三角形内切圆及外接圆
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三角形外接圆半径的求法及应用
方法一: R= ab/(2h)
三角形外接圆的直径等于两边的乘积除以第三边上的高所得的商。
AD 是△ ABC的高, AE是△ ABC的外接圆直径.求证AB· AC=AE·AD.
证:连接 AO 并延长交圆于点 E,连接 BE,则∠ ABE= 90°.
∵∠ E=∠ C,∠ ABE=∠ ADC=90°,
∴R t△ ABE∽Rt△ADC,
∴ AB AE ,
AD AC
∴AB· AC=AE·AD
方法二: 2R=a/SinA , a 为∠ A 的对边
在锐角△ABC中,外接圆半径为R。求证:2R=AB/SinC证:
连接 AO 并延长交圆于点 E,连接 BE,则∠ ABE=90°.
∴AE=AB/SinE
∵∠ C=∠ E,SinC = SinE
∴AE= AB/SinC
∴2R=AB/SinC
若 C 为钝角,则 SinC=Sin(180o-C)
应用一、已知三角形的三边长,求它的外接圆的半径。
例 1已知:如图,在△ABC 中, AC= 13,BC= 14, AB= 15,求△ ABC 外接圆⊙ O 的半径 r.
解析:作出直径AD,构造 Rt△ ABD.只要求出△ ABC中 BC边上的高 AE,用方法一就可以求出直径AD.解:作 AE⊥BC,垂足为 E.
C
设 CE= x,E D
222222222
∵ AC-CE = AE = AB -BE,∴ 13 -x = 15-(14-x)
O
B
A
∴ x=5,即 CE=5,∴ AE=12R= ab/(2h)=13x15/(2x12)=65/8
65
∴△ ABC外接圆⊙ O 的半径 r 为8 .
例 2 已知:在△ ABC中, AB=13, BC=12,AC=5,求△ ABC的外接圆的半径 R. 解析:经过判断三角形为直角三角形,易求得直角三角形外接圆的直径等于斜边。
应用二、已知三角形的二边长及其夹角(特别角),求外接圆的半径。
例 3 已知:如图,在△ ABC 中, AC= 2, BC=3,∠ C= 60°,求△ ABC外接圆⊙ O 的半径R.
解析:考虑求出角的对边长AB,尔后用方法一或方法二解题.
解:作直径 AD,连接 BD.作 AE⊥BC,垂足为 E.
则∠ DBA= 90°,∠ D=∠ C=60°,
∠CAE=∠ DAB= 90°- 60°= 30°
CE=1 AC=1, AE=3,AB=√7∴R=AC·AB/2AE=2x√7/(2x
3 )
2
C
E D
O
A B
应用三、已知三角形的一边长二角度或对角的度数(特别角),求它的外接圆的半径。
用方法二
例 4 已知 AD=5,AC=7,CD=3,AB=10√3,求它的外接圆的半径
解从 A 作 AM⊥BC于 M,则
AD2-MD2=A M2
=AC2- (MD+CD)2.即 52-MD2= 72- (MD+ 3)2.
得 R=14,则△ ABC外接圆面积S=π R2=196π.
例 5 如图 3,已知抛物线 y=x2- 4x+h 的极点 A 在直线 y=- 4x- 1 上,求①抛物线的极点坐标;
②抛物线与 x 轴的交点 B、C 的坐标;
③△ ABC的外接圆的面积.
解① A(2,- 9);
②B(-1,0); C(5, 0).
③从 A 作 AM⊥x 轴交于 M 点,
则 BM=MC=3.AM =9.
∴R=5
△ABC外接圆面积 S=π R2=25π
三角形内切圆半径r 的求法
1∵ S△ABC=1/2(a+b+c)r
∴r=2S△ABC/(a+b+c)
2Rt△ ABC中 ,r=(a+b-c)/2
三角形的内切圆和外接圆【知识要点】
1、三角形的外接圆
( 1)过三角形三个极点的圆,叫做三角形的外接圆,三条边中垂线的交点,叫做三角形
的外心。三角形的外心到各极点的距离相等.
(2)锐角三角形的外心在三角形内部,钝角三角形的外心在三角形的外面,直角三角形
的外心在斜边中点,外接圆半径R c
(c为斜边长).2
2、三角形的内切圆
(1)到三角形三条边距离都相等的圆,叫三角形的内切圆,三角形中,三个内角均分线的交点,叫三角形的内心,三角形内心到三条边的距离相等,内心都在三角形的内部.
( 2)若三角形的面积为S ABC,周长为a+b+c,则内切圆半径为: r
2S ABC
a b c
,当a, b为直
角三角形的直角边, c 为斜边时,内切圆半径
ab a b c r或 r
2
.
a b c
3、圆内接四边形的性质
(1)圆内接四边形的对角互补;
(2)圆内接四边形的任何一个外角等于它的对角.
注意:①圆内接平行四边形为矩形;②圆内接梯形为等腰梯形.
4、两个结论:
圆的外切四边形对边和相等;
圆的外切等腰梯形的中位线等于腰长.
【典型例题】A
一、填空和选择
I
·
B C
(1)一个三角形的内心,外心都在三角形内,则这个三角形必然是()
A、直角三角形
B、锐角三角形
C、钝角三角形
D、等腰三角形
(2)如右图, I 是 ABC 的内心,则以下式子正确的选项是()
A、∠ BIC=180 -2∠ A
B、∠ BIC=2∠A
C、∠ BIC=90+∠ A/2
D、∠ BIC=90 -∠ A/2(3) ABC 外切于⊙ O,
E、
F、G 分别是⊙ O 与各边的切点,则 EFG 的外心是ABC 的。(4)直角三角形的两条直角边分别为 5 和 12,那么它的外接圆的半径为,内切圆半径为.
(5)等边三角形内切圆半径,外接圆半径分别为r , R ,则r : R =.
(6)圆外切等腰梯形底角为 60 ,腰长为 10,则圆的半径长为.
(7)等边三角形一边长为2,则其内切圆半径等于.
(8)等边三角形的内切圆半径,外接圆半径的和高的比是.
(9) ABC 的内切圆⊙ I 与 AB、BC、CA分别切于 D、E、F 点,且∠ FID=∠EID=135 ,则
ABC
为.
例 2.如图,△ ABC中, I 是内心, AI 交 BC于 D,交△ ABC的外接圆于 E。
求证:( 1) IE=EC,( 2) IE2=ED·EA。
A
I
D
B C
E