4.1 有理数指数幂
湘教版高中数学必修第一册课后习题 第4章 幂函数、指数函数和对数函数 4.1.1--4.1.2
第4章 幂函数、指数函数和对数函数4.1 实数指数幂和幂函数4.1.1 有理数指数幂 4.1.2 无理数指数幂必备知识基础练1.(天津滨海新区高一期中)下列运算正确的是( ) A.a 2·a 3=a 6 B.(3a)3=9a 3 C.√a 88=aD.(-2a 2)3=-8a 62.若a<0,则化简a √-1a得( ) A.-√-a B.√-a C.-√aD.√a3.(福建福州三中高一期中)已知x 2+x -2=3,则x+x -1的值为( ) A.√5B.1C.±√5D.±14.(112)0-(1-0.5-2)÷(278)23的值为( )A.-13B.13C.43D.735.若√4a 2-4a +1=1-2a,则a 的取值范围是 .关键能力提升练6.(河北张家口张垣联盟高一联考)将根式√a √a √aa(a>0)化简为指数式是( ) A.a -18B.a 18C.a -78D.a -347.已知x 2+x -2=2√2,且x>1,则x 2-x -2的值为( ) A.2或-2 B.-2 C.√6D.28.(多选题)下列根式与分数指数幂的互化正确的是( ) A.-√x =(-x )12B.√y 26=y 12(y<0)C.x-13=√x3(x≠0)D.[√(-x )23]34=x 12(x>0)9.若a>0,b>0,则化简√b 3a√a2b6的结果为 .10.化简:(2-a)[(a-2)-2(-a )12]12= . 11.化简求值:(1)0.125-13−(98)0+[(-2)2]32+(√2×√33)6;(2)(5116)0.5+√(-10)2-2√3×√276-4π0÷(34)-1.学科素养创新练12.(黑龙江大庆实验中学高一期末)已知实数x 满足3×16x +2×81x =5×36x ,则x 的值为 . 答案：1.D a 2·a 3=a 5,故A 错误;(3a)3=27a 3,故B 错误;√a 88=|a|={a ,a ≥0,-a ,a <0,故C错误;(-2a 2)3=-8a 6,故D 正确.故选D.2.A ∵a<0,∴a √-1a=-√a 2×√-1a=-√a 2(-1a)=-√-a .故选A.3.C 由(x+x -1)2=x 2+x -2+2=5,可得x+x -1=±√5.故选C.4.D 原式=1-(1-22)÷(32)2=1-(-3)×49=73.故选D.5.(-∞,12] ∵√4a 2-4a +1=√(2a -1)2=|2a-1|=1-2a,∴2a-1≤0,即a≤12.6.A√a √a √aa=a 12+14+18-1=a -18,故选A.7.D (方法1)∵x>1,∴x 2>1. 由x -2+x 2=2√2,可得x 2=√2+1, ∴x 2-x -2=√2+1-√2+1=√2+1-(√2-1)=2.(方法2)令x 2-x -2=t,① ∵x -2+x 2=2√2,②∴由①2-②2,得t 2=4.∵x>1,∴x 2>x -2, ∴t>0,于是t=2,即x 2-x -2=2,故选D. 8.CD 对于选项A,因为-√x =-x 12(x≥0), 而(-x )12=√-x (x≤0),所以A 错误;对于选项B,因为√y 26=-y 13(y<0),所以B 错误; 对于选项C,x-13=√x3(x≠0),所以C 正确;对于选项D,[√(-x )23]34=x 2×13×34=x 12(x>0),所以D 正确.9.1 √b 3a√a 2b 6=√b 3a(a 2b 6)12=√b 3a ab 3=1. 10.(-a )14由已知条件知a≤0, 则(a-2)-2=(2-a)-2,所以原式=(2-a)[(2-a)-2·(-a )12]12=(2-a)(2-a)-1(-a )14=(-a )14.11.解(1)根据指数幂与根式的运算,化简可得0.125-13−(98)0+[(-2)2]32+(√2×√33)6=[(2)-3]-13−(98)0+(22)32+(212×313)6=2-1+8+(212)6(313)6=2-1+8+8×9 =81.(2)由分数指数幂及根式的运算,化简可得(5116)0.5+√(-10)2-2√3×√276-4π0÷(34)-1=[(32)4]0.5+10-2√3×(33)16-4×34=94+10-2√3×√3-3 =94+10-6-3=134.12.0或12因为3×16x +2×81x =5×36x ,所以3×24x +2×34x =5×(2×3)2x ,则3×24x +2×34x =5×22x ×32x ,所以3×24x +2×34x -5×22x ×32x =0,即(3×22x -2×32x )(22x -32x )=0,所以3×22x -2×32x =0,或22x -32x =0,解得x=12或x=0.。
实数指数幂和幂函数 教学设计-高一上学期数学湘教版(2019)必修第一册
《实数指数幂和幂函数》教学设计 4.1.1有理数指数幂一.课程标准认识有理数指数幂mna 含义，掌握指数幂的运算性质.二.教学目标1.理解根式的概念及性质，掌握分数指数幂的运算性质；2.能够熟练的进行分数指数幂与根式的互化.三、教学重点：根式的概念及n 次方根的性质；分数指数幂的意义及运算性质；分数指数幂与根式的互化.四、教学难点：n 次方根的性质；分数指数幂的意义及分数指数幂的运算. 五、教学过程一、创设情境，引入课题 1. 平方根和和立方根. 2.正整数指数幂的运算性质 二、归纳探索，形成概念 1. n 次方根若一个(实)数x 的n 次方,(2)n N n ∈≥等于a ，即n x a =，就说x 是a 的n 次方根。
那么如何表示n 次方根呢？我们分n 为奇数和n 为偶数两种情况来分别讨论n 次方根的表示方法。
例如，2=2=-；33x =-时，有x =若23x =，则x =43x =，则x =（1）当n 为奇数时，a ()a R ∈的n当a ＞00；当a ＝00；当a ＜00.（2）当n 为偶数时，a 的n 次方根有两个，它们互为相反数，即：其中正的n 0a <时, a 的n 次方根不存在。
（3）0的n 次方根为0=0. 2.根式,(2)n N n ∈≥，n 叫作根指数，a 叫作被开方数．a =，问题3：n 与aa =是否一直成立？你能举出那些例子？7...===-7...=== 由此我们可得到1。
当na =。
2。
当na =。
问题4：那么，n 又能化简成什么呢？一直成立吗？预案：n a =，根据定义易知成立。
3.分数指数幂问题5：m a 表示什么含义（当m 为正整数的时候）？当指数为正整数时候，指数的运算都有哪些运算性质？ 答：m 个a 相乘。
,,(,0)(),()m n m n mm n nm n mn m m ma a a a a m n a aa a ab a b +-==>≠== 在这里,m n 均为正整数。
人教版高中数学必修第一册 4.1指数【课件】
指数
1.掌握有理数指数幂 (a>0,且a≠1,m,n为整数,
课标定位
素养阐释
且n>0)的概念,理解有理数指数幂的运算性质.
2.掌握根式的概念,能进行分数指数幂与根式的
互化.
3.了解指数幂的拓展过程,掌握指数幂的运算性
质.
4.感受数学抽象与逻辑推理的过程,提升数学运
算素养.
自主预习·新知导学
式.
【变式训练 1】 (1) (-) =
;
(2)使等式 (-)( -)=(3-a) + 成立的实数 a 的取值范
围是
.
解析:(1) (-) =-2;
(2)因为
(-)( -)
=
(-) ( + )=|a-3|· + =(3-a) + ,
- ≤ ,
(-) =3.
4.根式的性质
根据 n 次方根的意义,可得( )n=a.
(1)当 n 为奇数时, = a ;
,
≥
,
(2)当 n 为偶数时, =|a|=
-, < .
5.下列说法正确的有
① -=3;
③ =±3;
.(只填序号)
②64 的 6 次方根是±2;
以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改
正?你如何防范?
提示:错解中使用根式的性质不当导致错误,应注意根式性质
成立的条件.
正解: ( + ) +
(- )=1+ +|1- |=1+ + -1=2 .
21-22版：4.1.1 第一课时 有理数指数幂（创新设计）
A.R C.12，＋∞
B.－∞，21∪12，＋∞ D.－∞，21
解析 将分数指数幂化为根式，可知需满足1－2x>0，
解得 x<21.
01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14
索引
3.(多选题)下列说法：①16 的 4 次实数方根是 2；②4 16的运算结果是±2；③当 n
///////
【例 3】 化简：(1)5x－23y21·－14x－1y12·－65x13y－16(其中 x>0，y>0)；
4
(2)0.064－13－－780＋（－2）3－3＋16－0.75. 解 (1)原式＝5×－14×－65x－23＋(－1)＋13·y12＋12－16＝2254x－43y56.
(2)原式＝0.4－1－1＋(－2)－4＋2－3＝52－1＋116＋18＝2176.
索引
题型二 根式与分数指数幂的互化
【例2】 将下列根式化为分数指数幂的形式：
(1)3 a a(a>0)；(2)
1
；(3)( 4
22
b－3)－3(b>0).
3 x（5 x2）2
解 (1)原式＝ 3
1
a·a2＝
3
3
a2＝
3
31
a4＝a4.
(2)原式＝
3
1＝
x·x252
3
1＝
4
x·x5
3 1x59＝（x195）13＝x135＝x－35.
（a－b）2＋5 （a－b）5＝|a－b|＋(a－b)＝02， （aa≤ －bb， ），a>b.
01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14
有理数指数幂
13 6
a 5 a9
9 5
1
6
b13
3.用分数指数幂表示下列各式 （1） a 1 （2） 5 4
3 2
b
解： 2 3 a2 a 3 （1） 4 1 （2） 5 4 b 5
b
4.求值 1 （1） 492 1 （2）32 5 解： 1 （1） 492 （2） 32 1
n 次根试 二、
1、 次根式的概念
如果一个数的n次方等于a（n>1且n∈N*），那 么这个数叫做a的n次方根。即：若xn=a，则x叫 n 做a的n次方根，其中n>1且n∈N*。式子 a 叫 做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开放数。
n
2.根式的性质
1、当n为奇数时，正数的n次方根是一个 正数，负数的n次方根是一个负数，a的n 次方根用符号 n a 表示。 2、当n为偶数时，正数的n次方根有两个， 它们互为相反数，这时，正数的正的n次 n 方根用符号 a 表示，负的n次方根用符号 n a 表示。正负两个 n次方根可以合作为 （a>0 ）。 n a 4、负数没有偶次方根。 5、零的任何次方根都是零。
课堂练习
计算： （1） 0.013
3 2 ( ) （2） 2
（3）(3a )
2 2
解答
（1）
1 3 0.01 ( ) 100 3 10 6 1000000 100
3
（2） （3）
3 2 2 2 4 ( ) ( ) 2 3 9
4.1.1有理数指数幂(课件)-高一数学(湘教版2019必修第一册)
算法则进行运算，而引入分数指数的概念就可以大大简化根式运算.
当 > 0，, ∈ 且 ≥ 2时，规定 = ，
这样就有
24
4
2
= 2 = 4， 6
1
33
=3
3
−6
=3
1
2
−
=
1
3
=
1
=
−
.
3
，方便多了.
1
−2
= 5，求下列各式的值：
(1) + −1 ；(2)2 + −2 ；(2)
1
2
解：将 +
1
−2
3
3
−
2 − 2
1
1
−
2 − 2
.
= 5两边同时平方，得： + −1 + 2 = 5.
(1) + −1 = 5 − 2 = 3；
(2)将 + −1 两边同时平方，得：2 + −2 + 2 = 9.∴2 + −2 = 7.
∙ = + ，( ) = ，() = .
下面，我们把整数指数幂推广到有理数指数幂.
新知探索——根式
若一个(实)数的次方( ∈ ， ≥ 2)等于，即 = ，则称是的次
方根.
当是奇数时，数的次方根记作 .
当 > 0时， > 0；当 = 0时， = 0；当 < 0时， < 0.
1
−2
1 −3
125 −2
；(3)( ) ；(4)( ) 3 .
《有理数指数幂》中职数学基础模块上册4.1ppt课件2【语文版】
（2）（a） a
（3）（ab） a b
课后作业：
• 练习册4.1
编者语
• 要如何做到上课认真听讲？
•
我们都知道一个人的注意力集中时间是有限的，一节课45分钟如何保持时时刻刻都能认真听讲不走神呢？
•
1、往前坐
•
坐的位置越靠后，注意力就越难集中。老师不会注意到你的事实可以让你不再紧张，放心去做别的事情。坐在后面，视线分散，哪怕你是在看老师，如果有人移动，你的视线就会飘到那个同学的后脑勺上去，也就无法集中注意力。 而且，坐在后面很
③（5 23）5 23 8 ④ 2
⑤4（3）4 | 3 | 3
整数指数幂
正整数指数幂:
a2 aa
a3 aaa
指数
幂
an a a ......a
底数
n个
运算法则:（1）aman amn
（2）（am）n anm （3）aamn amn （m n，a 0）
（3）正数的奇次方根是一个正数，负数
的奇次方根是一个负数。都记为 n a 。
根式性质
由n次根式的意义，可得
1. ( n a )n a
a
2. n an a
n是奇数 n是偶数
3.n 0 0
即：n a n 与n an 不一定相等
例1
5 ①(4 5)4
②（3 5）3 5
•
低着头，心情就放松了，但那种放松对学习一点好处也没有，之所以会放松，就是因为觉得即便是自己开小差，老师也不知道。如果你往前看，不时地和老师眼神交会一下，注意力必然会集中起来。和老师眼神交汇的那种紧张感会让你注意力集中，并充
实地听完整堂课。
教案 高教版《数学》(基础模块)——4.1有理数指数幂(2)
4.1有理数指数幂（2）——实数指数幂【教学目标】知识目标：1、掌握实数指数幂的运算法则；2、通过几个常见的幂函数，了解幂函数的图像特点。
能力目标：1、正确进行实数指数幂的运算；2、培养学生的计算技能；3、通过对幂函数图形的作图与观察，培养学生的计算工具使用能力与观察能力。
【教学重点】实数指数幂的运算法则，有理数指数幂的运算。
【教学难点】有理数指数幂的运算。
【教学设计】1、在复习整数指数幂的运算中，学习实数指数幂的运算；2、通过学生的动手计算，巩固知识，培养计算技能；3、通过“描点法”作图认识幂函数的图像，通过利用软件的大量作图，总结图像规律；4、通过知识应用巩固有理数指数幂的概念。
【课时安排】2课时。
(90分钟)【教学过程】一、实数指数幂 1、复习导入整数指数幂，当*n ∈N 时，na = ； 规定当0a ≠时，0a = ； n a -= ； 分数指数幂：mna = ；0a ≠时，m na-= 。
其中*m n n ∈N 、且＞1。
当n 为奇数时，a ∈R ；当n 为偶数时，0a。
例1、将下列各根式写成分数指数幂：（2．例2、将下列各分数指数幂写成根式：(1)3465-；（2）232.3（）2、扩展：整数指数幂的运算法则为： (1) m n a a ⋅= ； (2) ()nm a= ；(3) ()nab = 。
其中()m n ∈Ζ、运算法则同样适用于有理数指数幂的情况3、概念当p 、q 为有理数时，有p q p q a a a +⋅=； ()qp pq a a =； ()pp p ab a b =⋅运算法则成立的条件是，出现的每个有理数指数幂都有意义。
说明：可以证明，当p 、q 为实数时，上述指数幂运算法则也成立。
4、典型例题例1、计算下列各式的值：（1）130.125； （2分析 （1）题中的底为小数，需要首先将其化为分数，有利于运算法则的利用；（2）题中，首先要把根式化成分数指数幂，然后再进行化简与计算。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
（2）12 的 4 次方根可以表示为 ，
其中根指数为 ，被开方数为 ；
（3）-7 的 5 次方根可以表示为
，
其中根指数为 ，被开方数为 ；
（4）8 的平方根可以表示为
，
其中根指数为 ，被开方数为 ．
问题引入
1
思考 将整数指数幂的概念进行推广： 42 =
新知探究
概念
m
a n n am
说 其中 m、n N且n ＞1,
如果x2=5，则x= 5 ；x叫做5的 平方根 . 如果x3=8，则x= 2 ；x叫做8的 立方根 . 如果x3=-8，则x= 2 ；x叫做8的 立方根 .
归 如果x2 a，那么x叫做a的平方根二次方根，表示为x a; 纳 如果x3 a，那么x叫做a的立方根三次方根，表示为x 3 a.
思 如果xn=a (n∈ N 且n>1)，那么x叫做a的
1
3
a 5.
5 a3
典型例题
例3计算：
1
8-13； 2
25 9
3 2
；3
a
1 2
b
a
3 2b2Fra biblioteka,b
0
.
解：1
-1
83
=
1
= 1；
38 2
2
25 9
-3
2
=
5 3
2
-
3 2
=
5 3
-3
=
27 ； 125
3
a
1 2
b
a
3 2
b
2
=
a
1 2
+
3 2
b1+2
=
a2b3.
4
（1） a 7 ；
3
（2） a 5 ；
（3）
3
a2
．
4
解：（1）a7
7
3
a4 ;(2)a5
5
a3
;
(3)a
3 2
1
.
2 a3
典型例题
例 2 将下列各根式写成分数指数幂的形式： （1） 3 x2 ； （2） 3 a4 ； （3） 1 ．
5 a3
2
3
解：1 3 x2 =x3； 2 3 a4 a4； 3
考 根,表示为x=
.
次方
新知探究
概念
一般地，如果xn=a(n∈N 且n>1)，那么 x叫做a的 次方根．
1 当n为偶数时，正数a的n次方根有两个,表示
为 x n a 。,其中 n a 叫做的n 次算术根.
例如：x4 81,则x 4 81，读作：81的四次方根.
新知探究
2 当n为奇数时，实数 a的n次方根只有一个，
6
1 4
3 2
;
(6)
3
3 8
1 3
;
(7)
2
10 27
2 3
.
归纳小结
学习了哪些内容？ 重点和难点各是什么？ 采用了怎样的学习方法？ 你是如何进行学习的？ 你的学习效果如何？
布置作业
阅读 教材章节4.1
作
业
书写 教材习题一
思考 寻找有理数指数幂在生活中
的应用
3. ab m a mbm . 积的乘方，等于积的每个因式分别 乘方，再把所得的幂相乘。 m, n Z . a 指数书写格式： m + b
小测验
1
0
23= 8 ； 32 = 9 ； 2 = 1 ；
2 3
4
=
16 81
；
1 5
2
=
25
；
问题引入
如果x2=9，则x= 3 ；x叫做9的 平方根 .
第四章 指数函数与对数函数
4.1 有理数指数幂
复习回顾
正整数指数幂的定义
an a a a a(n个a相乘）.
负整数、零指数幂的定义
an
1 an
a
0, n N ;
a0 1a 0.
复习回顾
整数指数幂的运算性质
1.a m a n a mn ; 同底数的幂相乘，底数不变指数相加。
2. a m n a mn ; 幂的乘方，底数不变指数相乘。
记作 x n a 。
例如：x5 32,则x 5 32，读作：-32的五次方根.
3 负数没有偶次方根；零的n次方根是零.
新知探究
归纳
若xn
a，则x
n
a , 当n为偶数且a
0时；
n a，当n为奇数, a R.
零的n次方根是零.
新知探究
概念
形如 n a ( n N+且n 1)的式子叫做a 的 n 次根式, 其中 n 叫做根指数，a 叫做被开方数．
a n
1 n a
n N+且n 1
性 质
a 2当n为奇数时，n an
a, a 0 当n为偶数时，n an a a, a 0.
典型例题
（2）25的算术平方根， （ 3 ） 81 的 4 次 算 术 根 ，
巩固练习
填空：
（1）25 的 3 次方根可以表示为
，
其中根指数为 ，被开方数为 ；
巩固练习 1．将下列各根式写成分数指数幂的形式：
(1) 4 6; (2) 5 73 ; (3) 1 ; (4) 3 52 ; 43
(5) 2 2 ; (6) 3 1 ; (7) 4 a b3 .
a
2．计算：
(1)27
2 3
;
(2)32
3 5
;
(3)
6
1 4
1 2
;
(4)
2
1 4
1 2
(5)
a 0．
明
概念
m
an
1
n am
说 其中 m、n N且n ＞1,
a 0．
明
注： 0的正分数指数幂等于0, 0的负分数指数幂没有意义
复习回顾
有理数指数幂的运算性质
1.a m a n a mn ;
2. a m n a mn ;
3. ab m a mbm .
m, n Q.
典型例题
例 1 将下列各分数指数幂写成根式的形式