测得塔基B的俯角为45°，则塔AB的高度为多少m？
14. 在平地上有A、B两点，A在山的正东，B在山的东南，且在A的南25°西300米的地方，在A侧山顶的仰角是30°，求山高.。