三角形的内切圆与外接圆
三角形的内切圆和外接圆
三角形的内切圆和外接圆【基础知识】切线的判定：经过直径的一端，并且垂直于这条直径的直线是圆的切线。
三角形的内切圆：和三角形三条边都相切的圆，叫三角形的内切圆。
内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫三角形的内心。
三角形的外接圆：过三角形三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆。
外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点的交点，叫做三角形的外心。
【例题】1.如图，已知⊙O中，AB是直径，过B点作⊙O的切线BC，连结CO．若AD∥OC交⊙O于D．求证：CD是⊙O的切线．2.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，BC=12，⊙O的半径为3．（1）当圆心O与C重合时，⊙O与AB的位置关系怎样？（2）若点O沿CA移动时，当OC为多少时，⊙C与AB相切？3.已知：如图，△ABC中，内切圆I和边BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，若∠FDE=70°，求∠A的度数．4. 如图，正三角形的内切圆半径为1，那么这个正三角形的边长为（ ）A ．2B ．3 CD．5. △ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝6，求△ABC 的内切圆的半径长。
6. 任意△ABC 中内切圆I 和边BC 、CA 、AB 分别相切于点D 、E 、F. 求证：△DEF 是锐角三角形。
7. 如图，已知ABC ∆内接于⊙O ，AE 切⊙O 于点A ，BC ∥AE ，求证：ABC ∆是等腰三角形.·ABCOEP【巩固练习】1.一个三角形的内心，外心都在三角形内，则这个三角形一定是( ) A 、直角三角形 B 、锐角三角形 C 、钝角三角形 D 、等腰三角形2.如右图，I 是ABC ∆的内心，则下列式子正确的是（ ） A 、∠BIC=︒180-2∠A B 、∠BIC=2∠A C 、∠BIC=︒90+∠A/2 D 、∠BIC=︒90-∠A/23.ABC ∆外切于⊙O ，E 、F 、G 分别是⊙O 与各边的切点，则EFG ∆的外心是ABC ∆的 。
三角形内切圆与外接圆
三角形内切圆与外接圆三角形是几何学中最基本的图形之一，而三角形内切圆与外接圆是与三角形紧密相关的概念。
本文将介绍三角形内切圆和外接圆的定义、性质以及它们在几何学中的应用。
一、三角形内切圆三角形内切圆是指可以与三角形的三条边相切的圆。
其圆心被称为三角形的内心，记作I，半径被称为内切圆半径，记作r。
对于任意三角形ABC，其内切圆的半径r可以通过以下公式计算：r = Δ / s其中Δ为三角形的面积，s为三角形的半周长，即 s = (a + b + c) / 2。
内切圆的半径r是三角形的几何特征之一，它可以告诉我们有关三角形内角平分线、垂心、重心等重要几何特性。
二、三角形外接圆三角形外接圆是指可以同时与三角形的三个顶点相切的圆。
其圆心被称为三角形的外心，记作O，半径被称为外接圆半径，记作R。
对于任意三角形ABC，其外接圆半径R可以通过以下公式计算：R = a * b * c / (4 * Δ)其中a、b、c分别为三角形的三边长，Δ为三角形的面积。
外接圆的半径R也是三角形的重要几何特性之一，它可以帮助我们定位三角形的外角平分线以及其他重要点。
三、内切圆与外接圆的关系三角形的内切圆和外接圆之间存在着紧密的关系。
根据欧拉定理，三角形的内心、外心和重心三点共线，并且连线的中点恰好是垂心的投影点。
此外，内切圆的半径r和外接圆的半径R之间存在着以下关系：r = 2R * sin(A/2) * sin(B/2) * sin(C/2)其中A、B、C分别为三角形的三个内角。
四、应用与扩展三角形内切圆和外接圆在几何学中具有广泛的应用。
例如，在三角形判定问题中，内切圆相切于三个顶点可以帮助我们判断三角形是否为等边三角形；外接圆的半径R可以帮助我们判断三角形的类型，如锐角三角形、钝角三角形和直角三角形。
此外，三角形内切圆和外接圆还与三角形的面积、角平分线、三角形的心等几何特性相关。
它们在三角形的构造、证明以及其他几何问题的解决中起着重要的作用。
三角形的内切圆和外接圆
三角形的内切圆和外接圆三角形是几何学中最简单的形状之一，它由三条边和三个角组成。
在三角形的研究中，内切圆和外接圆是两个重要的概念。
一、内切圆内切圆是指能够与三角形的三条边都相切的圆。
对于任意三角形，都存在唯一的一条内切圆。
内切圆与三角形的关系可以通过以下性质来描述：1. 内切圆的圆心与三角形的三条角平分线的交点相同。
这是内切圆与三角形关系的一个重要性质。
换句话说，内切圆的圆心是三条角平分线的交点。
这一性质可以通过角平分线的定义和内切圆的定义进行证明。
2. 内切圆的半径等于三角形的面积除以半周长。
内切圆的半径可以用三角形的面积除以半周长来表示。
其中半周长指的是三角形的三条边的长度之和除以2。
3. 内切圆的半径和面积有一定的关系。
内切圆的半径等于三角形的面积除以半周长，这个关系可以通过计算得出。
这个关系可以用于解决一些与内切圆半径和三角形面积有关的问题。
二、外接圆外接圆是指能够与三角形的三个顶点都相切的圆。
对于任意三角形，都存在唯一的一条外接圆。
与内切圆类似，外接圆与三角形的关系也可以通过以下性质来描述：1. 外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点。
外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点。
这可以通过垂直平分线的定义和外接圆的定义进行证明。
2. 外接圆的半径等于三角形的边长之积除以4倍三角形的面积。
外接圆的半径可以用三角形的边长之积除以4倍三角形的面积来表示。
这个关系可以用于计算外接圆的半径。
3. 外接圆的半径和面积有一定的关系。
外接圆的半径等于三角形的边长之积除以4倍三角形的面积，这个关系同样可以用于解决一些与外接圆半径和三角形面积有关的问题。
三、内切圆和外接圆的关系内切圆和外接圆有着密切的联系，在某些情况下，它们之间的关系可以相互推导。
1. 内切圆的半径和外接圆的半径之间存在一定的关系。
通过内切圆和外接圆的定义和性质，可以证明内切圆的半径等于外接圆半径的一半。
2. 三角形的三个角的角平分线交点是外接圆的圆心，而内切圆的圆心则是三个角的角平分线的交点，因此三角形的外接圆与内切圆有一个共同的圆心。
三角形内切圆与外接圆的性质
三角形内切圆与外接圆的性质三角形内切圆与外接圆是几何学中常见且重要的概念，它们在三角形的性质研究以及解决相关的几何问题中起到了重要的作用。
本文将介绍三角形内切圆和外接圆的定义、性质以及它们之间的关系。
一、三角形内切圆的定义和性质三角形内切圆是指一个圆完全位于三角形的内部，并且与三角形的三条边都相切。
根据三角形内切圆的定义，我们可以得到以下性质：1. 内切圆的圆心是三角形的内心。
三角形的内心是三角形三条角平分线的交点，它到三角形的三条边的距离都相等，也就是说，内切圆的圆心到三角形的三条边的距离相等。
2. 内切圆的半径是内心到三角形三条边的距离的一半。
我们可以利用这个性质来计算内切圆的半径。
3. 三角形的三条角平分线与内切圆的半径相交于内切圆的圆心。
这个性质在解决几何问题时经常会用到。
二、三角形外接圆的定义和性质三角形外接圆是指一个圆通过三角形的三个顶点，并完全包含三角形在内。
根据三角形外接圆的定义，我们可以得到以下性质：1. 外接圆的圆心是三角形的外心。
三角形的外心是三角形三条中垂线的交点，它到三角形的三个顶点的距离都相等，也就是说，外接圆的圆心到三角形的三个顶点的距离相等。
2. 外接圆的半径是外心到三角形的任意一个顶点的距离。
我们可以利用这个性质来计算外接圆的半径。
3. 三角形的三条中垂线与外接圆的半径相交于外接圆的圆心。
这个性质在解决几何问题时也经常会用到。
三、三角形内切圆和外接圆的关系三角形的内切圆和外接圆之间存在一些重要的关系：1. 内切圆的半径和外接圆的半径满足一个重要的关系：内切圆的半径是外接圆半径的一半。
这个关系在解决几何问题时常常会用到。
2. 如果一个三角形的内切圆和外接圆存在，则它们的圆心连线经过三角形的垂心。
垂心是三角形三条高线的交点，它到三角形的三个顶点的距离都相等。
3. 在某些特殊的情况下，三角形的内切圆和外接圆的圆心可能重合，此时称为等圆三角形。
等圆三角形的特点是三个顶点到圆心的距离相等，换句话说，等圆三角形的内切圆和外接圆是同一个圆。
三角形的外接圆和内切圆
三角形的外接圆和内切圆三角形是几何学中最基本的图形之一，它有许多引人注目的性质和特点。
其中，外接圆和内切圆是三角形中常见的两种圆，它们与三角形的关系引起了广泛的研究和应用。
一、外接圆外接圆是一个与三角形的三条边都相切的圆。
对于任意给定的三角形，它都存在一个唯一的外接圆。
外接圆有许多特点，其中一些被广泛应用于几何学和其它相关领域。
首先，外接圆的圆心是三角形三边的垂直平分线的交点。
也就是说，如果我们将三角形的三条边分别延长，然后找到它们垂直平分线的交点，这个交点就是外接圆的圆心。
其次，外接圆的半径等于三角形的边长的一半除以正弦值的倒数。
这个性质被称为外接圆定理，可以用来计算外接圆的半径。
再次，外接圆的直径等于三角形的任一边的长度除以正弦值。
这个性质被称为外接圆直径定理，也是计算外接圆直径的一个重要公式。
此外，外接圆对于三角形的角度关系也有一定的影响。
例如，对于直角三角形来说，外接圆的直径等于斜边的长度，这个性质被广泛应用于解决直角三角形相关的问题。
二、内切圆内切圆是一个与三角形的三条边都相切的圆。
与外接圆类似，任意给定的三角形都存在一个唯一的内切圆。
内切圆同样具有一些重要的性质和应用。
首先，内切圆的圆心是三角形的内角平分线的交点。
也就是说，如果我们将三角形的三个内角的平分线延长，这三条延长线的交点就是内切圆的圆心。
其次，内切圆的半径可以通过三角形的面积和半周长来计算。
内切圆半径公式为：r = Δ / s，其中Δ 表示三角形的面积，s 表示三角形的半周长。
再次，内切圆与三角形的边长和内角关系也有重要的性质。
例如，内切圆的半径等于三角形任意一条边的长度乘以正切值的倒数。
最后，内切圆还有一个重要的性质，即它与三角形的三条边的交点构成三角形的角平分线。
这个性质有助于解决一些与角平分线相关的问题。
结论三角形的外接圆和内切圆是在几何学中经常遇到的两种圆形。
它们分别与三角形的三个顶点或三个内角相切，具有许多有趣的性质和应用。
三角形的外接圆与内切圆
三角形的外接圆与内切圆三角形是几何学中最基本的形状之一，而三角形的外接圆与内切圆则是与三角形密切相关的重要概念。
本文将介绍三角形的外接圆与内切圆的定义、性质以及相关应用。
一、三角形的外接圆首先，我们先来了解一下什么是三角形的外接圆。
对于任意一个三角形ABC，如果能够找到一个圆，使得该圆的圆心在三角形的外面，并且该圆与三角形的每条边恰好相切，那么这个圆就是这个三角形的外接圆。
三角形的外接圆具有一些重要的性质。
首先，外接圆的圆心恰好位于三角形的三个顶点的垂直平分线的交点处。
其次，外接圆的半径等于三角形三个顶点到圆心的距离中的最大值。
此外，外接圆的直径等于三角形的最长边。
三角形的外接圆在几何学的各个分支中都有广泛的应用。
例如，在三角形的面积计算中，可以利用外接圆的直径来简化计算过程。
此外，对于一些特殊的三角形，如等边三角形和直角三角形，外接圆的性质可以帮助我们推导出一些重要的结论。
二、三角形的内切圆接下来，让我们来了解一下三角形的内切圆。
对于任意一个三角形ABC，如果能够找到一个圆，使得该圆的圆心在三角形的内部，并且该圆与三角形的每条边都相切，那么这个圆就是这个三角形的内切圆。
与外接圆类似，内切圆也具有一些重要的性质。
首先，内切圆的圆心位于三角形的三个角平分线的交点处。
其次，内切圆的半径等于三角形的三个切点到圆心的距离中的最小值。
三角形的内切圆也有着广泛的应用。
在解决与三角形相关的问题时，内切圆的性质可以提供重要的线索和条件。
此外，在一些工程和建筑设计中，内切圆的性质也被广泛应用，例如在规划和设计圆形建筑等方面。
三、外接圆与内切圆的关系除了研究外接圆和内切圆的性质，我们还可以探讨一下它们之间的关系。
对于任意一个三角形ABC，这个三角形的外接圆和内切圆一定存在，并且唯一。
此外，外接圆的圆心、内切圆的圆心以及三角形的重心三者是共线的。
其中，重心是三角形三个顶点与对边的垂直平分线的交点。
四、小结三角形的外接圆与内切圆是与三角形密切相关的几何概念。
三角形的内切圆与外接圆
三角形的内切圆与外接圆三角形是几何学中最基本的图形之一，它由三条边连接而成。
在研究三角形的性质时，我们会涉及到三角形的内切圆与外接圆，它们对于三角形的研究和计算具有重要意义。
在本文中，我们将探讨三角形的内切圆与外接圆的相关性质和计算方法。
一、内切圆内切圆是与三角形内部的三条边都相切的圆。
我们可以用以下方法来计算三角形的内切圆的半径和圆心坐标。
1. 内切圆的半径已知三角形的三条边长分别为a、b、c，我们可以使用海伦公式来计算三角形的面积。
海伦公式如下：s = (a + b + c) / 2其中，s为三角形的半周长。
根据海伦公式，我们可以计算出三角形的面积S：S = √(s * (s - a) * (s - b) * (s - c))三角形的内切圆的半径r可以通过以下公式计算：r = S / s2. 圆心坐标三角形的内切圆的圆心是三角形三条边的平分线的交点，我们可以使用以下方法来计算圆心的坐标。
假设三角形的三个顶点坐标分别为A(x1, y1)，B(x2, y2)，C(x3, y3)。
则三角形两条边的平分线的斜率分别为：k1 = (y2 - y1) / (x2 - x1)k2 = (y3 - y1) / (x3 - x1)三条边的中点坐标分别为：M1 = [(x1 + x2) / 2, (y1 + y2) / 2]M2 = [(x1 + x3) / 2, (y1 + y3) / 2]两条平分线的方程分别为：y - y1 = k1(x - M1[0])y - y1 = k2(x - M2[0])将这两个方程联立解得，即可得到圆心的坐标。
二、外接圆外接圆是能够过三角形三个顶点的圆。
我们可以用以下方法来计算三角形的外接圆的半径和圆心坐标。
1. 外接圆的半径已知三角形的三条边长分别为a、b、c，我们可以使用以下公式来计算三角形的外接圆半径R：R = a * b * c / (4 * S)2. 圆心坐标三角形的外接圆的圆心是三角形三个顶点的垂直平分线的交点，我们可以使用以下方法来计算圆心的坐标。
三角形的内切圆与外接圆
三角形的内切圆与外接圆三角形是几何学的基础形状之一，它具有丰富的性质和特征。
其中，内切圆和外接圆是与三角形紧密相关的概念。
本文将重点探讨三角形的内切圆和外接圆，包括定义、性质和应用。
一、内切圆的定义和性质内切圆是指一个圆完全位于三角形内部，且与三角形的三条边都相切于一个点的圆。
设三角形的三边分别为a、b、c，内切圆的半径记为r，则根据内切圆的性质，有以下关系式成立：1. 内切圆的半径r等于三角形的面积S除以半周长s的差值，即 r = S/s，其中s=(a+b+c)/2；2. 内切圆的圆心与三角形的三条角平分线交点重合。
二、外接圆的定义和性质外接圆是指一个圆通过三角形的三个顶点，即三角形的顶点在该圆上的圆。
设三角形的三个顶点为A、B、C，外接圆的半径记为R，则根据外接圆的性质，有以下关系式成立：1. 外接圆的半径R等于三角形的边长abc的乘积除以4倍三角形的面积S，即 R = abc/4S；2. 外接圆的圆心为三角形的三个垂直平分线的交点。
三、内切圆和外接圆的应用内切圆和外接圆在几何学和实际应用中有着广泛的应用。
1. 内切圆和外接圆的位置关系可以用于解决三角形的相关问题，例如计算三角形的面积、周长等。
通过利用内切圆和外接圆的性质可以简化计算过程，提高问题求解的效率。
2. 内切圆和外接圆的存在还可以帮助解决三角形相关的构造问题。
例如，已知一个三角形的顶点和边长，可以利用外接圆的性质来构造整个三角形。
同样地，可以利用内切圆的性质来构造三角形的内部结构。
3. 内切圆和外接圆也广泛应用于其他学科和领域。
例如，在工程测量中，通过测量三角形的三边长可以确定外接圆的半径，从而计算出三角形的面积。
在建筑设计中，内切圆和外接圆的特性可以用于优化建筑物的结构和布局。
总之，三角形的内切圆和外接圆是几何学中重要的概念，具有丰富的性质和应用。
了解和掌握内切圆和外接圆的定义和性质，对于解决三角形相关的问题和应用具有重要意义。
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三角形的内切圆与外接圆
三角形是几何形状中最基础的一种，其内切圆与外接圆是三角形的重要性质之一。
本文将为您详细介绍三角形的内切圆和外接圆。
内切圆是指一个圆与三角形的三条边都相切。
在一个三角形中，只有一个内切圆。
我们来仔细研究一下内切圆的性质。
首先，内切圆的圆心是三角形三条边的角平分线的交点。
这意味着内切圆的圆心与三角形的内心重合。
其次，内切圆的半径等于三角形三条边的和的一半除以三角形的半周长。
这个性质被称为三角形的内切圆半径公式。
最后，内切圆与三角形的三条边相切于三角形的三个触点。
这些触点将三角形划分成六个小三角形，每个小三角形的边长和一个触点到三角形顶点的距离之和等于内切圆半径。
相比之下，外接圆是指一个圆能完全包含三角形的三个顶点。
同样地，我们也来研究一下外接圆的性质。
首先，外接圆的圆心是三角形三条垂直平分线的交点。
这意味着外接圆的圆心与三角形的外心重合。
其次，外接圆的直径等于三角形的最长边。
这个性质被称为三角形的外接圆直径公式。
最后，外接圆与三角形的每一条边都相切于边的中点。
这些切点将外接圆划分成三个弧，每个弧对应一个三角形的内角。
三角形的内切圆与外接圆具有很多重要的应用。
在几何推理和计算中，这些性质能够为我们提供许多有用的信息。
此外，内切圆与外接圆也在工程、建筑等领域发挥着重要的作用。
总之，三角形的内切圆与外接圆是三角形重要的性质之一。
它们具有独特的性质，可以为我们提供许多有用的信息。
掌握了内切圆与外接圆的性质，我们能够更好地理解和应用三角形的相关知识。