专题06 菱形的性质和判定(解析版)

专题06 菱形的性质和判定

姓名：___________考号：___________分数：___________

（考试时间：100分钟满分：120分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的）

1．下列命题中，正确的是（）．

A．两邻边相等的四边形是菱形

B．一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形

C．对角线垂直且一组邻边相等的四边形是菱形

D．对角线垂直的四边形是菱形

【答案】B

【分析】

根据菱形的性质，对各个选项逐个分析，即可得到答案．

【解析】

两邻边相等的平行四边形是菱形，故选项A不符合题意；

一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形，故选项B符合题意；

对角线垂直且一组邻边相等的平行四边形是菱形，故选项C不符合题意；

对角线垂直的平行四边形是菱形，故选项D不符合题意；

故选：B．

【点睛】

本题考查了命题、菱形的知识；解题的关键是熟练掌握菱形的性质，从而完成求解．

2．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC＝8，BD＝6，点E，F分别为AO，DO的中点，则线段EF的长为（）

A．2.5 B．3 C．4 D．5

【答案】A

【分析】

根据菱形的对角线互相垂直平分求出AD的长，再根据中位线定理即可求出EF的长．【解析】

解：因为在菱形ABCD中，对角线AC＝8，BD＝6，

∴AC⊥BD，AO=4，DO=3，

∴AD=2222

435

AO DO

+=+=，

∵点E，F分别为AO，DO的中点，

∴

1

2.5

2

==

EF AD；

故选：A．

【点睛】

本题考查的是菱形的性质和中位线的性质，注意到菱形的对角线互相垂直平分是解决本题的关键．3．将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，得到菱形AECF．若AB=6，则BC的长为（）．

A．3 B．2C．3D．32 2

【答案】C

【分析】

根据菱形AECF，得∠FCO=∠ECO，再利用∠ECO=∠ECB，可通过折叠的性质，结合直角三角形勾股定理求解．

【解析】

解：∵菱形AECF，AB=6，

设BE=x，则AE=CE=6-x，

∵菱形AECF，∴∠FCO=∠ECO，

∵∠ECO=∠ECB，

∴∠ECO=∠ECB=FCO=30°，

∴2BE=CE，即CE=2x，

∴2x=6-x，

解得：x=2，

∴CE=4，又EB=2，

则利用勾股定理得：23

BC ，

故选：C．

【点睛】

此题主要考查了折叠问题以及勾股定理等知识，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后角相等．

4．如图，在菱形ABCD中，AB＝6，∠ABC＝60°，M为AD中点，P为对角线BD上一动点，连接PA和PM，则PA＋PM的最小值是( )

A．3 B．23C．33D．6

【答案】C

【分析】

首先连接AC，交BD于点O，连接CM，则CM与BD交于点P，此时PA+PM的值最小，由在菱形ABCD中，AB=6，∠ABC=60°，易得△ACD是等边三角形，BD垂直平分AC，继而可得CM⊥AD，则可求得CM的值，继而求得PA+PM的最小值．

【解析】

解：连接AC，交BD于点O，连接CM，则CM与BD交于点P，此时PA+PM的值最小，

∵在菱形ABCD中，AB=6，∠ABC=60°，

∴∠ADC=∠ABC=60°，AD=CD=6，BD垂直平分AC，

∴△ACD是等边三角形，PA=PC，

∵M为AD中点，

∴DM=1

2

AD=3，CM⊥AD，

∴CM=22CD DM -=33，

∴PA+PM=PC+PM=CM=33．

故选C ．

【点睛】

此题考查了最短路径问题、等边三角形的判定与性质、勾股定理以及菱形的性质．注意准确找到点P 的位置是解此题的关键．

5．如图在平面直角坐标系xOy 中若菱形ABCD 的顶点,A B 的坐标分别为(6,0),(4,0)-，点D 在y 轴上，则点C 的坐标是（ ）

A ．(6,8)

B ．(10,8)

C ．(10,6)

D ．(4,6)

【答案】B

【分析】 首先根据菱形的性质求出AB 的长度，再利用勾股定理求出DO 的长度，进而得到点C 的坐标．

【解析】

∵菱形ABCD 的顶点A 、B 的坐标分别为(-6，0)、(4，0)，点D 在y 轴上，

∴AB=AO+OB=6+4＝10，

∴AD=AB=CD=10，

∴22221068DO AD AO =-=-=，

∴点C 的坐标是：(10，8)．

故选：B ．

【点睛】

本题主要考查了菱形的性质以及坐标与图形的性质，解题的关键是利用勾股定理求出DO 的长度． 6．如图，ABCD 中，AC 平分BAD ∠，若2,3AC AB ==ABCD 的面积为（ ）

A ．2

B ．22

C ．42

D ．82

【答案】B

【分析】 连接BD 交AC 于点O ，首先证明四边形ABCD 为菱形，然后求出BD 的长，最后根据菱形的面积公式解答．

【解析】

解：如图，连接BD 交AC 于点O ，

在ABCD 中，//AD BC ，

,DAC ACB ∴∠=∠

AC 平分BAD ∠，

DAC BAC ∴∠=∠，

BAC BCA ∴∠=∠，

AB BC ∴=，

∴四边形ABCD 为菱形，

11,2122

AC BD OA AC ∴⊥==⨯=， 22312OB AB OA ∴=-=-222BD OB ==，

ABCD ∴的面积为：112222222

ABCD S AC BD =•=⨯⨯=

故选B ．

【点睛】

本题主要考查了平行四边形的性质、菱形的判定和性质以及勾股定理等知识，解题的关键是证得四边形ABCD 为菱形．

7．如图，菱形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，过点C 作CE ⊥AD 于点E ，连接OE ，若OB ＝6，S 菱形ABCD ＝60，则OE 的长为（ ）

A ．23

B ．5

C ．5

D ．6

【答案】C

【分析】 先根据菱形的性质、面积公式可得AC 的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得．

【解析】

四边形ABCD 是菱形，6OB =，

212BD OB ∴==，OA OC =，162

ABCD BD AC S AC =⋅=菱形， 60ABCD S =菱形，

660AC ∴=，

解得10AC =，

又OA OC =，CE AD ⊥，

OE ∴是Rt ACE △斜边AC 上的中线，

1110522

OE AC ∴==⨯=， 故选：C ．

【点睛】

本题考查了菱形的性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，熟练掌握菱形的性质是解题关键．

8．如图，在菱形ABCD 中，E F ，分别是BC CD ，的中点，设ABCD S S =四边形，1AEF S S ∆=，则（ ）

A ．112S S =

B ．112S S <

C ．112S S >

D ．152S S = 【答案】B

【分析】

利用三角形的中线得到12AECF S S =

四边形，判断出A 、C 错误，B 符合题意，利用三角形中位线定理求得CEF 18

S S =，通过计算得到183S S =，即可得到正确的答案． 【解析】

连接BD 、AC ，

∵E ，F 分别是BC ，CD 的中点， ∴ABE ABC ADF ACD 1122S S S S ==

，， ∴A CD 1122AECF B S S S ==四边形菱形， ∵AEF AECF S S <四边形，即112S S <，故A 、C 错误，B 符合题意； ∵E ，F 分别是BC ，CD 的中点，

∴EF=

12BD ，EF ∥BD ， ∴CEF CBD A CD 111488

B S S S S ===菱形，

∴1AEF CEF 113288

AECF S S S S S S S ==-=-=四边形， 即183S S =，故D 错误，

故选：B ．

【点睛】

本题考查了菱形的性质，三角形中线有关的面积计算，三角形中位线与三角形的面积，熟练掌握菱形的性质是解决问题的关键．

9．如图，在▱ABCD 中，用直尺和圆规作∠BAD 的平分线AG 交BC 于点E ，以A 为圆心，AB 为半径的弧交AD 于点F ，连接EF ．若BF ＝6，AB ＝5，则四边形ABEF 面积是（ ）

A ．12

B ．24

C ．36

D ．48

【答案】B

【分析】 根据题意AB ＝AF ，利用角平分线和平行证明BA ＝BE ，用一组对边平行且相等证明四边形ABEF 为平行四边形，再用邻边相等证明它是菱形，最后用菱形面积公式计算面积．

【解析】

记AE 与BF 相交于O 点，如图，

由作法得AB ＝AF ＝10，AE 平分∠BAD ，

∴∠BAE ＝∠DAE ，

∵四边形ABCD 为平行四边形，

∴AD ∥BC ，

∴∠DAE ＝∠BEA ，

∴∠BAE ＝∠BEA ，

∴BA ＝BE ，

∴AF ＝BE ，

∵AF ∥BE ，

∴四边形ABEF 为平行四边形，

∵AB＝AF，

∴四边形ABEF为菱形，

∴OA＝OE，OB＝OF＝1

2

BF＝3，AE⊥BF，

在Rt△AOB中，OA22

534

=-=，∴AE＝2AO＝8，

∴四边形ABEF面积

11

6824 22

AE BF

=⋅=⨯⨯=．

故选：B．

【点睛】

本题考查角平分线的性质，菱形的判定和面积求解，解题的关键是根据题目中的角平分线和平行的条件能够证明等腰三角形，再根据菱形的判定和面积公式求四边形面积．

10．如图，在菱形ABCD中，AE是菱形的高，若对角线AC、BD的长分别是6、8，则AE的长是()

A．17

4

B．

24

5

C．

16

3

D．5

【答案】B

【分析】

由菱形的性质可得AC⊥BD，BO=DO=4，CO=AO=3，由勾股定理可求CB=5，由菱形的面积公式可求AE的长．

【解析】

解：四边形ABCD是菱形

AC BD

∴⊥，4

BO DO

==，3

CO AO

==

225BC BO CO ∴=+=

12

ABCD S AC BD BC AE =⨯⨯=⨯菱形 245AE ∴=

245

AE ∴= 故选B ．

【点睛】

本题菱形的性质，熟练运用菱形的面积公式是本题的关键．

11．如图，菱形ABCD 的边长为13，对角线AC 的长为24，延长AB 至E ，BF 平分CBE ∠，点G 是BF 上任意一点，则ACG 的面积为（ ）

A ．30

B ．60

C ．90

D ．120

【答案】B

【分析】 连接BD 交AC 于点O ，根据菱形的性质可得BD 与AC 互相垂直平分，再根据AC 平分∠DAB ，BF 平分∠CBE ，可以证明AC ∥FB ，根据平行线间的距离处处相等可得S △CBG =S △ABG ，进而可得S △ACG =S △ABC ．

【解析】

解：如图，连接BD 交AC 于点O ，

∵四边形ABCD 是菱形，

∴BD 与AC 互相垂直平分，

∴OA=OC=12，

∴OB=OD=22

1312

=5，∵DA∥CB，

∴∠DAB=∠CBE，

∵AC平分∠DAB，

∴∠CAB=1

2

∠DAB，

∵BF平分∠CBE，

∴∠FBE=1

2

∠CBE，

∴∠CAB=∠FBE，∴AC∥FB，

∴S△CBG=S△ABG，

∴S△ACG=S△ABC=1

2

×AC•OB=

1

2

×24×5=60，

则△ACG的面积为60．

故选：B．

【点睛】

本题考查了菱形的性质、三角形的面积，解决本题的关键是掌握菱形的性质．

12．两张全等的矩形纸片ABCD，AECF按如图方式交叉叠放在一起，AB=AF，AE=BC．若AB=1，BC=3，则图中重叠（阴影）部分的面积为（）．

A．2 B3C．5

3

D．

4

3

【答案】C

【分析】

证得四边形AGCH是平行四边形，由△ABG≌△CEG（AAS），证得四边形AGCH是菱形，设AG=CG=x，则BG=BC-CG=3-x，在Rt△ABG中，由勾股定理得出方程，解方程求得CG的长，即可求出菱形AGCH的面积．

【解析】

设BC 交AE 于G ，AD 交CF 于H ，如图所示：

∵四边形ABCD 、四边形AECF 是全等的矩形，

∴AB=CE ，∠B=∠E=90°，AD ∥BC ，AE ∥CF ，

∴四边形AGCH 是平行四边形，

在△ABG 和△CEG 中，

AGB CGE B E

AB CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩

， ∴△ABG ≌△CEG （AAS ），

∴AG=CG ，

∴四边形AGCH 是菱形，

设AG=CG=x ，则BG=BC-CG=3-x ，

在Rt △ABG 中，由勾股定理得：12+(3-x)2=x 2，

解得：x=

53， ∴CG=53

， ∴菱形AGCH 的面积=CG ⋅AB=55133⨯=

， 即图中重叠（阴影）部分的面积为

53

． 故选：C ． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

13．菱形的周长为12cm ，一个内角等于120︒，则这个菱形的面积为_________2cm ． 932

【分析】

作AE ⊥BC 于E ，由直角三角形的性质求出菱形的高AE ，再运用菱形面积公式＝底×高计算即可．

【解析】

解：作AE⊥BC于E，如图所示：

∵四边形ABCD是菱形，周长为12cm，∠BCD＝120°，∴AB＝BC＝3cm，∠B＝60°，

∵AE⊥BC，

∴∠BAE＝30°，

∴BE＝1

2

AB＝

3

2

cm，AE=3BE＝

3

3

2

cm，

∴菱形的面积＝BC•AE＝3×3

3

2

9

3

2

cm2）；

9

3

2

【点睛】

本题考查了菱形的性质、含30°角的直角三角形的性质、菱形的面积等知识；熟练掌握菱形的性质，求出菱形的高是解决问题的关键．

14．己知菱形ABCD的边长是3，点E在直线AD上，DE=1，联结BE与对角线AC相交于点M，

则AM

MC

的值是______．

【答案】2

3

或

4

3

【分析】

首先根据题意作图，注意分为E在线段AD上与E在AD的延长线上，然后由菱形的性质可得AD∥BC，则可证得△MAE∽△MCB，根据相似三角形的对应边成比例即可求得答案．

【解析】

解：∵菱形ABCD的边长是3，

∴AD=BC=3，AD∥BC，

如图①：当E在线段AD上时，

∴AE=AD－DE=3－1=2，

∴△MAE∽△MCB，

∴

2

3 MA AE

MC BC

==；

如图②，当E在AD的延长线上时，∴AE=AD+DE=3+1=4，

∴△MAE∽△MCB，

∴

4

3 MA AE

MC BC

==．

∴MA

MC

的值是

2

3

或

4

3

．

故答案为2

3

或

4

3

．

【点睛】

此题考查了菱形的性质，相似三角形的判定与性质等知识．解题的关键是注意此题分为E在线段AD 上与E在AD的延长线上两种情况，小心不要漏解．

15．如图，菱形ABCD的边长为13，对角线AC＝24，点E、F分别是边CD、BC的中点，连接EF 并延长与AB的延长线相交于点G，则EG ＝____．

【答案】10；

【分析】

连接菱形的另一条对角线，利用菱形性质特征和勾股定理可求BD长；利用三角形中位线定理可得EF长；在利用三角形全等可证EF GF

=即可得解．

【解析】

连接BD 交AC 与点O ，

在菱形ABCD 中 ∵111222AC BD OC OA AC OD OB BD ⊥==

===，，， 在RT DOC △中 222213125OD DC OC =-=-=，

∴10BD =，

∵点E 、F 分别是边CD 、BC 的中点，

∴152

EF BD ==， ∵//AB CD ，

∴BGF CEF GBF ECF ∠=∠∠=∠，，

又∵CF BF =，

∴BGF CEF ≅△△，

∴5EF GF ==，

∴10EG =．

故答案为：10．

【点睛】

本题主要考查菱形的性质特征、三角形的中位线定理、平行线性质、勾股定理以及全等三角形等．中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半．运用三角形中位线定理求线段长的方法：当题中有中点，特别是一个三角形中出现两边中点时，我们常常考虑运用三角形的中位线来解决问题，首先证明出它是三角形的中位线，然后利用中位线构造线段这间的关系，并由此建立待求线段与已知线段的联系，从而求出线段的长．

16．在数学必修拓展课上，小兰利用一张直角三角形纸片折出了一个菱形AFDE ，如图所示，若∠ACB ＝90°，AC ＝3cm ，BC ＝4cm ，则折痕EF 的长为______．

【答案】354

【分析】

过点D 作DH ⊥AB 于 H ，连结AD 、EF ，设CD=x ，则DH=x ，BD=4−x ，由勾股定理求得x 的值，设CF=y ，则 AF=3−y=FD ，由勾股定理求得y 的值，由菱形的性质得AD 与EF 垂直平分，进而求得EF 的长．

【解析】

解：如图，过点D 作DH ⊥AB 于 H ，连结AD 、EF ，

∵菱形AFDE ，∴AD 平分∠BAC ，

∵∠ACB=90°，∴CD=DH ，∴AH=AC=3，

设CD=x ，则DH=x ，BD=4−x ，

∵2222345AC BC +=+=，∴HB=5−3=2，

在Rt △DBH 中，()22222242BD DH BH x x =+-=+，，

∴x=1.5，即CD=1.5，

设CF=y ，则AF=3−y=FD ，

在Rt △CDF 中，()222222321.534

CF CD FD y y y +=+=-=，，， 即CF=324，∴AF=3−324

， 在Rt △ACD 中，2222363 1.5AC CD +=+=， ∴AO=136362=，

由菱形的性质得AD 垂直平分EF ，OF=22223236353448AF AO ⎛⎫⎛⎫-=--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝

⎭⎝⎭，∴EF=2OF= 3535284

⨯=， 故答案为35． 【点睛】

本题考查菱形的性质，勾股定理，角平分线的性质．

17．如图，四边形ABCD 是菱形，对角线AC ，BD 相交于点O ，DH AB ⊥于点H ，连接OH ，若20DHO ∠=︒，则HDB ∠的度数是______．

【答案】20︒

【分析】

先根据菱形的性质得OD ＝OB ，而DH ⊥AB ，所以OH 为Rt △DHB 的斜边DB 上的中线，得到OH ＝OD ，利用等腰三角形的性质得∠HDB ＝∠DHO ．

【解析】

∵四边形ABCD 是菱形，

∴OD ＝OB ，

∵DH ⊥AB ，

∴∠DHB ＝90°，

∴OH 为Rt △DHB 的斜边DB 上的中线，

∴OH ＝OD ，

∴∠HDB ＝∠DHO ＝20°，

故填：20°．

【点睛】

本题考查菱形的性质，直角三角形斜边中线定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．

18．已知：如图，点P 是边长为2的菱形ABCD 对角线AC 上的一个动点，点M 是AB 边的中点，且60BAD ∠=︒，则MP PB +的最小值是_______．

【答案】3 【分析】 找出B 点关于AC 的对称点D ，连接DM ，则DM 就是PM+PB 的最小值，求出即可．

【解析】

解：连接DE 交AC 于P ，连接BD ，BP ，由菱形的对角线互相垂直平分，可得B 、D 关于AC 对称，则PD=PB ，

∴PE+PB=PE+PD=DE ，

即DM 就是PM+PB 的最小值，

∵∠BAD=60°，AD=AB ，

∴△ABD 是等边三角形，

∵AE=BE ，

∴DE ⊥AB （等腰三角形三线合一的性质）

在Rt △ADE 中，DM=22AD AM －=2221=3－．

故PM+PB 的最小值为3．

故答案为：3．

三、解答题（本大题共6小题，共66分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 19．如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ．过点B 作AC 的平行线，过点C 作BD

的平行线，两线相交于点P ．

（1）求证：四边形OBPC 是菱形．

（2）已知3AB =，5BC =，求四边形OBPC 的面积．

【答案】（1）证明过程见解析；（2）152OBPC S =

四边形 【分析】

（1）根据平行四边形的判定证得四边形OBPC 是平行四边形，再根据矩形的性质可知OB=OC ，然后根据菱形的判定即可证得结论；

（2）根据菱形的性质和三角形的中线将三角形面积平分可证得四边形OBPC 的面积等于三角形ABC 的面积，利用直角三角形的面积公式即可解答．

【解析】

（1）∵//BP OC ，//CP OB ，

∴四边形OBPC 是平行四边形，

在矩形ABCD 中，AC BD =，且AC 与BD 互相平分，

∴OB OC =，

∴'平行四边形OBPC 是菱形．

（2）∵四边形OBPC 是菱形，

∴OBC BCP S S =△△，

又∵AO OC =，

∴AOB BOC S S =△△，

∴OBC BCP AOB S S S ==△△△，

∴四边形OBPC 的面积等于三角形ABC 的面积， ∴11522

ABC S AB BC =

⋅=△， ∴152OBPC S =四边形． 【点睛】

本题考查了矩形的性质、平行四边形的判定、菱形的判定与性质、三角形的中线与面积关系、三角形的面积公式，属于基础题型，难度适中，解答的关键是熟练掌握菱形的判定与性质的应用．20．如图，菱形ABCD中，作BE⊥AD、CF⊥AB，分别交AD、AB的延长线于点E、F．

（1）求证：AE＝BF；

（2）若点E恰好是AD的中点，AB＝2，求BD的值．

【答案】（1）见解析；（2）BD=2

【分析】

（1）根据菱形的性质和平行线的性质得到AB＝BC，∠A＝∠CBF，结合垂直的性质得到

△AEB≌△BFC，根据三角形全等的性质即可证明；

（2）首先证明BE是AD的垂直平分线，然后根据垂直平分线的性质即可求解．

【解析】

（1）证明：四边形ABCD是菱形

∴AB＝BC，AD∥BC

∴∠A＝∠CBF

∵BE⊥AD、CF⊥AB

∴∠AEB＝∠BFC＝90°

∴△AEB≌△BFC（AAS）

∴AE＝BF

（2）∵E是AD中点，且BE⊥AD

∴直线BE为AD的垂直平分线

∴BD＝AB＝2

【点睛】

本题考查了菱形的性质，三角形全等的证明，垂直平分线的性质，关键是要利用好菱形的性质求解．

，连接CE．

21．如图，在菱形ABCD中，E为对角线BD上一点，且AE DE