(完整版)指数与指数幂的运算练习题
高一数学上册第二章--指数函数知识点及练习题(含答案)
课时 4 指数函数一 . 指数与指数幂的运算（ 1）根式的观点①假如xna, a R, x R, n 1，且 nN ，那么 x 叫做 a 的 n 次方根． 当 n 是奇数时， a 的 n 次方根用符号 na 表示；当 n 是偶数时，正数 a 的正的 n 次方根用符号na 表示，负的 n 次方根用符号na表示； 0 的 n 次方根是 0；负数 a 没有 n 次方根．②式子 n a 叫做根式，这里 n 叫做根指数， a 叫做被开方数．当n 为奇数时， a 为随意实数；当 n 为偶数时， a．③根式的性质： (na )n a ；当 n 为奇数时， n a n a ；当 n 为偶数时， n a n | a |a (a 0) ．a (a 0)（ 2）分数指数幂的观点mna m (a①正数的正分数指数幂的意义是：a n 0, m,n N , 且 n 1) ．0 的正分数指数幂等于0．②m(1m1 ) m( a正数的负分数指数幂的意义是：a n)n n (0, m, n N , 且 n1) ．0 的负分数指aa数幂没存心义． 注意口诀： 底数取倒数，指数取相反数．（ 3）分数指数幂的运算性质①a r a s a r s (a 0, r , s R)② (ar) sa rs (a 0, r , s R)③(ab)ra rb r (a0,b 0, rR)二 . 指数函数及其性质（ 4）指数函数函数名称指数函数定义函数 ya x (a 0 且 a1) 叫做指数函数a 1a 1yy a xya xy图象y1y1(0,1)(0,1)OxOx定义域 R值域（0,+ ∞）过定点 图象过定点（0,1 ），即当 x=0 时， y=1．奇偶性非奇非偶单一性在 R 上是增函数在 R 上是减函数函数值的 y ＞ 1(x ＞ 0), y=1(x=0), 0＜ y ＜ 1(x ＜ 0)y ＞ 1(x ＜ 0), y=1(x=0), 0＜ y ＜ 1(x ＞ 0)变化状况a 变化对在第一象限内， a 越大图象越高，越凑近 y 轴； 在第一象限内， a 越小图象越高，越凑近 y 轴； 图象影响在第二象限内，a 越大图象越低，越凑近x 轴．在第二象限内，a 越小图象越低，越凑近x 轴．三 .例题剖析1.设 a 、 b 知足 0<a<b<1,以下不等式中正确的选项是 ( C)A.a a <a bB.b a <b bC.a a <b aD.b b <a b 分析： A 、B 不切合底数在 (0,1) 之间的单一性 ; C 、 D 指数同样 , 底小值小 . 应选 C. 2.若 0<a<1,则函数 y=a x 与 y=(a-1)x 2 的图象可能是 (D )分析： 当 0<a<1 时 ,y=a x 为减函数 ,a-1<0, 因此 y=(a-1)x2张口向下 , 应选 D.3.设指数函数 f(x)=a x (a>0 且 a ≠ 1),则以下等式中不正确的选项是 ( D )A.f(x+y)=f(x)f(y)f (x)B.f(x-y)=f ( y)C.f(nx)= ［ f(x) ］ nD.f ［ (xy) n ］ =［ f(x) ］ n ［ f(y) ］ n (n ∈ N * )分析： 易知 A 、 B 、 C 都正确 .对于 D,f ［(xy)n］ =a (xy)n , 而［ f(x) ］ n ·［f(y) ］ n =(a x ) n ·(a y ) n =a nx+ny , 一般状况下 D 不建立 .11 34.设 a= ( 3) 3,b= ( 4)4,c= ( 3) 4,则 a 、b 、 c 的大小关系是 ( B )43 2A.c<a<b3分析： a= ( )B.c<b<aC.b<a<cD.b<c<a1 111(8133( 4)3 ( 4) 4=b, b=(4) 4)4(3) 4 =c.∴ a>b>c.3 332725.设 f(x)=4 x -2x+1,则 f -1 (0)=______1____________. 分析： 令 f -1 (0)=a, 则 f(a)=0 即有 4a -2 · 2a =0.2a · (2 a -2)=0, 而 2a >0,∴ 2a =2 得 a=1.6.函数 y=a x-3 +4(a>0 且 a ≠ 1)的反函数的图象恒过定点 ______(5,3)____________.分析： 因 y=a x 的图象恒过定点 (0,1), 向右平移 3 个单位 , 向上平移 4 个单位获得 y=a x-3 +4 的图象 , 易知恒过定点 (3,5).故其反函数过定点 (5,3).10 x 10 x.证明 f(x) 在 R 上是增函数 .7.已知函数 f(x)=x10 x10x1010x102x1,设 x 1<x 2∈ R,则f(x 1)-f(x2)=10x 1 1010x 1 10x 110x 210 x 2102 x 11 102 x 21 2(102 x 1102 x2).x 110x2 10x2 102 x1 1102 x21(102 x11)(102 x 2 1)∵ y=10 x是增函数 ,∴ 10 2x 1 10 2x 2 <0.而 10 2x 1 +1>0, 102 x 2 +1>0,故当 x <x 时 ,f(x)-f(x )<0,1212即 f(x 1)<f(x 2). 因此 f(x) 是增函数 .8.若定义运算 a b=b, ab,则函数 f(x)=3 x3-x 的值域为 ( A )a, a b,A.(0,1]B. ［ 1,+∞ )C.(0,+ ∞ )D.(- ∞ ,+∞ )分析： 当 3x ≥3-x , 即 x ≥ 0 时 ,f(x)=3-x∈(0,1 ］ ;x-x, 即 x<0 时 ,f(x)=3x∈ (0,1).3 x , x 0, 当 3<3∴ f(x)=x值域为 (0,1).3x ,0,9.函数 y=a x 与 y=-a -x (a>0,a ≠1) 的图象 ( C )A. 对于 x 轴对称B.对于 y 轴对称C.对于原点对称D.对于直线 y=-x 对称分析： 可利用函数图象的对称性来判断两图象的关系.10.当 x ∈［ -1,1］时 ,函数 f(x)=3 x-2 的值域为 _______［ -5,1 ］ ___________.3分析： f(x) 在［ -1,1 ］上单一递加 .11.设有两个命题 :(1)对于 x 的不等式 x 2+2ax+4>0对全部 x ∈ R 恒建立 ;(2) 函数 f(x)=-(5-2a) x是减函数 .若命题 (1)和 (2)中有且仅有一个是真命题 ,则实数 a 的取值范围是 _______(- ∞ ,-2)__________.分析： (1) 为真命题=(2a) 2-16<0-2<a<2. (2)为真命题 5-2a>1 a<2.若 (1) 假 (2) 真 , 则 a ∈ (- ∞ ,-2]. 若 (1) 真 (2) 假, 则 a ∈ (-2,2)∩［ 2,+ ∞］=.故 a 的取值范围为 (- ∞ ,-2).12.求函数 y=4 -x -2-x +1,x ∈［ -3,2］的最大值和最小值 .解： 设 2-x=t, 由 x ∈［ -3,2 ］得 t ∈［ 1,8 ］ , 于是 y=t 2-t+1=(t-1)2+3. 当 t= 1时 ,y3 .424有最小值 这时 x=1.当 t=8 时 ,y 有最大值57.这时 x=-3.2413.已知对于 x 的方程 2a2x-2-7a x-1 +3=0 有一个根是 2,求 a 的值和方程其他的根 . 解： ∵ 2 是方程 2a2x-2-9a x-1+4=0 的根 , 将 x=2 代入方程解得 a= 1或 a=4.2(1) 当 a= 1时 , 原方程化为 2· ( 1)2x-2-9(1) x-1 +4=0.①222x-1 2令 y=( 1) , 方程①变成 2y -9y+4=0,2解得 y 1=4,y 2= 1.∴ ( 1) x-1 =42x=-1,2( 1 ) x-1 = 1x=2.22(2) 当 a=4 时 , 原方程化为 2· 42x-2 -9 · 4x-1 +4=0. ②令 t=4 x-1 , 则方程②变成 2t 2-9t+4=0. 解得 t 1=4,t 2= 1.x-12=4x=2,∴44x-1 = 1x=- 1 .22故方程此外两根是当 a= 1时 ,x=-1;1 .2当 a=4 时 ,x=-214.函数 y= (1) 3 4xx 2的单一递加区间是 ( D )3A. ［ 1,2］B.［ 2,3］C.(-∞ ,2]D.［ 2,+∞ )分析： 由于 y=3x2-4x+3 , 又 y=3t 单一递加 ,t=x 2-4x+3 在 x ∈［ 2,+ ∞ ) 上递加 , 故所求的递加区间为［ 2,+ ∞ ).15.已知 f(x)=3 x-b (2≤ x ≤ 4,b 为常数 ) 的图象经过点 (2,1), 则 F(x)=f 2(x)-2f(x) 的值域为 ( B )A. ［ -1,+∞ )B. ［ -1,63)C.［ 0,+∞ )D.(0,63 ］分析： 由 f(2)=1, 得 32-b =1,b=2,f(x)=3 x-2.∴ F (x)= ［ f(x)-1 ］2-1=(3 x-2 -1) 2-1. 令 t=3 x-2 ,2 ≤x ≤4.2∴g(t)=(t-1) - 1,t ∈［ 1,9 ］.2.1 指数函数练习1．以下各式中建立的一项A ． ( n)71n 7 m 7B ．12 ( 3)433m3C ． 4 x 3y 3( x y) 4D ．393321111 1 52．化简 (a 3 b 2 )( 3a 2 b 3 ) ( a 6 b 6 ) 的结果3D ． 9a 2 A ． 6aB ． aC ． 9a3．设指数函数 f ( x)a x ( a 0, a1) ，则以下等式中不正确的选项是f (x) A ． f(x+y)=f(x) ·f(y)B ． f （ x y ）f ( y)C ． f (nx)[ f ( x)]n (nQ )D ． f ( xy) n [ f ( x)] n ·[f ( y)] n1 4．函数 y (x5) 0 ( x 2)2A ． { x | x 5, x 2}B ． { x | x 2}C ． { x | x 5}D ． { x | 2 x 5或 x 5}（）（）（）(n N )（ ）5．若指数函数 y a x 在 [－ 1,1]上的最大值与最小值的差是1，则底数 a 等于 （）A ．15 B ．1 5 C ．15D ．5 122 226．当 a0 时，函数 y axb 和 yb ax 的图象只可能是（）7．函数 f ( x)2 |x| 的值域是（）A ． (0,1]B ． (0,1)C ． (0, )D ． R8．函数 f ( x)2 x 1, x 0，知足 f ( x)1的 x 的取值范围1x 2 , x（）A ． ( 1,1)B ． ( 1, )C ． { x | x 0或 x2}D ． { x | x 1或 x1}9．函数 y(1) x 2x2得单一递加区间是2（）A ．[ 1,1]B ． ( , 1]C ．[2,)D ．[ 1,2]2exe x210．已知 f ( x)（）2 ，则以下正确的选项是A ．奇函数，在 R 上为增函数B ．偶函数，在 R 上为增函数C ．奇函数，在 R 上为减函数D ．偶函数，在 R 上为减函数11．已知函数 f (x)的定义域是（1， 2），则函数 f (2 x ) 的定义域是.12．当 a ＞0 且 a ≠1 时，函数 f (x)=a x －2－ 3 必过定点.三、解答题：13．求函数 y1的定义域 .x5 x 1114．若 a ＞0， b ＞ 0，且 a+b=c ，求证： (1) 当r ＞1时， a r +b r ＜ c r ； (2) 当r ＜ 1时， a r +b r ＞ c r .a x 1 15．已知函数 f ( x)(a ＞1) .a x1（ 1）判断函数 f (x) 的奇偶性；（ 2）证明 f (x)在 (－∞， +∞ )上是增函数 .xa16．函数 f(x) ＝ a (a>0 ，且 a ≠1) 在区间 [1,2] 上的最大值比最小值大2，求 a 的值．参照答案一、 DCDDD AADDA二、 11． (0,1)；12． (2，－ 2) ；三、 13． 解：要使函数存心义一定：x 1 0x 1x0 x 0x 1∴ 定义域为 ： x xR 且 x0, x 1a rrrb r此中a1,0b114． 解：ba，c rcccc.r ＞1 ，a rb ra b 1，r r r当因此+b＜ c ；时c c c crrrrr当 r ＜ 1 时， aba b1， 因此 a +b ＞c .ccc c15． 解 ：(1)是奇函数 .(2) 设x ＜x ，则 f (x 1 )ax11 ax21 。
指数与指数幂的运算 习题(含答案)
【方法点晴】本题考查指数函数的变换，形如 的图象的作法：先做出 的图象，再将 轴下方的图象翻折到 轴上方. 的图象 的图象向下平移一个单位，再将 轴下方的图象翻折到 轴上方得到，由于底数 不确定，故应分 和 两种情况分别作图，结合图形可得最后结果.
23．4
【解析】原式 ，故答案为4.
试题解析：
(1) 原式＝
(2)
.
27．（1） （2）
【解析】试题分析：
（1）根据分数指数幂的运算法则和对数的运算求解．（2）根据 求得 ，解方程组求出 后再求解．
试题解析：
（1）原式=3﹣3+（4﹣2）× = ．
（2）∵sinα+cosα= ，①
∴ 1+2sinαcosα= ，
∴2sinαcosα=﹣ ．
指数与指数幂的运算习题（含答案）
一、单选题
1．已知x，y为正实数，则
A．2lnx+lny=2lnx+2lnyB．2ln（x+y）=2lnx•2lny
C．2lnx•lny=2lnx+2lnyD．2ln（xy）=2lnx•2lny
2．化简 的结果为
A．−9B．7
C．−10D．9
3．若 ，且 ， 为整数，则下列各式中正确的是
【解析】
【分析】
利用根式的运算法则运算即可.
【详解】
（1） ；
1) 中实数 的取值由 的奇偶性确定，只要 有意义，其值恒等于 ，即 ；
(2) 是一个恒有意义的式子，不受 的奇偶性限制， ，但 的值受 的奇偶性影响．
29．（1）89；（2） .
【解析】试题分析：指数幂运算要严格按照幂运算定义和法则运算，法则包括同底数幂相乘，底数不变，指数相加；同底数幂相除，底数不变指数相减；幂的乘方，底数不变指数相乘；积的乘方等于把积中每个因数乘方，再把所得的幂相乘；对数运算要注意利用对数运算法则，包括积、商、幂的对数运算法则，这些公式既要学会正用，还要学会反着用.
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2 2 2 ⎝ ⎝ ⎭⎭指数与指数幂的运算 习题（含答案）一、单选题1．已知 x ，y 为正实数，则 A ． 2lnx+lny =2lnx +2lny B ． 2ln （x+y ）=2lnx •2lny C ． 2lnx•lny =2lnx +2lnyD ． 2ln （xy ）=2lnx •2lny12．化简[( ‒ 2)6]2 ‒ ( ‒ 1)0的结果为A ． −9B ． 7C ． −10D ． 93. 若 > 0，且 ， 为整数，则下列各式中正确的是A ． a m ÷ a n = anB ． a m ⋅ a n = a mnC ． () =+D ． 1 ÷ a n = a 0 ‒ n4. 若 a >1，b >0，且 a b ＋a －b ＝2，则 a b －a －b 的值为( )A ．B ． 2 或－2C ． －2D ． 25．3‒ 27的值为（）． A.9B. ‒ 9C.‒ 3D.3a 3x + a ‒ 3x26．若 = A ． 2 ‒ 1 C ． 2 + 1‒ 1，则 a x + a ‒ x 等于B ． 2 ‒ 2 D ． + 1log 3x , x > 0 ⎛ ⎛ 1 ⎫⎫7．已知函数 f (x )= { 2x , x ≤ 0，则 f f 9 ⎪⎪ 等于（ ）A ． 4B ． - 1 41C ． -4D ． 4 18．设 a = log 3,b = 20.3, c = log 2 ，则（ ）3A ． a > b > cB ． a > c > bC ． c > a > b (1)9．设 y 1＝40.9，y 2＝80.48，y 3＝ 2 －1.5，则( ) A ． y 3＞y 1＞y 2 B ． y 2＞y 1＞y 3 C ． y 1＞y 2＞y 3 D ． y 1＞y 3＞y 2 10．有下列各式：D ． b > a > c2 2n a n 3 x4+ y 36 (-5)2m ‒ 2n4 163 x3 x 227 - - ① = a ；②若 a ∈R ，则(a 2－a ＋1)0＝1；4③ = x 3+ y ；④ 35 = .其中正确的个数是( ) A ． 0 B ． 1 C ． 2D ．311．化简(a 2－2＋a －2)÷(a 2－a －2)的结果为( ) A ． 1B ． －1C ．a 2 -1a 2 +1a 2 +1D ．a 2 -112. 下列各式计算正确的是( )A ． (－1)0＝1B ． 21a 2·a 2＝a2 1 1 C ． 43＝8D ． a 3÷ a － 3= a 313. 已知a m ＝4，a n ＝3，则 的值为( )2A.33B. 6 C ． 2D ． 2二、填空题化简 ⋅(x > 0) 的结果是.14.x ⋅ 15. 设函数 f (x ) = a x + (k -1)a -x + k 2 （ a > 0, a ≠ 1 ）是定义域为 R 的奇函数.（1） 求 k 值；（2） 若 f (1) > 0 ，求使不等式 f (x 2 + x ) + f (t - 2x ) > 0 恒成立的t 的取值范围；（3）若 f (1) = 3 ，设 g (x ) = a 2x + a -2x - 2mf (x ) ， g (x ) 在[1, +∞) 上的最小值为-1，2求m 的值.12⎛ 1 ⎫ - 16．计算： 83 ÷ ⎪ = .⎝ 4 ⎭ ⎛ 8 ⎫- 13 - ⎛ - 3 ⎫0+ =17． log 3 +⎝ 125 ⎪⎭ ．⎝ 5 ⎪⎭2 518． (2a -3b 3 ) ⋅ (-3a -1b ) ÷ (4a -4b 3)(a > 0, b > 0) =.19．若2x + 2-x = 5 ，则8x + 8-x =.6 x23 a - 33 b- ⎛ 8 9 2 ( ‒ 8) （3） ；20． 0.064 13- - 1 ⎫0 + ⎡(-2)3 ⎤- 34 +16 ⎪ ⎣ ⎦⎝ ⎭- 34 + 0.0112 =⎛ 1 ⎫0 21. 计算： lg4 + lg25 + - ⎪ ⎝ ⎭=．22. 直线y = 2a 与函数 y = a x -1 (a > 0且a ≠ 1)的图象有且仅有两个公共点，则实数 a 的取值范围是.1 + log 12 - (0.7)0+ 0.25-1 ＝。
幂与指数练习题
幂与指数练习题1. 计算以下幂与指数的值：a) 2^3 = 8b) 5^2 = 25c) 10^0 = 1d) (-3)^4 = 812. 化简以下幂与指数的乘积：a) 3^2 * 3^3 = 3^(2+3) = 3^5b) 4^5 * 4^(-2) = 4^(5 + (-2)) = 4^3c) 2^4 * 3^4 = (2*3)^4 = 6^4d) x^3 * x^2 = x^(3+2) = x^53. 计算以下幂与指数的除法：a) 8^4 / 8^2 = 8^(4-2) = 8^2 = 64b) 5^3 / 5^4 = 5^(3-4) = 5^(-1) = 1/5c) (2^6)^3 / 2^9 = 2^(6*3-9) = 2^9 / 2^9 = 1d) (x^2 / y^3) / (x^4 / y^2) = (x^2 / y^3) * (y^2 / x^4) = (x^2 * y^2) / (y^3 * x^4) = y^(-1) / x^24. 计算以下幂的幂值：a) (3^2)^3 = 3^(2*3) = 3^6b) (4^5)^(-2) = 4^(5*(-2)) = 4^(-10)c) (2^4)^(-2) = 2^(4*(-2)) = 2^(-8)d) (x^3)^4 = x^(3*4) = x^125. 应用幂的性质计算以下表达式：a) (2^3 * 3^2) / (2^2 * 3^3) = (2^(3-2) * 3^(2-3)) = 2^1 / 3^1 = 2/3b) (5^3 * 5^(-2)) / 5^4 = 5^(3-2-4) = 5^(-3)c) ((2^3)^2 * (2^(-2))^3) / (2^4) = (2^(3*2) * 2^(-2*3)) / 2^4 = 2^6 * 2^(-6) / 2^4 = 2^(6-6-4) = 2^(-4)6. 解决以下幂和指数的方程：a) 2^x = 8，解x = 3b) 3^(2x-1) = 1/9，解2x-1 = -2，得2x = -1，解x = -1/2c) (1/4)^x = 16，解x = -2d) x^(3/2) = 64，解x = 64^(2/3)7. 计算以下连续幂的值：a) 3^(2^(2^1)) = 3^(2^2) = 3^4 = 81b) 2^(3^(2^1)) = 2^(3^2) = 2^9 = 512c) (2^3)^(4^1) = 2^(3*4) = 2^12 = 4096d) (3^2)^(2^1) = 3^(2*2) = 3^4 = 818. 计算以下自然数的阶乘：a) 4! = 4 * 3 * 2 * 1 = 24b) 6! = 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 720c) 0! = 1d) 10! = 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 3,628,8009. 计算以下排列和组合的值：a) P(5, 2) = 5! / (5-2)! = 5! / 3! = 5 * 4 = 20b) C(6, 3) = 6! / (3! * (6-3)!) = 6! / (3! * 3!) = 6 * 5 * 4 / (3 * 2 * 1) = 2010. 应用幂的概念解决实际问题：举例：假设每年保险费率上涨5%，现在的保险费用是1000元，那么五年后的保险费用是多少？解答：保险费用五年后是 1000 * (1 + 0.05)^5 元。
高一数学指数与指数幂的计算题及答案解析
高一数学指数与指数幂的计算题及答案解析1.将532写为根式，则正确的是()A.352B.35C.532D.53解析：选D.532=53.2.根式1a1a(式中a>0)的分数指数幂形式为()A.a-43B.a43C.a-34D.a34解析：选C.1a1a=a-1•a-112=a-32=(a-32)12=a-34.3.a-b2+5a-b5的值是()A.0B.2(a-b)C.0或2(a-b)D.a-b解析：选C.当a-b≥0时，原式=a-b+a-b=2(a-b);当a-b<0时，原式=b-a+a-b=0.4.计算：(π)0+2-2×(214)12=________.解析：(π)0+2-2×(214)12=1+122×(94)12=1+14×32=118.答案：1181.下列各式正确的是()A.-32=-3B.4a4=aC.22=2D.a0=1解析：选C.根据根式的性质可知C正确.4a4=|a|，a0=1条件为a≠0，故A，B，D错.2.若(x-5)0有意义，则x的取值范围是()A.x>5B.x=5C.x<5D.x≠5解析：选D.∵(x-5)0有意义，∴x-5≠0，即x≠5.3.若xy≠0，那么等式4x2y3=-2xyy成立的条件是()A.x>0，y>0B.x>0，y<0C.x<0，y>0D.x<0，y<0解析：选C.由y可知y>0，又∵x2=|x|，∴当x<0时，x2=-x.4.计算2n+12•122n+14n•8-2(n∈N*)的结果为()A.164B.22n+5C.2n2-2n+6D.(12)2n-7解析：选D.2n+12•122n+14n•8-2=22n+2•2-2n-122n•23-2=2122n-6=27-2n=(12)2n-7.5.化简23-610-43+22得()A.3+2B.2+3C.1+22D.1+23解析：选A.原式=23-610-42+1=23-622-42+22=23-62-2=9+62+2=3+6.设a12-a-12=m，则a2+1a=()A.m2-2B.2-m2C.m2+2D.m2解析：选C.将a12-a-12=m平方得(a12-a-12)2=m2，即a-2+a-1=m2，所以a+a-1=m2+2，即a+1a=m2+2⇒a2+1a=m2+2.7.根式a-a化成分数指数幂是________.解析：∵-a≥0，∴a≤0，∴a-a=--a2-a=--a3=-(-a)32.答案：-(-a)328.化简11+62+11-62=________.解析：11+62+11-62=3+22+3-22=3+2+(3-2)=6.答案：69.化简(3+2)2010•(3-2)2011=________.解析：(3+2)2010•(3-2)2011=[(3+2)(3-2)]2010•(3-2)=12010•(3-2)=3-2.答案：3-210.化简求值：(1)0.064-13-(-18)0+1634+0.2512;(2)a-1+b-1ab-1(a，b≠0).解：(1)原式=(0.43)-13-1+(24)34+(0.52)12=0.4-1-1+8+12=52+7+12=10.(2)原式=1a+1b1ab=a+bab1ab=a+b.11.已知x+y=12，xy=9，且x解：x12-y12x12+y12=x+y-2xy12x-y.∵x+y=12，xy=9，则有(x-y)2=(x+y)2-4xy=108.又x代入原式可得结果为-33.12.已知a2n=2+1，求a3n+a-3nan+a-n的值.解：设an=t>0，则t2=2+1，a3n+a-3nan+a-n=t3+t-3t+t-1=t+t-1t2-1+t-2t+t-1=t2-1+t-2=2+1-1+12+1=22-1.定义：形如y=x^a(a为常数)的函数，即以底数为自变量幂为因变量，指数为常量的函数称为幂函数。
指数与指数幂的运算综合训练
指数与指数幂的运算综合训练一、选择题1．化简式子122[(]-的结果是( ) A. 3 B ．－3 C.3 D ．－3考点 根式与分数指数幂的互化 题点 根式化为分数指数幂 答案 C解析 11222[(]33--=== 2．化简3－a ꞏ6a 的结果为( ) A ．－a B ．－－a C.－aD.a考点 根式与分数指数幂的互化 题点 根式化为分数指数幂 答案 A 解析 显然a ≥0.1111136362ꞏa a aa +－＝－=-＝－3.3a 2ꞏa 等于( )57511681212A B C D a a a a ．．．．考点 根式与分数指数幂的互化 题点 根式化为分数指数幂 答案 B解析21113412.aa ==4．34(32)x --中x 的取值范围是( )A ．(－∞，＋∞)B.⎝⎛⎭⎫－∞，32∪⎝⎛⎭⎫32，＋∞C.⎝⎛⎭⎫－∞，32 D.⎝⎛⎭⎫32，＋∞ 考点 根式与分数指数幂的互化 题点 根式与分数指数幂的互化 答案 C解析 34341(32)(32)x x --==-要使该式有意义，需3－2x >0，即x <32.5．1113622,3,6这三个数的大小关系为( ) A ．111632632<< B ．111632623<< C ．111362236<<D ．111362326<<考点 根式与分数指数幂的互化 题点 根式与分数指数幂的互化 答案 B解析 3121163662228,339,6=======∵66<68<69，111632263.<∴<6．如果x ＝1＋2b ，y ＝1＋2－b ，那么用x 表示y 等于( )A.x ＋1x －1 B.x ＋1x C.x －1x ＋1D.xx －1考点 有理数指数幂的运算性质 题点 附加条件的幂的求值 答案 D解析 由x ＝1＋2b ，得2b ＝x －1，y ＝1＋2－b ＝1＋12b ＝1＋1x －1＝x x －1. 7．设1122.a am --=则a 2＋1a 等于( )A ．m 2－2B ．2－m 2C ．m 2＋2D ．m 2考点 有理数指数幂的运算性质 题点 附加条件的幂的求值 答案 C解析 将1122a am --=两边平方，得211222,a a m -⎛⎫-= ⎪⎝⎭即a －2＋a －1＝m 2，所以a ＋a －1＝m 2＋2， 即a ＋1a ＝m 2＋2，所以a 2＋1a ＝m 2＋2. 8若a >1，b >0，a b ＋a －b ＝22，则a b －a－b等于( )A. 6 B ．2或－2 C ．－2D ．2考点 有理数指数幂的运算性质 题点 附加条件的幂的求值 答案 D解析 设a b －a －b ＝t .∵a >1，b >0， ∴a b >1，a －b <1， ∴t ＝a b －a －b >0，则t 2＝(a b －a －b )2＝(a b ＋a －b )2－4＝(22)2－4＝4， ∴t ＝2. 二、填空题9．计算33＝________.考点 根式与分数指数幂的互化 题点 根式与分数指数幂的乘除运算 答案 116解析 原式＝33＝47－9＝4－2＝116.10．若a >0，且a x ＝3，a y ＝5，则22y x a +=________.考点 有理数指数幂的运算性质 题点 附加条件的幂的求值 答案 9 5解析 11222222()()35y x x y aa a +=⋅=⋅=11．(3＋2)2 015×(3－2)2 016＝________. 考点 根式与分数指数幂的互化题点 根式与分数指数幂的四则混合运算 答案3－ 2解析 (3＋2)2 015×(3－2)2 016 ＝[(3＋2)(3－2)]2 015×(3－2) ＝12 015×(3－2)＝3－ 2.12．化简2312a ---⎛⎫÷的值为________． 考点 根式与分数指数幂的互化 题点 根式与分数指数幂的乘除运算 答案 1566a b-解析 原式＝221131322111322a ba bb a a b ----⎛⎫⋅ ⎪÷ ⎪ ⎪⋅⋅⎝⎭2121132113221132211123332233227166711166()()()a baba b aba b a b ab ab-----+-----⋅=÷⋅=÷=÷=＝1566a b-.三、解答题 13．计算：(1)733－3324－6319＋4333；(2)111201130.2534730.00813813100.02788-----⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥-⨯⨯+-⨯⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎣⎦考点 根式与分数指数幂的互化题点 根式与分数指数幂的四则混合运算解 (1)原式＝112112112133333333347333263(33)363323233---⨯-⨯⨯-⨯+⨯=-⨯+=⨯-⨯⨯113323230.=⨯-⨯= (2)原式=1141142113333(31)310(0.3)102-----⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫--⨯+-⨯⎢⎥⎢⎥⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦1123112101100.330.1033333--⎛⎫⎛⎫=-⨯+-⨯=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 四、探究与拓展14．已知2a ꞏ3b ＝2c ꞏ3d ＝6，求证：(a －1)(d －1)＝(b －1)ꞏ(c －1)． 考点 有理数指数幂的运算性质 题点 附加条件的幂的求值证明 ∵2a ꞏ3b ＝6＝2×3，∴2a －1ꞏ3b －1＝1. ∴(2a －1ꞏ3b －1)d －1＝1， 即2(a －1)(d －1)ꞏ3(b －1)(d －1)＝1.①又2c ꞏ3d ＝6＝2×3，∴2c －1ꞏ3d －1＝1. ∴(2c －1ꞏ3d －1)b －1＝1， 即2(c －1)(b －1)ꞏ3(d －1)(b －1)＝1.②由①②知2(a －1)(d －1)＝2(c －1)(b －1)， ∴(a －1)(d －1)＝(b －1)(c －1)．15．已知函数f (x )＝11335x x --，g (x )＝11335x x -+.(1)求证：f (x )在(0，＋∞)上是增函数；(已知y ＝13x 在R 上是增函数)(2)分别计算f (4)－5f (2)g (2)和f (9)－5f (3)g (3)的值，由此概括出涉及函数f (x )和g (x )对所有不等于零的实数x 都成立的一个等式，并加以证明． 考点 根式与分数指数幂的互化 题点 根式与分数指数幂的四则混合运算 (1)证明 设x 1>x 2>0，∵y ＝13x 在R 上是增函数，113312.x x ∴>又∵()13120x x ->，∴f (x 1)－f (x 2)＝111111133333331122121211()()1()0.55x x x x x x x x ---⎡⎤--+=-+>⎢⎥⎣⎦∴f (x )在(0，＋∞)上是增函数．(2)解 经计算知f (4)－5f (2)g (2)＝0，f (9)－5f (3)ꞏg (3)＝0，由此猜想：f (x 2)－5f (x )g (x )＝0. 证明如下： f (x 2)－5f (x )g (x )221111222233333333331111()()()()()0.5555x x x x x x x x x x -----=--+-=---=。
指数、对数、幂基础练习(含答案)
分数指数幂1、用根式的形式表示下列各式)0(>a （1）51a=（2）32a-=2、用分数指数幂的形式表示下列各式： （1）34y x = （2）)0(2>=m mm3、求下列各式的值（1）2325= （2）32254-⎛⎫⎪⎝⎭=4、解下列方程 （1）1318x - = （2）151243=-x指数函数1、下列函数是指数函数的是 （ 填序号） （1）xy 4= （2）4x y = （3）xy )4(-= （4）24x y =。
2、函数)1,0(12≠>=-a a ay x 的图象必过定点 。
3、若指数函数xa y )12(+=在R 上是增函数，求实数a 的取值范围 。
4、如果指数函数xa x f )1()(-=是R 上的单调减函数，那么a 取值范围是 （ ） A 、2<a B 、2>a C 、21<<a D 、10<<a5、下列关系中，正确的是 （ ）A 、5131)21()21(>B 、2.01.022>C 、2.01.022-->D 、115311()()22- - >6、比较下列各组数大小：（1）0.53.1 2.33.1 （2）0.323-⎛⎫⎪⎝⎭0.2423-⎛⎫⎪⎝⎭（3） 2.52.3- 0.10.2-7、函数xx f 10)(=在区间[1-，2]上的最大值为 ，最小值为 。
函数xx f 1.0)(=在区间[1-，2]上的最大值为 ，最小值为 。
8、求满足下列条件的实数x 的范围：（1）82>x （2）2.05<x 9、已知下列不等式，试比较n m ,的大小：（1）n m 22< （2）n m 2.02.0< （3）)10(<<<a a an m10、若指数函数)1,0(≠>=a a a y x的图象经过点)2,1(-，求该函数的表达式并指出它的定义域、值域和单调区间。
指数幂的运算练习题
指数幂的运算练习题指数幂的运算练习题指数幂是数学中常见的运算方式，它在各个领域都有广泛的应用。
通过练习题的形式，我们可以更好地理解指数幂的运算规则，并提高自己的计算能力。
下面，我将给大家提供一些指数幂的运算练习题，希望能够帮助大家更好地掌握这一概念。
1. 计算以下指数幂的结果：a) 2^3b) 5^2c) 10^0d) 3^4解析：a) 2^3 = 2 × 2 × 2 = 8b) 5^2 = 5 × 5 = 25c) 10^0 = 1（任何数的0次方都等于1）d) 3^4 = 3 × 3 × 3 × 3 = 812. 计算以下指数幂的结果并化简：a) (2^3)^2b) (4^2)^3c) (10^2)^0解析：a) (2^3)^2 = 2^(3 × 2) = 2^6 = 64b) (4^2)^3 = 4^(2 × 3) = 4^6 = 4096c) (10^2)^0 = 10^(2 × 0) = 10^0 = 13. 计算以下指数幂的结果并化简：a) 2^5 ÷ 2^2b) 5^3 ÷ 5^4c) 8^2 ÷ 2^6解析：a) 2^5 ÷ 2^2 = 2^(5 - 2) = 2^3 = 8b) 5^3 ÷ 5^4 = 5^(3 - 4) = 5^(-1) = 1/5c) 8^2 ÷ 2^6 = (2^3)^2 ÷ 2^6 = 2^(3 × 2 - 6) = 2^0 = 14. 计算以下指数幂的结果并化简：a) (2^3) × (2^4)b) (3^2) × (3^3)c) (10^3) × (10^(-2))解析：a) (2^3) × (2^4) = 2^(3 + 4) = 2^7 = 128b) (3^2) × (3^3) = 3^(2 + 3) = 3^5 = 243c) (10^3) × (10^(-2)) = 10^(3 - 2) = 10^1 = 10通过以上的练习题，我们可以看到指数幂的运算规则。
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12、已知，则等于（）
A．2B．C．D．
13、化简的结果是（）
A．B．C．D．
14、下列各式正确的是（）
A. B.
C. D.
15、根式（式中）的分数指数幂形式为（）
A. B. C. D.
2.1.1指数与指数幂的运算练习题
1、有理数指数幂的分类
（1）正整数指数幂；
（2）零指数幂；
（3）负整数指数幂
（4）0的正分数指数幂等于0, 0的负分数指数幂没有意义。
2、有理数指数幂的性质
（1）
（2）
（3）
知能点2：无理数指数幂
若＞0，是一个无理数，则表示一个确定的实数，上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用。
A.B.C.D.
4、若，且为整数，则下列各式中正确的是（）
A、B、C、D、
5、下列运算结果中，正确的是（）
A．B．C．D．
6.下列各式中成立的是（）
A．B．C．D．
7.下列各式成立的是（）
A. B. C. D.
8.将写为根式，则正确的是（）
A．B．C．D．
9、化简的结果为（）
A．5B．C．D．-5
11.与的值相等是（）
知能点3：根式
1、根式的定义：一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，叫做根式，叫做根指数，叫被开方数。
2、对于根式记号，要注意以下几点：
（1），且；
（2）当是奇数，则；当是偶数，则；
（3）负数没有偶次方根；
（4）零的任何次方根都是零。
3、我们规定：
（1）；
（2）
一、填空
1、用根式的形式表示下列各式
（1）=（2）=（3）=（4）=
2、用分数指数幂的形式表示下列各式：
（1）=（2）
（3）=；（4）=；
（5）（6）（7）
（8）
3、求下列各式的值
（1）=；（2）=；（3）=；
（4）=；（5）=；（6）=；
（7）=；（8）=；（9）=；
（10）
4.化简
（1）（2）
（3）（4）=
（5）=（6）=
（7）=ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
（8）=
5.计算
（1）(2)
（3）（4）
6.已知，求下列各式的值（1）=；（2）=
7.若，则和用根式形式表示分别为和，和用分数指数幂形式表示分别为和。
8.使式子有意义的x的取值范围是_.
9.若，,则的值= .
10.已知，则的值为.
二.选择题.
，下列各式一定有意义的是（）
A.B.C.D.
，下列各式一定有意义的是（）
A.B.C.D.
下列各式计算正确的是（）