有理数的概念及计算

有理数的概念及计算 一．相反意义的量： 在日常生活中，常会遇到这样一些量（事情）： 例1：汽车向东行驶3千米和向西行驶2千米。 例2：温度是零上10℃和零下5℃。 例3：收入500元和支出237元。 例4：水位升高1.2米和下降0.7米。 例5：买进100辆自行车和买出20辆自行车。 二．正数和负数： 为了表示具有相反意义的量，上面我们引进了―5，―2，―237，―0.7等数。像这样的一些新数，叫做负数（negative number）。过去学过的那些数（零除外），如10，3，500，1.2等，叫做正数（positive number）。正数前面有时也可放一个“+”（读作“正”），如5可以写成+5。 注意：零既不是正数，也不是负数。

巩固练习： ①―10表示支出10元，那么+50表示 ；如果零上5度记作5°C，那么零下2度记作 ；如果上升10m记作10m，那么―3m表示 ；太平洋中的马里亚纳海沟深达11034米，可记作海拔 米（即低于海平面11034米）。比海平面高50m的地方，它的高度记作海拨 ；比海平面低30m的地方，它的高度记作海拨 ； ②下面说法正确的是（ ） A．正数都带有“+”号 B．不带“+”号的数都是负数 C．小学数学中学过的数都可以看作是正数 D．0既不是正数也不是负数 ③数学测验班平均分80分，小华85分，高出平均分5分记作+5，小松78分，记作 。 ④某物体向右运动为正，那么―2m表示 ，0表示 。 ⑤一种零件的内径尺寸在图纸上是10±0.05（单位mm），表示这种零件的标准尺寸是10mm，加工要求最大不超过标准尺寸 ，最小不超过标准尺寸 。

三．数的扩充： 数1，2，3，4，„叫做正整数；―1，―2，―3，―4，„叫做负整数；正整数、负整数和零统称为整数；数32，41，854，+5.6，„叫做正分数；―97，―76，―3.5，„叫做负分数；正分数和负分数统称为分数；整数和分数统称为有理数。

思考并回答下列问题： ①“0”是整数吗？是正数吗？是有理数吗？ ②“―2”是整数吗？是正数吗？是有理数吗？ ③自然数就是整数吗？是正数吗？是有理数吗？

四．有理数的分类 不同的分类标准可以将有理数进行不同的分类： ①先将有理数按“整”和“分”的属性分，再按每类数的“正”、“负”分，即得如下分类表：

负分数

正分数

分数

负整数

正整数整数有理数0





②先将有理数按“正”和“负”的属性分，再按每类数的“整”、“分”分，即得如下分类表： 

负分数

负整数

负有理数

正分数正整数正有理数

有理数0



注：①“0”也是自然数。②“0”的特殊性。 五．把一些数放在一起，就组成一个数的集合，简称数集（set of number）。所有正数组成的集合，叫做正数集合；所有负数组成的集合叫做负数集合；所有整数组成的集合叫整数集合；所有分数组成的集合叫分数集合；所有有理数组成的集合叫有理数集合；所有正整数和零组成的集合叫做自然数集。 例1：把下列各数填入表示它所在的数集的圈里： ―18，722，3.1416，0，2001，53，―0.142857，95℅.

正数集 负数集 整数集 有理数集 例2：把下列各数填入相应集合的括号内： 29，―5.5，2002，76，―1，90%，3.14，0，―231，―0.01，―2，1 （1）整数集合：{ } （2）分数集合：{ } （3）正数集合：{ } （4）负数集合：{ } （5）正整数集合：{ } （6）负整数集合：{ } （7）正分数集合：{ } （8）负分数集合：{ } （9）正有理数集合：{ } （10）负有理数集合：{ } 课堂练习： (1)下列说法正确的是（ ） ①零是整数；②零是有理数；③零是自然数；④零是正数；⑤零是负数；⑥零是非负数。 A：①②③⑥ B：①②⑥ C：①②③ D：②③⑥ (2)下列说法正确的是（ ） A：在有理数中，零的意义表示没有 B：正有理数和负有理数组成全体有理数 C：0.5既不是整数，也不是分数，因而它不是有理数 D：零是最小的非负整数，它既不是正数，又不是负数 (3)―100不是（ ） A：有理数 B：自然数 C：整数 D：负有理数 (4)判断： （1）0是正数 （ ） （2）0是负数 （ ） （3）0是自然数 （ ） （4）0是非负数 （ ） （5）0是非正数 （ ） （6）0是整数 （ ） （7）0是有理数 （ ） （8）在有理数中，0仅表示没有。 （ ） （9）0除以任何数，其商为0 （ ） （10）正数和负数统称有理数。 （ ） （11）―3.5是负分数 （ ） （12）负整数和负分数统称负数 （ ） （13）0.3既不是整数也不是分数，因此它不是有理数 （ ） （14）正有理数和负有理数组成全体有理数。 （ ）

六．数轴的定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。 原点、正方向和单位长度是数轴的三要素，原点位置的选定、正方向的取向、单位长度大小的确定，都是根据需要认为规定的。 例1：把下面各小题的数分别表示在三条数轴上： （1）2，-1，0，323，+3.5

(2)―5，0，+5，15，20；

(3)―1500，―500，0，500，1000。 例2：借助数轴回答下列问题 (1)有没有最小的正整数？有没有最大的正整数？如果有，把它指出来；

(2)有没有最小的负整数？有没有最大的负整数？如果有，把它标出来。

例3：比较―3，0，2的大小。

例4：把下列各组数用“＜”号连接起来． (1) ―10， 2，―14； (2) ―100，0，0.01； (3) 543，―4.75，3.75。

例5： 将有理数3，0，651，―4按从小到大顺序排列，用“＜”号连接起来。 七．相反数的定义：象这样只有符号不同的两个数称互为相反数。 理解： 代数定义：只有符号不同的两个数互为相反数。0的相反数是0。 几何定义：在数轴上原点两旁，离开原点距离相等的两个点所表示的两个数互为相反数。0的相反数是0。 说明：“互为相反数”的含义是相反数，是成对出现的，因而不能说“―6是相反数”。“0的相反数是0”是相反数定义的一部分。这是因为0既不是正数，也不是负数，它到原点的距离就是0，这是相反数等于它本身的唯一的数。 八．绝对值的定义：我们把在数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值。记作|a|。

例如，在数轴上表示数―6与表示数6的点与原点的距离都是6，所以―6和6的绝对值都是6，记作|―6|=|6|=6。同样可知|―4|=4，|+1.7|=1.7。

例： (1)|+2|= ，51= ，|+8.2|= ； (2)|0|= ； (3)|―3|= ，|―0.2|= ，|―8.2|= 。 1. 一个正数的绝对值是它本身；2. 0的绝对值是0；3. 一个负数的绝对值是它的相反数。 即：①若a＞0，则|a|=a； ②若a＜0，则|a|=–a；

③若a=0，则|a|=0； 或写成：)0()0()0(0aaaaaa。 绝对值的非负性： 由绝对值的定义可知：不论有理数a取何值，它的绝对值总是正数或0(通常也称非负数)，绝对值具有非负性，即|a|≥0。 例1：求下列各数的绝对值：217，101，―4.75，10.5。 例2： 化简：(1)21； (2)311 例3：计算：（1）|0.32|+|0.3|； （2）|–4.2|–|4.2|； （3）|–32|–（–32）。

有理数的加法法则： 1. 同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加； 2. 绝对值不等的异号两数相加，取绝对值较大加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值； 3. 互为相反数的两个数相加得0； 4. 一个数同0相加，仍得这个数. 有理数减法法则:减去一个数，等于加上这个数的相反数。

例1：计算： (1)31―21―43+32； (2)(+9)―(+10)+(―2)―(―8)+3。

(3)(―12)―(+8)+(―6)―(―5)； (4)(+3.7)―(―2.1)―1.8+(―2.6)； （5）－24＋3.2―16―3.5+0.3； （6）25.03243332210

有理数乘法的法则： 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；

任何数同0相乘，都得0 乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积不变。即 a b = b a 乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变。即(ab)c=a(bc) 不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正. 几个数相乘，有一个因数为0，积就为0. 有理数除法则：除以一个数等于乘上这个数的倒数.

(1)［3×(―4)］×(―5)； (2)3×［(―4)×(―5)］；