第二章数学模型作业与习题

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2.4 系统框图及其等效变换

绘制图1所示所示R-C网络的系统框图例1 绘制图所示网络的系统框图
解: 1）列写该网络的运动方程
U r (s ) − U c (s ) 1 I (s ) = , U c (s ) = I (s ) R CS
2）画出上述两式对应的方框图 3）将两方框图按信号的流向依次连接，求得c为系统的方框图图1 R-C网络
G (s )H ( s ) G (s ) = = 1 + G (s )H ( s ) 1 + G (s )
C R (s ) U (s ) G (s )的分子 = = R(s ) V (s ) + U (s ) G (s )的分母 + G (s )的分子
2012-5-2 第二章控制系统的数学模型
(2 - 51)
正反馈
2012-5-2
+
G1 ( s) G(s) = 1 − G1 ( s ) H ( s )
第二章控制系统的数学模型 11
图6 环节的反馈连接
2012-5-2
第二章控制系统的数学模型
12
如果H(s)=1,称为单位反馈系统
C (s ) R (s )
U (s ) 若令G (s ) = , 则上式改写为 V (s )
R2
图2 R-C滤波网络
,
1 U c (s ) = I 2 (s ) C 2s
2）画出上述四式对应的方框图，如图2 a所示 3）根据信号的流向，将各方框单元依次连接起来，就得到图2 b所示的方框图
2012-5-2 第二章控制系统的数学模型 7
图3 图 2 所示电路的系统框图
2012-5-2 第二章控制系统的数学模型 8
1. 化简的关键是解除环路与环路的交叉或形成大环化简的关键是解除环路与环路的交叉,或形成大环套小环的形式. 套小环的形式 2. 解除交叉连接的有效方法是移动比较点或引出点. 解除交叉连接的有效方法是移动比较点或引出点要向同类移动

128499-管理运筹学-第二章线性规划-习题

128499-管理运筹学-第⼆章线性规划-习题11（2），12,14,18 习题2-1 判断下列说法是否正确：（1）任何线性规划问题存在并具有惟⼀的对偶问题； T （2）对偶问题的对偶问题⼀定是原问题；T（3）根据对偶问题的性质，当原问题为⽆界解时，其对偶问题⽆可⾏解，反之，当对偶问题⽆可⾏解时，其原问题具有⽆界解；F（4）若线性规划的原问题有⽆穷多最优解，则其对偶问题也⼀定具有⽆穷多最优解；（5）若线性规划问题中的b i ，c j 值同时发⽣变化，反映到最终单纯形表中，不会出现原问题与对偶问题均为⾮可⾏解的情况；（6）应⽤对偶单纯形法计算时，若单纯形表中某⼀基变量x i <0，⼜x i 所在⾏的元素全部⼤于或等于零，则可以判断其对偶问题具有⽆界解。

（7）若某种资源的影⼦价格等于k ，在其他条件不变的情况下，当该种资源增加5个单位时，相应的⽬标函数值将增⼤5k ；（8）已知y i 为线性规划的对偶问题的最优解，若y i >0，说明在最优⽣产计划中第i 种资源已经完全耗尽；若y i =0，说明在最优⽣产计划中的第i 种资源⼀定有剩余。

2-2将下述线性规划问题化成标准形式。

≥≥-++-≤+-+-=-+-+-+-=⽆约束43214321432143214321,0,,232142224.5243max )1(x x x x x x x x x x x x x x x x st x x x x z2-3分别⽤图解法和单纯形法求解下述线性规划问题，并对照指出单纯形表中的各基可⾏解对应图解法中可⾏()≥≤≤-+-=++-+-=⽆约束321321321321,0,0624.322min 2x x x x x x x x x st x x x z 域的哪⼀顶点。

()≥≤+≤++=0,825943.510max 121212121x x x x x x st x x z ()≥≤+≤++=0,24261553.2max 221212121x x x x x x st x x z 2-4已知线性规划问题，写出其对偶问题：543212520202410max x x x x x z ++++=≥≤++++≤++++057234219532..5432154321j x x x x x x x x x x x t s≥≥+≥+≥+++≥++0226332..31434321421j x x x x x x x x x x x x t s≥≤≤-+-=++-⽆约束321321321,0,064..x x x kx x x x x x t s （1）(2)2-5运⽤对偶理论求解以下各问题：（1）已知线性规划问题：其最优解为（a ）求k 的值；（b ）写出并求出其对偶问题的最优解。

管理运筹学_第二章_线性规划的图解法

A
1×250=250千克．
原料B 0 1 250千克
约束条件中没使用的资源或能力称之为松弛量。
用Si表示松弛量，对最优解 x1=50,x2=250来说：
约束条件
松弛变量的值
设备台时数
s1=0
原料A
s2=50
原料B
s3=0
8
线性规划标准型
加了松弛变量后例1的数学模型可写成：
目标函数：max z=50x1+100x2+0s1+0s2+0s3，
约束条件： x1+x2+s1=300,
2x1+x2+s2=400,
x2+s3=250, x1,x2,s1,s2,s3≥0
如何把模型化为标准型？
三个特征：
一、约束条件为等式；
二、约束条件右端常数项非负；
三、所有变量非负。
称为线性规划的标准形式。
9
线性规划问题解的情况：
1．若有最优解，一定能在可行域的顶点取得。
a21x1+a22x2+…+a2nxn=b2, ………………………… am1x1+am2x2+…+am nxn=bm. x1, x2,…,xn≥0.
其中ci为第i个决策变量xi在目标函数中的系数， aij为第i个约束条件中第j个决策变量xj的系数， bj(≥0)为第j个约束条件中的常数项。
16
灵敏度分析
C 100
1设备台时获利500/10=50
元。 x1
O 100 D300 X1+X2=300
X1+X2=310
你知道对偶价格吗？
21
对偶价格的概念

2.4 动态结构图

后移：
R(s) C(s)
1 G(s) R(s)
± F(s)
G(s)
C(s) C(s) R(s) G(s) ± ± F(s) G(s) F(s)
第四节动态结构图
3)引出点相对方框的移动前移：
R(s) G(s) C(s) C(s) R(s) G(s) C(s) C(s) C(s)
后移：
R(s) G(s) R(s) C(s) R(s)
（3）反馈连接
环节的反馈连接等效变换：
R(s) E(s) B(s) ± G(s) C(s) R(s) C(s) G(s) 1±G(s)H(s)
H(s)
– B(s) 根据框图得： E(s)= R(s) + C (s) = E(s)G(s) 另：等效 – = R(s) + E(s)G(s)H(s) C(s) G (s ) 得： R ( s ) = 则 E(s)= R(s ) 1 1 ± )H ± GG (s( )s H (s( )s)
I2(s)
例求图所示电路的动态结构图。
i1 c +
RC电路动态结构图 i2
R1 i + R2
ur
-
uc
-
RC 电路
第四节动态结构图
二、动态结构图的等效变换与化简
系统的动态结构图直观地反映了系统内部各变量之间的动态关系。将复杂的动态结构图进行化简可求出传递函数。
1．动态结构图的等效变换
等效变换：被变换部分的输入量和输出量
第二章自动控制系统的数学模型
第四节动态结构图
动态结构图是系统数学模型的另一种形式，它表示出系统中各变量之间的数学关系及信号的传递过程。
一、建立动态结构图的一般方法二、动态结构图的等效变换与化简

九年级数学(上)第二章(2)

回顾与思考
☞
“知识” 知多少
你能根据商品的销售利润作出一定决策吗? 你能根据商品的销售利润作出一定决策吗
与一次方程和分式方程一样,一元二次方程也是刻画现实与一次方程和分式方程一样一元二次方程也是刻画现实的有效数学模型
做一做
☞
花边有多宽
一块四周镶有宽度相等的花边的地毯如下图，它的长为８m，宽为５m．如果地毯中央长方形图案的面积为１８m2 ，则花边多宽?
c分别称为二次项、一次项和常数项，a， b分别
称为二次项系数和一次项系数．
驶向胜利的彼岸
想一想:
☞
内涵与外延
1.关于x的方程(k－3)x2 ＋ 2x－1＝0,当k ≠3 时，是一元二次方程． 2.关于x的方程(k2－1)x2 ＋ 2 (k－1) x ＋ 2k ＋ 2＝0,当 k ≠±1 时，是一元二次方程．,当k ＝－1 时，是一元一次方程．
AC BC = ,那么称线段AB被点C黄金分割 AB AC
C B
驶向胜利的彼岸
学一二方之 ,我可求习元次程后们以得 AC BC = = AB AC 5 −1 2 ≈ 0.618. 1
回顾与思考
☞
数学与生活
你能为一个矩形花园提供多种设计方案吗? 你能为一个矩形花园提供多种设计方案吗
3、教学目标：、教学目标：根据上述教材分析，考虑到学生已有的认知结构、根据上述教材分析，考虑到学生已有的认知结构、心理特征，制定如下教学目标 (1)知识目标：知识目标：知识目标 1）经历抽象一元二次方程的概念的过程，进一步体会）经历抽象一元二次方程的概念的过程，方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效数学模型。方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效数学模型。 2）理解和掌握一元二次方程及其一般形式。）理解和掌握一元二次方程及其一般形式。 3）会判断一个方程是一元二次方程）情感态度与价值观: （2）.情感态度与价值观）情感态度与价值观通过用一元二次方程解决实际问题过程，通过用一元二次方程解决实际问题过程，激发学生学数学的兴趣，体会做数学的快乐，学的兴趣，体会做数学的快乐，培养用数学的意识

高中数学选修2-3(人教B版)第二章随机变量及其分布2.2知识点总结含同步练习题及答案

4 3 1 ，，，且各轮问题能否正确回答互不影响． 5 4 3
5 ， 6
5 4 3 1 ，P (A 2 ) = ，P (A 3 ) = ，P (A 4 ) = ． 6 5 4 3 （1）设事件 B 表示“该选手进入第三轮才被淘汰”，则 P (A 1 ) = ¯ 3) P (B) = P (A 1 A 2 ¯¯ A
2
B．
96 625 96 4 2 ． ) = 625 5
4 ，那么播下 4 粒种子恰有 2 粒发芽的概率是 ( 5 192 256 C． D． 625 625
)
答案： B 解析：
概率为 C2 4 ( ) (1 −
2. 某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是 0.75 ，连续两天为优良的概率是
1 2 0.095 0.0025
解析：由题意，得
4. 将一枚均匀的硬币抛掷 6 次，则正面出现的次数比反面出现的次数多的概率为
答案：解析：
．
5 6 依题意得，所求的概率等于 C4 6 ⋅ ( ) + C6 ⋅ ( ) + C6 ⋅ ( ) =
11 32
1 2
6
1 2
6
1 2
6
11 ． 32
高考不提分，赔付1万元，关注快乐学了解详情。
（2）设事件“甲、乙两人在罚球线各投球二次均不命中”的概率为 P1 ，则
¯ ∩ ¯¯ ¯ ∩ ¯¯ ¯ ∩ ¯¯ ¯) P1 = P (¯¯ A A B B ¯ ) ⋅ P (¯¯ ¯ ) ⋅ P (¯¯ ¯ ) ⋅ P (¯¯ ¯) = P (¯¯ A A B B 1 2 = (1 − )2 (1 − )2 2 5 9 = . 100
事件的独立性与条件概率独立重复试验与二项分布

第二章优化设计

X (1)
1 2 3 4 5 x1
37
二、优化问题的极值条件
1.无约束问题的极值条件多元函数 f (X ) 在点X(k)取得极小值的条件是：
函数在该点的梯度为0，二阶导数矩阵为正定。即
f ( X (k) ) 0
2
f
(
X
(
k
)
)正
定
多元函数 f (X ) 在点X(k)取得极大值的条件是：
函数在该点的梯度为0，二阶导数矩阵为负定。
解的特点。
31
用图解法求解：
1.
【作业】
2. min f (X ) (x1 2)2 (x2 1)2
s.t. g1(X ) x12 x2 2 0
g2 (X ) x1 x2 1 0
g3 (X ) x1 0
32
§2.2 优化设计的极值条件与数值迭代法
一、梯度的概念
函数在点X(k)的梯度是由函数在该点的各个一阶偏导数组成的向量，即
个边界点； ➢ 非线性问题的最优解如果是一个边界点，那么它
必定是等值线（面）在函数值下降方向上与可行域的最后一个交点； ➢ 线性问题的最优解必定是等值线（面）在函数值下降方向上与可行域的最后一个交点；
30
【本节思考题】
1.优化设计模型的组成要素及其表示方法。 2.什么是可行域？什么是等值线（面）？ 3.通过简单优化问题的图解法分析优化问题最优
60
g3(X ) 0
50
40
30
g2(X ) 0
20
10
g5(X ) 0
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
x1
14
【例3】根据下列约束条件画出可行域。

第二章线性规划的图解法(简)

第二节图解法
在线性规划中，对一个约束条件中没使用的资源或能力的大小称之为松弛量。记为Si。
第二节图解法
像这样把所有的约束条件都写成等式，称为线性规划模型的标准化，所得结果称为线性规划的标准形式。
第二节图解法
同样对于≥约束条件中，可以增加一些代表
最低限约束的超过量，称之为剩余变量，把≥约
第二章线性规划的图解法
主要内容：
§1 问题的提出（什么是线性规划） §2 图解法 §3 图解法的灵敏度分析
重点和难点
重点：（1）线性规划问题的主要概念（2）线性规划问题的数学模型（3）线性规划图解法的过程（4）阴影价格的定义和灵敏度分析难点：灵敏度分析
第一节问题的提出
约束条件对偶价格小于零时，约束条件
右边常数增加一个单位，就使得最优目
标函数值减少一个其对偶价格。
第三节图解法的灵敏度分析
对目标函数值求最小值的情况下，当对偶价格大于零时，约束条件右边常数增加一个单位就使其最优目标函数值减少一个其对偶价格；当对偶价格等于零时，约束条件右边常数增加一个单位，并不影响其最优目标函数值；当对偶价格小于零时，约束条件右边常数增加一个单位，就使得其最忧目标函数值增加一个其对偶价格。
具有上述3个特征的问题为线性规划问题。
第一节问题的提出
我们的仸务就是要选择一组或多组方案，使目
标函数值最大或最小。从选择方案的角度说，
这是规划问题。从使目标函数值最大或最小的
角度说，就是优化问题。
线性规划数学模型的一般表示方式
max(min) f ( x) c1 x1 c2 x2 cn xn a11 x1 a12 x2 a1n xn a x a x a x 21 1 22 2 2n n s.t. a x a x a x m2 2 mn n m1 1 x1 , x2 , , xn n : 变量个数 ; m : 约束行数 ; n m : 线性规划问题的规模 c j : 价值系数 ; b j : 右端项; aij : 技术系数 (, )b1 (, )b2 (, )bm 0

反馈控制系统的传递函数

R(s) D(s) 系统的闭环传递函数: C(s) + 系统的典型 R(s) E(s) G1(s) G2(s) _
E(s)
_ G1(s)
H(s)
G2(s)
C(s)
B(s)
第五节反馈控制系统的传递函数
2．扰动信号D(s)作用
系统的典型 R(s) E(s) 闭环传递函数为： D(s) + G2(s) 结构： _ G1(s) G2(s) C(s) Фd(s)= D(s) = B(s) 1+G1(s)G2(s)H(s) 设 R (s) = 0 H(s) 动态结构图转换成: 前向通道:
E(s)
前向通道: 反馈通道:
_
H(s) G2(s) G1(s)
第五节反馈控制系统的传递函数
2．扰动信号D(s)作用
R(s) E(s) C(s) + R(s)作用下误 _ G1(s) -G2(s)H(s)G2(s) 差输出的动态 E(s)= B(s) Фed(s)= D(s) 1+G (s)G H(s) 结构图: 1 2(s)H(s)
反馈通道:
D(s) G1(s) G2(s) C(s)
C(s)
H(s)
第五节反馈控制系统的传递函数
三、系统的误差传递函数
1．给定信号R(s)作用
D(s) 设 D(s)=0 误差传递函数为： R(s) E(s) + _ G1(s) G2(s) E(s) 1 误差输出的动 Фer(s)= R(s) = 1+G (s)G (s)H(s) B(s) H(s) 1 2 态结构图: R(s) C(s)
R(s) = 0 误差传递函数为： D(s)
前向通道: 反馈通道:
D(s)

《机械工程控制基础》(杨叔子主编)PPT第二章系统的数学模型

44
系统的传递函数方框图等效变换
45
系统的传递函数方框图等效变换
2.相加点B（s）处的符号由物理现象及H（s）本身符号决定。
46
系统的传递函数方框图等效变换
47
系统的传递函数方框图等效变换
48
系统的传递函数方框图等效变换
49
系统的传递函数方框图等效变换
50
系统的传递函数方框图等效变换（举例）
2.7，2.12，2.15，2.16，2.18 2.14
57
在相加点处的信号必须是同种变量，运算时的量
纲也要相同。相加点可以有多个输入，但输出是唯一的。分支点表示同一信号向不同方向的传递。在分支点引出的信号不仅量纲相同，而且数值也相同。
38
系统的传递函数方框图及其简化
39
系统的传递函数方框图（举例） (P31 P48)
40
系统的传递函数方框图（举例） (P29 P48)
(1) 线性性质（设α、β为常数）
L αf1 t βf 2 t αF1 s βF2 s .
（2）位移性质（延时定理） f(t)的拉氏变换为F(S)，对任一正实数a，有：
L f t a e sa F s ,
其中，f（t-a）为延时时间a的函数f（t）
23
最大优点
系统的传递函数
P33
传递函数：复数域中描述系统特性的数学模型。
24
系统的传递函数
5. m≤n ,反映了这样一个基本事实：一个物理系统的输出不能立即完全复现输入信号，只有经过一定的时间过程后，输出量才能达到输入量所要求的数值。
25
系统的传递函数
二、传递函数的零点、极7
典型环节的传递函数

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第二章数学模型作业与习题
2-1 试建立图2-55所示各系统的动态方程，并说明这些动态方程之间有什么特点。图中电压
1
u

和位移1x为输入量，电压2u和位移2x为输出量；k、1k和2k为弹性系数；f为阻尼器的阻尼
系数。

2-2. 图2-56所示水箱中，1Q和2Q分别为水箱的进水流量和用水流量，被控量为实际水面高度
H
。试求出该系统的动态方程。假设水箱横截面面积为C，流阻为R。

2-3 求图2-57信号)(tx的象函数)(sX。
2-4. 用拉氏变换求解下列微分方程（假设初始条件为零）
1.)()()(trtxtxT
其中 )(tr分别为)(t，)(1t和t·)(1t。
2.)()()()(ttxtxtx
3.)(1)()(2)(ttxtxtx
2-5. 一齿轮系如图2-58所示。1Z、2Z、3Z
和4Z分别为齿轮的齿数；1J、2J和3J分别表示
传动轴上的转动惯量；1、2和3为各转轴的
角位移；mM是电动机输出转矩。试列写折算到
电机轴上的齿轮系的运动方程。

2-6 系统的微分方程组如下：
)()()()(11tntctrtx
)()(112txKtx
)()()(523txtxtx

)(34txdtdxT
)()()(2245tnKtxtx

dtdcdt
cd
txK2250)(

其中0K、1K、2K、T均为大于零的常数。试建立系统的结构图，并求传递函数)()(sRsC、
)()(1sN

及)()(2sNsC
2-7. 简化图2-59所示系统的结构图，并求系统传递函数)()(sRsC。

2-8. 试用梅逊公式列写图2-60所示系统的传递函数)()(sRsC。
2-9.
求出图2-61所示系统的传递函数)()(11sRsC、)()(12sRsC、)()(21sRsC、)()(22sRsC。

2-10. 已知系统结构图2-62所示，图中)(sN为扰动作用，)(sR为输入。
1.求传递函数)()(sRsC和)()(sNsC。

2.若要消除干扰对输出的影响（即0)()(sNsC），问)(0sG？
2-11. 若某系统在阶跃输入作用)(1)(ttr时，系统在零初始条件下的输出响应为
tteetc2
21)(

试求系统传递函数和脉冲响应。
2-12. 已知系统的传递函数

232)()(2ss
sR
sC

且初始条件为1)0(c，0)0(c。试求阶跃响应)(1)(ttr作用时，系统的输出响应
)(tc
。