第2讲 有理数指数幂每周专题练习
(完整版)指数与指数幂的运算习题(含答案),推荐文档
2 2 2 ⎝ ⎝ ⎭⎭指数与指数幂的运算 习题（含答案）一、单选题1．已知 x ，y 为正实数，则 A ． 2lnx+lny =2lnx +2lny B ． 2ln （x+y ）=2lnx •2lny C ． 2lnx•lny =2lnx +2lnyD ． 2ln （xy ）=2lnx •2lny12．化简[( ‒ 2)6]2 ‒ ( ‒ 1)0的结果为A ． −9B ． 7C ． −10D ． 93. 若 > 0，且 ， 为整数，则下列各式中正确的是A ． a m ÷ a n = anB ． a m ⋅ a n = a mnC ． () =+D ． 1 ÷ a n = a 0 ‒ n4. 若 a >1，b >0，且 a b ＋a －b ＝2，则 a b －a －b 的值为( )A ．B ． 2 或－2C ． －2D ． 25．3‒ 27的值为（）． A.9B. ‒ 9C.‒ 3D.3a 3x + a ‒ 3x26．若 = A ． 2 ‒ 1 C ． 2 + 1‒ 1，则 a x + a ‒ x 等于B ． 2 ‒ 2 D ． + 1log 3x , x > 0 ⎛ ⎛ 1 ⎫⎫7．已知函数 f (x )= { 2x , x ≤ 0，则 f f 9 ⎪⎪ 等于（ ）A ． 4B ． - 1 41C ． -4D ． 4 18．设 a = log 3,b = 20.3, c = log 2 ，则（ ）3A ． a > b > cB ． a > c > bC ． c > a > b (1)9．设 y 1＝40.9，y 2＝80.48，y 3＝ 2 －1.5，则( ) A ． y 3＞y 1＞y 2 B ． y 2＞y 1＞y 3 C ． y 1＞y 2＞y 3 D ． y 1＞y 3＞y 2 10．有下列各式：D ． b > a > c2 2n a n 3 x4+ y 36 (-5)2m ‒ 2n4 163 x3 x 227 - - ① = a ；②若 a ∈R ，则(a 2－a ＋1)0＝1；4③ = x 3+ y ；④ 35 = .其中正确的个数是( ) A ． 0 B ． 1 C ． 2D ．311．化简(a 2－2＋a －2)÷(a 2－a －2)的结果为( ) A ． 1B ． －1C ．a 2 -1a 2 +1a 2 +1D ．a 2 -112. 下列各式计算正确的是( )A ． (－1)0＝1B ． 21a 2·a 2＝a2 1 1 C ． 43＝8D ． a 3÷ a － 3= a 313. 已知a m ＝4，a n ＝3，则 的值为( )2A.33B. 6 C ． 2D ． 2二、填空题化简 ⋅(x > 0) 的结果是.14.x ⋅ 15. 设函数 f (x ) = a x + (k -1)a -x + k 2 （ a > 0, a ≠ 1 ）是定义域为 R 的奇函数.（1） 求 k 值；（2） 若 f (1) > 0 ，求使不等式 f (x 2 + x ) + f (t - 2x ) > 0 恒成立的t 的取值范围；（3）若 f (1) = 3 ，设 g (x ) = a 2x + a -2x - 2mf (x ) ， g (x ) 在[1, +∞) 上的最小值为-1，2求m 的值.12⎛ 1 ⎫ - 16．计算： 83 ÷ ⎪ = .⎝ 4 ⎭ ⎛ 8 ⎫- 13 - ⎛ - 3 ⎫0+ =17． log 3 +⎝ 125 ⎪⎭ ．⎝ 5 ⎪⎭2 518． (2a -3b 3 ) ⋅ (-3a -1b ) ÷ (4a -4b 3)(a > 0, b > 0) =.19．若2x + 2-x = 5 ，则8x + 8-x =.6 x23 a - 33 b- ⎛ 8 9 2 ( ‒ 8) （3） ；20． 0.064 13- - 1 ⎫0 + ⎡(-2)3 ⎤- 34 +16 ⎪ ⎣ ⎦⎝ ⎭- 34 + 0.0112 =⎛ 1 ⎫0 21. 计算： lg4 + lg25 + - ⎪ ⎝ ⎭=．22. 直线y = 2a 与函数 y = a x -1 (a > 0且a ≠ 1)的图象有且仅有两个公共点，则实数 a 的取值范围是.1 + log 12 - (0.7)0+ 0.25-1 ＝。
2024_2025学年新教材高中数学课时检测22有理数指数幂含解析湘教版必修第一册
有理数指数幂[A 级 基础巩固]1．若4a －2＋(a －4)0有意义，则a 的取值范围是( )A ．[2，＋∞)B ．[2，4)∪(4，＋∞)C ．(－∞，2)∪(2，＋∞)D ．(－∞，4)∪(4，＋∞)解析：选B 由题意可知，a －2≥0且a －4≠0，∴a 的取值范围是a ≥2且a ≠4，故选B.2．化简4m 6(m <0)的结果为( )A ．m mB ．m －mC ．－m mD ．－m －m解析：选D ∵m <0，∴4m 6＝－m 3＝－m －m .故选D.3．若(1－2x ) －34有意义，则x 的取值范围是( )A ．(－∞，＋∞)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ D.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，12 解析：选D ∵(1－2x ) －34＝14（1－2x ）3，∴1－2x >0，得x <12. 4．计算(2a －3b －23)·(－3a －1b )÷(4a －4b －53)得( ) A ．－32b 2 B ．32b 2 C ．－32b 73 D ．32b 73解析：选A 原式＝－6a －4b 134a －4b －53＝－32b 2. 5．(多选)下列各式中肯定成立的有( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫n m 7＝n 7m 17 B.12（－3）4＝33 C.4x 3＋y 4＝(x ＋y )34 D.39＝33解析：选BD A 中应为⎝ ⎛⎭⎪⎫n m 7＝n 7m －7；12（－3）4＝1234＝33，B 正确；C 中当x ＝y ＝1时，等式不成立；D 正确．故选B 、D.6．有下列说法： ①3－125＝5；②16的4次方根是±2； ③481＝±3；④ （x ＋y ）2＝|x ＋y |.其中，正确的有________．(填序号)解析：n 为奇数时，负数的n 次方根是一个负数，3－125＝－5，故①错误；16的4次方根有两个，为±2，故②正确；481＝3，故③错误；（x ＋y ）2是正数，故（x ＋y ）2＝|x ＋y |，故④正确．答案：②④7．若（2a －1）2＝3（1－2a ）3，则实数a 的取值范围为________．解析： （2a －1）2＝|2a －1|，3（1－2a ）3＝1－2a . 因为|2a －1|＝1－2a ，故2a －1≤0，所以a ≤12. 答案：⎝⎛⎦⎥⎤－∞，128．已知a ＞0，将a 2a ·3a 2 表示成分数指数幂，其结果是________． 解析：a 2a ·3a 2＝a 2a ·a 23＝a 2a 53＝a 2a 53×12＝a 2·a －56＝a 2－56＝a 76. 答案：a 769．求下列各式的值：(1) 3＋22＋3－22；(2) 5＋26－ 6－42＋ 7－4 3.解：(1)法一：原式＝（2）2＋22＋1＋（2）2－22＋1＝（2＋1）2＋（2－1）2＝2＋1＋2－1＝2 2.法二：令x ＝ 3＋22＋ 3－22，两边平方得x 2＝6＋29－8＝8.因为x >0，所以x ＝2 2.(2)原式＝ （3＋2）2－ （2－2）2＋（2－3）2＝3＋2－(2－2)＋2－3＝2 2. 10．计算：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫－127－13＋0.002－12－10(5－2)－1＋π0； (2)823－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1681－34－(2－1)0. 解：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫－127－13＋0.002－12－10(5－2)－1＋π0＝－3＋105－105－20＋1＝－22. (2)依据分数指数幂的定义，得823＝(23)23＝22＝4，⎝ ⎛⎭⎪⎫12－2＝22＝4，⎝ ⎛⎭⎪⎫1681－34＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫234－34＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23－3＝278.从而原式＝4－4＋278－1＝198. [B 级 综合运用]11．假如a ＝3，b ＝384，那么a ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 17n －3＝________． 解析：a ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 17n －3＝3⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫384317n －3＝3[(128)17]n －3＝3×2n －3. 答案：3×2n －312．化简下列各式： (1)3xy 26x 5·4y 3(x >0，y >0)；(2)(x 23·y 14·z －1)·(x －1·y 34·z 3) －13 (x >0，y >0，z >0)．解：(1)原式＝x 13y 23x 56y 34＝x 13－56y 23－34＝x －12y －112.(2)原式＝(x 23y 14z －1)·(x 13y －14z －1)＝x 23＋13·y 14－14·z －1－1＝xz －2.。
有理数指数幂同步练习
有理数指数幂同步练习一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 3 分 ，共计24分 ）1. 下列运算中正确的是( )A.a 2⋅a 3=a 6B.(−a 2)3=(−a 3)2C.(√a −1)0=1D.(−a 2)5=−a 102. 设2x =8y+1，9y =3x−9，则x +y 的值为（ ）A.18B.21C.24D.273. 已知a >b ，则( )A.2a−b >12B.lg (a −b )>12C.1a−b >1D.2a >2a−b4. 已知a =log 0.22，b =0.22，c =30.2，则( )A.a <b <cB.a <c <bC.c <a <bD.b <c <a5. 设a =(35)25，b =(25)35，c =(25)25，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A.a >c >bB.a >b >cC.c >a >bD.b >c >a6. 已知2a =3，2b =5，则22a−b 等于( )A.35B.95C.53D.2537. 若102x =25，10x 则等于( )A.−15B.5C.150D.16258. 已知直线ax +by =2经过点(1,3)，则函数z =3a +27b 的最小值是（）A.2√6B.9C.6D.18二、 填空题 （本题共计 2 小题 ，每题 3 分 ，共计6分 ， ）9. 232×√2×2−3=________.10. (49)−12+(√3−1)0=________.三、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 10 分 ，共计60分 ， ）11. 计算：(1)(214)12−(−2020)0−(278)−23+1.5−2；(2)log 3√2743+lg 25+lg 4+7log 72+log 23×log 34．12. (1)计算：π−(235)0+(94)−12−√(3−π)44；(2)已知a 2+2b =1 ，求a b √3a 的值.13. 计算： (1)2lg 2√2+√(lg √2)2−lg 2+1+lg √2⋅lg 5；(2)1.5−13×(−7)0+80.25×√24+(√23×√3)6−√(2)2314. 解答(1)(94)12−(−9.6)0−(278)23+(1.5)−2(2)2lg 5+23lg 8+lg 5⋅lg 20+(lg 2)215.(1)求值(214)−12×(lg5+lg2)+(338)−23−log 3√933+(√5)−2；(2)若 8a =5,2b =3 ，试用a ，b 表示log 1245． 16. 计算： (1)log 3√2743+log 981+21+log 23； (2)(32)−13−13×(−76)0−√(−23)23.参考答案一、 选择题1.D2.D3.A4.A5.6.B7.B8.C二、 填空题9.1210.52 三、 解答题11.解：(1)原式=32−1−49+49=12.(2)原式=log 33−14+lg (25×4)+2+log 24=−14+2+2+2 =234.12.解：(1)原式=π−1√4−|3−π| =π−1+23−(π−3) =π−1+23−π+3 =83.(2)原式=3a ⋅32b 3a 2=3a+2b−a 2 =3a 2+2b =31=3.13.解：(1)原式=lg √2(2lg √2+lg 5)+√(lg √2)2−lg 2+1 =lg √2(lg 2+lg 5)+|lg √2−1|=lg √2⋅lg (2×5)+1−lg √2=1. (2)原式 =(23)13×1+(23)14×214+(213×312)6−(23)13 =2+4×27=110. 14.解：(1)原式=32−1−[(32)3]23+49 =12−49+49=12.(2)原式=2lg 5+23⋅lg 23+lg 5⋅lg (5×22)+lg 22 =2(lg 5+lg 2)+lg 5⋅(lg 5+2lg 2)+(lg 2)2 =2+(lg 5)2+2lg 5⋅lg 2+(lg 2)2=2+(lg 5+lg 2)2=3.15.解：(1)原式=(94)−12×lg 10+(278)−23−log 33−13+(√53)2 =(32)−1×1+(32)−2+13+59=23+49+13+59=2． (2)由已知得 a =log 85=13log 25,b =log 23， 所以log 1245=log 245log 212=log 25+log 29log 24+log 23 =log 25+2log 232+log 23=3a+2b 2+b ．16.解：(1)原式=log 3√274−log 33+log 992+2⋅2log 23=34−1+2+6 =314；(2)原式=(23)13−13×1−(23)13=−13.。
初中数学幂的运算专题讲解及典型题练习(含答案)
初中数学幂的运算专题讲解及典型题练习【知识点梳理】1．有理数的乘方定义求个相同因数的积的运算，叫做乘方．乘方运算的结果叫幂．n 一般地，，叫做底数，叫做指数，叫做幂。
n n a a a a a ⋅⋅⋅= 个a n n a 读作“的次幂”或读作“的次方”．n a a n a n 【注意】(1)乘方是一种运算，是一种特殊的乘法运算（因数相同的乘法运算），幂是乘方运算的结果．(2)一个数可以看作是这个数本身的一次方，例如5就是，就是，指数是1通常省略15a 1a 不写．2．有理数幂的符号法则(1)正数的任何次幂都是正数．(2)负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数．(3)特别地，．()11,00n n n ==为正整数【注意】“负幂”与“负数的幂”区别：“负幂”例如表示的相反数，其结果为负数．“负51()2-51()2数的幂”例如，结果要看指数，即负数的奇次幂为负数，负数的偶次幂为正数．1()2n -3．有理数的混合运算一个算式里含有有理数的加、减、乘、除、乘方五种运算中的两种或两种以上的运算，称为有理数的混合运算．【注意】加法、减法、乘法、除法有各自的运算法则，也有各自的运算技巧，减法可以统一成加法，除法可以统一成乘法，加法与乘法还有各自的运算律，乘方是乘法的特例，也有自己的符号法则，同时也要考虑整体的符号关系以及简便算法．4．有理数的混合运算顺序(1)先乘方，再乘除，最后加减．(2)同级运算，从左到右依次进行．(3) 如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行．【注意】(1)在加、减、乘、除、乘方这几种运算基本掌握的前提下，学习混含运算，首先应注意的就是运算顺序的问题．(2)通常把六种基本的代数运算分成三级：第一级运算是加和减，第二级运算是乘和除，第三级运算是乘方和开方（以后学习）．运算顺序的规定是先算高级运算，再算低级运算，同级运算在一起，按从左到右的顺序计算．对于含有多重括号的运算，一般先算小括号内的，再算中括号内的，最后算大括号内的．(3)括号前带负号，去括号后要将括号内的各项都要变号，即．()(),a b a b a b a b -+=----=-+5．科学记数法把一个数写成（其中，是正整数）的形式，这种记数法称为科学记数10n a ⨯110a <≤n 法．【注意】(1)科学记数法是一种特定的记数方法，应明白其中包含的基本原理及其结构，即要掌握形式的结构特征： ，为正整数，且值等于原数的整数位数减1．10n a ⨯110a <≤n n (2)在把用科学记数法表示的数还原为原数时，根据其基本原理和结构，把的小数点向右a 移动位，中数字不够时，用补足．n a 0【典型例题讲解】【例1】计算：．2007200812()2⨯-【分析】直接进行各自的乘方运算非常困难，但根据乘方的意义可得．共200722222=⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯2007个2相乘，2008200811()()22-=2007112008200722111111111222222222=⨯⨯⋅⋅⋅⨯=⨯⨯⋅⋅⋅⨯⨯=⨯个个（）利用乘法交换律和结合律，把2007个2与结合在一起相乘，利用互为倒数即可求出数12值．【解析】2007200812()2⨯-20072008122=⨯（）．20072007200711111222222=⨯⨯⨯⨯=（）（）=（2）【方法总结】此题主要应用互为倒数、乘法运算律及乘方的意义进行计算，事实上我们不难发现，当与互为倒数时，其值为1．计算时要注意符号的问题．多加理解与练()m m m a b ab = a b 习，最好能达到一看题目就可以得出结果的程度．【借题发挥】计算：、．2010201115()5⨯-200920102 2.55⎛⎫-⨯ ⎪⎝⎭【解析】．20102010201111115()55555⎡⎤⎛⎫⎛⎫⨯-=⨯-⨯-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦．200920092009201020102252552.5 2.5552522⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯=-⨯=-⨯⨯=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦【例2】计算：．22135(13)(2)0.2⎡⎤---+-⨯÷-⎢⎥⎣⎦【分析】根据有理数的混合运算法则进行计算，分清计算的先后顺序，还要注意去括号的时候要注意符号．【解析】22135(13)(2)0.2⎡⎤---+-⨯÷-⎢⎥⎣⎦[]135(13)435(1253)40.04⎡⎤=---+-⨯÷=---+-⨯÷⎢⎥⎣⎦[][]35(175)435(74)4=---+-÷=---+-÷．[]35(18.5)3(23.5)20.5=---+-=---=【借题发挥】计算：()()[]2243225.02115.01--⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷-+-【解析】原式＝()[]()()2411110.52910.571167554162⎛⎫⎛⎫-+-÷⨯-=-+-÷⨯-=-+⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【例3】已知，，求的值．12x =-13y =-432231x y x --【分析】把，的值分别代入要求的式子，按有理数混合运算顺序进行计算．x y 【解析】把，代入，得12x =-13y =-432231x y x -- 原式43211112()3()23()231627111()124⨯--⨯-⨯-⨯-==---11114141789()3893627544-==+⨯=+=【方法总结】此类题一方面代入要准确，即负数或分数代入时一般加上小括号，另一方面代入后计算必须准确，最后结果是分数时一定是最简分数．【借题发挥】求当时，代数式的值．2,1x y =-=-2222222x y x xy y x y x y--+++-【解析】将带入，得2,1x y =-=-2222222x y x xy y x y x y --+++-原式＝．()()()()()()()()()()2222221222113114221531521⨯-----⨯-⨯-+--+=+=⨯-+-----【例4】(1)补充完整下表：1323334353637383392781(2)从表中你发现3的方幂的个位数有何规律？(3)3251的个位数是什么数字？为什么？【分析】幂的个位上的数字3、9、7、l 交错重复出现，即每隔四个数，个位数字就重复一次，所以用251除以4所得的余数来确定．【解析】(1)132333435363738339278124372921876561(2)个位上的数字为3、9、7、1交错重复出现．(3)的个位数是7，因为除以4的余数是3．是重复出现时的第三个数．2513251【方法总结】此类题一般都是通过写出一些简单的幂，通过这些幂的结果总结出末位出现数字的种类及循环规律，进一步把指数按循环数进行分解，通过剩余指数求得最后答案．【借题发挥】的个位数是 ，的个位数是 ，253263的个位数是 ，的个位数是 ．273283【解析】3,9,7,1．【例5】怎样比较，，的大小呢？553444335【解析】本题如果通过硬算，数字太大，不可能，因此要观察此三个数的特点，经观察，我们发现55、44、33存在着最大公因数11，不妨利用这一点以及乘方的定义来入手解题．具体过程如下：5511115533333(33333)243=⋅⋅⋅=⨯⨯⨯⨯= 个344111144444444(4444)256=⋅⋅⋅=⨯⨯⨯= 个．33111133555555(555)125=⋅⋅⋅=⨯⨯= 个因为,所以256243125>>111111256243125>>即．445533435>>【借题发挥】1．试比较的大小．443322234、、【解析】因为：，则，即()()()111111444113331122211221633274416======，，11111627<．442233243<=2．你能比较和的大小吗？2004200320032004 为了解决这个问题，我们先把它抽象成数学问题，写出它的一般形式，即比较和1n n +(1)n n +的大小（是自然数）．然后，我们从分析…这些简单情形人手，从中发现规n 1,2,3,n n n ===律，经过归纳，猜想出结论．(1)通过计算．比较下列各组中两个数的大小（填“>”，“<”或“”）．- ①___；②____；③ ；④____；⑤ ；…21123223433454456556 (2)从第(1)题的结果经过归纳，可以猜想出和的大小关系是 ．1n n +(1)n n + (3)根据上面归纳猜想后得到的一般结论，试比较下面两个数的大小：．2004200320032004【解析】经计算与分析可推出结论：当时，＜；当时，＞．3n <1n n +(1)n n +3n ≥1n n +(1)n n +(1)①＜；②＜；③＞；④＞；⑤＞ (2) 当时，＜；当时，＞3n <1n n +(1)n n +3n ≥1n n +(1)n n +(3)＞．(2)【借题发挥】比较下面各对数的大小：___； ； ．211243342010200920092010【解析】＜；＞；＞．【例6】比较与的大小．109.99810⨯111.00110⨯【分析】二者是用科学记数法表示的数，一方面可以把它们化成原数，通过比较原数大小来比较这两个数的大小；另一方面也可以把它化为相同指数，通过比较前面数（即）的大小来比a 较二者大小．【解析】解法一：，109.9981099980000000⨯=.111.00110100100000000⨯= 又,100100000000>99980000000．∴10119.99810 1.00110⨯<⨯ 解法二：,1110101.001l01. 0011010 10.0110⨯=⨯⨯=⨯ 又，10.019.998> ．∴10119.99810 1.00110⨯<⨯【方法总结】解法一是常规方法，但书写起来很麻烦，易出现错误；方法二较巧妙地转化了，容易比较大小．11101.0011010.0110⨯=⨯【借题发挥】试比较：和．20099.9810⨯20101.0510⨯【解析】．2010200920091.051010.5109.9810⨯=⨯>⨯【例7】 定义“”“”两种运算，对于任意的两个数、，都有，○+○－a b a ○+b 1a b =+-a ○－b 1ab =-．求[()()]的值．4○－3○+5○+6○－2【分解】按规定的“”与“”进行各自的运算，运算时先算士括号里的，再算中括号里的．○+○－【解析】由，，得a ○+b 1a b =+-a ○－b 1ab =-[()()]4○－3○+5○+6○－2[()()]4=○－351+-○+621⨯-()()4=○－7○+114=○－7111+-．4=○－174=⨯171-67=【方法总结】此类题按规定的运算关系进行计算，首先要读懂表达式的含义，会套用公式，计算时注意符号关系及准确性外，还要注意运算的先后顺序．【借题发挥】“△”表示一种新的运算符号，其意义是对于任意，都存在△，如果△△a b a b 2a b =-x (1,则 ．3)2=x =【解析】由△，得△△,即，则，所a b 2a b =-x (13)2=()()21312x x ⨯-=-=△△()212x --=以．12x =【例8】若尺布可做件上衣，则尺布能做多少件这样的上衣？619【解析】第题按计算件，但实际情况是只能做件，所以只能舍，不能入；961.5÷=105．【借题发挥】若每条船能载个人，则个人需要几条船？310【解析】按计算，但实际情况是条船不够，需要4条船，所以在这里应该入，取1103=33÷3134．【方法总结】在实际问题中，经常对药对一些数位上的数进行取舍，有的要求进行四舍五入，有的则按生活及生产实际进行取舍，千万不能遇及以上的数就入，遇以下的数就舍．555【随堂练习】1．计算： ．2008(1)-=【答案】1．2．计算： ．20102010201020104(0.25)(1)1-+-+= 【答案】原式＝．201020102010201014()(1)111114-+-+=-++= 3．若，则 ．21(2)0a b ++-=20102009()a b a ++=【答案】由题意知 得，代入原式可求结果为：0．1020a b +=⎧⎨-=⎩12a b =-⎧⎨=⎩4．如果那么的值为 ．214,,2x y ==222x y -【答案】．222112243122x y -=⨯-=5．现有一根长为1米的木条，第一次截去一半，第二次截去剩下的一半，照此截下去，那么六次后剩下的木条为 米．【答案】第一次截后剩下米，第二次后剩下米，第三次后剩下米，由此推下1221142⎛⎫= ⎪⎝⎭312⎛⎫ ⎪⎝⎭去，第次后剩下米．所以六次后剩下的木条为（米）．n 12n ⎛⎫ ⎪⎝⎭611264⎛⎫= ⎪⎝⎭6．计算：（1）； （2）； （3）321()(1)33-÷-232(3)-⨯-32221(0.2)(1).3(0.3)-⨯÷-【答案】（1）；（2）108；（3）．290.002-7．（1）. （2）.451132131511÷⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯()1452515213⨯-÷+-（3）. （4）.()3432322⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯-÷-()()()3428102-⨯---÷+-（5）.()[]2345.0813231325.01-----⨯÷⎪⎭⎫ ⎝⎛---（6）.()54436183242113÷⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-【答案】（1） （2） （3） （4） （5） （6）225-347-1111620-11147224-8．利用乘方的有关知识确定的末两位数字．20076【答案】9．已知“三角”表示运算“”，“正方形”表示的运算是“” ，试计a b c -+d f g e -+-算的值．【答案】原式＝．()()()199649551996281474116-+⨯-+-=-⨯=-9．计算：．111111111248163264128256512++++++++【答案】原式＝11111111111122448816128256256512⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-+-+⋅⋅⋅+-+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．151********-=10．光年是天文学中使用的距离单位，指的是光在真空中经历一年所走的距离，若真空中光的速度为千米／秒，用科学记数法表示l 光年是多少？（1年按天计算）300000365【答案】已知：千米／秒，（秒）．300000v =365243600t =⨯⨯ 由（千米）．300000365243600s vt ==⨯⨯⨯9460800000000=129.460810=⨯所以，l 光年是千米．129.460810⨯11．阅读下列解题过程：计算：()632113115⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛--÷-解：()632113115⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛--÷-（第一步）()662515⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷-=（第二步）()()2515-÷-=（第三步）53-=回答：（1）上面的解题过程中有两个错误，第一处是第 步，错误的原因是 ；第二处是第 步，错误原因是 ．（2）正确的结果是 ．【答案】（1）二，乘除为同一等级的计算，没有按照从前往后的顺序求解；（2）三，负数乘以负数得到正数，题中为负数． （2）．3215【课堂总结】【课后作业】一、填空题1． ．=---3232． ．()22533235-⨯-⨯+=3． ．()()()()()=-⨯---⨯---⨯++n n n 212211111014． ．()()=-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-⨯-5214387165． ．()()()=-⨯-+⨯-03.716.016.4003.76． ．()()=-⨯+-÷-2333227．若、互为倒数，、互为相反数，，则 ．a b c d 2=m ()=-+⋅+23m ab ba d c 8．一个数用科学记数法表示为，则它是 位整数．10n a ⨯二、选择题9．下列公式计算正确的是（ ）A ．B ．()527527⨯--=⨯--31354453=÷=⨯÷C ． D ．⎪⎭⎫ ⎝⎛÷÷=÷÷5454354543()932=--10．计算的值是（ ）()()2007200822-+-A ．1 B ． C ． D ．2-20072-2007211．下列各组数中，相等的一组是( )．A ．与B ．与23-2(3)-2(3)--3(2)-- C ．与 D ．与3(3)-33-223-⨯332-⨯12．用合理的方法计算：(1) ； (2) ；515635236767---1544 3.87 4.253495-+-+(3) ； (4) ； 1511342461832⎛⎫⎛⎫--+--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()110.5678111-----+⎡⎤⎣⎦13．计算：（1）； （2）；63221⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷2131521（3）； （4）.⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛--838712787431⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯1811351121961365514．用科学计数法表示下列计算结果：（1）一昼夜小时是多少秒？24 （2）50251002⨯15．(1)阅读短文《拆项计算》：拆项计算下面带分数的计算申，常把整数部分和分数部分拆开，以简化计算过程，举例如下：5231591736342⎛⎫⎛⎫-+++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()5231591736342523159173634252315917363425213063241235644⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=----++--⎛⎫=--+-+--+- ⎪⎝⎭⎛⎫=-+++ ⎪⎝⎭=-+=-(2)仿照第(1)小题的计算方法计算：5211200620054000116332⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭【答案】1．－11 2．21 3．1 4．2 5．－281.2 6．－7 7．－1 8．1n +9．D 10．D 11．C12．(1) 515655163523325319867676677⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫---=-+-+-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦(2) 1541451454 3.87 4.253437437495459459-+-+=-+-+=(3) 151153424146183218⎛⎫⎛⎫--+--+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ (4) ()110.56781110.4321-----+=-⎡⎤⎣⎦13．(1) 121266612323⎛⎫⎛⎫-⨯=⨯+-⨯=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(2) ()2117216853255⎛⎫÷-=⨯-=- ⎪⎝⎭(3) 377733114812888⎛⎫⎛⎫⎛⎫--÷-+-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭(4).51111351936361853911366623518633519⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯-⨯-÷-=⨯-⨯-⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭14．(1) 一昼夜小时是（秒）244246060864008.6410⨯⨯==⨯(2) ＝50251002⨯50505010025410010⨯==15．原式＝()5211352200620054000110.6332263⎛⎫⎛⎫--+++--++=+-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。
高中数学必修1_ 第二章 2.1 第2课时 指数幂及其运算
＝[(0.4)3]
－
1 3
－
1
＋
(－
2)－4
＋
2－
3＋[(0.1)2]12
＝
0.4－1
－1＋
1 16
＋18＋
0.1＝18403.
(2)原式＝a13×92·a13×－32÷a12×－73·a12
×133＝a96－36＋76－163＝a0＝1.
指数幂的一般运算步骤 有括号先算括号里的；无括号先做 指数运算．负指数幂化为正指数幂的倒 数．底数是负数，先确定符号，底数是 小数，先要化成分数，底数是带分数， 先要化成假分数，然后要尽可能用幂的 形式表示，便于用指数幂的运算性质．
[课前反思] (1)分数指数幂的意义是什么？
； (2)有理指数幂的运算性质有哪些？
.
观察下式，完成下列思考．
amn ＝n
am，a－mn ＝a1mn ＝n
1 (a>0，n，m∈N*，n>1)． am
[思考 1] 怎样理解分数指数幂？
名师指津：“三角度”理解分指数幂 (1)角度一：与根式的关系． 分数指数幂是根式的另一种写法，根式与分 数指数幂可以相互转化． (2)角度二：底数的取值范围． 由分数指数幂的定义知 a≤0，amn 可能会有意 义．当 amn 有意义时可借助定义将底数化为正数， 再进行运算．
③0 的分数指数幂的意义：
0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂无
意义．
(2)有理指数幂的运算性质： ①ar·as＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)； ②(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)； ③(a·b)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)． (3)无理数指数幂 无理数指数幂 aα(a＞0，α 是无理数)是一个 确定的实数．有理数指数幂的运算性质对于无理 数指数幂同样适用．
第2讲 有理数指数幂每周专题练习
有理数指数幂1－根式练习一、基础过关 1.4(－2)4运算的结果是________．2．若2<a <3，化简(2－a )2＋4(3－a )4的结果是________．3．若a ＋(a －2)0有意义，则a 的取值范围是______．4．已知xy ≠0且4x 2y 2＝－2xy ，则有________．①xy <0；②xy >0；③x >0，y >0；④x <0，y <0.5．化简(π－4)2＋3(π－4)3的结果为________．6．若x <0，则|x |－x 2＋x 2|x |＝________. 7．写出使下列各式成立的x 的取值范围． (1)3⎝⎛⎭⎫1x －33＝1x －3； (2)(x －5)(x 2－25)＝(5－x )x ＋5.8．计算下列各式的值：(1)n (3－π)n (n >1，且n ∈N *)； (2)2n (x －y )2n (n >1，且n ∈N *)； (3)5＋26＋7－43－6－4 2.二、能力提升9.3(－6)3＋4(5－4)4＋3(5－4)3的值为______．10．当2－x 有意义时，化简x 2－4x ＋4－x 2－6x ＋9的结果是________．11．已知a ∈R ，n ∈N *，给出下列四个式子：①6(－2)2n ；②5a 2；③6(－3)2n ＋1；④9－a 4，其中没有意义的是________．(填序号)12．已知a <b <0，n >1，n ∈N *，化简n (a －b )n ＋n (a ＋b )n .三、探究与拓展13．若x >0，y >0，且x －xy －2y ＝0，求2x －xy y ＋2xy的值．有理数指数幂2－分数指数幂练习一、基础过关1．32027.0-）（的值是________．2．设a 12－a －12＝m ，则a 2＋1a＝________. 3．在121--）（、2－12、(12)－12、12-中，最大的数是________． 4．化简3a a 的结果是________． 5.614－3338＋30.125的值为________． 6．若a >0，且a x ＝3，a y ＝5，则22yx a+＝________. 7．(1)化简：3xy 2·xy －1·xy ·(xy )－1(xy ≠0)；(2)计算：212-＋(－4)02＋12－1－(1－5)0·823. 8．求233(3)8--＋(0.002)－12－10(5－2)－1＋(2－3)0的值． 二、能力提升9．如果x ＝1＋2b ，y ＝1＋2－b ，那么用x 表示y 的表达式为________． 10．化简：34342()a b a b -(a >0，b >0)＝________.11．若x >0，则(41x 2＋233)(41x 2－233)－214-x ·(x －21x )＝________.12已知x ＝12，y ＝23，求x ＋y x －y －x －y x ＋y；有理数指数幂1－根式练习答案1．22．13．a ≥0且a ≠24．①5．06．1 7．解 (1)由于根指数是3，故1x －3有意义即可，此时x －3≠0，即x ≠3. (2)∵(x －5)(x 2－25) ＝(x －5)2(x ＋5)＝(5－x )x ＋5，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋5≥0x －5≤0，∴－5≤x ≤5. 8．解 (1)当n 为奇数时，n (3－π)n ＝3－π；当n 为偶数时，n (3－π)n ＝π－3. (2)2n (x －y )2n ＝|x －y |，当x ≥y 时，2n (x －y )2n ＝x －y ；当x <y 时，2n (x －y )2n ＝y －x . (3)5＋26＋7－43－6－4 2 ＝(3)2＋23·2＋(2)2＋22－2×23＋(3)2－22－2×22＋(2)2 ＝(3＋2)2＋(2－3)2－(2－2)2＝|3＋2|＋|2－3|－|2－2| ＝3＋2＋2－3－(2－2)＝2 2.9．－610．－111．③12．解 当n 是奇数时，原式＝(a －b )＋(a ＋b )＝2a ；当n 是偶数时，原式＝|a －b |＋|a ＋b |＝(b －a )＋(－a －b )＝－2a . 所以n (a －b )n ＋n (a ＋b )n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2a ，n 为奇数－2a ，n 为偶数. 13．解 ∵x －xy －2y ＝0，x >0，y >0，∴（x －2y ）（x ＋y ）＝0 ∴x ＝2y∴原式＝65有理数指数幂2－分数指数幂练习 答案1.10092．m 2＋23．21)21(-4．21a5.326．9 57．解 (1)原式＝312112])(·[-xy xy ·21(xy)·(xy )－1 ＝31x 32y ·31|x |61||-y ·21-|x |·21-|y | ＝31x ·31||-x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1， x >0－1， x <0.(2)原式＝12＋12＋2＋1－22＝22－3. 8．解 原式＝32)827(--＋215001-⎪⎭⎫ ⎝⎛－10·15－2＋1＝32323--⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛＋211-(500-）－10(5＋2)＋1 ＝49＋105－105－20＋1＝－1679.9．y ＝xx －110.a b11．－2312．解 x ＋y x －y －x －y x ＋y ＝(x ＋y )2x －y －(x －y )2x －y ＝4xy x －y . 将x ＝12，y ＝23代入上式得：原式＝412×2312－23＝413－16＝－2413＝－8 3.。
专题2.函数、指数函数与对数函数-答案
1 / 103.函数函数是描述客观世界中变量关系和规律的最为基本的数学模型和数学工具，有广泛的实际应用.函数是贯穿中职数学的主线.本单元的学习，可以帮助学生在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，从集合与对应出发，进一步学习和研究函数的概念，深刻理解函数的本质；通过对函数图像与性质的研究，提升直观想象素养；利用函数的基本表示方法、单调性、奇偶性解决实际生活中的问题，体会函数的实际背景和实际应用，提升数学抽象、逻辑思维和数学应用素养.知识点一：函数的概念（.约需3分钟）.内容包括：对应与映射的概念，函数的概念，定义域，函数值的求法. 学习水平一级水平：了解对应与映射的概念，会判断一些简单的对应是否为映射；理解函数的概念，理解函数的定义域、值域、对应法则的概念；能由已知表达式求函数值. 例3.1.1判断下列各图所示对应关系是否函数？解：只要一个x对应唯一的一个y ，就是函数．所以第二个不是，其余两个都是函数．练习：下列三个图象中，能表示 y 是 x 的函数图象的个数是A ．0B ．1C ．2D ．3解：第一个图象，对给定的x 的值，有两个y 值与之对应，不是函数图象． 综上所述，表示y 是x 的函数的有第一个、第二个，共2个． 故选C ．2 / 10例3.1.2已知函数 321)(-=x x f ，求)1(-f ，)2(f ，)1(+a f .解：513)1(21)1(-=--=-f ；13221)2(=-⨯=f ；1213)1(21)1(-=-+=+a a a f练习：已知函数32)(-=x x f ，求)1(+a f ，)2(a f 。
二级水平：理解函数的三要素，会求函数的定义域，会判断两个函数是否同一函数. 例3.1.3求下列函数的定义域：（1）. 51)(-=x x f ;（2）12)(-=x x g ；（3）12)(-+=x x x h解：（１）．X ≠5；（2）. 21≥x ；（3）.012≥-+x x ；x ≥－2或x>1 . 练习：求下列函数的定义域：（１）．132)(2+-=x x x f （2）．x x x f 212)(2-=例3.1.4指出下列各函数中，哪个与函数y = x 是同一个函数？（1）xx y 2=; （2）2x y =; （3）s =t .解：函数y = x 中：R y R x ∈∈,；s =t 与y=x 是同一个函数. 练习：上例中，哪个与函数y = |x| 是同一个函数？三级水平：会求简单复合函数的定义域及函数值.例3.1.5设函数)(x f 的定义域是（a ，b ）,求函数)1(+x f 的定义域. 解：∵a<x+1<b,∴a-1<x<b-1 练习：知识点二：函数的表示法.约需3学时. 内容包括：函数的解析法、列表法、图像法. 学习水平一级水平：能判断点与图像的关系，会利用“描点法”作简单函数的图像.掌握正比例函数，反比例函数，一次函数等几个常用函数的解析式及图像.3 / 10例3.2.1判断点P （1，1），Q （-1，-3）是否在 f (x) =3x 2 ＋ x －5 的图像上. 解：３＋１－５＝－１，３－１－５＝－３．所以点Ｑ（－１，－３）在f(x)图像上 例3.2.2点A （a ，3）在函数352+-=x x y 上，求a. 解： 3523+-=a a ; 3a+9=2a-5;a=-14例3.2.3反比例函数经过点（4，81-），求解析式. 解：481k =-；k=21-;x y 21-=二级水平：掌握二次函数的图像及性质，能用待定系数法求二次函数的解析式；结合实例理解分段函数的意义，能由分段函数的解析式直接求值.例3.2.4已知一元二次函数的顶点为（6，-12），与x 轴的一个交点为（8，0），求这个函数的解析式. 解：y=a(x －6)2－12；a(8-6)2-12=0；例3.2.5函数 y ＝ax ＋ a 和y ＝ax 2 的图像只可能是（ ）.练习：在图中，函数y=-ax 2与y=ax+b 的图象可能是（ ）A.B. C. D.根据图象判断两函数式中，a 的符号是否相符；A 、由函数y=-ax 2的图象知a ＜0，由函数y=ax+b 的图象知a ＞0，不相符；B 、由函数y=-ax 2的图象知a ＞0，由函数y=ax+b 的图象知a ＜0，不相符；C 、由函数y=-ax 2的图象知a ＞0，由函数y=ax+b 的图象知a ＜0，不相符；D 、由函数y=-ax 2的图象知a ＜0，由函数y=ax+b 的图象知a ＜0，相符． 故选D ．4 / 10例3.2.6设)0(3)0(4{)(≤->+=x x x x x f ，则(1).=)2(f ；(1).=-))3((f f .三级水平:能用适当方法表示生活中的函数关系.例3.2.7文具店内出售某种铅笔，每支售价0.12元,应付款是购买铅笔数的函数,当购买6支以内(含6支)的铅笔时,请用三种方法表示这个函数.例3.2.8国内投寄外埠平信，每封信不超过20克付邮资80分，超过20克而不超过40克付邮资160分，试写出x(0≤x ≤40)克重的信应付的邮资y(分)与x(克)的函数关系，并求函数的定义域，作出函数的图象.知识点三：函数的单调性和奇偶性.约需 4 学时.内容包括：函数单调性、奇偶性的定义，判断函数的单调性和奇偶性；函数单调性、奇偶性的应用. 学习水平一级水平：结合实例理解函数的单调性及奇偶性的定义，能根据函数图像判断函数的单调性和奇偶性. 例 3.3.1 结合下列函数的图像，判断函数的单调性： （1）函数y =2x+3在R 上是 函数；（2）函数y=2x 2 + 4x-3 的单调递增区间是 ，单调减区间是 ； （3）函数xy 1-=在（0，+∞）上是 函数.例 3.3.2 结合下列函数的图像，判断函数的奇偶性： （1） f (x)= x 3 ; （2） f(x)=2x2;（3） f (x)= x+1.二级水平：能利用函数奇偶性定义判断函数的奇偶性，能利用函数奇偶性求 函数值；能根据函数的单调性比较函数值的大小. 例 3.3.3 已知 f (x) =x 5+ bx 3 + cx 且 f(-2)=10，那么 f(2) =.例 3.3.4 已知奇函数 f (x)在(1，5)上单调递减，比较 f (-1), f (-3), f (-5)的大小关系.三级水平：能根据函数单调性定义判断、证明函数的单调性；能解决含有参数的实际问题，能解决有关函数奇偶性、单调性的综合问题.例 3.3.5 已知 f (x)= x 3 + ax + bsin x-1，且 f (4) =3，求 f (-4).5 / 10例 3.3.6 已知函数 f (x) = (m 2－1)x2＋(m －1)x ＋ (n ＋ 2) 为奇函数，则m ＝，n ＝.例 3.3.7 已知函数 f (x)＝ x 2 ＋2(a －1)x ＋2 在区间（－∞，4）上是减函数，求实数a 的取值范围.例 3.3.8 判断函数xx x f 1)(+=在（1，＋∞）上的单调性.例 3.3.9 已知函数为偶函数，在［－1，0］上是增函数，且最大值为5，那么 f (x)在［0，1）］是 函数，最大值是 .知识点四：函数的实际应用举例.约需 2 学时. 内容包括：选择函数模型解决实际问题. 学习水平三级水平：学会将实际问题转化为数学问题，选择适当的函数模型（分段函数、二次函数）刻画实际问题.培养学生的作图及读图的能力.例 3.4.1 某城市供电不足，供电部门规定，每户每月用电不超过 200kW .h ，收费标准为 0.51 元/（kW . h ），当用电超过 200kW . h ，但不超过400kW . h 时，超过的部分按 0.8 元/（kW .h ）收费，当用电超过 400kW . h 时，就停止用电.（1）写出每月用电费 y 元与用电量x 之间的函数解析式，并求函数的定义域； （2）求出 f(150)，f(300)的值； （3）作出函数的图像.例 3.4.2 设 f (x)表示某事物温度随时间的变化规律，有一下函数的关系式 （1）比较第 5 分钟与第 25 分钟时该物体温度值得大小； （2）求在什么时候该物体温度最高？最高温度是多少？例 3.4.3 某商品的进价为每件 50 元，根据市场调查，如果售价为每件50 元时，每天可卖出 400 件；商品的售价每上涨 1 元，则每天少卖10件.设每件商品的定价为x 元（x ≥50，x ∈N ）.（1）求每天销售量与自变量x 的函数关系式； （2）求每天销售量利润与自变量x 的函数关系式；（3）每件商品的售价定为多少时，每天可获得最大利润？最大的日利润是多少元？6 / 105.指数函数与对数函数指数函数与对数函数是基本函数，在科技领域内应用广泛.本单元学习，可以帮助学生理解指数、对数的概念及运算法则和指数函数、对数函数的有关概念，利用图像研究指数函数、对数函数的基本性质，提升数学运算、逻辑思维和直观想象素养；在研究过程中进一步领会研究函数的基本方法，认识指数函数、对数函数在现实生活中的广泛应用，提升数学抽象和数学应用素养.知识点一：有理数指数幂和实数指数幂.约需 3 学时.内容包括：n 次根式、分数指数幂、有理数指数幂的概念，根式、分数指数幂的互化，实数指数幂的运算性质及运用. 学习水平一级水平：能理解分数指数幂、有理数指数幂的概念，会对根式、分数指数幂进行互化，能运用实数指数幂的运算性质进行计算和化简.例 5.1.1 将下列各根式写成分数指数幂.（1）13= （2）431a=例 5.1.2 将下列各分数指数幂写成根式的形式. （1）412= （2）324=例 5.1.3 计算：（1）3227= （2）31256.0=例 5.1.4 化简：（1）33231a a a ∙∙ （2）))((212212b a b a -+ .二级水平：能运用实数指数幂的运算性质进行幂的计算和化简，并能利用幂 的性质解决根式的计算问题. 例 5.1.5 计算： 43411643216∙∙-例 5.1.6 计算：543812793⨯⨯⨯三级水平：能熟练运用根式、指数幂的相关知识进行化简和计算.例 5.1.7 化简：(1).()323233ba b a abb(2). 32238791)2(413⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⨯7 / 10知识点二：指数函数.约需 3 学时.内容包括：指数函数定义，指数函数图像及性质，指数函数模型及其应用. 学习水平一级水平：理解指数函数定义、图像及性质，能用“描点法”作指数函数图像，能理解 0＜a ＜1 与 a ＞1 两种情况的指数函数图像的总体特征，能结合图像分析并指出基本型指数函数的有关性质（单调性、值域、定点）.例 5.2.1 判断下列指数函数在),(+∞-∞内的单调性：y= 0.7x ; （2）xy ⎪⎭⎫⎝⎛=23例 5.2.2 函数 y=2x 的大致图像是（ ）.二级水平：能作出指数函数简图，能判断指数函数的单调性，并应用指数函数的单调性求函数的定义域和值域，能判断指数增长模型或指数衰减模型、比较同底指数幂的大小关系，能用待定系数法求指数函数解析式.例 5.2.3 求下列函数的定义域：（1）121-=xy ; （2） 273-=xy例 5.2.4 判断下列函数在),(+∞-∞内的单调性：（1）xy -⎪⎭⎫⎝⎛=121 （2） 33x y =例 5.2.5 已知指数函数 f (x) =a x 的图像过点 )94,2( ，求 f (3)的值.8 / 10例 5.2.6 比较大小：(1). 313 1；(2)312 252⎪⎭⎫⎝⎛三级水平：能从实际情境中建立指数函数模型，感受生活中的数学模型，体会数学知识的应用.例 5.2.7 林阳的家长于 2015 年 7 月 1 日存入银行 10000 元人民币，整存整取一年期的年利率为 3.20%，他按照一年期存入，如果每过一年连本带息转存，那么三年后连本带息共有多少元（结果保留两位小数）？例 5.2.8 某种抗生素类药物服药后，每经过 1 小时，药物在体内的剩余量为32，问 4 小时后的剩余量为多少？知识点三：对数.约需 4 学时.内容包括：对数的概念（含常用对数、自然对数）及性质，对数与指数的关系，指数式与对数式的互化，积、商、幂的对数.学习水平一级水平：能熟练完成指数式与对数式的互化，能运用对数性质求值，初步了解积、商、幂对数的公式及简单运用.例 5.3.1 将下列指数式写成对数式：（1）8134= ; (2)10x ＝ y .例 5.3.2 将下列对数式写成指数式：（1）log 10 1000 ＝ 3 ;（2）log 5 625＝4 .例 5.3.3 求下列对数的值：（1）log 5 5;（2）log 8 1 .例 5.3.4 用lgx ， lgy ，lgz 表示下列各式：（1）zxylg ; (2)x lg .二级水平：理解并熟记积商幂的对数公式，能运用公式解决相关计算问题. 例 5.3.5 设x>0，y >0，下列各式中正确的是（ ）.A. ln(x ＋ y) ＝lnx ＋lnyB. ln(xy) ＝lnxlnyC. ln(xy)＝lnx ＋lnyD.yxy x ln ln ln =9 / 10例 5.3.6 计算下列各式的值：（1）21lg 5lg - ; （2）lg125＋lg8.三级水平：能运用积、商、幂的对数运算法则解决综合性计算问题. 例 5.3.7 计算：（1）（lg 2）2＋ lg 20×lg5 ; （2）5.0lg 85lg 125lg +-例 5.3.8 已知log 2 3 = a ，log 2 5＝b ，则59log 2＝（ ）. A. a 2－b B. 2a － b C.ba 2D. b a 2知识点四：对数函数.约需 3 学时.内容包括：对数函数定义，对数函数图像、性质及其应用. 学习水平一级水平：理解对数函数定义、图像及性质，能用“描点法”作对数函数图像，能理解记忆 0＜a ＜1 与 a ＞1 两种情况的对数函数图像的总体特征，能结合图像分析基本型对数函数的有关性质（单调性、值域、定点），会求简单对数函数的定义域.例 5.4.1 作出函数y ＝log 2 x 的简图.例 5.4.2 求下列函数的定义域.（1）y ＝ log 2(x ＋1) ；（2）xy ln 1=.例 5.4.3 函数y ＝ log 3 x 的大致图像是（ ）.10 / 10例 5.4.4 若函数y ＝ log a x 的图像经过点（），则底数a ＝.二级水平：能结合对数函数简图，比较同底对数的大小关系，能求含有对数式的函数的定义域. 例 5.4.5 比较大小：（1）log 2 7与log 2 9; （2）4log 5log 2121与.例 5.4.6 求下列函数的定义域：（1）x y ln =; （2）xy 3log 11-=三级水平：应用对数函数解决实际问题，体会数学知识的应用.例 5.4.7 某钢铁公司今年年产量为a 万吨，计划每年比上一年增产5%，设经过 x 年后产量番一翻，则 x 的值是（ ）. A.(1＋5%)2 B. log 1.05 2 C. alog 1.05 2 D.a2log 05.1例 5.4.8 某地区的森林蓄积量每年比上一年平均增长 8%，要增长到原来的x 倍，需要经过y 年，则函数y ＝ f(x)的图像大致为（ ）.。
4.1.2 无理数指数幂及其运算性质 同步练习(人教A版必修一)(解析版).
4.1.2无理数指数幂及其运算性质（用时45分钟）【选题明细表】知识点、方法题号根式与指数幂的互化3,6指数幂运算性质1,2,4,5,8,9条件求值7,10,11,12基础巩固1．化简的结果()A．6a B．a -C．9a -D．29a 【答案】C【解析】2115211115113366326236221()(3)((9)93a b a b a b a b a +---÷=-=-,故选C.2．已知0a >，则1111222222()()a a a a --+--=（）A．2244a a -+B．4C．2244a a --D．4-【答案】B【解析】因为2211111122222(2)4a a a a a a a a ----⎛⎫⎛⎫+--=++-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选B.）A.5 B.5 C.−5 D.﹣5【答案】B=534=52×14=512=5,故选B4．设2x ＝8y＋1，9y ＝3x－9，则x＋y 的值为()A.18B.21C.24D.27【答案】D【解析】因为2x ＝8y＋1＝23(y＋1)，所以x＝3y＋3，因为9y ＝3x－9＝32y ，所以x－9＝2y，解得x＝21，y＝6，所以x＋y＝27.所以本题选D.5．计算：21031(8(2019)2-++=（）A．6B．7C．8D．32【答案】B 【解析】()120318201924172-⎛⎫++=++= ⎪⎝⎭故选：B.=______．【答案】8()1344322=8⎡⎤==⎢⎥⎣⎦．故答案为：8．7．已知17a a +=，则22a a -+=______．【答案】47【解析】222117247a a a a a a -+=∴+=+-=，（）.8．01163471.586-⎛⎫⨯-+- ⎪⎝⎭=_____________.【答案】110【解析】由幂的运算法则及根式意义可知，01163471.586-⎛⎫⨯-+⨯- ⎪⎝⎭111131-233333443222=+22+23-=24272333（）（）（）（）⨯⨯++⨯-110=，故填110.能力提升9．121121332a b a b ---⎛⎫ ⎪=_____．【答案】1a【解析】1211212133211111551151323322366221661515156666661a a b a b a b a b a b a a a a b a b a b ---⎛⎫⨯---+-- ⎪⎝⎭--⎛⎫ ⎪⋅⋅⋅⋅⋅======⋅⋅⋅本题正确结果：1a10．已知x α+x −α=25，x 1， ，则x α−x −α=________．【答案】-4.【解析】由x α+x −α=25，则(x α+x −α)2=x 2α+x −2α+2=2 ，解得x 2α+x −2α=18，又由(x α−x −α)2=x 2α+x −2α−2=18−2=16因为x 1, ，根据幂函数的单调性，可得x α x −α，即x α−x −α ，所以x α−x −α=−4，故答案为：−4．11．求值：（1）220.53327491()()(0.008)8925---+⨯；()2已知13(0)a a a -+=>，求112222aa a a --++．【答案】（1）89-；（2）7．【解析】（1）原式=21232384910001279825⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭471178251932599=-+⨯=-+=-；()123(0)a a a -+=>，112122()25a a a a --∴+=++=，1122a a -+=2212()27a a a a --+=+-=，1122227a a a a --+∴=+．素养达成12．0.50934-++（﹣﹣()2设0a >；()3若1122x x -+=12212x x x x --+-+-的值．【答案】(1)43π+;(2)116 a -;(3)1 4.【解析】()1原式241133ππ=++-+=+；()2原式4111326223a a a a a --⋅==⋅；()3若1122x x -+=则14x x -+=，2214x x -+=，故122141121424x x x x --+--==+--．。
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有理数指数幂1－根式练习
一、基础过关 1.4(－2)4运算的结果是________．
2．若2<a <3，化简(2－a )2＋4(3－a )4的结果是________．
3．若a ＋(a －2)0有意义，则a 的取值范围是______．
4．已知xy ≠0且4x 2y 2＝－2xy ，则有________．
①xy <0；②xy >0；③x >0，y >0；④x <0，y <0.
5．化简(π－4)2＋3(π－4)3的结果为________．
6．若x <0，则|x |－x 2＋x 2
|x |＝________. 7．写出使下列各式成立的x 的取值范围． (1)
3⎝⎛⎭⎫1x －33＝1x －3
； (2)(x －5)(x 2－25)＝(5－x )x ＋5.
8．计算下列各式的值：
(1)n (3－π)n (n >1，且n ∈N *)； (2)2n (x －y )2n (n >1，且n ∈N *)； (3)5＋26＋7－43－6－4 2.
二、能力提升
9.3(－6)3＋4(5－4)4＋3(5－4)3的值为______．
10．当2－x 有意义时，化简x 2－4x ＋4－x 2－6x ＋9的结果是________．
11．已知a ∈R ，n ∈N *，给出下列四个式子：①6(－2)2n ；②5a 2；③6(－3)2n ＋1；④9－a 4，其中没有意义的是
________．(填序号)
12．已知a <b <0，n >1，n ∈N *，化简n (a －b )n ＋n (a ＋b )n .
三、探究与拓展
13．若x >0，y >0，且x －xy －2y ＝0，求2x －xy y ＋2xy
的值．
有理数指数幂2－分数指数幂练习
一、基础过关
1．3
2027.0-）（的值是________．
2．设a 12－a －12＝m ，则a 2＋1a
＝________. 3．在121--）（、2－12、(12)－12、12-中，最大的数是________． 4．化简3a a 的结果是________． 5.614－3338
＋30.125的值为________． 6．若a >0，且a x ＝3，a y ＝5，则22y
x a
+＝________. 7．(1)化简：3xy 2·xy －1·xy ·(xy )－1(xy ≠0)；
(2)计算：21
2-＋(－4)02＋12－1
－(1－5)0·823. 8．求233(3)8
--＋(0.002)－12－10(5－2)－1＋(2－3)0的值． 二、能力提升
9．如果x ＝1＋2b ，y ＝1＋2－
b ，那么用x 表示y 的表达式为________． 10．化简：
34342()a b a b -(a >0，b >0)＝________.
11．若x >0，则(41
x 2＋233)(41x 2－233)－21
4-x ·(x －21
x )＝________.
12已知x ＝12，y ＝23，求x ＋y x －y －x －y x ＋y
；
有理数指数幂1－根式练习
答案
1．2
2．1
3．a ≥0且a ≠2
4．①
5．0
6．1 7．解 (1)由于根指数是3，故1x －3
有意义即可，此时x －3≠0，即x ≠3. (2)∵(x －5)(x 2－25) ＝(x －5)2(x ＋5)
＝(5－x )x ＋5，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋5≥0x －5≤0，∴－5≤x ≤5. 8．解 (1)当n 为奇数时，n (3－π)n ＝3－π；
当n 为偶数时，n (3－π)n ＝π－3. (2)2n (x －y )2n ＝|x －y |，
当x ≥y 时，2n (x －y )2n ＝x －y ；
当x <y 时，2n (x －y )2n ＝y －x . (3)5＋26＋7－43－6－4 2 ＝(3)2＋23·2＋(2)2＋
22－2×23＋(3)2－
22－2×22＋(2)2 ＝(3＋2)2＋(2－3)2－
(2－2)2
＝|3＋2|＋|2－3|－|2－2| ＝3＋2＋2－3－(2－2)＝2 2.
9．－6
10．－1
11．③
12．解 当n 是奇数时，原式＝(a －b )＋(a ＋b )＝2a ；
当n 是偶数时，
原式＝|a －b |＋|a ＋b |＝(b －a )＋(－a －b )＝－2a . 所以n (a －b )n ＋n (a ＋b )n ＝⎩⎪⎨⎪⎧
2a ，n 为奇数－2a ，n 为偶数. 13．解 ∵x －xy －2y ＝0，x >0，y >0，∴（x －2y ）（x ＋y ）＝0 ∴x ＝2y
∴原式＝65
有理数指数幂2－分数指数幂练习 答案
1.1009
2．m 2＋2
3．21
)2
1(-
4．21
a
5.32
6．9 5
7．解 (1)原式＝312112])(·[-xy xy ·21
(xy)·(xy )－1 ＝31x 32y ·31
|x |61
||-y ·21
-|x |·21
-|y | ＝31x ·31
||-x ＝⎩⎪⎨⎪⎧
1， x >0－1， x <0.
(2)原式＝1
2＋1
2＋2＋1－22＝22－3. 8．解 原式＝3
2)827(--＋215001-⎪⎭
⎫ ⎝⎛－10·15－2＋1
＝32
323--⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛＋21
1-(500-）－10(5＋2)＋1 ＝4
9＋105－105－20＋1
＝－167
9.
9．y ＝x
x －1
10.a b
11．－23
12．解 x ＋y x －y －x －y x ＋y ＝(x ＋y )2x －y －(x －y )2x －y ＝4xy x －y . 将x ＝12，y ＝23代入上式得：原式＝412×2312－23＝413－16
＝－2413＝－8 3.。